МОСКОВСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЛЕСА
Кафедра технологиилесопиления и деревообработки
КУРСОВАЯНАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА
по дисциплине
«Научные исследования вдеревообработке»
на тему:
«Исследование влияниярежимных факторов прессования древесностружечной плиты на разбухание»
Студентки Боженовой М.С.
Руководитель курсовой
работы Пятков В.Е.
Москва – 2006
Глава 1.Теоретические сведения№ п/п Наименование факторов Обозначение Единица измерения Диапазон варьирования факторов 1 Температура прессования Х1 0С 160-180 2 Продолжительность прессования Х2 мин/мм 7-13 3 Содержание кислоты Х3 % 10-20
Выходнаявеличина – разбухание ДСтП Уразб, %
Пресс – самоедорогое оборудование в производстве плит, поэтому уменьшение временипрессования позволяет лучше использовать пресс. С 1950 г. Время прессованиясильно сократили за счет улучшения связующего и усовершенствования самихпрессов. Например, при толщине плиты 19 мм время прессования сократили с 15 до3-5 мин при использовании карбамидных связующих. Таким образом, пропускнаяспособность пресса более чем удвоилась.
Припрессовании следует учитывать ряд факторов, а именно: тип связующего,отвердители связующего, температуру плит пресса, породу древесины и геометриючастиц, влажность пакета, распределение и передачу тепла, время смыкания плитпресса, удельное давление прессования, его распределение по толщине плиты,давление пара в пакете во время прессования, а также предварительное ипоследующее отверждение связующего.
1.1 Видсвязующих и отвердителя
Карбамидные имеламинокарбамидные связующие отверждаются гораздо быстрее и стоят дешевле, чемсвязующие на фенольной основе. Поэтому фенольные связующие используют лишьтогда, когда это абсолютно необходимо из-за более медленного режимапрессования. В карбамидные связующие для более быстрого отверждения добавляют отвердитель.Последние достижения в области использования фенольных связующих также сделаливозможным ускорять их время отверждения. И все же карбамидные связующиеотверждаются быстрее.
1.2 Времяпрессования
Прииспользовании фенольных связующих требуются высокие температуры плит пресса, от182 до 204 0С. Высокие температуры плит в прессе ускоряют отверждение икарбамидных связующих, но можно с успехом использовать и более низкие. Впрошлом многие заводы работали при температурах близких к 143 0С, и сейчастакие температуры используются. Однако новые виды прессов конструируют так, чтоони могут работать при гораздо более высоких температурах, в частности, еслиэто одноэтажные прессы, где время прессования особенно важно. Тепло от прессапополняется также теплом, получаемым за счет реакции поликонденсации приотверждении связующего.
1.3 Породадревесины и геометрические размеры частиц
Важныефакторы, влияющие на уплотнение плит – порода древесины и конфигурация частиц.Породы, которые легко поддаются уплотнению требуют для уплотнения более низкогодавления, чем породы, трудно поддающиеся уплотнению, как, например дуб. Легкоуплотняемые породы имеют тенденцию герметизировать поверхность плиты, чтоприводит к вздутиям и расслаиваниям, так как пар не может найти выхода налицевых сторонах пакета во время прессования.
Геометриячастиц влияет на выбор давления, так как более крупные частицы, которые должныслиться воедино, требуют большего давления в процессе уплотнения, чем болеемелкие. К мелким частицам относят такие, которые проходят через сито -20 меш, инекоторые более мелкие волокна. Однако мелкие фракции пород с высокойплотностью трудно поддаются уплотнению так, чтобы получилась гладкаяповерхность, как в случае применения мелких частиц, используемых при производствеДСтП из мягких пород древесины. Между мелкими частицами древесины высокой плотности,используемых для наружных слоев, можно обнаружить пустоты, так как они неподдаются уплотнению и не соединяются вместе.
1.4 Уровеньвлажности в ковре и распределение влаги
Вероятно,наиболее важные факторы, обусловливающие свойства той или иной плиты – еговлагосодержание, распределение влажности и время смыкания плит пресса.Влажность ковра в момент поступления в пресс для горячего прессования оченьважна для прессования композиционных плит. Во-первых, остается определеннаявлажность в частицах после того, как их высушили. В зависимости от характератехнологической линии она составляет 2-5 % в пересчете на абсолютную сухуюмассу древесины. Этот уровень всегда держат выше, если используют порошковоесвязующее. Сохранение, по возможности, уровня влажности по верхнему пределу присмешивании со связующим предупреждает проникновение его внутрь частиц и потерюего как связующего.
Во-вторых,есть влага, попадающая в частицы как составная часть жидкого связующего.Карбамидные связующие обычно содержат около 65 % сухих веществ. Их можнонаносить с такой концентрацией или (из производственных соображений там, гдепытаются получить лучшее распыление) разбавленными до 55-60 %.Фенолформальдегидные связующие используют в самой различной концентрации.
Так какфенольные связующие добавляют обычно в размольное оборудование, избыточноесодержание влаги можно удалить во время сушки. Для ДСтП фенолформальдегидныесвязующие выпускали с 40 %-ным содержанием сухих веществ, так что влагасоставляла 60 %. Во многих случаях это избыточное количество влаги увеличивалоконечное влагосодержание ковра более чем на 10-11 % — максимум того, чтодопускают многие установки в тех случаях, когда требуется более высокий уровеньсодержания влаги. Так как при производстве ДСтП не проводят дополнительнойсушки, это значительно ограничивает количество фенольных связующих, которыеможно было добавлять в частицы. В последние годы разработаны новые составыфенолформальдегидных связующих с содержанием сухих веществ 53 %. Это не простофенольные связующие, в них используют новую добавку для снижениявлагосодержания и улучшают их рабочие характеристики и отверждение. Содержаниефенолов осталось в пределах 40 %.
Третийисточник влаги в ковре – реакция поликонденсации во время отверждениясвязующего. Как правило, две молекулы связующего соединяются и отделяют однумолекулу воды, так что в результате образуется дополнительная влага.
Четвертый типвлаги может вызвать трудности при прессовании плит. Это пар, образующийся вовремя горячего прессования из самой древесины.
Как и в любойоперации склеивания, избыточная влага может препятствовать или тормозитьадгезию двух частиц древесины. Большинство ДСтП можно склеивать при влажностидревесных частиц от 2 до 18 %. Полусухая твердая плита может содержать до 30 %влаги в ковре. При высоком уровне содержания влаги может потребоватьсядополнительное время прессования. При низком влагосодержании трудности могутвозникнуть в смыкании плит пресса, так что не удается получить требуемуютолщину плиты. Очень важным вспомогательным фактором при смыкании плит прессаявляется влага в ковре, которая во время горячего прессования превращается впар. Этот пар пластифицирует частицы древесины и позволяет уплотнять пакет впрессе при относительно низком давлении по сравнению с подпрессовкой. Плитыпрессуют при влажности стружечно-клеевой смеси от 7 до 16 %, в зависимости отконкретных рабочих параметров. Капризные породы, такие, как красный кедр ижелтая сосна, трудно прессуются при содержании влаги в пределах 11-12 %.
Одноэтажныепрессы требуют очень короткого времени прессования для достиженияэкономичности. Таким образом, влажность пакета сохраняют на уровне 7 %. Болеевысокое давление необходимо для уплотнения пакета, а избыточные количествавлаги не препятствует быстрому действию клея.
Уровеньвлажности и ее распределение тесно связаны с передачей тепла в прессе длягорячего прессования. Высокочастотная система нагревания отлична в том отношении,что весь пакет можно нагревать одновременно, в то время как при контактномнагреве тепло передается от пластей к середине пакета.
Температура вцентре плиты низкой плотности быстро повышается и достигает температуры близкойк температуре точки кипения воды, в то время кА температура плит высокойплотности сначала повышается медленно, но повышается в течение всего временипрессования. Увеличение влажности ускоряет начальное повышение температуры иприводит к тому, что температура в среднем слое плиты низкой плотности быстреевыравнивается, а температура в среднем слое плит высокой плотности быстрееповышается. С другой стороны, на плиты высокой плотности мало влияет увеличениетемпературы во внутреннем слое в начале цикла прессования. Увеличение температурыпроисходит на более поздней стадии цикла, не ограничивая влияниегоризонтального потока пара. В тонких плитах увеличение температуры вовнутреннем слое происходит быстрее во время прессования из-за того, что ониблизко расположены к плитам пресса.
Отверждениесвязующего, особенно во внутреннем слое плиты, может быть задержано избыткомвлаги. Более высокое влагосодержание наружных слоев пакета способствуетпластификации частиц древесины и дает плотные твердые лицевые стороны. Уровеньвлагосодержания в 16 % очень хорош для этих целей. Такое высокоевлагосодержание в наружных слоях имеет и другое преимущество – оно задерживаетотверждение связующего в наружных слоях и предотвращает, таким образом,проблему преждевременного отверждения. Однако более высокое содержание влаги впакете приводит к более низкой плотности плиты во внутреннем слое, более низкойпрочности, возможности вздутий и расслоений и прилипанию поддона к плите. Времясмыкания плит пресса, различное содержание влаги и ее распределение в пакетеимеют большое значение для распределения плотности по толщине профиля готовойплиты, а также для физических и механических ее свойств. Если частицы из тойили иной породы древесины уплотняются легко, может появиться необходимостьснизить содержание влаги в пакете.
Можно назватьследующие преимущества низкого влагосодержания ковра: отсутствие прилипания кподдону и более однородное распределение плотности по толщине плиты.Недостатки: более высокое водопоглощение, более шероховатые лицевые стороныиз-за снижения пластификации частиц древесины, более медленная теплопередача квнутреннему слою плиты, более продолжительное время полного смыкания плитпресса при определенном давлении, а также трудности с показателем липкостисвязующего.
Трудноопределить оптимальные условия для содержания влаги в пакете и ее распределенияв последующий период производства. Если учитывать содержание влаги только вовремя прессования, то оптимальным является 10-12 %. Однако линии с одноэтажнымпрессами работают на уровнях 6,5-7 %. Проблема недостаточного влагосодержаниядля получения хорошего склеивания частиц при использовании стандартных клеевследует преодолевать изменением состава связующего. Более высокоевлагосодержание в пакете может потребовать продолжительности прессования, хотядостоинства связующего позволяют преодолеть ряд других трудностей.
1.5 Давлениепара в плите
Внутреннеесоединение в плите в горячем состоянии в момент выхода из пресса должно бытьдостаточно высоким для того, чтобы противостоять любому давлению пара, котороесуществует внутри плиты при открытии пресса. Относительно низкая температура ввнутреннем слое плиты в обычных случаях не дает очень высокого давления пара. Сповышением температуры во внутреннем слое там быстро увеличивается давление пара.Увеличение давления пара может вызвать расслаивание и вздутие.
Расслоениеопределяют как четкое расхождение частиц во внутреннем слое плиты. Это можетбыть результатом низких температур плит пресса, недостаточного давления,низкого качества связующего или сочетания этих факторов. Некоторые из этихфакторов могут вызвать разнотолщинность. Вздутия в плите образуются, когдадавление пара летучих продуктов (влаги, пара и других веществ) больше, чем силавнутреннего сцепления в плите. Вздутие обычно имеет место в центре плиты, таккак в этой области плита наиболее слабая. Многие участки плиты могут иметьхорошее сцепление наряду с вздутиями в разных местах. Раньше причиной вздутиясчитали закупорку поверхностей пакета. Следует также отметить, что плотность и породадревесины и плотность плиты также могут быть причиной такого явления.
1.6 Времяполного смыкания плит пресса, удельное давление и распределение плотности потолщине плиты (профиль плотности)
Один из самыхважных факторов в определении свойств плит – время смыкания плит пресса. Этовремя тесно связано с содержанием влаги, а также с рядом других факторов. Времяполного смыкания определяют как время, необходимое для уплотнения пакета доконечной толщины плиты, как только плиты пресса вступают в контакт споверхностью пакета. Ряд профилей плотности можно получить в плите, изменяя этифакторы. Как только наступает дисбаланс температуры, давления иливлагосодержания, профиль становится не симметричным, а сдвинутым. Такогоявления следует избегать, так как это влияет на свойства плиты и плитакоробится. Как только тепло от плит пресса начинает проникать в пакет,происходят два явления, определяющие конечный профиль плотности (наряду сдавлением). Во-первых, передается тепло с наружных слоев к внутреннему. Во-вторых,влага превращается в пар, а пар смягчает древесные частицы и облегчает процесссжатия. Такая пластификация сначала происходит на наружных слоях. С увеличениемскорости смыкания плит пресса, когда пакет достиг почти конечной толщины (за 1мин или меньше), мягкие наружные слои прессуются до большей плотности.Внутренний слой все еще холодный и сопротивляется давлению. Когда достаточноеколичество тепла достигает внутреннего слоя для его пластификации, наружныеслои приобрели более высокую плотность и связующее отвердело, так чтоудерживает эти слои при большей плотности. При более медленном смыкании плитпресса требуется меньшее давление и, следовательно, меньшее сжатие в наружныхслоях. Кроме того, связующее в наружных слоях может отверждаться до того, какпроизойдет уплотнение. Таким образом, наружные слои довольно жесткие. При болеенизкой плотности во время последующего этапа времени смыкания плит прессапроисходит пластификация и уплотнение промежуточных и внутренних слоев, когдасвязующее еще жидкое. Профиль плотности может быть изменен предварительнымпрессованием. Предварительное прессование пакета до конечной толщины приводит ктому, что будут исключены колебания плотности по всей толщине плиты.
Качествоповерхности плит можно улучшать повторным дополнительным прессованием при 3710С в течение нескольких секунд. Такая высокая температура потребуетдополнительного пресса, но зато не потребуется прикладывать столь высокоедавление.
1.7Предварительное и последующее отверждение связующего
Более низкаяплотность плиты на ее пласти происходит, возможно, за счет полного отверждениясвязующего до достижения окончательной толщины плиты в процессе прессования.Большая часть этой более мягкой поверхности удаляется во время процессашлифования. Мягкие поверхности связаны с предварительным отверждением иливысыханием связующего, вызываемым в первый момент, когда горячие плиты прессавступают в контакт с пакетом. При обычных температурах 163-191 0С отверждениесвязующего в наружном слое происходит почти мгновенно до того, как пакетуплотнен до конечной толщины. Хотя предварительное отверждение можно снятьувеличением влажности наружного слоя, это может увеличить время прессования.
Вспомнимотносительно медленное смыкание плит в первых многоэтажных прессах для изготовленияплит. Получали очень мягкие наружные поверхности и шлифованием снимали снаружных слоев до 3.2 мм. Многие многоэтажные прессы были модификацией прессовдля производства фанеры, приспособленных для производства композиционных плит.Они смыкались снизу, что сначала закрывались нижние этажи, а потом верхние. В16-этажном прессе это приводило к тому, что каждая плита имела различныйпрофиль плотности, а следовательно, и различные свойства. Этот недостаток былликвидирован в результате разработки системы одновременного смыкания плитпресса, так что все плиты прессуются идентично.
Последующееотверждение может быть и полезно и вредно. С одной стороны, оно выгодно дляштабелирования в горячем состоянии плит с фенольным связующим; здесьотверждение заканчивается после выгрузки из пресса. С другой стороны, укладкаплит в горячем состоянии с карбамидным связующим может привести к разрывусвязей связующего в результате гидролиза, что вызывается воздействиемтемпературы, влагосодержания и времени. Гидролиз происходит там, где молекулысвязующего расщепляются, правда, по этому поводу существуют различные мнения.Одни считают, что такое явление происходит исключительно в древесине, так какона более чувствительна к потере прочности, другие считают, что разрыв происходитна плоскости соединения древесины со связующим.
Глава 2.Выбор и обоснование математической модели объекта
Выбратьмодель означает выбрать вид функции. Данный этап самый ответственный. На данномэтапе выбора вида модели экспериментатор должен располагать знаниями заранеепроведенных исследований. На основании которых он может предположить охарактере влияния фактора на параметрах процесса.
Полные идробные факторные планы позволяют получить линейное описание зависимостиотклика от каждого из варьируемых факторов. При детальном изучении большинствапроцессов лесопромышленных и деревообрабатывающих производств такоепредставление оказывается слишком грубым. В такой ситуации необходимообратиться к экспериментальным планам второго порядка.
Планамивторого порядка называют такие планы многофакторного эксперимента, с помощьюкоторых можно получить математическое описание объектов в виде полиномоввторого порядка. Для трех факторов соответствующее уравнение регрессиизаписывается в виде:
/>.
Эта модельсодержит все слагаемые линейной модели: свободный член b0, линейные члены b1x1,b2x2, b3x3.
Также модель второгопорядка включает квадратичные члены, являющиеся произведениями коэффициентоврегрессии на квадраты двух различных факторов, т.е. члены вида b12x1x2,b13x1x3, b23x2x3. Зависимость выходной величины от каждого из факторов,полученная на основе квадратичной модели, представляется на графике отрезком параболы,имеющей ветви, направленные либо вверх, либо вниз. Позволяет достаточно полноописать широкий круг реальных зависимостей.
Глава 3.Выбор и составление плана эксперимента
К планамвторого порядка относятся: В-планы и униформ-рототабельные планы (УРП).
В УРП опыты вугловых точках факторного пространства отсутствуют.
В В-планахвторого порядка опыты поставлены в угловых точках факторного пространства, т.е.в условиях, когда все факторы принимают свои граничные значения. Это опыты вида/>.
В-планысинтезированы математиками, исходя из требований наибольшей точности оценоккоэффициентов регрессии. В этих планах каждый фактор варьируется на трехуровнях: -1, 0, +1 в нормализованных обозначениях. В-планы обладают следующимсвойством, называемым композиционностью. Составной частью В-плана являетсяполный факторный план ПФП. Это свойство полезно в тех случаях, когда порезультатам поставленного ПФП и ДФП получилась неадекватная модель. Тогда естьвозможность дополнительно поставить некоторое число опытов, так что все опытовв целом образуют В-план 2-го порядка, а их обработка позволит получитьсоответствующую модель.
Назовемзвездной точкой В-плана условия опыта, в котором один из факторов принимаетнормализованное значение: +1 или –1, а остальные фиксируются на основном уровне– ноль в нормализованных обозначениях. Звездные точки для трех факторов (внормализованных обозначениях):
При числефакторов k имеется 2k различных звездных точек.
В-плансостоит из точек ПФП, к которым добавлено 2k звездных точек. Общее число опытовВ-плана, таким образом, равно
/>.
В-план длятрех варьируемых факторов в нормализованных обозначениях представлен в таблице3.1
Таблица 3.1Номер опыта x1 x2 x3 y 1 +1 +1 +1 y1 2 +1 +1 -1 y2 3 +1 -1 +1 y3 4 +1 -1 -1 y4 5 -1 +1 +1 y5 6 -1 +1 -1 y6 7 -1 -1 +1 y7 8 -1 -1 -1 y8 9 +1 y9 10 -1 y10 11 +1 y11 12 -1 y12 13 +1 y13 14 -1 y14
В-план длятрех варьируемых факторов в натуральных обозначениях представлен в таблице 3.2
Таблица 3.2Номер опыта x1 x2 x3 y 1 180 13 20 2 180 12 10 3 180 7 20 4 180 7 10 5 160 13 20 6 160 13 10 7 160 7 20 8 160 7 10 9 180 10 15 10 160 10 15 11 170 13 15 12 170 7 15 13 170 10 20 14 170 10 10
Глава 4.Проверка нормальности распределения выходной величины
Результатыпредварительной серии опытов представлены в таблице 4.1
Таблица 4.19,342 9,199 9,356 9,221 9,303 9,224 9,324 9,84 9,495 9,085 9,439 10,07 8,718 9,606 9,651 9,583 10,192 9,818 9,501 9,208 9,931 9,839 9,562 9,553 10,657 10,115 9,7 9,965 10,007 9,642 10,054 8,111 9,775 9,992 8,482 9,323 10,019 9,664 9,213 9,898 9,253 11,085 9,039 8,962 9,418 9,596 9,611 8,921 9,183 9,946 9,941 9,909 9,714 9,365 9,47 9,567 8,959 9,239 9,179 9,043
Разобьемдиапазон от 8,111 до 11,085 на интервалы равной длины. Для определения числаинтервалов k воспользуемся формулой:
k = 1 + 3,2lnn, (4.1)
где n – объемвыборки.
Значение k,найденное по формуле, округляем до ближайшего целого.
k = 1 + 3,2ln60 /> 7.
Длина каждогоинтервала:
/> (4.2)
/>
Предполагается,что выходная величина подчиняется нормальному закону распределения. Этопредположение можно проверить разными способами. Наиболее строгим из нихявляется применение критерия χ2 Пирсона. Для этого необходимо иметьвыборку достаточно большого объема: n > 50 – 150. Диапазон изменениявыходной величины в этой выборке разбивается на l интервалов так, чтобы этиинтервалы покрывали всю ось от -/>до +/>и в каждый интервал при этомпопало не менее пяти значений выходной величины. Подсчитывают количество miнаблюдений, попавших в каждый интервал. Затем вычисляют теоретические попаданияслучайной величины в каждый i-й интервал. Для этого используют формулу
pi = Ф(z2) –Ф(z1), где (4.3)
z1 = (/> — />) / s; z2 = (/> — />) / s;
где /> - среднееарифметическое выборки; s – среднее квадратическое отклонение выборки; /> - нижняяграница i-го интервала; /> - верхняя граница i-го интервала;Ф(z) – нормированная функция Лапласа:
Ф(z) = />
Значения еедля z = z1 и z = z2 определяют из таблиц. При отыскании значений этой функциидля отрицательных значений аргумента следует иметь в виду, что функция Ф(z)нечетная:
Ф(- z) = — Ф(z).
Следующимэтапом является вычисление величины χ2 по формуле
χ2 = />. (4.4)
По выбранномууровню значимости q и числу степеней свободы k = l – 3 из таблицы отыскивают />. Гипотезу онормальности распределения можно принять, если />.
Вычисленияудобно вести заполняя таблицу:
Таблица 4.2№ интервала
/>
/> mi z1 z2 Ф(z1) Ф(z2) pi pin
/>
/> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 8,111 8,537 2 -2,19 -2,06 0,014 0,019 0,005 0,3 2,89 9,633 2 8,537 8,963 3 -2,06 -1,18 0,019 0,119 0,1 6 9 1,5 3 8,963 9,389 19 1,18 -0,3 0,119 0,382 0,263 15,78 10,3684 0,657 4 9,389 9,815 18 -0,3 0,58 0,382 0,719 0,337 20,22 4,9284 0,244 5 9,815 10,241 16 0,58 1,46 0,719 0,927 0,208 12,48 12,3904 0,993 6 10,241 10,667 1 1,46 2,34 0,927 0,990 0,063 3,78 7,7284 2,045 7 10,667 11,093 1 2,34 3,22 0,990 0,999 0,009 0,54 0,2116 0,392
/>
Данныевыборки разобьем на 7 интервалов, границы которых указаны во втором и третьемстолбцах. В четвертом столбце приведено количество наблюдений, попавших вкаждый интервал. Далее по данным таблицы 4.1
вычисленысреднее /> истандарт s выборки.
/> = />=
/> =
/>=
/>=
/>=
/>= 9,535
/>
/>
/>
Среднееквадратическое отклонение:
/> %
По формулам4.3 рассчитываем значения z1 и z2 для каждого интервала (пятый и шестой столбецтаблицы 4.2)
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
По таблиценаходим нормированную функцию Лапласа:
/>
/>
Согласно формуле(4.3) вычисляем теоретическое попадание случайной величины в каждый i-йинтервал:
/>
Искомуювеличину /> получаютсуммированием значений последнего столбца />. Выберем уровень значимости q =0,05, число степеней свободы k = 7-3 = 4. По найденным величинам q и k изтаблицы отыскиваем /> - гипотеза о нормальностираспределения отвергается.
Определениепараметров генеральной совокупности
Математическоеожидание My определяется по формуле
/>
Уровеньзначимости q = 1-P = 1 – 0,95 = 0,05
Числостепеней свободы f = n – 1 = 60 – 1 = 59
РаспределениеСтьюдента tqf = 2,00
/>
Глава 5.Расчет необходимого числа параллельных опытов
Исходнымиданными для этого расчета служат результаты серии опытов представлены в таблице5.1
Таблица 5.19,342 9,199 9,356 9,221 9,303 9,224 9,324 9,84 9,495 9,085 9,439 10,07 8,718 9,606 9,651 9,583 10,192 9,818 9,501 9,208 9,931 9,839 9,562 9,553 10,657 10,115 9,7 9,965 10,007 9,642 10,054 8,111 9,775 9,992 8,482 9,323 10,019 9,664 9,213 9,898 9,253 11,085 9,039 8,962 9,418 9,596 9,611 8,921 9,183 9,946 9,941 9,909 9,714 9,365 9,47 9,567 8,959 9,239 9,179 9,043
Пустьтребуется найти минимальное число n повторений опытов, при котором среднееарифметическое />, найденное по этой выборке,отличалось бы от математического ожидания не более, чем на заданную величину ∆.Для ее решения необходимо знать оценку дисперсии s2. Искомое значение nопределяется по формуле
/> (5.1)
Величину tотыскивают из таблицы при уровне значимости q и числе степеней свободы f,связанном с оценкой дисперсии s2.
Глава 6.Обработка результатов эксперимента
Условияэксперимента и результаты дублированных опытов представлены в таблице 6.1
Таблица 6.1Номер опыта Нормализованные значения факторов Результаты дублированных опытов
/>
/>
/> x1 x2 x3 Y1 Y2 Y3 Y4 1 + + + 9,675 6,600 8,127 12,770 9,293 12,568 6,949 2 + + - 7,812 6,600 10,133 8,586 8,283 8,478 2,189 3 + - + 9,834 6,740 12,930 11,382 10,222 14,063 6,985 4 + - - 12,324 9,229 10,776 10,003 10,583 9,972 1,746 5 - + + 12,786 8,918 13,560 12,013 11,819 12,341 4,139 6 - + - 7,675 6,600 8,449 10,771 8,374 4,652 3,128 7 - - + 20,700 20,700 12,133 18,323 17,964 17,888 16,367 8 - - - 13,951 15,498 13,177 11,630 13,564 10,199 2,593 9 + 18,209 13,567 11,246 20,498 15,880 12,723 17,858 10 - 7,623 8,656 10,204 11,751 9,559 12,723 3,261 11 + 14,630 16,177 13,856 17,725 15,597 15,360 2,944 12 - 17,691 19,238 16,917 20,700 18,637 18,881 2,823 13 + 8,182 6,635 11,277 12,825 9,729 13,425 7,983 14 - 12,386 13,933 10,065 8,517 11,225 7,5357 5,787 Сумма 170,729 84,752
Расчеткоэффициентов регрессии.
Дляпостроения регрессионной модели по результатам В-плана нет необходимостиобращаться к ЭВМ. Имеются формулы для статических оценок коэффициентоврегрессии, пригодные для научного расчета. Они применимы для широкого классапланов, называемых симметричными к которым относятся и В-планы второго порядка.Коэффициенты регрессии для этих планов рассчитываются по формулам:
/> /> (6.1)
где /> - свободныйчлен;
/> - линейныекоэффициенты регрессии, i = 1,2,…,k;
/> - квадратичныекоэффициенты регрессии, i = 1,2,…,k;
/> - коэффициентыпри парных взаимодействиях, />;
/> -коэффициенты, значения которых указаны ниже.
В формулах(6.1) обозначено:
/> /> /> (6.2)
Значениякоэффициентов /> для В-планов с ПФП вортогональной части с числом факторов k = 3 при отсутствии опытов в центреплана приведены в таблице 6.2:
Таблица 6.2
/> Вид плана
/>
/> 0,40624
/> 0,15624
/> 0,1
/> 0,5
/> — 0,09375
/> 0,125
Числокоэффициентов регрессии такого плана равно:
/> (6.3)
В нашемслучае, когда число факторов k = 3, число коэффициентов регрессии равно:
/>.
Средние арифметическиепо результатам каждой серии дублированных опытов:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Оценкидисперсий опытов:
/>/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Проверкаоднородности дисперсий опытов по критерию Кохрена: для проверки однородностинескольких дисперсий при равных объемах всех рассматриваемых выборок />может бытьиспользован G-критерий Кохрена.
Пусть m –количество выборочных дисперсий, однородность которых проверяется. Обозначимэти дисперсии />. Вычисляется G-отношение поформуле
/>
В числителеэтой формулы стоит наибольшая из рассматриваемых дисперсий, а в знаменателе –сумма всех дисперсий. Далее обращаемся к таблицам распределения Кохрена. Повыбранному уровню значимости q = 0,05, числу степеней свободы каждой выборки f= n — 1= 4 — 1 = 3 и по количеству выборок m = 14 из этой таблицы отыскиваютвеличину G = Gтабл, Gтабл = 0,28. Gрасч
Оценкадисперсий воспроизводимости />:
/>
Привычислении коэффициентов регрессии по формуле 6.1 удобно воспользоватьсятаблицей 6.3:
Таблица 6.3№ x1 x2 x3 x1x2 x1x3 x2x3
/>
/>
/>
/>
/>
/> 1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 9,293 9,293 9,293 9,293 9,293 9,293 2 +1 +1 -1 +1 -1 -1 8,283 8,283 -8,283 8,283 8,283 8,283 3 +1 -1 +1 -1 +1 -1 10,222 -10,222 10,222 10,222 10,222 10,222 4 +1 -1 -1 -1 -1 +1 10,583 -10,583 -10,583 10,583 10,583 10,583 5 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -11,819 11,819 11,819 11,819 11,819 11,819 6 -1 +1 -1 -1 +1 -1 -8,374 8,374 -8,374 8,374 8,374 8,374 7 -1 -1 +1 +1 -1 -1 -17,964 -17,964 17,964 17,964 17,964 17,964 8 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -13,564 -13,564 -13,564 13,564 13,564 13,564 9 +1 15,880 15,880 10 -1 -9,559 9,559 11 +1 15,597 15,597 12 -1 -18,637 18,637 13 +1 9,729 9,729 14 -1 11,225 11,225
/> - - - - - - -7,019 -17,604 29,448 115,541 124,336 111,056 №
/>
/>
/> 1 9,293 9,293 9,293 2 8,283 -8,283 -8,283 3 -10,222 10,222 -10,222 4 -10,583 -10,583 10,583 5 -11,819 -11,819 11,819 6 -8,374 8,374 -8,374 7 17,964 -17,964 -17,964 8 13,564 13,564 13,564 9 10 11 12 13 14
/> 8,106 -7,196 0,416
/>
Уравнениерегрессии имеет вид:
/>
Оценкидисперсии коэффициентов регрессии определяется по формуле:
/>
Оценказначимости коэффициентов регрессии.
Оценказначимости коэффициентов регрессии проверяется с помощью t-критерия Стьюдента.Из таблицы t-распределения по величине fy для уровня значимости q = 5 % беретсятабличное значение, tтабл = 2,02. Для каждого коэффициента регрессии biвычисляется расчетное t-отношение:
/>
где /> -среднеквадратичное отклонение коэффициента />, равное корню из его дисперсии.Проверяется условие />. Коэффициенты регрессии, длякоторых это условие выполняется, являются незначимыми:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Уравнениерегрессии имеет вид:
/>.
Затемвычисляем значения отклика по уравнению регрессии для каждого опыта:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Проверкаадекватности математической модели
Послепостановки опытов, вычисления коэффициентов регрессии и проверки их значимостиприступают к проверке соответствия полученной модели результатам эксперимента.Такая проверка называется проверкой адекватности полученной модели.
Вычисляемсумму квадратов, характеризующую адекватность:
/>,
где /> — числодублированных опытов в каждой серии;
/> - усредненноепо всем наблюдениям значение отклика в j-ом опыте;
/> - значениевыходной величины, рассчитанное по уравнению
регрессии.
/>
Вычислимчисло степеней свободы />
/>
где N – числоопытов;
P – числокоэффициентов регрессии проверяемой модели, полученной
после отбрасываниянезначимых коэффициентов регрессии.
/>
Вычислимдисперсию адекватности:
/>, ()
/>
С помощьюF-критерия Фишера проверим однородность дисперсии адекватности и дисперсиивоспроизводимости:
/>,
/>
Далее сравнимполученное значение /> с табличным значением F-критерия />, найденным приуровне значимости q = 5% для чисел степеней свободы /> в числителе и /> в знаменателе. />; />, аследовательно, математическую модель можно считать не адекватной.
Глава 7.Интерпретация результатов эксперимента
Основываясьна построенной модели в нормализованных обозначениях факторов, необходимопостроить три семейства графиков зависимости отклика от каждого из факторов />.
Первоесемейство: зависимость /> от />.