Министерство образования и наукиРоссийской Федерации
Волгоградский государственныйтехнический университет
(ВолгГТУ)
Кафедра Технология машиностроения
Семестровая работа
по метрологии
Обработка результатов прямыхмногократных измерений
Выполнил: ст. гр. АУ – 323 ДобриньковА. В.
Проверил: Карабань В. Г.
Волгоград 2010
Задание
1. Построитьполигон, гистограмму и теоретическое распределение измеренных величин.
2. Проверитьсогласие теоретического и эмпирического распределений.
3. Определитьдоверительные интервалы.
4. Определитьграницы диапазона рассеивания значений и погрешностей.
Исходные данныеНомер интервала
Границы интервалов />
Частотаmi свыше до 1 19,97 19,99 2 2 19,99 20,01 2 3 20,01 20,03 12 4 20,03 20,05 25 5 20,05 20,07 35 6 20,07 20,09 62 7 20,09 20,11 66 8 20,11 20,13 77 9 20,13 20,15 39 10 20,15 20,17 29 11 20,17 20,19 20 12 20,19 20,21 7 13 20,21 20,23 2
1. Построение эмпирического итеоретического распределений
При построении гистограмм и полигоновпо оси абсцисс откладывают значения результатов измерений (середины интервалов xi), а по оси ординат – вероятностьпопадания в каждый i – тый интервал:
/>.
Вычислим /> накаждом участке: (Σmi = 378)Номер интервала
Эмпирические частности />
Середина интервала />, мм 1 0,005291 19,98 2 0,005291 20,00 3 0,031746 20,02 4 0,066138 20,04 5 0,092593 20,06 6 0,164021 20,08 7 0,174603 20,10 8 0,203704 20,12 9 0,103175 20,14 10 0,07672 20,16 11 0,05291 20,18 12 0,018519 20,20 13 0,005291 20,22
Построим гистограмму и полигон пополученным значениям:
/>
Для построения теоретическогораспределения необходимо определить приближённые значения математическогоожидания /> и среднеквадратическогоотклонения S.Номер интервала
Частота />
Середина интервала />
mixi
mixi2 S
/> 1 2 19,98 39,96 798,4008 0,043395663 20,10486772 2 2 20 40 800 3 12 20,02 240,24 4809,6048 4 25 20,04 501 10040,04 5 35 20,06 702,1 14084,126 6 62 20,08 1244,96 24998,7968 7 66 20,1 1326,6 26664,66 8 77 20,12 1549,24 31170,7088 9 39 20,14 785,46 15819,1644 10 29 20,16 584,64 11786,3424 11 20 20,18 403,6 8144,648 12 7 20,2 141,4 2856,28 13 2 20,22 40,44 817,6968 Σ 378 7599,64 152790,47
/> />
/>
По виду гистограммы и полигонапредполагаем нормальный закон распределения с функцией плотности
рассеивание погрешность гистограмма плотность
/>,
/>,
а вероятность попадания результатаизмерений в i-тый интервал величиной h = 0.02:
/>.Номер интервала
Середина интервала />
/>
/>
/>
/> 1 19,98 2,877424 0,006354 0,002928 0,005291 2 20,00 2,416549 0,02152 0,009918 0,005291 3 20,02 1,955673 0,058938 0,027163 0,031746 4 20,04 1,494797 0,13053 0,060158 0,066138 5 20,06 1,033922 0,233766 0,107737 0,092593 6 20,08 0,573046 0,338534 0,156022 0,164021 7 20,10 0,112171 0,39644 0,18271 0,174603 8 20,12 0,348705 0,37541 0,173017 0,203704 9 20,14 0,80958 0,287466 0,132486 0,103175 10 20,16 1,270456 0,178001 0,082036 0,07672 11 20,18 1,731331 0,089127 0,041076 0,05291 12 20,20 2,192207 0,036087 0,016632 0,018519 13 20,22 2,653083 0,011815 0,005445 0,005291
Построим теоретическое распределениерезультатов измерений
/>:
/>2. Проверка согласия эмпирического и теоретическогораспределений
Согласно критерию Колмогорова,сравнивают эмпирические и теоретические значения, но уже не плотностираспределения, а интегральной функции F(xi). Значение максимальной (поабсолютной величине) разности между ними DN подставляют в выражение:
/>,
где /> – объём выборки. Считают, чтоэмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим, если />.
ТаблицаНомер интервала
/>
/>
/>
/>
/> 1 0,002928 0,005291 0,002928 0,005291 0,002363 2 0,009918 0,005291 0,012846 0,010582 0,002264 3 0,027163 0,031746 0,040009 0,042328 0,002319 4 0,060158 0,066138 0,100168 0,108466 0,008298 5 0,107737 0,092593 0,207904 0,201058 0,006846 6 0,156022 0,164021 0,363927 0,365079 0,001153 7 0,182710 0,174603 0,546636 0,539683 0,006954 8 0,173017 0,203704 0,719653 0,743386 0,023733 9 0,132486 0,103175 0,852140 0,846561 0,005579 10 0,082036 0,076720 0,934176 0,923280 0,010895 11 0,041076 0,052910 0,975252 0,976190 0,000938 12 0,016632 0,018519 0,991884 0,994709 0,002825 13 0,005445 0,005291 0,997329 1,000000 0,002671
В нашем случае максимальное значениеразности:
DN= F’8 – F8 =0,023733, N = ∑mi= 378
/>
Для lN=0,4614 по таблице находим g = 0,01 Þ (1 – 0,01) = 0,99 > 0,1. Т. о.эмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим.3. Определение доверительных интервалов
Доверительный интервал дляматематического ожидания Mопределяется из выражения:
/> ,
значение tgвозьмём из справочника, для g » 0,01 и N = 13: tg= 3,06,
тогда 20,06804 мм M
Доверительный интервал для среднегоквадратического отклонения />определимиз выражения:
/> ,
значения c12 и c22 определяем по справочнику, для g1 » 0,01, g2 » 0,99 и N=13: c12=26,2; c22=3,57,
тогда 0,02937 мм
4. Определение диапазона рассеиваниязначений
Определение границ диапазонарассеивания значений по результатам измерений, при вероятности риска 0,027.
М » /> = 20,10486772 мм
S » /> = 0,043395663 мм
М-3/> » 19.9747 мм
М+3/> » 20.2351 мм
Определение границ диапазонарассеивания значений по результатам измерений, при допускаемом значениивероятности риска 2β=0,001.
М±/>σ
/>
/>
/> = 0,4995, Þ /> =3,29
М-3,29/> = 19,9621 мм
М+3,29/> = 20,2476 ммДля партии деталей проведены измерения координат X,Y двух отверстий 1 и2. Определить средний размер и среднее квадратическое отклонение размера межцентровогорасстояния.Номер измерения Значения параметра X1 X2 Y1 Y2 1 26,792 28,394 29,9 31,911 2 26,787 28,487 29,901 31,922 3 26,79 28,39 29,913 31,914 4 26,792 28,592 29,902 31,899 5 26,791 28,494 29,903 31,898 6 26,782 28,485 29,912 31,91 7 26,792 28,591 29,901 31,891 8 26,792 28,791 29,903 31,902 9 26,787 28,584 29,912 31,898 10 26,793 28,572 29,906 31,907 11 26,79 28,493 29,9 31,899 12 26,794 28,493 29,912 31,898 13 26,786 28,576 29,903 31,889
Для определения среднего размера /> и среднего квадратическогоотклонения S воспользуемся следующими формулами:
/>
/>
где N=13
/> = 26,7898 мм />= 0,003411895 мм
/>= 28,534 мм />= 0,10339165 мм
/> = 29,9052 мм /> = 0,005117842 мм
/> = 31,9029 мм /> = 0,009393806 мм
Определим средний размермежцентрового расстояния:
/> = 2,1318 мм
Определим среднее квадратическоеотклонение размера межцентрового расстояния по формуле:
/>,
где /> –частная производная по/> от /> и /> – частная производная по /> от />:
/> = -0,3491
/> = 0,3491
/> = -0,9371
/> = 0,9371
Т. о. SL = 0,0375 мм.