1. Предметі завдання опору матеріалів
Інженерамбудь якої спеціальності необхідно створювати надійні споруди, машини і прилади.Надійними прийнято вважати такі конструкції, які є достатньо міцними, достатньожорсткими та достатньо стійкими. Міцність – здатність чинити опір неруйнуючись. Жорсткість – здатність деформуватися в заданих межах. Стійкість– здатність зберігати початкову форму рівноваги. Таким чином, опірматеріалів – наука про інженерні методи розрахунків на міцність,жорсткість, стійкість. ОМ – розділ механіки твердого тіла, який опирається назнання фізики, математики і теор. мех. і є основою для спец дисциплін. Н-дтеорії машин і мех-мів, теорія споруд, деталі машин, спец машини і прилади і тд. Об’єктом вивчення в ОМ є реальне тверде тіло, що здатне деформуватись, тобтозмінювати форму і розміри під навантаженням.
2.Сили та деформації
В ОМ силиподіляються на 2 класи:
· Зовнішні
· внутрішні
Зовнішні–результат дії інших тіл на дане тіло. Зовнішні сили поділяються на:
♦поверхневі — прикладені до поверхні тіла. В свою чергу вони поділ на:
- зосередженні (Н)
- розподілені по поверхні або вздовж лінії (Н/м)
- За площею (Н/м2)
- Об’ємні (Н/м3) — сила гравітації, електромагнітна дія,теплова дія.
♦об’ємні — прикладені до кожної частки тіла.
♦постійні
♦тимчасові – за х-ром дії
♦статистичні – при яких відсутні пришвидшення точок
♦динамічні – при яких виникають значні пришвидшення точок тіла, внаслідок чого єдодаткові сили інерції, які необхідно враховувати.
Внутрішні–в ОМ розглядаються тільки ті внутр сили, які виникають внаслідок навантаження,їх називають силами опору.
Існує4 простих деформації:
1. розтяг або стиск
2. зсув
3. кручення
4. згин
Розтягабо стиск стрижня спричиняється силами, що діють вздовж його осі. Зсув – колина тіло діють поперечні сили. Кручення – спричинюється парами сил, площини діїяких перпендикулярні до осі стрижня. Коли присутній крутний момент Т. Згин –вісь балки деформується в площині, що збігається з силовою. Присутні згинаючімоменти.
3.Реальне деформоване тіло та його модель
В ОМреальне тверде тіло моделюють з допомогою наступних гіпотез:
◄Матеріал суцільний і однорідний
◄Матеріал ізотропний (ізо – однаковий, тропія — властивості) – має однаковівластивості в усіх напрямках. Але є й анізотропні матеріали: дерево,залізобетон, бетон.
◄Матеріал ідеально пружний – повністю відновлює форму і розміри післянавантаження.
◄М-л підкоряється законові Гука (існують винятки)
◄Гіпотеза плоских перерізів – перерізи, що є плоскими і нормальними до осі додеформації залишаються такими і після деформації.
Якщосправедливими є гіпотез 4 і 5 то це дозволяє застосовувати принцип незалежностідії сили (результат дії суми сил може визначатися як сума результатів діїкожної сили окремо).
4.Внутрішні сили. Метод перерізів
Внутрішнісили – в ОМ розглядаються тільки ті внутр сили, які виникають внаслідокнавантаження, їх називають силами опору. Внутрішні сили визначають методомперерізів. Розглянемо сис-му відліку. Помістимо в ній тверде тіло.
Внутрішнісили можуть бути визначеними з умов рівноваги залишеної частини тіла.
Σx= 0; Σy= 0;Σz= 0;
Σmx= 0; Σmy= 0; Σmz= 0.
Якщоцієї умови достатньо для визначення внутр сил, то такі задачі назив. статичновизначеними. Якщо ж цієї умови недостатньо, то такі зад назив. статичноневизнач. і розв’язують спец методами.
/> />
5.Напруга – міра інтенсивності внутр сил. Деформації в точці навантаженого тала
∆А– невелика площина
∆R – рівнодійнавнутр сил на даній площині
Якщо ∆R/∆А то мизнайдемо середню напругу: ∆R/∆А = Pm[Па] – сер мех. напруга наплощині ∆А
lim∆А→0∆R/∆А = P – мех. напруга вточці навантаження тіла (повна)
∆N – нормальнаскладова внутр сили
∆Q – дотичнаскладова внутр сили
lim∆А→0∆N/∆А =σ – нормальна напруга
lim∆А→0∆Q/∆А =τ – дотична напруга
Р2=σ2 + τ2 – зв’язок між напругами
Поділнапруг на нормальну і дотичну має глибокий фізичний зміст, кожна з цих напругспричиняє свій х-тер руйнування:
σ– руйнуваннявідривом
τ–руйнування зсувом або зрізом
6.Поняття про основні конструктивні форми. Вади простих деформацій бруса
Основнимиконструктивними формами є:
Брус- тіло у якого поперечні розміри і довжина відрізняються на порядок. Вонибувають криволінійні, прямолінійні, сталого попер перер.
Пластина– тіло обмежене 2-ма площинами на близькій відстані одна від одної.
Оболонка– тіло обмежене 2-ма криволінійними поверхнями на близькій відстані одна відодної. Вони бувають сферичними, циліндричними, конічними.
Масив– тіло що має всі розміри одного порядку. До таких відносять: основи тафундаменти, греблі, підпорні стіни та ін..
Існує4 простих деформації бруса:
5. розтяг або стиск
6. зсув
7. кручення
8. згин
Розтягабо стиск стрижня спричиняється силами, що діють вздовж його осі. Зсув – колина тіло діють поперечні сили. Кручення – спричинюється парами сил, площини діїяких перпендикулярні до осі стрижня. Коли присутній крутний момент Т. Згин –вісь балки деформується в площині, що збігається з силовою. Присутні згиннімоменти.
7.Механічні х-тики будівельних матеріалів. Діаграми розтягу і стиску
/>
Міцністьм-лу залежить від його фізичної природи, отже виникає потреба визначити деякічислові х-ки міцності та пластичності м-лів, такі х-ки визначаютьекспериментально. Числові х-ки міцності та практичності називають механічнимих-ками і визначають випробовуючи спец зразки на спец лаб обладнанні. Стандартнізразки на розтяг: циліндричний та призматичний. Стандартні зразки на стиск:циліндри та куби. Такі зразки випробовують на спец випробовувальних машинах згідравлічним або механічним принципом дії. Випробовування виконують пристатичному навантаженні зразка.
Точка1 відповідає границі пропорційності м-лу. Границею пропорційності є відношення:
σpr= Fpr/A
A– початкова площа поперечногоперерізу.
σpr– границяпропорційності – це така найбільша нормальна напруга, до якої спостерігаєтьсяпрямо пропорційна залежність між силою та подовженням.
Наділянці 0-1 має місце лише пружна деформація матеріалу. На ділянці 1-2починається відхилення від прямо пропорційної залежності. Т 2 відповідаєграниці пружності матеріалу і визначається за ф-лою: σe= Fe/Ao
Границяпружності – це така найб нормальна напруга при якій залишкова деформація неперевищує нормативного значення (0,001-0,05%). На ділянці 1-2 спостерігаєтьсянормативна залишкова деформація. Ділянка 2-3 називається площиною текучостіматеріалу. Т 3 відповідає границі текучості матеріалу, яка визначається заф-лою:
σy= Fy/Ao
Границятекучості – це така найб норм напруга при якій ріст деформації відбувається безпомітного затрачання сили. Ділянка 3-4 відповідає так званому зміцненнюматеріалу, що відбувається за рахунок так званого „внутрішнього тертя”. Т 4відповідає границі міцності матеріалу
σu= Fu/Ao
σu – границяміцності матеріалу – найб норм напруга до руйнування.
8.Метод розрахунків в ОМ. Основні види задач ОМ
Статичноневизначена задача визначення силового стану конструкції розв’язуютьрозглядаючи 4 сторони задачі:
1 –статична сторона задачі: складають всі можливі рівняння рівноваги.
2 –геометрична сторона задачі: складають додатково до рівнянь рівноваги, так званірівняння сумісності деформацій розглядаючи здеформований стан конструкції вцілому.
3 –фізична сторона задачі: на основі закону Гука та закону лінійного тепловогорозширення виражають зусилля через деформацію, або навпаки.
4 –синтез: розв’язують сумісно статичні, фізичні та геометричні р-ня.
/> />
9.Деформація розтягу та стиску: поздовжня сила, напруга, з-н Гука, коеф Пуассона
В поперечномуперерізі стрижня виникає нормальна напруга σ, яка рівномірно розподілена вплощині цього перерізу, а отже може визначатися за формулою:
σ= N/A[Па](1)
l1 – l= ∆l (2) — абсолютнеподовження
b1– b= ∆b(3) — абсолютне звуження
∆l/l= ε (4) – відноснеподовження
∆b/ b= ε'(5) – відноснезвуження
|ε'/ε| = ν (6) – коеф Пуассона
ν – є фізичноюконстантою даного матеріалу.
Міжнапругою та деформацією існує фізичний зв’язок за законом Гука
σ= Е*ε (7)
Е –модуль Юнга(модуль пружності)
Е = [Па] – фізична константаматеріалу
Підставимо1 і 4 в 7 і одержимо
∆l= Nl/EA
EA – жорсткість прирозтязі, стиску.
10.Розрахунок на міцність при розтязі, стиску. Врахування власної ваги бруса прирозтязі та стиску, брус рівного опору
Привеликих довжині та густині матеріалу необхідно враховувати вплив власної вагистрижня на напругу та деформацію. Це стосується таких конструкцій якфундаменти, під будівлі та обладнання, греблі… Розглянемо стрижень під дієюзовн сил і власної ваги. Визначимо нормальну напругу в поперечних перерізахстрижня враховуючи його вагу. За методом перерізів (Q(x) — вага)
N(x) = + F+ Q(x) = F+ ρgAx
Визначимонапругу в тому ж перерізі:
σ(x) = N(x)/A= F/A+ ρgx
Якщо F = 0, то σ(x) = ρgx– напруга лише відвласної ваги. Аналізуючи цю формулу зауважимо, що напруга залежить відматеріалу, довжини і не залежить выд площі. Подовження від власної вагивизначають за ф-лою:
∆l= Ql/2EA
∆l= Nl/EA– з-н Гука/> />
Отжеподовження від власної ваги є в 2 рази меншим ніж від такої ж за величиноюзовнішньої сили. Для заощадження матеріалу при значному впливі власної вагитреба створювати брус рівного опору. Тобто такий, в якому напруга в усіхперерізах однакова і рівна допустимій. Практична реалізація такого стрижняскладна, і тому практично реалізовуються ступінчаті стрижні.
11.Статично невизначені стрижневі сис-ми та метод визначення зусиль у такихсис-мах
Статичноневизначеними називають сис-ми, силові фактори в елементах яких тільки зрівнянь рівноваги визначити не можна. У таких сис-мах зв’язків більше ніжпотрібно для рівноваги.
Статичноневизначена задача визначення силового стану конструкції розв’язуютьрозглядаючи 4 сторони задачі:
1 –статична сторона задачі: складають всі можливі рівняння рівноваги.
2 –геометрична сторона задачі: складають додатково до рівнянь рівноваги, так званірівняння сумісності деформацій розглядаючи здеформований стан конструкції вцілому.
3 –фізична сторона задачі: на основі закону Гука та закону лінійного тепловогорозширення виражають зусилля через деформацію, або навпаки.
4 –синтез: розв’язують сумісно статичні, фізичні та геометричні р-ня.
12.Основні властивості статично невизначених сис-м. Початкові та температурнізусилля
Основнів-ті стат невизначених сис-м:
◄Розподілення зусиль між стрижнями статично невизначеної конструкції залежитьвід відношення жорсткостей цих стрижнів та від геометрії будови самоїконструкції.
◄Більше зусилля виникає в тому стрижні, що має більшу жорсткість.
◄Відношення жорсткостей може мати нескінченну к-ть значень, тобто у статневизначених конструкціях може мати місце нескінченна к-ть варіантів розподілузусиль.
Ізостанньої властивості випливає можливість оптимізації розподілу зусиль у статневизн конструкціях: необхідно знайти таку конструкцію, яка задовольняє умовиміцності, жорсткості та стійкостіі є оптимальною за витратами матеріалу,коштів, енергоресурсів, тобто за зведеними витратами.
Початковізусилля – це зусилля, що виникають до прикладання корисного навантаження. Приприкладанні корисних напружень виникає наступний перерозподіл сил: 1-ша групаелементів ще більше напружується, але при цьому інша зазнає розвантаження.
При велементах стат невизн конструкцій виникає так звана температурна напруга.Внаслідок зміни температури стрижня на ∆t непіддатливі опори будутьреагувати на розширення стрижня тобто виникнуть р-ції R1 i R2. Температурна напругазалежить лише від матеріалу і зміни температури, але не залежить відпоперечного перерізу.
13.Поняття про статичний момент плоского перерізу. Визначення центра мас складеноїплоскої фігури.
/>
Нехаймаємо довільну сис-му координат. За аналогією з моментом сили відносно осіможемо записати вирази:
dSz= y*dA(1)
dSy= z*dA
Sz= ∫AydA
Sy= ∫AzdA(2)
SziSy– статичні моментиплоского перерізу відносно осей координат.
Нехайт С є центром мас попер перер, yc, zc– координати центра мас.
Sz= ycА
Sy= zcА (3)
yc= Sz/А
zc= Sy/А (4)
Враховуючи,що інтеграл за всією площею рівний сумі інтегралів за окремими її складовими,що має n частин:
/>(5)
простимперерізом вважається такий в якого відомо положення центра мас (Ο, ∆,□, прокатні профілі, кутик, швелер, двотавр). Будь який складений перерізмає у своєму складі декілька простих перерізів. Для будь якого складеногоперерізу ф-лу 4 можна записати у вигляді
/> /> (6)
14.Моменти інерції плоскої фігури. Моменти інерції простих перерізів/> />
Використовуючирисунок запишемо вирази:
/>[м4]
— осьові моменти інерції плоского перерізу.
І> 0 /> [м4]
— відцентровий момент інерції
Iyz> 0; Iyz
/>
— полярний момент інерції.
Якщоспівпадають початки координат у полярній та Декартові сис-мах то ρ2= z2+y2
/>
Отже,полярний момент інерції рівний сумі осьових моментів інерції.
а)прямокутний
/> />
/>
/>
/>
б)трикутний
/>
в)круглий
/>
/>
г)кругле кільце
/>
Моментиінерції прокатних профілів див у табл. сортаменту.
/> />
15.Залежність між моментами інерції при паралельному перенесенні осей
Врезультаті паралельного зміщення сис-ми координат, координати елементарноїплощинки dA перетворяться наступним чином
/>
Визначимомоменти інерції відносно осей y1 i z1
/>
Найчастішерозгул задачі про паралельне перенесення центральних осей. В такому випадку SZc= 0;SYc = 0 а ф-ли 1, 2, 3 набувають вигляду
/>
Аналізуючи4 зауважуємо, що найменше значення моменти інерції мають відносно центральнихосей. Віддаляючи паралельно вісь від центральної осі спостерігаємо суттєвезбільшення момента інерції на величину а2А.
/> />
16.Залежність між моментами інерції при повороті осей
Повернемовправо Декартову сис-му координат в додатному напрямі на деякий кут α. Вновій сис-мі координат z1 i y1. Змінились координати:
Z1= | OA| + | ED| = zcosα+ ysinα(1)
Y1= | BD| — | AE| =ycosα– zsinα(2)
1 і 2 – є відомимиф-лами перетворення координат при повороті сис-ми відліку. Визначимо моментиінерції перерізу в новій сис-мі координат.
а)осьові моменти інерції:
/>
б)відцентрові моменти інерції
/>
Такимчином, можна зробити висновок, що при повороті сис-ми координат сума моментівінерції залишається сталою і рівною полярному моменту інерції відносно початкукоординат. Тобто:
Iy+ Iz= Iy1+ Iz1= IP
17.Головні центральні осі та головні моменти інерції
Головнимиосями інерції називаються такі осі відносно яких моменти інерції набуваютьекстремальних значень. Головні осі, що проходять через центр мас поперечногоперерізу називають головними центральними осями. Визначимо положення головнихцентральних осей:
Дослідимоф-лу
/>
наекстремум, як Iz1 = f(α)
/>
Зф-ли 3 визначаємо 2 значення α0: власне α0іα0+ 90º. Тобто при Iz = екстремуму і Iy має максимальнезначення. При Iz= Іexstrі Iy= Іexstr(4).
Головніосі, зазвичай, позначають спеціальними символами u та v. Порівнявши 1 і2 можна зауважити, що Іuv= 0. Таким чином,відносно головних осей відцентровий момент інерції = 0. Ф-ла 4 – є необхідноюумовою екстремуму осьових моментів інерції. Знаючи положення головних осейможна найкращим чином орієнтувати переріз стосовно навантаження, щоб отриматинайбільший опір.
/> />
18.Розрахунки на міцність при зсуві. Закон Гука при зсуві
Зсув– виникає тоді коли при дії поперечних сил відбувається паралельне зміщеннясусідніх поперечних перерізів при незмінній відстані між ними. ∆S – абсолютнийзсув. γ – доволі малий кут згідно гіпотези малих деформацій
/>(1)
Призсуві в межах пружності матеріалу виконується з-н Гука, який можна записатинаступним чином
τ= Gγ (2)
τ– дотична напруга в площині зсуву, при рівномірному розподілі цієї напруги вплощині зсуву її можна визначати за ф-лою
τ= Q/A(3)
G – модуль зсуву.
Врахувавши1 і 3, 2 можна представити у вигляді:/>(4)
GA – жорсткість призсуві.
Умоваміцності при зсуві має вигляд:
/> (5)
τadm – допустима дотичнанапруга.
19.Розрахунки на міцність заклепочних та зварних з’єднань
/>
Втакому з’єднанні площина зрізу буде визначатися за ф-лою:
/>
n3 – к-ть площин зрізу однієїзаклепки.
n – к-ть заклепок.
Тодіумова міцності для такого з’єднання матиме вигляд:
/>
Найчастішеіз ф-ли 3 визначають d або n.
Крімміцності на зріз таке з’єднання повинно мати міцність на зім’яття. Вважають, що площаконтакту:
/>
d – діаметр
/> — найменшасума товщин з’єднувальних деталей, що зсуваються в один бік.
Умоваміцності матиме вигляд:
/>
Післяпідстановки в 5 ← 4 отримаємо:
/>
Заклепкиповинні одночасно задовольняти обидві умови міцності 3 і 6.
/>Зварне з’єднаннярозглянемо на прикладі стикового зварного з’єднання двох пластинок певноїтовщини за допомогою електро або газозварювання:
lp= lw+ 10мм (7)
lp – проектнадовжина шва
10мм– технологічна поправка на „непровар”.
/> (8)
Nα – створює нормальну напругув шві
Qα – створюєдотичну напругу в шві
Тобтозварний шов працює на розтяг та зріз. Умови міцності матимуть вигляд:
/>
Міцнийшов повинен задовольняти одночасно 2 умови.
20.Згин прямого бруса в головній площині. Типи балок, опори та опорні реакції
Брус,що працює на згин називається балкою. Якщо навантаження на балку лежить вголовній площині інерції, то балка зігнута. Такий згин називається прямим абоплоским. Балки можуть опиратися на:
— шарнірно рухома опора
/> - шарнірно-нерухома опора
/>/> — жорстке защеплення
Опорніреакції можуть визначатись їз загальних умов рівноваги, якщо балка є статичновизначена, або за спеціальними методами розкривання статичної невизначеності,якщо балка стат невизн. Основні типи статично визначених балок:
— консоль
/> — двохопорна статичновизначена балка
/> — багато опорні балки зпроміжними шарнірами
/>
Длятаких балок крім р-нь рівноваги можна також складати додаткове р-ня:
/>
21.Побудова епюр згинних моментів та поперечних сил. (П-д побудови)
/>
Визначаютьопорні реакції із умов рівноваги балки.
Q(x) = 0
M(x)= +M0
0= x = l
Q(x)= +F
M(x)= -Fx
M(0)= 0
M(l)= -Fl
/>
0= x = l
Q(x)= +qx
Q(0)= 0
Q(l)=ql
/>
/>
M(0)= 0
/>
0= x = l
/>
Q(0)= 0
/>
/>
22.Диференціальнізалежності Журавського при згині та їх застосування для контролю побудови епюр Q(x) та M(x)
/>
Складемоумови рівноваги внутр і зовн сил
Σx= 0 Qy+ qdx— Qy– dQy= 0
/>
— перша похідна Qy по х = інтенсивності розподілу сили. Σmc = 0;
-Mz + Mz + dMz – Qxdx – dQY0.5dx = 0
/>
Використовуючивластивості похідних функції однієї залежності можна сформулювати наступніправила контролю:
Якщо q = 0 то Qy = const
Якщо q = const то Qy = лінійна ф-я
Якщо q = лінійні ф-я то Qy = квадратнапарабола
Якщо Qy = 0 то Mz = const
Якщо Qy= лінійні ф-я то Mz= квадр парабола
Якщо Qy= const то Mz = лін ф-я
Якщо Qny то Mn+1z
Якщо q ↑ 0 то Qy ↑ ф-я
Якщо Qy ↓ 0 то Mz↓
23.Нормальна напруга при згині
/>
Розглянемочистий згин балки прямокутного поперечного перерізу.
Ізрис бачимо, що при М > 0 верхня частина волокон стискується, нижня –розтягується. Є шар волокон довжина яких не змінюється, такий шар називаєтьсянейтральним. Лінія перетину нейтрального шару з площиною поперечного перерізу ідо і після деформації – пряма лінія. Таким чином результатом дії згинногомоменту є нормальна напруга розтягу чи стиску. Цю нормальну напругу визначаютьза ф-лою Нав’є:
/>
σ- нормальна напруга в довільній точці довільного перерізу балки.
М –згинний момент в даному перерізі балки
y — відстань відн.о. до т К в якій визначають напр. σ
Ін.о.– мом інерції перерізу балки відносно нейтральної осі.
Аналізуючицю ф-лу зауважимо, що σ є ф-єю від y, бо М = const, Iн.о.= const, σ= f(y) – лінійназалежність.
σ= σmax при y= ymax. Отже найбσ завжди ивникає в точках найб віддалених від н.о.
σ= σmin= 0; y= 0
Вточках, що належать н.о. нормальна напруга 0. З ф-ли яку ми розглядалинормальна напруга не змінюється за шириною перерізу. Отже, графік залежностіσ= f(y) можна будувати вплоскому зображенні. Такий графік називається епюрою розподілу напруг.Визначимо
/>
Якщобалка має сталий попер перер.
/>/>
24.Дотична напруга при згині
/>
Рис бпідтверджує, що в площині дотику обох скріплених балок виникає дотична напруга.Отже така напруга виникає і в суцільній. За законом парності дот напруг таканапруга виникає і в попер перер. Цю ж напругу визначають за ф-лою Журавського.
/>
τ– дотична напруга в довільній точці, довільного перер балки.
/>
Q – поперечна силав даному перерізі
Sвн.о. – статичниймомент відносно центральної осі тієї частини перерізу, що лежить над точкою К
Sвн.о. = Авус
b(y) – ширинаперерізу на рівні т.К
Ін.о.– момент перерізу балки відносно н.о. Із розглянутої вище ф-ли випливає, що
/>
τ= τmax при y = 0
Отженайб дот напруга виникає в т, що лежить на н.о.
τ = τminпри y = ymax
Отжев т найбільш віддаленій від н.о. дотична напруга = 0.
τ– є сталим за шириною перерізу
25.Р-ки на міцність при згині. Раціональна форма поперечного перерізу балки
Міцнабалка повинна одночасно задовольнити 2 умови:
/>
Qmax – максимальна поперечнасила з епюри
Smax – статистичний моментчастинки перерізу над н.о.
b – ширинаперерізу на рівні н.о.
Ізцих умов можна розв’язувати всі три типи задач ОМ.
Якщопроаналізувати епюру розподілу напруг, то можна зауважити, що в районі н.о.балка недонапружена. Отже матеріал потрібно переміщувати як найдалі від н.о. Вцьому випадку найб раціональним перерізом є двотавр.
26.Напружений і здеформований стан у точці навантаженого тіла. Види напруженогостану
Напруженийстан за своєю природою не може залежати від сис-ми координат тобто єінваріантним. Тому його описують не тільки компонентами тензора
/> ,
але йнапругами, що не залежать від сис-ми відліку. Такі напруги називаютьсяінваріантами напруженого стану. Теорією пружності доведено, що через будь якуточку завжди можна провести 3 взаємно перпендик площинки на яких буде відсутнядотична напруга. Такі площинки називаються головними. Нормальну напругу, щовиникає в цих площинах називають головною напругою. В залежності від наявностіголовних напруг розрізняють наступні види напруженого стану:
— об’ємнийнапружений стан
тристороннього
розтягу.Н-д в точці
контактуколеса з
рейкою,кулі з
обоймою.
/>
— плоский напружений стан двостороннього розтягу
/>
Н-д встінці
резервуара,що
знаходитьсяпід
дієювнутр тиску
— Лінійний напружений стан
Н-дрозтяг,
Стиск
27.Закон парності дотичних напружень
Дотичнінапруги на двох взаємно перпендикулярних площинах рівні за величиною і оберненіза напрямком. Закон парності дотичних напружень має загальний характер і дієзавжди, коли в точці навантаженого тіла з будь яких причин виникає дотичнанапруга.
28.Напруга в нахилених площинах при лінійному напруженому стані
/>Розглянемо напруженийстан звичайного центрального розтягу.
А –площина попер перер
Аα– площина нахиленого перер
/>/>
Дослідимо1 і 2 на екстремуми
σα= σmax= σ при α = 0
Отже,найб норм напруга виникає в попер перер.
σα= σmin= σ при α = 90º
впоздовжніх перерізах стрижнів прямолінійна напруга відсутня, тобто поздовжніволокна матеріалу не натикуються одне на одне
τα= τmax= σ/2 при α = 45º
τα= τmin= 0 при α = 0
Тобтов поперечних перерізах дотична напруга відсутня, отже попер перер є головноюплощиною.
/>29. Напруга в нахиленихплощинах при плоскому напруженому стані.
Розглянеплоский напружений стан двостороннього розтягу. Визначимо σατα використавши принцип незалежності дії сил і ф-ли:
/>
/>
Дослідимо3 на екстремуми
/>
Звідсивипливає, що τ = 0 тобто найб норм напруга виникає в тих площинках денемає дотичної напруги, тобто в головних площинах.
/>
31.Кручення прямого круглого стержня. Розрахунки на міцність та жорсткість прикрученні
Брус,що працює на кручення називається валом. При чистому крученні в поперечномуперерізі вала виникає лише крутний момент Т. Його визначають методом перерізів,згідно з яким, крутний момент = алгебраїчній сумі зовнішніх зкручуючих моментівна один бік від перерізу. Графік залежності Т(х) називають епюрою згиннихмоментів.
Надійнівали повинні одночасно задовольняти 2 умови:
а)Умову міцності:
/>
2 –умова міцності для ділянки вала
Умоваміцності для всього вала:
/>
здопомогою 2 і 3 р-нь можна розв’язати всі три типи задач ОМ.
б)Умову міцності:
/>
θadm– допустиме значеннявідносного кута закручування.
32.Головні напруги при згині. Повна перевірка міцності балок
Визначимоголовні напруги τ1 τ3 використавши графічнупобудову Мора.
/>Виконуємо цю побудову длят. 4, якщо σх = σ; σy = 0; τyx = τxy = τ.Визначимо σ1 σ3 α —? Т.А враховуєнапружений стан на боковій вертикальній грані. Т.В зображує напружений стан нагоризонтальній грані. АВ – є діаметром круга Мора. Т.С є центром круга Мора. ДЕточки, що зображують напружений стан на головних площинах, де τ = 0.Визначимо σ1 і σ3 використавши виконанупобудову
/>
Узагальнюючи1 і 2 можна записати у вигляді:
/>
Обов’язковоюумовою є, що σ1 > 0; σ3 > 0.
Ізпобудови Мора можна визначити не тільки величину головних напруг, але й їхнапрямки. Напрям головної напруги σ1 збігається з з напрямкомпроменя ЕА, що складає кут α з віссю σ. Визначимо кут α:
/>
Головнаплощина зорієнтована під кутом 90º до напряму σ1.
Повнаперевірка міцності балок:
1)Повинна задовольнятись умова міцності за нормальними напругами в найбвіддалених від н.о. точках, того перерізу, де виникає найб згинний момент.
/>
2)Повинна виконуватися умова за дотичними напругами в точках, що належать н.о.того перерізу в якому виникає найб попер сила
/>
3)Повинна виконуватися умова міцності за вибраною теорією міцності в точках де
різкозмінюється ширина перерізу біля його краю, в якому поперечна силу Q, та згинниймомент M одночасно найб або близькі до найб.
33.Переміщення при згині. Метод інтегрування найблженого диференціального рівняннязігнутої осі балки
/>
Внаслідокнавантаження балки центр мас А перерізу балки з координатою х здійснюєпереміщення в положення А1. Згідно з гіпотезою малих деформаційбудемо вважати, що центр мас попер перер зміщується вертикально. Vx – прогин балки в даномупопер перер. Qx – поворот балки, θx – кут повороту поперперер балки в наслідок навантаження.
Такимчином при згинанні має місце 2 переміщення: Qx- кут переміщення,Vx
— прогин балки.
/>
Отжекут повороту є першою похідною прогину. Ф-я Vx є р-ням пружноїлінії балки – це геометричне місце центра мас попер перер.
Напереміщення Vxта θx при поперечномузгині балок впливають згинний момент М(х)та поперечна сила Q(x). Якщо не враховувативпливуQ(x) на переміщення V(x) та θ(x) то криву балкиможна записати згідно з-ну Гука для згину
/>
деρ – радіус кривизни
М(х)– згинний момент в перерізі з координатою х.
Е –модуль пружності м-лу
І –мом інерції перерізу балки відносно нейтральної осі
ЕІ –жорсткість при згині
Зматематичного аналізу крива вираховується наступним чином
/>
Прирівнявшиправі частини 2 і 3 одержимо:
/>/> />
4 – єточним диф. р-ням пружної лінії балки, якщо визначається із знаком в правійчастині.