Розрахунково-пояснювальна записка
До курсової роботи з основ теорії систем та системногоаналізу:
Дослідження властивостей технологічногоагрегата як многомірної системи
Одеса — 2010
1. Еквівалентні та апроксимаційні перетворення моделі1.1 Нелінійна модель агрегату
На прикладі розглянемо конкретну технічнусистему — змішувальний бак:
/>
Рисунок 1. Модель бака.
F1,F2,F — витрати рідинина притоці і витоці системи, м3/с;
C1,C2,C — концентраціяна витоці і притоці системи, кмоль/м3;
h — рівень рідини в бакові, м; S — площа бака,м2;
V — об'єм рідини в бакові, м3;
Запишемо рівняння системи в стаціонарному (встановленому)стані, коли притік дорівнює витоку (рівняння матеріального балансу):
F10+F20-F0=0;C1/>,
де індекс 0 означає встановлений стан.
Записавши умови балансу кінетичної іпотенціальної енергії на виході із бака
/>,
де
p — густина рідини, кг/м3;
w — швидкість витоку, м/с;
q — прискорення вільного падіння,q=9.81 м/с2;
і припускаючи, що
d — діаметр вихідного трубопроводу, м.
Одержимо:
/> чи, відповідно,
/>, де
k — коефіцієнт.
При зміні витрат у системі відбуваєтьсянакопичення речовини і перехід до нового встановленого стану. Цей перехіднийпроцес описується диференціальними рівняннями
/>
де dv/dt — приріст об'єму рідини, /> - приріст маси рідини.
Наведемо цю систему у стандартному вигляді:
/>
Позначимо:
/>
/>− зміна у часі відхилення витрати від номінального щодо першогоканалу
/> − теж щодо другого каналу
/>
/> − зміна у часі відхилення об'єму від номінального у бакові;
/>− відхилення концентрації від номінальної;
/>
/> - зміна втрати на виході;
/> - зміна концентрації на виході.1.2 Нелінійна модель в стандартній формі
Розглянемо поповнення бака від 0 дономінального значення витрати з урахуванням приросту поданого лінеаризованіймоделі. Таким чином, розглянемо стрибок u1=0,03; u2=0.
Позначивши />,рівняння бака запишемо у вигляді системи:
/> /> />
Перше рівняння є нелінійним зі змінними щорозділяються
/>
З урахуванням того, що /> запишемо:
/>,
чи підставляючи
/>
Виразимо />
Підставляємо /> та/>
Таблиця 1. y1 0.141 0.142 0.143 0.144 0.145 0.146 0.147 0.148 0.149 0.150 0.151 t, с 1.5 3.188 5.116 7.357 10.026 13.315 17.585 23.643 34.072 68.958
/>
/>1.3 Отримання квадратичної моделі
Рівняння квадратичної моделі має вигляд:
/>
Матриці з підстановкою номінального режиму:
/>
/>1.4 Запис білінійної моделі
/>
/>
/>
/> />
/>
/>
/>
/>1.5 Лінеаризована модель
Лінеаризуємо залежність />, розклавши її на рядТейлора.
/> /> />
/>
З урахуванням раніше викладеного запишемо:
/>
/>; (т.к />), где />;
/>
Припустивши у випадку остатку />. Тоді підставивши похідну />, отримаємо
/>;
/>
/>
В результаті маємо
/>
Представивши цю систему в матричній формі:
/>
Тоді матриці А і В запишуться в вигляді
/>, />
Для визначення матриці С необхідно встановитизв'язок між векторами x и y. Оскільки />,/>, то
/>; /> />, то />
Тоді
/>
Система буде мати вигляд
/>
Коефіцієнти моделі системи:
/>
/> /> />1.6 Модель в дискретному часі
система в дискретному часі має вид:
/>
dt=14,89 c.
/>
/>
Таким чином
/>
Задавшись />,/>, тоді
/>
Результати подальших ітерацій представлено втаблиці:
Таблиця 3. Збурення Реакція виходу системи y (t)
u1=0
u2=0,01
y1
y2
0,003298
0,00452
0,005299
0,00469
0,00773
0,006183
0,006512
0,006795
0,00725
0,00702
0,00769
0,00713 час t, с 14,894 29,787 44,681 59,574 74,468 89,362 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> 1.7 Перетворення моделі у форму Ассео
/>
/>
/>
/>
/>
/> /> /> />
/> />
/>1.8 Обчислення МПФ системи
/>
/>; />; />; n=2; i=1; />
/>
/>
/>
/>
Таким чином
/>
/>
/>
/>1.9 Структурні схеми системи в початковій формі, формі Ассео,ЗЗП
/> />/>
/>
Рисунок 2. Структурна схема системи впочатковій формі.
/> /> />
/>
Рисунок 3. Структурна схема системи в форміАссео.
/> />
/>
/>
Рисунок 4. Структурна схема системи узовнішньозв'язанному поданні.
1.10 Лінеаризована модель в непереривному і дискретному часіз датчиками і ВМ
a) в непереривному часі
/> /> />
/>
Рисунок 5. Структурна схема системи внеперервному часі з датчиками і ВМ.
/> />
/>
б) в дискретному часі
/>
Рисунок 6. Структурна схема системи вдискретному часі з датчиками і ВМ.
/> />
/>/>1.11 Умова правомірності децентралізації
Система в формі Ассео:
/> />
/>, />,/>,
/>
/>
/>
Спектральна норма матриці />, тобто максимальнесингулярне число матриці:
/>, />.
Спектральна норма матриці F:
/>
Тоді:
/>
/>
Похибка складає:
/>
Можна допустити, що децентралізація єдопустимою.
2. Аналіз якісних властивостей системи
А) /> />
Матриця являється гурвіцевою.
Б) />/>
max s1 (A) =||A||2=0.067
Відповідно, матриця А є нільпотентною.
Перевірити, чи є система (А, В, С) сталою,керованою, спостережною, ідентифікованою з вектором-стовпцем х = (1; 1.25),параметрично інваріантною, мінімально фазовою, розчеплюваною, мінімально.
А) сталість:
/>
Відповідно система являється сталою.
/>
Відповідно система являється сталою.
Б) керованість:
/>
/>; /> />
По першому входу:
/>
/>
Система керована по першому входу.
По другому входу:
/>
/>
Система керована по другому входу.
В) спостережність:
/>
Система спостережна.
Г) ідентифікованість:
/>
Система є ідентифікована.
Д) параметрична інваріантність:
/>
Система не інваріантна відносно відхилення dA.
/>
Система не інваріантна відносно відхилення dB.
/>
Система не інваріантна відносно відхилення dС.
Е) мінімальнофазовість і астатичність:
/>
/> /> />
/>система являється мінімально фазовою і статичною.
Ж) розчеплюваність:
/>
/>
/>
/> det=0.016
Система є розчеплюваною.
3. Дослідження процесів в системі і аналіз кількіснихвластивостей системи3.1 Побудова графіків розгінних кривих непереривної системи
Побудова графіку розв'язання у (t) для системыи{А, В, С}, якщо
/> и />
/>
/> />/>
Таблиця 4.Збурення Реакція виходу системи y (t)
u1=0,01
u2=0
y1
y2
0,00435
0,00445
0,00681
0,00609
0,00820
0,0067
0,00898
0,00692
0,00942
0,00700
0,00967
0,00703
u1=0
u2=0,01
y1
y2
0,00435
0,037
0,00681
0,051
0,00820
0,056
0,00898
0,058
0,00942
0,059
0,00967
0,059 час t, с 14,3 28,6 42,9 57,2 71,5 85,8
/>
Рисунок 7. Розгінна крива витрати рідини длянеперервної системи при збуренні 0 і 0,01.
/>
Рисунок 8. Розгінна крива концентрації длянеперервної системи при збуренні 0.
/>
Рисунок 9. Розгінна крива концентрації длянеперервної системи при збуренні 0,01.3.2 Побудова графіків кривих разгону дискретної системи
Система в дискретному часі має вид:
/>
dt=14,89 c.
/>
/>
Таким чином
/>
Задавшись />,/>, тоді
/>
Результати подальших ітерацій представлено втаблиці:
Таблиця 5. Збурення Реакція виходу системи y (t)
u1=0
u2=0,01
y1
y2
0,003298
0,00452
0,005299
0,00469
0,00773
0,006183
0,006512
0,006795
0,00725
0,00702
0,00769
0,00713 час t, с 14,894 29,787 44,681 59,574 74,468 89,362 /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
/>
Рисунок 10. Характеристика витрати рідини вдискретному часі.
/>
Рисунок 11. Характеристика концентрації вдискретному часі.3.3 Побудова графіків кривих разгону нелінійної системи
Розглянемо поповнення бака від 0 дономінального значення витрати з урахуванням приросту поданого лінеаризованіймоделі. Таким чином, розглянемо стрибок u1=0,03; u2=0.
Позначивши />, рівняннябака запишемо у вигляді системи:
/> /> />
Перше рівняння є нелінійним зі змінними щорозділяються
/>
З урахуванням того, що /> запишемо:
/>, чи підставляючи
/>
Виразимо />
Підставляємо /> та/>
Таблиця 6. y1 0.141 0.142 0.143 0.144 0.145 0.146 0.147 0.148 0.149 0.150 0.151 t, с 1.5 3.188 5.116 7.357 10.026 13.315 17.585 23.643 34.072 68.958
По отриманим даним побудуємо графік:
/>
Рисунок 12. Лінійна та нелінійнахарактеристика витрати води.
Так як немає аналітичної залежності />, використаємо її кус очно-лінійнуапроксимацію, представляючи на проміжкові від /> до/> функцію /> как />. Тоді,
/>; />
/>
Отримані дані занесемо в таблицю:
/>
Рисунок 13. Лінійна та нелінійнахарактеристика концентрації.3.4 Сталий стан системи
Вичислимо постійне значення системи при умовах
/>
І порівняємо його з результатом розрахунку.
/>
/>
4. Ідентифікація багатомірної математичної моделі по данимексперемента4.1 Активна ідентифікація
Для дискретної форми системи (F, G, C) провестиреалізацію системи.
Запишемо систему у вигляді:
/>
/> /> />
Подавши імпульс по першому входу, розрахуємо:
/> /> />
/> />
/> /> />
/> />
/>
/>
/>
/>
Із власних векторів від (/>) і (/>) побудуємо:
/> />
/> /> />
/>
/>
/>
/>
При /> /> />
Знайдемо передаточну функцію системи:
/>.4.2 Пасивна ідентифікація
Для дискретної форми системи (F, G, C) провестипасивну ідентифікацію системи:
Таблиця 7. Такт, n 1 2 3 4 5 U (n) 0.01 0.04 0.01 0.02 0.03
/>/>/>
Використовуючи матриці системи в дискретнійформі для заданих значень вектора входу, розрахуємо значення вектора виходу
/>
Результати розрахунку занесемо до таблиці:
Таблиця 8. Такт, n 1 2 3 4 5 6 y (n) 0.117 0.188 0,349 0.68 0.765 0.464 -0.00509 0.03787 0.09342 0.01402 0.12438 0.04577
Тогда
/>/>
/>
Следовательно, /> /> />
5. Конструювання багатомірних регуляторів, оптимізуючидинамічні властивості агрегату5.1 Конструювання П-регулятора, оптимізую чого систему поінтегральному квадратичному критерію
Регулятор стану який оптимізує систему покритерію:
/>/>
Визначається по співвідношенню: P=LR1 (A,B,Q,R);
/>
/>/>
Притом Q=R=I
/>
Так як матриця С є інвертованою, для створеннярегулятора виходу немає
/>
Необхідно конструювати спостерігач стану -недосяжнийстан вичислюється по формулі />. Відповіднорегулятор виходу має вид />
/>
Позначивши через z задане значення виходу у іприпускаючи, що />, отримаємо
/>
/>5.2 Конструювання компенсаторів завдань і вимірюваних збурень
Прийнявши до уваги, що А=В
/>
Якщо при компенсації збурень і завданьзчитувати «вартість» управління, записавши критерій в виді
/>,
то компенсатори визначаються залежностями
/>
Значення виходу при дії збурення f в системібез компенсаторів при z=0
/>
З оптимальною компенсацією
/>f
/>5.3 Конструювання регулятора з компенсатором взаємозв'язків
/>
/>
/>
/>
Следовательно,
/>
Перевіримо чи регулятор дійсно розчіплюєсистему, тобто матриця передаточних функцій являється діагональною
/>
/>
/>, />, де />, />.
Знайдемо
1. />/>
2. />/>.5.4 Конструювання аперіодичного
Аперіодичний регулятор для дискретної системиможе бути отриманий із умови />. Запишем/>
/>
/>5.5 Конструювання децентралізованого регулятора
Використовуючи форму Ассео, запишем:
/>
/> />
Відповідно, отримаємо />
/>, />
Розв'яжим рівняння Ляпунова.
/> T=B
/>
/>5.6 Конструювання надійного регулятора
Якщо матриця G моделяє відмови каналіввимірювання, то регулятор знаходиться в виді />
/>
нехай s=0.041
/>
/>
/>
Відповідно, система являеться постійною прилюбих відхиленнях.5.7 Конструювання блочно-ієрархічного регулятора
Використаємо регулятор стану і перевіримо чиможна створити послідовність регуляторів стану.
/>; />; />; />; />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Рисунок 14. Схема блочно-ієрархічногорегулятора.
5.8 Конструювання регулятора для білінійної моделі
/>
/>
/>
/> />
/>
/>
/>
/>5.9 Конструювання регулятора для нелінійної системи
Сконструювати нелінійний регулятор,використовуючи початкову не спрощену модель бака.
/>, />
Розрахункове співвідношення для регулятора — />, де />
При s=4, W=1 запишемо
/>
Підставивши /> запишемо
/>
/>5.10 Конструювання програмного регулятора
Використовуючи лінеаризовану модель вдискретному часі, запишемо програму переходу системи із стану /> в стан
/>.
/>
При />; />
Отримаємо
/>
6. Аналіз властивостей зконструйованої системи з оптимальнимП-регулятором6.1 Побудова процесу в системі з П-регулятором
Стале значення виходу при дії збурення f усистемі без компенсаторів при z=0
/>
З оптимальною компенсацією
/>f
/>
Рисунок 15. Графіки перехідних процесів такривих розгону по першому та другому виходах з оптимальним П-регулятором зкомпенсатором і без.
6.2 Обчислення критерію оптимальності в системі
Величина критерію оптимальності обчислюєтьсяза залежністю/>. Для обчислення величиникритерію з довільним регулятором слід використовувати формулу
/>, де />.
розв'язавши рівняння Ляпунова отримаємо
/>
/>
/>
розв'язавши рівняння Ляпунова отримаємо
/>
/>
При 10% та 5%
/>,/>
/>,/>
/>, />
Розв'яжемо /> длявсіх матриць при нових значеннях
/>, />
/>, />, />, />
При 10% та 5%
/>, />
/>,/>
/>, />.6.3 Обчислити чуйність системи
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>6.4 Проаналізувати робастність системи
/>
/>6.5 Розв'язати зворотну задачу конструювання
Знайти за яким критерієм є оптимальнийрегулятор з компенсаторів взаємозв'язків.
/>
/>
де W — довільна матриця яка задовольняє умовіS>0
/>
розв'язавши отримаємо
/>
/>
/>
Висновок
Таким чином, в ході виконання курсової роботина прикладі моделі змішувального бака була розгляне на технологічнапослідовність конструювання систем: побудова та перетворення моделей системи,аналіз властивостей початкової системи, конструювання регуляторів, аналізвластивостей і порівняння сконструйованих систем. Також при виконанні булиотримані ряд кривих розгону та перехідних процесів для моделі бака, булипобудовані структурні схеми моделі в початковій формі, Ассео, зовнішньозв’язаній формі. Отримали навики конструювання систем з використаннямрегулятора з компенсатором взаємозв”язків, аперіодичного, децентралізованого,надійного, блочно-ієерархічного регуляторів, програмного регулятора, регуляторадля нелінійної моделі, регулятора для білінійної моделі.
Література
1. Методические указания к практическим занятиям покурсу «Основы системного анализа и теория систем», А.А. Стопакевич
2. «Сложные системы: анализ, синтез,управление», А.А. Стопакевич
Додаток
Розв'язання рівняння Рікарті
Розв'язання рівняння Рікарті />визначення матриці Р.
Сформуємо матрицю
/>
/>
Для обчислення власних значень розкриємовизначник />
/>
/>/>
/>/>
/>.
Розв'язання рівняння Ляпунова />
/>
/>
/>
/>/>.
Обчислення матричної експоненти
/>
/>
/>,/>
/>/>.
Фробеніусові матриці
/>
/>
/>
/>
/>
Вандермордова матриця
/>