Теорія розмірних зв’язків у виробах машинобудування. Побудова, розрахунок та аналіз розмірних ланцюгів

Теоріярозмірних зв’язків у виробахмашинобудування. Побудова, розрахунок та аналіз розмірних ланцюгів

1. Загальніположення розмірних зв’язків
1.1 Видиповерхонь деталей та зв’язків між ними
Побудова машиниздійснюється шляхом з’єднання деталей. Зафункціями, які виконують різні поверхні деталей у машині, їх можна поділити на4 види: виконавчі поверхні, основні та допоміжні бази і вільні поверхні.
Виконавчіповерхні – це поверхні або їх з’єднання,за допомогою яких машина виконує службове призначення.
У токарноговерстата (рис. 1) – це передній кінецьшпинделя, конус пінолі задньої бабки, поверхні різцетримача. Поверхні 1 і 2(рис. 1) призначені для базуванняпатрона, поверхня 3 – для переднього центра при обробці в центрах, поверхня 4 –для заднього центра, поверхні 5 і 6 визначають положення різця відноснооброблюваної поверхні і безпосередньо передають йому необхідний для обробкирух.
/>
Рис. 1. Видиповерхонь на прикладі токарного верстата
У шпинделя поряд з поверхнями 1–3 виконавчими поверхнями є підшипниковішийки, їх торці, бічні поверхні шліців або шпонкових пазів, за допомогою якихшпиндель виконує своє службове призначення, у зубчастого колеса – отвір, одиніз торців маточини, бічна поверхня шпонкового паза, бічні поверхні зубців.
Основні бази –поверхні деталі, які визначають її положення у виробі.
У вала ступеняредуктора (рис. 2) – це підшипникові шийки 1, 2 і торець 3, у зубчастого колеса– отвір 4, торець 5 і бічна поверхня шпонкового паза, у кришки – циліндричнацентруюча поверхня 7, її торець 6 і поверхня одного з отворів для пропусканняболтів кріплення кришки.
Допоміжні бази –поверхні деталі, які визначають положення приєднуваних до даної деталі всіхінших деталей.
У корпусу – цеотвори під підшипники, у вала – шийка 4, торець 5, шпонкові пази для колеса інапівмуфти, шийка 8 і торець 9.
/>
Рис. 2. Види поверхонь на прикладі вузла редуктора
Вільні поверхні –поверхні деталі, які при роботі в машині не контактують з поверхнями іншихдеталей.
Вільні поверхнідопомогають раніше розглянутим поверхням надати деталі потрібних конструктивнихформ, які вимагаються їх службовим призначенням.
Приклади вільних поверхонь: у корпусі – поверхні 11, 12, поверхня 13кришки, торець 14 вала, поверхня 10 зубчастого колеса і та ін.
Для того щоб виконавчі поверхні машини та її механізми мали можливістьрухатись та займати відносне положення, необхідно з’єднати деталі машин, які їхнесуть, двома типами інших деталей.
До першого типу відносяться всі деталі, які виконують функції ланоккінематичних ланцюгів машини та її механізмів.
До другого типу відносяться деталі, які використовуються для з’єднання та забезпечення відносного положення перших.
/>
Рис. Конструкційнийрозмірний ланцюг: а) схема розмірного виду зв’язку; б) схема розмірного ланцюга
Відповідно прискладанні машини утворюються два види зв’язків між виконавчими поверхнями: кінематичний і розмірний. Розмірний, у свою чергу, поділяється на двапідвиди: перший визначає відстань, другий – повороти поверхонь.
Відстані та повороти виконавчих поверхоньутворюються за допомогою розмірів, які належать цілому ряду деталей.
У загальномувипадку всі незалежні, розташовані по замкненому контуру один за одним розміриприйнято називати розмірними ланцюгами [1]. Приклади розмірних ланцюгів показані на рис. 3–5.

/>
Рис. 4. Технологічний розмірний ланцюг
Для забезпечення точності розмірних зв’язків машинвикористовується теорія розмірних ланцюгів.
Використання теорії розмірних ланцюгів дозволяєзнаходити економічні шляхи вирішення завдань, пов’язаних з досягненням ізбереженням потрібної точності технологічного процесу.
/>
Рис. 5. Вимірювальний розмірний ланцюг
1.2 Основніпоняття та визначення
Розмірнимланцюгом називається сукупність розмірів, що безпосередньо беруть участь урозв’язанні поставленої задачі і утворюють замкнений контур [2].
Лінійні розмірніланцюги позначаються великими літерами українського алфавіту, кутові – літерамигрецького алфавіту. Для спрощення розв’язання розмірних ланцюгів вони зображуються графічно у вигляді розмірнихсхем (рис. 6).
/>
Рис. 6. Розмірніланцюги та їх схеми
Розмірний ланцюгскладається із замикальної ланки та складових.
Замикальна ланка– це ланка розмірного ланцюга, яка є вихідною при формулюванні задачі, абоодержується останньою в результаті розв’язання (в тому числі при виготовленні та вимірюваннях).
Таким чином,замикальна ланка складального розмірного ланцюга – це ланка, яка з’являється врезультаті складання, тобто замикальна ланка технологічного розмірного ланцюга– це ланка, яка безпосередньо в даній операції не забезпечується, а є функцієювсіх складових ланок даного розмірного ланцюга.
На робочих кресленнях розмір замикальної ланки не проставляється,оскільки вона одержується в результаті виконання розмірів, вказаних накресленні.
Складовою ланкоюрозмірного ланцюга називається ланка розмірного ланцюга, із зміною якоїзмінюється замикальна ланка. Складові ланки розмірного ланцюга нумеруютьсяпослідовно в напрямку обертання годинникової стрілки, починаючи з ланки,сусідньої із замикальною.
Складові ланкирозмірного ланцюга поділяються на збільшувальний і зменшувальний.Збільшувальною називається складова ланки розмірного ланцюга, зі збільшеннямякої замикальна ланка збільшується. Зменшувальною ланкою розмірного ланцюганазивається складова ланки, зі збільшенням якої замикальна ланка зменшується.
/>
Рис. 7.Визначення характеру ланок розмірного ланцюга
Рекомендується збільшувальні ланки позначати стрілками над відповідноюрозмірною літерою, спрямованою праворуч, а зменшувальні – стрілками ліворуч(рис. 7, б).
Компенсуючоюланкою розмірного ланцюга є ланка цього розмірного ланцюга, зміною якої прискладанні досягається потрібна точність замикальої ланки. Визначається вона якскладова ланка, але з додаванням індексу К. На розрахункових схемах можезаключатися у прямокутну рамку.
1. Класифікаціярозмірних ланцюгів
Розмірні ланцюги класифікуються за наступними ознаками:
1. За сферою застосування:
· конструкторські(рис. 3);
· технологічні(рис. 4);
· вимірювальні(рис. 5).
2. За місцем увиробі:
· детальні(визначають точність відносного положення поверхонь або осей окремої деталі);
· складальні,визначають точність відносного положення поверхонь або осей деталей, яківходять до складальної одиниці.
За розташуваннямланок:
· лінійні,ланки ланцюга є лінійними розмірами і розташовані на паралельних прямих;
· кутові,ланки ланцюга є кутовими розмірами, відхилення яких можуть задаватись улінійних величинах, віднесених до умовної довжини, або в градусах (рис. 8 а, б);
· плоскі,ланки ланцюга розташовані довільно в одній або кількох паралельних площинах(рис. 8, в);
· просторові,ланки ланцюга розташовані довільно у просторі.
4. За характером ланок:
· скалярні,усі ланки є скалярними величинами;
· векторні,усі ланки є векторними величинами;
· комбіновані,частина складових ланок розмірного ланцюга – векторні величини, інші – скалярнівеличини.
5. За характеромвзаємних зв’язків:
· незалежні,розмірні ланцюги, які не мають спільних ланок;
· паралельнозв’язані, розмірні ланцюги (два чи більше), які мають хоча б одну спільну ланку (рис. 9, а, б);
· послідовнозв’язані, розмірні ланцюги, з якихкожний наступний має одну спільну базу з попереднім (рис. 9, в);
· комбінованозв’язані, розмірні ланцюги, які мають спільні ланки та спільні бази.
Розміри деталей(як і самі деталі) в зібраному виробі взаємозв’язані. Ці взаємозв’язкизображують розмірними зв’язками, які утворюють конструкторські розмірніланцюги.

/>
Рис. 8. Прикладирозмірних ланцюгів: кутових (а, в) і площинного(б)
Конструкторськийрозмірний ланцюг – це ланцюг, який визначає відстань або відносний поворот міжповерхнями або осями поверхонь деталей у виробі.
Конструкторськірозмірні ланцюги можуть бути подетальними та складальними.
Розмірний ланцюг,який визначає точність відносного розташування осей і поверхонь однієї деталі,називається подетальним розмірним ланцюгом.
Розмірний ланцюг, який визначає точність відносного розташування осей іповерхонь декількох деталей у складальній одиниці, називається складальнимрозмірним ланцюгом.
Технологічнийрозмірний ланцюг – розмірний ланцюг, який забезпечує потрібну відстань абовідносний поворот між поверхнями виробу при виконанні операції або рядуоперацій складання, обробки, при налагодженні верстата або при розрахункуміжопераційних розмірів.
Вимірювальнийрозмірний ланцюг – розмірний ланцюг, який виникає при визначенні відстані абовідносного повороту між поверхнями виробу, що виготовляється або вжевиготовлений.
/>
Рис. 9. Прикладирозмірних ланцюгів: а – паралельно зв’язанийрозмірний ланцюг;
б – схемапаралельно зв’язаного розмірного ланцюга; в – схема послідовно зв’язаного розмірного ланцюга
1.4 Задачі, щорозв’язуються за допомогоюрозмірних ланцюгів
За допомогоютеорії розмірних ланцюгів розв’язуютьсятакі конструкторські, технологічні та метрологічні задачі [2]:
1. Встановлення геометричних ікінематичних зв’язків між розмірами деталей,розрахунок номінальних значень, відхилень та допусків розмірів ланцюгів.
2. Розрахунок норм точності та розробка технічнихумов на машини та їх складові частини.
Аналізправильності проставлення розмірів і відхилень на робочих кресленнях деталей.
4. Розрахунокміжопераційних розмірів, припусків і допусків, перерахунок конструкторськихрозмірів на технологічні (вибір варіанта базування).
5. Обгрунтування послідовностітехнологічних операцій при виготовленні та складанні виробів.
6. Обгрунтування і розрахунок необхідноїточності пристроїв.
7. Вибір засобіві методів вимірювань, розрахунок точності вимірювань.
Усі задачі, щорозв’язуються за допомогоюрозмірних ланцюгів, поділяються на два типи: задачі синтезу (пряма, проектна)та задачі аналізу (обернена, перевірна) [3, 4].
Задача синтезу.За заданим номінальним розміром і допуском (відхилення) замикальної ланкипотрібно визначити номінальні розміри, допуски та граничні відхилення всіхскладових ланок розмірного ланцюга. Таку задачу відносять до проектногорозрахунку розмірного ланцюга.
Задача аналізу.За встановленими номінальними розмірами, допусками та граничними відхиленнямискладових ланок визначити (чи перевірити) номінальний розмір, допуск таграничні відхилення замикальної ланки. Таку задачу відносять до перевірногорозрахунку ланцюга.
Основною задачею є проектна, оскільки вона дозволяє вирішувати головнезавдання при конструюванні машини – визначення параметрів складових ланок, щозабезпечують якість вихідної ланки машини чи деталі.
Перевірну задачурозв’язують у процесі аналізу вжеспроектованої конструкції. Потреба в її розв’язанні виникає за необхідностіперевірки правильності раніше виконаних розрахунків (розв’язку прямої задачі)чи прийнятих без розрахунку розмірів чи допусків.

2. Розрахунки розмірних ланцюгів
2.1 Розрахунок розмірних ланцюгів заметодом максимуму-мінімуму
Методмаксимуму-мінімуму базується на припущенні, що на складання надходять деталі зграничними розмірами в такому сполученні, що в розмірному ланцюзі всізбільшувальні ланки будуть мати найбільші граничні розміри, а всі зменшувальні– найменші граничні розміри, чи навпаки, в результаті чого розмір замикальноїланки буде або максимальним, або мінімальним [5].
Імовірність такого випадку дуже мала, внаслідок чого розрахунки за цимметодом призводять до великих запасів точності. Це – недолік цього методу,тобто він не відображає реальну картину, примушує призначати жорсткі допуски,тому може застосовуватись в одиничному та малосерійному виробництвах, длярозмірних ланцюгів невисокої точності, а якщо точність розмірного ланцюгапідвищена, то він повинен мати невелику кількість ланок.
Незважаючи на ці недоліки, метод все ж таки широко застосовуєтьсязавдяки таким його перевагам, як простота, наочність, мала трудомісткістьобчислювальних робіт, повна гарантія від браку через неточність замикальноїланки, відсутність необхідності допускати при розрахунках хоча б невеликийвідсоток ризику.
Розв’язання оберненої задачі методоммаксимуму-мінімуму звичайно виконується у наступній послідовності.
1. Виявлення розмірного ланцюга зкреслень та складання схеми розмірного ланцюга.
2. Визначеннятипу складових ланок.
 На основі схемирозмірного ланцюга та встановлених типів складових ланок складається вихіднерівняння, яке виражає залежність номінального розміру, допуску і граничнихвідхилень замикальної ланки від номінальних розмірів, допусків і граничнихвідхилень складових ланок.Приклад за рис. 10
/>
Рис. 10. Фрагмент механізму (а) і один з йогоскладальних ланцюгів (б)
Визначення номіналу:
АD = (А4 + А5 + А6)–(А1 + А2 +А3 ).
У загальномувидгляді:
/>.                                                             (1)
Зрівняння (1), а також схеми (рис. 10):
/>;                                                      (2)
/>.                                                        (3)4. Визначення допуску.
Для цьогопотрібно встановити різницю між АDmax та АDmin, тобто відняти почленно друге рівняння (3) від першого (2). Тоді будемомати:
/>.                                                      (4)
5. Для визначення граничних відхиленьрозміру замикальної ланки DвD та DнD достатньо з кожного наведеного вище рівняння (2) та (3) відповідно АDmax АDmin відняти почленно позначеннявідповідних номінальних розмірів, врезультаті чого одержимо:
/>;                                                            (5)
/>.                                                            (6)
Граничні відхилення можна обчислити й іншим способом. Попередньо необхідно обчислити для всіх складових ланоккоординати середин полів допусків.
6. Координатою середини поля допускубудь-якої і-ої ланки називається відстань середини поля допуску розміру цієїланки до його номінального значення, яка позначається Dоі і визначається за формулою:
/>.                                                                   (7)
Якщо відомі Dоі та Ті для розміру Аі, тойого граничні відхилення дорівнюють:
Dвi = Dоі + />; Dнi = Dоі – />.                                    (8)
За аналогією:
DвD= DоD + />; DнD = DоD — />.                            (9)
Для визначеннякоординати середини поля допуску замикальної ланки DоD розглянемо рівняння (5).Проведемо заміну DвD, /> /> відповідно на
/>+/>; />і; />,
в результаті чого одержимо:
/> + /> = />
/>.Оскільки
/>,
то
/>.                                                         (10)
поверхнядеталь ланцюг розмір
Примітка: Ці формули виведені для випадку,коли Сі (передаточне відношення) дорівнює ±1. Якщо Сі відрізняється відодиниці, його необхідно враховувати у наведених формулах, наприклад:

/>;                                                                  (4а)
/>;                                                                  (1а)
/>.                                                              (10а)
Для використання методу максимуму-мінімуму необхідно додержуватися умов(4а) і (10а).
Для забезпечення виконання цих умов, а також для прискорення розрахунківрозмірних ланцюгів використовують так звані узгоджуючі ланки (одну абодекілька).
В цьому випадку допуски на граничні відхилення на всі складові ланки(крім узгоджуючих) призначають, виходячи з економічної точності, а допускузгоджуючих ланок визначають за формулою:
Тіу = Ті + rт;                                                            (11)
rт = ТD –ТDр.                                                          (12)Іноді доводиться узгоджувати і номінали:
/>; />;                                                        (13)
rА = АD — АDр,                                                        (14)
де rт і rА – величина узгодження відповідно задопуском і номіналом;
ТDр і АDр – розрахункова величинавідповідно допуску і номіналу замикальної ланки.
Як узгоджуючу ланку звичайно приймають ланку, точна обробка тавимірювання якої не створює труднощів, а розмір відносно великий.
Приклад (рис. 10).

АD = 0-0,1; АDн = 0;
/>;
АD = А4 + А5 + А6 – А1 – А2 – А
Підставимо значення складових ланок:
АDр = 5 + 100 + 5 – 17 – 75 – 17 = 1 мм;
АDр ¹ АDр; 0 ¹ 1;
rА = АD –АDр = 0 – 1 мм.
За узгоджуючувибираємо ланку А2. Тоді:
А2 = А2 – r2 = 75 – (-1) = 76 мм.
Розв’язання прямої задачі методоммаксимуму-мінімуму.
Ця задача розв’язується за допомогою методу пробнихрозрахунків, з яких найбільш поширені:
1) спосіб рівнихдопусків, який застосовується, якщо розміри складових ланок мають один порядок(наприклад, входять в один інтервал діаметрів) і можуть бути виконані зприблизно однаковою економічною точністю.В цьому випадку можна приймати:
ТА1 = ТА2 =… =Тm-1 = ТсерАі.
Тоді:
/>                                                                  (15)
Після призначення допусків на складові ланки перевіряються умовизастосування методу максимуму-мінімуму, визначаються узгоджуючі ланки,узгоджуються номінали та допуски, визначаються середини полів допусків таграничні значення цих полів допусків.
2) спосібдопусків одного квалітету, який застосовують, якщо всі розміри, що складаютьланцюг, можуть бути виконані з допуском одного квалітету і допуски складовихрозмірів залежать від номінального значення.
Потрібний квалітет визначається наступним чином:
1) для інтервалів розмірів визначаютьпараметр і за формулою:
і = 0,45 /> –                                                  (16)
одиниця допускуза держстандартом,
де D – середнє геометричне значення крайніхрозмірів інтервалу за таблицею допусків державного стандарту, в який попадаєрозмір складової ланки.
Параметр і такожможна приймати за 12.5 [2 із табл. 12.5].
2) визначають параметр a за формулою:
/>,                                                               (17)
де n – кількість одиниць допуску, щоміститься в допуску і-го розряду,
/> – сума допусківстандартних деталей;
3) в залежностівід одержаного параметра α за [2, табл. 12.6] визначають потрібний квалітетточності.
Якщо одержанечисло α точно збігається з табличним і відповідає 11–12 квалітетам, то на всі ланкирозмірного ланцюга призначаються допуски по цьому квалітету.
Проте, найчастішеодержаний розрахунком параметр α не збігається точно з табличним. У цьомувипадку приймають найближчий до нього за таблицею. Якщо α приблизновідповідає 11–12 квалітетам і вище, то по цьому квалітету призначають допускина всі складові ланки розмірного ланцюга, крім однієї, яку називаютьузгоджуючою ланкою.
Допуск узгоджуючої ланки дорівнює:
Ту = ТD – />.                                                         (18)
Граничнівідхилення для всіх ланок, крім узгоджуючої, звичайно призначають як дляосновних валів і отворів, що аналогічно посадкам h i H за державним стандартом, абосиметричні у плюс і мінус в залежності від типу поверхонь, до яких відносятьсязгадані ланки-розміри.
Для визначення граничних відхилень узгоджуючої ланки необхіднопопередньо обчислити координату середини поля допуску цієї ланки. Якщоузгоджуюча ланка є збільшуючою, то рівняння (10) можна подати у вигляді:
/>,
звідки
/>.                                                       (19)Якщо узгоджуюча ланка є зменшувальною, то
/>,
звідки
/>.                                                      (20)
За узгоджуючу може бути прийнята будь-яка складова ланки.
Граничні відхилення узгоджуючої ланки дорівнюють:
/>; />.                                                 (21)
Якщо одержане прирозрахунку число a буде відповідати 7–9 квалітету, то требакористуватись методом неповної взаємозамінності, який розраховуєтьсяймовірнісно-статистичним методом.
2.2 Розрахункирозмірних ланцюгів за ймовірнісним методом
Суть методу полягає в тому, що деталі за розмірами, які входять урозмірний ланцюг, обробляються з широкими (економічними) допусками, але такими,що не гарантують 100%-го одержання прийнятих відхилень замикальної ланкирозмірного ланцюга. Допуски в цьому випадку встановлюють із врахуваннямрозсіяння розмірів. При цьому ймовірнісний вихід замикальної ланки за межідопуску звичайно приймається не більше 0,27 % [5].
Переваги ймовірнісного методу:
· більшповне та об’єктивне врахування закономірностей розподілу розмірів деталей ізакономірностей складання похибок складових ланок;
· допускирозраховуються без надлишкових запасів (допуски більші на 30–40 %, а длябагатоланкових – у два рази).
· Недолікиймовірнісного методу:
· відсутністьповної гарантії від браку;
· великатрудомісткість розрахункових робіт;
· точністьта достовірність розрахунків залежить від точності та достовірностістатистичних характеристик розподілу.
Розв’язання оберненої задачіймовірнісно-статистичним методом [7].
В одній з теорем теорії ймовірності доводиться, що коли випадковавеличина представляє собою суму великої кількості взаємно незалежних випадковихдоданків, серед яких немає домінуючих за своєю величиною, то незалежно відтого, яким законам розподілу підкоряються доданки, сума завжди буде матирозподіл, близький до нормального, і тим точніше, чим більша кількістьдоданків.
Похибказамикальної ланки і є такою випадковою величиною, що представляє собою сумувипадкових похибок складових ланок. Тому похибки замикальної ланки підкоряютьсязакону нормального розподілу і тим точніше, чим більша кількість складовихланок розмірного ланцюга. Практично вважають, що при кількості складових ланокрозмірного ланцюга m > 5 похибки замикальної ланкидостатньо близько відповідають закону нормального розподілу (рис. 11) [7],тобто можна записати, що ΔpΔ = ТD = 6σΔ, або в загальному вигляді:
ТD = 2tσΔ, звідки σΔ = ТD/6 = ТD /2t.
З теорії ймовірності відомо, що дисперсія суми випадкових доданківдорівнює сумі дисперсій цих доданків. Тому дисперсія похибок розмірузамикальної ланки дорівнює [7]:
/>
Звідки
σΔ = />                                                             (22)
σi визначається із законів, за якимизмінюються складові ланки.
/>
Рис. 11. Крива нормального розподілу (закон Гаусса)
Для того щоб прирозрахунках похибок замикальної ланки можна було б врахувати будь-який законрозподілу складових ланок, А.Н. Бородачов запропонував ввести коефіцієнт відносногорозсіяння Кі, який характеризує ступінь відміни розподілу похибок і-ої ланкивід нормального розподілу, якому звичайно підкоряються похибки замикальноїланки.
Коефіцієнт Кідорівнює відношенню lі – відносного середньо-квадратичного відхилення похибки і-оїланки:
lі = />,
де lн – відносногосередньоквадратичного відхилення похибок, розподілених за нормальним законом [7]:
lн = />,
тобто

Ki = /> = />.
Але Δi = Ti, ΔН.З =ТΔ = ТН,σн = ΔΔ і ТD = 2tσΔ. Тому остаточно отримуємо:
Кі = />= />= />.                                            (23)
Звідси
/>.
Підставляючиотримане значення σі у рівняння (22), отримаємо:
/>=/>
або оскільки ТD = 2tσΔ:
ТD =/>.                                                           (24)
Зформули (23) випливає, що
/>.                                                               (25)
Підставляючиотримане значення Кі врівняння (24), отримаємо:
/>.

Позначимо /> через />. Тоді:
/>,                                                             (26)
де t залежить від прийнятої ймовірностінаходження похибок будь-якої ланки в полі допуску. При ймовірності Р = 0,9973 t = 3, а відсоток виходу значеньпохибок за межі поля допуску складає 0,27 %. Це означає, що при складанні 0,27% складальних одиниць не будуть складатись за методом взаємозамінності тапотребують додаткової обробки деталей. Цей відсоток об’єктів, що не складаються за методомвзаємозамінності, називається відсотком ризику. Чим менше t, тим більший відсоток ризику.Наприклад, при t = 2 ризик складає 4,55 %. Проте в цьомувипадку можна розширити допуски на складові ланки приблизно у 1,5 разипорівняно з допусками при ризику у 0,27 %.
Залежністьвідсотка ризику від значення t наступна[7]:
Відсоток ризику Р32 10 4,55 1,00 0,27 0,10 0,01
Значення t 1,00 0,65 2,00 2,57 3,00 3,29 3,89
Згідно здержавним стандартом, величина λ′, як і К, називається коефіцієнтомвідносного розсіяння і характеризує закон розподілу похибок розміру ланкирозмірного ланцюга.
Значеннякоефіцієнтів λ′ і К для деяких законів розподілення приймаютьсярівними [7]:
λ′ =1/9, К= 1 – для закону нормальногорозподілу;
λ′ =1/6, К= 1,2 – для закону розподілутрикутника;
λ′ =1/3, К= 1,73 – для закону рівноїймовірності.
Для інших законіврозподілу λ′ можна обчислити за значеннями К, що наводяться втаблицях, складених професором Н.А. Бородачовим, за формулою:
/>.                                                                      (27)
В проектнихумовах, коли закони розподілу складових ланок невідомі, звичайно приймають t = 3, а коефіцієнт λ′ =1/6 або К = 1,2 для всіх складових ланок.
З теоріїймовірностей і математичної статистики відомо, що середнє арифметичне значеннясуми випадкових доданків дорівнює сумі середніх арифметичних доданків. Томусереднє арифметичне похибок замикальної ланки [7]:
/>.                                              (28)
Якщо криварозподілу похибок будь-якої ланки симетрична, то координата середини поля допускуцієї лани збігається з Хі і Dоі = />.
Оскільки похибки замикальної ланки розподілені за симетричним закономрозподілу, то (див. рис. 11):
DоD = />.                                                                (29)
/>
Рис. 12.Характеристики випадкової величини: Аном – номінальний розмір; Аmin – мінімальний розмір; Асер –середній розмір; T – допускрозміру А; ∆OA –координата середини поля допуску розміру А; ∆p – поле розсіяння розміру А; /> – координата центра групуваннярозміру А; E – зміщення центра групуваннявід середини поля допуску
Проте похибки розмірів складових ланок можуть бути розподілені заасиметричними законами, для яких Dо не збігається з Х. Тому дляасиметричних розподілів Н.А. Бородачовзапропонував ввести коефіцієнт відносної асиметрії (рис. 12) [7]:
/>.                                                                (30)
З рівняння (30):
/>.
Підставляючиотримане значення Хі в рівняння (28) і враховуючи, що DоD = />, отримаємо:
/>.                       (31)
В проектнихумовах звичайно αі = 0 для всіх складових ланок.
Оскільки впроектних умовах величина t завжди приймається рівною 3, то користуються формулою (24), а не (26),тобто використовують коефіцієнт Кі замість />.
Іноді длярозширення допусків на розміри складових ланок ймовірнісний методвикористовують і для розмірних ланцюгів з кількістю складових ланок m  також і на допуск замикальноїланки ТD. У зв’язку з цим формула длярозрахунку допуску замикальної ланки набуде вигляду:
/>
або
/>                                                  (32)
Коефіцієнт КD може бути визначений заемпіричною формулою [7]:
/>.                              (33)
У проектнихумовах, коли для всіх складових ланок приймаються однакові значення Кі = 1,2,формула (33) набуде вигляду [7]:
/>.                                                       (34)
Передаточневідношення Сі вводиться для кутових розмірних ланцюгів і для ланцюгів звекторними похибками. За отриманими значеннями КD можна визначити коефіцієнт /> за формулою(27).
Зі збільшенням КD відсоток ризику збільшуєтьсяі набуває таких значень [7]:

КD 1 1,05 1,1 1,17 1,21
Відсоток ризику Р0,27 0,5 1,0 1,5 2,0
Розв’язання задачі синтезу (прямої задачі)ймовірнісно-статистичним методом [7].
Визначення допусків і граничних відхилень на розміри складових ланокпри використанні ймовірнісно-статистичного методу проводиться тими ж методами,що її при застосуванні методу максимуму-мінімуму, тобто способом рівнихдопусків і способом одного квалітету, але є й особливості, пов’язані знеобхідністю враховувати закони розсіяння випадкових величин.
Порядок розрахунку, як правило, наступний:
1. Задаютьсядопустимим ризиком Р та визначають t за[2, табл. 12.8].
2. Визначаютькоефіцієнт Кі та αі за [2,табл.12.4].
Визначають />.
Вибирають відповідний метод призначення допусків на складові ланки.
Якщо прийнятометод рівних допусків, то визначають Тсер за формулою:
/>.                                                              (35)
Призначають допуски на складові ланки та узгоджують їх. Визначають іншіпараметри таким же чином, як і методом максимум-мінімум.
Якщо прийнятометод одного квалітету, то визначають параметри і та а. Параметр а визначається за формулою [7]:
/>.                                                 (36)

В залежності відпараметра a визначається квалітетточності, за яким призначаються допуски на складові ланки і потім узгоджуються.
Як узгоджуючуланку в цьому випадку потрібно вибирати ланку з найбільшим номінальнимрозміром. Якщо параметр a відповідає 11–12 квалітету, то метод неповної взаємозамінності може бутивикористаний, а якщо 7–9-му, то потрібно використовувати метод припасування абометод регулювання.
Допуск і граничнівідхилення узгоджуючої ланки визначаються розрахунком за наступними формулами [7]:
/>                                          (37)
Якщо t = 3, то [7]
/>                                                   (38)
де λ'y і Ку – параметри узгоджуючої ланки, аналогічні λ' і Кі
Для визначеннякоординати середини поля допуску узгоджуючої ланки формули будуть мати вигляд [7]:
а) узгоджуюча ланка – збільшуюча:
/>;                     (39)
б) узгоджуюча ланка – зменшуюча:
/>.                     (40)

Граничні відхилення узгоджуючої ланки визначаються за формулами (21).
2. Розрахункикутових розмірних ланцюгів
Є два види кутових розмірних ланцюгів:
· розмірнийланцюг, ланки якого виражені в градусах;
· розмірнийланцюг, ланки якого виражені у відносних одиницях (ланцюги повороту).
Перші (рис. 13) зображуються графічно і розв’язуються так само, як і лінійні (С = ± 1).
Другі мають особливості:
· номінальнезначення завжди дорівнює нулю, тобто маємо справу лише з відхиленнями чидопусками;
· є базовадовжина, за величиною вона може бути різною, як правило, приймають 100, 150,200, 300, 500 мм;
· складністьвизначення характеру ланок, оскільки відсутня чітко виражена вершина ланок.
/>
Рис. 1 Кутовийрозмірний ланцюг, ланки якого виражені в градусах
Приклад розв’язання за [2].
1. Відхилення всіх ланок β1привести до однієї базової довжини ℓ0.
Найчастіше всьогоза базову довжину приймають базову довжину замикальної ланки. Позначимо базовудовжину замикальної ланки βΔ через ℓ0, а для складових ланок –βі через ℓi. Нехай відхилення β1 задано відношенням величини аі до базовоїдовжини: ℓi:βi = ai/ℓi.
Для приведенняβ1 до базової довжини ℓ0потрібно обчислити передаточне відношення Кп:
/>                                                                     (41)
а потім,підставляючи значення ℓi з формули (41), отримаємо:
/>.                                                                     (42)
2. Після того, яквсі ланки розмірного ланцюга будуть приведені до однієї базової довжини,знаменник ℓ0 відкидається і розрахунки ведуться тільки за відхиленнями,вказаними у чисельнику, які розглядаються як граничні відхилення лінійнихрозмірів, номінальний розмір яких дорівнює нулю.
 Для подальших розрахунків необхідно визначити допуски для всіх ланок:
Tβі = Δвβі –Δнβі                                                     (43)
і координатисередин полів допусків:
/>                                                      (44)
деΔвβі, Δнβі – відповідно верхнє та нижнє граничні відхиленнярозміру ланки βі.
4. Визначається допуск замикальної ланкиТβΔ координата середини поля допуску замикальної ланки і граничнівідхилення за формулами (4)–(6) і (10) або (24), (26), (31), (5) і (6) взалежності від прийнятого методу розрахунку розмірного ланцюга.
5. Отримані значення граничних відхиленьрозміру βΔ в лінійних одиницях потрібно перевести у відносні,вказавши у чисельнику отримане граничне відхилення, а в знаменнику – базову довжину.6. Для визначення координати середини поля допускузамикальної ланки ΔоβΔ треба встановити знаки складових ланок.Оскільки розміри ланок задані не в градусах, а в лінійних відносних одиницях,то для визначення їх знаків потрібно умовно перейти від лінійних одиницьвимірювання кутів до вимірювання в градусах і визначити знаки шляхом збільшеннякутового розміру кожної складової ланки і оцінки впливу цього збільшення на кутзамикальної ланки. Проте в кутових розмірних ланцюгах, що визначаютьпаралельність чи перпендикулярність осей або поверхонь, відсутня чітко вираженавершина кута. Тому для визначення знаків таких ланок треба вибрати вершину ізафіксувати її за схемою розмірного ланцюга.
Наприклад, для силової головки агрегатного верстата (рис. 14) потрібно забезпечити паралельність осі І-І шпинделя напрямним М.Допустиме відхилення від паралельності не повинно перевищувати величини:
/> 
/>
Рис. 14. Силоваголовка агрегатного верстата (а) і визначення знаку передаточного відношенняланок кутового розмірного ланцюγга (б, в)
РозмірβΔ є замикальною ланкою кутового розмірного ланцюга і залежить віддвох кутових розмірів: β1, що визначає допустиме відхилення відпаралельності поверхні К відносно напрямних М і β2, що визначає допустимевідхилення від паралельності осі I-I відносно поверхні К. Длявизначення знаків ланок β1 і β2 виберемо умовно вершину кутів, яківизначають відхилення розглядуваних поверхонь та осей від паралельності,наприклад, яка знаходиться ліворуч від головки. Треба осі і поверхні всіхланок, крім досліджуваної, жорстко закріпити і, збільшуючи кут досліджуваноїланки, визначити за її впливом на кут замикальної ланки, якою вона є,збільшуючою чи зменшуючою. У цьому прикладі обидві ланки β1 і β2 єзбільшуючими, тому координата середини поля допуску замикальної ланки будерівною:
ΔоβΔ= Δоβ1 + Δоβ2.
На рис. 15 [2] показано конструктивну схему (рис. 15, а) і розрахунковісхеми (рис. 15, б–г), що визначають перпендикулярність робочої поверхнівертикально-свердлильного верстата до осі обертання шпинделя (в площинікреслення):
γ1 – перекіс осі шпинделявідносно осі отвору шпиндельної бабки;
γ2 –відхилення від паралельності осі отвору шпиндельної бабки її напрямним;
γ3 – відхилення від перпендикулярностістола напрямним.

/>
Рис. 15.Визначення характеру складових ланок шляхом застосування умовної вершини
Для визначеннязнаків складових ланок на розрахунковій схемі вибирають та фіксують вершинукута (рис. 15, б, точка 0). Далі наносять лінію, щовизначає кутовий розмір γ1, і показують замикальну ланку γΔ.Після цього досліджуваному розміру дають приріст кута Δγ1.
З точки Опроводять лінію Оа, а з точки а – лінію аа, паралельну лінії Оа¢. Із побудови видно, що замикальналанка γΔ зменшується на величину Δγ Отже розмір γ1 повинен бути віднесений догрупи зменшуючих.
Виконавши подібнідії з розмірами γ2 і γ3 (рис. 15, в, г) визначають, що розмір γ2є зменшуючим, а γ3 – збільшуючим. Звідси: С1 = -1,0; С2 = -1,0; С3 = +1,0.Тому координата середини поля допуску замикальної ланки буде рівною:
ΔоγΔ= Δоγ3 – (Δоγ1 + Δоγ2).

2.4 Особливостірозрахунку площинних розмірних ланцюгів
Розрахунокпроводиться за тими ж формулами, що і для лінійних розмірних ланцюгів. Але дляцього треба попередньо привести площинний розмірний ланцюг до лінійного виглядушляхом заміни складових ланок їх проекціями на напрямок, паралельний напрямкузамикальної ланки. У зв’язку з цим схема площинногорозмірного ланцюга (рис. 16) перетвориться в схемулінійного ланцюга.
Проекціїномінальних розмірів, допусків і координат середин полів допусків складовихланок площинного розмірного ланцюга на напрямок, паралельний напрямкузамикальної ланки, позначимо через />, />, />. Величини цих проекцій відповіднобудуть рівні:
/>; />; />
де αі – кутміж напрямком відповідної ланки Аі і замикальної ланки АD.
/>
Рис. 16. Плоскийрозмірний ланцюг з непаралельними ланками

При прийнятихпозначеннях формули для розрахунку розмірного ланцюга на максимум-мінімумбудуть мати вигляд [5]:
/>                                       (45)
/>                                    (46)
/>                                                    (46а)
cosi = ci.При розрахунку розмірного ланцюга за ймовірнісним методом:
/>                         (47)
/>                                              (48)
або при t = 3:
/>                                                        (49)
2.5 Розрахункирозмірного ланцюга з векторними похибками
Векторні похибки виникають внаслідок радіального биття зовнішньоїповерхні відносно внутрішньої у деталей типу втулок і радіального биття однієїповерхні відносно іншої у ступінчастих валів. В результаті радіального биттявідбувається зміщення осі однієї поверхні відносно іншої на величину, щодорівнює половині радіального биття.
На рис. 17 наведений приклад складальногорозмірного ланцюга. Який визначає радіальне биття конуса шпинделя верстата.
/>
Рис. 17. Визначення передаточних відношень ланок розмірного ланцюга
Для вала на двохопорах радіальне биття будь-якої його поверхні треба розглядати як результатбиття вала відносно кожної опори. Так, у цьому випадку радіальне биття поверхніконічного отвору шпинделя (рис. 17, а) складається з радіального биття цієїповерхні відносно передньої опори шпинделя, вираженого розмірним ланцюгом А, івідносно задньої опори шпинделя, вираженого розмірним ланцюгом Б. В цихрозмірних ланцюгах А1 та Б1 – ексцентриситети поверхні конічного отвору таопорних шийок вала, А2 і Б2 – ексцентриситети опорних шийок шпинделя з біговимидоріжками, А3 і Б3 – ексцентриситети бігових доріжок внутрішніх і зовнішніхкілець підшипників.
Передаточнівідношення СА1 та СБ1 дорівнюють одиниці. Значення ж похибок А2, А3 та Б2, Б3залежать від перерізу вала, в якому розглядається радіальне биття якої-небудьйого поверхні відносно опор. Якщо припустити, що в задній опорі незбіганняопорної шийки вала з віссю отвору дорівнює нулю, а в передній – а, тонезбігання осі вала з віссю його обертання на передньому кінці буде дорівнюватиb (рис. 17, б). Із подібностітрикутників випливає, що биття переднього кінця вала збільшується в q1 разів (рис. 17, б):
/>
Навпаки, биттявала тільки в заданій опорі передається на передній кінець зменшеним у q2 разів (рис. 17, б):
/>.
Аналогічно буде впливати власне биття підшипників передньої та задньоїопор.
Таким чином, передаточні відношення рівні:
/>; />.                                         (50)
Отже, при визначенні впливу векторних похибок на величину допускузамикальної ланки потрібно множити їх на передаточне відношення, якевизначається для кожного конкретного випадку з геометричних міркувань.
Оскільки векторніпохибки є випадковими величинами, які при складанні виробу можуть набуватибудь-якого числового значення в межах ±δχ/2, то розрахунок розмірноголанцюга з векторними похибками проводиться за ймовірнісним методом. Якщорозмірний ланцюг складається з ланок зі скалярними і векторними похибками, топідсумовування скалярних і векторних похибок потрібно проводити окремо. Дляцього випадку допуск замикальної ланки [7] дорівнює:

/>                             (51)
або при t = 3
/>,                                   (52)
де nx – кількість ланок із векторними похибками;
Кхі– приведений коефіцієнт відносногорозсіяння.
Якщо розмірний ланцюг складається виключно з ланок з векторнимипохибками, то в цьому випадку одна з векторних похибок умовно приймається заскалярну. Для цього її вектор умовно суміщають з віссю, що збігається знапрямком замикальної ланки і закріплюється в цьому положенні. Всі інші векторипроектуються на цей напрямок. За скалярну величину необхідно приймати ту, якамає найбільший за величиною добуток (складових К, С і Т).
Для цього випадкудопуск замикальної ланкирівний [7]:
/>                                     (53)
В проектнихумовах, коли закони розподілу похибок складових ланок невідомі, звичайноприймають t = 3; lі¢= 1/6; l¢х= 1/15; Кі = 1,2; Кх2 =0,5–0,65. Якщо кількість ланокрозмірного ланцюга m ³ 5, то KΔ = 1 і />= 1/9. При кількості складовихланок m ³ 4 К визначається за формулою(33) або (34), а λΔ' – за формулою (27). При цьому вформулах (33) і (34) замість Кх потрібно підставляти Кі = 1,2.
Коли розмірнийланцюг складається тільки з ланок з векторними похибками, то потрібно приймати KΔ = 0,87, що відповідає ризикуq = 0,27 %.
2.6 Розрахунокрозмірних ланцюгів з ланками-зазорами
/>
Рис. 18. Схемаскладального з’єднання з розмірним ланцюгом
В складальнихрозмірних ланцюгах зустрічаються ланки, створені зазорами в з’єднаннях типу вал-отвір. Прикладомтакої ланки-зазору може бути сполучення гвинта з кріпильним отвором вскладальному з`єднанні (рис. 18). При складанні такого з’єднання зазор між гвинтом і отворомможе бути вибраним частково або повністю в будь-якому напрямку. В результатіцього вісь отвору зміститься відносно осі гвинта. Ці осі зв’язані розмірами Б1і Б3 з деталями 1 і 2 складального з’єднання. Тому зміщення осі отвору будевпливати певним чином на допуск замикальної ланки.
В залежності від конструкції виробу зазори в сполученнях типу вал–отвірможуть під впливом діючих сил вибиратись повністю тільки в один бік або (вреверсивних механізмах) вибиратися повністю в той чи інший бік, а завідсутності таких сил вони в процесі складання можуть вибиратись частково чиповністю в довільному напрямку.
Розглянемо випадок, коли зазор може бути вибраний при складаннічастково чи повністю в будь-якому напрямку.
Номінальний розмір ланки-зазору і координата середини поля допускудорівнюють нулю. Величина зміщення однієї осі відносно іншої в межах зазору євипадковою величиною. Тому розрахунок розмірного ланцюга з ланками-зазорамипотрібно проводити за ймовірнісним методом.
Похибкаланки-зазора складається з двох складових: випадкової і систематичної.Випадкова складова dz залежить від допусків охоплюючого і охоплюваного розмірів деталей іобчислюється за формулою[7]:
/>.                                       (54)
Систематичнаскладова похибки ланки-зазору Dz залежить від номінальних розмірів охоплюючої та охоплюваноїдеталей, координат середини полів їх допусків і визначаються за формулою [7]:
/>.                    (55)
В проектнихумовах aa = ab = az = 0. Тоді формула (55) буде мати вигляд:
/>.                                              (56)
В формулах(54)–(56) індекс a відноситься до отвору, а індекс b – до валу. Коефіцієнт ½ введений в формулах (54)–(56) тому, щозміщення осі отвору відносно осі вала дорівнює половині діаметрального зазоручи радіальному зазору.
Якщо в лінійномурозмірному ланцюзі складовими ланками є також ланки-зазори, то при визначеннідопуску замикальної ланки розмірного ланцюга допуски лінійних розмірів іпохибки ланок-зазорів підсумовуються окремо. При цьому для одержання допускузамикальної ланки з деяким запасом як похибки ланки-зазору приймають максимальне значеннярадіального зазору [7]:
/>.                                                             (57)
Допуск замикальної ланки розмірного ланцюга, що містить ланки-зазори,дорівнює:
/>                                    (58)
де Kzi – приведений коефіцієнт відносногорозсіяння для ланки-зазора.
В проектнихумовах Кz = 0,8÷0,86. KΔ обчислюється за формулою (34).
Якщо ланка-зазор є замикальною ланкою, то прирозрахунках необхідно приймати:
/>.                                                            (59)Приклад
Для складальногоз’єднання (рис. 18) потрібно визначити номінальнийрозмір, допуск і граничні відхилення замикальної ланки БΔ.
Дано: Б1 = 50±0,1 мм; Б3 =60±0,1 мм; діаметр стрижнягвинта db =/>мм; Tb = 0,2 мм; діаметр отвору da = /> мм; Db = -0,2 мм; Тa = 0,1 мм; Da = 0,15 мм.
Зі схемирозмірного ланцюга випливає, що розмір Б3 є збільшуючою ланкою, а Б1 –зменшуючою.Номінальний розмір замикальної ланки:
зΔ = з3 – з1 =60 –50= 10 мм.
Оскількикоординати середин полів допусків дорівнюють нулю, то і координати серединиполя допуску замикальної ланки ΔоΔ = 0.
Для визначення допуску замикальної ланки розмірного ланцюга обчислимопопередньо систематичну і випадкову складові похибки ланки-зазору за формулами(54) і (55). Потім за формулою (57)знаходимо:
/>.
Приймемо Ка = Кb = 1,2. Коефіцієнт Кδz обчислимо за формулою (34):
/>;
/> мм;
/> мм.
Допускзамикальної ланки ТD визначається за формулою (58). Коефіцієнт КD обчислимо за формулою (34):
/>.
Приймемо Кz = 0,8. Тоді:
/> мм.
Розмірзамикальної ланки зΔ = 10±0,18 мм.
Якщо зазор Z вибирається повністю в одинякий-небудь бік, то розмірний ланцюг складається так, щоб зазор не впливав надопуск замикальної ланки, і тоді його розрахунок проводиться за формулами дляпростих розмірів.
Якщо зазор вибирається повністю то в один, то в інший бік (реверсивнімеханізми), тоді складаються дві схеми розмірного ланцюга, на одній з якихзазор показаний вибраним в один бік, а на другій – у протилежний. У цих схемахзазор не фігурує, а складовими ланками є радіуси охоплюючої та охоплюваноїдеталей, допуски на які дорівнюють половині допусків на діаметральні розміри.За двома схемами розраховують два розмірні ланцюги. Остаточно результатирозрахунку беруться для найгіршого випадку, тобто найбільше верхнє відхиленнябереться з результатів розрахунку за однією схемою, а найменше нижнє граничневідхилення – з результатів розрахунку за другою схемою.
2.7 Особливостірозрахунку взаємозв’язаних розмірних ланцюгів
Паралельно зв’язані розмірні ланцюги можна поділитина три групи:
1)  розмірні ланцюги з однією спільноюланкою, що є в одному ланцюгу замикальною, а в іншому – складовою (рис. 19, а);
2)  розмірні ланцюги з декількома спільнимиланками, що є складовими як для одного, так і для другого розмірного ланцюга(рис. 19, б);
3)  розмірні ланцюги з декількомаспільними ланками, одна з яких в одному ланцюгу є замикальною, а в іншому –складовою (рис. 19, в).
У першому випадкупорядок розрахунку розмірних ланцюгів не має значення. У другому в першу чергурозраховують більш точний розмірний ланцюг, тобто той, у якого середнє значеннядопуску замикальної ланки, що припадає на одну ланку, має менше числовезначення. Одержані при розв’язкуцього ланцюга допустимі відхилення спільних складових ланок автоматичнопереходять до другого (менш точного) розмірного ланцюга.
При розрахунку розмірних ланцюгів третьої групи насамперед розраховуютьтой ланцюг, у якого спільна ланка є замикальною. При цьому при розрахункудругого ланцюга спільні ланки приймають з відхиленнями, одержаними для них прирозрахунку першого розмірного ланцюга.
/>
Рис. 19. Видипаралельно зв’язаних розмірних ланцюгів: а – з однією спільною ланкою; б, в – з декількома спільними ланками
При встановленні порядку розрахунку комбіновано зв’язаних розмірнихланцюгів у кожному випадку підходять творчо, керуючись тими ж міркуваннями, щой при розрахунку паралельно зв`язаних розмірних ланцюгів.

3. Методи досягнення точностізамикальної ланки розмірного ланцюга
3.1 Метод повноївзаємозамінності
При цьому методідеталі з’єднуються при складанні без пригінки, регулювання та підбору. Прибудь-якому сполученні при складанні розмірів деталей, виготовлених у межахрозрахункових допусків, автоматично забезпечується потрібна точністьзамикальної ланки. Розрахунок розмірного ланцюга проводять методоммаксимуму-мінімуму.Переваги: простотата економічність складання; можливість організації потокового складання;можливість широкого кооперування заводів; спрощена система виготовленнязапасних частин та постачання ними споживачів, відбірковий контроль.Недоліки: допускискладових ланок одержуються меншим (за інших різних умов), при всіх іншихметодах, що може виявитися неекономічним. Сфера застосування: одиничнеі масове виробництво при значній величині допуску замикальної ланки і невеликійкількості складових ланок розмірного ланцюга (до 5 ланок) і для багатоланковихрозмірних ланцюгів при значній величині допуску на замикальну ланку (8–11квалітет).
3.2 Методнеповної взаємозамінності
При цьому методі деталі з’днуються при складанні без пригінки, регулювання,підбору, при цьому у невеликої (заздалегідь прийнятої) кількості виробівзначення замикальних ланок можуть вийти за встановлені межі. Розрахунокрозмірного ланцюга проводиться ймовірнісним методом.Переваги: те ж, що й у методуповної взаємозамінності плюс економічність виготовлення деталей за рахунокрозширення полів допусків (порівняно з методом повної взаємозамінності).Недоліки: можливі,хоч і малоймовірні, додаткові затрати на заміну чи підгонку деяких тих виробів,у яких значення замикальної ланки вийшли за встановлені межі, потрібний 100 %-йконтроль складених виробів.Сфера застосування: серійнеі масове виробництво – при високій точності замикальної ланки (10 квалітет) івідносно великій кількості ланок (11–12 квалітети).
3.3 Метод груповоївзаємозамінності
Метод полягає втому, що при конструюванні виробу потрібна точність замикальної ланкизабезпечується за методом повної взаємозамінності, але внаслідок труднощіввиконання отриманих розрахунком допусків на розміри складових ланок, які можутьвиходити за межи 7-го квалітету, вони замінюються виробничими чи технологічнимидопусками, які перевищують розрахункові конструкторські допуски в декількаразів. Для забезпечення потрібної точності замикальної ланки безпосередньо прискладанні проводять сортування сполучуваних деталей на групи за їх дійснимирозмірами, а потім беруть сполучувані деталі з тих груп, в результаті складанняяких отримується допуск замикальної ланки, рівний допуску, встановленомуконструктором, тобто забезпечується потрібна точність складального з’єднання.
Сортування деталей за розмірами на групи виявляється можливим тому, щодійсні розміри деталей є випадковими величинами і мають розсіяння своїх значеньу межах допуску. Складання за методом групової взаємозамінності носить назвуселективного складання.
Метод групової взаємозамінності має обмежене застосування івикористовується головним чином для розмірних ланцюгів, що мають три складовіланки, для складальних з’єднань, які в процесі експлуатації виробу непіддаються розкладанню, а замінюються комплексно, наприклад, плунжерні пари,підшипники кочення тощо.
При розрахунку допусків і граничних відхилень на розміри складовихланок розмірного ланцюга, точність замикальної ланки якого забезпечується заметодом групової взаємозамінності, виходять з формул (4), (10):
/>.                                                                   (60)
Розглянемо випадок, коли розмірний ланцюг має дві складові ланки івихідне рівняння має вигляд [7]:
/>.
Для того щобнаведені вище умови були виконані, треба призначити допуски на /> і /> так, щоб /> і />. Потім потрібнопідібрати такі значення /> і />, щоб виконувалась умова:
/>
Граничнівідхилення /> і /> визначаються за формулами:
/>/>;                                                          (61)
/>/>.                                                         (61)
На цьому закінчується конструкторський розрахунок розмірного ланцюга.
Оскільки отриманіза розрахунком допуски /> і /> є важковиконуваними у виробничихумовах, то їх потрібно збільшити в n разів для того, щоб отримати виробничі легковиконуванідопуски. При цьому треба збільшити /> і /> обов’язково в одне і те ж число разів,тобто виконати такі умови:
/> />,
де /> і /> – виробничі допуски.
У скільки разів збільшені конструкторські допуски на складові ланки, встільки ж разів збільшиться і допуск замикальної ланки, тобто виробничий допускзамикальної ланки буде дорівнювати:
/>.
Кількість груп,на які потрібно розсортовувати готові деталі, також буде дорівнювати n і визначається за формулою:
/>.                                                         (62)
Граничнівідхилення /> і/> длякожної групи визначаються за такими правилами:
а) для першоїгрупи граничні відхилення /> і /> приймаються рівними розрахунковимзначенням, тобто
/>; />; />; />;
б) для наступнихгруп до граничних відхилень попередніх груп додаються розрахунковіконструкторські допуски /> і /> в залежності від того, для якоїланки (збільшуючої чи зменшуючої) визначається граничне відхилення, тобто длякожної групи граничні відхилення розмірів /> і /> визначаються за формуламинаведеними в табл. 1.Таблиця1
Формули длярозрахунку відхилень розмірів складових ланок при досягненні точності заметодом групової взаємозамінності
№
групи
/>
/>
/>
/>
/>
/> 1
/>
/>
/>
/> 2
/>
/>
/>
/> n
/>
/>
/>
/>
Для перевірки правильності обчислення граничних відхилень по групахслужать формули:
/>
/>
/>
Аналогічнорозв’язуються задачі для розмірних ланцюгів, які складаються з трьох і більшескладових ланок.
3.4 Методприпасування
При цьому методі потрібна точність замикальної ланки досягається прискладанні за рахунок припасування раніше наміченої деталі (компенсатора), наяку при механічній обробці (під складання) встановлюють визначений припуск.Переваги: наскладові ланки можуть бути встановлені економічно доцільні допуски.Недоліки: значнеподорожчання складання і збільшення його строків; роботи важко нормуються імеханізуються, ускладнення планування виробництва; ускладнення постачаннязапасними частинами.Сфера застосування: одиничнеі малосерійне виробництво; багатоланкові розмірні ланцюги іззамикальною ланкою високої точності; досягнення збігання центрів передньої тазадньої бабок деяких токарних верстатів у вертикальній площині, забезпеченняперпендикулярності стола вертикально-свердлильного верстата до шпинделя та ін.
Розрахунок розмірного ланцюга при використанні методу припасуванняздійснюється як за методом максимуму-мінімуму, так і за ймовірнісним методом, ізводиться до наступного.
На всі ланкирозмірного ланцюга, включаючи і компенсатор, призначаються економічні допуски.Потім визначається похибка замикаючої ланки за формулами (4), (24), (26) взалежності від прийнятого методу розрахунку розмірного ланцюга. Отриманезначення похибки T'Δ повинно перевищуватипотрібне значення ТΔ. Різниця між Т'Δ і ТΔ дорівнює величиніпотрібної компенсації похибки замикальної ланки [7]:
δk = T'Δ – TΔ.                                                          (63)
Але оскількикомпенсація проводиться шляхом додаткової обробки компенсатора при складанні,то потрібно врахувати похибку методу компенсації δм.к.
Величина δм.к залежить від прийнятого методудодаткової обробки компенсатора (шабріння, точіння, шліфування, фрезеруваннятощо) і не повинна перевищувати значення ТΔ, тобто:
δм.к £ ТΔ.                                                                (64)

Тому остаточно [7]:
δk = T'Δ – TΔ + δм.к..                                              (65)
Далі на всіскладові ланки, включаючи компенсатор, призначають граничні відхилення розміріві визначають координати середини полів допусків цих ланок Δоі Потім заформулами (10) чи (31) визначають координату середини поля розсіяннязамикальної ланки Δо' Звичайно Δо'Δ ¹ ΔoD. У цьому випадку визначаєтьсявеличина потрібної компенсації координати середини поля розсіяння похибкизамикальної ланки [7]:
/>.                                                            (66)
Знак плюсставиться у тому випадку, коли компенсатор є збільшуючою, а знак мінус – зменшуючою ланкою.
Граничні значення величини потрібної компенсації розміру замикальноїланки будуть дорівнювати:
/>/>.                                                       (67)
Якщо Δвk > 0, то це означає, що при складаннітреба збільшити прийняте значення розміру компенсатора на цю величину. Оскількикомпенсатор нерухомий, то таке збільшення здійснити не можливо. Тому длявиключення можливості появи такого випадку на складанні потрібно заздалегідьзмінити номінальний розмір компенсатора і на його робочому кресленні вказатиновий розмір A'k [7]:

Ak' = Ak + Δвk.                                                       (68)
Наприклад,розмір компенсатора був попередньо встановлений рівний 2-0,1 мм. За розрахунком отримано Δвk = +0,5 мм і Δнk =–0,2 мм. Тому остаточно розмір компенсатора рівний:
Ak' = (2 + 0,5) – 0,1 = 2,5 – 0,1 мм.
Якщо Δвk
3.5 Метод регулювання
При цьому методі потрібна точність замикальної ланки досягається прискладанні за рахунок зміни розміру компенсуючої ланки без зняття шаруматеріалу. Зміна розміру при складанні забезпечується або спеціальнимиконструкціями компенсаторів або підбором змінних деталей. Розрахунокпроводиться методом максимуму-мінімуму або ймовірнісним методом.Переваги: на складові ланкипризначаються економічно доцільні допуски; можливість регулювання розмірузамикальної ланки не тільки при складанні, а й під час експлуатації (длякомпенсації спрацювання); можливість забезпечення (в деяких випадках)автоматичного регулювання точності.Недоліки: Можливе ускладненняконструкції виробу; збільшення (в деяких випадках) кількості деталей урозмірному ланцюгу; ускладнення складання через необхідність регулювання тавимірювань.Сфера застосування: усі типивиробництва, особливо для ланцюгів з високою точністю; забезпечення малихосьових зміщень обертових деталей (шпинделів верстатів, черв’яків, валів іззубчастими колесами), мінімального зазора між опорами і шийками шпинделів прироботі верстата тощо.
Регулюваннянабором прокладок [7]
Якщо регулюваннявиконується набором прокладок однакової товщини, то величина потрібноїкомпенсації розраховується за формулами (65)–(67). При цьому номінальний розміркомпенсатора приймається рівним нулю і допуск на нього не призначається, алевраховується черезδм.к у формулі (65).
Якщо в результатірозрахунків за формулами (67) вийде, що Δвk >0, а Δнk , /> чи />, /> (в залежності від типуланки) визначаються за формулами:
/>                                                              (69)
/>                                                               (70)
Змінюючи значенняАі чи Δoі за формулами (69) чи (70),ми тим самим зміщуємо розрахункову величину координати середини поля розсіянняпохибки замикальної ланки Δ'оΔ на величину потрібної Δнк і такимчином виключаємо можливість появи на складанні від`ємної величини потрібноїкомпенсації розміру замикальної ланки, а компенсацію зводимо до зміни величиниδk за допомогою підборупрокладок. Товщина однієї прокладки:
S = TΔ.                                                                     (71)
Потрібна кількість прокладок:
/>.                                                                      (72)
Якщо кількістьпрокладок виходить великою, то їх роблять різної товщини. Товщина першоїпрокладки приймається рівною S1 = TΔ, а товщина наступних – Sі = 2Si-1, тобто S1 = TΔ; S2 = 2S1; S3 = 2S2.
Товщина наступної прокладки дорівнює:
/>.(73)
Регулювання зарахунок ланки-зазору [7]
Як компенсаторможе бути використана ланка-зазор, якщо вона входить в складальний розмірнийланцюг як складова ланка. Часто з цією метою використовують зазор у з’єднанні гвинт (чи болт) – кріпильний отвір.
Розрахунокрозмірного ланцюга аналогічний попередньому. На всі ланки розмірного ланцюга,виключаючи зазор-компенсатор,призначаються економічні допуски і граничні відхилення на розсуд конструктора.Потім визначаються значення TΔ' і Δ'oΔ за формулами (24) і (31). Далі за формулами (65) і (66)обчислюються δk і Δok, а за формулами (67) визначаютьсяΔвк і Δнк. Для кращого використаннякомпенсуючої можливості зазору потрібне виконання умови: Δ'оΔ = ΔоΔ.
Якщо Δнк
Потімобчислюється випадкова складова δz ланки-зазору за формулою (56). Мінімальне значення зазору Zmin визначається за формулою (59) іхарактеризує компенсуючу можливість зазору-компенсатора. Потрібно, щобвиконувалась умова:
/>.                                                                     (74)

Якщо ця умовавиконується, то зазор може повністю компенсувати похибку замикальної ланки.Якщо ця умова не виконується, то потрібно збільшити систематичну складовуΔz похибки ланки-зазору зарахунок зміни граничних відхилень розміру охоплюючої деталі (отвору) абозбільшення номінального розміру діаметра отвору.

4. Виявлення розмірних ланцюгів іпорядок їх розрахунку
4.1 Знаходженнязамикальної ланки, визначення допуску на її розмір, виявлення складових ланокрозмірного ланцюга
Найбільшвідповідальним етапом при конструюванні нових машин і механізмів є етапзнаходження замикальної ланки (вихідної ланки), визначення допуску на розмірцієї ланки і виявлення складових ланок розмірного ланцюга. При цьому кожнийрозмірний ланцюг може вирішувати тільки одну задачу, яка повинна бутипопередньо встановлена і чітко сформульована. Проте, будь-яка задача, щовирішується за допомогою розмірного ланцюга, зводиться, по суті, до визначенняточності даного складального з’єднання.
Вимоги доточності, які має задовольняти складальне з’єднання чи машина в цілому, можна поділити на дві групи:
1. Точність взаємного розташуванняокремих деталей чи складальних одиниць, що забезпечують належну роботу виробупри його експлуатації.
2. Точністьвзаємного розташування деталей чи складальних одиниць, що забезпечуютьможливість складання виробу (наприклад, точність розташування валів, щоз’єднуються муфтою, зазори та ін.).
Ці вимоги доточності складального з’єднання визначаються допускомна розмір замикальної ланки складального розмірного ланцюга, за допомогою якоговирішується поставлена задача.
Замикальною ланкою складального розмірного ланцюга може бути зазор чилінійний розмір між поверхнями чи осями двох деталей або кутовий розмір, щовизначає відносне положення поверхні чи осі однієї деталі складальної одиницівідносно поверхні чи осі іншої деталі (складальної одиниці).
Замикальні ланки і допуски на них в ряді випадків встановлюютьсявідповідними стандартами, наприклад, на зубчасті передачі, металорізальніверстати та інші вироби. В інших випадках замикальні ланки визначаються з умовексплуатації виробу чи умов можливості його складання, а допуски на замикальніланки встановлюються на основі досвіду експлуатації даного чи аналогічноговиробу, чи шляхом розрахунків і спеціально поставлених експериментів.
Після визначення замикальної ланки складального розмірного ланцюгавиявляються її складові ланки. Виявлення складових ланок починається із зображенняна складальному кресленні замикальної ланки. Потім на кресленні знаходятьприлеглу до нього зліва деталь, розмір якої безпосередньо впливає на розмірзамикальної ланки. Далі знаходять розмір другої деталі, пов’язаної з розміромпершої деталі, який також впливає на точність розміру замикальної ланки. Потімпереходять до наступної деталі, сполученої з другою, і так послідовно виявляютьдеталі складального з’єднання, сполучені одна з одною,розміри яких безпосередньо впливають на розмір замикальної ланки. Останній зцих розмірів повинен примикати до розміру замикальної ланки з другого боку,тобто справа. Всі виявлені складові ланки разом із замикальною ланкою повинністворювати замкнений контур.
В число складових ланок необхідно включити тільки ті розміри, якібезпосередньо впливають на точність замикальної ланки. Це означає, що до складуданого розмірного ланцюга від кожної деталі може входити тільки один розмір.
У готових виробів для даного підприємства (підшипників кочення, муфт,електродвигунів тощо) до складу розмірного ланцюга включається кінцевий розмір,що охоплює декілька деталей, наприклад, монтажна висота конічного роликовогопідшипника та ін.
Процес виявленняскладових ланок та розрахунок розмірноголанцюга розглянуто на прикладі конічно-циліндричного редуктора (п. 4.4).

4.2 Порядокрозрахунку розмірних ланцюгів
Розрахунокскладальних розмірних ланцюгів при розв’язанні прямої задачі складається з наступних етапів [8].
1. Виявляється замикальна ланка і визначаються їїномінальний розмір, допуск і координата середини поля допуску.
2. Виявляються складові ланки і визначаються заробочими кресленнями їх номінальні розміри. Проводиться перевірка правильностіустановлення номінальних розмірів за формулою (1).
Якщо у виробі декілька розмірнихланцюгів, пов’язаних один з одним, тоскладається таблиця із вказанням для кожного ланцюга середнього значенняномінальних розмірів і середнього значення допуску на складові ланки.
4. За середнім значенням допуску на складові ланкиі за величиною допуску на замикальну ланку вибирається метод досягненняточності замикальної ланки і встановлюється почерговість розрахунку розмірноголанцюга.
Подальший порядок розрахунку розмірного ланцюга залежить від вибраногометоду досягнення точності замикальної ланки.
При методі повноївзаємозамінності треба дотримуватись наступного порядку розрахунку:
1. Вибирається спосіб визначення допусків наскладові ланки. При виборі способу рівних допусків на всі складові ланкирозмірного ланцюга призначаються економічні допуски, граничні відхилення іобчислюються координати середин полів допусків для всіх складових ланок.
2. Проводиться перевірка правильностіпризначення допусків і прийнятих координат середин полів допусків на складовіланки за формулами (4) і (10). У випадку необхідності вносять корективи іпроводять повторну перевірку ТD і ΔoΔ.
У випадку вибору способу єдиного квалітету для визначення допусків наскладові ланки обчислюють число одиниць допуску для всіх складових ланокрозмірного ланцюга за формулою (17) і за числом а визначають квалітет. За цимквалітетом призначають допуски і граничні відхилення на всі складові ланки,крім однієї, вибраної як узгоджуючої ланки.
Для узгоджуючоїланки визначають допуск і граничні відхилення за формулами (18)–(21).
При методінеповної взаємозамінності потрібно дотримуватись наступного порядку розрахунку:
1. Встановлюється відсоток ризику івеличина t, призначаються коефіцієнтивідносного розсіяння λi' або Кі і коефіцієнти αi відносної асиметрії для всіхскладових ланок.
2. Вибирається спосіб визначеннядопусків на складові ланки розмірного ланцюга.
При виборіспособу рівних допусків проводиться перевірка правильності призначення допусківі граничних відхилень за формулами (24), (26), (31). Якщо потрібно, то вносятьсякорективи і проводиться повторна перевірка отриманих значень ТΔ і ΔoΔ.
4. При виборі способу єдиного квалітетувизначається число одиниць допуску за формулою (36). Як узгоджуюча ланкавибирається ланка з найбільшим номінальним розміром.
5. Визначається допуск і граничні відхилення наузгоджуючу ланку за формулами (37)–(40), (21).
При методігрупової взаємозамінності потрібно дотримуватись наступного порядку розрахунку:
1. Встановлюються конструкторськідопуски на всі складові ланки за методом повної взаємозамінності з виконаннямумов (4), (10) і (60).
2. Визначаються конструкторські граничнівідхилення для збільшуючих і зменшуючих ланок розмірного ланцюга.
Встановлюються яквиробничі допуски на всі ланки розмірного ланцюга шляхом збільшення в одне йтеж число n разів конструкторськихдопусків, так і кількість груп сортування деталей.
4. Визначають граничні відхилення длякожної групи окремо для збільшуючих і зменшуючих ланок за схемою, наведено втабл. 1.
При методіприпасування і регулювання потрібно дотримуватись наступного порядку розрахунку:
1. Вибирається компенсуюча ланка і типкомпенсатора: рухомий чи нерухомий.
2. Призначаються економічні допуски і встановлюються граничнівідхилення на всі складові ланки, що включають компенсуючу ланку при методі припасуванняі виключають її при методі регулювання.
 Визначається величина потрібної компенсації похибок замикальної ланкирозмірного ланцюга за формулою (65).
4. Визначається величина потрібноїкомпенсації координати середини поля розсіяння похибок замикальної ланки Δoк за формулою (66). Обчислюютьсяграничні значення величини потрібної компенсації розміру замикальної ланки заформулою (67).
5. На основі результатів обчислень,отриманих за формулою (67), уточнюється номінальний розмір нерухомого компенсатораза формулою (68) при використанні методу припасування. При використанні методурегулювання за допомогою набору прокладок рівняння Δ'оΔ = ΔоΔ забезпечується шляхом зміниномінального розміру чи координати середини поля допуску якої-небудь складовоїланки за формулами (68), (70). Число прокладок визначається за формулою (72).
6. При використанні як компенсатора зазору міжгвинтом і кріпильним отвором компенсувальна спроможність зазору визначається заформулою (59), і у випадку необхідності вносяться зміни в розмір отвору.
Порядок розв’язання оберненої задачі
При розв’язанніоберненої задачі доводитися виконувати теоретичні та виробничі розрахунки.
Теоретичнірозрахунки використовуються технологами-складальниками при впровадженні увиробництво нових виробів з метою встановлення методів складання.
Виробничірозрахунки виконуються в умовах, коли виріб вже знаходиться у виробництві, імета їх полягає в перевірці правильності призначення допусків на складовіланки, а при розрахунку за ймовірнісним методом – і в уточненні прийнятихзначень коефіцієнтів відносного розсіяння та відносної асиметрії.Порядок теоретичного розрахунку розмірноголанцюга
1. Виявляється замикальна ланка і складові ланкирозмірного ланцюга за складальним кресленням виробу. За робочими кресленнямидеталей встановлюються номінальні розміри, допуски і граничні відхилення на всіскладові ланки розмірного ланцюга. Складається схема розмірного ланцюга івизначаються типи складових ланок.
2. Вибираєтьсяметод розрахунку розмірного ланцюга: максимуму-мінімуму чи ймовірнісний. Привиборі ймовірнісного методу встановлюються коефіцієнт ризику t і коефіцієнти λі' чи К для всіхскладових ланок, а також приймаються значення коефіцієнтів αі.
Проводитьсяобчислення номінального розміру, допуску і координати середини поля допускузамикальної ланки за формулами (2), (4), (10) чи (26), (24), (31) в залежностівід прийнятого методу розрахунку розмірного ланцюга. У випадку перевірковогохарактеру розрахунку проводиться порівняння отриманих значень ТΔ і ΔоΔ із заданимиза кресленням і з’ясовуються причинирозбіжностей, якщо такі мають місце.Порядок виробничих розрахунків розмірноголанцюга
1. Виявляється замикальна ланка і складові ланкирозмірного ланцюга за складальним кресленням виробу. За робочими кресленнями деталейвстановлюються номінальні розміри, допуски і граничні відхилення на всіскладові ланки розмірного ланцюга. Складається схема розмірного ланцюга івизначаються типи складових ланок.
2. Вибираєтьсяметод розрахунку розмірного ланцюга. При виборі ймовірнісного методу розрахункудля кожної складової ланки проводиться визначення статистичними методамикоефіцієнтів λі' чи Кі і αі.
 Обчислюються номінальний розмір, допуск, координати середини полядопуску і граничні відхилення замикальної ланки і порівнюються отриманірезультати з результатами, отриманими за аналогічними розрахунками. Вносятьсявідповідні корективи.
Основною метою розрахунку розмірного ланцюга є критичний аналізправильності проставлення розмірів, допусків і граничних відхилень на розміри складовихланок, а також вибір методу досягнення точності замикальної ланки і вибірметоду складання.

4. Вибір методіврозрахунку розмірних ланцюгів і досягнення точності замикальної ланки
Вибір методів досягнення точності замикальної ланки залежить від величинидопуску, встановленого на розмір замикальної ланки, і кількості складових ланокрозмірного ланцюга. Крім того, при виборі потрібно враховувати реальніможливості підприємства щодо забезпечення точності розмірів складових ланок, щопроектуються, і відповідного рівня організації складальних робіт.
Якщо кількістьскладових ланок розмірного ланцюга m – 1 £ 4, то розрахунок розмірного ланцюганеобхідно виконувати за методом максимуму-мінімуму, якщо кількість складовихланок розмірного ланцюга m – 1 ³ 5 – за ймовірнісним методом.
Для попереднього вибору методу рекомендується наступний спосіб. Заномінальними розмірами складової ланки розмірного ланцюга визначається їхсереднє значення:
/>                                                               (75)
де Аі –номінальний розмір і-ої складової ланки;
m – 1– кількість складових ланок врозмірному ланцюзі.
Потім за встановленим допуском на розмір замикальної ланки і кількістюскладових ланок розмірного ланцюга визначається середнє значення допуску длякожної ланки в залежності від прийнятого методу розрахунку за наступнимиформулами:
а) при розрахункуза методом максимуму-мінімуму:
/>;                                                                    (76)
б) при розрахунку ймовірнісним методом:
/>.                                                      (77)
За отриманимизначеннями Асер і Тсер визначають найближчий квалітет.
Якщо розрахунокрозмірного ланцюга виконується за методом максимуму-мінімуму і величина Тсервідповідає 9-му квалітету і грубіше, то потрібно використовувати метод повноївзаємозамінності. При малій кількості ланок метод повної взаємозамінності інодіможна використовувати і при Тсер, що відповідає 6-8-му квалітетам точності,оскільки зниження трудомісткості складання окупить підвищені вимоги щодоточності виготовлення декількох деталей. При Тсер, що відповідає 7-му і вищимквалітетам точності, рекомендується використовувати метод припасування чирегулювання. Для деяких виробів, що випускаються у великих кількостях, замістьприпасування раціонально застосувати метод групової взаємозамінності.
Якщо розрахуноквиконується за ймовірнисним методом і величина Тсер (77) відповідає 10-муквалітету і грубіше, то потрібно використовувати метод неповноївзаємозамінності. В іншому випадку, коли Тсер відповідає 9-му квалітету іточніше, потрібно застосувати методи регулювання та припасування, тобто методи,що компенсують похибку замикальної ланки.
4.1 Прикладирозрахунку складальних розмірних ланцюгів (задача аналізу)
Задача
Длязабезпечення нормальної роботи підшипників в конічно-циліндричному редукторі(рис. 20) між кришками і торцями зовнішніх кілець підшипників при складаннінеобхідно забезпечити зазори (АНΔ, АКΔ, АМΔ), достатні длякомпенсації теплового розширення валів і які не перевищують допустиме осьовезміщення валів.
/>
Рис.20. Виявлення складальних розмірних ланцюгів
Розв’язаннязадачі аналізу покажемо на прикладі забезпечення зазору АКΔ, розмір іграничні відхилення якого задані в технічних умовах на виготовлення таскладання редуктора, а саме: /> мм.
Розв’язання
1. Виявленнязамикальної ланки.
Замикальноюланкою буде зазор /> мм, тобто номінальне значеннязамикальної ланки рівне: /> мм.
Допускзамикальної ланки:
/> мм.
Координатасередини поля допуску замикальної ланки розмірного ланцюга за формулою (7)дорівнює:
/> мм.
2. Виявленняскладових ланок розмірного ланцюга, складання його схеми та визначенняхарактеристик ланок.
Виявленняскладальних ланок розмірного ланцюга виконуємо за методикою, викладеною в п.4.1.
Урозмірному ланцюгу АК величина зазору АКΔ залежить від відносногоположення зовнішнього кільця першого підшипника і упорного торця кришки(осьовий зазор умовно віднесений до цього підшипника). У свою чергу, положенняторця кришки відносно корпусу редуктора визначається відстанню між торцевимиповерхнями кришки і товщиною прокладки.
Отже,першою ланкою АК1, яка безпосередньо впливає на замикальну ланку, є розмір міжторцевими поверхнями кришки, а другою ланкою АК2 – товщина прокладки міжкришкою та корпусом. Третьою ланкою ланцюга АК3 є відстань між стінкамикорпусу. Товщина прокладки АК4 визначає положення другої кришки відноснокорпусу. Відстань АК5 між торцевими поверхнями другої кришки визначає положенняторця, в який впирається зовнішнє кільце правого підшипника. Положення упорноготорця внутрішнього кільця другого підшипника залежить від відхилень монтажноївисоти АК6 підшипника.
Переходячипослідовно від однієї поверхні до іншої, одержимо: АК7 – товщина кільця; АК8 –товщина буртика вала; АК9 – довжина маточини зубчатого колеса; АК10 – товщинакільця; АК11 – монтажна висота першого підшипника. Таким чином, прийшли додругої поверхні, яка утворює замикальну ланку.
Схемаланцюга АК показана на рис. 21.

/>
Рис.21. Складальнийрозмірний ланцюг
Знаведеної схеми можна зробити висновок, що ми маємо справу з лінійним розмірнимланцюгом, у якого ланки АК2, АК3, АК4 – збільшуючі, а ланки АК1, АК5, АК6, АК7,АК8, АК9, АК10, АК11 – зменшуючі.
Улінійних розмірних ланцюгів передатне відношення складової ланки Сі = + 1 длязбільшуючих та Сі = – 1 для зменшуючих ланок.
Отже, длянаведеного прикладу маємо:
СК1= СК5 = СК6 = СК7 = СК8 = СК9 = СК10 = СК11 = – 1;
СК2= СК3 = СК4 = + 1.
Крімтого, потрібна відмітити, що ланки АК6 і АК11 є стандартними, тому їх неможнавикористовувати як узгоджуючі. Як узгоджуючі можуть бути використані рештанестандартних ланок, але кращим варіантом буде, якщо використати для цих цілейланки АК2, АК4 (прокладки) і ланку АК3 як найбільшу за розміром.
Попереднірозрахунки.
Заробочими кресленнями деталей і ГОСТ 520-71 на підшипники визначаємо номінальнірозміри і граничні відхилення складових ланок:
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм.
/> мм;
Допускиі координати середин полів допусків складових ланок визначаємо за формулами(7):
/>;
/>;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм.
4. Визначенняметодів досягнення точності замикальної ланки (і методів розрахунку розмірнихланцюгів).
4.1.Перевіримо можливість застосування методу повної взаємозамінності за формулами(75) і (76):
/> мм;
/> мм.
Допускскладової ланки розмірного ланцюга Т = 0,064 мм (64 мкм) для номіналу А = 16,3 мм згідно зі СТ СЭВ 145-75 відповідає 9–10 квалітетам точності, тобто згідно з п.4.3 (/>–грубіше 9 квалітету) можна при розрахунках застосовувати метод повноївзаємозамінності.
4.2. Перевіримоможливість застосування методу неповної взаємозамінності за формулами (75) і(77):
/> мм;
/> мм.
Допускскладової ланки розмірного ланцюга Т = 0,176 мм для номіналу А = 16,3 мм згідно з СТ СЭВ 145-75 відповідає 11–12 квалітетам, тобто згідно з п. 4.3 (/>– грубіше 10квалітету) можна при розрахунках застосовувати метод неповної взаємозамінності.
Томудалі виконуємо розрахунки розмірного ланцюга за методами максимуму-мінімуму(для методу повної взаємозамінності) і ймовірнісним (для методу неповноївзаємозамінності).
Приклад1. Розрахунок розмірного ланцюга АК методом максимуму-мінімуму(задача аналізу)
5. Узгодженняномінальних розмірів.
Розрахунковезначення номінального розміру замикальної ланки за формулою (1) дорівнює:
/>
Оскільки/> />, то номінальнірозміри не узгоджені. Розузгодження згідно з формулою (14) дорівнює:

/> мм.
Заузгоджуючу ланку вибираємо збільшуючу ланку АК Визначаємо узгоджуюче значенняцієї ланки за формулою (13):
/> мм.
При/> ммрівність /> і/> виконуєтьсяі номінальні розміри ланцюга узгоджені.
6. Узгодженнядопусків.
Розрахунковезначення допуску замикальної ланки розраховується за формулою (4):
/>
Порівняннярозрахункового значення допуску замикальної ланки ТКΔр з необхіднимТКΔ = 0,7 мм показує, що ланцюг за допусками не узгоджений.
Визначаємопоказник неузгодження за формулою (12):
/> мм.
Якзазначалось вище, найкращим варіантом було б виконання узгодження за рахунокнестандартних ланок АК2, АК3, і АК4. Але сумарне значення допуску ланок АК2,АК3, і АК4 складає 0,14 мм, і тому його зменшення на величину неузгодження rТ =– 0,09 мм виконати неможливо.
Отже,виходячи із значень допусків складових ланок, узгодження виконуємо нанестандартизованих ланках: АК1; АК3; АК5; АК7; АК8; АК10.
НеузгодженняrТ = –0,09 мм розподіляємо відповідно на ланки, які вибрані як узгоджуючі.Зменшимо допуски ланок АК1 і АК5 на 0,02 мм, допуск ланки АК3 на – 0,01 мм, допуск ланки АК8 – на 0,03 мм, допуски ланок АК7 і АК10 – на 0,005 мм.
Тодіотримуємо:
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм.
/> мм;
Одержанідопуски технологічно допустимі.
7. Узгодженняграничних відхилень.
Задамонижнє та верхнє граничні відхилення узгоджуючих ланок:
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм.
Визначимоза формулою (7) координати середин полів допусків ланок, прийнятих як узгоджуючіза допусками:
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм.
Визначимокоординату середини поля допуску замикальної ланки розмірного ланцюга заформулою (10а):
/>
Оскільки/>/>, виконуємоузгодження ланцюга за відхиленнями на ланці К
Визначаємоза формулою (19) координату середини поля допуску узгоджуючої ланки К3:
/>
Граничнівідхилення узгоджуючої ланки за формулою (8) рівні:
/> мм;
/> мм.
8. Перевіркаправильності розв’язання задачі.
Розрахунковеверхнє граничне відхилення замикальної ланки за формулою (5) дорівнює:
/>
Розрахунковенижнє граничне відхилення замикальної ланки за формулою (6) дорівнює:
/>
Оскільки/>і />,/>розрахунок виконаноправильно.
9. Аналізодержаних результатів та їх реалізація.
Аналізпоказав, що для забезпечення точності замикальної ланки розмірного ланцюгаметодом повної взаємозамінності необхідно витримати наступні значення розмірів:
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм.
/> мм;
Уточненізначення допусків складових ланок розмірного ланцюга відповідають технологічнимможливостям виробництва. Але для їх досягнення необхідновикористовувати точні методи обробки, зокрема чистове і одноразове точіння тапідрізання торців. Тому в робочі креслення деталей необхідно внести змінивідповідно до результатів розв’язку задачі. Виконання розмірів з розрахунковимидопусками і граничними відхиленнями дозволить забезпечити точність замикальноїланки при складанні методом повної взаємозамінності.
Приклад2. Розрахунок розмірного ланцюга АК ймовірнісним методом (задача аналізу).
5. Визначенняхарактеристик ймовірнісного методу.
Приймаємоймовірність знаходження замикальної ланки, в межах поля розсіювання ω =6σ, P = 0,9973, тобто відсоток ризику складе 0,27 %, дляякого за [2, табл. 12.8] приймаємо нормований параметр розподілу t =
6. Встановленнякоефіцієнтів ймовірнісного методу.
Встановленнякоефіцієнтів відносного розсіювання (λі' чи кі), а також коефіцієнтіввідносної асиметрії αі.
Оскількирозрахунок теоретичний (проектний) і при цьому завжди приймається t = 3, то уформулі для ТΔ використовується кі (не λі'). З цих жепричин αі приймається рівним нулю, тобто αі = 0.
Оскількизакони розподілу складових ланок невідомі, то для всіх ланок приймається законСімпсона, тобто коефіцієнт відносного розсіювання і коефіцієнт відносноїасиметрії будуть мати наступні значення:
кі = 1,2;
к1 = к2= к3 = к4 = к5 = к6 = к7 = к8 = к9 = к10 = к11 =1,2;
α1 = α2 =α3 = α4 = α5 = α6 = α7 =α8 = α9 = α10 =α11 = 0.
7. Узгодженняномінальних розмірів.
Розрахунковезначення номінального розміру замикальної ланки за формулою (1) дорівнює:

/>
Оскільки/> />, то номінальнірозміри не узгоджені. Розузгодження згідно з формулою (14)рівне:
/> мм.
Заузгоджуючу ланку вибираємо збільшуючу ланку Акз. Визначаємо узгоджуюче значенняцієї ланки за формулою (13):
/> мм.
При/> ммрівність /> і/> виконуєтьсяі номінальні розміри ланцюга узгоджені.
8. Узгодженнядопусків.
Розрахунковезначення допуску замикальної ланки за формулою (24) дорівнює:
/>,
або заумови, що кі =1,2 має однакове значення для всіх ланок, маємо:
/>
Неузгодженнядопусків дорівнює:
/> мм.
ОскількиrT > 0, то /> Це означає, що при заданихдопусках складових ланок, допуск замикальної ланки буде забезпечений з ризиком0,27 %. При Р = 0,27 % можна збільшити допуски нестандартизованих ланок АК1,АК2, АК3, АК4, АК5, АК7, АК8, АК9, АК10 вдвічі.
Тодіотримаємо наступні значення номінальних розмірів і граничних відхиленьскладових ланок:
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм.
/> мм;
Допускиі координати середин полів допусків складових ланок дорівнюють:
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм.
Розрахунковезначення допуску замикальної ланки рівне:
/>
Неузгодженнядопусків дорівнює:
/> мм.
Виконаємоузгодження розмірного ланцюга на ланці К3, яка є одним з розмірів найскладнішоїдеталі, що входить у розмірний ланцюг.
Визначимодопуск узгоджувальної ланки за формулою (4.25) [2]:
/>,
або заумови, що кі = 1,2 має однакове значення для всіх ланок, маємо:
/>
9. Узгодженняграничних відхилень.
Задамонижнє та верхнє граничні відхилення узгоджуючої ланки:
/> мм;
/> мм.
Координатасередини поля допуску ланки К3 при цьому:
/> мм.
Визначимоза формулою [2, формула (4,26)] коефіцієнт відносної асиметрії замикальноїланки:
/>,
або заумови, що αі = 0 має однакове значення для всіх ланок, маємо:
αΔ= 0.
Розрахунковакоордината середини поля допуску замикальної ланки за формулою (4.27) дорівнює[2]:
/>,
або заумови, що αΔ = 0 а також αі = 0 має однакове значення для всіхланок, маємо:
/>
Оскільки/> />, то необхідновиконати узгодження відхилень. Для цього вибираємо як узгоджуючу ланку К3 івизначаємо для неї за формулою [2, формула (4.28)] координату середини полядопуску:
/>
абоза умови, що αΔ = 0, а також αі = 0 має однакове значення длявсіх ланок, маємо:
/>
Верхнєта нижнє граничні відхилення узгоджуючої ланки рівні:
/> мм;
/> мм.
10. Перевіркаправильності розв’язання задачі.
Перевіркуправильності розрахунку виконаємо за формулою (24):
/>
Оскільки/> мм, торозрахунок виконаний вірно.
11. Аналізодержаних результатів та їх реалізація.
Аналізпоказав, що для забезпечення точності замикальної ланки розмірного ланцюганеобхідно витримати наступні значення розмірів:
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм;
/> мм.
/> мм;
Уточненізначення допусків складових ланок розмірного ланцюга відповідають технологічнимможливостям виробництва. Їх досягнення можливе за допомогою чорнових інапівчистових методів обробки. Тому в робочі креслення деталей необхідно внестизміни відповідно до результатів розв’язку задачі. Виконання розмірів зрозрахунковими допусками і граничними відхиленнями дозволить забезпечититочність замикальної ланки при складанні методом неповної взаємозамінності.
Зауваження:
1. Якщоймовірнісний метод використовується для визначення параметрів статистичногорозподілу розмірів при обробці (складанні) в конкретних умовах і на конкретнихтехнологічних системах, тобто у виробничих розрахунках, то для визначеннядопуску замикальної ланки застосовують формулу (26), для визначення λ' –формулу (27). Закони розподілу розмірів складових ланок, а отже, і коефіцієнтикі та λі виявляються побудовою емпіричних кривих (див. пп. 2.4.3–2.4.5),або орієнтовно кі та λі приймаються за [2, табл. 12.4] в залежності відумов виробництва і стану обладнання.
2. Якщо, зметою розширення допусків на складові ланки, ймовірнісний метод застосовуєтьсядля розрахунку розмірних ланцюгів з m

Література
1. Балакшин Б.С. Основы технологиимашиностроения. – М., 1969. – 560 с.
2. Бондаренко С.Г. Розмірні розрахункимеханоскладального виробництва. – К., 199 – 544 с. ГОСТ 16319-80.
4. ГОСТ 16320-80.
5. Допуски и посадки в машиностроении: Справочник А.С. Зенкин, И.В. ПеткоК.: Техника, 1990. – 320 с.
6. Маталин А.А. Технология машиностроения. – Л. – М.: машиностроение 1985. – 496 с.
7. Размерный анализ конструкций.Справочник / Под общ. ред. С.Т Бондаренко – К.: Техника, 1989. – 150 с.
8. Солонин И.С., Солонин С.И. Расчетсборочных и технологических размерных цепей. – М., 1980. – 110 с.
9. Худобин Л.В., Гурьянихин В.Ф., БерзинВ.Р. Курсовое проектирование по технологии машиностроения. – М., 1989. – 288 с.