--PAGE_BREAK--, .
Властивості степеня
1)
2)
3) ;
Використовуя ці властивості, рівняння
, де , (1)
потрібно розв’язувати так:.
Якщо замість xу показнику степеня стоїть деяка функція f(x), тобто рівняння має вигляд
(2)
то за допомогою логарифмирования обох частин цього рівняння (це можливо, тому що обидві частини рівняння додатні), приходимо до еквівалентного рівняння
.
Деякі показникові рівняння приводяться до виду (1) або (2) за допомогою рівностей
Приклад 1. Розв’язати рівняння
Розв’
язок: Оскільки
то
Рівняння виду
рівносильно рівнянню .
Приклад 2. Розв’язати рівняння
Розв
’
язок: Данне рівняння рівносильне рівнянню . З цього данне рівняння має два корня:
Приклад 3. Розв’язати рівняння
Розв
’
язок: Перепишемо данне рівняння у вигляді
.
Використовуючи властивості членів пропорції, маємо
після спрощення Перетворивши данне рівняння до виду отримуємо 4-х
=0, звідки слідує, що х=4.
Розв’язування показникових рівняннь, які зводяться заміною змінних до алгебраїчного рівняння. Якщо показникове рівняння має вигляд
(3) то заміною вого зводиться до рівняння виду де — корні рівняння . Так, наприклад, рівняння де — деякі числа, зводиться до розв’язування рівносильної йому совокупності рівняннь — де -корні рівняння
Приклад 4. Розв’язати рівняння
Розв
’
язок: Позначимо і роблячи заміну змінних, отримуємо квадратне рівняння
корнями якого будуть Таким чином розв’язання данного рівняння звелося до розв’язування рівнянь
Друге рівняння розв’язків не має, тому що при всіх допустимих значеннях х. З першого рівняння отримуємо
, підносимо обидві частини рівняння у квадрат маємо . Приведемо подібні члени, отримуємо єдиний корінь . Перевіркою переконуємося, що цей корінь задовольняє початковому рівнянню.
Показникові рівняння, основи степенів яких є послідовними членами геометричної прогресії, а показники степеня однакові, приводяться до рівнянь виду (3) діленням на будь-який з крайніх членів.
Приклад 5. Розв’язати рівняння
Розв
’
язок:Розділіим обидві частини рівняння на . Маємо
Позначаючи і виконуючи заміну змінних, отримуємо рівняння коренями якого будуть Таким чином розв’язок рівняння зводиться до розв’язування двох простіших показникових рівнянь
Відповідь:
Рівняння виду , де -дійсні числа, а основи aтаbє взаємооберненими додатніми числами (ab
=1), можна розв’язувати слідуючим чином. Ввести змінну та, використовуючи рівність (ab
=1), перейти від рівняння до рівняння
Тоді рівняння буде рівносильно совокупності двох показникових рівнянь: де — корні рівняння , якщо це рівняння немає розв’язків, то і рівняння також не має розв’язків.
Рівняння виду де функції невідомого х, називаються степенево-показниковими рівняннями. Еквівалентні цьому рівнянню =1 та системі Тобто розв’язуються слідуючим чином:
1. Перевіряємо, чи не будуть для >0корні рівняння =1 корнями рівняння ;
2. Перевіряємо, якщо при , функції , одночасно дорівнюють або парному, або непарному числу, то корні рівняння , будуть і корнями рівняння .
3. Тоді для рівняння еквівалентно рівнянню
Приклад 6. Розв’язати рівняння
Розв
’
язок:
1) Знаходимо корніпочаткового рівняння серед розв’язків рівняння
Перевіркою переконаємось, що х=0 належить області допустимих значень та зодовольняє початковому рівнянню, тобто є коренем рівняння.
2) Для данне рівняння еквівалентно рівнянню
Отримуємо невірну числову рівність. Це говорить про те, що у данному випадку рівняння не має розв’язків.
Відповідь: х=0.
Приклад 7: Розв’язати рівняння .
Розв
’
язок:
1) x-2=1 Û. Бачимо, що і задовільняє даному рівнянню, тобто є його коренем.
2) Û. Перевіряємо значення при , , ; , . Отримали, що функції набувають одночасно непарні значення. Тобто є коренем рівняння.
3) для початкове рівняння еквівалентно рівнянню
Відповідь:
Тобто коренями рівняння вважаються тільки розв’язки змішаної системи ,
і ті значення х, для яких =1, якщо при цих значеннях визначені та , та додатково перевіряють, якщо при , функції , одночасно дорівнюють або парному, або непарному числу, то корні рівняння , будуть і корнями рівняння .Функція виду визначена тільки при >0, тому те значення х, яке формально задовольняє рівності але при яких , не прийнято считать корнями рівняння .
Деякі спеціальні методи розв’язування показникових рівнянь. Деякі рівняння зводяться до розглянутих вище, якщо перетворити окреми їх елементи, використавши основне логарифмічне тождество.
Приклад 8. Розв’язати рівняння
Розв
’
язок:Перетворимо другий доданок у лівій частині рівняння:
Підставляючи одержаний вираз в початкове рівняння, отримаємо
Рівняння еквівалентно рівнянню яке в свою чергу еквівалентно двом рівнянням
Розв’язуючи останні рівняння, отримуємо
Відповідь:
Деякі рівняння, які містять невідоме у показнику степеня, вдається розв’язати за допомогою дослідження функції, які входять до до лівої та правої частини рівняння. Монотонність функції часто дозволяє визначити число коренів рівняння, а іноді і знайти значення.
Приклад 9. Розв’язати рівняння
Розв
’
язок:Корінь x=5 може бути знайденим підбором. Інших розв’язків рівняння не має, так як функція монотонно спадає, а монотонно зростає, тобто графіки цих функцій можуть перетинатися не більше ніж один раз.
Тобто графічним способом не важко знайти наближенні розв’язки рівннянь такого виду . Знання графиків функції та не рідко дозволяє визначити число розв’язків рівняння та їх наближені, а іноді і точні значення.
Означення:Нерівності, де хоча б одна з функцій показникова, називаються показниковими нерівностями.
Розв’язування найпростійших показникових нерівностей базується на використанні властивостей монотонності показникової функції.
Розглянемо розв’язання найпростійших показникових нерівностей.
1. Нерівність , де продолжение
--PAGE_BREAK--