/>/>/>МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОСCИЙСКОЙФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕАГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ЮЖНОГОФЕДЕРАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА В Г. ТАГАНРОГЕ
Факультетавтоматики и вычислительной техники
Кафедрасистем автоматического управленияПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
ккурсовой работепо дисциплине «Теория автоматического управления»
натему «Динамический расчет следящих систем»
Вариант5, колонка 1.
Выполнил:
студент гр. А-144
18.12.07 г
Безродный С.В.
Проверил:
преподаватель кафедры САУ
18.12.07 г
Гайдук А.Р.
Таганрог2007 г.
СОДЕРЖАНИЕ.
1.ВВЕДЕНИЕ. 3
2.ТЕХНИЧЕСКОЕЗАДАНИЕ. 5
3.ОПИСАНИЕСЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ. 7
4.УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. 8
4.1 Измеритель рассогласования. 8
4.2 Датчик выхода. 9
4.3 Усилитель мощности. 10
4.4 Редуктор. 10
4.5 Двигатель постоянного тока. 11
5.ВЫВОД УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ. 15
5.1 Уравнения в переменных состояния. 15
5.2 Матричная форма уравнений в переменныхсостояния. 15
5.3 Уравнения вход-выход заданной частисистемы. 16
6.АНАЛИЗ СВОЙСТВ ЗАДАННОЙ ЧАСТИ СЛЕДЯЩЕЙСИСТЕМЫ. 18
6.1 Проверка управляемости. 18
6.2 Проверка наблюдаемости заданной частисистемы. 19
6.3 Проверка устойчивости нескорректированнойсистемы. 20
7. СИНТЕЗ УСТРОЙСТВА УПРАВЛЕНИЯ. 22
8. СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ. 25
9. ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ. 27
10.ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 35
11.СПИСОКИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ. 36
ПРИЛОЖЕНИЕ.Схема электрическая принципиальная.
1.ВВЕДЕНИЕ.
Взависимости от характера информации, получаемой об объекте в процессе его работы,наличия его математического описания, статических характеристик объекта и главное– задачи, поставленной перед системой автоматического управления, принципы автоматическогоуправления существенно различаются.
Основнойзадачей курсовой работы является синтез и последующее исследование следящей системыс использованием современных методов и инструментов теории управления. Основнымтребованием, предъявляемым к следящим системам, является минимум погрешности />, определяемой какразность между заранее неизвестным законом /> и управляемой величиной />. Следящая системапредставляет собой замкнутую систему регулирования угла поворота вала, управляемогодвигателем; задающее воздействие устанавливается путем поворота некоторого задающеговала.
Выполнение данной курсовой работыохватывает следующие разделы курса «Теория управления»: «Составление математическихмоделей элементов систем и регулярных воздействий»; «Преобразование моделей»; «Аналитическийсинтез уравнений управляющего устройства по требованиям к качеству системы»; реализацияэтих уравнений, т.е. разработка схемы устройства управления или алгоритма работыцифрового варианта устройства управления.
Следящие системы применяются дляуправления радиолокационными антеннами, радиотелескопами, артиллерийскими установкамина подвижных платформах, а также для регулирования синхронности и синфазности вращениявалов ведущего и ведомого двигателей в том случае, когда они расположены на достаточнобольшом расстоянии друг от друга.
Нетрудно заметить, что качественныеследящие системы, отрабатывающие с заданной точностью поступающие на их вход задающиевоздействия, применяются во многих сферах жизнедеятельности людей: в промышленности,в области военной техники, в гражданской авиации и т.д. Однако создание следящихсистем, которые затем найдут свое применение в определенных областях человеческойдеятельности, включает в себя несколько этапов: постановку задачи, разработку математическоймодели синтезируемой системы, непосредственно синтез самой системы и переход отматематической модели проектируемой системы к реальным устройствам, которые бы описывалисьсинтезированной моделью, т.е. этап реализации. В данной курсовой работе как рази рассматриваются все перечисленные этапы создания следящих систем.
2.ТЕХНИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ.
1)Начертить функциональную схему заданной части системы, вывести дифференциальныеуравнения в переменных состояния всех элементов, а также заданной части системы.Численные значения параметров элементов системы:Параметр Величина
/>, Вт 77
/>, А 1,2
/>, В 110
/>, об/мин 3000
/>, Ом 5,1
/>, кг·м2 25·10-4
/>, кг·м·с2 0,28
/> 75
/>, с 0,035
/>, В/град 1
Типусилителя – транзисторный.
Типизмерителя рассогласования – сельсины.
2)Проверить наблюдаемость, управляемость и устойчивость заданной части при коэффициентеусиления усилителя />.
3) Начертить структурную расчетнуюсхему заданной части, вывести уравнения вход-выход заданной части системы.
4) Построить модальное управлениепо заданному времени регулирования /> и условию астатизма первого порядка.
5) Построить наблюдатель Калманадля заданной части системы, перейти к управлению по оценкам переменных состояния,время переходного процесса в наблюдателе положить равным />.
6) Проверить устойчивость замкнутойсистемы, построить переходные характеристики />, воспользовавшись для моделированияпакетом SIMULINK for Windows в системе MatLAB.
7) Осуществить выбор электрическойсхемы усилителя мощности (по литературным источникам), построить схему управляющегоустройства вместе с наблюдателем на операционных усилителях и схему всей системы.
3.ОПИСАНИЕСЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ.
/>
Рис.1. Функциональная схема проектируемойсистемы.
ИП-1 – измерительный преобразователь(сельсины)
ИП-2 – потенциометрический преобразовательугла поворота выходного вала
УУ – управляющее устройство
УМ – усилитель мощности
ИД – исполнительный двигатель
Ред – редуктор
Нагрузка – приводимый в движениерассматриваемой системой агрегат
В качестве измерительных преобразователей(чувствительных элементов) используются сельсины. Преобразователь угла поворотавыходного вала ИП-2 берется потенциометрическим. Потенциометрические датчики обычнопитаются от источника постоянного напряжения. Если измерительные преобразователиработают на переменном токе, то на их выходе включается фазочувствительный усилитель-выпрямитель,являющийся составной частью соответствующего ИП, т.е. его коэффициент передачи учтенв заданном коэффициенте передачи чувствительного элемента.
Управляющее устройство (УУ), принимаетсигналы, поступающие с обоих ИП. В нем формируется напряжение, пропорциональноеуправляющему воздействию, которое затем подается на усилитель мощности (УМ). В курсовойработе синтезируется уравнение УУ и разрабатывается его схема на операционных усилителях.
4.УРАВНЕНИЯЭЛЕМЕНТОВ
4.1Измеритель рассогласования.
В данной системе используется измерительрассогласования на сельсинах, схема которого изображена на рисунке 2.
/>
Рис.2. Схема измерителя рассогласованияна сельсинах с фазочувствительным усилителем.
Измеритель рассогласования следуетсчитать безынерционным, так как его постоянная времени на несколько порядков меньшепостоянных времени остальных звеньев.
/>, />
/>,
/>,
Уравнение измерителя рассогласования:
/>, (1)
где /> - коэффициент передачи измерителярассогласования.
/> (2)
Уравнение в переменных состоянияи уравнение вход-выход совпадают, так как данный элемент является безынерционным.
Сельсины являются индукционными машинами,которые позволяют при постоянном напряжении на выходе получать на выходных обмоткахсистему напряжений, амплитуда и фаза которых определяются угловым положением ротора.Сельсины также позволяют преобразовать такую систему напряжений в соответствующееей угловое положение ротора или в напряжение, фаза и амплитуда которого являютсяфункцией системы входных напряжений и угла поворота ротора. Поэтому сельсины частоприменяются в качестве измерителей рассогласования следящих систем.
4.2Датчик выхода.
/>
Рис.3. Схема датчика выхода.
Этот датчик угла поворота вала нагрузкиописывается уравнением:
/>, (3)
где />.
4.3Усилитель мощности.
Так как по заданию усилитель мощностиявляется звеном первого порядка, то его уравнение имеет вид:
/> (4)
это уравнение вход-выход.
Обозначим />, получим следующую систему:
/> (5)
это уравнение усилителя.
Передаточная функция усилителя можетбыть записана в виде:
/> (6)
Подставляя исходные значения />, />, получим:
/> (7)
/> (8)
/> (9)
4.4Редуктор.
Потехническому заданию инерционность редуктора учитывается в уравнении двигателя,поэтому редуктор считается безынерционным звеном и его уравнение имеет вид:
/>
Уравнение вход-выход и уравнениев переменных состояния:
/>
Передаточная функция редуктора:
/>
4.5Двигатель постоянного тока.
Управление осуществляется по цепиякоря, магнитный поток в зазоре постоянный, а реакция якоря и гистерезис магнитнойцепи отсутствует. В этом случае исходные уравнения двигателя оказываются линейнымии образуют следующую систему уравнений:
/> (10)
Здесь /> – приведенный к валу двигателя моментсопротивления;
/> – приведенный к валу двигателя моментинерции вращающихся частей;
/> – напряжение, приложенное к якорюдвигателя;
/>,/>,/>,/>– ток, сопротивление, индуктивностьи угловая скорость цепи якоря;
/>, /> – конструктивные постоянные двигателя;
/> – угол поворота вала двигателя.
Установившийся режим работы двигателя:
Значения переменных в этом режимебудем обозначать с нулевыми индексами:
/> (11)
Эти уравнения можно использоватьдля определения коэффициентов /> и/>, так как один из установившихся режимовназывается номинальным и соответствует значениям:
/>, />, />,
/>(рад/с)
/>
/>
/>
Модель двигателя необходимо получитьв отклонениях от установившегося режима, но поскольку уравнение (10) линейное, тоуравнения в отклонениях будут иметь вид (10).
Вывод динамической модели:
Так как индукция якоря учтена в постояннойвремени усилителя мощности, то в (10) индукция равна нулю. Отсюда можно найти токякоря:
/>
/> (12)
Обозначим />, /> и получим уравнения в переменныхсостояния:
/> (13)
Для того, чтобы получить уравнениевход-выход необходимо продифференцировать второе уравнение системы по времени.
/>
/>, (14)
где /> – электромеханическая постоянная двигателя;
/> – электромагнитная постоянная двигателя;
/>, />.
Уравнение двигателя принимает вид:
/> (15)
Расчет коэффициентов:
/>(кг·м2)
/>
/>
/>
/> (16)
Передаточная функция двигателя:
/>
Рис.4.Структурная схема двигателя.
/>; (17)
/>.
5.ВЫВОДУРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ.
5.1Уравнения в переменных состояния.
Здесь объединяются уравнениявсех элементов:
· Измерителя рассогласования;
· Датчика выхода;
· Усилителя мощности;
· Двигателя;
· Редуктора
в одну систему путем исключения промежуточныхпеременных так, чтобы остались входные величины (/>, />, />), переменные состояния (/>,/>,/>) и величина />.
Уравнения в переменных состояния:
/> (18)
/>
Здесь />, />, />, />, />, />, />.
5.2 Матричная форма уравнений в переменныхсостояния.
Учитывая
/>
уравнения в переменных состоянияв матричной форме будут иметь вид:
/>(18)
5.3Уравнения вход-выход заданной части системы.
Для вывода уравнений вход-выход целесообразнопостроить структурную схему заданной части:
/>
Рис.5. Структурная схема заданнойчасти.
/>
/>
/>
/>
/> (19)
/> (20)
Для вывода уравнений вход-выход обауравнения (20) умножим на общий знаменатель и перейдем к оригиналам:
/> (21)
6.АНАЛИЗСВОЙСТВ ЗАДАННОЙ ЧАСТИ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ.
6.1Проверка управляемости.
Проверку проводим по уравнению (18)при /> с помощьюкритерия управляемости.
/>
Обычно предполагают, что объект управления(система) обеспечивает возможность изменения его переменных состояния и регулируемыхвеличин в соответствие с целью управления с помощью управлений, приложенных к нему.Однако ясно, что в общем случае не всякий объект управления допускает такую возможность,т.е. не каждый объект является управляемым. Следует отметить, что это свойство –управляемости – зависит исключительно от внутренних свойств объекта.
Для оценки управляемости систем используетсякритерий Калмана, в основе которого лежит матрица управляемости:
/>,
где /> - размерность вектора переменных состояния.
В нашем случае />, значит:
/>, />,
/>,
/>
Матрица U будет иметь вид:
/>
/>
/>
Так как /> и определитель матрицы U не равен нулю, то объект является полностьюуправляемым.
6.2Проверка наблюдаемости заданной части системы.
Для формирования модального управлениянеобходимо измерить переменные состояния системы. Но часто бывает так, что переменныесостояния недоступны для прямого измерения с помощью каких-либо датчиков. Обычноизмеряются выходные величины объекта (системы), такие, как регулируемые переменные,ошибка системы, положение регулирующего органа, скорость изменения регулируемойвеличины. Отсюда возникает задача наблюдения, которая состоит в необходимости восстановлениязначений переменных состояния системы по результатам измерения (наблюдения) некоторыхвыходных величин системы, а это оказывается возможным только в том случае, еслиобъект (система) является наблюдаемым.
Для определения наблюдаемости системывоспользуемся критерием наблюдаемости, предложенный Калманом. Этот критерий используетматрицу наблюдаемости, которая для систем имеет вид:
/>,
где /> - размерность вектора переменных состояния.
В нашем случае />, значит:
/>, />,
/>,
/>
Матрица N будет иметь вид:
/>
/>
/>
Так как /> и определитель матрицы N не равен нулю, то объект является вполненаблюдаемым.
6.3Проверка устойчивости нескорректированной системы.
Проверка устойчивости нескорректированнойзамкнутой системы обычно проводится для того, чтобы убедится, нельзя ли построитьтребуемую следящую систему лишь на основе заданных элементов. Если выходной сигнализмерителя рассогласования /> подать на вход усилителя, то получитсязамкнутая система, структурная схема которой приведена на рисунке 6.
/>
Рис.6.Структурнаярасчетная схема нескорректированной замкнутой системы.
Для использования алгебраическогокритерия Гурвица необходимо знать характеристический полином исследуемой замкнутойсистемы. Таким образом, получим:
/>
Необходимым, но недостаточным условиемустойчивости является положительность всех коэффициентов полинома, но посколькустаршая степень полинома равна трем, то для проверки устойчивости также необходимовоспользоваться частным случаем алгебраического критерия Гурвица – критерием Вышнеградского.Согласно последнему, система будет устойчивой, если будет выполнено условие:
/>,
где /> - коэффициенты характеристическогополинома при переменной р в соответствующих степенях.
Подставим коэффициенты нашего характеристическогополинома в последнее выражение и проверим выполнение этого условия:
/>
/>
/>
как видно, условие не выполняется.
Следовательно, для заданной замкнутойсистемы условие не выполняется, то можно сделать вывод о том, что заданная частьсистемы является неустойчивой.
7.СИНТЕЗ УСТРОЙСТВА УПРАВЛЕНИЯ.
/>
Рис.7. Структурная схема следящейсистемы.
Допустим, заданная часть системыописывается уравнением:
/>, (24)
где />.
Уравнение устройства управления выберем:
/> (25)
Здесь />, /> и /> - полиномы, которые нужно определитьтак, чтобы замкнутая система (24), (25) имела требуемые показатели качества:
/>
/>
Для вывода расчетных соотношенийзапишем уравнение замкнутой системы:
/> (26)
Чтобы упростить схему управляющегоустройства, примем:
/>,
/>.
При этом передаточная функция замкнутойсистемы определяется выражением:
/>
/>
Число уравнений: />
Число коэффициентов: />
/>,
/>
/>.
/>, />
/>, />
/>
Приравнивая числитель и знаменатель,получим:
/>
/>
/>
Коэффициенты /> выбираются из таблиц нормирующихпередаточных функций по /> и />. Кроме /> из этой таблицы выбирается />:
/>.
Подставим численные значения всехкоэффициентов и произведем расчет:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>;
/>;
/>
/>;
/>
/>
/>
/>
/>
Искомое уравнение устройства управленияимеет вид:
/>
8. СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ.
Построение модального управленияпригодно лишь в том случае, когда переменные состояния могут быть измерены непосредственно.Если же эти переменные не доступны измерению, то для получения их асимптотическихоценок необходимо построить наблюдатель.
Наблюдатель переменных состояниязаданной части будем строить на основе наблюдателя Калмана.
/>
Рис.8. Структурная схема системыс наблюдателем.
В соответствие с заданием:
/>
/>
Далее производим расчеты всоответствии со стандартным алгоритмом построения наблюдателя:
/>, />,
/>
/>
/>
Корни желаемого характеристическогополинома выберем следующие:
/>
/>, />, />,
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Характеристический полином наблюдателя:
/>
Уравнение наблюдателя имеет вид:
/>
/>
9.ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ.
Моделированиекак исходной, так и синтезированной систем выполним в среде “SIMULINK” программного пакета “MATLAB”.
Убедимсяв том, что оценки переменных состояния «догоняют» переменные состояния объекта назаданном интервале tнаб. Для этого составим структурную схему модели (объект+ наблюдатель с управлением по переменным состояния).
/>
Рис.9.Структурная схема системы с управлением по переменным состояния.
Приненулевых начальных условиях на одном из интеграторов объекта:
Реализуемструктурную схему системы с управлением по оценкам переменных состояния.
/>
Рис. 13. Структурная схема системыс управлением по оценкам переменных состояния.
Подсистемы(subsystem) объекта управления, наблюдателя и модального управлениянабраны по соответствующим уравнениям и имеют следующий вид.
Объектуправления:
/>
Рис.14. Модель объекта с наблюдателем переменных состояния.
Наблюдатель:
/>
Рис.15. Структурная схема наблюдателя переменных состояния
Модальноеуправление:
/>
Рис.16.Модель управляющего устройства.
Смоделируемпереходной процесс системы при ненулевом начальном условии на одном из интеграторовобъекта.
Построимпереходные процессы при ступенчатом и линейном изменении задающего воздействия,т.е. входного угла поворота.
Навходе ступенчатое воздействие, возмущающего воздействия нет.
Навходе ступенчатое воздействие, возмущающее воздействие есть.
Навходе линейно нарастающее воздействие, возмущающего воздействия нет, Начальные условия– нулевые.
Навходе линейно нарастающее воздействие, возмущающего воздействия нет. Начальные условия– ненулевые.
Навходе линейно нарастающее воздействие, возмущающее воздействие есть. Начальные условия– ненулевые.
Анализ построенного наблюдателя Калмана.
Изприведенных графиков видно, что оценки переменных состояния «догоняют» переменныесостояния объекта на заданном интервале /> (ошибка оценивания по прошествии этоговремени практически равна нулю).
Анализ построенного модального управления.
Изграфиков ясно видно, что при отсутствии возмущающего момента /> система отрабатывает входноевоздействие g(t) практически с нулевой ошибкой, к установившемуся значениюприближаясь за время регулирования />, т. е. переходная характеристика входитв пятипроцентный коридор точности полностью после времени регулирования. Это свидетельствуето правильности рассчитанного вектора коэффициентов модального управления.
10.ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
В данной курсовой работе была синтезированаи исследована с использованием современных методов и инструментов теории управленияприборная следящая система.
Данная курсовая работа выполненас помощью программного пакета SIMULINKв системе MATLAB (для проведениячисленного моделирования) и программы MathCAD (для выполнения расчётов).
Вданной курсовой работе было синтезировано устройство управления, для этого выведеныдифференциальные уравнения в переменных состояния всех элементов, а также заданнойчасти системы; проверены наблюдаемость, управляемость и устойчивость заданной части;построена структурная расчётная схема, выведены уравнения вход-выход; построеномодальное управление и наблюдатель Калмана; проделано моделирование с помощью SIMULINK в системе MATLAB,а также была построена схема управляющего устройства вместе с наблюдателем на операционныхусилителях.
11.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.
1. Теория автоматического управления.Под ред. А. В. Нетушила. Учебник для вузов. Изд. 2-е. М., «Высшая школа»,1976.
2. Гайдук А. Р., Пьявченко Т. А. Учебно-методическоепособие по выполнению курсовой работы «Динамический расчет следящих систем» по дисциплине«Теория управления». Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001. 19с.
3. А. Р. Гайдук. Алгебраические методыанализа и синтеза систем автоматического управления. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ,1988. 208с.
4. Принципы регулирования. Руководствок лабораторной работе по курсу «Теория автоматического управления»/Таганрог.Радиотехнический институт; Сост. Н. В. Балалаев, Ю. Г. Сотников; Таганрог. 1993.20 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ. Схема электрическая принципиальная.
/>