Основные понятия об электрической цепи

Глава 1Электрические измерения и приборы.    1.1.Основные понятия об электрической цепи. Электрической цепью называют совокупность гальванически соединенных друг с другом источников электрической энергии и ее потребителей (нагрузок), в которых может возникать электрический ток. С помощью источников тот или иной вид энергии (энергия сжигаемого топлива, падающей воды, атомная и химическая энергия и т.д.) преобразуется в электрическую энергию. Приемники, наоборот, преобразуют электрическую энергию в другие ее виды (механическую, тепловую, химическую, энергию светового излучения и т.д.).^ Графическое изображение электрической цепи с помощью условных обозначений ее элементов называется электрической схемой цепи. Электрические цепи подразделяются на разветвленные и неразветвленные. Простейшая неразветвленная цепь представлена на рис. 1.1 Во всех элементах неразветвленной цепи действует один и тот же ток. Разветвленная цепь рис. 1.2. имеет в своем составе ветви, узлы, контуры. Ветвь - это участок цепи, состоящий из последовательно соединенных элементов и заключенный между двумя узлами. В каждой ветви существует свой ток. Узел - это точка в электрической схеме цепи, где гальванически соединяются не менее трех ветвей. Любой замкнутый путь на схеме называется контуром. Независимым называется контур, содержащий хотя бы одну ветвь, не включенную в иной контур. Пример разветвленной электрической цепи приведен на рис. 1.2. В схеме два узла обозначенные буквами «а» и «в», три ветви, расположенные между узлами и два независимых контура.  ^ 1.2. Ток, напряжение и мощность в электрической цепи.  Электрический ток и напряжение являются основными величинами, характеризующими состояние электрических цепей. Электрический ток в проводниках представляет явление упорядоченного движения электрических зарядов под действием электрического поля. Под словами ток понимают также интенсивность или силу тока, измеряемую количеством электрического заряда q, прошедшего через поперечное сечение проводника в единицу времени: (1.1) где ∆q - электрический заряд, прошедший за время ∆t через поперечное сечение проводника. Следовательно, ток характеризует скорость изменения заряда во времени. ^ В системе СИ заряд измеряется в кулонах (Кл), время - в секундах, а ток - в Амперах (А).Ток является скалярной алгебраической величиной, знак которой зависит от направления движения одноименных зарядов, а именно условно принятого положительного заряда. Для однозначного определения знака тока достаточно произвольно выбрать одно из двух возможных направлений за положительное, которое отмечается стрелкой (см. рис. 1.2). Перед началом анализа электрической цепи необходимо отметить во всех ветвях положительные направления токов, выбор которых может быть произвольным. Закон изменения тока во времени может быть выражен функцией времени произвольной формы.Постоянным называется ток, значение которого неизменно во времени при неизменных параметрах электрической цепи. Постоянный ток принято обозначать буквой I.Прохождение электрического тока в цепи связано с преобразованием или потреблением энергии. Для определения энергии, затрачиваемой при перемещении заряда между двумя рассматриваемыми точками проводника, вводят новую величину - напряжение.Электрическим напряжением между двумя точками называют количество энергии, затрачиваемой на перемещение заряда из одной точки в другую. , (1.2.)где W – энергия электрического поля. При измерении энергии в джоулях (Дж) и заряда в кулонах (Кл) напряжение измеряется в вольтах (В).Для однозначного определения знака напряжения между двумя выводами рассматриваемого участка цепи одному из выводов условно приписывают положительную полярность, которую отмечают либо знаком , либо стрелкой, направленной от вывода (рис. 1.3). Напряжение положительно, если его полярность совпадает с выбранной.Обычно условно положительную полярность напряжения выбирают согласованной с выбранным положительным напряжением тока, когда стрелки для тока и напряжения совпадают. В цепях постоянного тока напряжение принято обозначать буквой U.^ Из определения напряжения (1.2) получается выражение энергии W, затраченной на перемещение заряда q на участке цепи с напряжением U к моменту времени t : (1.3) Дифференцирование этого равенства во времени дает выражение мгновенной мощности p - скорости изменения энергии во времени :(1.4)Мощность измеряется в Ваттах (Вт). Мощность в электрической цепи постоянного тока обозначается буквой P и равна P=UI. Она является алгебраической величиной, знак которой определяется знаком напряжения и тока: при совпадении этих знаков мощность положительна (Р>0), что соответствует потреблению энергии в рассматриваемом участке цепи; при несовпадении знаков тока и напряжения мощность отрицательна (P  ^ 1.3.1. Источник напряжения.Идеальный источник напряжения - это активный элемент, напряжение на зажимах которого не зависит от тока, протекающего через источник. Внутреннее сопротивление r0идеального источника напряжения равно нулю.Условные графические изображения источников постоянного напряжения приведены на рис. 1.4(а, б, в), где стрелками обозначены положительные направления э.д.с. и напряжений на зажимах источника. Поскольку для идеального источника напряжение остается неизменным (U=E),то в схемах вместо источника э.д.с. часто показывают зажимы, к которым приложено напряжение U (рис. 1.4 б).На рис. 1.5 представлена вольтамперная характеристика U= f(I) идеального источника напряжения (кривая «a»), где на осях обозначены: U-напряжение на зажимах источника, I-ток, протекающий через источник. Такой источник, судя по его вольтамперной характеристике, способен отдавать во внешнюю цепь бесконечно большую мощность. Очевидно, что, в действительности, такого источника не существует. Реальный источник напряжения обладает внутренним сопротивлением r0. Его схема замещения имеет вид рис.1.4 (а), а вольтамперная характеристика-кривая «b» на рис. 1.5, которая математически может быть описана уравнением: (1.5)  ^ 1.3.2. Источник тока. Наряду с понятием источника э.д.с. при расчетах электрических цепей пользуются понятием - источник тока.Идеальным источником тока называется активный элемент, который поддерживает во внешней цепи ток, не зависящий от напряжения на его зажимах. Внутреннее сопротивление идеального источника тока r0=∞. Для изображения источника тока используется обозначение, представленное на рис. 1.6 (а). Направление двойной стрелки соответствует положительному направлению тока источника.Вольтамперная характеристика источника тока имеет вид рис. 1.7, где зависимость«a»-вольтамперная характеристика идеального источника тока, а зависимость «b»-вольтамперная характеристика реального источника тока, имеющего конечное внутреннее сопротивление. На схеме реальный источник изображается в виде идеального источника тока и подключенного параллельного ему сопротивления (рис. 1.6 (б)). Необходимо отметить, что обе схемы замещения реальных источников электрической энергии (рис. 1.4(а) и рис. 1.5(б)) являются эквивалентными (они имеют одну и ту же вольтамперную характеристику) с точки зрения токов, напряжений и мощностей во внешних участках электрической цепи. Если внутреннее сопротивление источника r0много больше сопротивления пассивного сопротивления приемника (нагрузки) rН, т.е. r0>rН, то ток источника при изменении rНостается практически неизменным. В этом случае источник электрической энергии выступает в роли источника тока; в случае, когда r0  ^ 1.4.Сопротивление или резистивный элемент.Под резистивным элементом или сопротивлением понимают такой идеализированный пассивный элемент, в котором электрическая энергия необратимо преобразуется в какой-либо другой вид энергии, например, в тепловую, механическую, световую. Запасания энергии электрического или магнитного полей в сопротивлении не происходит. По свойствам к этому идеальному элементу довольно близки такие реальные устройства, как угольные радиосопротивления, реостаты, лампы накаливания. Символическое изображение резистивного элемента представлено на рис. 1.8 , где указаны принятые положительные направления напряжения и тока.Основное уравнение элемента, связывающее ток и напряжение, его вольт-амперная характеристика, определяется законом Ома, который устанавливает пропорциональность напряжения и тока:(1.6)Коэффициент пропорциональности в выражении (1.6) равный отношению напряжения и тока, является электрическим сопротивлением (1.7)Размерность сопротивления – Ом. Обратная величина-отношение тока к напряжению- представляет собой электрическую проводимость [1/Ом](1.8)В теории линейных электрических цепей принимают сопротивление и проводимость постоянными величинами, не зависящими от тока и напряжения. Электрическое сопротивление цилиндрического проводника:(1.9)где l-длина проводника, м;S-площадь поперечного сечения проводника, мм2;ρ-удельное сопротивление материала проводника, (Ом·мм2)/м;Для определения сопротивления металлических проводников при повышении температуры пользуются выражением :(1.10)где r0-сопротивление при исходной температуре (обычно 20оС);α - температурный коэффициент сопротивления;t-   температура, для которой определяется сопротивление r;t0- исходная температура.Линейное алгебраическое соотношение (1.6) между напряжением и током, называемое вольтамперной характеристикой, можно представить в виде прямой, проходящей через начало координат (рис. 1.9), с угловым коэффициентом, равным значению сопротивления.Мощность, выделяемая в виде тепла, в резистивном элементе согласно соотношениям (1.3) и (1.6) выражается законом Джоуля-Ленца:(1.11)    Мощность в сопротивлении является квадратичной функцией тока или напряжения, она не может принимать отрицательных значений, следовательно, энергия всегда поступает от источника в элемент.  ^ 1.5. Задача анализа цепи. Законы Кирхгофа.Задача анализа электрической цепи формулируется следующим образом: заданы схемы электрической цепи со значениями всех ее элементов, а также напряжения и токи источников, действующих в цепи, требуется найти токи в ветвях и напряжения на элементах цепи. Для определения искомых токов и напряжений необходимо составить уравнения цепи, которые определяются только геометрической конфигурацией и способами соединения элементов цепи. Эти уравнения составляются на основе двух законов Кирхгофа, которые связывают токи ветвей, сходящихся в узлах, и напряжения элементов, входящих в контуры.Первый закон Кирхгофа, выражающий закон сохранения заряда, формулируется так: в любой момент алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю. (1.12)Знак тока ,при записи первого закона Кирхгофа, определяется выбором положительных направлений токов ветвей: например, токам, входящим в узел, приписывают условно знак плюс, а токам, выходящим из узла - знак минус. Так, для узла изображенного на рис. 1.10. ∑IK=I1+I2+I3-I4-I5=0.Второй закон Кирхгофа, выражающий закон сохранения энергии, формулируется следующим образом: в любой момент алгебраическая сумма напряжений в ветвях контура равна нулю.(1.13)  Суммирование напряжений производится с учетом их положительных направлений и выбранного направления обхода контура. Если положительное направление напряжения ветви совпадает с напряжением обхода контура, то оно входит в (1.13) со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус.Часто используется другая формулировка второго закона Кирхгофа: алгебраическая сумма э.д.с. источников, действующих в контуре, равна алгебраической сумме напряжений на элементах контура.(1.14)  При этом напряжения на элементах контура и э.д.с. источников входят в уравнение (1.14) со знаком плюс, если их положительные направления совпадают с направлением обхода контура, в обратном случае слагаемые в (1.14) берутся со знаком минус. Например, для схемы (рис. 1.11.) при обходе по часовой стрелке уравнение второго закона Кирхгофа запишется следующим образом:Для разветвленной цепи, содержащей q узлов и k ветвей, при определении неизвестных токов следует составить k уравнений по первому и второму законам Кирхгофа, т.к. число неизвестных токов равно числу ветвей цепи. Причем число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, равно (q-1), а число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, - (k-(q-1)).Уравнение второго закона Кирхгофа может быть записано для участка цепи между точками «а» и «b» (см. рис. 1.12.). При этом контур замыкается по стрелке, указывающей положительное направление напряжения между точками «a» и «b»(1.15) Таким образом можно всегда определить напряжение между двумя любыми точками электрической цепи.Пример 1.1. Записать уравнения по законам Кирхгофа для расчета токов цепи, представленной на рис. 1.13.Решение.Цепь содержит 3 ветви и два узла: «a» и «b», следовательно, по первому закону Кирхгофа составим одно уравнение, а остальные два – по второму закону Кирхгофа. Выбрав положительные направления токов I1, I2, I3такими, как показано на рис. 1.13, и обходя контур I и II по часовой стрелке, получимПосле решения и подстановки числовых значений полученные результаты могут быть либо положительными, либо отрицательными. В случае отрицательного значения действительное направление тока будет противоположным указанному на рисунке. ^ 1.6. Режимы работы электрических цепей. Как указывалось выше, любая электрическая цепь состоит из источников и нагрузок (приемников). При включении различного количества приемников с изменением их параметров будут изменяться напряжения, токи и мощности в электрической цепи, от значений которых зависит режим работы цепи и ее элементов. Наиболее характерными являются следующие режимы: номинальный, согласованный, холостого хода и короткого замыкания.Номинальным называется режим, при котором приемник работает со значениями тока, напряжения и мощности, на которые он рассчитан и которые называются его номинальными (или техническими) данными. Номинальные мощности и токи многих элементов электрических цепей (двигателей, генераторов, резисторов и др.) устанавливаются, исходя из нагревания их до наибольшей допускаемой температуры. Номинальные данные указываются в справочной литературе, технической документации или на самом элементе.^ С учетом номинальных напряжений и токов источников и приемников производится выбор проводов и других элементов электрических цепей.Согласованным называется режим, при котором мощность, отдаваемая источником или потребляемая приемником, достигает максимального значения. Это возможно при определенном соотношении (согласовании) параметров электрической цепи, откуда и вытекает название данного режима.Под режимом холостого хода понимается такой режим, при котором приемник отключен от источника. При этом источник не отдает энергию во внешнюю цепь, а приемник не потребляет ее.^ Режимом короткого замыкания называется режим, возникающий при соединении между собой выводов источника, приемника или соединительных проводов, а также иных элементов электрической цепи, между которыми имеется напряжение. При этом сопротивление в месте соединения оказывается практически равным нулю. При коротких замыканиях могут возникать недопустимо большие токи, электрическая дуга, возможно резкое снижение напряжения, поэтому режим короткого замыкания рассматривают, как аварийный.^ Энергетические установки работают чаще всего в режиме, при котором токи и мощности не превышают номинальных значений, а напряжения близки к номинальным.Рассмотрим простейшую неразветвленную цепь (рис. 1.14, а). В этой цепи участок amb представляет собой простейший пассивный двухполюсник, являющийся приемником, участок anb - простейший активный двухполюсник, являющийся источником.Для рассматриваемой цепи по второму закону Кирхгофа можно написать: (1.16)Формула для определения соотношения между напряжением U и э.д.с. источника E, полученная из (1.16),(1.17)называется внешней характеристикой источника, которая связывает напряжения на зажимах источника с величиной тока через источник (рис. 1.14б).Очевидно, что напряжение на зажимах источника U тем больше, чем меньше его внутреннее сопротивление при одном и том же токе через источник.В идеальном источнике напряжения r0=0, U=E во всем диапазоне изменения тока (рис. 1.14, б кривая 2).Если умножить (1.16) на ток I , то получим соотношение между мощностями(1.18)Произведение EI представляет собой мощность, вырабатываемую источником. Правая часть (1.18) содержит потери мощности во внутреннем сопротивлении источника I2r0, и мощность, потребляемую приемником I2r. Если из вырабатываемой мощности вычесть потери мощности во внутреннем сопротивлении источника, получим мощность UI, отдаваемую источником во внешнюю цепь(1.19)Мощность, отдаваемая источником в данной цепи, равна мощности, потребляемой приемником(1.20)Вырабатываемая источником мощность определяется произведением: (1.21)    причем положительные направления э.д.с. и тока совпадают. Отдаваемая им мощность: (1.22)    где направления напряжения и тока противоположны, а мощность, потребляемая приемником, определяется произведением: (1.23)где положительные направления тока и напряжения совпадают. Такие взаимные направления тока и э.д.с., а также тока и напряжения характерны для источников и приемников в любых электрических цепях (рис. 1.15 а,б).Отношение мощности, отдаваемой источником, к вырабатываемой им мощности называется коэффициентом полезного действия (КПД) источника(1.24)Пользуясь полученными соотношениями, установим, как будут меняться значения тока, напряжения, мощности при изменении сопротивления r, т.е. в различных режимах работы источника. При отключении источника с помощью выключателя В (рис. 1.14а) электрическая цепь будет работать в режиме холостого хода. В этом случае следует считать r равным бесконечности, при этом I=E/(r + r0)=0. Вследствие чего оказываются равными нулю падение напряжения Ir0, потери мощности I2r и мощности EI и UI. Т.к. Ir0=0, то согласно (1.17) U=Ux=E. Уменьшение сопротивления r приводит к увеличению тока I, падения напряжения Ir0, мощности EI. Напряжение U при этом уменьшается. О характере изменения мощности приемника можно судить, анализируя выражение(1.25)Зависимость представлена на рис. 1.16.Уменьшение сопротивления r , а значит увеличение тока I приводит к возрастанию Рпотр и при r=r0Рпотр =Рmax , что соответствует режиму согласованной нагрузки. В согласованном режиме U=0.5E, Рпотр=0.5, Рвыр, η=0.5. Дальнейшее уменьшение r приводит к уменьшению Рпотр.Для номинального режима работы характерно следующее соотношение сопротивлений r >> r0, что обеспечивает поступление основной части вырабатываемой мощности к приемнику. При этом к.п.д. принимает значения, близкие к 1 , Uном=Iномr>>Iномr0и согласно (1.17) U близко к E.В режиме короткого замыкания r=0 и ток короткого замыкания оказывается намного больше номинального тока: IK=E/r0>>IномПри коротком замыкании U=IKr =0, Рпотр=UIK=0. Мощность Рвыр=EIKзначительно возрастает и преобразуется в теплоту в сопротивлении r0. Последнее может привести с выходу из строя изоляции и даже к перегоранию проводов.На внешней характеристике источника рис. 1.14, б, которая подчиняется уравнению (1.17) и представляет собой прямую при E=const и ro= const, указаны точки, соответствующие режимам холостого хода, короткого замыкания и номинальному режиму работы источника. Здесь же приведена внешняя характеристика идеального источника э.д.с. (кривая 2 на рис. 1.14, б),для которого r0=0,U=E=const.  ^ 1.7. Уравнение баланса мощности в электрических цепях. В любой электрической цепи сумма мощностей всех источников электрической энергии должна быть равна сумме мощностей всех приемников. На основании (1.11), (1.21..1.23),(1.25), можно записать в общем виде уравнение баланса мощности для любой электрической цепи(1.26)Чтобы уравнение баланса мощности давало более наглядное представление о характере энергетических процессов, целесообразнее составлять его для действительных направлений э.д.с., напряжений и токов.  ^ 1.8. Методы расчета электрических цепей. Задача расчета электрической цепи ставится следующим образом. Задана схема электрической цепи, значения ее элементов и параметры источников. Требуется определить токи в ветвях и падения напряжения на элементах. Данная задача решается путем составления и решения системы уравнений, запись которых определяется выбранным методом расчета.Перед составлением уравнений необходимо указать на схеме положительные направления известных и неизвестных величин.  ^ 1.8.1. Метод непосредственного использования законов Кирхгофа. Данный метод целесообразен в следующих случаях:- для расчета неразветвленных электрических цепей;- если известна величина части токов, но неизвестны величины такого же количества источников или элементов цепи; - для определения падения напряжения между какими-либо двумя точками электрической цепи;- для проверки правильности расчетов, проведенных любым другим методом.Проверка может быть также осуществлена путем составления уравнения баланса мощности.Задавшись положительными направлениями искомых величин, составляют уравнения сначала по первому закону Кирхгофа, максимальное число которых должно быть на единицу меньше числа узлов схемы. Недостающие уравнения следует составить по второму закону Кирхгофа.В качестве примера составим систему уравнений для определения токов в электрической цепи, схема которой изображена на рис. 1.17 с известными сопротивлениями и величинами и направлениями источников э.д.с. и напряжений. Поскольку данная цепь имеет пять ветвей с неизвестными токами, необходимо составить пять уравнений. Выбрав положительные направления токов в ветвях, для узлов “а” и “б” составим уравнения по первому закону Кирхгофа, а для контуров “агда”, “абга” и “бвгб” при обходе последних по часовой стрелке - уравнения по второму закону Кирхгофа. ^ 1.8.2. Метод эквивалентных структурных преобразований. В основе различных методов преобразования электрических схем лежит понятие эквивалентности, согласно которому напряжения и токи в ветвях схемы, не затронутых преобразованием, остаются неизменными.^ Преобразования электрических схем применяются для упрощения расчетов.Рассмотрим наиболее типичные методы преобразования.Последовательное соединение элементов.При последовательном соединении элементов через них протекает один и тот же ток I (рис. 1.18). Согласно второму закону Кирхгофа, напряжение, приложенное ко всей цепи (1.27)Для последовательного соединения сопротивлений r1,r2...rn(рис. 1.18) с учетом (1.6) будем иметь (1.28)Ток в цепи с последовательным соединением элементов равен:   (1.29)а напряжение на n-ом элементе равно   (1.30)При последовательном соединении источников напряжения они заменяются одним эквивалентным источником с напряжением Uэкв, равным алгебраической сумме напряжений отдельных источников. Причем со знаком «+» берутся напряжения, совпадающие с напряжением эквивалентного источника, а со знаком «-» - несовпадающие (рис. 1.19).  Параллельное соединение элементов.Соединение групп элементов, при котором все элементы находятся под одним и тем же напряжением, называется параллельным (рис. 1.20). Согласно первому Кирхгофа, ток всей цепи I равен алгебраической сумме токов в параллельных ветвях, т.е. (1.31)На основании этого уравнения с учетом (1.8) для параллельного соединения резистивных элементов получаем: (1.32)где -эквивалентная проводимость.    Токи и мощности параллельно соединенных ветвей при U=const (рис. 1.20) не зависят друг от друга и определяются по формулам: (1.33)Мощность всей цепи равна :, (1.34)где rэ=1/gэ -эквивалентное сопротивление цепи.При увеличении числа параллельных ветвей эквивалентная проводимость электрической цепи возрастает, а эквивалентное сопротивление соответственно уменьшается. Это приводит к увеличению тока I. Если напряжение остается постоянным, то увеличивается также общая мощность Р. Токи и мощности ранее включенных ветвей не изменяются.^ Рассмотрим частные случаи параллельного соединения резистивных элементов.а) параллельное соединение двух элементов (1.35) б) параллельное соединение n ветвей с одинаковыми сопротивлениями(1.36)Эквивалентное преобразование резистивного треугольника в звезду.Под соединением треугольником (рис. 1.21.а) понимается такое, при котором конец одного элемента соединяется с началом второго, конец второго- с началом третьего, а конец третьего - с началом первого. Узловые точки 1,2,3 подключаются к остальной части электрической цепи. Соединение звездой получается при объединении начал или концов сопротивлений в одну точку (рис. 1.21.б).При расчете электрических цепей оказывается полезно преобразовать треугольник в звезду или совершить преобразование звезды в треугольник.Замена треугольника эквивалентной звездой должна производиться таким образом, чтобы после указанной замены токи в остальной части цепи, а также напряжения между точками 1 и 2 , 2 и 3,3 и 1 остались без изменения.^ С помощью законов Кирхгофа можно получить следующие формулы для определения сопротивлений эквивалентной звезды: ( 1.37)При замене резистивных элементов, соединенных звездой, эквивалентным треугольником, пользуются следующими формулами(1.38) ^ 1.8.3. Метод контурных токов. Метод контурных токов дает возможность упростить расчет электрических цепей по сравнению с методом расчета по законам Кирхгофа за счет уменьшения числа уравнений, которые приходится решать совместно. Этот метод заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются на основании второго закона Кирхгофа т   ^ Глава 2Электрические цепи однофазного синусоидального тока. 2.1. Синусоидальный ток и основные характеризующие его величины.Синусоидальным током называют ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону (рис. 2.1):  Ток i(t) называют мгновенным. Максимальное значение тока называют амплитудой и обозначают . Период – это время, за которое совершается одно полное колебание. Частота равна числу колебаний в секунду , единица частоты - герц (Гц).Угловая частота , единица угловой частоты рад/с или . Аргумент синуса, т.е. , называют фазой. Фаза характеризует состояние колебания в данный момент времени .Начальная фаза тока - .Любая синусоидальная функция характеризуется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой.Синусоидальные токи и ЭДС сравнительно низких частот, до нескольких килогерц, получают с помощью синхронных генераторов (их изучают в курсе электрических машин). Синусоидальные токи и ЭДС высоких частот получают с помощью ламповых и полупроводниковых генераторов, подробно рассматриваемых в разделе – электроника.^ 2.2. Среднее и действующее значение синусоидальных тока и ЭДС.Принято среднее значение функции времени определять за периодДля синусоидальной функции среднее значение за период равно нулю.^ Используется также понятие среднего значения синусоидальной функции за полпериода:.Аналогично, среднее значение ЭДС за полпериода .Действующим значением синусоидальной функции называется ее среднеквадратичное значение за периодБольшинство измерительных приборов амперметров и вольтметров показывают действующее значение измеряемой величины.^   2.3. Сложение синусоидальных функций времени. Векторные диаграммы. Основы символического метода расчета.  Пусть требуется сложить два тока:; (1)  Тригонометрическому уравнению (1) можно дать геометрическую интерпретацию, если каждому синусоидальному значению поставить в соответствие вектор на плоскости в координатах , рис. 2.2а. Длиной вектора будет амплитуда тока, а фазой – начальная фаза синусоиды . Совокупность векторов, соответствующая уравнениям для токов или напряжений, называется векторной диаграммой. ^ Уравнению (1) можно поставить в соответствие другое уравнение, в котором каждая синусоида будет представлена в виде комплексного числа.Ток можно записать по формуле Эйлера:(2)  ^ С учетом (2) уравнение (1) примет вид: (3)    Уравнение (3) содержит два типа комплексных чисел:Прямые: и сопряженные: и может быть записано для каждой группы в отдельности, например,(4)Исключая общие множители и , получим: (5)или Комплексное число называется током в комплексной форме или комплексом тока по максимальному значению. Здесь - модуль комплекса по максимальному значению, а - фаза комплекса.Если за модуль комплекса принять не амплитудное, а действующее значение, то получим комплекс по действующим значениям или просто комплекс тока.^ Уравнение (5) для комплексов тока примет вид: или (6)Геометрическая интерпретация уравнения (6) на комплексной плоскости приведена на рис. 2.2б. Это так называемая комплексная векторная диаграмма является с учетом масштаба точным аналогом векторной диаграммы, приведенной на рис. 2.2a.Комплекс тока называют символом мгновенного тока , а метод составления уравнений в комплексной форме – комплексным или символическим.Забегая вперед, отметим, что расчет цепей комплексным методом имеет значительные преимущества перед методом расчета по мгновенным значениям.^ 2.4. Пассивные элементы электрической цепи. Резистор , индуктивность и емкость являются пассивными элементами электрической цепи. Резистор или активное сопротивление цепи – это элемент, в котором происходит рассеивание энергии в виде тепла или превращение электрической энергии в другой вид энергии: в световую, химическую или механическую.Индуктивность и емкость называются реактивными элементами цепи, в них происходят накапливание энергии в виде магнитного или электрического поля. Рассеивание энергии в таких элементах отсутствует. Идеальные элементы , , на схеме обозначаются так, как это показано на рис. 2.3а.Реальные катушки индуктивности и конденсаторы рассеивают часть энергии. Этот факт учитывается с помощью добавочных сопротивлений для катушки и для конденсаторов, рис. 2.3б. В проволочных сопротивлениях и катушках индуктивности учитывают также межвитковую емкость , рис. 2.3б; в реальном конденсаторе можно учесть паразитную индуктивность подводящих контактов , рис. 2.3б.Рассматривая пассивные элементы цепи , , ответим на следующие вопросы:^ 1. Каково соотношение между мгновенным значением тока и напряжения на каждом элементе? Каков вид векторов тока и напряжения?2. Каковы мгновенная мощность и накопленная энергия магнитного или электрического полей?^ 3. Каково соотношение тока и напряжения на элементе в комплексной форме, как изображаются вектора тока и напряжения на комплексной плоскости. Под мгновенным значением мощности понимают произведение мгновенного значения напряжения на элементе цепи на мгновенное значение протекающего по элементу тока :.^ 2.5. Резистивный элемент. 2.5.1. Пусть ток в резисторе:.Мгновенное значение напряжения на резисторе:Векторы тока и напряжения на резисторе приведены на рис. 2.4б. Закон Ома для резистора имеет вид: или .^ 2.5.2. Мгновенная мощность равна:  Временные диаграммы , , приведены на рис. 2.4в. Мощность имеет постоянную составляющую или среднее значение, называемое активной мощностью :Активная мощность измеряется в ваттах (Вт).  2.5.3. В комплексной форме напряжение на резисторе записывается в видеВекторы тока и напряжения на комплексной плоскости приведены на рис. 2.4г.^   2.6. Индуктивный элемент в цепи синусоидального тока.  Индуктивный элемент учитывает явления накапливания энергии магнитного поля и характеризуется зависимостью потокосцепления от тока :, измеряется в генри (Гн).  ^ 2.6.1. Мгновенное значение напряжения на индуктивности:Здесь - ЭДС, наводимая изменяющимся во времени магнитным потоком. Если принять ток в катушке , то напряжение запишется в виде:.    Векторы тока и напряжения показаны на рис. 2.5б. Напряжение опережает ток в катушке на угол . Закон Ома для индуктивности: или ,где - индуктивное сопротивление катушки, измеряется в Омах (Ом). Сопротивление - частотно зависимая величина, увеличивается с ростом частоты, рис. 2.5в.  ^ 2.6.2. Мгновенная мощность:    Мощность называется реактивной и измеряется в вольт-амперах реактивных (ВАр). Временные диаграммы , и для катушки приведены на рис. 2.5г. Средняя мощность равна нулю, т.е. рассеивание мощности или потери отсутствуют. Энергия магнитного поля катушки равна:    Временная диаграмма , приведена на рис. 2.5д. Максимальная энергия магнитного поля катушки:.  ^ 2.6.3. Напряжение на индуктивности в комплексной форме.  Так как напряжение на катушке:то Здесь - индуктивное сопротивление в комплексной форме.Оператор отражает дифференцирование тока в формуле напряжения на индуктивности.^ Закон Ома в комплексной форме: или  Вектора тока и напряжения на комплексной плоскости приведены на рис. 2.5е.  ^ 2.7. Емкостный элемент в цепи синусоидального тока.  Емкость отражает явление накапливания энергии электрического поля и характеризуется зависимостью заряда от напряжения :  ^ 2.7.1. Мгновенное значение напряжения на конденсаторе:Пусть , тогда напряжение на конденсаторе:Это напряжение отстает от тока на угол .  Векторы тока и напряжения приведены на рис. 2.6б.Закон Ома для емкости: или ,где - емкостное сопротивление, измеряется в омах (Ом).Емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты. Зависимость от частоты приведена на рис. 2.6.в.  ^ 2.7.2. Мгновенная мощность на конденсаторе:   – реактивная мощность конденсатора. Временные диаграммы , , приведены на рис. 2.6г.Среднее значение мощности равно нулю, т.е. рассеивание мощности или потери отсутствуют. Энергия электрического поля в конденсаторе равна:          График приведен на рис. 2.6д.Максимальная энергия электрического поля равна:  ^ 2.7.3. Напряжение на емкости в комплексной форме.  Так как,То .Здесь - емкостное сопротивление в комплексной форме.Оператор отражает интегрирование тока в формуле напряжения на емкости.Закон Ома в комплексной форме или . Векторы и приведены на рис. 2.6е.   2.8. Последовательн