ФЕДЕРАЛЬНОЕАГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКОЙФЕДЕРАЦИИ
ОМСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра«Авиа- и ракетостроение»
Специальность160801- «Ракетостроение»
Курсовая работа
подисциплине «Теория автоматического регулирования»
АНАЛИЗСИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ ТУРБИНЫ
Выполнил: студент
гр.
Руководитель:
Омск2007
Задание
1. Написатьуравнения, передаточный функции элементов. Составить структурную схему.Определить передаточные функции разомкнутой, замкнутой систем и передаточнуюфункцию по ошибке.
2. Построитьчастотные характеристики (АЧХ, ФЧХ) системы, ЛАЧХ разомкнутой системы,переходную характеристику.
3. Исследоватьсистему на устойчивость. Определить запасы устойчивости.
4. Определитькоэффициенты ошибок. Найти установившуюся ошибку Dx(t) при функции входногосигнала xВХ(t)= 1; t;t2.
5. Определитьпоказатели качества (время регулирования, перерегулирование, колебательностьпереходного процесса).
6. Определитьпараметры корректирующего звена, обеспечивающие наибольшее быстродействие придостаточном запасе устойчивости (по амплитуде не менее 6 дБ, по фазе не менее />).
Исходныеданные
Звено Параметр Значение Гидротурбина
/>, с 5
/> 1
/> 0,2 Гидропривод
/>, с 0,001
/> 1000 Центробежный тахометр
/>, с 0,1
/>
/>
/> 0,1 Изодром
/>, с 0,03 Редуктор
/> 1
/>
Рис.1.Система автоматического регулирования угловой скорости вращения гидротурбины
/>
Рис.2.Блок-схема системы автоматического регулирования угловой скорости вращениягидротурбины
Выполнениеработы
1.Передаточные функции элементов системы (звеньев)
Это выполняется в два действия:
— Из исходного дифференциального уравнения элемента САУполучить уравнение в операторной форме. Это выполняется путем заменыпроизводной /> оператором дифференцирования p.
— Из полученного алгебраического уравнения выразитьотношение выходной величины к входной. Это отношение равно передаточнойфункции.
Центробежныйтахометр
Уравнениеэлемента: />.
Уравнениев операторной форме:
/>.
Входнымсигналом является угловая частота вращения />, выходным –перемещение нижней муфты />. Получим передаточнуюфункцию:
/>.
Вспомогательныйгидропривод
Так как поусловию перемещение гидроусилителя 6 равно перемещению золотника 4, т.е.значения входного и выходного сигналов равны, то />.
Основнойгидропривод
Уравнениеэлемента: />.
Уравнениев операторной форме:
/>.
Входнымсигналом является перемещение штока золотника />, выходным –перемещение штока поршня />. Получим передаточнуюфункцию:
/>.
Изодром
Уравнениеэлемента:
/>.
Уравнениев операторной форме:
/>.
Входнымсигналом является перемещение цилиндра изодрома />, выходным – перемещениештока поршня/>.Получим передаточную функцию:
/>.
Гидротурбина
Уравнениеэлемента:
/>.
Уравнениев операторной форме:
/>.
Входнымсигналом является перемещение задвижки />, выходным –угловаяскорость вращения вала гидротурбины />. Получим передаточнуюфункцию:
/>.
Усилитель
/> — коэффициент усиления(скорость двигателя 1 в 20 раз выше скорости гидротурбины 12).
Редуктор
/>.
Структурная схема системы регулирования будет выглядетьследующим образом:
/>
Рис. 1. Структурная схема системы автоматического регулированияугловой скорости вращения гидротурбины
Изобразимструктурную схему с учётом исходных данных:
/>
Рис. 2.Структурная схема САУ
Проведёмпреобразования структурной схемы.
Объединимзвено с передаточной функцией /> со звеном отрицательной обратнойсвязи />:
/>.
/>
Перенесёмсумматор с правой стороны усилителя (/>) в левую, добавив в цепь обратнойсвязи звено />.
/>
Объединимпоследовательные звенья:
/>
Передаточнаяфункция эквивалентного звена /> является передаточной функциейразомкнутой системы:
/>
Передаточнаяфункция замкнутой системы:
/>
/>.
В общем виде
/>, (74)
где />, />, />, />, />, />, />; />, />, />, />, />, />, />.
Передаточнаяфункция по ошибке:
/>.
/>
Модель даннойсистемы, составленная в MATLAB / SIMULINK, имеет следующий вид:
/>
Рис. 3. Модель замкнутой САУ, составленная в MATLAB / SIMULINK
Для проверкикорректности модели следует подать на вход системы какой-либо сигнал ипосмотреть поведение выходного сигнала. В качестве входного используем ступенчатыйсигнал (блок Step), выходной сигнал выведем на график с помощью осциллографа Scope.
/>
Рис. 4. Результат работы модели САУ в MATLAB / SIMULINK
2.Построение частотных характеристик (АЧХ, ФЧХ) системы, ЛАЧХ разомкнутойсистемы, переходной характеристики
На рис.3показана модель замкнутой системы. Чтобы построить характеристику дляразомкнутой системы (кривую Найквиста), необходимо разорвать главную обратнуюсвязь (рис.5).
/>
Рис. 5. Модель разомкнутой САУ, составленная в MATLAB / SIMULINK
Имея модельСАУ в SIMULINK, легко построить её частотные и переходную характеристики спомощью другого инструмента: LTI Viewer. Он предназначен для анализа линейныхстационарных систем. С помощью данного инструмента можно построить частотныехарактеристики исследуемой системы, получить её отклики на единичныеступенчатое и импульсное воздействия, построить годограф Найквиста и т.д.
/>
Рис. 5. Переходный процесс САУ
Для построенияамплитудно-частотной характеристики (АЧХ) замкнутой системы производятподстановку /> ввыражение для передаточной функции замкнутой системы /> и АЧХ строят по выражению: />.
Фазо-частотнаяхарактеристика (ФЧХ) замкнутой системы строится по выражению:
/>,
т. е. какаргумент комплексной передаточной функции замкнутой системы. />, /> - соответственнодействительная и мнимая части комплексной передаточной функции замкнутойсистемы />.
/>
Рис. 6. АЧХ иФЧХ замкнутой системы
/>
Рис. 7. Логарифмические частотные характеристики разомкнутой САУ
3.Исследование системы на устойчивость
КритерийГурвица
Характеристическоеуравнение замкнутой системы в общем виде имеет вид:
/> (91)
Составимопределители Гурвица:
/>, />, />, />, />, />, />.
/>; />; />;
/>; />; />.
Программаанализа устойчивости САУ:
% Анализустойчивости САУ по Гурвицу
%Коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы:
a7=75;
a6=75030;
a5=75030753;
a4=2530753150;
a3=1753150000;
a2=254*1.0e+8;
a1=5*1.0e+9;
% a — векторкоэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы
%a(7)*p^6+a(6)*p^5+a(5)*p^4+a(4)*p^3+a(3)*p^2+a(2)*p^1+a(1)
% нумерацияначинается с единицы, а не с нуля
a= [a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7];
disp('Вычисление определителей Гурвица:');
A6=[a(6)a(7) 0 0 0 0; a(4) a(5) a(6) a(7) 0 0; a(2) a(3) a(4) a(5) a(6) a(7);
0 a(1)a(2) a(3) a(4) a(5); 0 0 0 a(1) a(2) a(3); 0 0 0 0 0 a(1)]
d6=det(A6)
A5=[a(6)a(7) 0 0 0; a(4) a(5) a(6) a(7) 0; a(2) a(3) a(4) a(5) a(6);
0 a(1)a(2) a(3) a(4); 0 0 0 a(1) a(2)]
d5=det(A5)
A4=[a(6)a(7) 0 0; a(4) a(5) a(6) a(7); a(2) a(3) a(4) a(5); 0 a(1) a(2) a(3)]
d4=det(A4)
A3=[a(6)a(7) 0; a(4) a(5) a(6); a(2) a(3) a(4)]
d3=det(A3)
A2=[a(6)a(7); a(4) a(5)]
d2=det(A2)
A1=[a(6)]
d1=det(A1)
if d6>0 && d5>0 && d4>0 && d3>0 && d2>0 && d1>0
s='Так каквсе определители Гурвица больше нуля, то система УСТОЙЧИВА';
else
s='Так как невсе определители Гурвица положительны, то система НЕ УСТОЙЧИВА';
end
disp(s);
Результатработы программы:
>>Вычисление определителей Гурвица:
A6 = 1.0e+010 *
0.00000.0000 0 0 0 0
0.25310.0075 0.0000 0.0000 0 0
2.54000.1753 0.2531 0.0075 0.0000 0.0000
0 0.5000 2.5400 0.1753 0.2531 0.0075
0 0 0 0.5000 2.5400 0.1753
0 0 0 0 0 0.5000
d6= 8.7654e+050
A5= 1.0e+010 *
0.00000.0000 0 0 0
0.25310.0075 0.0000 0.0000 0
2.54000.1753 0.2531 0.0075 0.0000
0 0.5000 2.5400 0.1753 0.2531
0 0 0 0.5000 2.5400
d5= 1.7531e+041
A4= 1.0e+010 *
0.00000.0000 0 0
0.25310.0075 0.0000 0.0000
2.54000.1753 0.2531 0.0075
0 0.5000 2.5400 0.1753
d4= 1.3753e+031
A3= 1.0e+010 *
0.00000.0000 0
0.25310.0075 0.0000
2.54000.1753 0.2531
d3= 1.3757e+022
A2= 1.0e+009 *
0.00010.0000
2.53080.0750
d2= 5.4398e+012
A1= 75030
d1= 75030
Так как всеопределители Гурвица больше нуля, то система УСТОЙЧИВА.
КритерийМихайлова
Построимгодограф Михайлова – кривую, которая описывается характеристическим вектором накомплексной плоскости. Характеристический вектор получим, подставив /> вхарактеристический полином (знаменатель передаточной функции замкнутойсистемы):
/>
Программаанализа устойчивости САУ:
disp (' ***Анализ устойчивости по критерию Михайлова ***');
% знаменательхарактеристического уравнения замкнутой системы
%a(7)*p^6+a(6)*p^5+a(5)*p^4+a(4)*p^3+a(3)*p^2+a(2)*p^1+a(1), где вектор a найден ранее
for i=1:1101
w(i)=i-1;%вектор значений частот
end
N=length(w);
fork=1:N
M(k)=-a(7)*w(k)^6+a(6)*j*w(k)^5+a(5)*w(k)^4-a(4)*j*w(k)^3-a(3)*w(k)^2+a(2)*j*w(k)+a(1);
end
x=real(M); %действительная часть
y=imag(M);% мнимая часть
plot(x,y);grid on;
В результатеполучаем график (рис. 8, а, б).
/>
а)
/>
б)
Рис.8. КриваяМихайлова: а) />, б) />
Характеристическийполином имеет степень 6-го порядка, следовательно, для устойчивости даннойсистемы необходимо, чтобы характеристический вектор описывал угол />, т.е.последовательно проходил шесть квадрантов комплексной плоскости. Так как этоусловие выполняется, то система является устойчивой.
КритерийНайквиста
КритерийНайквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по видуамплитудно-фазовой характеристики (АФЧХ) разомкнутой системы.
АФЧХразомкнутой системы, строим в программе MATLAB/SIMULINK с помощью инструмента LTI Viewer.
/>
Рис.9. АФЧХ (криваяНайквиста) разомкнутой системы
Так каккривая Найквиста не охватывает точку (-1;i0), то система являетсяустойчивой.
Запасыустойчивости
Запасыустойчивости определим графически по ЛЧХ разомкнутой системы (рис.7).
/>
Запасустойчивости по амплитуде />.
Поопределению частота среза /> - это частота, при которой АФЧХпересекает окружность единичного радиуса с центром в точке (0;i0). Но, так как криваяНайквиста расположена внутри единичной окружности (рис.9) и не пересекает её,то частота среза отсутствует. Откуда следует, что фаза может изменяться в любыхпределах без риска для устойчивости системы.
Вывод:система устойчива.
4.Оценка точности САУ
Еслипередаточную функцию по ошибке
/>
представить ввиде степенного ряда
/>,
токоэффициенты />, />, />, … называют коэффициентамиошибок. Их можно определить по известным формулам
/>
Затемвеличину ошибки можно рассчитать по формуле
/>
В заданиитребуется определить ошибку при xВХ(t) = 1; t; t2 .
Программарасчёта величины ошибки:
disp (' *** Определениекоэффициентов ошибок ***');
syms p Wd xdx t % p, Wd, x, dx — символьные переменные
a(2)=252.5*1.0e+8;
disp (' Передаточнаяфункция по ошибке ');
Wd=(a(7)*p^6+a(6)*p^5+a(5)*p^4+a(4)*p^3+a(3)*p^2+a(2)*p+a(1))/(a(7)*p^6+a(6)*p^5+a(5)*p^4+
+a(4)*p^3+a(3)*p^2+(a(2)+0.075*1.0e+8)*p+a(1));
pretty(Wd)% вывод в удобочитаемом виде
disp (' Коэффициентыошибок ');
S0=subs(diff(Wd,p,0),p,0)
S1=subs(diff(Wd,p,1),p,0)
S2=subs(diff(Wd,p,2),p,0)
S3=subs(diff(Wd,p,3),p,0)
S4=subs(diff(Wd,p,4),p,0)
S5=subs(diff(Wd,p,5),p,0)
S6=subs(diff(Wd,p,6),p,0)
disp (' ');
disp('Определение ошибки при различных функциях входного сигнала');
x=1
dx=eval(S0*x+S1*diff(x,t)+S2*diff(x,t,2)+S3*diff(x,t,3)+S4*diff(x,t,4)+S5*diff(x,t,5)+S6*diff(x,t,6))
%pretty(dx)
x=t
dx=eval(S0*x+S1*diff(x,t)+S2*diff(x,t,2)+S3*diff(x,t,3)+S4*diff(x,t,4)+S5*diff(x,t,5)+S6*diff(x,t,6));
pretty(dx)
x=t^2
dx=eval(S0*x+S1*diff(x,t)+S2*diff(x,t,2)+S3*diff(x,t,3)+S4*diff(x,t,4)+S5*diff(x,t,5)+S6*diff(x,t,6));
pretty(dx)
Результатработы программы:
*** Определениекоэффициентов ошибок ***
Передаточнаяфункция по ошибке
6 54 3 2
(75p + 75030 p + 75030753 p + 2530753150 p + 1753150000 p
/ 6 5 4
+25250000000 p + 5000000000) / (75 p + 75030 p + 75030753 p
/
3 2
+2530753150 p + 1753150000 p + 25257500000 p + 5000000000)
Коэффициенты ошибок
S0= 1
S1= -0.0015
S2= 0.0152
S3= -0.2265
S4 = 4.5312
S5 = -113.3155
S6 = 3.4005e+003
Определениеошибки при различных функциях входного сигнала
x= 1
dx= 1
x= t
211106232533
t- ----------------------
140737488355328
x= t^2
2 211106232533 34124900276475
t — --------------------- t + ------------------------
703687441776641125899906842624
При /> /> (система статическая).
При /> /> (скоростнаяошибка линейно возрастает с течением времени).
При /> /> (ошибка отускорения с течением времени изменяется по квадратичному закону).
5.Показатели качества переходного процесса
Дляопределения показателей качества переходного процесса проанализируем переходнуюхарактеристику на рис.10.
/>
Рис.10.Переходная характеристика САУ
Будемопределять следующие показатели качества переходного процесса: времярегулирования переходного процесса />, недорегулирование />, колебательность переходногопроцесса />.
Времярегулирования переходного процесса /> характеризует быстродействиесистемы и определяется как интервал времени от начала переходного процесса домомента, когда отклонение выходной величины /> от её установившегося значения /> становитсяменьше определённой достаточно малой величины (5%/>).
Времярегулирования переходного процесса />.
Колебательностьпереходного процесса /> обычно определяется числомколебаний равным числу максимумов (минимумов) переходной характеристики завремя регулирования />.
Колебательностьпереходного процесса />.
Недорегулирование/> характеризуетперегрузку в системе, это максимальное отклонение переходной характеристикиотносительно />, выраженное в %-ах от него. Длябольшинства систем /> обычно не превышает 30%. Недорегулированиевычисляется по формуле:
/>,
где /> - максимальноезначение, достигаемое переходной характеристикой.
/>.
/>.
6.Коррекция динамических свойств системы
Простейшимспособом повышения качества САУ является подбор значений параметров еёэлементов.
Новыезначения параметров звеньев:
/>; />.
/>
Рис.11.Графики переходной характеристики САУ до и после корректирования
Времярегулирования переходного процесса />.
Колебательностьпереходного процесса />.
Максимальноезначение/>.
Запасустойчивости системы увеличился (рис.12).
/>.
/>
Рис.12. ЛЧХ разомкнутой САУ
Списоклитературы
1. ЧерныхИ.В. «Simulink: Инструмент моделирования динамических систем» (simulink.chm)
2. Теорияавтоматического управления. Методические указания для самостоятельной работыстудентов. Ситников Д.В. Омск: ОмГТУ, 2003.