Численное исследование движения системы "газовая струя – жидкость"

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
«ГАЗОВАЯ СТРУЯ — ЖИДКОСТЬ»

Содержание
Введение
1. Общая постановка задачи и ее математические модели
1.1 Обзор экспериментальных и теоретических работ пофизико-математическому моделированию взаимодействия газовых струй с жидкостями
1.2 Общая постановка задачи и схема взаимодействия газовойструи с жидкостью
1.3 Модели турбулентных струйных течений газа
1.4 Уравнения Навье — Стокса установившегосяизотермического осесимметричного движения вязкой несжимаемой жидкости
2. Газовая струя и межфазная поверхность
2.1 Течения газа в сопле Лаваля
2.2 Параметры струи на уровне свободной поверхностижидкости
2.3 Геометрические характеристики межфазной поверхности
2.4 2Оптимальная высота поднятия фурмы
2.5 Аппроксимация зависимости оптимальной высоты поднятияфурмы от давления
3. Численное исследование движения жидкости
3.1 Некоторые особенности уравнений Навье — Стокса и ихрешений
3.2 Уравнения Навье — Стокса впеременных функция тока, вихрь скорости
3.3 Приближенное решение уравнений Навье – Стокса
3.4 Анализ результатов исследования
Заключение
Литература
Введение
Необходимость решения задачи о взаимодействии газовых струй сжидкими преградами возникла в конце 50-х годов прошлого столетия, в связи с интенсивнымвнедрением в металлургическую практику кислородно-конвертерного способа производствастали.
Технологически кислородно-конвертерный процесс представляет собойпродувку железоуглеродистого расплава (чугуна) технически чистым кислородом, в результатекоторой происходит выгорание углевода и других примесей (сера, марганец, кремний,фосфор). В настоящее время отсутствуют фундаментальные работы по физико-математическомумоделированию кислородно-конвертерного процесса в целом, что объясняется чрезвычайнойсложностью гидродинамических и тепломассообменных процессов, протекающих в конвертерах.Очевидно, что создание физико-математических моделей кислородно-конвертерного процессаявляется очень трудной, хотя и важной задачей. Это обусловлено тем, что модель должнавключать в себя три фундаментальные проблемы физической термодинамики — турбулентность,многофазность и воздействие физико-химических переходов.
В этой связи возникла проблема создания упрощенных физико-математическихмоделей кислородно-конвертерного процесса, и в первую очередь его гидродинамики,как основной части управляющего звена.
Настоящая дипломная работа посвящена численному исследованиюсилового взаимодействия газовой струи и несжимаемой жидкости через контактную поверхность,образующуюся при проникании струи в жидкость. Целью исследования является изучениевлияния управляющих параметров процесса, а именно давления и температуры в газопроводе,а также высоты поднятия фурмы над уровнем невозмущенной жидкости на движение газаи жидкости как составляющих частей системы. Кроме того, исследовалось влияние управляющихпараметров на величину площади межфазной поверхности.
В представленной математической модели отсутствуют эмпирическиепостоянные, а лишь используются известные закономерности механики жидкостей и газа.Расчет течения газа в фурме проведен по известным газодинамическим формулам длятрубы переменного сечения (сопло Лаваля) [1, 2], параметры газовой струи рассчитывалисьс использованием [3], межфазная поверхность определялась на основании модифицированнойтеории проникания М.А. Лаврентьева [4, 5], а циркуляция жидкости исследовалась спомощью уравнений Навье — Стокса [6].
1. Общая постановка задачи и ее математические модели
Дается аналитический обзор основных работ по моделированию процессов,протекающих при взаимодействии газовых струй с жидкими преградами, показана общаясхема силового взаимодействия и математические модели, описывающие его гидродинамику.1.1 Обзор экспериментальных и теоретических работ пофизико-математическому моделированию взаимодействия газовых струй с жидкостями
Основными работами, в которых обобщены и систематизированы экспериментальныеданные по гидродинамическим и тепломассообменным процессам, протекающим при взаимодействиигазовых струй с жидкими преградами, являются монографии В.И. Явойского [7] и В.И.Баптизманского [8].
Среди работ по исследованию гидродинамического взаимодействиягазовых струй с жидкостями, обращает на себя внимание работа [9], в которой предложенамодель взаимодействия струи с жидкостью, описываемая довольно простыми дифференциальнымиуравнениями. Однако эта модель требует знания большого количества экспериментальныхданных, а замыкается основная система уравнений экспериментальной функцией уносавещества, что затрудняет ее практическую реализацию. Кроме того, авторы не привелирезультаты, подтверждающие адекватность модели исследуемому процессу.
Определенный интерес представляет работа [10], в которой в рамкахмодели Рейнольдса для турбулентных течений жидкости получено поле скоростей в ваннеконвертера. Оказалось, что при внедрении газовой струи в ограниченный объем жидкостив нем образуется тороидальный вихрь, причем вектор скорости на оси симметрии направленвверх к свободной поверхности. К недостаткам модели следует отнести искусственностьграничных условий и линейную зависимость скорости газовой фазы от координаты.
В работе [11] численно решена задача о движении жидкой сталив сталеразливочном ковше при ее продувке инертным газом. Слабым местом рассмотренноймодели является отсутствие межфазной поверхности и пренебрежение влиянием сил тяжести.
Аналитически решена задача о силовом взаимодействии дозвуковойгазовой струи с жидкостью в работе [12], в результате чего получена формула дляплощади контактной поверхности, расчеты по которой удовлетворительно совпадают сэкспериментальными данными из [13]. Кроме того в работе получена формула, позволяющаянаходить предельно низкую высоту поднятия фурмы для достижения дозвуковой скоростиструи на уровне поверхности спокойной жидкости.
  1.2 Общая постановка задачи и схема взаимодействия газовойструи с жидкостью
Из резервуара, содержащего газ при давленииpн и температуреTн, черезфурму, снабженную соплом Лаваля, истекает в расчетном режиме вертикальновниз сверхзвуковая газовая струя, взаимодействуя с неподвижной жидкостью, заполняющейнекоторый объем. Срез сопла фурмы отстоит от поверхности жидкости на расстоянииH таком,что скорость газа у поверхности становится дозвуковой.
В монографиях [7, 8] рассмотрены различные схемы взаимодействиягазовых струй с жидкими средами. Отдадим предпочтение следующей комбинированнойсхеме. Струя газа, внедрившись в жидкость и достигнув максимальной глубины проникания,отражается и, изменяя направление движения на противоположное, увлекает за собойжидкость в пределах пограничного слоя, образующегося у поверхности раздела сред.На периферии наблюдаются нисходящие потоки жидкости, как показано на рисунке 1.1В расплав 1 через фурму 2 вдувается струя кислорода 3, под действием которой образуетсялунка 4. Распространяясь вдоль поверхности лунки, струя взаимодействует с расплавом,создавая его движение в ванне.
При таких условиях тепломассообмен струи с жидкостью происходитна межфазной поверхности. В этой связи возникает проблема нахождения при заданныхдавлении pн и температуре Tнгаза оптимальной высоты поднятия фурмы H*, которая обеспечила бы максимальную площадьконтактной поверхности.
Практический интерес представляет также расчет поля скоростейосновного объема жидкости.
/>
Рисунок 1.1 — Схема взаимодействия газовой струи с жидкостью
  1.3 Модели турбулентных струйных течений газа
Основной вклад в развитие теории турбулентных струйных теченийпринадлежит Г.Н. Абрамовичу [14] и Л.А. Вулису [3, 15, 16] и их сотрудникам. Имипоставлено и решено большое количество задач, а также приведены принципиально важныеэкспериментальные исследования. Определенный интерес представляют работы и другихавторов (А.С. Гиневский [17], Горбунов К.С. [18]).
Схематизация струйных течений по Г.Н. Абрамовичу заключаетсяв том, что вместо рассмотрения непрерывных деформаций профилей скорости и температурывдоль по течению, струя условно разбивается на три участка (начальный, переходныйи основной), для каждого из которых приведены полуэмпирические формулы для расчетаскорости и температуры, как вдоль оси симметрии, так и в поперечных сечениях струи.Схема показана на рис.1.2 Слабым местом предложенной модели является определениеточных размеров начального и переходного участков.
/>
Рисунок 1.2 — Схема затопленной газовой струи
Предпочтительной схемой для решения задач, поставленных в настоящейдипломной работе, является модель, представленная Л.А. Вулисом. В этой модели струйныетечения газа описываются следующими уравнениями:
/>, i=1,2. (1.1)
Здесь x, y — продольная и поперечная координаты;
 
F1=/>u2; F2=/>u(H— He);
 
/> - плотность;
u — продольнаяскорость;
 
H= cpT+ u2/2 — полное теплосодержание;
 
сp — удельная теплоемкость;
T — температура;
ai(x) — некоторыефункции зависящие от турбулентных свойств потока и определяемые экспериментально;
индекс “e” относится к внешнейсреде.
В работе [3] уравнения (1.1), содержащие линейные функции ai(x),решены аналитически и при y = 0 получены следующие формулы, которые используются в дипломнойработе:
/> (1.2)
/> (1.3)
Здесь />безразмерная физическая координата;d — диаметр среза сопла; />; с = 0,04; Hрасстояние от среза сопла до данного сечения струи; /> - плотность, скорость итемпература газа на срезе сопла; /> - то же на оси струи; Te — температура внешней среды.
газовая струя жидкость газопровод
1.4 Уравнения Навье — Стокса установившегося изотермическогоосесимметричного движения вязкой несжимаемой жидкости
Решение задачи о движении жидкости при воздействии на нее струигаза целесообразно проводить в цилиндрической системе координат. Уравнения, описывающиеустановившееся изотермическое осесимметричное движение вязкой несжимаемой жидкостив этой системе, имеют следующий вид [5]:
/> (1.4)
/> (1.5)
/> (1.6)
Здесь r, z— радиальная и вертикальнаякоординаты; /> -плотность жидкости; /> - коэффициент кинематической вязкости;p— давление; u, v — радиальная и вертикальная составляющиескорости; Fr, Fz — проекции вектора плотности распределения объемных сил F.
Совокупность уравнений (1.4) — (1.6) представляет замкнутую нелинейнуюсистему трех уравнений в частных производных второго порядка с тремя неизвестнымифункциями u, v, p. Величины />и />являются заданными постоянными.Для получения конкретных решений при интегрировании приведенной системы уравненийдолжны быть использованы соответствующие граничные условия.
2. Газовая струя и межфазная поверхность
Определяются скорость и плотность газа на срезе сопла в зависимостиот давления и температуры газа в газопроводе, также параметры струи на уровне свободнойповерхности неподвижной жидкости. Исследуются геометрические характеристики межфазнойповерхности.
 2.1 Течения газа в сопле Лаваля
Для расчета параметров газовой струи в любом поперечном сечениинеобходимо знать скорость u, плотность /> и температуру Tгаза на срезесопла. В данной работе расчет указанных величин произведен на основании известныхгазодинамических формул [1]:
/>, (2.1)
/>. (2.2)
Здесь P — давление газа;
/> - плотность газа;
Rg — универсальная газовая постоянная;
T — температура газа;
u — скорость потока газа;
S — площадь сечения трубы.
На рисунках 2.1 — 2.4 показаны зависимости числа Маха М0 и плотности /> кислорода от от давленияpни температуры Тнна срезе сопла, прикритическом диаметре сопла dкр=0,054 м, которому соответствует диаметрсреза сопла d=0,1 м.
/>
Рисунок 2.1 — Зависимость числа Маха кислорода на срезе соплаот давлениярн
/>
Рисунок 2.2 — Зависимость числа Маха кислорода на срезе соплаот температурыТн
/>
Рисунок 2.3 — Зависимость плотности кислорода на срезе соплаот давлениярн
/>
Рисунок 2.4 — Зависимость плотности кислорода на срезе соплаот температурыТн2.2 Параметры струи на уровне свободной поверхностижидкости
Обозначая />, и />, из выражений (1.2) и (1.3) находим:
/>, (2.1)
/>, (2.2)
где />
Осреднение параметров по сечению струи удобно проводить, используяследующие формулы [19]:
/>, />,
/>, (2.3)
где/> — средние по сечению струи скорость, плотность и температура газа соответственно.
На рис.2.5 — 2.8 показано изменение осевой скорости газа, плотностина оcи, а также средней по сечению струи скорости газа иего плотности.
/>
Рисунок 2.5 — Изменение скорости кислорода вдоль оси струи прирн = 10ат
/>
Рисунок 2.6 — Изменение плотности кислорода вдоль оси струи прирн = 10 ат
/>
Рисунок 2.7 — Изменение средней скорости кислорода при рн = 10ат
/>
Рисунок 2.8 — Изменение средней плотности кислорода при рн =10 ат2.3 Геометрические характеристики межфазной поверхности
Следуя [12], скорость проникания газовой струи в жидкость определяемпо формуле:
/>, (2.4)
где k — показатель адиабаты; />
/> - плотность жидкости.
Глубина проникания струи в жидкость h определяется из выражения:
/>. (2.5)
В этой формуле n — коэффициент проникания, определяемый следующим образом [7]:
/>, если />; (2.6)
/>, если /> (2.7)
/>, (2.8)
где Ar — критерий Архимеда, а d1 — диаметр струи на уровне поверхности жидкости, определяемыйпо формуле
/>. (2.9)
На рисунках 2.9 — 2.12 представлены графики изменения скоростипроникания и глубины проникания струи в жидкость в зависимости от давления и температурыв газопроводе.
/>
Рисунок 2.9 — Зависимость скорости проникания от давления в газопроводе
/>
Рисунок 2.10 — Зависимость скорости проникания от температурыв газопроводе
/>
Рисунок 2.11 — Зависимость глубины проникания от давления в газопроводе
/>
Рисунок 2.12 — Зависимость глубины проникания от температурыв газопроводе
Для приближенного определения размеров контактной поверхностиее аппроксимируют однопараметрической поверхностью тела вращения (рисунок 2.13),уравнение которой имеет следующий вид [20]:
 
R= acosec /> (2.10)
где a= const, определяется по формуле [12]:
/>. (2.11)
Уравнение контактной поверхности можно представить в следующемвиде:
/>. (2.12)
/>
Рисунок 2.13 — Схема контактной поверхности
Важными характеристиками являются диаметрD впадины, внутренняя поверхность которойявляется контактной поверхностью, и площадь S межфазной поверхности,величина которой играет существенную роль при тепломассообмене газа с жидкостью.
Указанные характеристики определяются по следующим формулам[13]:
/>, (2.13)
/>, (2.14)
где />. (2.15)
На рисунках 2.14 — 2.17редставлены зависимости Dи Sот pни Тнпри высоте поднятия фурмы H/d= 20.
/>
Рисунок 2.14 — Зависимость диаметра впадины от давления в газопроводе
/>
Рисунок 2.15 — Зависимость диаметра впадины от температуры вгазопроводе
/>
Рисунок 2.16 — Зависимость площади контактной поверхности отдавления в газопроводе
/>
Рисунок 2.17 — Зависимость площади контактной поверхности оттемпературы в газопроводе2.4 2Оптимальная высота поднятия фурмы
При исследовании теплообменных процессов в кислородных конвертерахособое значение имеет площадь межфазной поверхности, где протекают первичные химическиереакции [13]. В этой связи возникает проблема определения оптимальной высоты поднятияфурмы над уровнем жидкости H*,которая обеспечивает наибольшую площадь контактной поверхности газа с жидкостью.Ограничительным условием при этом является то, что высота поднятия фурмы не должнабыть не ниже значения H*, при которой скорость газаравна местной скорости звука.
Величина Н* определяетсяпо следующей формуле [11]:
/> (2.16)
На рисунках 2.18 — 2.23представлены зависимости H*и H*от давления и температуры в газопроводе.
/>
Рисунок 2.18 — Зависимость H*от давлениярн
/>
Рисунок 2.19 — Зависимость H*кислорода от температурыТн
/>
Рисунок 2.20 — Зависимость оптимальной высоты поднятия фурмыдля системы “конвертерный факел — чугун" отдавления в газопроводе
/>
Рисунок 2.21 — Зависимость оптимальной высоты поднятия фурмыдля системы “конвертерный факел — чугун" оттемпературы в газопроводе
/>
Рисунок 2.22 — Зависимость отношения H*/H* для системы “конвертерныйфакел — чугун" отдавления в газопроводе
/>
Рисунок 2.23 — Зависимость отношения H*/H* для системы “конветный факел- чугун" оттемпературы в газопроводе
 2.5 Аппроксимация зависимости оптимальной высоты поднятияфурмы от давления
Для получения функций аппроксимирующих оптимальную высоты поднятияфурмы от давления при различных критических диаметрах был использован метод наименьшихквадратов, суть которого заключается в минимизации отклонения эмпирического значенияот теоретического. Функция аппроксимирующая зависимость оптимальной высоты поднятияфурмы от давления искалась в следующем виде:
/>, (2.17)
где H=/>, Р=/>.
В таблицах 2.1-2.3 представлены результаты нахождения коэффициентовдля уравнения (2.16).

Таблица 2.1 — Нахождение коэффициентов для Dкр=0,044мP HT HE Е 2,00 24,99 24,94 0,21 3,00 23,97 23,80 0,68 4,00 22,71 22,74 0,14 5,00 21,62 21,76 0,67 6,00 20,69 20,85 0,81 7,00 19,89 20,02 0,66 8,00 19, 20 19,26 0,33 9,00 18,59 18,58 0,09 10,00 18,06 17,97 0,51 11,00 17,58 17,43 0,84 12,00 17,15 16,97 1,02 13,00 16,76 16,59 1,00 14,00 16,40 16,28 0,73 15,00 16,07 16,04 0,16 16,00 15,76 15,88 0,75 17,00 15,48 15,79 2,03 18,00 15,22 15,78 3,72 19,00 16,33 15,85 2,96 20,00 16,08 15,99 0,58               a= 27,42 b= -1,32 c= 0,04 3,72
Здесь Р — начальное давление,
НТ — теоретическое значение />,
НЕ — эмпирическое значение />,
Е — погрешность.
Таблица 3.2 — Нахождение коэффициентов для Dкр=0,054мP HT HE  Е 2,00 20,36 20,31 0,22 3,00 19,53 19,33 0,99 4,00 18,51 18,44 0,36 5,00 17,61 17,63 0,11 6,00 16,86 16,91 0,36 7,00 16,21 16,28 0,49 8,00 15,64 15,74 0,62 9,00 15,15 15,28 0,88 10,00 14,71 14,92 1,37 11,00 14,32 14,63 2,16 12,00 13,97 14,44 3,34 13,00 14,89 14,33 3,76 14,00 14,58 14,32 1,78 15,00 14,37 14,38 0,13 16,00 15,13 14,54 3,91 17,00 14,91 14,78 0,83 18,00 15,13 15,11 0,11 19,00 15,53 15,53 0,05 20,00 15,58 16,04 2,98               a= 22,54 b= -1,2 c= 0,044 3,91
Здесь Р — начальное давление,
НТ — теоретическое значение />,
НЕ — эмпирическое значение />,
Е — погрешность.
Таблица 3.3 — Нахождение коэффициентов для Dкр=0,064мP HT HE   2,00 20,36 20,31 0,22 3,00 19,53 19,33 0,99 4,00 18,51 18,44 0,36 5,00 17,61 17,63 0,11 6,00 16,86 16,91 0,36 7,00 16,21 16,28 0,49 8,00 15,64 15,74 0,62 9,00 15,15 15,28 0,88 10,00 14,71 14,92 1,37 11,00 14,32 14,63 2,16 12,00 13,97 14,44 3,34 13,00 14,89 14,33 3,76 14,00 14,58 14,32 1,78 15,00 14,37 14,38 0,13 16,00 15,13 14,54 3,91 17,00 14,91 14,78 0,83 18,00 15,13 15,11 0,11 19,00 15,53 15,53 0,05 20,00 15,58 16,04 2,98               a= 22,54 b= -1,2 c= 0,044 3,91
Здесь Р — начальное давление,
НТ — теоретическое значение />,
НЕ — эмпирическое значение />, Е — погрешность.
Полученные зависимости оптимальной высоты поднятия фурмы от давленияпри разных диаметрах критического сечения представлены на рисунке 2.24
/>
Рисунок 2.24 — Зависимость оптимальной высоты поднятия фурмыот давления при различных диаметрах критического сечения сопла Лаваля
3. Численное исследование движения жидкости
Приведены уравнения Навье — Стокса установившегося осесимметричногодвижения несжимаемой вязкой жидкости в переменных функция тока — вихрь. Проведеноисследование решений уравнения Пуассона применительно к описанию течения жидкости.
 3.1 Некоторые особенности уравнений Навье — Стокса иих решений
Уравнения Навье — Стокса обладают целым рядом специфических особенностей,которые проявляются в численной реализации независимо от формы их записи. Однойиз существенных особенностей является пространно-эллиптический характер уравнений,обусловленный влиянием вязкости во всем поле течения. В связи с этим для решенияуравнений Навье — Стокса необходимо использовать типичные для эллиптических уравненийметоды решения. В отличии от уравнений пограничного слоя, при этом требуется постановкаграничных условий на всех границах рассматриваемой области, которая в реальных условияхчасто бывает бесконечна, но при численной реализации должна быть конечной. Это приводитв ряде задач внешнего обтекания к так называемой «проблеме замыкания»,что требует разработки приближенных асимптотических решений.
В системе уравнений Навье — Стокса имеется малый параметр пристаршей производной Е=1/Re, изменению которого соответствуетсущественное изменение гладкости решения. Это связано с появлением у стенок приросте числа Re пограничного слоя,толщина которого обычно пропорциональна величине (Re) ^-0,5.Хорошую иллюстрацию этих эффектов (и соответственно вычислительных трудностей) даетлинейное одномерное модельное уравнение переноса с диссипацией.
Наконец, система уравнений Навье — Стокса нелинейна. Эта нелинейность,типичная для систем гидродинамического типа, обусловлена в случае несжимаемой жидкостиинерционными составляющими в уравнениях количества движения. В сочетании с двумяупоминавшимися выше особенностями нелинейность уравнений Навье — Стокса приводитпри достаточно больших числах Рейнольдса к образованию весьма сложных пространственновременных структур.
В большинстве случаев для каждого типа сечения и некотором диапазонечисел Рейнольдса существует единственное устойчивое стационарное решение уравненийНавье — Стокса, для получения которого можно использовать либо стационарные уравнения,либо нестационарные, рассматривая искомое решение как предел при времени стремящимсяк бесконечности (метод установления). При увеличении числа Рейнольдса стационарноерешение перестает быть единственным и начинает зависеть от начальных данных. Придальнейшем увеличении числа Рейнольдса реализуются только нестационарные решения.Решение при этом имеет не только нерегулярный характер во времени, но и существенноусложняется его пространственная структура, в частности, теряет устойчивость и дробитсяпограничный слой, в ядре появляются вторичные решения и т.д. Для описания режимовтакого типа стационарные уравнения Навье — Стокса недостаточны.
В экспериментах при больших числах Рейнольдса наблюдается неупорядоченное,хаотическое движение жидкости, называемое турбулентным движением, для которого представляетинтерес описание средних пространственно-временных характеристик. Переход из ламинарногорежима течения в турбулентный в круглой трубе происходит при числе Рейнольдса приблизительноравным 2*10^3. В технических приложениях и явлениях природы значения чисел Рейнольдсадостигают значительно больших величин 10^6 — 10^9, поэтому турбулентные режимы имеютширокое распространение. Информация об этих режимах, по-видимому, содержится в нестационарныхуравнениях Навье — Стокса. До недавнего времени численные исследования при большихчислах Рейнольдса были связаны лишь с изучением поведения бесконечно малых возмущенийна основе линеаризированных гидродинамических уравнений. В последнее время для отдельныхклассов течений делаются попытки прямого численного моделирования переходных и турбулентныхрежимов на основе нестационарных уравнений Навье — Стокса.
Из сказанного следует, что требования к вычислительным методамдля решения уравнений Навье — Стокса должны различаться в зависимости от рассматриваемогодиапазона чисел Рейнольдса и тех целей, которые ставятся при численном моделировании.
Общие требования к вычислительным методам можно сформулироватьследующим образом:
1) Вычислительная устойчивость;
2) Точность расчета основных характеристик, приемлемая для соответствующих приложений;
3) Экономичность, минимальный объем оперативной памяти, простота реализации.
Первое требование заключается в том, чтобы весь вычислительныйпроцесс был устойчив. Оно относится как к самой разностной схеме, так и к методурешения соответствующих алгебраических уравнений. Для разностных схем, аппроксимирующихуравнения Навье — Стокса, причин неустойчивости больше, чем для простых модельныхуравнений, причем в ряде случаев явления вычислительной неустойчивости трудно отличитьот возможного сложного поведения решений.
Второе требование означает необходимость высокой пространственно-временнойразрешимости, которой можно в принципе достигнуть, либо применяя схемы не слишкомвысокого порядка точности, реализуемые на подробных пространственно-временных сетках,либо существенно повышая порядок точности схем. Для уравнений Навье — Стокса особенноважным является посторенние разностных схем, аппроксимирующих общие нестационарныеуравнения (и позволяющих в частном случае определить стационарные решения, еслитакие существуют). При этом практика показывает, что для расчета весьма широкогокласса течений достаточного использования схем первого порядка точности по времени.В отличие от течений невязкой жидкости, при этом характерны более высокие требованияк пространственной аппроксимации решения (пограничные слои, основные и вторичныетечения и т.д.). Наиболее удобными являются разностные схемы второго порядка точностипо пространственной координате на неравномерной сетке, сгущающейся в зоне большихградиентов.
Третье требование на самом деле может состоять из двух или дажетрех требований: минимального числа операций на временном слое, минимального объемаоперативной памяти ЭВМ и минимальных затрат труда программиста на реализацию программы.
Перечисленные требования в известной мере условны, так как значениекаждого из них зависит от ряда дополнительных факторов, таких, например, как режимтечения по числу Рейнольдса, тип ЭВМ, квалификация исполнителя, ограничения на времядля получения результата, серийность расчетов и т.д. Эти требования, кроме того,противоречивы, так как одновременное их выполнение практически невозможно, что требуеткомпромиссных решений.
С помощью метода конечных разностей исследования ведутся широкимфронтом, и накопленный опыт позволяет увидеть их достоинства и недостатки. Достоинствамиявляются универсальность, экономичность, сравнительная простота реализации. Недостаткамиявляются не слишком высокая точность (а также трудности построения и реализациисхем высокой точности и оценки точности), трудности при аппроксимации областей сграницами сложной формы. Поэтому ведутся поиски других методов. В этой подглавебудут упомянуты некоторые основные подходы, разделенные на три группы.
К первой группе относятся попытки применения прямых методов.Наиболее разработаны к настоящему времени для уравнений Навье — Стокса методы Галеркинаи некоторые их модификации. Эти методы обладают многими преимуществами, к числукоторых относятся точность, возможность сокращения объема информации и экономичность.Однако сходимость этих методов в значительной степени зависит от выбора пробныхфункций, поэтому успешная реализация их достигнута лишь в ряде специальных случаев,например в задачах конвекции при наличии свободных и периодических границ, где известноаналитическое решение линейной задачи.
Ко второй группе следует отнести методы более общего характера,связанные с представлением решения в виде рядов или интерполяционных многочленов.Применительно к численному моделированию задач гидродинамической устойчивости важноезначение имеют так называемые алгоритмы «без насыщения».
К третей группе относится метод конечных элементов, имеющий многообщих свойств с методом сеток, но отличающийся специальным выбором аппроксимациис учетом тех или иных вариационных принципов. Современные варианты метода конечныхэлементов в применении к уравнениям Навье — Стокса позволяют расширить класс геометрическихобъектов, но в настоящее время существенно проигрывают в экономичности расчета.Стремление к использованию лучших свойств из конечно-разностных и упоминавшихсяздесь методов, приспособленных к проведению параллельных вычислений на многопроцессорныхЭВМ, приводит в последние время к появления новых методов решения уравнений Навье- Стокса, детальная практическая проверка которых, однако, является делом будущего.Более подробное обсуждение различных направлений развития численных методов дляуравнений Навье — Стокса выходит за рамки данного обзора.
3.2 Уравнения Навье — Стокса в переменных функция тока,вихрь скорости
Следуя [10], преобразуем систему уравнений 1.4 — 1.6 к виду,удобному для численного решения. Для этого введем переменные величины функцию тока/> и вихрь />:
/>, (3.1)
а также безразмерные величины:
/>, (3.2)
где /> - характерная скорость и характернаядлина.
После несложных преобразований [10] получаем следующую безразмернуюсистему уравнений (штрихи у безразмерных величин опущены для удобства записи):
/> (3.3)
/>. (3.4)
В эти уравнения как неизвестные величины входят функция тока/> и вихрь />, зависящие от координатr иz. Турбулентное число РейнольдсаRe находится по полуэмпирическому соотношению,приведенному в [10].
 3.3 Приближенное решение уравнений Навье – Стокса
Численные методы решения системы уравнений (3.3) — (3.4) приведеныв [21]. Однако их практическая реализация вызывает определенные трудности по причинеотсутствия граничных условий для функции /> на твердых поверхностях. В даннойработе приведено приближенное решение задачи, в котором использован метод, обычноназываемый методом последовательных приближений.
Выбирая “нулевое” приближение />, находим из (3.4)
/> (3.5)
из (3.3) получаем уравнение для нахождения более точного приближения:
/> (3.6)
Интегрирование производим в области, заимствованной из работы[10] и показанной на рисунке 3.1
Решение, приведенное в этой работе, условно принимаем за точноерешение.
/>
Рисунок 3.1 — Область интегрирования
В качестве “нулевого" приближения выбираем функцию
/>, (3.7)
где С — безразмерный коэффициент. Приводя ее к безразмерномувиду, получаем
/>. (3.8)
На рисунке 3.2 показаны линии уровня для начального приближенияфункции тока.
/>
Рисунок 3.2 — Линии уровня />
В этой формуле штрихи у безразмерных величин и индекс “ж” дляудобства записи опущены. Легко видеть, что />, если />, т.е. на большей части границы области.Подставляя(3.8) в (3.5), находим
/>, (3.9)
причем />, если />, т.е. на оси симметрии и на свободнойповерхности жидкости, что соответствует [10].
На рисунке 3.3показаны линии уровня для начального приближениявихря скорости.
/>
Рисунок 3.3 — Линии уровня />

Подставляя (3.9) в (3.6) находим:
 
/>
/>
/>
/> (3.10)
Для удобства записи перепишем уравнение (3.10) в форме:
/>, (3.11)
где A (r,z), B (r,z), C (r,z) — известные функции;
Re турбулентныйаналог числа Рейнольдса.
Заменим исходную функцию /> сеточной функцией [22, 23]:
/>,
i=0. N-1;
J=0. M-1;
/>;
/>.
Заменим производные разностными отношениями:
/>; (3.12)
/>. (3.13)
Подставляя (3.12), (3.13) в (3.11) получаем:
/>. (3.14)
Выражая /> из (3.14) получим:
/>. (3.15)
Учитывая, что на границе области функция тока /> равна нулю получаем начальныеусловия, которые необходимы для решения (3.15):
/>; (3.16)
/>. (3.17)
Данная схема имеет первый порядок аппроксимаций по координатамr,z и устойчивапри />1.
 3.4 Анализ результатов исследования
В работе [10] в качестве примера были выполнены расчеты поляскоростей в ванне 130-тонного конвертера с радиусом ванны равным 2м, высотой ванны1,6м, при радиусе лунки равным 0,4м, глубине лунки 1,05м. На рисунке 3.4 показанораспределение функции тока в меридиональной плоскости которое получили авторы работы[10]. В качестве турбулентного аналога числа Рейнольдса была взята единица.
/>
Рисунок 3.4 — Распределение функции тока в меридиональной плоскости
Взяв такие же геометрические характеристики конвертера и межфазнойповерхности, а так же число Рейнольдса за единицу, решая уравнение (3.15) с начальнымиусловиями (3.16) — (3.17) были получено распределение функции тока в меридиональнойплоскости представленные на рисунке 3.5.
/>
Рисунок 3.5 — Распределение функции тока в меридиональной плоскости
Из рисунка 3.5 видно, что под действием вдуваемой струи в расплавеобразуется тороидальный вихрь с движением вблизи стенок ко дну ванны, а в приосевойзоне — к свободной поверхности. Максимальные значения осевой скорости — на уровнецентра вихря, а радиальной — у свободной поверхности. Вблизи стенок и на дне ваннойсоставляющие скорости малы, с интенсивным затуханием от свободной поверхности кодну.
Заключение
В заключение приведем основные результаты, полученные в работе,и сделаем некоторые выводы.
В дипломной работе:
1) представлена математическая модель, описывающая силовое взаимодействиетурбулентной газовой струи с ограниченным объемом несжимаемой вязкой жидкости;
2) составлена программа, позволяющая рассчитывать:
течение газа в сопле Лаваля с применением газодинамических формулдля трубы переменного сечения;
основные характеристики турбулентной газовой струи по методуЛ.А. Вулиса;
геометрические характеристики межфазной поверхности на основетеории проникания М.А. Лаврентьева;
поле течения жидкости путем решения уравнений Навье-Стокса впеременных функция тока — вихрь скорости;
3) установлено, что температура газа в трубопроводе не влияетна гидродинамику процесса и не является управляющим параметром;
4) установлено, что площадь межфазной поверхности изменяетсянемонотонным образом, и получена функция, аппроксимирующей зависимость оптимальнойвысоты поднятия фурмы от давления в газопроводе;
5) впервые уравнения Навье-Стокса решены численно методом последовательногоприближения.
В заключение можно сделать следующие выводы:
1) полученные результаты могут быть использованы при созданииобщей физико-математической модели кислородно-конвертерного процесса;
2) в связи с использованием в модели турбулентности по Рейнольдсувозникает проблема нахождения зависимости турбулентного числа Рейнольдса от управляющихпараметров (давление в газопроводе, критический диаметр сопла, высота поднятия фурмы);
3) площадь межфазной поверхности следует определять, учитываявытеснение жидкости в резервуаре, так как оно приводит к ее увеличению;
4) так как конвертер имеет грушевидную форму, а межфазная поверхностьблизка к параболоиду, то возникает необходимость создания расчетной схемы на основекриволинейной сетки;
5) следует также разработать математическую модель, теплообменав окрестности межфазной поверхности с учетом химических реакций, протекающих наней.
Литература
1. Дейч М.Е. Гидрогазодинамика [текст] / М.Е. Дейч, А.Е. Зарянкин.- М.: Энергоатомиздат, 1984. — 381с.
2. Дейч М.Е. Техническая газодинамика [текст] / М.Е. Дейч. — М.: Госэнергостат,1974. — 437с.
3. Вулис Л.А. Теория струй вязкой жидкости [текст] / Л.А. Вулис, В.П.Кошкаров. — М.: Наука, 1965. — 429 c.
4. Лаврентьев М.А. Проблемы гидродинамики и их математические модели[текст] / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. — М.: Наука, 1973. — 416 с.
5. Горбунов К.С. Аналитическое решение задачи о динамическом взаимодействиигазовой струи с несжимаемой жидкостью [текст] / К.С. Горбунов // Математическиеи экономические модели в оперативном управлении производством. — М.: Электрика.- 1998. — № 8. — С.32-33.
6. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа [текст] / Л.Г. Лойцянский.- М.: Наука, 1970. — 904 с.
7. Явойский В.И. Теория продувки сталеплавильной ванны [текст] / В.И.Явойский, Г.А. Дрофеев, И.Л. Повх. — М.: Металлургия, 1974. — 495 с.
8. Баптизманский В.И. Теория кислородно-конвертерного процесса [текст]/ В.И. Баптизманский. — М.: Металлургия, 1975. — 376 с.
9. Алдошин Г.Т. Исследование гидродинамического и теплового взаимодействиягазовых струй с жидкостями и дисперсными средами [текст] / Г.Т. Алдошин // Тепло-имассоперенос. — т.1. — 1972. — С.287-296.
10. Коваль В.П. Математическое моделирование движения жидкости в осесимметричнойванне под действием вдуваемой струи [текст] / В.П. Коваль,, А.В. Потапов // Инженерно-физическийжурнал. — 1977. — т.32. — С.443-448.
11. Калашников С.Н. Численно — аналитические методики определения управляющихвоздействий применительно к металлургическим объектам с самоорганизацией [текст]/ С.Н. Калашников Дис. … канд. техн. наук. — Новокузнецк. — 1997. — 135 с.
12. Горбунов К.С. Аналитическое решение задачи о динамическом взаимодействиигазовой струи с несжимаемой жидкостью [текст] / К.С. Горбунов // Математическиеи экономические модели в оперативном управлении производством. — М.: Электрика.- 1998. — № 8. — С.32-33.
13. Марков Б.Л. О внедрении газовой струи в жидкость [текст] / Б.Л.Марков, А.А. Кирсанов // Черная металлургия. — 1970. — № 8. — С.42-47.
14. Абрамович Г.Н. Теория турбулентных струй [текст] / Г.Н. Абрамович.- М.: Гос. изд — во физ. — мат. литературы, 1960. — 715 с.
15. Вулис Л.А. Основы теории газового факела [текст] / Л.А. Вулис, Ш.А.Ершин, Л.П. Ярин. — Л.: Энергия, 1978. — 216с.
16. Вулис Л.А. Аэродинамика факела [текст] / Л.А. Вулис, Л.П. Ярин.- Л.: Энергия, 1978. — 216с.
17. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика [текст] / Г.Н. Абромович.- М.: Наука, 1976. — 888 с.
18. Гиневский А.С. Теория турбулентных струй и следов [текст] / А.С.Гиневский. — М.: Машиностроение, 1969. — 400с.
19. Горбунов К.С. Математическое моделирование процессов тепло — и массопереносав турбулентных газовых струях [текст] / К.С. Горбунов // Математические и экономическиемодели в оперативном управлении производством. — 1997. — № 6. — С.28-29.
20. Сагомонян Н.Я. Проникание [текст] / Н.Я. Сагомонян. — М.: Изд-воМГУ, 1974. — 299 с.
21. Пасконов В.М. Численное моделирование процессов тепло — и массообмена[текст] / В.М. Пасконов, В.И. Полежаев, Л.А. Чудов. — М.: Наука, 1984. — 288 с.
22. Госмен А.Д. Численные методы исследования течения вязкой жидкости[текст] / А.Д. Госмен. — М.: Мир, 1972. — 363с.
23. Роуч П. Вычислительная гидродинамика [текст] / П. Роуч. — М.: Мир,1980. — 411с.