МЕТОД А.Ф.СМИРНОВА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ВСТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ
1. ОСНОВНЫЕПРЕДПОСЫЛКИ
1)Нагрузка приложена только в узлах стержневой системы и до потериустойчивости не вызывает изгиба стержней.
2)Материал работает в упругой стадии.
3)Перемещения при потере устойчивости малы по сравнению с размерамиконструкции
4)При определении перемещений учитываются продольные силы только в техстержнях, в которых они возникали до потери устойчивости.
Примечание: Если критические нагрузки определяются в статическинеопределимой системе, то ее статическая неопределимость раскрывается методомсил.
Основная система выбирается в момент потери устойчивости .
Основная система-это статически определимая и геометрически неизменяемаясистема, полученная из заданной путем удаления лишних связей в деформированномсостоянии.
Основную систему рекомендуется выбирать таким образом, чтобысжато-изогнутые элементы не имели смещений вдоль своих осей.
/>
1.2.Алгоритм расчета по методу А.Ф.Смирнова
Рассмотрим упругую систему, загруженную узловыми нагрузками.
/>
В момент потери устойчивости система характеризуется наличиемсжато-изогнутых и изогнутых элементов.
Деформированное состояние системы характеризуется вектором отклонений Y, имеющим размер(m×1):
Y1
Y2
Y3
/>= ...
(m×1) …
Yn,
где m-число ненулевых координат вектораотклонений, которые задаются только для сжато-изогнутых стержней.
Вектор отклонений можно определить по формуле Мора, которая в матричнойформе имеет вид
/> (1.1)
При определении перемещений система разбивается на участки. В пределахкаждого участка намечаются расчетные сечения по концам каждого участка и в техточках сжато-изогнутых стержней, перемещение которых подлежит определению.
Обозначим: μ-числорасчетных сечений
Для составления My необходимо в основной системе построить эпюры моментов от единичных силприложенных в направлении искомых перемещений Y1,Y2,Y3...Yn.
Матрица Му имеет размер(μ×m)
Эпюра Эпюра Эпюра … Эпюра
/> /> />/>
/>=
(μ×m)
G-размером(μ×μ)-матрица податливости всей системы.
Она формируется из матриц податливости отдельных участков.
Мр — матрица-столбец, элементами которой являются ординаты эпюризгибающих моментов на тот период времени, когда заданная система находится в критическом состоянии.
Для статически-неопределимых систем при определении Мриспользуется матричный алгоритм метода сил:
/>
/> (1.2),
где /> (1.3)-матрица, раскрывающаястатическую неопределимость системы.
Если заданная система статически определимая, то матрица /> превращается в единичнуюматрицу (μ×μ):
/>=Е (1.4)
Структура матрицы />
Эпюра Эпюра Эпюра … Эпюра
/> /> /> />
/>=
(μ×m)
/>-матрица столбец, элементами которой являются ординатыэпюры моментов />, построенной отдействия внешних узловых сил в основной системе, с учетом ее деформированногосостояния.
Ординаты эп. /> зависят отвектора перемещений y
Получим матрицу /> в виде:
/> (1.5),
где: H-числовая матрица размером (μ×m), преобразующая вектор отклонений у в эпюру моментовгрузового состояния />
Тогда /> (1.6)
Подставляя (1.6) в (1.1) получим вектор перемещений
/> (1.7)
Обозначим: />=k∙c (1.8),
Где k-общий множитель, полученный из множителейпри перемножаемым матрицах Н и G
Тогда: /> или />, обозначим />/> (1.9),
где :λ-собственное число матрицы />;/>-собственный векторматрицы />
Преобразуем (1.9)
/> (1.10)-УРАВНЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДА СМИРНОВА,
где />;/>.
Выражение (1.10) представляет собой систему однородных уравненийотносительно />, где матрица составлена из коэффициентов при неизвестных Y1,Y2,Y3...YN.
Уравнение устойчивости (1.10) имеет два решения
1) Вектор перемещений /> равен 0
Y1 0
Y2 0
Y3 0
/>= ... = … (1.11)-начальная форма равновесия
… ...
Yn 0
2) Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных /> равен 0.
/>=0 (1.12)-характеристическое уравнение
Если раскрыть определитель, то получим уравнение m10 порядка, где неизвестным будет λ.
Решение этого уравнения дает значения λ,λ1,λ2,λ3…λm.
Минимальное значение Ркр составляет λmax (/>)
minPкр=/> (1.13),
где />-наибольшее собственноечисло характеристической матрицы />.
Собственный вектор характеристической матрицы /> даетформу потери устойчивости.
2.ПОРЯДОКРАСЧЕТА СИСТЕМ НА УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДОМ А.Ф.СМИРНОВА
1.Заданная система изображается в критическом деформированном состоянии.
Выявляются сжато-изогнутые и изогнутые элементы, назначается числоненулевых координат вектора отклонений для сжато-изогнутых элементов.
2.Ось системы разбивается на участки.Назначаются расчетные сечения иправило знаков для эпюр изгибающих моментов .
3.Определяется степень статической неопределимости n и, если n>0 выбирается основная система метода сил.
4.Формируются необходимые матрицы />.
5.Вычисляется характеристическая матрица />
/>,
где />-для статическинеопределимых систем;
/>=Е-для статически определимых систем
6.Решается характеристическое уравнение />=0 → />
7.Определяется значение критической нагрузки:
minPкр=/>
3.ФОРМИРОВАНИЕМАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТИ ДЛЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ РАСЧЕТЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Матрица податливости всей системы формируется из матриц податливостиотдельных участков и имеет следующую структуру
/>/>/>/>/>/>/>/> 0
G= Gk
(μ×μ) Gk-матрица податливости участка k
Вид матрицы Gkзависит от типа участка (какую деформацию он испытывает).
1)Участок, испытывающий только изгиб
/>
G/>,
где: l0-длина любого участка, принятого за основной
B0-жесткость любого участка, принятогоза основную
/>;
2)Участки, испытывающие деформацию сжатие с изгибом. Для такого участка вид матрицы Gk зависит от того, на сколько панелейразбита его длина
а)Длина участка разбита на две панели:
/>
/>-длина участка
/>-длина панели
/>;/>
/>
б)Длина участка разбита на три панели:
/>
/>;/>;/>
/>
в)Длина участка разбита на четыре и более панелей:
/>
В этом случае общая длина сжато-изогнутого элемента компонуется изподучастков с двумя или тремя панелями. Соответственно и компонуется матрицаподатливости./> /> /> /> /> /> /> /> />/>/>/>/>/>/>/>/>
GΙ
/> Gk = GΙΙ
4.ФОРМИРОВАНИЕМАТРИЦЫ H
Матрица H-числовая матрица размером (μ×m), преобразующая вектор перемещений /> в эпюру моментов грузовогосостояния.
/>;
Для построения матрицы Hнеобходимо определить изгибающие моменты во всех расчетных сечениях основнойсистемы от узловых нагрузок и построить эпюру М0
/>
Эпюра М0строится со стороны растянутых волокон с учетомдеформированного состояния системы.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
М0=/>
В матрицу H вписываютсякоэффициенты при перемещениях из каждого уравнения.
5.РЕШЕНИЕХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Существует несколько методов решения характеристического уравнения. Всеметоды делятся на две группы:
1)Первая –позволяет вычислить все собственные числа( метод Крылова-Лузинаи др.)
2)Вторая –позволяет вычислить наибольшее собственное число(исоответственно наименьшее значение критической нагрузки)
К этой группе относится метод последовательных приближений
Метод итераций позволяет вычислить наибольшее собственное числохарактеристической матрицы />.Вместес определением собственного числа одновременно производится определениесобственного вектора, соответствующего этому числу и удовлетворяющегоравенству:
/>,
где />-характеристическая матрица
/>-для статически неопределимых систем
/>=Е- для статически определимых
/> — собственное число характеристической матрицы />
/>-собственный вектор матрицы />
Порядок решения:
1)Задаемся приближенным вектором перемещений />-первоеприближение;
2)Вычисляется: />,
где />-второе приближениесобственного вектора; />-первоеприближение собственного числа.
Вектор /> следует сделатьнормированным, т.е. его наибольшую координату надо вынести за знак матрицы ввиде множителя />.
3)Далее вновь подсчитывается :
/> и т.д.
4)Повторение процесса продолжается до тех пор, пока значения координатвекторов двух последних приближений не совпадут.
Величина />найденная впоследнем приближении принимается за искомое />
6.ПРИМЕР.
Определить критическую силу методом А.Ф.Смирнова
/>
/>;/>=Е- т.к.система статически определима
/>=/>;/>;/>
/>;
/>;
/>
/>
/>
/>
/>
/>;/>
/>=0
/>=0
/>
/>С
С=/>
/>
у1 1 0,5
Су1 118,5 30,5
/>
у2 1 0,257
Су2 109,75 25,15
/>
у3 1 0,229
Су3 108,74 24,54
/>
у4 1 0,2257
Су4 108,62 24,46
/>
у5 1 0,225
/>=108,62
у=/>/>
minPкр=/>;