Файл: FERMA-PIFAGOR- 2m © Н. М. Козий, 2007 Украина, А.С. № 22108, № 27312, № 28607 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМАДЛЯ ЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:Аn+ Вn= Сn (1) где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в натуральных числах. Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:Аn= Сn -Вn (2) Пусть показатель степени n=2m. Тогда уравнение (2) запишется следующим образом:А2m= С2m –В2m (3) Для доказательства великой теоремы Ферма используем алгебраическое решение уравнения теоремы Пифагора. ^ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕУРАВНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:С2 =А2+ В2, (4) где: С – гипотенуза; А и В – катеты. Существуют прямоугольные треугольники, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами. Такие числа называются Пифагоровыми тройками чисел. Рассматривая уравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, что существует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых значения их сторон выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение (4) имеет бесконечное количество решений в целых числах. Суть уравнения теоремы Пифагора не изменится, если уравнение (4) запишем следующим образом:А2 = С2 –В2 (5) Для решения уравнения теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных. Уравнение (5) рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С. Уравнение (5) в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:А2=(C-B)∙(C+B) (6) Используя метод замены переменных, обозначим: C-B=M (7) Из уравнения (7) имеем: C=B+M (8) Из уравнений (6), (7) и (8) имеем:А2 =M∙ (B+M+B)=M∙(2B+M) = 2BM+M2 (9) Из уравнения (9) имеем: А2- M2=2BM (10) Отсюда: B = (11) Из уравнений (8) и (11) имеем: C= (12) Таким образом: B = (13) C (14) Из уравнений (13) и (14) следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A2 на число M , т. е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа A2. Из уравнений (13) и (14) также следует, что числа А и M должны иметь одинаковую четность. По формулам (13) и (14) определяются числа B и^ C как переменные, зависящие от значения числа А, как параметра, и значения числа M. Числа B и C, определенные по формулам (13) и (14), с числом А образуют тройки пифагоровых чисел.Из изложенного следует: 1. Квадрат простого числа A равен разности квадратов одной пары чисел B и C (при M=1). 2. Квадрат составного числа A равен разности квадратов нескольких пар чисел B и C. 3. Все числа N> 2 входят в Пифагоровы тройки чисел. Таким образом, существует бесконечное количество Пифагоровых троек чисел А, В и С и, следовательно, бесконечное количество прямоугольных треугольников, у которых значения сторон А, В и С выражаются целыми числами. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ФЕРМА Уравнение (3) запишем следующим образом: (Аm)2 = (Сm)2 – (Вm)2 (15) Тогда по аналогии с формулами (5), (13) и (14) запишем:Bm = (16) Cm (17) Расчеты, выполняемые по уравнениям (16) и (17) показывают, что числа В и С дробные. Для обоснования того, что всегда хотя бы одно из чисел В или С является дробным числом, произведем преобразование уравнений (16) и (17) . Из уравнений (16) и (17) следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A2m на число M , т. е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей целого числа А=prst… или A2m =(prst…)2m. Следовательно, число A2m должно быть равно: A2m=(prst…)2m= M· D, (18) где D, M – целые числа как сомножители целого числа A в степени 2m. Например, M=p2m, тогда в соответствии с формулой (18) D=(rst…)2m. Тогда в соответствии с формулами (16) и (18) имеем: Bm = (19) А число Cm по аналогии с уравнением (8) равно: Cm = Bm + M = (20) Тогда из уравнений (19) и (20) следует:B = (21) C (22)ДОПУСТИМ, что B –целое число, т.е. пусть:M= am; (23) Тогда: B = - целое число. (24) В этом случае число С в соответствии с уравнением (22) равно:^ C = -дробное число. (25) Таким образом, если допустить, что в соответствии с уравнением (21) В – целое число, то из уравнения (25) следует, что число С не может быть целым числом, так как сомножители в скобках в подкоренных выражениях в уравнениях (21) и (22) [соответственно в уравнениях (24) и (25)] отличаются всего на 1. Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в натуральных числах при четных показателях степени. Варианты доказательств Великой теоремы Ферма для любых показателей степени размещены на сайте: http://koriola.narod.ru/Автор Козий Николай Михайлович, инженер-механик, E-mail: nik_krm@mail.ru