1.2. Формы представления модели Традиционными формами представления моделей являются системы уравнений в нормальной форме Коши и нелинейные дифференциальные уравнения, графы, структурные схемы. Они позволяют описывать не иерархические модели.1.2.1. Нормальная форма Коши Единообразное по форме и удобное для использования матричного аппарата математическое описание динамических (обычно «гладких») систем достигается в пространстве состояний с использованием переменных состояния, т. е. уравнений в форме Коши (1.1) где –—–векторы переменных состояния, управления и выходов; –—–-мерное евклидово пространство; —–гладкие отображения. Предполагается выполнение условия существования решений, а для большинства практических задач–—–их единственности. Условия существования и единственности решений выполняются, если принадлежит одному из следующих наиболее часто используемых классов функций: постоянные, кусочно-постоянные, кусочно-непрерывные, кусочно-гладкие, измеримые (локально-ограниченные), а функция –—–удовлетворяет условиям Коши-Липшица В работе [4] приводится классификация форм представления динамических моделей в терминах «вход-состояние-выход», являющихся частными случаями (1.1).^ Билинейные системы где –—–скалярные функции, –—–числовые матрицы размеров –—–числовая матрица размера L-системы L-системой называется автономная невырожденная система вида где , причем Здесь является коммутатором алгебры Ли соответствующего векторного поля.Линейные системы которые приводятся к L-системам -го порядка видаЛинейно-аналитические системы Если –—–полиномы, то система называется полиномиальной [132, 141, 161].Системы с управлением, входящим линейно (правоинвариантные, аффинные) (векторное представление)^ Системы управления с функциональными коэффициентами при переменных состояния и управления (матричное представление) В ряде работ [43, 51, 52] принимается следующее описание в векторно-матричной записи Переход от векторного к матричному представлению осуществляется с помощью интегрального преобразования [11] где –—–матрица Якоби, найденная по из (1.12б). Нормальная форма Коши (НФК) удобна для представления модели в алгоритмах явного типа, и позволяет широко применять богатую матричную арифметику современных пакетов программ и библиотек языков программирования [1, 72, 86, 92, 96, 108]. К недостаткам данной формы представления необходимо отнести то, что в ней не сохраняется информации о топологии модели.^ 1.2.2. Системы нелинейных дифференциальных уравнений различных порядков Системы нелинейных дифференциальных уравнений (СНДУ) являются широко используемой формой представления нелинейных систем управления для численного исследования. В общем виде модель в форме СНДУ записывается следующим образом: начальные условия: где: - внешние воздействия и их производные, - внутренние переменные, включая выходные и их производные. Данная форма представления более характерна пакетам программ, предполагающим значительные преобразования модели, например трансляцию модели в функцию языка программирования и присоединение ее к расчетной части при построении расчетной задачи. Это снимает почти все ограничения на сложность модели, которая по сути дела программируется. В форме СНДУ можно представлять более широкий класс моделей чем в НФК. Недостатком данной формы представления является, так же как и в случае НФК, отсутствие полной информации о структуре модели, что затрудняет решение многих задач топологического характера. Решение этой проблемы возможно при упорядочивании порядка следования уравнений, так что в i-ом уравнении переменная xiявлялась следствием. Такой подход встречается в ряде работ, например первые версии пакета NOCSYD [А2, А3]. 1.2.3. Графы Использование теории графов для описания моделей систем управления со сложной структурой, стало распространенным в последнее время. Теоретико-графовая форма описания модели позволяет эффективно использовать новые возможности языков программирования, такие как указатели, списки, классы, множественное наследие. Представление в форме ориентированного (сигнального) графа, в частности структурной схемы, расширяет информацию о модели, по сравнению с НФК и СНДУ, позволяя вводить причинно-следственные отношения. Знание о направленности связей имеет большое значение для задач анализа и синтеза. В качестве иллюстрации на рис. 1.1. приведена диаграмма графа модели странного аттрактора Лоренца [93]. Эта форма представления позволяет эффективнее решать задачи выделения путей и контуров, связности, структурной управляемости и многие другие, чем в форме НФК и отчасти СНДУ. Модель системы представляется ориентированным графом ^ H= с множеством переменных Х=x1, .... , xn, N - общее множество вершин, и множеством дуг G - упорядоченных пар номеров смежных вершин (i,j), G=(i,j)1, ... (i,j)n. Общее количество таких пар обозначено в примерах как Q. Несмотря на всю компактность и удобство такой записи, на практике чаще используют матрицу смежности R = rij, показывающую наличие дуги между i-ой и j-ой вершинами. Рис. 1.1. Модель странного аттрактора в форме ориентированного графа Рис. 1.2. Модель системы в форме графа Рис. 1.3. Модель системы в форме гиперграфа Рис. 1.4. Модель странного аттрактора в форме гиперграфа Другим способом представления топологии является матрица изоморфности D, в строках которой представлены номера входящих (с плюсом) и выходящих (с минусом) дуг. Для приведенного на рис. 1.2 примера матрицы смежности и изоморфности имеют вид: Избыточность хранимой информации в матрице смежности (нулевые значения) компенсируются простотой вычислительных алгоритмов и скоростью получения требуемой информации из матрицы. Кроме того, наличие только двух значений 0 или 1, дает возможность использовать для ее представления битовые поля, что дает значительную экономию памяти, и при размерах системы порядка 100 элементов не уступает по затратам ресурсов на хранение матрицы изоморфности, при значительно более простых алгоритмов обработки информации. Использование матриц смежности, инцидентностей, достижимостей и др. имеет большое применение для алгоритмов топологического анализа СС НСУ [107]. Ориентированные графы (структурные схемы) обычно широко используются при описании линейных систем и систем с одновходовыми нелинейностями. Однако возникают некоторые затруднения при описании нелинейных систем, где нелинейные функции могут зависеть от нескольких переменных, например при описании операций умножения и деления. 1.2.4. Гиперграфы Гиперграф являются теоретико-множественной формой представления дифференциальных уравнений, заданных в общем случае непричинно—следственным способом [53, 54, 56, 73]. По сравнению с графом, представление модели в форме гиперграфа расширяет возможности представления многовходовых элементов, однако при этом теряется информация о направленности связей. Гиперграф определяется как пара H = образующая конечное множество X=x1,...,xn вершин и некоторое семейством E=e1,...,eq ребер - непустых частей Х, удовлетворяющих условию UE=X [67]. Одним из способов задания топологии гиперграфа [53], является матрица , где Гиперграф является вариантом симплециального комплекса или симплециальной схемы. В ряде работ [75], вводится понятие ориентированного гиперграфа. При этом множество E - определяется как множество ориентированных ребер. Примеры гиперграфов приведены на рис. 1.5 и рис. 1.6. Из диаграмм видно, что гиперграф является способом группирования зависимых переменных, без указания причинно-следственных отношений между ними.При этом способе внутреннего представления модели в ЭВМ, также возникают проблемы при внешнем представлении Скорее можно предлагать автоматическое построение гиперграфа по введенной системе уравнений.