ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
НЕФТЕКАМСКИЙ ФИЛИАЛ
Экономико-математическийфакультет
Кафедраматематического моделирования
ДИПЛОМНАЯ работа
на тему:
Диагностирование характеристик вала с дисками
по собственным частотам его крутильных колебаний
Нефтекамск2008
Содержание
Введение
1.Определение собственных частоткрутильных колебаний вала с дисками
1.1Постановка прямой спектральной задачи Колебания вала с одним диском
1.2 Решение прямой задачи для вала с n-дисками
1.3Колебания вала с тремя дисками
1.4Колебания вала с четырьмя дисками
1.5Применение метода решения прямой задачи, программнаяреализация решения
2.Диагностирование характеристиквала с дисками по спектру частот колебаний
2.1Постановка обратной спектральной задач
2.2 Диагностирование коэффициентовжесткостей участков вала между дисками
2.3Диагностирование моментов инерции масс дисков
2.4Применение метода решения обратной задачи, программная реализация решения
Заключение
Списоклитературы
/>/>/>/>
Введение
Диагностирование характеристиквала с дисками по спектру частот его колебаний является актуальной в связи снеобходимостью решений задач акустической диагностики составляющих техническихконструкций и виброзащиты механических систем.
Задачи же акустическойдиагностики важны в связи с увеличением техногенных катастроф и опасностями,связанными с изношенностью основных фондов. С увеличением размеров и скоростейсовременных машин в инженерных расчетах становится все более и более важнымрешение задач, связанных с колебаниями. Хорошо известно, что только на основетеории колебаний могут быть полностью выяснены такие практически важныепроблемы, как уравновешивание машин, крутильные колебания валов и зубчатыхпередач, колебания турбинных лопаток и турбинных дисков, прецессия вращающихсявалов, колебания рельсового пути и мостов под действием движущихся грузов,колебания фундаментов. Лишь при помощи этой теории можно установить наиболееудачные пропорции конструкций, отодвигающие эксплуатационные условия работымашин возможно дальше от условий возникновения больших колебаний.
Другое важноеиспользование задач определения характеристик вала с дисками – виброзащитамеханических систем, составляющими которых являются валы с дисками. Колебаниявалов приводят порой к дребезжанию, лишнему шуму. Связано это с тем, чтоспектры частот колебаний иногда находятся в опасном для здоровья человекадиапазоне. Для изменения частот колебаний вала не всегда бывает целесообразно менятьего длину или же прикреплять сосредоточенные массы. Поэтому возникает задачаопределения таких жесткостей участков валов на кручении или моментов инерциимасс дисков, которые обеспечивали бы нужный диапазон частот колебаний вала. Этапроблема связана с научными задачамишумоподавления, акустической диагностики и теорииобратных задач математической физики. Решению подобной проблемы и посвящена представленнаяработа. Прямая задача по определению спектра частот колебаний вала с дискамирассмотрена в учебниках по теории колебаний. Но обратная задача подиагностированию характеристик вала с дисками не исследована.
Задачам техническойдиагностики посвящено большое количество работ. Процессы, протекающие вмеханизмах и двигателях, являются источником шума. Наука, изучающая возможностираспознавания характеристик элементов механической системы по его шуму, носитназвание виброакустической диагностики. Задачи виброакустической диагностикимогут быть различными. В работе Кузьмина Р.В. [14], например, рассматривались задачи обнаружения дефектов всудовых механизмах по шуму, вызываемому упругими колебаниями от соударениясопряженных деталей. Аналогичные задачи обнаружения неисправностей решены вработах Бухтиярова И.Д., Аллилуева В.А.[9], но уже для поиска дефектов в автотракторныхдвигателях. В трудах Биргера И.А. [8], Артоболевского И.И., Бобровницкого Ю.И.,Генкина М.Д.[1], Павлова Б.В.[16] также решались задачи акустическойдиагностики механизмов.
Большое количество работпо виброакустической диагностике посвящено не только выявлению состояниядвигателя по его шуму, но и также вопросам шумоподавления, это работы,например, Зинченко В. И.[12], Лапина А.Д. [15]. Близкие проблемамвиброакустической диагностики задачи возникали также и в других работах. Так в работеKас М.[26] ставился вопрос: можно ли по звучанию барабана установить его форму?Статья W. U. Qunli и F. Fricke [27] посвящена определению размера объектаи его положения в камере по сдвигам собственных частот его колебаний, а статьяВасильева Н.А., Дворникова С.И. [10] – способу обнаружения шпал, потерявшихплотный контакт с балластом насыпи, при помощи ударного возбуждения колебаний ианализа акустических сигналов. В работах Frikha S., Coffignal G., Trolle J.L.[24, 25] исследовалисьусловия на входе и выходе выхлопных труб и трубопроводных систем, в трудахАксенова А.Л., Тукмакова И.Б. [21,22] – задачи идентификации объектов по ихакустическому отклику. Задачи акустической диагностики закреплений по одномуспектру для струн, мембран, стержней, пластин рассматривались А.М. Ахтямовым [2–6, 23], а Г.Ф. Сафиной [18–20] – для полых труб и трубопроводовс жидкостью. В отличие от всех работ по диагностике, в представленной работе отыскиваютсяне форма области, размеры объекта, его местоположение или состояние, акоэффициенты упругих закреплений и моменты инерции масс дисков. Такая задачадля вала с дисками ставится впервые.
Целью научной работы являетсянахождение собственных частот крутильных колебаний вала с дисками и диагностирование по спектру частот моментовинерции масс дисков и жесткости участков вала на кручении. В соответствие с целью были поставлены и решены задачи:
· исследованиезадачи определения собственных частот крутильных колебаний вала с различнымколичеством дисков (с двумя, тремя, четырьмя, n- дисками) по известным моментам инерции масс дисков и жесткости участков вала на кручении;
· исследованиезадачи диагностирования моментов инерции масс дисков по собственным частотам колебаний вала;
· исследованиезадачи диагностирования жесткости участков вала на кручении по собственным частотам колебаний вала.
· разработкаматематических моделей решения поставленных задач; аналитическое и численноеисследование моделей.
Научная новизнаполученных результатов состоит в том, что впервые исследованы и решены задачидиагностирования по спектру частот колебаний вала с дисками такиххарактеристик, как моментыинерции масс дисков и жесткости участков вала на кручении.
Практическаязначимость результатов состоит в том, что разработанные методы решения задачотносятся к акустической диагностике недоступных для визуального осмотраэлементов механических систем и технических конструкций, составляющими которыхявляются валы с дисками. Поскольку изменения величин коэффициентов жесткостиучастков вала или моментов инерции дисков могут характеризовать степеньизношенности, неисправности и т.п., то полученные результаты по решениюобратных задач применимы для диагностирования указанных характеристик вала сдисками без дорогостоящей разборки всей механической системы
Полученныерезультаты можно также использовать для сохранения заданного диапазона частотколебаний вала с дисками. В работе предложено сохранение диапазона частот спомощью изменений значений моментов инерции масс дисков или коэффициентовжесткости участков вала на кручении.
Результатыисследований по решению прямой спектральной задачи докладывались на секции «Дифференциальные уравнения и теорияоператоров» Всероссийской школы-конференции для студентов, аспирантов и молодыхученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», котораяпроходила с 30 октября по 3 ноября 2007 года на базе Башкирскогогосударственного университета. Есть две публикации по теме исследования.
Первая глава работыпосвящена прямой задаче определения собственных частот крутильных колебанийвала с дисками по известным моментаминерции масс дисков и коэффициентов жесткости участков вала на кручении. Решение сводится к системе n — обыкновенных уравнений относительно неизвестных собственныхчастот крутильных колебаний вала. Из этой системы получены частотные уравнениядля вала с двумя, тремя, четырьмя дисками. Сделаны соответствующие вычисления,составлена программа в математическом пакете Maple.
Во второй главе приведена постановка обратной спектральной задачи диагностированияхарактеристик вала с дисками по спектру частот его колебаний. Алгоритмдиагностирования сведен к решению систем алгебраических уравнений. Рассмотрены диагностирования моментов инерциимасс дисков по собственным частотам колебаний вала. Задача решена для вала с тремя,четырьмя дисками. В этой же главе диагностируются коэффициенты жесткостейучастков вала при кручении между дисками. Для решения обратных задач составленыпрограммы в математическом пакете Maple.
В заключение работысделаны выводы по полученным результатам решений прямой и обратной задач.Проанализирована практическая значимость полученных результатов задачидиагностирования./>/>
/>/>/>/>1. Определение собственных частот крутильных колебаний вала сдисками/>/>/>/>1.1 Постановка прямой спектральной задачиКолебания вала с одним диском
Прямая задача: Определить собственные частоты крутильныхколебаний вала, состоящего из п (п =1, 2, 3, 4,…) дисков с известными моментамиинерции масс, укрепленных на стальном валу с известными жесткостями.
Рассмотрение крутильных колебаний начнем с простейшего случаякруглого вала постоянного сечения, несущего на свободном конце диск, верхнийконец вала заделан (рис. 1).
Пусть в силу каких-либо причин диск (маховик), изображенныйна чертеже, получил в плоскости вращения, которой является плоскость,перпендикулярная чертежу, перемещения на угол />. На тот же угол повернется ижестко связанный с диском вал. Представленная самой себе такая система будетсовершать колебания, поддерживаемые силами упругости вала, заключающиеся вповторных вращательных движениях.
/>
Рис. 1 Вал с одним диском
Известно, что колебания, представляющие ряд повторныхвращательных перемещений от положения равновесия, называются колебаниямикручения или, крутильными.
Установим величинунагрузки, вызывающей единицу статической деформации вала. Статическойдеформацией вала в данном случае будет угол закручивания, определяемый поизвестной формуле сопротивления материалов
/> (1.0)/>
где М —крутящий момент;
/>—длина вала;
Ip —полярный момент инерции вала;
/>
/>— модуль касательной упругости.
Нагрузкой, вызывающей единицу статической деформации, т. е.угол закручивания, равный одному радиану, будет из формулы (1.0) некоторыймомент; будем обозначать этот момент буквой k и называть жесткостью вала на кручение.
/> (1.1)
Если вал повернется на угол />, то в нем возникнет моментвнутренних сил упругости, равный
/> (1.1а)
Этот момент по принципу Даламбера должен быть равен моментусил инерции диска. (Массой вала мы пренебрегаем.) Если угловое ускорениеобозначить
/>
и момент инерции диска относительно продольной вертикальнойоси вала
/>,
где Q —весдиска, D—его диаметр, g— ускорение силы тяжести.
В случае кольцевого диска (шкив, колесо)
/>
то момент сил инерциидиска будет равен
/> (1.1b)
Уравнение движения тогда будетиметь вид:
/>
Освобождаясь от коэффициента при дифференциале
/>
и обозначая
/> (1.2)
получим
/> (1.3)
Решение этого уравнения может быть представлено в виде:
/> (1.4)
по аналогии получаем:
/> (1.5)
Очевидно, что мы в данном случае получили простоегармоническое колебание.
Круговая частота этого колебания (равная угловой скорости)будет
/> (1.2а)
и период колебания
/> (1.6)
Формулы (1.2а) и (1.6) справедливы в окончательном видетолько для сплошного диска постоянной толщины, в случае какого-либо другогодиска частоту и период следует определять по формулам:
/> (1.2/>)
и
/>. (1./>)
Вычисляем в них соответствующий момент инерции диска поформулам теоретической механики.
Рассмотрим теперь случай колебаний вала с диском (рис. 1), сучетом массы вала. Помимо полярного момента инерции сечения вала, воспользуемсявыражением для экваториального момента инерции (массы) вала, известным изтеоретической механики.
/>
где I0— экваториальныймомент инерции,
W —собственный вес вала,
r —радиусвала.
Если вес единицы объема вала, т. е. его удельный вес,обозначить />, то I0 для круглого вала можно представить в виде:
/> (2.b)
и экваториальный момент единицы длины вала
/> (2.c)
Для решения стоящей перед нами задачи удобнее всеговоспользоваться уравнениями движения Лагранжа, поэтому, прежде всего, найдемкинетическую и потенциальную энергию нашей системы.
Кинетическая энергия системы будет слагаться из кинетическойэнергии диска и кинетической энергии вала. Кинетическая энергия диска
/>
Для нахождения кинетической Энергии вала сначала найдемкинетическую энергию элемента его dc. Если угол закручиванияв сечении с обозначить />, то кинетическая энергия элементаdc будет
/>
так как если /> — момент инерции единицы длины,то I0'dc момент инерцииэлемента dc.
Найдем зависимость между углом закручивания в сечении с-/>и всечении />
/> и />
откуда
/>
или
/>
и
/>
Подставляя полученное значение /> в выражение кинетической энергииэлемента dc, получим:
/>
Полную кинетическую энергию вала найдем интегрированием:
/>
/>
Или заменяя на основе формул (b) и (с)на /> получимокончательно:
/>
Полная кинетическаяэнергия системы
/>
Потенциальная энергия системы
/>
где M — крутящиймомент, приложенный к валу. Для крутящего момента имеем выражение:
/> (1.1а)
Подставляя это значение в выражение для потенциальнойэнергии, получим:
/> (2.1)
Теперь можем составить дифференциальное уравнениеколебательного движения нашего вала, что удобнее всего сделать в формеЛагранжа. В нашем случае за обобщенную координату необходимо принять уголзакручивания />, тогда уравнение Лагранжа приметвид:
/>
в этом уравнении />
Находим значения частных производных, входящих в этоуравнение:
/> /> />
/>
Подставим полученные значения в уравнение Лагранжа
/>
Освобождаясь от коэффициента при дифференциале и полагая
/>
получим
/>
т. е. известное нам уравнение (1.3), решение которого
/>.
Частота этогоколебательного движения
/>
И период
/> (2.2)
Следовательно, для учета собственной массы вала, имеющегоколебания, необходимо к моменту инерции диска, сидящего на валу, прибавить однутреть момента инерции вала.
Рассмотрим случай вала, лежащего в двух подшипниках (влияниекоторых на колебания мы, в виду незначительности, не учитываем), несущего наконцах два диска (маховика, шкива и т. д.) (рисунок 2).
/>
Рис. 2 Вал с двумя дисками
Вал будет испытывать крутильные колебания только при условиивращения дисков в разные стороны, что может быть достигнуто приложением кдискам двух равных и прямо противоположных моментов. После удаления моментов всистеме, состоящей из вала и двух; дисков, возникнут крутильные колебания. Вкаждый момент времени угловые скорости дисков будут направлены противоположнодруг другу. Левый диск и некоторая часть вала, примыкающая к нему, будет вращаться,допустим, по часовой стрелке, а правый диск и его часть вала против часовойстрелки. В таком случае на валу обязательно должно быть сечение, в котором нетникакого вращения. Вал можно рассматривать как жестко заделанный в сечении, пт,причем, в нашем примере, левая часть вращается по часовой и правая противчасовой стрелки.
Сечение, остающееся во время колебания системы неподвижным,называется узлом колебания.
Периоды колебаний одинаковые для обеих частей одного и тогоже вала могут быть найдены из формулы (1.6),
/> (2.3)
Задача, таким образом, сводится к определению расположенияузла колебаний по длине вала, т. е. длин l1 и l2. Уравнение (2.3) показывает, что узел колебания делитвал обратно пропорционально моментам инерции дисков, т. е.
/> или />
Второе уравнение для определения положения узла колебанийбудет
/>
Из уравнений получим
/> и />
и период колебания примет вид
/> (2.4)
частота колебаний будет:
/> (2.5)
Для изучения случаев колебания валов с большим числом дисков,чем два, удобнее в отличие от вышеприведенных случаев вала с одной и двумямассами найти уравнения движения вала с произвольным количеством масс и затемприменять его для любого частного случая./>/>/>/>1.2 Решение прямой задачи для вала сn-дисками
Рассмотрим вал, несущий п- дисков. Пусть углы закручиваниявала в местах насадки диска будут соответственно /> Жесткости I, II,..., n-1участков вала, т. е. на основе обозначения (1.1) моменты, которые могут вызватьугол закручивания данного участка равный одному радиану, обозначим: k1, k2,…,kп-1. Моменты инерции дисков по-прежнемуобозначим I1,I2,..,In. Для получения уравненияколебательного движения рассматриваемой нами системы применим уравненияЛагранжа, при пользовании которыми необходимо знать выражение для кинетическойи потенциальной энергии системы. Кинетическая энергия диска, имеющего моментинерции I и угол закручивания />, выражается формулой
/>
Кинетическая энергия нашей системы слагается из суммыкинетической энергии всех дисков (кинетическую энергию вала мы тут неучитываем, считая момент инерции диска большим по сравнению с моментом инерциивала).
Кинетическая энергия всей системы
/> (2.6)
Для нахождения потенциальной энергии системы, являющейся вданном случае энергией кручения, необходимо пользоваться формулой
/>,
где М — крутящий момент, действующий на данном участке, а /> - уголзакручивания того же участка. Найдем крутящий момент и угол закручивания дляпервого участка нашей системы.
Если в месте насадки первого диска угол закручивания />, а в местенасадки второго диска — />2, то угол закручиванияна участке вала между дисками будет:
/> (2.7)
Для того чтобы вызвать угол закручивания первого участка валавеличиной в I радиан, необходимо приложитькрутящий момент величины k1, если же, как в нашем случае угол закручивания имеет />1-/>2 радиан,то на валу действует крутящий момент величины
/>
В нашем случае углы закручивания для участков вала будут:
/> (2.8)
и крутящие моменты:
/> (2.9)
Теперь можем составить выражение для потенциальной энергиисистемы, суммируя потенциальную энергию участков.
/> (2.10)
(так как /> то, подставляя значения />1 из (2.8) и M1 из (2.9) и аналогично для другихучастков получим формулу (2.10)).
В данном случае система имеет п степеней свободы, чемусоответствует п обобщенных координат. Обобщенными координатами являются углызакручивания вала в местах насадки дисков. Уравнение Лагранжа, очевидно,придется составить по числу степеней свободы, т. е. также п. Для пользованияуравнением Лагранжа в виде
/> (2.11)
необходимо найти частные производные от кинетической ипотенциальной энергии системы, по обобщенным координатам /> и частные производныеот кинетической энергии по дифференциалам обобщенных координат:
/> />/>
Дифференцируя уравнение (2.6) найдем:
/>; />/>
и дифференцируя уравнение (2.10)
/>; />;
/>;……;/>
Дифференцируя уравнение (2.6) по /> получим:
/> />/>
Полученные уравнения необходимо продифференцировать повремени
/> />/>
Располагая найденными выше величинами, можем составитьсистему дифференциальных уравнений движения рассматриваемой системы.
/> (2.12)
Для решения полученной системы дифференциальных уравненийполагаем, что каждое колебательное движение системы (их будет столько же,сколько и степеней свободы, т. е. п) будет простым гармоническим. Частныерешения системы (2.12), можно представить в виде:
/> . (2.13)
В этих уравнениях по-прежнему М амплитуда колебания, и р частота.Находим вторую производную от /> по времени:
/> />.
Аналогично,
/>/>
Подставляя значения /> и /> в уравнения системы (2.12),получим систему обыкновенных уравнений со многими неизвестными для определениячастоты колебания р.
/>
/>/>
/>
Сокращая в данных уравнениях на /> получим окончательно
/> (2.14)
Последовательно исключая неизвестные />, получим уравнение дляопределения частоты р. Уравнение для определения частоты собственных колебаний,полученное в результате исключения /> из уравнений (2.14), называетсяхарактеристическим. Уравнения (2.14) могут быть применены для определения числасобственных крутильных колебаний системы с произвольным числом дисков. В техслучаях, когда получившееся характеристическое уравнение имеет высокую степеньотносительно р2 (что бывает при системе со многими дисками), ономожет быть решено графически либо каким-нибудь приближенным методом./>/>/>/>1.3 Колебания вала с тремя дисками
Рассмотрим колебания вала с тремя дисками (рис. 3). Здесь I1, I2 ,I3 моменты инерции дисков, k1 и k2 жесткости участков вала на кручении, по аналогии с формулой (1.1) равные:
/> и />
/>
Рис. 3 Вал с тремя дисками
Если амплитуды колебаний дисков обозначить /> то уравнения (2.14) дляданного случая примут вид:
/>. (2.15)
Складывая эти уравнения получим
/>
откуда
/>,
или
/>.
Квадрат частоты колебаний р2 нулю равен быть неможет, поэтому:
/>. (2.16)
Выразим М1 и М3 через М2, чтоможет быть сделано из уравнения (2.15)
/>
Подставим полученные значения М1 и М3 вуравнение (2.16)
/>
Сокращая на М2 и приводя к общему знаменателюполучим:
/>
или
/>
Делаем группировку
/>
Освобождаясь от коэффициента при р4 и делаяпреобразование в круглых скобках получим окончательно:
/> (2.17)
Получили биквадратное уравнение для определения частоты.Корни этого уравнения /> и /> соответствуют двум главным видамколебаний: низшему, имеющему один узел колебаний (два соседних диска вращаютсяв одну сторону), и высшему, имеющему два узла колебания (крайние дискивращаются в одну сторону)./>/>/>/>1.4 Колебания вала с четырьмя дисками
Рассмотрим крутильные колебания вала с четырьмя дисками.Пусть I1, I2 ,I3,,I4 — моменты инерции дисков, k1 ,k2,,k3 — жесткости участков вала на основе формулы (1.1) равные:
/>; />;/>
Амплитуды колебанийдисков обозначим по-прежнему: М1, М2,, М3,, М4.
Тогда уравнения (2.14) для данного случая примут вид:
/> (2.18)
Складывая полученные уравнения найдем:
/>
Учитывая подобные слагаемые, получим
/>
или
/>
Квадрат частоты — р2 нулю не равен, следовательно:
/> (2.19)
Выразим М1, М3 и М4 через М2,что может быть сделано с помощью уравнений (2.18).
С помощью первого уравнения из (2.18) найдем:
/> (2.а)
Из второго уравнения нижеследующими действиями найдем:
/>,
или подставляя вместо М1 его значение из (2.а)
/>,
/>,
/>,
/>. (2.d)
Из уравнения четвертогонайдем
/>
Подставив значение М3 из (2.d)
/> (2.е)
Найденные значения М1, М3 и М4подставим в уравнение (2.19)
/>
/>
Сокращаем полученное уравнение на М2 и приводимлевую часть уравнения к общему знаменателю, который и отбрасываем. Общимзнаменателем, очевидно, будет выражение:
/>
/>
/>
/>
/>
Делаем группировку
/>
/>
/>
/>
Освобождаясь от коэффициента при р6, приведем нашеуравнение к виду:
/>
/>/>/>/>/>
/> (2.20)
Таким образом, былирассмотрены формулы для нахождения собственных частот колебания вала сразличным количеством дисков. Определив частоты, можно рассчитать критическиескорости прямых валов, а, зная эти скорости можно предупредить поступлениеразного рода нарушения нормального хода машины, которые обычно выражаются впоявлении биений вала или вибрации всей установки в целом. />/>/>/>1.5 Применение метода решения прямойзадачи, программная реализация решения
Рассмотрим применение метода решения прямой задачи поопределению собственных частот крутильных колебаний вала с дисками наконкретных примерах.
Пример 1
Определить собственные частоты системы, состоящей из трехдисков с моментами инерции масс: /> /> />, укрепленных на стальном валу сжестокостями /> и />.
При подстановке данных значений в уравнение (2.17) получаембиквадратное уравнение:
р4-3.5p2+2.0=0.
Корни данногоуравнения, найденные в пакете Maple, имеют вид:
p1=-1.667566013, p2=1.667566013, p3=-0.8480705122, p4=0.8480705122
Но нас интересуют только положительные величины, так какчастоты отрицательные значения принимать не могут./>
Пример 2
Определить собственные частоты системы, состоящей из трехдисков с моментами инерции масс: /> /> />, укрепленных на стальном валу сжестокостями /> и />.
При данных значениях физических величин решение уравнения(2.17) имеет вид:
p1=-1,370821968, p2=-0,7879385321, p3=1,370821968, p4=0,7879385321
Пример 3
Определить собственные частоты системы, состоящей из четырехдисков с моментами инерции масс: /> /> />, />укрепленных на стальном валу сжестокостями />, /> и />.
При данных значениях физических величин решение уравнения(2.20) имеет вид:
p1=-2,417091066, p2=-1,581138830, p3=2,417091066, p4=1,581138830
Приведем программную реализацию решения прямой спектральнойзадачи, использующую команды математического пакета MAPLE
Решение примера 1:
> I1:=0.2;
/>
> I2:=0.3;
/>
> I3:=0.1;
/>
> k1:=0.1;
/>
> k2:=0.2;
/>
> y:=p^4-(k1*(I1+I2)/(I1*I2)+k2*(I2+I3)/(I2*I3))*p^2+((I1+I2+I3)/(I1*I2*I3))*k1*k2=0;
/>
Подставимданные значения в уравнение (2.17)
> y:=p^4-(k1*(I1+I2)/(I1*I2)+k2*(I2+I3)/(I2*I3))*p^2+((I1+I2+I3)/(I1*I2*I3))*k1*k2=0;
/>
> solve(y,p);
/>
Решение примера 3:
> restart;
> i1:=0.2;
/>
> i3:=0.3;
/>
> i2:=0.1;
/>
> i4:=0.2;
/>
> k1:=0.1;
> k2:=0.2;
/>
/>
> k3:=0.3;
/>
Подставимданные значения в уравнение (2.20)
> y:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;
/>
> fsolve(y,p);
/>
/>/>/>/>2. Диагностирование характеристик вала с дисками по спектручастот колебаний/>/>/>/>2.1 Постановка обратной спектральнойзадач
Поставим теперь к задачеопределения частот крутильных колебаний вала с дисками обратную спектральнуюзадачу.
Поскольку изменениявеличин моментов инерции масс дисков и коэффициентовжесткости участков вала на кручении могутхарактеризовать степень изношенности дисков, налипание к валу инородныхпредметов и так далее, то обратная задача состоит в диагностированиихарактеристик вала с дисками по собственным частотам колебаний вала. Известно,что изменения указанных значений характеристик вала проявляются в измененияхзначений собственных частот его колебаний, что в свою очередь может привести кненужным вибрациям, увеличению шума и т. п.
Поэтому возникает также задачасохранения заданного (безопасного) диапазона частот крутильных колебаний вала.Подобную проблему мы предлагаем решить также при рассмотрении обратной задачи.
Итак, известны собственныечастоты р крутильных колебаний вала с дисками. Необходимо определить характеристикивала с дисками по спектру частот его колебаний. К диагностируемымхарактеристикам мы отнесем моменты инерции масс дисков и коэффициенты жесткостиучастков вала на кручении.
Остановимся надиагностировании этих характеристик подробнее./>/>/>/>2.2 Диагностирование коэффициентов жесткостей участков вала между дисками
При исследованиизадачи о колебаниях вала с тремя дисками получено следующее частотное уравнение(2.17):
/>
Здесь, по-прежнему, k1, k2.– коэффициенты жесткостейучастков вала между дисками, р. –собственная частота крутильных колебаний вала, I1, I2, I3… – моменты инерции масс трех дисковсоответственно.
Обратная задача: Известны собственные частотыколебаний вала, моменты инерции дисков. Неизвестны коэффициенты жесткости участков валамежду дисками.
Преобразуемуравнение (2.17) к виду
/>.
Если рассмотретьдве собственные частоты р1и р2, то последниеуравнения представляют собой систему алгебраических уравнений с двумянеизвестными k1, k2.
/> (3.1)
Вычитая из первогоуравнения системы (3.1) второе,получим
/>.
Разделим обе частипоследнего равенства на />:
/>
Выразим />:
/>, (3.2)
и подставим его в первоеуравнение системы (3.1):
/>
Преобразуем последнееравенство к виду:
/>
Решая последнее уравнениеотносительно />, получим
/>, (3.3)
где />
Таким образом,формулы (3.2) и (3.3) однозначно определяют коэффициенты жесткости участковвала на кручении для вала с тремя дисками.
Поставим теперьподобную обратную задачу для вала с четырьмя дисками, частотное уравнение длякрутильных колебаний которого имеет вид (2.20):
/>
Здесь, снова, k1, k2. k3 – коэффициенты жесткостей участков вала между дисками, р. – собственная частота крутильныхколебаний вала, I1, I2, I3, I4. – моменты инерции масс четырехдисков.
Обратная задача: Известны собственные частотыколебаний вала, моменты инерции дисков. Неизвестны коэффициенты жесткости участков валамежду дисками.
Рассмотрим сновадве собственные частоты р1и р2крутильных колебаний вала, тогда уравнения (2.20) представляютсобой систему алгебраических уравнений с двумя неизвестными k1, k2при известномкоэффициенте k3. Вычисления, проведенные в пакете MAPLE, показывают, что из системы (3.4) можно однозначно определитькоэффициенты жесткости двух любых участков валамежду дисками при известном коэффициенте жесткости одного из трех участков. Причем все эти коэффициенты упругихзакреплений определяются по двум собственным частотам крутильных колебанийвала.
/>/>/>/>/>2.3 Диагностирование моментов инерциимасс дисков
Рассмотрим сновачастотное уравнение (2.17), полученное для вычисления частот крутильныхколебаний вала с тремя дисками.
Обратная задача. Пусть известны собственные частоты рколебаний вала, коэффициентыжесткости k1, k2участковвала между дисками. Необходимо определить неизвестные моменты инерции масс двухдисков при известном моменте инерции третьего диска.
Пусть, например,известен момент инерции второго диска. Тогда, если рассмотреть снова двесобственные частоты р1и р2колебаний вала, тоуравнения (2.17) представляют собой систему алгебраических уравнений с двумянеизвестными I1, I3.
/> (3.5)
Подставляявыражение /> из второго уравнениясистемы (3.5) в первое уравнение, получим
/>.
Из последнегоравенства выразим /> через />:
/> (3.6)
Здесь />.
Подставим теперьвыражение (3.6) в первое уравнение системы (3.5). После преобразований имеем
/> (3.7)
где />.
Решая уравнение (3.7)относительно неизвестной />, получим квадратное уравнение
/>
дискриминант которогоимеет вид
/>.
Тогда
/>. (3.8)
Таким образом,моменты инерции масс двух дисков находятся однозначно по формулам (3.7) и(3.8). Подобные формулы можно получить для моментов инерции любых двух дисковпри известном моменте инерцииодного из трех дисков.
Аналогичная задачадиагностирования решаема и для вала с четырьмя дисками, частотное уравнениекоторого получено нами в виде (2.20).
Вычисления, проведенные впакете MAPLE, показывают, что из системы (3.4) можно однозначно определитькоэффициенты жесткости двух любых участков валамежду дисками при известном коэффициенте жесткости одного из трех участков. Причем все эти коэффициенты упругихзакреплений определяются по двум собственным частотам крутильных колебанийвала./>/>/>/>2.4 Применение метода решения обратнойзадачи, программная реализация решения
Рассмотрим применение метода решения обратной задачи поопределению характеристик вала с дисками на конкретных примерах.
Пример 4
Известны собственные частоты крутильных колебаний вала стремя дисками: />, />. Момент инерции массы первогодиска /> коэффициентыжесткости участков вала между дисками />, />.Найти моменты инерции масс второгои третьего дисков.
Решение.
Подставляя значения />, /> в уравнение (2.20), получимсистему двух уравнений с двумя неизвестными />. Решение системы, найденное в пакетеMaple, имеет вид: /> />. Значения /> определеныверно, так как по решению прямой задачи именно этим моментам инерциисоответствуют данные значения собственных частот.
Пример 5
По двум собственным частотам />, /> крутильных колебаний вала с тремядисками и известным моментам инерции /> /> /> диагностировать коэффициентыжесткости участков вала на кручении.
Решение
Уравнение (2.17) при заданных значениях />, /> представляет собойследующую систему:
/>
из которой получаем, что />, />. Эти же значения коэффициентовполучаются при подстановке значений собственных частот в аналитические формулы(3.2) и (3.3). Коэффициенты продиагностированы верно, так как именно этимкоэффициентам при решении прямой задачи соответствовали заданные значениясобственных частот.
Пример 6
Рассматривается вал с четырьмя дисками, для которого известны/>/>, />,/>. По частотам /> определитьмоменты инерции масс первых трех дисков.
Решение
Подставляя значения /> в уравнение (2.20), получимсистему трех уравнений с тремя неизвестными />. Решение системы имеет вид /> /> />.Значения /> определеныверно, так как по решению прямой задачи именно этим моментам инерциисоответствуют данные значения собственных частот.
Рассмотрим программные реализации решений обратных задач.
Решение примера 4
> restart;
> i1:=0.2;
/>
> k1:=0.1;
>k2:=0.2;
/>
/>
>p:=.8480705122;
/>
>p:=1.667566013;
/>
>p:=-1.667566013;
/>
>t1:=.5172825777-.7192235937e-1*(i1+i2)/i1/i2-.1438447187*(i2+i3)/i2/i3+.2e-1*(i1+i2+i3)/i1/i2/i3= 0;
/>
>t2:=7.732717430-.2780776408*(i1+i2)/i1/i2-.5561552816*(i2+i3)/i2/i3+.2e-1*(i1+i2+i3)/i1/i2/i3= 0;
/>
>t3:=7.732717430-.2780776408*(i1+i2)/i1/i2-.5561552816*(i2+i3)/i2/i3+.2e-1*(i1+i2+i3)/i1/i2/i3 = 0;
/>
>solve({t1,t2,t3},{i2,i3});
/>
Решение примера 5
> restart;
> i1:=0.2;
/>
> i2:=0.3;
/>
> i3:=0.1;
/>
> p:=.8480705122;
/>
> p:=1.667566013;
/>
> t1:=p^4-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3))*p^2+k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)=0;
/>
> t2:=p^4-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3))*p^2+k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)=0;
/>
> solve({t1,t2},{k1,k2});
/>
Решениепримера 6
> restart;
> i4:=0.2;
/>
> k1:=0.1;
> k2:=0.2;
/>
/>
> k3:=0.3;
/>
> p:=1.581138830;
/>
> p:=2.417091066;
/>
> p:=-1.581138830;
/>
> t1:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;
/>/>
> t2:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;
/>/>
> t3:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;
/>/>
> solve({t1,t2,t3},{i1,i2,i3});
/>
/>/>/>/>Заключение
В работе исследована ирешена прямая задача определения собственных частот крутильных колебаний вала сдисками по известным моментаминерции масс дисков и коэффициентов жесткости участков вала на кручении. Решение сведено к системе n обыкновенных уравнений относительно неизвестных собственных частоткрутильных колебаний вала. Из этой системы получены частотные уравнения длявала с двумя, тремя, четырьмя дисками. Сделаны соответствующие вычисления,составлена программа в математическом пакете Maple.
Впервые приведенапостановка обратной спектральной задачи диагностирования характеристик вала сдисками по спектру частот его колебаний. Алгоритм диагностирования сводится крешению систем алгебраических уравнений. Рассмотрены диагностированиямоментов инерции масс дисков по собственным частотам колебаний вала. Задачарешена для вала с тремя, четырьмя дисками. Эти характеристики однозначно определяются для двух дисковвала с тремя дисками при известном моменте инерции массы третьего диска.Показано, что для вала с тремя дисками достаточно знание двух собственных частот колебанийвала. Причем, численные решения показывают возможность определения моментовинерции масс любых двух дисков (при известном моменте третьего диска),независимо от их взаимного расположения.
Аналогичнаязадача решена для вала с четырьмя дисками.
Диагностируются такжекоэффициенты жесткостей участков вала при кручении между дисками. Для вала стремя дисками коэффициенты жесткостей восстанавливаются по двум собственнымчастотам. Для решения обратных задач составлены программы в математическомпакете Maple. Полученные результаты обратныхзадач подтверждают справедливость решений прямых задач./>
/>/>/>/>Список литературы
1. Введение вакустическую динамику машин: учеб.пос./ И.И. Артоболевский [и др]. — М.: Наука,1979. — 295c.
2. Ахатов И.Ш.,Ахтямов А.М. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам егоизгибных колебаний // Прикладная математика и механика. — 2001. — Вып. 2. C. 290-298.
3. Ахтямов, А.М.Диагностирование закрепления кольцевой пластины по собственным частотам ееколебаний / А.М. Ахтямов // Известия РАН. МТТ. — 2003. — №6. — C.137-147.
4. Ахтямов, А.М. Кединственности решения одной обратной спектральной задачи / А.М. Ахтямов // Дифференциальныеуравнения. — 2003. — №8. — C. 1011-1015.
5. Ахтямов, А.М.Распознавание закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ееколебаний / А.М. Ахтямов // Известия РАЕН. Серия МММИУ. Т.5. -2001. — №3. — C. 103-110.
6. Бабаков, И.В.Теория колебаний /И.В. Бабаков — М: Дрофа, 2004.
7. Биргер, И.А.Техническая диагностика /И.А. Биргер — М.: Машиностроение, 1978. — 239с.
8. Васильев, Н.А.Экспериментальные исследования колебательных характеристик железнодорожных шпал/Н.А.Васильев// Акустический журнал. — 2000. — №3. — C. 424-426.
9. Вибрации втехнике: Справочник. Т.1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина,1978.
10. Снижение шума насудах: учеб.пос. / В.И. Зинченко [и др]. — Л.: Судостроение, 1968.
11. Коллатц. Л. Задачина собственные значения (с техническими приложениями): учеб.пос./Л. Коллатц – М.:Наука, 1968.
12. Кузьмин Р.В.Дифектация судовых механизмов. — М.: Транспорт, 1967. — 174с.
13. Лапин, А.Д.Резонансный поглотитель изгибных волн в стержнях и пластинах /А.Д.Лапин//Акустический журнал. — 2002. — №2. — C. 277-280.
14. Павлов, Б.В.Акустическая диагностика механизмов /Б.В.Павлов — М.: Машиностроение, 1971.
15. Прочность,устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. /Под ред. И.А. Биргера, Я.Г.Пановко. — М: Машиностроение, 1968.
16. Сафина, Г.Ф.Диагностирование закреплений трубопровода с жидкостью /Г.Ф. Сафина// Управление.Контроль. Диагностика. -2006. -№ 3.
17. Сафина, Г.Ф.Диагностирование относительной жесткости подкрепленных цилиндрических оболочекпо собственным частотам их асимметричных колебаний /Г.Ф. Сафина// / Контроль.Диагностика. — 2005. — №12. — С. 55-59.
18. Сафина, Г.Ф.Определение относительной жесткости упругих краевых ребер трубопровода,наполненного жидкостью /Г.Ф.Сафина// Обозрение прикладной и промышленной математики.- 2005. — Т.12, вып.2. — С. 503-504.
19. Тукмаков, А.Л. Ораспознавании объектов на основе анализа акустического отклика при помощифункции числа состояний динамической системы /А.Л. Тукмаков// Авиационнаятехника. — 2003. — №1. — C. 62-67.