Введение
Тема работы «Законы логики и их истолкование» насегодняшний день актуальна. Ведь всякий логический закон есть универсальнаявзаимосвязь между абстрактными объектами, выраженная средствами некоторогоестественного или формального языка. Иначе говоря, логический закон – это не любая универсальная взаимосвязь, а такая,понимание которой закреплено с помощью символов того или иного языка.
Помимо законов материалистической диалектики,человеческое мышление подчиняется еще законам логики, с помощью которыхвыражаются наиболее простые и необходимые связи между мыслями. Законы логикииспользуются при оперировании понятиями и суждениями, применяются вумозаключениях, доказательствах и опровержениях.
Нарушение законов логики приводит к логической ошибке:как непреднамеренной – паралогизму,так и сознательной – софизму.
К числу наиболее важных логических законов относятся,прежде всего, закон тождества, законнепротиворечия, закон исключенного третьего, закон достаточного основания идр. средствами естественного языка эти четыре основополагающих логическихзакона и будут подробно рассмотрены в данной работе.
Логические законы отражают в сознании человекаопределенные отношения, существующие между объектами, или отражают такиеобычные свойства предметов, как их относительная устойчивость, определенность,несовместимость в одном и том же предмете одновременного наличия и отсутствияодних и тех же признаков. Основные логические законы сложились исторически врезультате многовековой практике познания. Кроме этих четырех основных законовсуществуют много второстепенных законов логики, которые надо выполнять приоперировании понятиями, или суждениями, или умозаключениями. Законы логики, какосновные, так и второстепенные, в мышлении функционируют в качестве принциповправильного рассуждения в ходе доказательства истинных суждений и теорий иопровержения ложных суждений и ложных гипотез.
Цель работы– полностью истолковать основные законы логики, атакже кратко охарактеризовать некоторые второстепенные законы, тем самымраскрыть тему контрольной работы.
Литературные источники, послужившие созданию даннойконтрольной работы, приведены в разделе «Литература».
Законы логики и их истолкование
1. Основные законы логики
Закон тождества
Внешне самым простым из логических законов являетсязакон тождества. Он говорит: есливысказывание истинно, то оно истинно. Иначе говоря, каждое высказываниевытекает из самого себя и является необходимым и достаточным условием своейистинности. Символически:
А → А,
если А, то А. Например: «если дом высокий, то онвысокий», «Если трава черная, то она черная» и т.п.
В приложениях закона тождества к конкретному материалус особой наглядностью обнаруживается отмечавшаяся ранее общая черта всехлогических законов. Они представляют собой тавтологии, как бы повторения одногои того же и не несут содержательной, «предметной» информации. Это общие схемы,отличительная особенность которых в том, что, подставляя в них любые конкретныевысказывания, обязательно получим истинное выражение.
«Применительно к абстрактнымобъектам принцип тождества принимается в качестве интуитивно очевидногопостулата, лежащего в основе логики и рационального мышления в целом.
Применительно к эмпирическим объектам принциптождества не столь очевиден и нуждается в некоторых дополнительных пояснениях.Вполне ясно суть этого принципа применительно к эмпирическим объектам выразил,в частности, Г.В. Лейбниц: «Не бывает никаких двух неразличимых друг от другаотдельных вещей»; «в силу незаметных различий две индивидуальные вещи не могутбыть совершенно тождественными». Хотя любые эмпирические объекты, строгоговоря, отличны друг от друга, в реальной практике мышления человек постоянноотождествляет нетождественные друг другу объекты. Например, в книжном магазинечеловек обычно отождествляет различные экземпляры одной и той же книги (емуважно купить конкретную книгу, а не конкретный экземпляр книги); наблюдаяСолнце, человек считает его одним и тем же эмпирическим объектом (не учитывая,что пространственно-временные и многие другие характеристики Солнца непрерывноменяются и, следовательно, он имеет дело не с одним и тем же объектом, а сосвоеобразным «потоком» очень сходным друг с другом и в то же время отличныхдруг от друга эмпирических объектов) и т.д.
Ввиду этого принципиального обстоятельства принциптождества применительно к эмпирическим объектам удобно использовать в следующейформулировке, впервые предложенной Г.В. Лейбницем:
Эмпирическиеобъекты тождественны друг другу, если и только если они обладают одними и темиже свойствами». [4]
Этот принцип позволяет правильно понять, в какомсмысле можно говорить о практическом тождестве различных эмпирических объектов.В процессе познания эмпирические объекты отождествляются не по всем, а лишь понекоторым своим свойствам, представляющим интерес для исследователя, в то времякак другие свойства данных объектов не принимаются во внимание.
Закон тождества неверно истолковывается как один иззаконов бытия, говорящий о его относительной устойчивости и определенности.Понятый так, он превращается в утверждение, что вещи всегда остаютсянеизменными, тождественными самим себе. Такое понимание этого закона, конечно,ошибочно. Закон ничего не говорит об изменчивости или неизменности. Онутверждает только, что если вещь меняется, то она меняется, а если она остаетсятой же, то она такой же и остается.
Закон противоречия
Закон противоречия говорит о противоречащих друг другувысказываниях, т.е. о высказываниях, одного из которых является отрицаниемдругого. Например, высказывания «Луна – спутник Земли» и «Луна не являетсяспутником Земли», «Трава – зеленая» и «Неверно, что трава зеленая» и т.п. Водном из противоречащих высказываний что-то утверждается, в другом – это жесамое отрицается.
Если обозначить буквой А произвольное высказывание, товыражение не –А (неверно, что А) будет отрицанием этого высказывания.
Идея, выражаемая законом противоречия, проста: высказывание и его отрицание не могут вместебыть истинными.
Закон противоречия выражается формулой:
~(А & ~A),
неверно, что А и не –А.
Закон противоречия говорит о противоречивыхвысказываниях – отсюда его название. Но он отрицает противоречие, объявляет егоошибкой и тем самым требует непротиворечивости – отсюда другое распространенноеимя – закон непротиворечия.
Если применить понятия истины и лжи, законпротиворечия можно сформулировать так: никакоевысказывание не является вместе истинным и ложным.
В этой версии закон звучит особенно убедительно.Истина и ложь – это две несовместимые характеристики высказывания. Истинноевысказывание соответствует действительности, ложное не соответствует ей. Тот,кто отрицает закон противоречия, должен признать, что одно и то же высказываниеможет соответствовать реальному положению вещей и одновременно несоответствовать ему. Трудно понять, что означают в таком случае сами понятияистины и лжи.
Иногда закон противоречия формулируют следующимобразом: из двух противоречащих другдругу высказываний одно является ложным.
«Закон противоречия был открыт Аристотелем,сформулировавшим его так: «…невозможно, чтобы противоречащие утверждения быливместе истинными…». Аристотель считал данный закон наиболее важным принципом нетолько мышления, но и самого бытия: «Невозможно, чтобы одно и то же вместе былои не было присуще одному и тому же и в одном и том же смысле». Несколько раньшеформулировка закона как принципа самого реального мира встречается у Платона:«Невозможно быть и не быть одним и тем же»». [3]
Аристотелю восходит традиция давать законупротиворечия, как и ряду других логических законов, три разные интерпретации. Водном случае он истолковывается как принцип логики, говорящий о высказываниях иих истинности: из двух противоречащих высказываний одно должно быть ложным. Вдругом случае этот же закон понимается как утверждение о структуре самогореального мира: не может быть так, чтобы что-то одновременно существовало и несуществовало, имело какой-то признак и не имело его. В третьем случае этотзакон звучит уже как истина психологии, касающаяся своеобразия нашего мышления:не удается размышлять о какой-либо вещи, таким образом, чтобы она оказываласьтакой и вместе с тем не такой.
Большинство неверных толкований закона противоречия ибольшая часть попыток оспорить его приложимость – если не во всех, то хотя бы вотдельных областях – связаны с неправильным пониманием логического отрицания, азначит, и противоречия.
Высказывание и его отрицание должны говорить об одноми том же предмете, рассматриваемом в одном и том же отношении. Эти двавысказывания должны совпадать во всем, кроме единственной черты: то, чтоутверждается в одном, отрицается в другом. Если это забывается, противоречиянет, поскольку нет утверждения и отрицания.
«В одном из рассказов М. Твена о возбужденных людяхговорится, что каждый из них размахивал руками энергичнее, чем его сосед.Понятно, что это невозможно, поскольку внутренне противоречиво.
Противоречиво и сообщение, будто в глухомавстралийском селении живут два близнеца, один из которых на 12 лет старшедругого, как и сообщение, что родился один близнец нормального роста и веса.
В начале ХХ века, когда автомобилей стало довольномного, в одном из английских графств было издано распоряжение, согласнокоторому если два автомобиля подъезжают одновременно к пересечению дорог подпрямым углом, то каждый из них должен ждать, пока не проедет другой. Этораспоряжение внутренне противоречиво, и поэтому невыполнимо». [3]
Противоречие недопустимо в строгом рассуждении, когдаоно смешивает истину с ложью, правда имеет много разных задач в обычном языке.
Оно может выступать в качестве основы сюжета какого-торассказа, быть средством достижения особой художественной выразительности ит.д.
Реальное мышление – и тем более художественноемышление – не сводится к одной логичности. В нем важно все: и ясность, инеясность, и доказательность и зыбкость, и точное определение и чувственныйобраз. В нем может оказаться нужным и противоречие, если оно стоит на своемместе.
««…Все мы полны противоречий. Каждый из нас – простослучайная мешанина несовместимых качеств. Учебник логики скажет вам, чтоабсурдно утверждать, будто желтый цветимеет цилиндрическую форму, а благодарность тяжелее воздуха; но в той смесиабсурдов, которая составляет человеческое «я», желтый цвет вполне можетоказаться лошадью с тележкой, а благодарность – серединой будущей недели». Этототрывок из романа С. Моэма «Луна и грош» выразительно подчеркивает сложность, анередко и прямую противоречивость душевной жизни человека». [3]
Логические противоречия недопустимы в науке, ноустановить, что конкретная теория не содержит их, непросто: то, что в процессеразвития и развертывания теории не выведено никаких противоречий, еще неозначает, что их в самом деле нет. Научная теория — очень сложная системаутверждений. Далеко не всегда противоречие удается обнаружить относительнобыстро путем последовательного выведения следствий из ее положений.
1.3 Закон исключенноготретьего
Формулировка закона исключенного третьего такова: «Издвух противоположных суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано».[1]
Символически:
Аv~ A,
А или не – А. например: «Аристотель умер в 322 г. дон.э. или он не умер в этом году», «Личинки мух имеют голову или не имеют ее» ит.п. само название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как говорится врассматриваемом высказывании, или так, как говорится в его отрицании, и никакойтретьей возможности нет.
Как выразил эту мысль Аристотель: «…Не может бытьничего промежуточного между двумя членами противоречия, а относительно чего-тоодного необходимо что бы то ни было одно либо утверждать, либо отрицать». [3]
Закон исключенного третьего с иронией обыгрывается вхудожественной литературе:
«Жила одна старушка,
Вязала кружева,
И, если не скончалась –
Она еще жива»
Закон исключенного третьего кажется самоочевидным, темне менее, высказывались предложения отказаться от него или ограничить егодействие применительно к определенным высказываниям.
Аристотель сомневался в приложимости закона квысказываниям о будущих событиях. В настоящий момент наступление некоторых изних еще не предопределено.
Немецкий философ Гегель весьма иронично отзывался како законе противоречия, так и о законе исключенного третьего. Последний онпредставлял так: дух является зеленым или не является зеленым и задавалкаверзный, как ему казалось, вопрос: какое из этих двух выражений истинно?
Ни одно из этих утверждений не является истинным,поскольку оба они бессмысленны. Закон исключенного третьего приложим только космысленным высказываниям. Только они могут быть истинными или ложными.Бессмысленное же не истинно и не ложно.
Резкой, но хорошо обоснованной критике подверг законисключенного третьего голландский математик Л. Брауэр. В начале ХХ века онопубликовал три статьи, в которых выразил сомнение в неограниченнойприложимости законов логики и, прежде всего – закона исключенного третьего. Онсчитал, что логические законы не являются абсолютными истинами, не зависящимиот того, к чему они прилагаются и настаивал на том, что кроме утверждения иотрицания имеется еще и третья возможность, которую нельзя исключить. Онаобнаруживает себя при рассуждениях о бесконечных множествах объектов.
Предположим, что утверждается существование объекта сопределенным свойством. Если множество, в которое входит этот объект, конечно,то можно перебрать все его элементы. Это позволит выяснить, какое из следующихдвух утверждений истинно. Закон исключенного третьего здесь справедлив.
Но когда множество бесконечно, объекты его невозможноперебрать. Если в процессе перебора будет найден объект с требуемым свойством,первое из указанных утверждений подтвердится. Но если найти этот объект неудастся, ни о первом, ни о втором из утверждений нельзя ничего сказать,поскольку перебор не проведен до конца. Закон исключенного третьего здесь недействует: ни утверждение о существовании объекта с заданным свойством, ниотрицание этого утверждения не является истинным.
«Изъять из математики принцип исключенного третьего, — заявлял немецкий математик Д. Гильберт, — все равно, что запретить боксерупользоваться кулаками». [3]
Критика Брауэром закона исключенного третьего привелак созданию нового направления в логике – так называемой интуиционистской логики. В последней не принимается данный закон иотбрасываются все те способы рассуждения, которые с ним связаны. Среди них – доказательства путем приведения кпротиворечию, или абсурду.
1.4 Закондостаточного основания
Впервые был сформулирован Лейбницем: «Ничто непроисходит без причины, и должна быть причина, почему существует это, а недругое»; «ничего не делается без достаточного основания, т.е. не происходитничего такого, для чего нельзя было бы при полном познании вещей указатьоснования, достаточного для определения, почему это происходит так, а неиначе»; ни одно явление не может оказаться истинным или действительным, ни одноутверждение справедливым без достаточного основания, почему именно дело обстоиттак, а не иначе, хотя эти основания в большинстве случаев вовсе не могут бытьнам известны». [4]
Лейбниц пришел к выводу, что существующий мирнаходится в предустановленной Богом гармонии, является логическинепротиворечивым и наилучшим из возможных миров. При этом он подчеркивает, чтосам Бог есть нечто такое, пониманию чего способствует принцип достаточногооснования.
Метафизические следствия, вытекающие из принципадостаточного основания, еще не в полной мере изучены и являются предметомлогико-философских дискуссий. В современной логике закон достаточного основанияформулируется следующим образом: «Всякаяистинная мысль должна быть достаточно обоснованной». Это значит, что любоеположение, прежде чем стать научной истиной, должно быть подтвержденоаргументами, достаточными для признания его твердо и неопровержимо доказанным. [1]
2. Второстепенные законы логики
Закон двойного отрицания
Закон двойного отрицания можно сформулировать так: отрицание отрицания дает утверждение, или:повторенное дважды отрицание даетутверждение. Например: «Если неверно, что Вселенная не являетсябесконечной, то она бесконечна». [3]
Закон двойного отрицания был известен еще в античности.В частности, древнегреческие философы Зенон Элейский и Горгий излагали егоследующим образом: если из отрицания какого-либо высказывания следуетпротиворечие, то имеет место двойное отрицание исходного высказывания, то естьоно само.
В символической форме закон записывается так:
~ ~ A → A,
если неверно, что не – А, то верно А.
Другой закон логики, говорящий о возможности не снимать,а вводить два отрицания, принято называть обратнымзаконом двойного отрицания: утверждениевлечет свое двойное отрицание. Например: «Если Шекспир писал сонеты, тоневерно, что он не писал сонеты».
Символически:
A→ ~ ~ A,
если А, то неверно что не – А.
Объединение этих законов дает так называемый полный закон двойного отрицания:
~ ~ A ↔ A,
неверно, что не – А, если и только если верно А.
Законы контрапозиции
Законы контрапозиции говорят о перемене позицийвысказываний с помощью отрицания: изусловного высказывания «если есть первое, то есть и второе» вытекает «если нетвторого, то нет и первого», и наоборот.
Символически:
(А → В) → (~ B→ ~ A),
еслидело обстоит так, что если А, то В, то если не – В, то не – А;
( ~ B → ~ A)→ (A → B),
еслидело обстоит так, что если не – В, то не – А, то если А, то В.
Например: «Если есть следствие, то есть и причина»следует высказывание «Если нет причины, нет и следствия», и из второговысказывания вытекает первое.
К законам контрапозиции обычно относят также законы:
(A→ ~ B) → (B→~ A),
если дело обстоит так, что если А, то не – В, если В,то не — А. Например: «Если квадрат неявляется треугольником, то треугольник не квадрат»;
( ~ A → B) → (~ B → A),
если верно, что если не – А, то В, то если не – В, тоА. Например: «Если не являющееся очевидным сомнительно, то не являющеесясомнительным очевидно».
Контрапозиция подобна рокировке в шахматной игре. Иподобно тому, как редкая партия проходит без рокировки, так и редко нашерассуждение обходится без контрапозиции.
Модус поненс
Слово «модус» в логике означает разновидностьнекоторой общей формы рассуждения. «Модус поненс» — термин средневековойлогики, обозначающий определенное правило вывода и соответствующий емулогический закон.
Правило вывода модус поненс, обычно называемоеправилом отделения или гипотетическим силлогизмом, позволяет от утвержденияусловного высказывания и утверждения его основания (антецедента) перейти кутверждению следствия (консеквента) этого высказывания:
Если А, то В;А
_______________
В
Здесь «если А, то В» и «А» — посылки, «В» — заключение; горизонтальная черта стоит вместо слова «следовательно». Другаязапись:
Если А, то В.А. Следовательно, В.
Благодаряэтому правилу от посылки «если А, то В», используя посылку «А», мы как быотделяем заключение «В». Например:
Если учеловека грипп, он болен.
У человекагрипп.
______________________________
Человек болен.
Это правило постоянно используется в нашихрассуждениях. Впервые оно было сформулировано учеником Аристотеля Теофрастомеще в IIIвекедо н.э.
Соответствующий правилу отделения логический законформулируется так:
(A → B) &A → B,
если верно, что если А, то В, и А, то верно В.Например: «Если при дожде трава растет быстрее и идет дождь, то трава растетбыстрее».
Рассуждение по правилу модус поненс идет отутверждения основания истинного условного высказывания к утверждению егоследствия. Это логическое корректное движение мысли иногда путается со сходным,но логически неправильным ее движением от утверждения следствия истинногоусловного высказывания к утверждению его основания.
Например, правильным является умозаключение:
Если висмут –металл, то он проводит электрический ток.
Висмут –металл.
__________________________________________________
Висмутпроводит электрический ток.
Но внешнее сходное с ним умозаключение:
Если висмут –металл, он проводит электрический ток.
Висмут проводитэлектрический ток.
___________________________________________________
Висмутметалл.
Это умозаключение логически некорректно. Рассуждая попоследней схеме, можно от истинных посылок прийти к ложному заключению.Например:
Если человексобирает марки, он коллекционер.
Человек — коллекционер.
___________________________________________________
Человексобирает марки.
Далеко не все коллекционеры собирают именно марки; изтого, что человек коллекционер, нельзя заключать, что он собирает как раз марки.Истинность посылок не гарантирует истинности заключения.
Против смещения правила модус поненс с указаннойнеправильной схемой предостерегает совет: от подтверждения основания кподтверждению следствия заключать можно, от подтверждения следствия к подтверждениюоснования – нет.
Модус толленс
Так средневековые логики называли следующую схемурассуждений:
Если А, то В;неверно В.
________________________
Неверно А.
Другаязапись:
Если А, то В. Не – В. Следовательно не –А.
Эта схема часто называется принципом фальсификации:если из какого-то утверждения вытекает следствие, оказывающееся ложным, этоозначает, что и само утверждение ложно. Посредством схемы от утвержденияусловного высказывания и отрицания его следствия осуществляется переход котрицанию основания данного высказывания. Например:
Если гелий –металл, он электропроводен.
Гелийнеэлектропроводен.
_____________________________________
Гелий — неметалл.
Модус понендо толленс
Так средневековые логики называли следующую схемурассуждений:
Либо А, либоВ; А Либо А, либо В; В
____________________________________
НеверноВ Неверно А
Другая запись:
Либо А, либоВ. А. Следовательно, не – В.
Либо А, либоВ. В. Следовательно, не – А.
Посредством этих схем от утверждения двухвзаимоисключающих альтернатив и установления того, какая из них имеет место,осуществляется переход к отрицанию второй альтернативы: либо первое, либовторое, но не оба вместе; есть первое; значит, нет второго. Например:
Достоевскийродился либо в Москве, либо в Петербурге.
Он родился вМоскве.
__________________________________________________
Неверно, чтоДостоевский родился в Петербурге.
Дизъюнкция, входящая в данную схему, являетсяисключающей, она означает: истинно первое или истинно второе, но не оба вместе.Такое же рассуждение, но с неисключающей дизъюнкцией (первое или второе, новозможно, что и первое, и второе), логически неправильно. От истинных посылоконо может вести к ложному заключению:
На Южномполюсе первым был Амундсен или был Скотт.
На Южномполюсе первым был Амундсен.
__________________________________________________
Неверно, чтотам был Скотт.
Обе посылки истинны: и Амундсен, и Скотт достиглиЮжного полюса, заключение же ложно. Правильным является умозаключение:
На Южномполюсе первым был Амундсен или Скотт.
На этомполюсе первым был Амундсен.
_______________________________________________
Неверно, чтотам первым был Скотт.
Модус толлендо поненс
Этим термином средневековые логики обозначали разделительно-категорическое умозаключение:первое или второе; не первое; значит второе. Первая посылка умозаключения –разделительное (дизъюнктивное) высказывание, вторая – категорическоевысказывание, отрицающее один из членов дизъюнкции; заключением является другойее член:
А или В;неверно А А или В, неверно В
__________________ Или: __________________
В А
Другая форма записи:
А или В. Не –А. Следовательно, В.
А или В. Не –В. Следовательно, А.
Например:
Множествоявляется конечным или оно бесконечно.
Множество неявляется конечным.
______________________________________________
Множествобесконечно.
Иногда эту схему рассуждения именуют дизъюнктивным силлогизмом.
С использованием логической символики умозаключениеформулируется так:
A v B, ~ A A v B, ~ B
_________ Или: ___________
B А
В современной логике модус толлендо поненс называетсятакже правилом удаления дизъюнкции.Ему соответствует логический закон:
(AvB) & ~ A→ B,
если А или В и ~ А, то В.
Законы де Моргана
Широкое применение находят законы, названные именемамериканского логика А. де Моргана и позволяющие переходить от утверждений ссоюзом «и» и к утверждениям с союзом «или», и наоборот:
~ (A& B) → (~ Av~ B),
если неверно, что есть и первое и второе, то неверно,что есть первое, или неверно, что есть второе;
( ~ Av~ B) → ~ (A& B),
если неверно, что есть первое, или неверно, что естьвторое, то неверно, что есть первое и второе. Объединение этих двух законовдает закон (↔ — эквивалентность, «если и только если»):
~ (A& B) ↔ (~ Av~ B).
Словами обычного языка этот закон можно выразить так: отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкцииотрицаний. Например: «Неверно, что завтра будет холодно и завтра будетдождливо, тогда и только тогда, когда завтра не будет холодно или завтра небудет дождливо».
Еще один закон де Моргана утверждает, что отрицаниедизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний:
~ (AvB) ↔ (~A& ~B),
неверно, что есть первое или есть второе, если итолько если неверно, что есть первое, и неверно, что есть второе. Например:«Неверно, что ученик знает арифметику или знает геометрию, тогда и толькотогда, когда он не знает ни арифметики, ни геометрии».
На основе законов де Моргана связку «и» можноопределить, используя отрицание, через «или», и наоборот:
— «А и В» означает«неверно, что не – А или не – В»,
— «А или В»означает «неверно, что не – А или не – В».
Например:«Идет дождь и идет снег» означает «Неверно, что нет дождя или нет снега»;«Сегодня холодно или сыро» означает «Неверно, что сегодня не холодно и не сыро».
Законприведения к абсурду
Редукция к абсурду (приведение к нелепости) – эторассуждение, показывающее ошибочность какого-либо положения путем выведения изнего абсурда, т.е. логического противоречия. [3]
Если извысказывания А выводится как высказывание В, так т его отрицание, то вернымявляется отрицание А. например, из высказывания «Треугольник – это окружность»вытекает с одной стороны то, что треугольник имеет углы (быть треугольникомзначит иметь три угла), с другой, что у него нет углов (поскольку онокружность); следовательно, верным является не исходное высказывание, а егоотрицание «Треугольник не является окружностью».
Законприведения к абсурду представляется формулой:
(A → B) & (A → ~B) → ~A,
если (если А,то В) и (если А, то не – В), то не – А.
«Приведение кнелепости, замечает математик Д. Пойа, имеет некоторое сходство с иронией,любимым приемом сатирика: ирония принимает определенную точку зрения,подчеркивает ее и затем настолько ее утрирует, что, в конце концов, приводит кявному абсурду». [3]
Частный законприведения к абсурду представляется формулой:
(A → ~А) → ~A,
если (если А,то не – А), то не – А. например, из положения «Всякое правило имеетисключения», которое само является правилом, вытекает высказывание «Естьправила, не имеющие исключений»; значит, последнее высказывание истинно.
Законкосвенного доказательства
«Законкосвенного доказательства позволяет заключить об истинности какого-товысказывания на основании того, что отрицание этого высказывания влечетпротиворечие». [3] Например: «Если из того, что 17 не является простым числом,вытекает как то, что оно делится на число, отличное от самого себя и единицы,так то, что оно не делится на такое число, то 17 есть простое число».
Символическизакон косвенного доказательства записывается так:
(~A → B) & (~A →~B) → A,
если(если не – А, то В) и (если не – А, то не – В), то А.
Законом косвенного доказательстваобычно называется и формула:
(~A → (B & ~B)) → A,
если (если не – А, то В и не – В), то А. Пример: «Еслииз того, что 10 не является четным числом, вытекает, что оно делится и неделится на 2, то 10 – четное число».
Закон Клавия