--PAGE_BREAK--2. Расчёт критерия Кочрена и проверка однородности дисперсии в опытах матрицы
Для проверки однородности дисперсии и воспроизводимости эксперимента при одинаковой повторности (m) всех опытов рассчитываем значение критерия Кочрена Gp по формуле
(3)
где - максимальная дисперсия из всех опытов;
- сумма всех дисперсий эксперимента.
Далее расчётное значение Gp сравниваем с табличным значением GT. Дисперсии однородны и число повторных опытов одинаково, т.к. Gp GT(0.039
3. Определение средней дисперсии выходного параметра в опытах матрицы
Т.к. в опытах матрицы дисперсии однородны и число повторных опытов одинаково, то среднюю дисперсию определяют по формуле
(4)
После этого определяем число степеней свободы средней дисперсии;
F(S2(1){y})=N(m-1)=30 (5)
Средняя дисперсия характеризует средний разброс значений выходного параметра относительно его средних значений, т.е. ошибку опытов в эксперименте.
4. Определение коэффициентов регрессии и составление уравнения регрессии
Дисперсии выходного параметра для каждого уровня фактора однородны, следлвательно, применяем метод наименьших квадратов.
Коэффициенты уравнения регрессии определяем по формулам:
(6)
(7)
где - среднее значение результата эксперимента;
xu — значение фактора на определенном u-уровне;
- среднее значение фактора.
Для удобства все промежуточные расчеты сводят в табл. 2.
Таблица 2
Расчет коэффициентов уравнения регрессии
№ опыта u
Фактор xu
xu — x̃
(xu — x̃)2
Ỹu
(xu — x̃) Ỹu
1.
4
-110.567
12225.06
9.70
-1072.49
2.
12
-102.567
10519.99
9.56
-980.54
3.
20
-94.567
8942.91
9.48
-896.49
4.
27
-87.567
7667.98
9.45
-827.51
5.
35
-79.567
6331.38
9.42
-749.52
6.
43
-71.567
5121.84
9.39
-672.01
7.
50
-64.567
4168.89
9.37
-604.99
8.
58
-56.567
3199.83
9.34
-528.34
9.
66
-48.567
2358.75
9.32
-452.64
10.
73
-41.567
1727.82
9.32
-387.40
11.
81
-33.567
1126.74
9.30
-312.17
12.
88
-26.567
705.81
9.29
-246.81
13.
96
-18.567
344.73
9.27
-172.12
14.
104
-10.567
111.66
9.26
-97.85
15.
111
-3.567
12.72
9.24
-32.96
16.
119
4.433
19.65
9.23
40.92
17.
126
11.433
130.71
9.22
105.41
18.
134
19.433
377.64
9.21
178.98
19.
141
26.433
698.70
9.21
243.45
20.
149
34.433
1185.63
9.20
316.78
21.
156
41.433
1716.69
9.18
380.35
22.
164
49.433
2443.62
9.18
453.79
23.
171
56.433
3184.68
9.17
517.49
24.
179
64.433
4151.61
9.15
589.56
25.
186
71.433
5102.67
9.14
652.89
26.
194
79.433
6309.60
9.14
726.60
27.
201
86.433
7470.66
9.13
489.13
28.
209
94.433
8917.59
9.13
862.17
29.
216
101.433
10288.65
9.13
926.08
30.
224
109.433
11975.58
9.12
998.02
После определения коэффициентов составляют искомое уравнение регрессии:
yR = do+d1(x-x̃). (8)
5. Определение адекватности уравнения регрессии. Расчеты критерия Фишера. Для определения адекватности полученного уравнения (8) используют критерий Фишера, расчетное значение которого определяем по формуле
(9)
где S2(1) – средняя дисперсия или дисперсия воспроизводимости, определяемая но формуле (4);
S2(2) – дисперсия, характеризующая рассеивание средних экспериментальных значений уu относительно прямой линии, определяемой по формуле (8) (дисперсия адекватности).
Дисперсия S2(2) характеризует точность аппроксимации зависимости ỹ=f(X) прямой линией, ее определяют по формуле
(10)
где и экспериментальное и расчетное значения выходного параметра.
После этого определяют число степеней свободы дисперсии адекватности
F{S2(2)}=N-2=28 (11)
Далее подставляем в формулу (9) значения дисперсии S2(1){y}и S2(2){y} рассчитывают критерий Фишера. Fp сравниваем с табличным значением критерия Фишера FT, которое определяют из [1.4] при доверительной вероятности α=0,95 и число степеней свободы f {S2(2)} и f { S2(1)}
FT=2.38, а Fр = 0.029
Fр
Т.к. Fр
Расчет суммы в формуле (10) сводим в табл. 3. Расчетные значения выходного параметра определяем из уравнения (8), подставляя значения Хu.
Таблица 3
Расчёт дисперсии адекватности
u
xu
d1xu
YRu
ỹu
ỹu — YRu
(ỹu — YRu)2
1.
4
-7.864×10-3
9.492
9.70
0.208
0.043
2.
12
-0.024
9.477
9.56
0.083
6.950×10-3
3.
20
-0.039
9.461
9.48
0.019
3.645×10-4
4.
27
-0.053
9.447
9.45
2.853× 10-3
8.140×10-6
5.
35
-0.069
9.431
9.42
-0.011
1.304×10-4
6.
43
-0.085
9.416
9.39
-0.026
6.601×10-4
7.
50
-0.098
9.402
9.37
-0.032
1.020×10-3
8.
58
-0.114
9.386
9.34
-0.046
2.135×10-3
9.
66
-0.130
9.370
9.32
-0.050
2.548×10-3
10.
73
-0.144
9.357
9.32
-0.037
1.348×10-3
11.
81
-0.159
9.341
9.30
-0.041
1.680×10-3
12.
88
-0.173
9.327
9.29
-0.037
1.386×10-3
13.
96
-0.189
9.312
9.27
-0.042
1.722×10-3
14.
104
-0.204
9.296
9.26
-0.036
1.280×10-3
15.
111
-0.218
9.282
9.24
-0.042
1.765×10-3
16.
119
-0.234
9.266
9.23
-0.036
1.317×10-3
17.
126
-0.248
9.253
9.22
-0.033
1.058×10-3
18.
134
-0.263
9.237
9.21
-0.027
7.180×10-4
19.
141
-0.277
9.223
9.21
-0.013
1.699×10-4
20.
149
-0.293
9.207
9.20
-7.308×10-3
5.340×10-5
21.
156
-0.307
9.194
9.18
-0.014
1.835×10-4
22.
164
-0.322
9.178
9.18
2.181×10-3
4.756×10-6
23.
171
-0.336
9.164
9.17
5.942×10-3
3.531×10-5
24.
179
-0.352
9.148
9.15
1.669×10-3
2.786×10-6
25.
186
-0.366
9.135
9.14
5.430×10-3
2.949×10-5
26.
194
-0.381
9.119
9.14
0.021
4.476×10-4
27.
201
-0.395
9.105
9.13
0.025
6.210×10-4
28.
209
-0.411
9.089
9.13
0.041
1.652×10-3
29.
216
-0.425
9.076
9.13
0.054
2.960×10-3
30.
224
-0.440
9.060
9.12
0.060
3.616×10-3
6. Оценка значимости коэффициентов регрессии
Для определения значимости полученных коэффициентов d0и d1 уравнения (8) используется критерий Стьюдента [1], расчетное значение которого определяем по формуле
tp=|di|/S{di}=3,114 (12)
где S {di} — оценка среднеквадратического отклонения коэффициента регрессии di.
Дисперсию коэффициентов регрессии S2{do} и S2{d1} рассчитываем по формулам:
(13)
(14)
В формулы (13) и (14) входит дисперсия S2{y}, которая является сводной оценкой дисперсии случайной величины Yu выходного параметра при условии линейной связи. Эту дисперсию определяем по формуле
(15)
далее определяют число степеней свободы этой дисперсии:
f{S2}=mN-2=58(16)
Сравниваем табличное и расчётное значения критерия Стьюдента. Если tp>tт, то коэффициенты уравнения регрессии значимы и, следовательно, связь между Y и Х значима.
В нашем случае tр=3,114, а tt=2,0. Следовательно, связь между Y и Х значима.
продолжение
--PAGE_BREAK--После этого определяем абсолютные ошибки коэффициентов регрессии ε{di}:
ε {di}=S{di}·tT[α,f{S2}]. (17)
ε {d0}=2,314
ε {d1}=0,035
Тогда для истинных значений коэффициентов регрессии δ0и δ1в линейном уравнении (8) доверительные интервалы определяются неравенством
di-ε{di}≤ δi≤ds+ ε{di}. (18)
6,961≤ δ0≤5,289
-0,036967≤ δ1≤-0,033
7. Определение доверительных интервалов средних и индивидуальных значений выходного параметра
Чтобы определить степень отклонения расчетных значений выходного параметра YRu от истинного его значения при каждом уровне фактора Xu, определяем доверительные ошибки ε{YRu} расчетного значения выходного параметра и доверительные интервалы средних и индивидуальных значений выходного параметра.
Доверительные ошибки расчетных значений выходного параметра для каждого уровня фактора рассчитывают по формуле
εm{YRu}=Sm{yRu}·tT[α,f{S2}] (19)
где Sm{yRu} – оценка среднеквадратического отклонения расчетного значения выходного параметраYRu для каждого значения xu.
Оценку среднеквадратического отклонения рассчитывают по формуле
(20)
Расчеты εm{YRu} и Sm{YRu} заносим в табл.4.
Далее в таблицу заносят расчетные значения yRu, полученные по уравнению регрессии (8).
Зная ошибки расчетной величины, определяем доверительные интервалы для испытанных средних значений выходного параметра.
Нижний доверительный интервал определяют:
Ym(н)=yRu — εm,(21)
верхний доверительный интервал:
Ym(в)=yRu+ εm,(22)
Значения верхних и нижних значений доверительных интервалов для каждого опыта заносим в табл. 4.
Таблица 4
Доверительные интервалы средних значений
Далее определяем границы доверительного интервала для индивидуальных значений выходного параметра Y при каждом уровне фактора.
Верхняя граница интервала:
yl(в)=yRu+Sl·tт[α,f{S2}]. (23)
Нижняя граница интервала:
yl(в)=yRu-Sl·tт[α,f{S2}]. (23)
Предварительно определяем ошибку:
(25)
Используя значения Sm из табл. 4 и ранее определенные по уравнению (15) значения S2{у} и критерий Стьюдента, определяем верхние и нижние границы искомой зоны по формулам (23) и (24), сводя все расчеты в табл. 5,
Таблица 5
Выводы: в процессе выполнения лабораторной работы были изучены методы математической обработки результатов исследования свойств текстильных материалов, приведён расчёт критерия Кочрена и проверка однородности дисперсии в опытах матрицы, определена средняя дисперсия выходного параметра в опытах матрицы, коэффициенты регрессии, адекватность уравнения регрессии, расчёт критерия Фишера, определены уравнения регрессии по данным однофакторного эксперимента, доверительные интервалы средних и индивидуальных значений выходного параметра, построен график полученного уравнения регрессии.
Лабораторная работа №3 часть 1
Постановка полного факторного эксперимента при исследовании качествашвейных изделий. Определение многофакторных регрессионных моделей Iи IIпорядков при исследовании качества швейныхизделий
Цель работы:
Освоить математические методы планирования полного факторного эксперимента (ПФЭ); научиться определять математические модели I и II порядков при исследовании качества швейных изделий
Содержание работы
1.Планирование полного факторного эксперимента и обработка результатов.
2. Определение линейной модели ПФЭ.
3. Проверка адекватности уравнения I порядка.
продолжение
--PAGE_BREAK--