Курсовая работа
«Расчёт устойчивости прямоугольных пластин судового корпуса»
Исходные данные
№
п/п
Размер пластины (a), м
Размер пластины(b), м
Модуль упругости материала
Е ·103МПа
Толщина пластины (h), м
19
1.9
1,30
210
0.020
Дифференциальное уравнение нейтрального равновесия прямоугольной пластины, сжатой в двух взаимно перпендикулярных направлениях (1), (2)
Начнем изучение устойчивости пластин со случая, когда на свободно опертую прямоугольную пластину действуют сжимающие напряжения в двух взаимно перпендикулярных направлениях (рис.1).
/>
Рис.1
Пусть σ1 — абсолютная величина сжимающего напряжения, действующего в направлении оси ох; σ2-абсолютная величина сжимающего напряжения, действующего в направлении оси оу; "а" и "b"-размеры пластины в плане; "h"-толщина пластины.
Тогда дифференциальное уравнение нейтрального равновесия рассматриваемой пластины будет:
/> (1)
/> (2)
Задание формы упругой поверхности свободно опертой пластины при потере устойчивости в виде двойного тригонометрического ряда (3)
Упругая поверхность свободно опертой пластины при потере устойчивости в самом общем виде может быть представлена тригонометрическим рядом:
/> (3)
Граничные условия на кромках рассматриваемой прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины (4)
Каждый член ряда (3) удовлетворяет граничным условиям на контуре рассматриваемой пластины, т.е. условиям равенства нулю в точках на контуре величины прогиба пластины и изгибающих моментов:
/> (4)
Уравнение, устанавливающее сочетание нагрузок Т1и Т2, при котором свободно опёртая по контуру прямоугольная пластина может потерять устойчивость (8)
Подставляя формулу (3) в дифференциальное уравнение (1), Получим
/>
/>
или
/> (5)
Рассматриваемая пластина может потерять устойчивость при таком сочетании нагрузок Т1 и Т2, при котором какая-либо из скобок, входящих в выражение (5), обратится в нуль.
При этом соответствующее Аmn может стать отличным от нуля и форма потери устойчивости пластины будет
/>/>/>/> (6)
Таким образом, эйлерово сочетание нагрузок Т1 и Т2 определится из условия:
/>
Учитывая обозначения (2), получим
/> (7)
Или
/> (8)
Устойчивость прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины, одинаково сжатой в обоих направлениях. (11)
Для дальнейшего исследования полезно выражение (7) переписать следующим образом:
/> (9)
При различных комбинациях чисел "m" и "n" мы имеем, на основании выражения (9) линейную зависимость между напряжениями σ1 и σ2.
Будем откладывать на оси абсцисс некоторой системы координатных осей напряжение σ1, а на оси ординат-напряжение σ2 (рис.2). Тогда любой точке плоскости будет соответствовать некоторая комбинация напряжений σ1 и σ2
/>
/>Рис.2
Рассматривая пластину с определенным отношением сторон а: b, можем, задаваясь различными "m" и "n", построить ряд прямых по уравнениям (9). Область тех напряжений, при которых пластина не теряет устойчивости, будет ограничена ближайшими к началу координат участками всех построенных прямых различных "m" и "n".
Легко убедиться, что для определения этих участков нужно построить лишь прямые, соответствующие различным "m" при n=1 и различным "n" при m=1.
Если σ1=σ2., т.е. пластина одинаково сжата в обоих направлениях, то на основании выражения (9) получим
σ1=σ2/>(10)
Правая часть формулы (10) растет при увеличении чисел "m" и "n". Поэтому в таком случае для разыскания эйлеровых значений сжимающих напряжений следует в формуле (10) положить m= n=1. Тогда получим
/> (11)
где /> — цилиндрическая жесткость пластины.
Следовательно, одинаково сжатая в двух пластина теряет устойчивость с образованием одной полуволны независимо от величины отношения а: b.
Расчёт эйлеровых значений сжимающих усилий прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины, одинаково сжатой в обоих направлениях.
/>
/>
Устойчивость прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины, сжатой в одном направлении вдоль длинной стороны пластины. (12)
Если пластина сжата лишь в одном направлении, то ее эйлерову нагрузку можно найти из общих зависимостей предыдущего параграфа, положив в них σ2=0. На основании формулы (9) получим
/> (12)
Установление числа полуволн формы потери устойчивости прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины, сжатой в одном направлении вдоль длинной стороны (15).
Число полуволн "m", образующихся вдоль направления сжатия при потере устойчивости пластины, будет зависеть от отношения а: b.
Действительно, каждому отношению а: b должно соответствовать определенное число "m", при подстановке которого в формулу скобка, входящая в ее правую часть, будет принимать наименьшее значение.
/> (13)
Это число "m" должно, очевидно, удовлетворять тому условию, при котором при подстановке в правую часть формулы вместо m величины (m+ 1) и (m — 1) значение скобки будет увеличиваться. Это условие запишется в виде:
/> (14)
Из выражения (15) можно получить:
/> (15)
Последние неравенства показывают, что на длине пластины образуется следующее число полуволн:
/>
Расчёт эйлеровых значений сжимающих усилий прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины, сжатой вдоль короткой стороны опорного контура (16)
Для стальной пластины с параметрами Е=2,15*106кг/см2; μ=0,3, сжатой вдоль короткой стороны опорного контура, эйлерово напряжение определяется:
/> (16)
Для определения эйлерова напряжения пластины с параметрами Е=210·103МПа = 2,1·106кг/см2иμ=0,3 вдоль короткой стороны необходимо формулу (21) домножить на Е/Ест, тогда:--PAGE_BREAK--
/>
/>
Расчёт эйлеровых значений сжимающих усилий прямоугольной свободно опёртой по контуру пластины, сжатой вдоль длинной стороны опорного контура (17)
Для стальной пластины с параметрами Е=2,15*106кг/см2; μ=0,3, сжатой вдоль длинной стороны опорного контура, эйлерово напряжение определяется:
/> (17)
Для определения эйлерова напряжения пластины с параметрами Е=210·103МПа = 2,1·106кг/см2иμ=0,3 вдоль длинной стороны необходимо формулу (21) домножить на Е/Ест, тогда:
/>
/>
Устойчивость пластин, свободно опертых по двум кромкам. Решение в виде ординарного тригонометрического ряда. Расчётная схема (рис.3)
/>
/>Рис.3
Решение для упругой поверхности пластины, у которой кромки х = constсвободно оперты на жесткий контур (18)
Рассмотрим пластину, у которой кромки х = const свободно оперты на жесткий контур, и загруженную сжимающими усилиями в направлении оси ох. Решение для упругой поверхности такой пластины можно искать в виде ординарного тригонометрического ряда:
/> (18)
Дифференциальное уравнение нейтрального равновесия пластины (24). Дифференциальное уравнение, которому должны удовлетворять функции />(20)
Дифференциальное уравнение нейтрального равновесия пластины:
/> (19)
где Т1= — σ1h
Функции />должны удовлетворять дифференциальному уравнению:
/> (20)
Общий интеграл для функций />(21)
На основании решения, полученного при рассмотрении изгиба пластин, свободно опертых по двум кромкам, формула общего интеграла для функций /> запишется в виде:
/> (21)
Где
/> (22)
Граничные условия для функции/>, для пластины, жестко заделанной по своим продольным кромкам, (25)
Рассматриваемое решение позволяет исследовать устойчивость пластин при различных условиях закрепления на кромках, параллельных сжимающей нагрузке.
Продольные кромки жестко заделаны (рис.4).
/>
/>Рис.4
В этом случае граничные условия для упругой поверхности пластины w(х, у) будут:
/> (23)
Учитывая, что ожидаемая форма потери устойчивости будет симметрична относительно оси ох, можем в общем интеграле функции /> сохранить лишь четные члены, т.е. записать его в виде
/> (24)
и подчинить это выражение граничным условиям на кромке />.
Учитывая выражения (18) и (23), получим следующие граничные условия для функции/>:
/> (25)
Система линейных однородных уравнений относительно постоянных Amи Сm(26)
Подчиняя выражение (24) условиям (25), получим
/> (26)
Определение эйлеровых напряжений пластины, жестко заделанной по своим продольным кромкам (27)
Определение эйлеровых напряжений пластины, жестко заделанной по своим продольным кромкам, по формуле:
/> (27)
Где kвыбирается из таблицы в зависимости от соотношения сторон пластины b: a
b: а
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
k
9,44
7,69
7,05
7,00
7,29
7,83
7,69
/>
Примем коэффициент k=7,00 тогда
/>
Устойчивость пластины, одна продольная кромка которой свободно оперта, другая совершенно свободна. Расчётная схема (рис.5)
Одна продольная кромка пластины свободно оперта, другая совершенно свободна
/>/>
/>Рис.5
Определение эйлеровых напряжений пластины, одна продольная кромка которой свободно оперта, другая совершенно свободна (28)
Для стальной пластины с параметрами Е=2,15*106кг/см2; μ=0,3, сжатой вдоль длинной стороны опорного контура, при закреплении показанном на Рис.6, эйлерово напряжение определяется по формуле:
/> (28)
Для определения эйлерова напряжения пластины с параметрами Е=210·103МПа = 2,1·106кг/см2иμ=0,3 необходимо формулу (28) домножить на Е/Ест, тогда:
/>
/>
Устойчивость пластин при действии касательных напряжений. Расчётная схема (Рис.6)
Рассмотрим свободно опертую пластину, находящуюся в условиях чистого сдвига под действием касательных напряжений τ (Рис.6).
Сдвигающие усилия на единицу длины пластины будут />
/>
/>Рис.6
Вычисление эйлеровой нагрузки пластин при действии касательных напряжений (29)
/> (29)
/>
Заключение
Анализ прямоугольных пластин позволяет сделать вывод об их устойчивости и как следствие прочности всей судовой конструкции. Полученные значения касательных и эйлеровых напряжений допустимы.
Список литературы
Основная литература
1. Ипатовцев Ю.Н., Короткин Я.И. Строительная механика и прочность корабля: Учебник. Л.: Cудостроение, 1991
2. Короткин Я.И., Ростовцев Д.М., Сиверс Н.Л. Прочность корабля: Учебник. Л.: Судостроение, 1974
3. Постнов В.А. и др. Строительная механика корабля и теория упругости: Учебник: в 2-х томах. Л.: Cудостроение, 1987
Дополнительная литература
Архангородский А.Г., Беленький Л.М. Аналитический метод проектирования корпуса корабля, Л.: Судпромгиз. 1961
Короткин Я.И., Локшин А.З., Сиверс Н.Л. Изгиб и устойчивость стержней и стержневых систем: Учебное пособие, М.Л. .: Машгиз, 1953
Короткин Я.И., Локшин А.З., Сиверс Н.Л. Изгиб и устойчивость пластин и круговых цилиндрических оболочек: Учебное пособие, Л.: Судпромгиз, 1955
Крыжевич Г.Б. Основы расчётов надёжности судовых конструкций: Учебное пособие, Санкт-Петербург.: СПбГМТУ, 1995
Локшин А.З., Рябов Л.И. Судовые кничные соединения, Л.: Cудостроение, 1973
Попов Ю.Н. и др. Прочность судов, плавающих во льдах, Л.: Cудостроение, 1967
Справочник по строительной механике корабля: в 3-х томах / Под ред. акад. Ю.А. Шиманского. Л.: Судпромгиз. 1960
Справочник по строительной механике корабля: в 3-х томах/Бойцов Г.В., Палий О.М., Постнов В.А., Чувиковский В.С. Л.: Cудостроение, 1982
Чибиряк И.М. Методические указания к выполнению курсовой работы по конструкции корпуса корабля. Владивосток, изд. ДВПИ им.В. В. Куйбышева, 1977.