Министерство общего и профессионального образования РФ
Государственный Санкт-Петербургский электротехническийуниверситет «ЛЭТИ» имени Ульянова-Ленина
Кафедра ТОЭ
Пояснительнаязаписка к курсовой работе
по теории электрических цепей
«Исследование искажений сигналов навыходе фильтра нижних частот»
Выполнил: Антонов В.В.
Группа: 3322
Факультет: КТИ
Кафедра: АПУ
Вариант: 01
Руководитель: Соколов В.Н.
Санкт– Петербург
2005
Оглавление
TOC o «1-5» h z u Цельработы… PAGEREF _Toc103016357 h 3
Техническоезадание. PAGEREF _Toc103016358 h 3
Выполнениекурсового расчета. PAGEREF _Toc103016359 h 4
1. Нормированиепараметров и переменных цепи. PAGEREF _Toc103016360 h 4
2.Определение передаточной функции цепи … PAGEREF_Toc103016361 h 5
3.Расчет частотных характеристик цепи … PAGEREF_Toc103016362 h 8
4.Составление уравнений состояния цепи. PAGEREF _Toc103016363 h 10
5.Определение переходной и импульсной характеристик. PAGEREF _Toc103016365 h 12
6.Вычисление реакции цепи при воздействии одиночного импульса на входе. PAGEREF _Toc103016366 h 17
7.Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия. PAGEREF _Toc103016367 h 19
8.Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе. PAGEREF _Toc103016368 h 21
10.Определение спектра периодического входного сигнала. PAGEREF _Toc103016369 h 23
11.Приближенный расчет реакции при периодическом воздействии. PAGEREF _Toc103016370 h 25
Заключение. PAGEREF _Toc103016371 h 27
Списокиспользованной литературы… PAGEREF_Toc103016372 h 28
Цель работы
Практическое освоение исравнение различных методов расчета цепей.Техническое задание
Из[3, стр. 60]: на вход электрической цепи, представленной на Рис. T.1, смомента t= 0подается импульс напряжения Рис. T.2 .
Параметрыцепи: 114 —
Параметрыимпульса:
Рис. T.1.Схема цепи
u1(t)
R1
U2
3
2
4
1
R2
L1
C1
C2
Uвх
t
T=tи
A
tи/4
(3tи)/4
Рис. T.2.Входной импульс
Вкурсовой работе требуется:
1. Определить передаточную функцию, частотные и временныехарактеристики цепи.
2. Исследовать реакцию цепи при воздействии одиночногоимпульса.
3. Исследовать установившуюся реакцию цепи привоздействии периодической последовательности импульсов.
Примечание:при выполнении данной курсовой работы для разного рода аналитических ичисленных расчетов применялся математический пакет MathCAD12.
Выполнение курсового расчета1. Нормированиепараметров и переменных цепи
Нормированиепараметров и переменных цепи произведем в целях облегчения процессов вычисления,в которых они используются. Суть нормирования заключается в сближении порядковзначений параметров и переменных цепи. Для нормировки будем использоватьследующие формулы [4]:
где:
§ величины синдексом «звездочка» — есть пронормированные величины;
§ величины синдексом «сигма» — это те величины, по которым производится нормировка(базисные величины). Примем базисные величины следующими:
(поскольку времяимпульса имеет размерность «мкс»)
Произведем нормирование параметров цепи согласноуказанным выше условиям (все полученные величины — безразмерные):
В дальнейшем, в целях упрощения записей, все величиныбудем полагать пронормированными и поэтому символ «звездочка» в индексе величинуказывать не будем.
2. Определение передаточной функции цепи
C
А
ZL1
2
Zc1
Рис. 2.1.Операторная схема цепи
Zc2
B
u1(t)
R1
U2
3
4
1
R2
Согласно[1, стр. 156] передаточной функцией цепи называют отношение изображенияреакции к изображению единственного в цепи воздействия при нулевых независимыхначальных условиях. В нашем случае передаточная функция цепи имеет вид:
Для определения передаточной функции построимоператорную схему замещения цепи (Рис. 2.1).Проведем машинный расчет передаточной функции цепи:
Проконтролируемполученные результаты способом, описанным в [2, стр. 191]:
1. Исходя из физикипроцесса (экспоненты в реакции должны быть затухающими), корнихарактеристического полинома цепи должны лежать в левой полуплоскости.Необходимое для этого условие: все коэффициенты полинома имеют один и тот жезнак – выполнено. Проверим достаточное условие согласно теореме Гурвица:
Действительно, все представленные выше определителиположительны. Следовательно, согласно теореме Гурвица, корнихарактеристического полинома цепи лежат в левой полуплоскости, асоответствующая им система дифференциальных уравнений — устойчива.
2. Рассмотрим эквивалентныесхемы замещения исходной цепи на характерных частотах и [2] (Рис. 2.2). При получаем: (сопротивления нет,поэтому можно заменить данный элемент на короткозамкнутый участок), (заменяем на КЗ),
R1
U1
C
L≡КЗ
R1
U2
3
2
4
R2
U1
С1≡ХХ
Рис. 2.2.Схемы замещения
С2≡ХХ
а
C
L≡ХХ
U2
3
2
4
R2
С1≡КЗ
С2≡КЗ
б
Случайа (
Случайб (
Проведеннаяпроверка позволяет говорить о правильности полученного выше результата.
Нулипередаточной функции определяются как корни полинома ее числителя. В нашемслучае в числителе находится числовая константа, которая никогда не обратится вноль. Поэтому можно сказать, что нули нашей передаточной функции находятся вбесконечности.
Вычислим теперь полюсы полученной передаточной функции(собственные частоты цепи). Согласно [1, стр. 157] они являются корнямихарактеристического полинома ее знаменателя. Произведем машинный расчет корнейи изобразим их на комплексной плоскости (Рис.2.3):
Оценимпрактическую длительность переходных процессов:
3. Расчет частотных характеристик цепи
Согласно [3, стр. 31] найдем аналитические выражениядля Амплитудно-Частотной, Фазочастотной и Амплитудно-Фазовой характеристик цепии постоим их графики (Рис. 3.1, 3.2 и 3.3. соответственно):
Определим полосу пропускания науровне:
Частотасреза:
Еслипредположить, что спектр входных сигналов попадает в указанную полосу пропускания,ожидаемые изменения амплитуды и времени запаздывания сигналов будут следующими:
§ Время запаздывания сигнала на выходе цепи:
§ Амплитуда выходного сигнала изменится в раз (уменьшится в двараза).
4. Составление уравнений состояния цепи
Ik1
4
uc1
Рис. 4.1. Резистивная цепь
uc2
iL
Ik2
Ik3
2
u1(t)
R1
U2
3
1
R2
Длясоставления уравнений состояния цепи воспользуемся методом вспомогательныхисточников: заменим индуктивные элементы источниками тока, а конденсаторы –источниками напряжения (Рис. 4.1.). Расчетполучившейся резистивной цепи будем осуществлять методом контурных токов (МКТ):
Уравнениясостояния:
Произведеммашинный расчет характеристического полинома цепи:
Проконтролируемполученные результаты способом, описанным в [3, стр. 28]:
1. Корнихарактеристического полинома цепи совпали с корнями знаменателя передаточнойфункции, который согласно [1, стр. 157] такжеявляется характеристическим полиномом цепи.
2. Рассмотримэквивалентные схемы замещения исходной цепи (Рис. 4.2).
R1
U1
C
L≡КЗ
R1
U2
3
2
4
R2
U1
С1≡ХХ
Рис. 4.2. Схемы замещения
С2≡ХХ
а
C
L≡ХХ
U2
3
2
4
R2
С1≡КЗ
С2≡КЗ
б
Случай а — вынужденный режим (
Случай б (
Такие же значения производных получаем из уравненийсостояния при
Проведенная проверка позволяет говорить о правильностиполученного выше результата.
5. Определение переходной и импульсной характеристик
Согласно[1, стр. 156] передаточная функция цепи
H(s) ¸h(t)
Такжеисходя из [1, стр. 156], переходная характеристика цепи определяется извыражения:
h1(t)¸H1(s)=H(s)/s
Такимобразом, импульсную и переходную характеристики цепи можно найти, взяв оригиналот изображения и соответственно (дляэтого следует использовать теорему разложения, описанную в [1, стр. 140]).Произведем машинный расчет для данного случая (при этом необходимо полученныйрезультат домножить на для на для ):
Проконтролируемполученные результаты способом, описанным в [3, стр. 33]: контролю подвергнемконечное и начальное значения полученной переходной характеристики, использовавтеоремы о конечном и начальном значении:
Условиесовпадения и выполнено, что позволяетговорить о правильности полученного выше результата.
Построимграфики переходной (Рис. 5.2) иимпульсной (Рис. 5.1) характеристикцепи, изобразив на графиках кроме этого еще и составляющие аналитическогорасчета этих характеристик (см. следующий лист).
Согласно Рис. 5.2.длительность переходного процесса составляет примерно 3, что согласуется с нашими предположениями о значении даннойвеличины в п.2 курсового расчета (см. выше).
Найдем теперь переходную и импульсную характеристикицепи по уравнениям состояния, полученным в п. 4 курсового расчета. Входноевоздействие:
Общий вид уравнения:
Таким образом,
Свободная составляющая решения: собственных колебанийсогласно [1, стр. 157] есть корни характеристического полинома, которые былинайдены в п. 4 курсового расчета. Длительность переходного процесса:
Начальное значение по закону коммутации
Начальное значение второй производной:
Для определения постоянных интегрирования решимсистему уравнений:
Машинный расчет корней данной системы уравнений:
Таким образом, значение постоянных интегрирования
Получаем реакцию:
Таким образом:
Для получения импульсной характеристики цепи продифференцируемпереходную характеристику:
Данные выражения, что и следовало ожидать, совпадают срезультатами расчета по Лапласу переходной и импульсной характеристики цепи.
6. Вычислениереакции цепи при воздействии одиночного импульса на входе
Дляполучения реакции цепи при в