ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное Образовательное Учреждение
Высшего Профессионального Образования
«Самарский государственный технический университет»
Кафедра электротехники, информатики
и компьютерных технологий
Курсовая работа
СИНТЕЗ СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ
по дисциплине «Теория автоматического управления»
Выполнила: студентка
Принял: к.т.н. Будин Н.И.
Сызрань 2010
Техническое Задание
Вариант задания на курсовую работу определяется номером задания и вариантом задания (задание №5, вариант 7). Задание представляет собой функциональную схему системы стабилизации автоматического управления, изображенную на рис.1, исходные данные приведены в таблице 1.
Требуется спроектировать систему стабилизации автоматического управления, удовлетворяющую заданным условиям. исходная система состоит из набора неизвестных устройств, необходимо рассчитать корректирующие устройства.
Техническое задание включает в себя сведения о принципе действия нескорректированной САУ, ее функциональную схему, параметры всех звеньев системы, характеристики входных и возмущающих воздействий, показатели качества проектируемой САУ.
Для систем стабилизации, как правило, приводятся максимальная относительная ошибка системы ν (в %), перерегулирование σ (в %) и время переходного процесса tп. Кроме того, могут быть предъявлены некоторые другие требования, которые вводятся для индивидуализации содержания Курсовой работы. В частности, в данной курсовой работе время tп минимизируется при заданных ν и σ с учетом ограничений на значения выходного напряжения усилителя.
/>
Рис. 1. Функциональная схема системы стабилизации.
В данной системе объектом регулирования является гидротурбина 1, регулируемой величиной — угловая скорость ω. Она при постоянном расходе воды изменяется в зависимости от нагрузки на валу турбины, т, е. от мощности Р, которая потребляется от генератора 2 (с увеличением мощности угловая скорость снижается, с уменьшением — возрастает). Таким образом, мощность Р является внешним возмущающим воздействием на объекте регулирования. Для регулирования угловой скорости предусмотрена заслонка 3, с помощью которой изменяется расход воды через турбину. Он однозначно зависит от вертикального перемещения Xзаслонки. Следовательно, перемещение заслонки X можно рассматривать как регулирующее воздействие объекта регулирования. Угловая скорость ω контролируется посредством тахогенератора 4, ЭДС Е которого сравнивается с задающим напряжением U0. Сигнал рассогласования ΔUчерез усилитель 5 управляет посредством электродвигателя 6 и редуктора 7 заслонкой 3.
Таблица 1
Вариант
Т0
k
k1
kт
ky
Р
Тм
Тя
kэ
ν
σ
U
ω
с
/>
/>
/>
кВт
с
с
/>
%
%
B
Рад/1
7
0,1
7
0,015
1,0
120
-75
0,014
0,002
0,02
0,25
25
110
30
Введение
Задача синтеза системы автоматического управления (САУ) заключается в выборе такой ее структуры, параметров, характеристик и способов их реализации, которые при заданных ограничениях наилучшим образом удовлетворяют требованиям, предъявляемым к системе.
Обычно определенная часть проектируемой системы задана. Она является исходной или нескорректированной САУ. Параметры ее функциональных элементов известны. В такой постановке задача проектирования сводится к определению корректирующего устройства (КУ), обеспечивающего заданные показатели качества системы.
Наиболее простым, наглядным и хорошо разработанным инженерным методом синтеза САУ является метод логарифмических амплитудных частотных характеристик (ЛАЧХ). Его идея основана на однозначной связи между переходным процессом в системе и ее ЛАЧХ. Исходя из этого, по заданным точностным и динамическим показателям сначала строится желаемая ЛАЧХ, а затем путем графического построения осуществляется приближение к ней частотных характеристик исходной системы. В результате такой процедуры определяется ЛАЧХ КУ. Корректирующее устройство может включаться в канал управления последовательно или встречно-параллельно. Вид коррекции предопределяет некоторые особенности синтеза, обусловленные методикой получения ЛАЧХ КУ.
Построение структурной схемы нескорректированной системы и определение передаточных функций ее звеньев
Рис. 2 структурная схема нескорректированной системы
Динамические свойства элементов САР описываются следующей системой уравнений:
/>— гидротурбина;
/>— тахогенератор;
/>— сравнивающий орган;
/>— электронный усилитель;
/>— электродвигатель совместно с редуктором и заслонкой.
Считаем, что все звенья системы линейны. Таким образом, в рассматриваемой системе отпадает необходимость линеаризации и можно сразу приступить к определению передаточных функций (ПФ) динамических звеньев.
Запишем в общем виде ПФ каждого звена системы:
ПФусилителя:
/>
ПФ электродвигателя совместно с редуктором и заслонкой:
/>
ПФ гидротурбины:
/>
ПФ тахогенератора:
/>
ПФ возмущения (мощности):
/>
Подставим числовые значения из Таблицы 1 в полученные выражения ПФ:--PAGE_BREAK--
/>
/>
/>
/>
/>
ПФ электродвигателя совместно с редуктором и заслонкой записаны в общем виде. Для определения типа электродвигателя исследуем его на колебательность, проверив условие:
/>
Если оно выполняется, то электродвигатель является апериодическим звеном второго порядка, если не выполняется – колебательным звеном.
Подставляя значения получим />и />, получим:
4*0.002˂0.014; 0.008˂0.014
Условие выполняется, значит, электродвигатель – апериодическое звено второго порядка и его ПФ можно записать как:
/>
Для нахождения коэффициентов />используем соотношения:
/>
Подставив значения />и />, получим систему уравнений, решив которую, найдем />и />
/>; />; />
Получим квадратное уравнение:
/>
Найдем дискриминант уравнения;
/>Определим корни:
/>
/>
Окончательный вид ПФ двигателя примет вид:
/>
Таким образом, ПФ разомкнутой системы будет равна:
/>
/>
Приведем систему к единичной обратной связи. Для этого используем правило структурного преобразования системы. Структурная схема системы с учетом обратной единичной связи представлена на рис. 3.
Рис.3. Структурная схема исходной схемы, приведенной к единичной обратной связи.
ПФ замкнутой системы примет вид:
/>
Найдем установившуюся ошибку исходной системы. Для этого нужно найти ошибку по входному сигналу и ошибку по возмущению.
Решаем выражение:
/>
Подставим значения:
/>
Чтобы найти установившуюся ошибку необходимо в уравнение подставить S=0, тогда:
/>
Подставив в полученное уравнение, получим:
/>
Оценка точности и анализ качества исходной системы. Построение логарифмических частотных характеристик (ЛАЧХ) исходной системы и определение ее устойчивости.
Для построения ЛАЧХ исходной системы, используем ПФ разомкнутой системы, полученную в предыдущем пункте:
/>
Основным достоинством логарифмических амплитудных частотных характеристик является возможность построения без применения вычислительной работы. Особенно когда ПФ может быть представлена в виде произведения сомножителей. Тогда результирующая ЛАЧХ может быть приближенно построена в виде асимптотической ЛАЧХ, представляющей собой совокупность отрезков прямых линий с наклоном [20 дБ/дек].
Определим точки излома и пересечения с осями логарифмической координатной сетки нашей ПФ.
Для построения ЛАЧХ находится величина:
/>
Определяем L(ω) при ω = 0;
L(ω)=20lgK=20lg16.8=20*1.225=24.5062
Постоянные времени:
/>
/>
/>
Находим точки излома исходной ЛАЧХ:
/>
/>
/>
Используя полученные значения, строим ЛАЧХ исходной системы (рис. 4, Lисх).
Используем средства математического пакета MATLAB, в частности, приложением Control SystemToolbox, для определения устойчивости и частотных характеристик исходной системы.
Занесем ПФ разомкнутой системы в MATLAB, обозначив ее через W.
W=zpk([],[0,-86.36,-413.74,-10],16.8/(0.01158*0.002417*0.1))
Zero/pole/gain:
6002388.093
----------------------------
s(s+86.36) (s+413.7) (s+10)
Строим фазовую частотную характеристику (рис. 5), которую используют для определения фазового сдвига между входными и выходными колебаниями. Используем функцию margin.
>> margin(W); grid on
/>
Рис. 5
Для определения запаса устойчивости определяют две величины: запас устойчивости по фазе Δφ и запас устойчивости по амплитуде ΔL.
Запас устойчивости по фазе определяется величиной Δφ, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе на частоте среза />, чтобы система оказалась на границе устойчивости.
Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной ΔL допустимого подъема л.а.х., при котором система окажется на границе устойчивости.
По рис. 5 определим запас устойчивости по фазе и амплитуде. В нашем случае запас по фазе Δφ = 33.1, запас по амплитуде ΔL = 13.4 Дб. Данные параметры системы являются неудовлетворительными и не соответствуют рекомендуемым значениям Δφ = 40÷60, следовательно система неустойчива.
Воспользуемся критерием Найквиста для определения устойчивости разомкнутой системы автоматического управления. Для этого построим годограф Найквиста от разомкнутой системы с помощью средств MATLAB (рис. 6). Используем функцию nyquist.
/>
Рис.6
Увеличим область в начале координат. продолжение
--PAGE_BREAK--
/>
Рис.7
Точка с координатой (0;-j) охватывает годограф, следовательно, исходная система неустойчива.
Для определения переходного процесса найдем ПФ замкнутой исходной системы, обозначив ее через F. Для этого используем команду feedback.
>> F=feedback(W,1)
Zero/pole/gain:
6002388.093
-----------------------------------------
(s+413.6) (s+88.99) (s^2 + 7.48s + 163.1)
Для определения времени, через которое наступит установившийся режим после подачи единичного ступенчатого воздействия строим переходную характеристику замкнутой системы, которая представлена рис. 8. При ее построении в MATLAB использовали функцию step.
>> step(F)
/>
Рис. 8
Из рисунка видно, что процесс является сходящимся, (гармонические колебания затухают), а значит переходный процесс замкнутой системы устойчивый. Время переходного процесса 1,4 с.
Делая вывод из всего вышеперечисленного можно сказать, что система имеет характеристики не удовлетворяющие заданным параметрам. Для их улучшения необходимо в состав системы ввести дополнительно корректирующее звено (регулятор). Для этого, необходимо построить ЛАЧХ желаемой системы, с помощью которой получить ПФ корректирующего звена. Далее исследуем ПФ желаемой системы на критерий качества и реализуем корректирующее звено.
Построение желаемой ЛАЧХ. Определение желаемых передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы. Оценка показателей качества системы с использованием пакета MATLAB
Желаемая логарифмическая частотная характеристика может быть условно разделена на три части:
— низкочастотная часть (НЧ) определяется требуемой точностью работы системы, а коэффициентом усиления системы в разомкнутом состоянии и порядок ее астатизма;
— среднечастотная часть (СЧ) желаемой ЛАЧХ является наиболее существенной частью характеристики, т.к. ее вид определяет динамические свойства системы САУ;
— высокочастотная часть (ВЧ) мало влияет на динамику системы, поэтому она выбирается исходя из простоты корректирующего устройства.
Построение низкочастотной части желаемой ЛАЧХ
Низкочастотная часть желаемой ЛАЧХ имеет такой же наклон, как и ЛАЧХ исходной системы, она определяет точность работы системы и зависит от коэффициента усиления. В данном случаи строим низкочастотную часть желаемой ЛАЧХ параллельно и на 3 Дб выше ЛАЧХ исходной системы.
Желаемая ЛАЧХ />должна пересекать ось абсцисс под наклоном -20 дБ/дек. Соединяя точки lg(/>) и />, получаем прямую.
При lg(ω) = 0, высота ЛАЧХ исходной равна:
L(ω) = 20lgK = 20lg16.8 = 24.5 Дб.
Высота ЛАЧХ желаемой = 27.5
Построение среднечастотной и высокочастотной частей желаемой ЛАЧХ
Через частоту среза проходит прямая -20 Дб/дек. Это является обязательным условием для получения качественной системы. Из-за широкой среднечастотной части, перерегулирование будет малым.
Частота среза />находится графически. Отмечаем полученные точки на горизонтальной оси желаемой ЛАЧХ, проводим требуемые наклоны и получаем среднечастотную часть.
Высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ имеет произвольный вид, т.к. она практически не влияет на качество САУ. Однако, для упрощения корректирующего устройства, необходимо стремиться к тому, что бы она совпадала по наклону с исходной ЛАЧХ в указанной области частот. При этом требуется, чтобы высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ не заходила в запретную зону, образованную прямой с нулевым наклоном 0 Дб/дек.
По полученным точкам достраиваем высокочастотную часть желаемой ЛАЧХ и получаем желаемую логарифмическую амплитудную характеристику (рис. 3, />).
По виду получаемой желаемой ЛАЧХ записываем ПФ:
/>
/>.
Для того, чтобы правильно записать коэффициент в приведенной ПФ, осуществим переход от логарифмов:
/>; />;
/>
/>
Подставляем полученные коэффициенты в выражение для />и получаем:
/>
Определяем желаемую фазовую частотную характеристику. А также переходный процесс и показатели качества желаемой системы. Для этого занесем полученную ПФ />в MATLAB в zpk-форме:
>> Wzh=zpk([],[0,-86.36,-413.74,-413.74],16.8/(0.01158*0.002417*0.002417))
Zero/pole/gain:
248340425.8576
-----------------------
s (s+86.36) (s+413.7)^2
/>
Определяем желаемую фазовую частотную характеристику (рис.9):
>> margin(Wzh);grid on
/>
Рис.9
Запас устойчивости по фазе данной системы Δφ = 74.6, запас по амплитуде ΔL = 23.4 Дб. Данная система устойчива.
Находим ПФ />замкнутой системы:
>> Fzh=feedback(Wzh,1)
Zero/pole/gain:
248340425.8576
---------------------------------------------
(s+47.2) (s+29.76) (s^2 + 836.9s + 1.768e005)
/>
Переходная характеристика желаемой системы представлена на рис. 10.
>> step(Fzh);grid on
/>
Рис.10
Время переходного процесса составляет 0,3 с. Оно характеризует быстродействие системы. Перерегулирование равно 0% — не превышает заданного 25%.
Исходя из вышеперечисленного можно сделать вывод, что система устойчива, так как переходный процесс является сходящимся. Таким образом, желаемая система автоматического управления удовлетворяет установленным к ней требованиям по быстродействию, перерегулированию и запасом устойчивости.
Синтез последовательного корректирующего устройства (регулятора)
Структурная схема САУ при последовательной коррекции изображена на рис. 11, где приняты следующие обозначения: />— передаточная функция исходной системы; />— ПФ корректирующего устройства.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
/>/>/>/>/>
Рис. 11. Структурная схема системы при последовательной коррекции.
Полагая, что ПФ скорректированной системы />:
/>
Переходя к логарифмическим характеристикам, после преобразований, получим:
/>
Таким образом, графически вычитая />из />и учитывая точки излома, получим ЛАЧХ корректирующего устройства (рис. 4,/>). продолжение
--PAGE_BREAK--
По форме />записываем ПФ корректирующего устройства />:
/>
Коэффициент передачи корректирующего устройства определяется:
20lg K = 3;
/>
Подставив значения времени и коэффициента передачи в полученную ПФ корректирующего устройства:
/>
Существуеттри способа реализации:
Последовательная коррекция с помощью пассивных корректирующих звеньев;
Коррекция на основе активных фильтров (операционных фильтров);
Дискретная коррекция.
Последовательная коррекция с помощью пассивных корректирующих звеньев
Схема регулятора приведена на рис. 12, ниже приведены расчеты его емкостных и резистивных элементов. ПФ корректирующего звена:
/>
Рис. 12
Передаточная функция аналогового регулятора рассчитывается:
/>; >T;
/>;
/>;
/>.
В нашем случае:
= Т3= 0.1 с
Т = Т2 = 0.002417с
Зададим С = 0,1*10-6Ф. Найдем сопротивление />.
/>; />
/>; />Ом
/>.
Найдем численное значение магнитного усилителя:
/>; />.
Полученные значения:
/>;
/>;
С = 0,1*10-6Ф.
Записываем ПФ с учетом найденного значения коэффициента:
/>
Коррекция на основе активных фильтров (операционных усилителей)
Регуляторы предназначены для формирования законов управления и часто реализуется на операционных усилителях.
Схема регулятора на ОУ приведена на рис. 13; ниже проведем расчет его емкостных элементов.
Рис. 13
/>;
Передаточная функция операционного усилителя рассчитывается:
/>;
/>.
/>.
/>.
Зададимся: />. Найдем емкости С1и С2и сопротивление R2.
При этом:
= Т3= 0.1 с
Т = Т2 = 0.002417с
Находим значения емкостей и сопротивлений:
/>; />
Получаем следующие значения:
/>;
/>;
С1= 0.1*10-6Ф.
С2= 0.0017*10-6Ф.
Записываем ПФ с учетом найденных значений:
/>;
Реализация цифрового регулятора
Цифровой регулятор может быть получен из передаточной функции корректирующего устройства путем перевода ее в дискретную форму с помощью аппроксимации тастина и последующей записи разностного уравнения.
На рис. 14 изображена общая структурная схема цифрового регулятора, принцип действия которого следующий: сигнал, поступающий в АЦП (аналогово-цифровой преобразователь), преобразуется из аналоговой формы в цифровую путем квантования непрерывной величины по времени, затем сигнал поступает в D(z) (цифровая вычислительная машина), где производятся вычисления согласно разностному уравнению, после чего сигнал поступает в ЦАП (цифро-аналоговый преобразователь), где и преобразуется из цифровой в аналоговую форму.
/>/>/>/>/>/>/>
/>/>/>/>/>/>/>
Рис. 14
Чтобы найти значение периода дискретности, воспользуемся следующим неравенством:
/>; />; />с
Период дискретности равен ТS= 0.0012 с
Данную операцию осуществим с помощью MATLAB. Заносим полученную ПФ WKв MATLAB в zpk-форме:
/>
>> Wk=zpk([-10],[-413.74],1.41*0.1/0.002417)
Zero/pole/gain:
58.34 (s+10)
--------------
(s+413.7)
Аппроксимируем Wk(s) вышеописанным способом:
>> Wkd=c2d(Wk,0.0012,'tustin')
Zero/pole/gain:
47.0155 (z-0.9881)
------------------
(z-0.6023)
Sampling time: 0.0012
Раскроемскобки:
/>;
Разделим полученное выражение на z:
/>;
Запишем разностное уравнение:
/> продолжение
--PAGE_BREAK--
Полученное уравнение используем для реализации регулятора. Эта рекуррентная формула позволяет вести расчет в режиме реального времени.
Оценка точности и качества скорректированной системы
Для определения оценки качества и точности полученной скорректированной системы, воспользуемся средствами пакета MATLAB. Определим частотную и переходную характеристику скорректированной системы. Составим модель системы с помощью приложения SIMULINK пакета MATLAB.
Определение точности и расчет переходных процессов в скорректированной системе
Для определения точности и расчета переходных процессов скорректированной системы необходимо вычислить ПФ разомкнутой системы.
WCK(s) = W(s)*WK(s);
/>
Определяем ошибку скорректированной системы:
/>
Чтобы найти установившуюся ошибку необходимо в уравнение подставить S=0, тогда:
/>.
Для определения фазовой и переходной характеристик, используем пакет MATLAB. ЗаносимWCK(s) вMATLAB:
>> Wck=W*Wk
Zero/pole/gain:
350160000.4591 (s+10)
------------------------------
s (s+86.36) (s+413.7)^2 (s+10)
Послесокращения:
/>
Определим фазовую частотную характеристику скорректированной системы (рис. 15):
>> margin(Wck);grid on
/>
Рис. 15
Запас устойчивости по фазе 68.9, ΔL= 20.4 Дб, что удовлетворяет условиям.
Находим ПФ замкнутой скорректированной системы:
>> Fck=feedback(Wck,1)
Zero/pole/gain:
350160000.4591 (s+10)
------------------------------------------------------
(s+10) (s^2 + 73.41s+ 1956) (s^2 + 840.4s+ 1.79e005)
Рассмотрим переходный процесс замкнутой скорректированной системы (рис. 16).
/>
Рис. 16
Построение и описание функциональной схемы скорректированной системы.
Изобразим функциональную схему (рис. 17) с учетом регулятора, предварительно описав параметры корректирующего устройства. Параметры регулятора приведены в таблице 2.
Таблица 2.
Тип регулятора
С1 мкФ
С2 мкФ
R1кОм
R2кОм
Коэффициент усиления усилителя
Пассивная коррекция
0.1
--
1
0.02476
0.02416
Активная коррекция
0.1
0.0017
1
1.41
1.41
/>
Рис. 17 Функциональная схема с учетом корректирующего устройства.
Скорректированная система обладает следующими характеристиками:
Перерегулирование s = 0%;
Время переходного процесса tПЕР = 0.14с;
Запас устойчивости по фазе 68.90;
Запас устойчивости по амплитуде ΔL = 20.4 Дб.
Библиографический список используемой литературы
Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления – Изд. 4-е, перераб. и доп. – СПб, Изд-во «Профессия», 2003
Ерофеев А.А. Теория автоматического управления: Учебник для втузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – СПб.: Политехника, 2003. – 302 с.: ил.
Синтез следящей системы автоматического управления: Метод. указания к курсовой работе. Сост. В.И. Будин, О.Б. Сигова, – Самара, СамГТУ, 2003. – 20 с.
МедведевВ.С., ПотемкинВ.Т. Control System Toolbox. MATLAB 5 для студентов. – М.: ДИАЛОГ – МИФИ, 1999. – 287 с.
Лазарев Ю.Ф. MatLab 5. x. – К.: Издательская группа BHV, 2000. – 384 с.
Дьяконов В.П. Simulink 4. Специальный справочник. – СПб: Питер, 2002. – 528 с.: ил.