Приближенные вычисления в расчетных химических задачах
Введение
Каждыйучитель в своей практике сталкивался с ситуацией, когда учащийся, решаярасчётную задачу, получает ответ, немного отличающийся от ответа, данного взадачнике, или у группы учащихся ответы различаются между собой. Незначительно,на десятые или даже сотые. Тем не менее возникает вопрос: какой ответправильный при условии, что решение задачи верное?
Однозначноможно утверждать, что суть этой проблемы заключена в способах вычислений,производимых учащимися. Точнее, в неправильных приближённых вычислениях.
Вматематике есть целые разделы, где изложены правила приближённых вычислений,приведены доказательства теорем, следствия и т. п. При обучении химии наиболеесущественно сформулировать правила приближённых вычислений, основанных наматематических законах, строгих, понятных и достаточных для того, чтобы решениеи оформление химической задачи было корректным с точки зрения математики.
Рассмотримзадачу.
Задача 1. Вычислите объём 10%-ной соляной кислоты,которую можно нейтрализовать 26,3 г питьевой соды, содержащей примеси (массоваядоля примесей 0,026). Ответ округлите до сотых.
Можносказать, что с математической точки зрения эта, и любая другая, расчётнаяхимическая задача сводится к вычислению некоторого числа на основании чисел,заданных в условии задачи и(или) взятых из справочника.
Поэтомупервое, что необходимо, — это научиться правильно записывать и характеризоватьчисла, учитывая, точные они или приближённые.
Точные и приближённые числа
Числабывают точными и приближёнными. Точное число абсолютно. Приближённое числоимеет погрешность. Форма записи не влияет на точное число. Точное число 2 можнозаписать так: 2; 2,0; 2,00; 2,000. Эти записи обозначают одно и то же.Принципиально иная картина с записью приближённого числа 2: записи «2; 2,0; 2,00;2,000» неравноценны. Следовательно, чтобы правильно записать число, надопонимать, с какими числами — точными или приближёнными — мы имеем дело.
Прирешении расчётной химической задачи используют числа из разных источников.Во-первых, указанные в условии задачи числовые значения физических величин:массы, объёма и т. д. Во-вторых, числовые значения физических величин, взятыеиз справочников, например плотности или молярной концентрации раствора,относительной атомной и молекулярной массы, молярной массы. В-третьих, числа,полученные в результате промежуточных вычислений в ходе решения задачи.Наконец, коэффициенты пересчёта одних единиц в другие, коэффициентыпропорциональности и т. п. Какие эти числа: точные или приближённые?
Очевидно,самая большая проблема будет состоять в определении характера чисел, указанныхв условии задачи. Мы имеем основания считать их приближёнными числами. Эти числа— результат измерений физических величин. А поскольку любое измерение можнопровести с ограниченной точностью, то и точность чисел будет ограниченна. Сэтим можно не соглашаться. Но принятие этой или иной точки зрения повлечётопределённые последствия, влияющие на ответ задачи.
Числовыезначения, указанные в справочниках, — всегда приближённые числа.
Числовыезначения, полученные в результате вычислений, могут быть как точными, так иприближёнными. Очевидно, если хотя бы одно число приближённое, в результате неможет быть получено точное число. В то же время не всегда результат вычислениядвух точных чисел — точное число. Например, частное от деления единицы на три —бесконечная дробь, после округления которой получится приближённое число.
Всевозможныекоэффициенты мы будем считать точными числами, если не указано обратное.Например, числа л и е — приближённые.
Числовыезначения величин, принадлежащие множеству натуральных чисел: число частиц,количество процедур и др., — точные числа. При этом число Авогадроприближённое. Значение количества вещества в качестве неизвестного —приближённое число.
Такимобразом, с нашей точки зрения, математическое решение расчётной химическойзадачи сводится к приближённым вычислениям.
Правила записи приближённых чисел
Всечисла в расчётной химической задаче обычно записывают либо в виде целого числа,либо в виде десятичной дроби и очень редко — в виде обыкновенной. Целое числодесятичных знаков не имеет. А десятичная дробь имеет десятичные знаки, которымиявляются все цифры, расположенные после запятой.
Например,в условии задачи указан объём воды, равный 5 л. В этом числе десятичных знаковнет. Указана масса железа, равная 1,005 кг. В числе 1,005 десятичными знакамибудут 0, 0 и 5, т. е. число имеет три десятичных знака.
Значащимицифрами десятичной дроби называют все её цифры,кроме нулей, расположенных левее первой отличной от нуля цифры.
Впредыдущем примере все цифры значащие. Первая отличная от нуля цифра — 1,поэтому и она сама, и все числа, следующие за ней, значащие, всего четыре. Еслив условии дан объём 0,050 л, то в этом числе первая цифра, отличная от нуля, —5. Согласно определению первые два нуля значащими не будут, следовательно, вэтом числе две значащие цифры.
Значащимицифрами целого числа называют все его цифры,кроме нулей, расположенных в конце числа, если они стоят взамен неизвестных илиотброшенных чисел. Например, числовое значение массы 12 450 имеет пять значащихцифр, если все цифры известны, и четыре, если последний нуль стоит взаменнеизвестной цифры.
Количествозначащих цифр важно для оценки точности числа. Чем больше указано значащихцифр, тем точнее приведено числовое значение величины. Так, точность числа1,005 дана до тысячных, а точность числа 12 450 — либо до десятков, либо доединиц.
Вернойназывают некоторую цифру приближённого числа а,если её абсолютная погрешность меньше пяти единиц разряда,следующего за этой цифрой, или равна им. Все числа, помещённые в таблицах,имеют все верные цифры, если не указано что-то дополнительно. Например, вчисловом значении плотности раствора 1,150 г/мл имеются четыре значащие цифры,три десятичных знака, все цифры этого числа верные. В справочнике приведеночисловое значение постоянной Авогадро NA =(6,022045 ± ± 0,000031) • 1023 моль. В числе 6,022045 последние двецифры — 4 и 5, которые составляют стотысячный и миллионный разряды, неверные,т. е. сомнительные, так как абсолютная погрешность равна 0,000031, что меньшеполовины десятитысячного разряда, но больше стотысячного и миллионногоразрядов.
Сомнительныминазывают все цифры приближённого числа, расположенные правеепоследней верной цифры.
Вновь обратимся к условию задачи 1. Оно включает три числа:10; 26,3; 0,026. Как мы видим, они даны с разнойточностью, с разным количеством десятичных и значащих цифр, при этом ответтребуется округлить до сотых.
Чтоделать: сразу начинать округление всех или отдельных чисел или округлитьполученный ответ?
Считаячисла, заданные в условии задачи и неизвестные, приближёнными и не зная, какиематематические вычисления мы будем производить и какие дополнительные числа нампонадобятся для решения, примем, что:
• взаписи чисел, данных в условии задачи или взятых из справочных таблиц, всецифры верные;
• никакогопредварительного округления всех этих чисел производить нельзя;
• нельзядописывать десятичные нули.
Правила округления чисел
Данныев условии задачи числа, имеющие разную точность, придётся округлять, приступаяк тем или иным математическим действиям. Поэтому следует сформулироватьправила, согласно которым округления будут выполнены корректно и с минимальнойпогрешностью.
Дляначала введём определения.
Округлениемдесятичной дроби называют отбрасываниецифр этой дроби, следующих за некоторым разрядом.
Округлениемцелого числа называют замену нулями цифр этогочисла, следующих за некоторым разрядом.
Правилаокругления
• Еслипервая отбрасываемая цифра менше 5, то последняя сохраняемаяцифра не изменяется.
Например, чтобы представить числовоезначение относительной атомной массы бериллия (Лг(Ве) = 9,01218) сдвумя десятичными знаками, необходимо округлить число 9,01218. Перваяотбрасываемая цифра 2, она меньше 5, следовательно, число 9,01218, округлённоедо 2 десятичных знаков, равно 9,01: Лг(Ве) ~ 9,01.
• Еслипервая отбрасываемая цифра больше 5, то последняя сохраняемаяцифра увеличивается на единицу.
Например, числовое значениеотносительной атомной массы скандия Hr(Sc) = 44,9559) с тремядесятичными знаками равно 44,956: /\r(Sc) ~ = 44,956.
• Еслиотбрасывается только цифра 5,то последняя сохраняемая цифра не изменяется, еслиона чётная, и увеличиваетсяна единицу, если она нечётная.
Например, чтобы представить числовоезначение относительной атомной массы золота (Лг(Аи) = = 196,9665) стремя десятичными знаками, необходимо округлить число 196,9665. Первая иединственная отбрасываемая цифра 5, а первая сохраняемая цифра 6 чётная,следовательно, цифру 6 необходимо оставить без изменения. Таким образом, Аг(Аи)~ 196,966.
В то же время при округлении числовогозначения относительной атомной массы углерода ИГ(С) = 12,01115) дочетырёх десятичных знаков надо отбросить единственную цифру 5, перваясохраняемая цифра 1 нечётная, следовательно, её необходимо увеличить наединицу: А,(С) ~ ~ 12,0112.
Рассмотримследующий пример. Необходимо представить числовое значение относительнойатомной массы кислорода (4(0)= = 15,9994) с двумя десятичными знаками. Согласно вышеприведённым правиламследует отбросить от числа 15,9994 последние две цифры — 9 и 4, а последнююсохраняемую 9 — увеличить на единицу. Но цифры большей чем 9.в десятичнойсистеме счисления нет. Не вдаваясь в математические рассуждения и обоснования,приведём правило для такого рода случаев.
• Если отбрасывают цифру больше5, а последняясохраняемая цифра 9, то еёзаменяют нулём, а предпоследнюю цифруувеличивают на единицу. Если же несколько подрядсохраняемых цифр равны 9, то ихзаменяют нулями, а перваясохраняемая цифра, отличнаяот9, увеличивается на единиц)'. В итоговой записи сохраняются вседесятичные знаки. Нельзя отбрасывать десятичные знаки, равные нулю.
В числе 15,9994 отбрасываем третийдесятичный знак (9), второй десятичный знак (9) заменяем нулём, но предпоследняяцифра тоже равна 9, её необходимо заменить на нуль. Первая цифра, отличная от9, равна 5, её мы увеличиваем на единицу. Таким образом, Ar(0) ~ 16,00. Неправильно записать Аг(0) = 16,0 или Д(О) =16, отбросив значащиенули.
Теперь приступим к математическомурешению задачи 1.
Вычислим массу питьевой соды в смеси.
Вычислим молярные массы гидрокарбонатанатрия (питьевой соды) и хлороводорода, раствор которого представляет собойсоляная кислота, или узнаем их из справочника.
Вычислим по уравнению реакции массухлороводорода.
Вычислим массу соляной кислоты.
Вычислим объём соляной кислоты.
Приближённые вычисления в расчётныхзадачах
В расчётных задачах по химии подавляющеебольшинство вычислений не выходят за рамки четырёх действий: сложения,вычитания, умножения, деления.
При формулировании правил будем считать,что в записи числа с наименьшим числом десятичных знаков все десятичные знакиверные.
Правила сложения
Чтобы сложить приближённые числа сразличным числом десятичных знаков, достаточно:
• оставить без изменения число, имеющее наименьшее количество десятичных знаков;
• округлить другое слагаемое так, чтобыоно содержало наодин знак больше, чемслагаемое, оставленное без изменения;
• найти сумму полученных чисел и округлитьеё на одинзнак.
Задача 2. Рассчитайте массу раствора, полученного при смешении 12,4854 гтвёрдого гидрок-сида натрия и 120,6 г воды.
Согласно правилам число 120,6 оставляембез изменения, как имеющее наименьшее число десятичных знаков, а число 12,4854округляем до 12,49. Складываем числа и округляем до одного десятичного знака:
/>
Правила вычитания
Правила вычитания сходны с правиламисложения:
• оставить без изменения число, имеющее наименьшее количество десятичных знаков;
• округлить другое число так, чтобы оносодержало на одинзнак больше, чем число,оставленное без изменения;
• найти разность полученных чисел иокруглить до наименееточного числа.
Задача 3. Найдите массу примесей в 245 г образца, если масса вещества 242,67г.
Согласно правилам оставляем безизменения число 245, число 242,67 округляем до 242,7, находим разность:
/>
При вычитании может возникнуть ситуация,когда уменьшаемое и вычитаемое близки по значению, тогда разность будетнастолько мала, что при округлении обратится в нуль.
Задача 4. Вычислите массу платины в драгоценном сплаве массой 15,26 г, еслимасса золота в нём составляет 15,2585 г.
Находим разность в соответствии справилами округления:
/>
После округления результат обратится внуль, так как точность наименее точного числа составляет два десятичных знака.Однако если в дальнейшем полученное число необходимо использовать в другихарифметических действиях, это может привести к принципиально невернымрезультатам, особенно при умножении и делении.
Поэтому в подобных случаях разностьцелесообразно округлить до одной значащей цифры, отличной от нуля. В задачемассу платины оставляем равной 0,002 г.
Правила умножения и деления
Чтобы перемножить два числа илиразделить одно число на другое, необходимо:
• оставить без изменения наименее точное ЧИСЛО;
• округлить другое число так, чтобы оносодержало на однузначащую цифру больше, чем оставленное без изменения;
• найти произведение или частное иокруглить его так, чтобы оно содержало столько значащих цифр, сколько их в наименее точном числе.
Задача 5. Вычислите массу примесей в 246,58 г чистого вещества, если ихмассовая доля составляет 0,0048.
Точность числового значения массывещества определена до сотых, но имеет при этом пять значащих цифр, а массовойдоли — до десятитысячных, но имеет при этом всего две значащие цифры. Поэтомуоставляем число 0,0048 без изменения, округляем число 246,58 до трёх значащихцифр, т. е. до 247, умножаем:
/>
Число 1,18 округляем до двухзначащих цифр. Если эту задачу решать в точных числах, то вычисления дадутдругой ответ:
/>
Задача 6. Вычислите массу слитка бронзы, если масса олова в нём составляет0,01266 кг, а массовая доля олова — 0,12.
Оставляем без изменения число снаименьшим числом значащих цифр, т. е. 0,12. Число 0,01266 округляем до трёхзначащих цифр, до 0,0127. Находим частное:
/>
Полученную бесконечную периодическуюдробь округляем до двух значащих цифр.
При решении в точных числах получим инойответ:
/>
Вернёмся к решению задачи 1 с учётомправил, приведённых выше.
Вычислим массу соды в смеси. Определимеё массу как произведение массы смеси и массовой доли вещества. Но посколькудана
массовая доля примеси, то для нахождениямассы питьевой соды необходимо произвести два действия. Можно сначала вычислитьмассовую долю вещества как разность, а потом найти массу питьевой соды какпроизведение или сначала вычистить массу примесей (произведение), а потом —массу питьевой соды (разность).
В подавляющем большинстве расчётныххимических задач необходимо совершать множество вычислений. Выражения дляопределения разных величин можно объединить в одну формулу или производить внесколько действий с вычислением промежуточных результатов.
Правила множественных вычислений
Формулируя правила множественныхвычислений, мы исходим из того, что точность ответа не может быть выше точности данных, указанных вусловии. Это означает,что в полученном числе должно быть столько верных цифр, сколько их в наименееточном исходном числе.
Если в процессе решения задачиопределены все числа, то предварительно, перед выполнением действий, числаможно округлить, руководствуясь следующим правилом.
• Чтобы получить ответ с иверными цифрами в наименее точном числе, необходимо все остальные числовыезначения задать с п + 2 верными цифрами. Результатыпромежуточных вычислений также должны иметь п + 2 верныхцифр.
Если необходимо или возможно объединитьнесколько арифметических действий в одно, применяется следующее правило.
• Вычисления следует производить последовательно, так как правила вычислений приближённыхчисел различны для разных арифметических действий. Можно объединить несколькопоследовательных действий в одно выражение, если они представляют сложениенескольких чисел, умножение и деление нескольких чисел. В задаче 1 мы столкнулись снеобходимостью произвести умножение и вычитание. В соответствии с правилами этидействия следует выполнять последовательно.
Рассмотрим оба способа, чтобы сравнить ответы.
Способ 1. Масса смеси 26,3 г — три значащие цифры, массоваядоля примесей 0,026, — две значащие цифры. Согласно правилам умножения обачисла остаются без изменения, умножаем, в ответе оставляем две значащие цифры:
/>
После округления:
/>
Способ 2
w(NaHC03) = 1,000 — 0,026 = 0,974. (Так как 1 —точное число.)
Числа 26,3 и 0,974 имеют одинаковое число значащих цифр, мыих не округляем и находим произведение:
/>
Ответы совпали, но в другом примере они могут и несовпасть.
Теперь определим молярные массы гидрокарбоната натрия ихлороводорода. Их можно найти в справочнике: iW(NaHC03) = = 84,01г/моль, Jlf(HCl) = 36,46 г/моль. Но традиционно вычисляют суммы молярных массатомов элементов, составляющих формульную единицу вещества, округляя их доцелых, за исключением хлора, относительную атомную массу которого округляют до35,5 (безо всяких на то оснований). Следует иметь в виду, что при вычислениимолярной массы вещества округлять её значение необходимо в соответствии справилами округления, а именно до наименее точного числа, а не до целых, какобычно.
/>
Так как в числе 1,0079 на один десятичный знак больше, чемв менее точном числе 35,453, то ни одно число не округляют.
/>
По правилам в одном выражении нельзя складывать и умножать,поэтому сначала найдём молярную массу кислорода в питьевой соде какпроизведение, а потом молярную массу питьевой соды как сумму:
/>
Поскольку наименее точное число 12,011, округлим всеостальные числа до четырёх десятичных знаков: 22,9898; 1,0079 и 47,9982. Суммучетырёх слагаемых округлим до трёх десятичных знаков:
/>
Теперь рассчитаем массу хлороводорода, реагирующего сзаданной массой питьевой соды. Такие задачи решают, как правило, составлениемпропорции:
/>
Это выражение включает умножение и деление, вычислять в двадействия не требуется.
Сначала подставим молярные массы, взятые изсправочника:
/>
Так как наиболее точное число имеет всего на одну значащуюи верную цифру больше, чем наименее точное, то все числа остаются безокругления. Считаем на двенадцатиразрядном калькуляторе. После округленияполученного числа до числа значащих цифр в наименее точном сомножителе (три)получаем окончательный ответ:
/>
Вычислим массу хлороводорода, используя рассчитанные молярные массы:
/>
При вычислении массы традиционным способом наименее точноечисло имеет две значащие цифры:
/>
• Мы считаем, что молярные массы веществ лучше брать изсправочника. При вычислении необходимо оставлять максимальное число верныхдесятичных знаков.
Далее определим массу соляной кислоты.
Массовая доля хлороводорода в задаче 1 задана в процентах.Но массовую долю вещества в растворе можно выразить в разных относительныхединицах, допускаемых СИ (международной системой единиц) и имеющихсоответствующие обозначения: процентах — %, промилле — %о(миллионных долей — млн'1). Только относительная единица — доляединицы (0,1, 0,125, 1/2 и т. д.) не имеет обозначения. При записи это приводит к путанице.
Если записать, что и>(в-ва) = 0,10 = 10%, то записьбудет верной. Поскольку из контекста ясно, что 0,10 — это не просто число и нечисловое значение величины массовой доли, а значение этой величины. Запись«10%» означает, что число 10 умножено на значение единицы измеренияотносительной величины, обозначаемой знаком «%» (1/100), что эквивалентнозаписи «10 • 1/100». Если же записать просто «0,1», то в этой записи нетконтекста, из которого следует, что 0,1 — это значение относительной величины,а не просто число.
Чтобы этой путаницы не происходило, учителя придумализапись, которой традиционно пользуются. Например, для определения массыраствора записывают следующее уравнение:
/>
хотя корректно эта запись должна выглядеть так:
/>
Но тогда возникает вопрос, откуда взялось число 100.
Итак, необходимо рассмотреть, как переводить одни единицыфизических величин в другие.
Перевододних единиц физической величины в другие
Задача7. Вычислите массу 2 л30,74%-ного раствора азотной кислоты.
По справочнику находим плотность данного раствора кислоты:1,185 г/мл. Мы видим, что плотность и обьём заданы в различных единицах. Какиеединицы выбрать: литры или миллилитры?
Рассмотрим ситуацию приведения к меньшим единицам, кмиллилитрам, с точки зрения уменьшения или увеличения ошибки в расчётах.Коэффициент пропорциональности равен 1000. Мы условились считать коэффициентыточными числами. Поэтому при умножении или делении числа на 1000 точностьрезультата не изменится. Однако опасность заключается в другом — в потереточности в форме записи. l/(HN03) = 2 л = 2000 мл. Если число 2точное, то разницы никакой. Однако если число 2 приближённое, то все нули вчисле 2000 — цифры незначащие. Точность такого числа оценивается до тысяч, и обэтом надо помнить на всём протяжении решения задачи.
Вычислим массу раствора:
/>
Но этот ответ неверный, так как точность наименее точногочисла определена до тысяч. Поэтому окончательный ответ должен быть округлён дотысяч: 2000 г.
Рассмотрим другой вариант, переведём плотность из единицыг/мл в единицу г/л: р = 1,185 г/мл = = 1185 г/л. Вычислим массу:
/>
Поскольку все числа были определены с точностью до целых,то и результат должен быть округлён до целых. Очевидно, что точность результатавторого решения выше.
Из этого примера следует правило.
• При решении расчётных химических задач меньшие единицыпереводятся в наибольшие, представленные в условии.
Таким образом, меньшую единицу массовой доли — процент —необходимо перевести в большую, т. е. в долиединицы, с соответствующим числом значащих цифр:
/>
Теперьможно рассчитать массу раствора хлороводорода:
/>
Наименееточный сомножитель имеет две значащие цифры, значит, в окончательном ответедолжны быть две значащие цифры:
/>
Осталосьвычислить объём соляной кислоты по формуле: V= т/р. Следует определить плотность, пользуясьсправочником, но для 10%-ного раствора соляной кислоты плотность в справочникене указана, даны только значения для 9,510%- и 10,52%-ного растворов кислоты.Возникает задача: определить промежуточное значение величины. Это можно сделатьс помощью интерполяции данных.
Интерполяция данных
Прибегатьк интерполяции школьникам приходится редко, поскольку справочные значения, какправило, задаются в условии, но уметь это делать тем не менее надо.
Используеминтерполяционную формулу Лагранжа. Она достаточно громоздка для вычисленийвручную, но с помощью компьютерных средств обработки информации можноавтоматизировать процесс. Задача была решена с помощью программы Excel,входящей в пакет Microsoft Office.
Необходимонайти плотность раствора в зависимости от массовой доли, т. е. массовая доляесть аргумент, а плотность — функция. В табл. 1 представлены справочные данныезависимости плотности раствора от массовой доли хлороводорода. Полужирнымшрифтом выделено значение заданной массовой доли.
Наосновании этих табличных данных по формуле Лагранжа были вычислены значенияискомой плотности, представленные в табл. 2.
Таблица 2
/>
Вычислениемногочлена четвёртой и выше степени по формуле Лагранжа даёт необходимуюточность, т. е. три десятичные верные цифры, как это указано в справочнойтаблице.
Каквидно из данных табл. 2 (многочлен первой степени, значение 1,0474257426),линейная интерполяция также даёт результат с достаточной точностью. Длявычисления плотности и содержания вещества в растворах по справочным таблицамлинейной интерполяции достаточно. Таким образом, искомая плотность соляной кислоты1,047 г/мл.
• При интерполяции табличных данных в искомом числе надо оставлятьстолько значащих цифр, сколько их указано в справочной таблице.
Наименееточное число 110 имеет две значащие цифры, значит, число 1,047 округляем дотрёх значащих цифр; ответ — до двух значащих цифр:
/>
/>
Такимобразом, объём соляной кислоты приблизительно равен 100 мл.
Задачарешена, однако ответ должен быть дан с двумя десятичными знаками. Для даннойзадачи это условие невыполнимо. А в целом подобного рода условия нельзяпризнать корректными.
Для сравнения решим задачу 1, представив её решение как вычислениезначения одного выражения
/>