--PAGE_BREAK--1.2 Общая постановка задачи и схема взаимодействия газовой струи с жидкостью
Из резервуара, содержащего газ при давлении
p
н и температуре T
н, через фурму, снабженную соплом Лаваля, истекает в расчетном режиме вертикально вниз сверхзвуковая газовая струя, взаимодействуя с неподвижной жидкостью, заполняющей некоторый объем. Срез сопла фурмы отстоит от поверхности жидкости на расстоянии Hтаком, что скорость газа у поверхности становится дозвуковой.
В монографиях [7, 8] рассмотрены различные схемы взаимодействия газовых струй с жидкими средами. Отдадим предпочтение следующей комбинированной схеме. Струя газа, внедрившись в жидкость и достигнув максимальной глубины проникания, отражается и, изменяя направление движения на противоположное, увлекает за собой жидкость в пределах пограничного слоя, образующегося у поверхности раздела сред. На периферии наблюдаются нисходящие потоки жидкости, как показано на рисунке 1.1 В расплав 1 через фурму 2 вдувается струя кислорода 3, под действием которой образуется лунка 4. Распространяясь вдоль поверхности лунки, струя взаимодействует с расплавом, создавая его движение в ванне.
При таких условиях тепломассообмен струи с жидкостью происходит на межфазной поверхности. В этой связи возникает проблема нахождения при заданных давлении p
н и температуре T
н газа оптимальной высоты поднятия фурмы H
*
, которая обеспечила бы максимальную площадь контактной поверхности.
Практический интерес представляет также расчет поля скоростей основного объема жидкости.
Рисунок 1.1 — Схема взаимодействия газовой струи с жидкостью
1.3 Модели турбулентных струйных течений газа
Основной вклад в развитие теории турбулентных струйных течений принадлежит Г.Н. Абрамовичу [14] и Л.А. Вулису [3, 15, 16] и их сотрудникам. Ими поставлено и решено большое количество задач, а также приведены принципиально важные экспериментальные исследования. Определенный интерес представляют работы и других авторов (А.С. Гиневский [17], Горбунов К.С. [18]).
Схематизация струйных течений по Г.Н. Абрамовичу заключается в том, что вместо рассмотрения непрерывных деформаций профилей скорости и температуры вдоль по течению, струя условно разбивается на три участка (начальный, переходный и основной), для каждого из которых приведены полуэмпирические формулы для расчета скорости и температуры, как вдоль оси симметрии, так и в поперечных сечениях струи. Схема показана на рис.1.2 Слабым местом предложенной модели является определение точных размеров начального и переходного участков.
Рисунок 1.2 — Схема затопленной газовой струи
Предпочтительной схемой для решения задач, поставленных в настоящей дипломной работе, является модель, представленная Л.А. Вулисом. В этой модели струйные течения газа описываются следующими уравнениями:
, i=1,2. (1.1)
Здесь x
,
y — продольная и поперечная координаты;
F
1
=
u
2; F
2
=
u
(
H
—
He
);
— плотность;
u — продольная скорость;
H
=
cpT
+
u
2
/2 — полное теплосодержание;
с
p — удельная теплоемкость;
T — температура;
ai
(
x
) — некоторые функции зависящие от турбулентных свойств потока и определяемые экспериментально;
индекс “e” относится к внешней среде.
В работе [3] уравнения (1.1), содержащие линейные функции ai
(
x
), решены аналитически и при y= 0 получены следующие формулы, которые используются в дипломной работе:
(1.2)
(1.3)
Здесь безразмерная физическая координата; d
— диаметр среза сопла; ; с = 0,04; Hрасстояние от среза сопла до данного сечения струи; — плотность, скорость и температура газа на срезе сопла; — то же на оси струи; Te — температура внешней среды.
газовая струя жидкость газопровод
продолжение
--PAGE_BREAK--1.4 Уравнения Навье — Стокса установившегося изотермического осесимметричного движения вязкой несжимаемой жидкости
Решение задачи о движении жидкости при воздействии на нее струи газа целесообразно проводить в цилиндрической системе координат. Уравнения, описывающие установившееся изотермическое осесимметричное движение вязкой несжимаемой жидкости в этой системе, имеют следующий вид [5]:
(1.4)
(1.5)
(1.6)
Здесь r
,
z
— радиальная и вертикальная координаты; — плотность жидкости; — коэффициент кинематической вязкости; p
— давление; u
,
v — радиальная и вертикальная составляющие скорости; Fr, Fz — проекции вектора плотности распределения объемных сил F.
Совокупность уравнений (1.4) — (1.6) представляет замкнутую нелинейную систему трех уравнений в частных производных второго порядка с тремя неизвестными функциями u
,
v
,
p. Величины и являются заданными постоянными. Для получения конкретных решений при интегрировании приведенной системы уравнений должны быть использованы соответствующие граничные условия.
2. Газовая струя и межфазная поверхность
Определяются скорость и плотность газа на срезе сопла в зависимости от давления и температуры газа в газопроводе, также параметры струи на уровне свободной поверхности неподвижной жидкости. Исследуются геометрические характеристики межфазной поверхности.
2.1 Течения газа в сопле Лаваля
Для расчета параметров газовой струи в любом поперечном сечении необходимо знать скорость u
, плотность и температуру T
газа на срезе сопла. В данной работе расчет указанных величин произведен на основании известных газодинамических формул [1]:
, (2.1)
. (2.2)
Здесь P — давление газа;
— плотность газа;
Rg — универсальная газовая постоянная;
T — температура газа;
u — скорость потока газа;
S — площадь сечения трубы.
На рисунках 2.1 — 2.4 показаны зависимости числа Маха М0 и плотности кислорода от от давления p
ни температуры Тнна срезе сопла, при критическом диаметре сопла d
кр=0,054 м, которому соответствует диаметр среза сопла d
=0,1 м.
Рисунок 2.1 — Зависимость числа Маха кислорода на срезе сопла от давлениярн
Рисунок 2.2 — Зависимость числа Маха кислорода на срезе сопла от температурыТн
Рисунок 2.3 — Зависимость плотности кислорода на срезе сопла от давлениярн
Рисунок 2.4 — Зависимость плотности кислорода на срезе сопла от температурыТн
2.2 Параметры струи на уровне свободной поверхности жидкости
Обозначая , и , из выражений (1.2) и (1.3) находим:
, (2.1)
, (2.2)
где
Осреднение параметров по сечению струи удобно проводить, используя следующие формулы [19]:
, ,
, (2.3)
где — средние по сечению струи скорость, плотность и температура газа соответственно.
На рис.2.5 — 2.8 показано изменение осевой скорости газа, плотности на оcи, а также средней по сечению струи скорости газа и его плотности.
Рисунок 2.5 — Изменение скорости кислорода вдоль оси струи при рн = 10ат
Рисунок 2.6 — Изменение плотности кислорода вдоль оси струи при рн = 10 ат
Рисунок 2.7 — Изменение средней скорости кислорода при рн = 10 ат
Рисунок 2.8 — Изменение средней плотности кислорода при рн = 10 ат
продолжение
--PAGE_BREAK--2.3 Геометрические характеристики межфазной поверхности
Следуя [12], скорость проникания газовой струи в жидкость определяем по формуле:
, (2.4)
где k — показатель адиабаты;
— плотность жидкости.
Глубина проникания струи в жидкость hопределяется из выражения:
. (2.5)
В этой формуле n — коэффициент проникания, определяемый следующим образом [7]:
, если ; (2.6)
, если (2.7)
, (2.8)
где Ar — критерий Архимеда, а d
1 — диаметр струи на уровне поверхности жидкости, определяемый по формуле
. (2.9)
На рисунках 2.9 — 2.12 представлены графики изменения скорости проникания и глубины проникания струи в жидкость в зависимости от давления и температуры в газопроводе.
Рисунок 2.9 — Зависимость скорости проникания от давления в газопроводе
Рисунок 2.10 — Зависимость скорости проникания от температуры в газопроводе
Рисунок 2.11 — Зависимость глубины проникания от давления в газопроводе
Рисунок 2.12 — Зависимость глубины проникания от температуры в газопроводе
Для приближенного определения размеров контактной поверхности ее аппроксимируют однопараметрической поверхностью тела вращения (рисунок 2.13), уравнение которой имеет следующий вид [20]:
R
=
a
cosec (2.10)
где a
=
const, определяется по формуле [12]:
. (2.11)
Уравнение контактной поверхности можно представить в следующем виде:
. (2.12)
Рисунок 2.13 — Схема контактной поверхности
Важными характеристиками являются диаметр
Dвпадины, внутренняя поверхность которой является контактной поверхностью, и площадь Sмежфазной поверхности, величина которой играет существенную роль при тепломассообмене газа с жидкостью.
Указанные характеристики определяются по следующим формулам [13]:
, (2.13)
, (2.14)
где . (2.15)
На рисунках 2.14 — 2.17редставлены зависимости D
и S
от p
ни Тн при высоте поднятия фурмы H
/
d
= 20.
Рисунок 2.14 — Зависимость диаметра впадины от давления в газопроводе
Рисунок 2.15 — Зависимость диаметра впадины от температуры в газопроводе
Рисунок 2.16 — Зависимость площади контактной поверхности от давления в газопроводе
Рисунок 2.17 — Зависимость площади контактной поверхности от температуры в газопроводе
2.4 2Оптимальная высота поднятия фурмы
При исследовании теплообменных процессов в кислородных конвертерах особое значение имеет площадь межфазной поверхности, где протекают первичные химические реакции [13]. В этой связи возникает проблема определения оптимальной высоты поднятия фурмы над уровнем жидкости H
*
, которая обеспечивает наибольшую площадь контактной поверхности газа с жидкостью. Ограничительным условием при этом является то, что высота поднятия фурмы не должна быть не ниже значения H
*, при которой скорость газа равна местной скорости звука.
Величина Н* определяется по следующей формуле [11]:
(2.16)
На рисунках 2.18 — 2.23представлены зависимости H
*и H
*от давления и температуры в газопроводе.
Рисунок 2.18 — Зависимость H
* от давлениярн
Рисунок 2.19 — Зависимость H
* кислорода от температурыТн
Рисунок 2.20 — Зависимость оптимальной высоты поднятия фурмы для системы “конвертерный факел — чугун" отдавления в газопроводе
Рисунок 2.21 — Зависимость оптимальной высоты поднятия фурмы для системы “конвертерный факел — чугун" оттемпературы в газопроводе
Рисунок 2.22 — Зависимость отношения H* /
H* для системы “конвертерный факел — чугун" отдавления в газопроводе
Рисунок 2.23 — Зависимость отношения H* /
H* для системы “конветный факел — чугун" оттемпературы в газопроводе
продолжение
--PAGE_BREAK--2.5 Аппроксимация зависимости оптимальной высоты поднятия фурмы от давления
Для получения функций аппроксимирующих оптимальную высоты поднятия фурмы от давления при различных критических диаметрах был использован метод наименьших квадратов, суть которого заключается в минимизации отклонения эмпирического значения от теоретического. Функция аппроксимирующая зависимость оптимальной высоты поднятия фурмы от давления искалась в следующем виде:
, (2.17)
где H=, Р=.
В таблицах 2.1-2.3 представлены результаты нахождения коэффициентов для уравнения (2.16).
Таблица 2.1 — Нахождение коэффициентов для Dкр=0,044м
P
HT
HE
Е
2,00
24,99
24,94
0,21
3,00
23,97
23,80
0,68
4,00
22,71
22,74
0,14
5,00
21,62
21,76
0,67
6,00
20,69
20,85
0,81
7,00
19,89
20,02
0,66
8,00
19, 20
19,26
0,33
9,00
18,59
18,58
0,09
10,00
18,06
17,97
0,51
11,00
17,58
17,43
0,84
12,00
17,15
16,97
1,02
13,00
16,76
16,59
1,00
14,00
16,40
16,28
0,73
15,00
16,07
16,04
0,16
16,00
15,76
15,88
0,75
17,00
15,48
15,79
2,03
18,00
15,22
15,78
3,72
19,00
16,33
15,85
2,96
20,00
16,08
15,99
0,58
a=
27,42
b=
-1,32
c=
0,04
3,72
Здесь Р — начальное давление,
НТ — теоретическое значение ,
НЕ — эмпирическое значение ,
Е — погрешность.
Таблица 3.2 — Нахождение коэффициентов для Dкр=0,054м
Здесь Р — начальное давление,
НТ — теоретическое значение ,
НЕ — эмпирическое значение ,
Е — погрешность.
Таблица 3.3 — Нахождение коэффициентов для Dкр=0,064м
Здесь Р — начальное давление,
НТ — теоретическое значение ,
НЕ — эмпирическое значение , Е — погрешность.
Полученные зависимости оптимальной высоты поднятия фурмы от давления при разных диаметрах критического сечения представлены на рисунке 2.24
Рисунок 2.24 — Зависимость оптимальной высоты поднятия фурмы от давления при различных диаметрах критического сечения сопла Лаваля
продолжение
--PAGE_BREAK--3. Численное исследование движения жидкости
Приведены уравнения Навье — Стокса установившегося осесимметричного движения несжимаемой вязкой жидкости в переменных функция тока — вихрь. Проведено исследование решений уравнения Пуассона применительно к описанию течения жидкости.
3.1 Некоторые особенности уравнений Навье — Стокса и их решений
Уравнения Навье — Стокса обладают целым рядом специфических особенностей, которые проявляются в численной реализации независимо от формы их записи. Одной из существенных особенностей является пространно-эллиптический характер уравнений, обусловленный влиянием вязкости во всем поле течения. В связи с этим для решения уравнений Навье — Стокса необходимо использовать типичные для эллиптических уравнений методы решения. В отличии от уравнений пограничного слоя, при этом требуется постановка граничных условий на всех границах рассматриваемой области, которая в реальных условиях часто бывает бесконечна, но при численной реализации должна быть конечной. Это приводит в ряде задач внешнего обтекания к так называемой «проблеме замыкания», что требует разработки приближенных асимптотических решений.
В системе уравнений Навье — Стокса имеется малый параметр при старшей производной Е=1/Re, изменению которого соответствует существенное изменение гладкости решения. Это связано с появлением у стенок при росте числа Reпограничного слоя, толщина которого обычно пропорциональна величине (Re) ^-0,5. Хорошую иллюстрацию этих эффектов (и соответственно вычислительных трудностей) дает линейное одномерное модельное уравнение переноса с диссипацией.
Наконец, система уравнений Навье — Стокса нелинейна. Эта нелинейность, типичная для систем гидродинамического типа, обусловлена в случае несжимаемой жидкости инерционными составляющими в уравнениях количества движения. В сочетании с двумя упоминавшимися выше особенностями нелинейность уравнений Навье — Стокса приводит при достаточно больших числах Рейнольдса к образованию весьма сложных пространственно временных структур.
В большинстве случаев для каждого типа сечения и некотором диапазоне чисел Рейнольдса существует единственное устойчивое стационарное решение уравнений Навье — Стокса, для получения которого можно использовать либо стационарные уравнения, либо нестационарные, рассматривая искомое решение как предел при времени стремящимся к бесконечности (метод установления). При увеличении числа Рейнольдса стационарное решение перестает быть единственным и начинает зависеть от начальных данных. При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса реализуются только нестационарные решения. Решение при этом имеет не только нерегулярный характер во времени, но и существенно усложняется его пространственная структура, в частности, теряет устойчивость и дробится пограничный слой, в ядре появляются вторичные решения и т.д. Для описания режимов такого типа стационарные уравнения Навье — Стокса недостаточны.
В экспериментах при больших числах Рейнольдса наблюдается неупорядоченное, хаотическое движение жидкости, называемое турбулентным движением, для которого представляет интерес описание средних пространственно-временных характеристик. Переход из ламинарного режима течения в турбулентный в круглой трубе происходит при числе Рейнольдса приблизительно равным 2*10^3. В технических приложениях и явлениях природы значения чисел Рейнольдса достигают значительно больших величин 10^6 — 10^9, поэтому турбулентные режимы имеют широкое распространение. Информация об этих режимах, по-видимому, содержится в нестационарных уравнениях Навье — Стокса. До недавнего времени численные исследования при больших числах Рейнольдса были связаны лишь с изучением поведения бесконечно малых возмущений на основе линеаризированных гидродинамических уравнений. В последнее время для отдельных классов течений делаются попытки прямого численного моделирования переходных и турбулентных режимов на основе нестационарных уравнений Навье — Стокса.
Из сказанного следует, что требования к вычислительным методам для решения уравнений Навье — Стокса должны различаться в зависимости от рассматриваемого диапазона чисел Рейнольдса и тех целей, которые ставятся при численном моделировании.
Общие требования к вычислительным методам можно сформулировать следующим образом:
1) Вычислительная устойчивость;
2) Точность расчета основных характеристик, приемлемая для соответствующих приложений;
3) Экономичность, минимальный объем оперативной памяти, простота реализации.
Первое требование заключается в том, чтобы весь вычислительный процесс был устойчив. Оно относится как к самой разностной схеме, так и к методу решения соответствующих алгебраических уравнений. Для разностных схем, аппроксимирующих уравнения Навье — Стокса, причин неустойчивости больше, чем для простых модельных уравнений, причем в ряде случаев явления вычислительной неустойчивости трудно отличить от возможного сложного поведения решений.
Второе требование означает необходимость высокой пространственно-временной разрешимости, которой можно в принципе достигнуть, либо применяя схемы не слишком высокого порядка точности, реализуемые на подробных пространственно-временных сетках, либо существенно повышая порядок точности схем. Для уравнений Навье — Стокса особенно важным является посторенние разностных схем, аппроксимирующих общие нестационарные уравнения (и позволяющих в частном случае определить стационарные решения, если такие существуют). При этом практика показывает, что для расчета весьма широкого класса течений достаточного использования схем первого порядка точности по времени. В отличие от течений невязкой жидкости, при этом характерны более высокие требования к пространственной аппроксимации решения (пограничные слои, основные и вторичные течения и т.д.). Наиболее удобными являются разностные схемы второго порядка точности по пространственной координате на неравномерной сетке, сгущающейся в зоне больших градиентов.
Третье требование на самом деле может состоять из двух или даже трех требований: минимального числа операций на временном слое, минимального объема оперативной памяти ЭВМ и минимальных затрат труда программиста на реализацию программы.
Перечисленные требования в известной мере условны, так как значение каждого из них зависит от ряда дополнительных факторов, таких, например, как режим течения по числу Рейнольдса, тип ЭВМ, квалификация исполнителя, ограничения на время для получения результата, серийность расчетов и т.д. Эти требования, кроме того, противоречивы, так как одновременное их выполнение практически невозможно, что требует компромиссных решений.
С помощью метода конечных разностей исследования ведутся широким фронтом, и накопленный опыт позволяет увидеть их достоинства и недостатки. Достоинствами являются универсальность, экономичность, сравнительная простота реализации. Недостатками являются не слишком высокая точность (а также трудности построения и реализации схем высокой точности и оценки точности), трудности при аппроксимации областей с границами сложной формы. Поэтому ведутся поиски других методов. В этой подглаве будут упомянуты некоторые основные подходы, разделенные на три группы.
К первой группе относятся попытки применения прямых методов. Наиболее разработаны к настоящему времени для уравнений Навье — Стокса методы Галеркина и некоторые их модификации. Эти методы обладают многими преимуществами, к числу которых относятся точность, возможность сокращения объема информации и экономичность. Однако сходимость этих методов в значительной степени зависит от выбора пробных функций, поэтому успешная реализация их достигнута лишь в ряде специальных случаев, например в задачах конвекции при наличии свободных и периодических границ, где известно аналитическое решение линейной задачи.
Ко второй группе следует отнести методы более общего характера, связанные с представлением решения в виде рядов или интерполяционных многочленов. Применительно к численному моделированию задач гидродинамической устойчивости важное значение имеют так называемые алгоритмы «без насыщения».
К третей группе относится метод конечных элементов, имеющий много общих свойств с методом сеток, но отличающийся специальным выбором аппроксимации с учетом тех или иных вариационных принципов. Современные варианты метода конечных элементов в применении к уравнениям Навье — Стокса позволяют расширить класс геометрических объектов, но в настоящее время существенно проигрывают в экономичности расчета. Стремление к использованию лучших свойств из конечно-разностных и упоминавшихся здесь методов, приспособленных к проведению параллельных вычислений на многопроцессорных ЭВМ, приводит в последние время к появления новых методов решения уравнений Навье — Стокса, детальная практическая проверка которых, однако, является делом будущего. Более подробное обсуждение различных направлений развития численных методов для уравнений Навье — Стокса выходит за рамки данного обзора.
продолжение
--PAGE_BREAK--