ТЕМАОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
ГЛАВА 1. Использование оптимизационных моделей припринятии решений
Успешность решения подавляющегобольшинства экономических задач зависит от наиболее эффективного способа использованияресурсов (денег, товаров, сырья, оборудования, рабочей силы и др.). Именноэффективностью использования, как правило, ограниченных, ресурсов определяетсяконечный результат деятельности любой экономической системы (фирмы, предприятия,отрасли).
Экономическая суть методовоптимизации заключается в том, что, исходя из наличия определенных ресурсов,выбирается такой способ их использования (распределения), при котором обеспечиваетсямаксимум (или минимум) интересующего ЛПР показателя.
Задачи нахождения значенийпараметров, обеспечивающих экстремум функции /> при наличии ограничений, наложенныхна аргументы (независимые переменные) />, носят общее название задачматематического программирования.
Трудности, возникающие при решениизадач математического программирования, определяются, в частности:
· видомфункциональной зависимости критерия эффективности, называемого также целевойфункцией, от независимых переменных;
· размерностьюзадачи, то есть количеством независимых переменных;
· видом и количествомограничений, которым удовлетворяют независимые переменные.
Среди задач математическогопрограммирования самыми простыми и наиболее хорошо изученными являются такназываемые задачи линейного программирования (линейной оптимизации). Для ниххарактерно то, что целевая функция линейно зависит от />, а также то, что ограничения,накладываемые на независимые переменные, имеют вид линейных равенств или неравенствотносительно этих переменных.
Такие задачи часто встречаются напрактике – например, при решении проблем, связанных с распределением ресурсов,планированием производства, организацией работы транспорта и т.д. Во многихслучаях расходы и доходы линейно зависят от количества закупленных или утилизированныхсредств (например, суммарная стоимость партии товаров линейно зависит от количествазакупленных единиц; оплата перевозок производится пропорционально весамперевозимых грузов и т.п.).
Задачи линейного программирования,естественно, не исчерпывают все возможные типы взаимосвязей экономическихпараметров. Более сложными для анализа и численного решения являются задачи нелинейногопрограммирования (нелинейной оптимизации), характеризуемые нелинейной зависимостьюцелевой функции и (или) функций-ограничений от независимых переменных />.
Отметим еще два типа задачматематического программирования, имеющих широкую распространенность в практикепринятия управленческих решений.
Динамическое программирование служит для выбора наилучшего планавыполнения многоэтапных действий. В общем виде постановка задачи динамическогопрограммирования сводится к следующему. Имеется некоторая управляемая операция(целенаправленное действие), распадающаяся (естественно или искусственно) наряд шагов (этапов). На каждом этапе осуществляется распределение и перераспределениересурсов (управление) с целью улучшения ее результата в целом. Задачадинамического программирования – определить оптимальное управление на каждомшаге и, тем самым, оптимальное управление всей операцией в целом.
Следует отметить также задачистохастического программирования. Особенность данного класса задач заключаетсяв том, что ищется оптимальное решение в условиях неполной определенности, когдаряд параметров, входящих в целевую функцию и ограничения, представляют собойслучайные величины.
Решение задач динамического истохастического программирования, а также ряда других задач (например, параметрическогопрограммирования), выходит за рамки настоящего курса лекций.Линейные модели оптимизации в управлении
Сначала рассмотрим задачи линейнойоптимизации (или оптимизационные задачи линейного программирования), математическиемодели которых содержат лишь линейные зависимости от переменных.
Как уже отмечалось, оптимизация,включающая теорию и методы решения задач, в которых критерий оптимальности (целеваяфункция) линейно зависит от параметров задачи, является наиболее разработаннымразделом информационных технологий оптимальных решений. Линейные модели широкоиспользуются в теории и практике принятия управленческих решений.
Современные информационные технологииоптимизации решений широкого класса практических задач включают их формулировку(построение математической модели), математические методы и компьютерныепрограммы решения этих задач, а также методы экономико-математического анализаоптимальных решений.
Общая задача линейной оптимизациизаключается в нахождении максимума (минимума) линейной целевой функции
/>, (2.1)
/> , (2.2)
/> , (2.3)
/>. (2.4)
Функция /> называется целевой функцией,критерием оптимальности или линейной формой.
Вектор значений неизвестных />, удовлетворяющихусловию задачи (2.1)-(2.4), называется допустимым решением или допустимымпланом задачи линейной оптимизации. Совокупность всех допустимых плановназывается множеством допустимых планов. Допустимое решение /> называется оптимальным,если оно обеспечивает максимальное (или, в зависимости от условий задачи, — минимальное) значение целевой функции.
Решение задач линейной оптимизацииможет быть получено без особых затруднений (естественно, при корректнойформулировке проблемы). Классическим методом решения задач данного типа являетсясимплекс-метод. В случае лишь двух переменных успешно может использоватьсятакже графический метод решения, обладающий преимуществом наглядности.Очевидно, в случае /> применение графического методаневозможно.
При решении ряда оптимизационныхзадач требуется, чтобы значения неизвестных />выражались в целых числах. Естественно,к задачам подобного типа относятся те, в которых требуется определитьнеобходимые для принятия решений значения физически цельных объектов (машин,агрегатов различного типа, людей, транспортных единиц и т.д. и т.п.). Такиезадачи относятся к задачам целочисленной оптимизации. Математическая модельзадачи линейной целочисленной оптимизации также определяется формулами(2.1)-(2.4), но в данном случае налагается дополнительное требованиецелочисленности всех (или части) неизвестных. Если требование целочисленностираспространяется лишь на часть неизвестных величин задачи, то такая задачаназывается частично целочисленной.
Процесс построения математическоймодели для решения задачи начинается, как правило, с ответов на следующие вопросы:
· Для определениякаких величин должна быть построена модель, т.е. как идентифицировать переменныезадачи?
· Какие ограничениядолжны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, характерные длямоделируемой системы?
· В чем состоитцель задачи, для достижения которой из всех допустимых значений переменныхнужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему)решению задачи?
После ответа на данные вопросы дляпостроения модели остается только идентифицировать переменные и представитьцель и ограничения в виде математических функций этих переменных.
Надлежащий анализ вопросов подобногорода и корректная формулировка математической модели являются центральным звеномрешения задач линейной (и не только линейной) оптимизации.
Эффективным средством решения задачлинейной оптимизации является MS Excel. Входящий в состав данного программногопродукта пакет Поиск решения (Solver) позволяет проводить решения задачподобного рода с большим (свыше 200) числом переменных и ограничений.
Отметим, что применительно к задачамоптимизации производственной программы предприятия наиболее типичными задачамилинейной оптимизации являются оптимизация дохода, прибыли, себестоимости,номенклатуры производимой продукции, затрат станочного времени и т.п.
Рассмотрим использованиеинформационных технологий решения задач линейной оптимизации на ряде конкретныхпримеров, имеющих непосредственное отношение к практике принятия управленческихрешений.
Пример 1. Определение оптимальногоассортимента продукции
Предприятие изготавливает два видапродукции П1 и П2, которая поступает в оптовую продажу. Для производства используютсядва вида сырья /> и />. Максимально возможные запасысырья в сутки составляют 9 и 13 единиц соответственно. Расход сырья на единицупродукции приведен в таблице.
Таблица 2.1Сырье Расход сырья на единицу продукции Запас сырья, ед. П1 П2
/> 2 3 9
/> 3 2 13
Маркетинговые исследования показали,что суточный спрос на продукцию П1 не превышает спрос на продукцию П2 более чемна
1 ед. Кроме того, известно, что спрос на продукцию П2 не превышает 2 единиц в сутки.
Оптовые цены единицы продукции равныдля П1 3 д.е., для
П2- 4 д.е. Какое количество продукции каждого вида должно производитьпредприятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
Решение
Очевидно, фирме требуется определитьобъемы производства каждого вида продукции в тоннах, максимизирующие доход вд.е. от реализации продукции, с учетом ограничений на спрос и расход исходныхпродуктов. Предположим, что предприятие изготовит /> единиц продукции П1 и /> единиц продукцииП2. Поскольку производство продукции ограничено имеющимся в распоряжениипредприятия сырьем каждого вида и спросом на данную продукцию, а такжеучитывая, что количество изготовляемых изделий не может быть отрицательным,получим следующую систему ограничений
/>
Доход от реализации продукции(целевая функция) составит
/>
Таким образом, данная простая задачасводится к максимизации целевой функции /> при учете вышеприведенных ограничений.
Проведем решение задачи в Excel.
Введем данные на рабочий лист так,как показано на Рис 2.1.
Искомые значения переменных /> будутрасполагаться в ячейках A10 и B10 соответственно, целевая функция – в ячейкеE10.
/>
Рис. 2.1
В ячейки A3, A4 введем левые частифункций – ограничений: =2*A10+3*B10 и = 3*A10+2*B10 соответственно. В ячейкуC10 введем левую часть третьей функции-ограничения: =A10-B10.
Далее, запускаем пакет Поиск решения(Сервис ® Поиск решения) и устанавливаемцелевую и изменяемые ячейки, а также вводим необходимые ограничения (Рис.2.2)
/>
Рис. 2.2 Окно диалога Поиск решения
Поиск решения дает ответ
/> />
Пример 2.Использование мощностей оборудования
Предприятие имеет /> моделей машин различныхмощностей. Задан план по времени и номенклатуре: /> - время работы каждой машины; продукции/> - го видадолжно быть выпущено не менее /> единиц.
Необходимо составить такой планработы оборудования, чтобы обеспечить минимальные затраты на производство, еслиизвестны производительность каждой /> — машины по выпуску /> — го вида продукции /> и стоимостьединицы времени, затрачиваемого />-й машиной на выпуск /> — го вида продукции/>.
Другими словами, задача дляпредприятия состоит в следующем: требуется определить время работы время работы/> — машины повыпуску />-го вида продукции />, обеспечивающее минимальные затратына производство при соблюдении ограничений по общему времени работы машин /> и заданному количествупродукции />.
Решение. По условию задачи машины работаютзаданное время />, поэтому данное ограничение можнопредставить в следующем виде
/>
Ограничение по заданному количествупродукции имеет вид
/>
Задача решается на минимум затрат напроизводство
/>
В данной постановке задачипредполагается, что количество выпускаемой продукции должно быть, по крайнеймере, не менее />. В некоторых случаях недопускается превышение плана по номенклатуре; очевидно в этом случае вограничениях по количеству продукции необходимо использовать знак равенства.
Проведем решение задачи в Excel.Введем данные на рабочий лист так, как показано на Рис 2.3.
В ячейки B7:E7 введем формулы дляограничений по объему выпускаемой продукции
(/>)
в диапазон ячеек F19:F21 – формулыдля ограничений по времени работы машин
(/>)
В качестве целевой ячейки выберем H11и введем в нее формулу минимизируемой функции.
информационный оптимизация линейный модель
/>
Рис. 2.3. Данные для решения примера2
С помощью Поиска решения получимследующий ответ:
Время работы Xij Машина 1 2 3 4 1 803,92 196,07 2 625 375 3 1000
Искомое значение минимальных затратна производство составляет 725,32 д.е.
Следующие два рассматриваемых намипримера относятся к области целочисленной оптимизации.
Пример 3. Оптимизация производственнойпрограммы
Автомобилестроительный заводвыпускает три модели автомобилей, которые изготавливаются последовательно втрех цехах. Мощность цехов составляет 300, 250 и 200 человеко-дней в декаду. Впервом цехе для сборки одного автомобиля первой модели требуется 6человеко-дней, второй модели 4 и третьей модели – 2 человеко-дня в неделю соответственно.Во втором цехе трудоемкость равна 3, 4 и 5 человеко-дней соответственно, втретьем – по 3 человеко-дня на каждую модель. Прибыль, получаемая от продажиавтомобиля каждой модели, составляет соответственно 15, 13 и 10 тыс. д.е.Требуется построить модель оптимального плана и определить оптимальныеколичества моделей каждого типа, т.е. такие, при которых прибыль завода будетмаксимальной.
Решение. Пусть /> - количество выпускаемыхавтомобилей /> -ймодели в течение декады (/>). Модель может быть описана следующейцелевой функцией и системами ограничений
/> (2.5)
Решение
Введем данные на рабочий лист так,как показано на Рис. 2.4.
Искомые значения переменных /> будутразмещаться в ячейках A10:B10, целевая функция – в ячейке E10.
В ячейки A3:A5 введем левые частифункций – ограничений, соответствующих второму, третьему и четвертому соотношениюиз (2.5).
С помощью Поиска решения получимответ
/> />
/>
Рис. 2.4 Данные для решения примера 3
Пример 4. Размещение проектов на предприятиях
Имеется /> инвестиционных возможностей(вариантов проектов), которые можно реализовать на предприятиях. Эффективностьреализации каждой инвестиции на каждом из /> объектов /> задана в таблице 2.2.
Таблица 2.2
Инвестиционные проекты (/>)
Объекты (/>) I II III IV V 1 0.12 0.02 0.50 0.43 0.15 2 0.71 0.18 0.81 0.05 0.26 3 0.84 0.76 0.26 0.37 0.52 4 0.22 0.45 0.83 0.81 0.65 5 0.49 0.02 0.50 0.25 0.27
Целевой функцией, подлежащейоптимизации, является функция
/>
где /> - искомые распределенияинвестиций по объектам.
Таким образом, по смыслу величина />есть ожидаемыйрезультат от осуществления всех инвестиционных проектов. Ограничениями в данномслучае являются следующие соотношения
/>
означающие, что на каждом объектеможет быть реализован лишь один проект, и
/>
означающие, что должны бытьреализованы все проекты. Необходимо распределить проекты по объектам такимобразом, чтобы суммарная эффективность от реализации всех проектов была максимальной.
Решение
Введем данные на рабочий лист(Рис.2.5.).
В ячейку B17 введем формулу=СУММ(B12:B16) и скопируем эту формулу в диапазон C17:F17. Аналогично, введемформулу =СУММ(B12:F12) в ячейку G12 и скопируем ее в диапазон G13:G16. Введем вячейку для целевой функции (I13) формулу
=СУММПРОИЗВ(B4:F8;B12:F16)
/>
Рис. 2.5 Данные для решения примера 4
Для решения задачи с помощью Поискарешения необходимо ввести ограничения в соответствии с приведенным нижерисунком.
/>
Поиск решения дает ответ
/> (остальные />), />. Нелинейные модели оптимизации в управлении
В настоящем разделе мы кратко рассмотримзадачи нелинейной оптимизации (называемые иначе оптимизационными задачаминелинейного программирования), математические модели которых содержат нелинейныезависимости от переменных. Источники нелинейности в задачах подобного типамогут относиться, в частности, к одной из двух категорий:
· Реальносуществующие и эмпирически наблюдаемые нелинейные соотношения, напримернепропорциональные зависимости между объемом производства и затратами, междуколичеством используемого в производстве компонента и некоторыми показателямикачества готовой продукции, между затратами сырья и физическими параметрами(давление, температура и т.п.) соответствующего производственного процесса,между выручкой и объемом реализации и т.п.
· Установленные(постулируемые) руководством правила поведения или задаваемые зависимости,например, правила расчета с потребителями энергии или других видов услуг,правила определения страховых уровней запаса продукции, гипотезы о характеревероятностного распределения рассматриваемых в модели случайных величин,различного рода договорные условия взаимодействия между партнерами по бизнесу идр.
В качестве примера можно рассмотретьформирование оптимальной производственной программы предприятия. По критериюзатрат учитывается себестоимость единицы продукции, которая уменьшается приувеличении объема выпускаемой продукции, что приводит к нелинейному критериюэффективности. Нелинейные зависимости возникают также в ограничениях задачи приточном учете норм расхода ресурсов на единицу производимой продукции.
Вообще говоря, решение нелинейныхзадач по сложности значительно превосходит решение рассмотренных ранее задачлинейной оптимизации. В связи с этим долгое время в практике экономическогоуправления модели линейной оптимизации успешно применялись даже при наличиинелинейности. В одних случаях нелинейность была несущественна и ею можно былопренебречь, в других – проводилась линеаризация нелинейных соотношений илиприменялись специальные приемы, например строились, так называемые, аппроксимационныемодели, благодаря чему достигалась требуемая адекватность. Тем не менее, частовстречаются задачи, для которых нелинейность является существенной и упомянутыевыше методы аппроксимации неэффективны, в связи с чем, нелинейность необходимоучитывать в явном виде.
В отличие от задачи линейнойоптимизации (линейного программирования), не существует одного или несколькихалгоритмов, эффективных для решения любых нелинейных задач. Какой-то алгоритмможет быть эффективен при решении задач одного типа и неприемлемым для задачдругого типа. В связи с этим разработаны алгоритмы для решения каждого класса(типа) задач. Следует иметь в виду, что даже программы, ориентированные нарешение определенного класса задач, не гарантируют правильность решения любых задачэтого класса и оптимальность решения следует проверять в каждом конкретномслучае.
Перечислим некоторые наиболееупотребительные методы решения задач нелинейной оптимизации (нелинейногопрограммирования):
· Оптимизациянелинейной функции с ограничениями на неотрицательность значений переменных(наиболее широко используемыми моделями данного класса являются моделиквадратичного программирования, в которых целевая функция является квадратичнойфункцией переменных />).
· Модели выпуклогопрограммирования; в моделях данного класса целевая функция является вогнутой(или выпуклой), а функции-ограничения являются выпуклыми функциями. При данныхусловиях локальный максимум (или минимум) функции является также глобальным.При решении таких задач используется метод множителей Лагранжа, а также теоремаКуна-Таккера.
· Сепарабельноепрограммирование. В задачах данного класса целевая функция ифункции-ограничения могут быть представлены в виде сумм отдельных компонент.Данные задачи могут быть сведены к задачам линейного программирования.
· Дробно-нелинейноепрограммирование. В этих задачах производится максимизация (минимизация)целевой функции вида
/>
· Если функции /> линейны(задача дробно-линейного программирования), то задача сводится к линейной.
· Невыпуклоепрограммирование. Задачи данного типа принадлежат к наименее изученным инаиболее сложным задачам нелинейной оптимизации. В данном случае целеваяфункция и (или) функции-ограничения не выпуклы. Надежных методов решения такихзадач в настоящее время не существует.
Мы ограничимся рассмотрением лишьнаиболее простых задач нелинейной оптимизации, не требующих использованиясложных аналитических выкладок и анализа, — задач, которые могут эффективнорешаться на базе табличного процессора Excel.
Задача нелинейной оптимизации в общемслучае состоит в отыскании такого вектора неизвестных
/>
который обращал бы в максимум(минимум) функцию
/> (2.6)
и удовлетворял бы системеограничений:
/>, (2.7)
где на некоторые или на всепеременные налагается условие неотрицательности.Использованиеинформационных технологий при решении задач нелинейной оптимизации
Процессор электронных таблиц Excelявляется мощным и достаточно эффективным средством решения задач нелинейнойоптимизации. В качестве иллюстрации возможностей данного программного продуктарассмотрим решение нескольких задач, непосредственно связанных с процессом принятия(выработки) решений.
Пример 5
Рассмотрим следующую задачу.Предприятие располагает ресурсами двух видов сырья и рабочей силы, необходимымидля производства двух видов продукции. Затраты ресурсов на изготовление однойтонны каждого продукта, прибыль, получаемая предприятием от реализации тонныпродукта, а также запасы ресурсов приведены в следующей таблице:
Таблица 2.3 Параметры задачиРесурс Расход ресурса Запас ресурса На продукт 1 На продукт 2 Сырье 1, т 3 5 120 Сырье 2, т 4 6 150 Трудозатраты, ч 14 12 400 Прибыль единицы продукта, тыс. руб./т 72 103
Стоимость одной тонны каждого видасырья определяется следующими зависимостями:
/> тыс. руб. для сырья 1 и /> тыс. руб. длясырья 2
где /> - затраты сырья на производствопродукции. Стоимость одного часа трудозатрат определяется зависимостью />, где /> - затратывремени на производство продукции.
Вопросы
Сколько продукта 1 и 2 следуетпроизводить для того, чтобы обеспечить максимальную прибыль?
Какова максимальная прибыль?
Решение: Пусть /> и /> - объемы выпуска продукции 1 и 2в тоннах. Тогда задача может быть описана в виде следующей модели нелинейногопрограммирования
/>
Проведем решение данной задачи вExcel. На начальном этапе подготовим форму для решения задачи на рабочем листеследующего вида
/>
Рис. 2.6. Данные для решения примера5
Отведем для искомых значений объемоввыпуска продукции ячейки B8, C8, для расхода соответствующих ресурсов (включаятрудозатраты) – ячейки B3, B4, B5. В данные ячейки необходимо ввести функции
=3*B8+5*C8
=4*B8+6*C8 и
=14*B8+12*C8 соответственно.
Численные значения ограничений поресурсам внесем в ячейки C3, C4, C5. В ячейку E10 введем формулу для целевойфункции
=11*B8+16*C8+0,1*B8^2+0,12*C8^2+0,22*B8*C8.
Решение задачи производится с помощьюПоиска решения Excel. Изменяемыми ячейками будут, очевидно, ячейки B8, C8; целеваяячейка устанавливается равной максимальному значению; используются следующие ограничения:$B$3
/> и значение максимальной прибыли507.407 тыс. руб.
Пример 6
Рассмотрим следующую задачу.Предприятие может выпускать два вида продукции. На ее изготовление требуютсяресурсы трех видов (/>). С учетом брака расход ресурсовна единицу производимой продукции /> — го вида (/>) определяется выражением/>, априбыль в зависимости от объемов производства равна />, где /> — искомый объем производства продукции/> — го вида;/> — нормарасхода />-го ресурса на производство единицы продукции /> — го вида; /> - коэффициент изменениярасхода соответствующего ресурса с учетом выпуска бракованных изделий; /> - прибыль отединицы продукции /> — го вида; /> — коэффициент измененияприбыли, влияющий на объем производства продукции.
Требуется найти такие объемыпроизводства продукции, при которых прибыль максимальна.
Значения параметров задачи приводятсяв нижеследующей таблице.
Ресурс (/>) Запас ресурса
Норма расхода ресурсов /> на продукцию вида />
Коэффициент изменения норм расхода ресурсов />на продукцию вида /> 1 2 1 2 1 1350 15 18 0,1 0,05 2 1400 12 16 0,2 0,2 3 1580 17 14 0,1 0,15 Прибыль (ден. ед.) 100 120
Коэффициент изменения прибыли -0,08 -0,1
При заданных значениях параметровцелевая функция имеет вид
/>,
или
/>.
Ограничения по ресурсамимеют вид
/>
или
/>
Как видно, в данной задаче какцелевая функция, так и функции-ограничения являются нелинейными функциями.Требуется найти решение задачи в целых числах.
Решение
Заполним рабочий лист по аналогии сРис 2.7
/>
Рис. 2.7 Данные для решения примера 6
В ячейки B3¸B5 введем формулы-ограничения, вячейку E8 – формулу для целевой функции. Дополнительное ограничение – нацелочисленность переменных />. После запуска Поиска решенияполучим ответ
/>
Пример 7
Рассмотрим задачу несколько иногорода. Пусть необходимо определить место расположения некоторого объекта,обслуживающего несколько других объектов (например, прачечная, обслуживающаянескольких крупных клиентов; нефтеперерабатывающий завод, на который должнапоступать нефть с нескольких скважин, склад готовой продукции, обслуживающийряд предприятий, производящих однотипную продукцию и т.п.), координаты которыхизвестны. Цель – свести к минимуму транспортные расходы с учетомнеравноценности клиентов (например, различные объемы заказов). В связи с этимвозникает необходимость такого выбора координат объекта, чтобы транспортныерасходы были минимальны.
В качестве целевой функции принимаем:
/>
де /> - искомые координатыобслуживающего клиентов объекта, /> — координаты />-го обслуживаемогообъекта, /> -заданные коэффициенты, характеризующие, например, объемы заказов, или удельную(в расчете на 1 км.) стоимость доставки из соответствующих объектов. Отметим,что в данной задаче не используются ограничения положительности />.
Решение проведем для трех случаев,соответствующих 1) отсутствию каких-либо ограничений на координаты />, 2) необходимостиразмещения обслуживающего объекта на некотором прямолинейном отрезке (например,объект может быть расположен лишь на отдельном небольшом участке улицы), 3)расположению объекта в пределах некоторого круга заданного радиуса. Ограничимсяслучаем трех обслуживаемых объектов />.
Первый случай. Отсутствуют какие-либо ограниченияна координаты />.
Решение
Введем данные на рабочий лист всоответствии с приводимым ниже рисунком.
В качестве изменяемых ячеек выберемB10, B11; в качестве целевой ячейки — ячейку E11 и введем в нее формулу
=J6*КОРЕНЬ((B10-A6)^2+(B11-B6)^2)+K6*КОРЕНЬ((B10-D6)^2+(B11-E6)^2)+L6*КОРЕНЬ((B10-G6)^2+(B11-H6)^2).
/>
Рис. 2.8 Данные для решения задачи орасположении объекта (без ограничений)
Решение задачи с помощью Поискарешения при заданных координатах точек /> дает /> оптимальное значение целевойфункции составляет 11,0746.
Второй случай. Координаты /> принадлежат некоторому отрезкупрямой линии, задаваемой уравнением
/>
(в данном примере мы используемзначения />).
Решение
Введем данные на рабочий лист всоответствии с приводимым ниже рисунком.
Очевидно, формула для целевой функции(ячейка E12) остается неизменной.
/>
Рис. 2.9 Данные для решения задачи орасположении объекта (координаты объекта лежат на отрезке прямой линии)
Единственным отличием от предыдущегослучая является необходимость ввода дополнительного ограничения в ячейку B13; вячейку B13 вводится формула =B9-B15*B8 и в окне диалога Поиск решения вводитсяограничение $B$13=$B$16.
Ответ
/>оптимальное значение целевой функциисоставляет 13,6843
Третий случай. Координаты /> лежат внутри некоторой окружностирадиуса /> (мыполагаем />).Данный случай может соответствовать, например, ситуации, когда необходиморазместить объект вблизи некоторого населенного пункта.
Решение
Введем данные на рабочий лист всоответствии с приводимым ниже рисунком.
/>
Рис. 2.10 Данные для решения задачи орасположении объекта (координаты объекта локализованы в пределах кругаопределенного радиуса)
Целевая функция располагается вячейке E11, искомые координаты объекта будут располагаться в ячейках B7, B8. Вячейку B12 введем функцию = B7^2+B8^2. Введем ограничение $B$12 целевая функция />.
Пример 8. Формирование оптимального портфеляценных бумаг
Требуется сформировать портфельминимального риска из двух видов ценных бумаг – “АРТ” с эффективностью 12% и риском21,1 и “ВЕРМ” с эффективностью 5,1% и риском 8,3 при условии, что обеспечиваетсядоходность портфеля не менее 8,9%. Коэффициент корреляции /> равен 0,18.
Вводные замечания. Портфель ценных бумаг представляет собойсовокупность различных инвестиционных инструментов, собранных воедино длядостижения конкретной инвестиционной цели вкладчика. В портфель могут входитьценные бумаги только одного типа, например акции или облигации, или различныеинвестиционные ценности, такие как акции, облигации, депозитные исберегательные сертификаты, недвижимость и т.д.
Главная цель в формировании портфелясостоит в достижении оптимального сочетания между риском и доходом дляинвестора. Уменьшение риска достигается за счет того, что возможные невысокиедоходы по одной бумаге будут компенсироваться высокой прибылью по другимбумагам. Минимизация риска достигается за счет включения в портфель бумагширокого круга отраслей, не связанных тесно между собой, чтобы избежатьсинхронности циклических колебаний их деловой активности.
Для получения количественныххарактеристик портфеля могут использоваться следующие характеристики:
/> – доходность (эффективность)портфеля ценных бумаг, рассчитываемая по формуле
/>
где /> – доли инвестиций, помещенных вкаждый из видов активов; /> – ожидаемая ставка дохода покаждому виду активов. Риск портфеля />(стандартное отклонение ставок доходапо портфелю) представляет собой квадратный корень из дисперсии портфельногодохода (дисперсию доходности портфеля называют его вариацией />), которая определяетсяпо формуле
/>
где /> – коэффициент корреляции доходовмежду i-м и j-м активом; /> риски отдельных видов ценныхбумаг.
Задача оптимизации заключается в том,чтобы определить, какая доля портфеля должна быть отведена для каждой из инвестицийтак, чтобы величина ожидаемого дохода и уровень риска соответствовали целяминвесторов. Целевой функцией может быть минимизация риска при заданнойдоходности, или максимизация дохода при риске не выше заданного.
Решение. В случае всего двух видов активовформула для расчета риска упрощается и приобретает вид
/>
Введем данные на рабочий лист всоответствии с Рис. 2.11.
/>
Рис. 2.11.Данные для решения задачи оминимизации риска портфеля ценных бумаг
Формулу для расчета /> введем в ячейку С6;формулу для значения доходности портфеля – в ячейку С7 (=СУММ(12*A3+5,1*B3)).Формула для минимизируемой целевой функции
=КОРЕНЬ((A5*A3)^2+2*A3*B3*A5*B5*C5+(B5*B3)^2)
— в ячейку E5.
Используемые ограничения
· Значение />(ячейка C6)должно равняться единице.
· Значениедоходности портфеля ценных бумаг
/> (ячейка C7) должно быть не менее8,9.
/>
Ответ />
Минимальный риск при этом составляет />