Донецкий национальныйтехнический университет
Квалификационнаяработа
На тему:
Разработка динамическоймодели привода с фрикционным вариатором
Выполнил:
Студент гр.МС-03н: Касатка П.О.
Руководитель:Деркач О.В.
Консультант: ГоробецьI.О.ДОНЕЦЬК 2007
РЕФЕРАТ
Бакалаврскаяработа: 38 страниц, 15 рисунков, 1 приложение, 1 таблица, 5 источников.
В даннойбакалаврской работе необходимо разработать динамическую модель привода,содержащего фрикционный вариатор; составить дифференциальные уравнения, которыеописывают динамические процессы в приводе.
Объектисследования: привод с фрикционным вариатором.
Цель работы:необходимо разработать динамическую модель привода, содержащего фрикционныйвариатор, с помощью программного пакета MatLab Sіmulіnk, для обеспечениянеобходимых параметров переходного процесса.
ФРИКЦИОННЫЙ ВАРИАТОР,ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ,ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СКОЛЬЖЕНИЕ, МОМЕНТ ИНЕРЦИИ
Содержание
Введение
1 Общие сведения о фрикционных вариаторах
2 Исходные данные
3 Проектный расчет фрикционноговариатора по контактным напряжениям
4 Разработка динамической модели
4.1 Структурная схема объекта и процесса в нем
4.2 Анализ допущений и факторов, принимаемых присоздании модели
4.3 Динамическая модель
4.4 Определение инерционных характеристикподвижных деталей и жесткости элементов привода
4.5 Реализация динамической модели в Simulink
5 Анализ динамических процессов в объекте
5.1 Анализ динамических процессов во временнойобласти
5.2 Представление динамической модели впространстве состояний
5.3 Проектирование модального регулятора
Заключение
Перечень ссылок
Приложение
Вступление
Большинствосовременных машин и установок создается по схеме: двигатель – передача –рабочий орган (исполнительный механизм). Необходимость введения передачи какпромежуточного звена между двигателем и рабочими органами машины связано срешением задачи повышения производительности, т.е. увеличения их быстродействия.
Времясрабатывания фрикционной передачи входит в общее время рабочего цикла машины,следовательно, влияет на производительность машины в целом. Проблема повышенияпроизводительности непосредственно связана с разработкой методов динамическогоисследования машин и выбора их оптимальных параметров и структуры.
С помощьюдинамической модели производится анализ системы, без участия реального объектаи на ее основе можно построить систему управления объектом, и пронаблюдатьповедение системы управления и объекта.
1 Общие сведения офрикционных вариаторах
Фрикционнойназывают передачу, работа которой основана на использовании сил трения,возникающих в месте контакта двух тел вращения под действием сжимающей силы Q.
Фрикционныепередачи вращательного движения можно разделить на две основные группы:передачи нерегулируемые, т.е. с условно постоянным передаточным отношением, ипередачи регулируемые, позволяющие плавно изменять передаточное отношение(бесступенчатое регулирование) (рис. 1.1).
Одной изнаиболее простых и во многих случаях достаточно надёжной является фрикционнаяпередача, состоящая в простейшем случае из двух колёс (катков), закреплённых наведущем и ведомом валах. Для передачи движения без скольжения необходимоприложить к одному из колёс силу Q, достаточную для возникновения трения вместе контакта, при этом касательная сила их сцепления равна по величинепередаваемого окружному усилию [1].
/>
Рисунок 1.1 – Лобовой фрикционныйвариатор
Достоинствамифрикционных передач являются: плавность и бесшумность в работе, простотаконструкции, невозможность поломки при резком изменении крутящего момента наодном из валов благодаря возможности проскальзывания катков, возможностьбесступенчатого регулирования скоростей на ходу, без остановки передачи.
Недостаткамиявляются: необходимость прижимного устройства, большие давления на валы и опорыот действия внешней силы прижимного устройства, что увеличивает их размеры иделает передачу громоздкой, а также ограничивает величину передаваемоймощности; непостоянство передаточного отношения из-за проскальзывания катков;сравнительно высокий износ.
Фрикционныевариаторы применяют как в кинематических, так и силовых передачах в техслучаях, когда требуется бесступенчатое регулирование скорости (зубчатаяпередача не позволяет такого регулирования). Фрикционные вариаторы используютсястанкостроении, в литейных машинах, подъемных и транспортных машинах, приводахлетательных аппаратов и металлорежущих станках, роботах и манипуляторах,цифровых следящих системах, механизмах для сельского хозяйства и другихизделиях.
Значениефрикционных вариаторов как бесступенчатых регуляторов скорости возрастает всвязи с широким фронтом работ по автоматизации управления производственнымипроцессами.
Один изкатков фрикционного вариатора изготовляют из качественных сталей (40, 50, ШХ15и т.д.), а другой – из серого чугуна, текстолита, фибры и других пластмасс.
Из всех типовфрикционных бесступенчатых передач с твердыми телами касания лобовые фрикционныевариаторы конструктивно наиболее просты. В таком вариаторе возможно перемещатьколесо по валу в направлениях, указанных стрелками, при этом передаточноеотношение будет плавно меняться в соответствии с изменением рабочего диаметрадиска.
Геометрическоескольжение вариатора определяют по формуле:
/>
знак «+» — для ведущего колеса, знак «-» — для ведущего диска (рис 1.2 а и б),
/>
где /> - радиус диска,при /> скольжениемаксимальное;
b – ширина диска.
/>
Рисунок 1.2 – Лобовой фрикционныйвариатор:
а) с ведущим колесом; б)с ведущим диском
Основнойнедостаток лобовых вариаторов – большое геометрическое скольжение, поэтому всиловых передачах их диапазон регулирования передаточного отношения приходитсяограничивать />.
При ведущемколесе его радиус определяют по формуле:
/>;
где />.
При проектномрасчете принимают:
/> — коэффициентзапаса сцепления;
/>
/>
/> — минимальныйрабочий радиус диска.
Рабочиеповерхности стальных фрикционных колес выполняются шлифованными сшероховатостью Ra 0,63… 0,32 мкм.
Соединениедисков с валами рекомендуется осуществлять шариковыми или винтовыми нажимнымиустройствами (рис. 1.3).
Во избежаниечрезмерного скольжения центральную часть диска использовать не следует.
Расчет наконтактные напряжения следует вести на минимальном диаметре диска, при которомтребуется наибольшая сила нажатия и скольжение достигает наибольшей величины.
/>
Рисунок 1.3 – Нажимныеустройства: а) винтовое; б) шариковое
2 Исходные данные
Рассчитаем лобовую фрикционную передачу для привода ленточногоконвейера при условии, что ведущее колесо передает мощность Р = 2 кВт при угловойскорости ω1 =90 рад/с ведомому колесу,вращающемуся с угловой скоростью ω2max = 45 рад/с [2].
В качестве прижимного устройства выбираем винтовое прижимноеустройство, обеспечивающее постоянную силу прижатия.
Назначаем материалы колес: меньшего — текстолит ПТК, а большего —сталь 45.
Принимаем диапазонрегулирования передаточного отношения />
/>
Тогда,
/>
Передаточное отношение определяем по формуле:
/>
/>
Крутящий момент Мn, передаваемый ведущим колесом
/>
Для передачи заданной мощности, выраженной окружной силой /> необходимообеспечить условие /> где />— сила трения между катками.
Тогда
/>
где β – коэффициент запаса сцепления колес, β=1,3.
Момент трения определяем по формуле:
/>
3 Проектный расчет фрикционного вариатора
по контактным напряжениям
Определим диаметр d1 меньшего колеса из условияконтактной прочности. Принимаем коэффициент запаса сцепления колес β=1,3;коэффициент трения по длине контактной линии f=0,3; допускаемое контактноенапряжение (текстолит по стали) [σ]k = 70 Н/мм2,модуль упругости для меньшего колеса (текстолит) Е1=6х103МПа, для большего колеса (сталь) Е2 = 2,15х105 МПа.
Приведенный модуль упругости Е по формуле:
/>
Диапазон регулирования:
/>
/>
где />.
При проектномрасчете принимают />
/>
Конструктивно наибольший диаметр диска:
/>
/>
/>
Геометрическое скольжение при ведущем колесе:
/>
Остальныеразмеры колес принимают конструктивно.
4 Разработка динамическоймодели
4.1 Структурная схемаобъекта
Рассматриваемаясистема состоит из электродвигателя, который создает момент двигателя Мn,муфты, ведущего колеса, ведомого диска, подшипников качения и рабочего органа.Двигатель создает крутящий момент с угловой скоростью ω, который передается черезмуфту на ведущее колесо, с него на ведомый диск, затем на рабочий орган (рис.3.1). Винтовое прижимное устройство обеспечивает передачу крутящего момента.
/>
Рисунок 4.1 – Расчетная схемапривода.
4.2 Анализ допущений,принимаемых при создании модели
Для созданиямодели принимаем электродвигатель, обеспечивающий постоянный крутящий момент,муфты с η =0,98, шариковые подшипники качения с η=0,99 и роликовыеподшипники качения с η=0,97. Деформации колеса и диска не учитываются.
/>
Рисунок 4.2 – Модель лобовойпередачи
4.3 Динамическая модель
Модель имеет4 степени свободы и движение тел, входящих в модель, описывается системой дифференциальныхуравнений, на основании результатов решения которой получим динамическиепараметры привода. Система дифференциальных уравнений имеет вид [3]:
/>
где Is,Ip – приведенные моменты инерции вращающихся деталей двигателя ирабочего органа;
I1,I2 – приведенные моменты инерции колеса и диска соответственно;
φs,φp, φi – угловые координаты вращающихся масс;
Мn– момент движущих сил (двигателя);
Мо– момент сил сопротивления (рабочего органа);
с1,с2 – жесткости валов;
k1,k2 – коэффициенты демпфирования;
ε –геометрическое скольжение.
На основаниидифференциальных уравнений, которые описывают поведение привода в процессеработы, была составлена его динамическая модель. Далее выполняем исследованиесоставленной модели. Нагружаем модель единичным ступенчатым воздействием,которое воздействует на вал двигателя.
4.4 Определениеинерционных характеристик подвижных
деталей и жесткостиэлементов привода
Моменты инерциивращающихся звеньев определяются расчетным путем [4]. Приведенный моментинерции вращающихся деталей двигателя:
/>
где
/>
/>
Приведенныймомент инерции вращающихся деталей рабочего органа:
/>
где
/>/>
Приведенный моментинерции колеса:
/>
где
/>
/>
Приведенныймомент инерции диска:
/>
где
/>
/>
/>
Рассчитаемжесткости валов:
/>
где /> — модульупругости 2-го рода (сдвига),
/>
Жесткость шлицевоговала:
/>
Жесткость винта:
/>
4.5 Реализациядинамической модели в Simulink
На основе системы дифференциальных уравнений (п. 4.3) с помощьюинтерактивной системы Simulink для моделирования нелинейных динамических системсоставим схему динамической модели привода с фрикционным вариатором (рис. 4.3).Обозначения переменных, используемых в схеме динамической модели приведены втаблице 4.1.
Таблица 4.1 — Обозначения переменных,используемых
в динамической моделиОписание переменной Обозначение Схема Ед. Приведенный момент инерции вращающихся деталей двигателя
Is Is
кг*м2 Приведенный момент инерции вращающихся деталей рабочего органа
Ip Ip
кг*м2 Приведенный момент инерции колеса
I1 I1
кг*м2 Приведенный момент инерции диска
I2 I2
кг*м2 Угловые координаты вращающихся масс
φs, φp, φi - рад Момент движущих сил (двигателя)
Мn Mn Н*м Момент сил сопротивления (рабочего органа);
Мо Мо Н*м Жесткость шлицевого вала
с1 с1 Н/м Жесткость винта
с2 с2 Н/м Коэффициент демпфирования
k1 k1 - Коэффициент демпфирования
k2 k2 - Коэффициент запаса сцепления колес β b - Геометрическое скольжение ε е -
/>
Рисунок 4.3 – Реализациядинамической модели в Simulink
Исходныеданные:
Is=1.3545;
Ip=1.6205;
I1=4.6934;
I2=262.0864;
c1=3163;
c2=3500;
Mn=22.2;
Mo=15;
e=0.08;
k1=0.7;
k2=0.7;
b=1,3.
5 Анализ динамическихпроцессов в объекте
5.1 Анализ динамическихпроцессов во временной области
Из анализаграфиков видно, что из-за инерционных свойств объектов,
из-за упругихсвойств, геометрического скольжения и силы трения разгон системы происходитзамедленно. Перемещение диска в период первой секунды приложения крутящегомомента вал двигателя, практически равно нулю (рис. 5.1–5.4).
Этообусловлено упругими свойствами вала и винта и инерционными свойствами колеса идиска, поэтому в момент пуска происходит задержка вращения, затем припреодолении крутящим моментом момента проскальзывания происходит вращениедиска.
/>
Рисунок 5.1 – Зависимостьугла поворота вала двигателя (рад) от времени (с)
/>
Рисунок 5.2 – Зависимостьугла поворота колеса (рад) от времени (с)
/>
Рисунок 5.3 – Зависимостьугла поворота диска (рад) от времени (с)
/>
Рисунок 5.4 – Зависимостьугла поворота рабочего органа (рад) от времени (с)
5.2 Представлениединамической модели
в пространстве состояний
Динамическаямодель, описанная дифференциальными уравнениями, может быть представлена вформе матричных уравнений (матрицы А, В, С, D) или представлена в видепередаточной функции. Так как модель имеет 4 степени свободы, то преобразованиеЛапласа необходимое для получения передаточной функции произвести достаточнотрудно. Поэтому представим модель в форме матриц, используя для их расчета интерактивнуюсистему MATLAB.
Дифференциальныеуравнения динамической модели:
/>
Преобразуемсистему.
/>
Представиммодель в матричной форме:
/>
Введемследующие обозначения:
/>
/>
/>
Динамическаямодель принимает вид:
/>
Умножим обечасти уравнения на обратную матрицу />:
/>
Обратнуюматрицу />спомощью MATLAB:
L=[Is0 0 0; 0 I1 0 0; 0 0 I2 0; 0 0 0 Ip];
inv(L)
ans =
0.7383 0 0 0
0 0.2131 0 0
0 0 0.0038 0
0 0 0 0.6171.
Умножимобратную матрицу />на матрицу />:
F=[-k1k1 0 0; 0 -k1 k1 0; 0 k2 -k2 0; 0 0 k2 -k2];
ans=
-0.70000.7000 0 0
0 -0.7000 0.7000 0
0 0.7000 -0.7000 0
0 0 0.7000 -0.7000
ans=inv(L)*F
ans=
-0.5168 0.51680 0
0 -0.1491 0.14910
0 0.0027 -0.00270
0 0 0.4320 -0.4320
Умножимобратную матрицу />на матрицу />:
R=[-c1c1 0 0;c1 -c1 0 0; 0 0 -c2 c2; 0 0 c2 -c2];
ans=R
-31633163 0 0
3163-3163 0 0
0 0-3500 3500
0 03500 -3500
ans=inv(L)*R
ans=
1.0e+003 *
-2.3352 2.33520 0
0.6739 -0.67390 0
0 0 -0.0134 0.0134
0 0 2.1598 -2.1598
Умножимобратную матрицу />на матрицу />:
К=[Mn; -(e-b)*Mn;-(b-e)*Mn; -Mo];
ans=K
22.2000
27.0840
-27.0840
-15.0000
ans=inv(L)*К
16.3898
5.7707
-0.1033
-9.2564
Матрицы А, В,С, D имеют вид:
/>
/>
Введемполученные матрицы в M-file MATLAB и получим передаточную функцию динамическоймодели, которая описывает реакцию модели на скачкообразное задающее воздействие(рис. 5.5, 5.6).
A=[0 0 0 0 1 00 0;
0 0 0 0 0 1 00;
0 0 0 0 0 0 10;
0 0 0 0 0 0 01;
-2335.2 2335.20 0 -0.5168 0.5168 0 0;
673.9 -673.9 00 0 -0.1491 0.1491 0;
0 0 13.4 13.40 0.0027 -0.0027 0;
0 0 2159.8 -2159.80 0 0.4320 -0.4320];
B=[0; 0; 0;0; 16.3898; 5.7707; -0.1033; -9.2564];
C=[1 0]; D=[0].
Передаточнаяфункция имеет вид:
W(s)= (-2.132e-014 s^7 + 16.39 s^6 + 6.586 s^5 + 3.275e004 s^4 — 2343 s^3-6.166e006s^2 — 7.573e004 s + 1.407e008)/(s^8 + 1.101 s^7 + 5156 s^6 + 3080 s^5+ 6.401e006 s^4 + 6.915e005 s^3 — 1.742e008 s^2 — 2.015e007 s + 2.25e-007).
/>
Рисунок 5.5 – Переходнойпроцесс в динамической модели
/>
Рисунок 5.6 –Амплитудно-фазо-частотная и фазо-частотная характеристики
Из анализаграфиков видно, что колебания в модели возрастают и она не устойчива. Поэтомунеобходимо спроектировать регулятор (корректирующее звено) (рис. 5.7), чтобыдинамическая модель имела затухающие колебания при переходном процессе и малоевремя успокоения (1-5 секунд) с перерегулированием не более 10-15%.
/>
Рисунок 5.7 –Динамическая модель с модальным регулятором
5.4 Проектированиемодального регулятора
Идея созданиямодального регулятора заключается в том, чтобы подобрать его коэффициенты так,чтобы полюса замкнутого контура регулирования оказались в заштрихованнойобласти. Это обеспечит затухающие колебания при переходном процессе и малоевремя успокоения с перерегулированием не более 10-15% (рис. 5.7).
/>
Рисунок 5.8 – Областьрасположения полюсов устойчивых систем
Дляпостроения модального регулятора необходима проверка управляемости модели.
Проверкууправляемости произведем с помощью критерия Калмана:
если рангквадратной матрицы Ss(n,n)=[B A*B A2*B … An-1*B] равенпорядку матрицы n, то модель, описываемая матрицами А, В, С, D, являетсяуправляемой. Порядок матрицы А динамической модели равен 8.
Ранг матрицы –максимальный размер квадратной матрицы, определитель которой не равен нулю.
Ранг матрицыможно определить с помощью функции rank в MATLAB:
Ss=ctrb(A,B);
rank(Ss);
ans=8.
Ранг матрицыА динамической модели равен порядку, значит модель управляема.
Методомподбора назначаем полюса для новой передаточной функции замкнутого контура. Спомощью MATLAB можно найти коэффициенты модального регулятора и получитьпереходной процесс в динамической модели с регулятором (рис. 5.9).
p=[-7-0.2i-7+0.2i -5-0.5i -5+0.5i -5 -6 -17 -10];
k=place(A,B,p);
sysE=ss(A-B*k,B,C,D);
step(sysE)
Коэффициентымодального регулятора:
k=[-237.0116 237.0565173.5746 -185.8740 8.6474 -8.5860 16.0462 14.2642].
Из анализаграфика на рисунке 5.7 видно, что переходной процесс в системе заканчиваетсячерез 2,5 секунды без перерегулирования.
/>
Рисунок 5.9 – Переходнойпроцесс в динамической модели c регулятором
Заключение
В даннойработе были изучены динамические процессы, возникающие в приводе с фрикционнымвариатором. Выбраны исходные данные, приведен проектный расчет фрикционноговариатора, определены инерционные характеристики подвижных деталей и жесткостиэлементов привода.
Быласоставлена структурная схема объекта исследования, математическое описание идинамическая модель, позволяющие изучить возможное поведение системы придействии на неё единичной нагрузки.
Такжеприведен анализ динамических процессов в объекте во временной области ипространстве состояний. Спроектирован модальный регулятор, который обеспечиваетзавершение переходного процесса в динамической модели за 2,5 секунды.
Литература
1. Гузенков П.Г. Детали машин: Учеб. для вузов. –М.: Высш. шк., 1986. – 359 с.
2. Бакаев Н.А., Волошина О.Н. Основыпроектирования фрикционных передач. – Издательство Ростовского университета,1985. – 176 с.
3. Пронин Б.А., Ревков Г.А. Бесступенчатыеклиноременные и фрикционные передачи. – М.: Машиностроение, 1980. – 320 с.
4. Комаров М.С. Динамика механизмов имашин. Машиностроение, М., 1969.
5. Иванов Е.А. Муфтыприводов. Машгиз, М, 1959.