Курсова роботаз теоретичної механіки:
«Рухмеханічної системи із двома ступенями волі»
Зміст
Введення
1.Вихідні дані
2.Дослідження відносного руху матеріальної крапки
3.Застосування загальних теорем динаміки до дослідження руху механічної системи
3.1Складання рівняння руху твердого тіла за допомогою теореми про змінукінетичного моменту
3.2Визначення закону зміни зовнішнього моменту, що забезпечує сталість кутовоїшвидкості
4.Визначення реакцій в опорах обертового тіла
5.Дослідження руху механічної системи із двома ступенями волі за допомогоюрівнянь Лагранжа II роду
5.1Складання рівнянь руху системи методом Лагранжа
5.2Одержання диференціального рівняння відносного руху матеріальної крапки
5.3Визначення закону зміни зовнішнього моменту, що забезпечує сталість кутовоїшвидкості
6.Визначення положень рівноваги механічної системи й дослідження їхньої стійкості
Висновок
Списокджерел
Введення
Вивчення теоретичної механіки як однієї зфундаментальних фізико-математичних дисциплін відіграє важливу роль упідготовці фахівців з механіко-математичних і інженерних механічних напрямків.Воно дозволяє майбутнім фахівцям не тільки одержати глибокі знання про природу,але й виробляє в них необхідні навички для рішення складних наукових ітехнічних задач, для яких потрібне побудова математичних моделей різноманітнихмеханічних систем, розвиває здатності до наукових узагальнень і висновків.
Для закріплення навичок самостійного рішення задачмеханіки студенти виконують курсову роботу, у якій необхідно провестикомплексний аналіз руху системи із двома ступенями волі, користуючись різнимиметодами теоретичної механіки.
Теоретична механіка, як частина природознавства, щовикористовує математичні методи, має справа не із самими матеріальнимиоб'єктами, а їхніми математичними моделями. Такими моделями є матеріальнікрапки, системи матеріальних крапок, тверді тіла й суцільне середовище. Укурсовій роботі розглядаються найпростіші системи, які складаються із твердихтіл, що роблять найпростіші рухи, і матеріальної крапки, що переміщається потілу.
1. Вихідні дані
Суцільний рівносторонній трикутник /> зі стороною />, що має масу /> обертаєтьсянавколо шарніра />. У крапці /> – середині каналу />, на пружинітвердістю /> закріпленакулька масою />. При обертанні трикутника кулькаможе робити коливальні рухи уздовж каналу />.
/>
Малюнок 1.1. Схема механічної системи
2. Дослідження відносного руху матеріальної крапки
Рух матеріальної крапки в рухливій системі відлікуописується диференціальним рівнянням відносного руху:
/> (1.1)
Тут /> – відносне прискоренняматеріальної крапки; /> – сума всіх зовнішніх івнутрішніх сил; /> і /> – переносна й кориолисова силиінерції відповідно.
Зв'яжемо рухливу систему відліку /> з /> кулькою, що рухаєтьсяуздовж каналу. Вісь /> проведемо уздовж каналу, причомузростання координати /> спрямовано зрухом кульки щодо трубки; а вісь /> направимо перпендикулярно їй.Обертання трикутника /> разом із системою координат /> навколошарніра є переносним рухом для кульки. Відносним рухом є його переміщенняуздовж каналу />.
Диференціальне рівняння руху (2.1) для даної системиприйме вид:
/> (2.2)
/>
Малюнок 2.1. Дослідження відносного руху матеріальноїкрапки
Абсолютні значення сил:
/>;
/>, де />;
/> – при постійній кутовій швидкостіобертання />,тоді />, де /> – радіусобертання кульки навколо шарніра />;
/>, тому що кут між відносною йкутовою швидкостями прямій, звідси />, а напрямок визначається заправилом Жуковського.
Візьмемо проекцію диференціального рівняннявідносного руху (2.2) на координатну вісь /> рухливої системи координат:
/> (2.3)
Радіус переносного обертання кульки:
/> (2.4)
З урахуванням значень сил і формули (2.4), рівняння(2.3) приймає вид:
/>
Звідси одержуємо значення реакції зв'язку />:
/> (2.5)
Тепер проектуємо диференціальне рівняння (2.2) накоординатну вісь />:
/> (2.6)
При підстановці відомих значень одержимо:
/> (2.7)
Приведемо (2.7) до наступного виду:
/> (2.8)
Тут /> – це власна частота. Длязнаходження залежності /> вирішимо дане рівняння.
/> – рішення шуканогодиференціального рівняння буде складатися із загального рішення відповідногооднорідного рівняння /> й будь-якого приватного рішення />.
Загальне рішення маєте вигляд: /> (2.9).
Знайдемо приватне рішення рівняння (2.8), воно будемати вигляд: />. Перша й друга похідні: />, />.
Підставляючи частка рішення і його похідні в (2.8),одержимо:
/>
Знаходимо значення постійних коефіцієнтів: />, />.
/> (2.10)
Тоді, виходячи з (2.9) і (2.10), рішення вихідногодиференціального рівняння:
/>
Для визначення констант інтегрування, використовуємопочаткові умови:
/>, /> або />; звідки />.
/>
/>, /> або />, звідки />.
Підставивши значення /> й />, і згрупувавши доданки, одержимодиференціальні рівняння відносного руху кульки і його швидкості:
/> (2.11)
Тут />, />, />, />, />.
3. Застосування загальних теорем динаміки додослідження руху механічної системи
3.1 Складання рівняння руху твердого тіла задопомогою теореми про зміну кінетичного моменту
Механічною системою називається така сукупністьматеріальних крапок, у якій положення й рух кожної крапки залежить відположення й руху інших крапок. Одержувані для системи матеріальних крапоктеореми й співвідношення можна поширити й на системи, що складаються з одногоабо декількох взаємозалежних твердих тел. Обмеження, що накладаються на рухкрапок і тіл механічної системи, називаються зв'язками. Виходячи із принципу свободивід зв'язків, рух кожної крапки системи можна розглядати як рух вільної крапки,якщо замінити дія зв'язків реакціями цих зв'язків. Тоді для кожної крапки,відповідно до основного рівняння динаміки матеріальної крапки, маємо:
/> (3.1.1)
/> і /> – маса й прискорення деякоїкрапки механічної системи; /> і /> – зовнішні й внутрішні сили (ужемістять у собі реакції зв'язків).
Рівняння (3.1.1) — це основне рівняння динаміки,наслідком його є теореми про рух центра мас механічної системи й про змінукількості руху, теореми про зміну кінетичного моменту й кінетичної енергії.Теорема про зміну кінетичного моменту застосовується для рішення задач, у якихрозглядається рух механічної системи, що складає із центрального тіла, щообертається навколо нерухливої осі, і одного або декількох тіл, рух якихпов'язане із центральним. Зв'язок може здійснюватися за допомогою ниток, тіламожуть переміщатися по поверхні центрального тіла або в його каналах за рахуноквнутрішніх сил. За допомогою даної теореми можна визначити залежність законуобертання центрального тіла від положення або руху інших тел.
Теорема про зміну кінетичного моменту формулюється втакий спосіб: повна похідна за часом від вектора кінетичного моменту механічноїсистеми щодо деякого нерухливого центра /> по величині й напрямку дорівнюєголовному моменту зовнішніх сил, прикладених до механічної системи, певномущодо того ж центра:
/> (3.1.2)
Тут /> – кінетичний момент механічної системи щодо нерухливого центра />; він є міроюруху системи навколо цього центра й складається з кінетичних моментів всіхкрапок і тіл, що входять у цю систему; /> – головний момент зовнішніх силщодо нерухливого центра />.
Визначимо головний момент зовнішніх сил:
/>, де /> й /> – плечі сил ваги кульки йтрикутника;
/> (3.1.3)
Визначимо кінетичний момент системи. Він складаєтьсяз кінетичних моментів кульки й трикутника: />.
/>
Малюнок 3.1.1. Складання рівняння руху твердого тілаза допомогою теореми про зміну кінетичного моменту
/>, де модуль переносної швидкостідорівнює />.
/> (3.1.4)
/>, /> – момент інерції трикутника /> щодо шарніра />. Визначимо йогопо теоремі Штейнера:
/> (3.1.5)
/> (3.1.6)
З огляду на (3.1.4) і (3.1.6), кінетичний моментсистеми дорівнює:
/> (3.1.7)
Диференціюємо вираження (3.1.7):
/> (3.1.8)
Підставивши знайдені значення в (3.1.2), теорема прозміну кінетичного моменту прийме вид:
/> (3.1.9)
3.2 Визначення закону зміни зовнішнього моменту, щозабезпечує сталість кутової швидкості
При дії зовнішнього моменту />, що забезпечує рівномірне обертаннямеханічної системи навколо шарніра />, остання доданок у лівій частинірівності (3.1.9) звертається в нуль:
/>, />; звідси />.
Тоді вираження (3.1.9) прийме вид:
/> (3.2.1)
/> спрямований протилежно головномумоменту зовнішніх сил, тобто, проти годинникової стрілки.
Зовнішній момент, що забезпечує рівномірне обертанняконструкції, дорівнює:
/> (3.2.2)
4. Визначення реакцій в опорах обертового тіла
Визначимо реакції в опорі обертового тіла методомкінетостатики. Він полягає в рішенні задачі динаміки засобами (рівняннями)статики. Для кожної крапки механічної системи справедливо основне рівняннядинаміки:
/> (4.1)
Тут /> і /> – маса й прискорення деякоїкрапки системи; /> – сума всіх активних сил іреакцій зв'язків, прикладених до неї.
Основному рівнянню динаміки (4.1) можна додати видрівняння статики:
/> (4.2)
Тут /> – сила інерції крапки механічноїсистеми.
/>
Малюнок 4.1. Визначення реакцій в опорах обертовоготіла
Для заданої механічної системи рівняння статики (4.2)має вигляд:
/> (4.3)
Для визначення реакції шарніра нам необхідно й доситьвзяти за координатні осі – нерухливі осі /> й />, і визначити тридцятимільйонніреакції шарніра на ці осі:
/> /> (4.4)
Звідси:
/>
Підставивши значення сил, одержимо:
/> (4.5)
Тепер проектуємо (4.2) на нерухливу вісь />:
/> /> (4.6)
Звідси:
/>
Підставивши відомі значення сил, одержимо:
/> (4.7)
Повну реакцію в шарнірі /> можна знайти по формулі: />, де /> й /> визначаютьсявираженнями (4.5) і (4.7);
5. Дослідження руху механічної системи із двомаступенями волі за допомогою рівнянь Лагранжа II роду
5.1 Складання рівнянь руху системи методом Лагранжа
Рівняння другого роду є одним з найбільш зручнихприйомів складання рівнянь руху механічних систем. Вони мають такий вигляд:
/> /> (5.1.1)
Тут /> – кінетична енергія системи; />, />, />, – узагальненікоординати, швидкості й сили відповідно; /> – число ступенів волі.
Рівняння (5.1.1) утворять систему /> рівнянь другого порядкущодо /> функцій/>, апорядок даної системи дорівнює />. Форма рівнянь Лагранжа незалежить від вибору узагальнених координат />. У зв'язку із цим говорять, щорівняння Лагранжа другого роду мають властивість інваріантності.
Як видно з (5.1.1), для одержання рівнянь Лагранжанеобхідно знайти відповідні похідні від кінетичної енергії системи й визначитиузагальнені сили.
Визначимо кінетичну енергію системи. Вона будескладатися з кінетичних енергій трикутника й кульки: />.
/>
Підставивши значення /> з (3.1.5), одержимо:
/> (5.1.2)
Кінетична енергія кульки визначається його масою йвідносною й переносною швидкостями:
/>
З урахуванням відомих значень швидкостей, одержимо:
/> (5.1.3)
Кінетична енергія системи дорівнює:
/> (5.1.4)
Знайдемо похідні від кінетичної енергії згідно (5.1.1):
/>
/> (5.1.5) />(5.1.6)
/> /> (5.1.7) />(5.1.8)
/>
Малюнок 5.1.1. Визначення кінетичної й потенційноїенергій системи
Тепер, виходячи з (5.1.1), потрібно визначитиузагальнені сили. Дана механічна система є консервативної, ми можемо визначитиузагальнені сили через потенційну енергію по формулі:
/> (5.1.9)
Знайдемо потенційну енергію. Вона буде складатися зробіт консервативних сил по переміщенню тіла з нульового положення: />. За нульовийрівень потенційної енергії виберемо початковий момент часу, при />:
/> – енергія положення кульки;
/> – енергія положення прямокутника;
/> – потенційна енергія силипружності;
Потенційна енергія системи дорівнює:
/> (5.1.10)
Знайдемо узагальнені сили:
/> (5.1.11)
/> (5.1.12)
Тепер можемо записати систему рівнянь Лагранжа IIроду:
/> (5.1.13)
/> (5.1.14)
5.2 Одержання диференціального рівняння відносногоруху матеріальної крапки
(5.1.13) і (5.1.14) — це система рівнянь Лагранжа IIроду; перше з них являє собою диференціальне рівняння відносного руху. Припорівнянні (5.1.13) з рівнянням відносного руху (2.7) видно, що рівняннятотожні:
/> (2.7)
/> (5.1.13)
5.3 Визначення закону зміни зовнішнього моменту, щозабезпечує сталість кутової швидкості
(5.1.14) — це рівняння рівняння руху твердого тілабез обмеження на закон зміни кутової швидкості обертання. Визначимо величинузовнішнього моменту, що забезпечує рівномірне обертання:
/> (5.1.14)
/> /> />
При дії зовнішнього моменту, що забезпечує рівномірнеобертання, рівняння (5.1.14) прийме вид:
/> (5.3.1)
Звідси:
/> (5.2.2)
Зрівняємо з отриманим раніше значенням:
/> (3.2.2)
Отже, два різних способи визначення зовнішньогомоменту дали один результат.
6. Визначення положень рівноваги механічної системи йдослідження їхньої стійкості
Важливим випадком руху механічних систем є їхнійколивальний рух. Коливання — це повторювані рухи механічної системи щододеякого її положення, що відбуваються більш-менш регулярно в часі. У курсовійроботі розглядається коливальний рух механічної системи щодо положеннярівноваги (відносного або абсолютного).
Механічна система може робити коливання протягомдосить тривалого проміжку часу тільки поблизу положення стійкої рівноваги. Томуперед тим, як скласти рівняння коливального руху, треба знайти положеннярівноваги й досліджувати їхня стійкість.
Відповідно до основного рівняння статики, для тогощоб механічна система перебувала в рівновазі, необхідно й досить, щоб у ційсистемі були дорівнюють нулю всі узагальнені сили:
/> /> (6.1)
/> – узагальнені сили; /> – числоузагальнених координат у механічній системі.
У нашім випадку механічна система перебуває впотенційному силовому полі; з рівнянь (6.1) одержуємо наступні умови рівноваги:
/> /> (6.2)
Отже, у положенні рівноваги потенційна енергія маєекстремальне значення. Не всяка рівновага, обумовлена вищенаведеними формулами,може бути реалізоване практично. Залежно від поводження системи при відхиленнівід положення рівноваги говорять про стійкість або нестійкість даногоположення. Достатні умови стійкості положень рівноваги для консервативнихсистем визначаються теоремою Лагранжа — Дирихле: «Положення рівновагиконсервативної механічної системи стійко, якщо в ньому потенційна енергіясистеми має ізольований мінімум».
Визначимо положення рівноваги для заданої механічноїсистеми, використовуючи раніше знайдені узагальнені сили (5.1.11) і (5.1.12) ізсистеми рівнянь:
/> /> /> (6.4)
Для нашої механічної системи маємо:
Перше положення рівноваги: />, />.
Друге положення рівноваги: />, />.
Використовуючи теорему Лагранжа — Дирихле визначаємо,що перше положення рівноваги є не стійким, а друге — стійким.
/>
Малюнок 6.1. Положення рівноваги механічної системи
Знайдемо другі похідні від потенційної енергії поузагальнених координатах:
/>
Для дослідження стійкості положення рівновагинеобхідно досліджувати на матрицю твердості, складену зі значень вираження(6.5) у цьому положенні рівноваги.
1) />
/>
/>
/>
/>
Положення рівноваги не стійке
2) />
/>
/>
/>
/>
Положення рівноваги стійке
Висновок
У даній курсовій роботі була досліджена механічнасистема із двома ступенями волі. У результаті були досягнуті поставлені цілі, асаме:
отримано закон відносного руху матеріальної крапки;
складено рівняння руху твердого тіла за допомогоютеореми про зміну кінетичного моменту, визначене значення зовнішнього моменту,що забезпечує рівномірне обертання конструкції;
знайдено реакції в опорах обертового тіла;
проведено дослідження руху механічної системи задопомогою рівнянь Лагранжа II роду, у результаті якого отримані рівняннявідносного руху матеріальної крапки й закон зміни зовнішнього моменту, щозабезпечує сталість кутової швидкості;
визначено положення рівноваги механічної системи йдосліджена їхня стійкість;
Список джерел
Бутенин Н.В., Лунц Я.Л. іін.: Курс теоретичної механіки. – К., 2004
Яблонський А.А., Норейко С.С.:Курс теорії коливань. – К., 2006
Динаміка крапки й механічноїсистеми: Навчальний посібник для курсового проектування / Авраменко А.А.,Архипов В.В., Асланов В.С., Тимбай І.А.; Під ред. проф. В.С. Асланова. – К.,2003