Дипломнаяработа
Потеме:
«Методикаобучения решению задач с параметрами на уроках алгебры основной школы»
Оглавление
Введение
Глава |.Психолого-педагогическиеаспекты при решении задач с 6 параметрами в средней школе
1. Особенности развития учащихсясреднего школьного возраста (10-15 лет)
2. Роль математики в формировании иразвитии интелектуальных качеств личности
Глава||.Содержание«линии задач с параметрами» в программе математики средней школы (7-9 классы)на примере учебников А.Г. Мордковича
1. Понятие параметра
2. Тематический анализ учебников А.Г.Мордковича «Алгебра 7,8,9»
3. Подбор задач с параметрами поуравнениям и неравенствам для классов с углубленным изучением математики вучебнике А.Г. Мордковича «Алгебра 8»
4. Разбивка задач с параметрами по темамв действующих учебниках для средней школы
Приложение.Списокзадач с параметрами, рекомендуемых для проведения дополнительных занятий поданной теме
Заключение
Библиография
Введение
Одиниз важнейших показателей эффективности обучения заключается в том, какобеспечивается в процессе обучения психическое развитие ребенка и, в частности,развитие его мыслительных способностей. Следовательно, на уроке по любомупредмету, в процессе обучения, необходимо развивать мышление учащихся.Применительно к математике можно сказать, что сам процесс ее изучения долженприводить к умению логически, доказательно мыслить, умению творчески, а нестереотипно, подходить к решению любой задачи.
Настоящаяситуация в школе такова: большинство задач решается по определенным алгоритмам,и быстрое их решение обычно зависит от знания формул и умения их применять. Приэтом основное усложнение задачи производится за счет увеличения действийрешения, усложнения чисел. Многие этапы решения таких задач у учениковприобретает автоматический характер, они не задумываются над каждым из них.Отсюда нерациональное, а иногда и неправильное решение задачи.
Можновыделить следующие причины механического запоминания ряда действий при решениизадач:
· выборметода решения не вызывает трудностей и сомнений;
· решениесводится к одной и той же операции, которая может быть и довольно сложной, носостоящей из ряда элементарных операций;
· этуоперацию (ее результат) учащемуся не надо выбирать среди других, которыевозможны в сходных условиях;
· предлагаемыезадачи являются задачами одного типа, в следствии чего не являютсянепривычными.
Учащиесяочень быстро перестают применять изученные определения, теоремы, сокращаяобоснование решения задачи. Поэтому система заданий должна составлятьсяучителем так, чтобы нарушались вышеуказанyыепричины, т.к. нарушение хотя бы одной из них приводит к активизациимыслительной деятельности учащихся.
Вобъяснительной записке программ по математике для общеобразовательных учрежднийговорится: «Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмическогомышления, воспитании умений действовать по алгоритму и конструировать новые».Конструированию нового всегда предшествует исследование. Большим потенциалом вразвитии исследовательских умений таких, как умение наблюдать, анализировать,выдвигать и доказывать гипотезу, обобщать и др., безусловно, обладают задачи спараметрами (в частности уравнения и неравенства с параметрами). Данные задачииграют важную роль в формировании логического мышления и математическойкультуры у школьников. Известен и понятен интерес экзаменационных комиссийВУЗов к этим задачам: уравнения и неравенства с параметрами — эта тема, накоторой проверяется не натасканность ученика, а подлинное понимание материала.Кроме того, учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, будутболее творчески подходить к решению любой задачи.
Нов школьном курсе, как правило, очень мало внимания обращают на такие задачи.Это недостаток школьного обучения.
Вкурсе алгебры основной школы выделяются следующие основныесодержательно-методические линии: линия числа, тождественных преобразований,линия уравнений, неравенств и их систем, геометрическая, алгоритмическая,функциональная линии, а так же появившаяся в последнее времявероятностно-статистическая линия. Однако ограниченность круга задач,предлагаемых в УМК, однотипность алгоритмов, присущих им, уже не можетудовлетворять современным потребностям школьного образования. В средней истаршей школе превалирует классический подход к преподаванию не толькоматематики, но и большинства предметов. Это объясняется рядом причинметодического и психологического характера, в том числе и отсутствиеминструментария реализации задач развивающего образования, необходимогосовременным учащимся.
Такиминструментарием в курсе математики на мой взгляд может статьсодержательно-методическая линия задач с параметрами. Глубокая, богатая идеямии методами — содержательно-методическая линия задач с параметрами как нельзялучше позволит развить активную творческую деятельность учащегося, егосистемное мышление, подготовить его к решению действительно творческих задач,которые со временем перед ним поставит сама жизнь.
Всвоей дипломной работе я хочу объяснить, почему важно включать задачи спараметрами в учебный процесс для развития мышления учащегося, показать накакие психологические особенности подростков необходимо при этом обратитьвнимание. Также предложить, на мой взгляд, один из самых подходящих учебников,рассматривающий разные виды задач с параметрами как для общеобразовательногокласса, так и для класса с углубленным изучением математики, рассмотретьзадания из разных школьных тем по алгебре средней школы, предложить задачник,содержащий задачи как для сильных, так и для средних учеников.
Глава|.Психолого-педагогические аспекты при решении задач с параметрами в среднейшколе
«Всеподлежащее усвоению должно быть распределено сообразно сообразно ступенямвозраста так, чтобы предлагалось для изучения только то, что доступновосприятию в каждом возрасте» — писал Я.А. Коменский в «Великой дидактике».Учет возрастных особенностей — один из основополагающих педагогическихпринципов.
1.Особенности развития учеников среднего школьного возраста (10-15 лет)
Старшийсредний школьный возраст – переходный от детства к юности. Он характеризуетсяобщим подъемом жизнедеятельности и глубокой перестройкой всего организма. Вэтом возрасте происходит бурный рост и развитие всего организма.
Характернаяособенность подросткового возраста – половое созревание организма. У девочеконо начинается с одиннадцати лет, у мальчиков – несколько позже – сдвенадцати-тринадцати лет. Половое созревание вносит серьезные изменения вжизнедеятельность организма, нарушает внутреннее равновесие, вносит новыепереживания.
Вподростковом возрасте продолжается развитие нервной системы. Восприятиеподростка более целенаправленно, планомерно и организованно, чем восприятиемладшего школьника.
Характернаячерта внимания ученика среднего школьного возраста – его специфическаяизбирательность: интересные уроки или интересные дела очень увлекаютподростков, и они могут долго сосредоточиваться на одном материале или явлении.Но легкая возбудимость, интерес к необычному, яркому часто становятся причинойнепроизвольного переключения внимания. Оправдывает себя такая организацияучебно-воспитательного процесса, когда у подростка нет ни желания, ни времени,ни возможности отвлекаться на посторонние дела.
Вподростковом возрасте происходят существенные сдвиги в мыслительнойдеятельности. Мышление становится более систематизированным, последовательным,зрелым. Улучшается способность к абстрактному мышлению.
Развитиевысших психических процессов.
Уучащихся средней школы обычно сильно выражено избирательное отношение к учебнымпредметам. Потребность в значимых для жизненного успеха знаниях — одна изнаиболее характерных черт нынешнего школьника.
Восприятие
Восприятиехарактеризуется целенаправленностью. Заметно развивается и совершенствуетсяспособность переключения и распределения внимания. Последнее, в частности,сказывается в формирующемся умении одновременно слушать объяснения учителя, ивети запись лекции-беседы, следить за содержанием и формой своего ответа.
Память
Вэтом возрасте происходят новые процессы, связанные с перестройкой памяти.Активно развивается память и скоро достигает такого уровня, что ребенокпереходит к преимущественному использованию этого вида памяти, а такжепроизвольной и опосредованной памяти. Процесс запоминания у старших школьниковсводится к мышлению, к установлению логических отношений внутри запоминаемогоматериала, а припоминание заключается в восстановлении материала по этимотношениям.
Мышление
Существенныеизменения происходят в мыслительной деятельности учеников средней школы, вхарактере умственной работы. Ведущей деятельностью в этом возрасте являетсяучеба. Большое значение приобретают уроки-лекции, самостоятельное выполнениепрактических работ, написание рефератов и докладов. В учении формируется общиеинтеллектуальные способности, особенно понятийное теоретическое мышление. Этопроисходит за счет усвоения понятий, совершенствования умения пользоваться ими,рассуждать логически и абстрактно.
Мыслительнаядеятельность приобретает такой уровень развития процессов анализа и синтеза, теоретическогообобщения и абстрагирования, который делает вполне возможной самостоятельную, визвестной мере, творческую деятельность в определенных областях. Для юношей идевушек становятся характерными тенденция к причинному объяснению явлений,умение аргументировать, делать выводы, связывать изучаемое в систему. В раннемюношеском возрасте завершается формирование когнитивных процессов и, преждевсего, мышления. В эти годы мысль окончательно соединяется со словом, врезультате чего образуется внутренняя речь как основное средство организациимышления и регуляции других познавательных процессов. Интеллект в своих высшихпроявлениях становится речевым, а речь — интеллектуализированной. Возникаетполноценное теоретическое мышление. Наряду с этим идет активный процессформирования научных понятий, содержащий в себе основы научного мировоззрениячеловека в рамках тех наук, которые изучаются в школе. Приобретаютокончательные формы умственные действия и операции с понятиями, опирающиеся налогику рассуждений и отличающие словесно-логическое, абстрактное мышление отнаглядно-действенного и наглядно-образного. Юность — это период расцвета всейумственной деятельности.
Самостоятельностьмышления приобретает определяющий характер и крайне необходима длясамоутверждения личности. Взрослые, учителя часто безапелляционно отвергаютнаивные, односторонние, еще далеко незрелые заключения, создавая своейбестактностью предпосылки для конфликтов и недоразумений[26].
Общаяхарактеристика познавательных процессов.
Познавательныепроцессы (восприятие, память, мышление, воображение) входят как составная частьв любую человеческую деятельность и обеспечивают ту или иную ее эффективность.Когда говорят об общих способностях человека, то также имеют в виду уровеньразвития и характерные особенности его познавательных процессов, ибо, чем лучшеразвиты у человека эти процессы, тем более способным он является, тем большимивозможностями обладает. От уровня развития познавательных процессов учащегосязависит легкость и эффективность его учения. Человек рождается с достаточноразвитыми задатками к познавательной деятельности, однако познавательныепроцессы новорожденный осуществляет сначала неосознанно, инстинктивно. Ему ещепредстоит развить свои познавательных возможности, научиться управлять ими.Поэтому уровень развития познавательных возможностей человека зависит не толькоот полученных при рождении задатков (хотя они играют значительную роль вразвитии познавательных процессов), но в большей мере от характера воспитанияребенка в семье, в школе, от собственной его деятельности по развитиюинтеллектуальных способностей.
Познавательныепроцессы осуществляются в виде отдельных познавательных действий, каждое изкоторых представляет собой целостный психический акт, состоящий нераздельно извсех видов психических процессов. Но один из них обычно является главным,ведущим, определяющим характер данного познавательного действия. Только в этомсмысле можно рассматривать отдельно такие психические процессы, как восприятие,память, мышление, воображение. Познание человека объективной действительностиначинается с ощущений и восприятия. Но, начиная с них, познаниедействительности не заканчивается, а переходит к мышлению[26].
Мышлениекак психический процесс.
Мышлениеимеет целенаправленный характер. Необходимость в мышлении возникает, преждевсего, тогда, когда в ходе жизни и практики перед человеком появляется новаяцель, новая проблема, новые обстоятельства и условия деятельности. Мышлениеребенка зарождается и развивается сначала в процессе наблюдения, котороеявляется не чем иным, как более или менее целенаправленным мыслящимвосприятием. Мышление представляет собой активную целенаправленнуюдеятельность, в процессе которой осуществляется переработка имеющейся и вновьпоступающей информации — анализ и синтез. Анализ — это выделение в объекте техили иных его сторон, элементов, свойств, связей, отношений и т.д.; эторасчленение познаваемого объекта на различные компоненты. В отличие от анализасинтез предполагает объединение элементов в единое целое. Анализ и синтезвсегда взаимосвязаны. Неразрывное единство между ними отчетливо выступает уже впознавательном процессе сравнения. Всякое сравнение предметов начинается ссопоставления или соотнесения их друг с дугом, т.е. начинается с синтеза. В ходеэтого синтетического акта происходит анализ сравниваемых явлений, предметов,событий и т.д. — выделение в них общего и различного. Так сравнение ведет кобобщению.
Продуктивноеи репродуктивное мышление.
Любоемышление есть искание и открытие нового, самостоятельное движение к новымобобщениям, поэтому по сути всякое мышление всегда является творческим ипродуктивным в большей или меньшей степени. В зависимости от степени новизныпродукта, получаемого на основе мышления, его делят на продуктивное и репродуктивное.Продуктивное мышление характеризуется высокой новизной своего продукта,своеобразием процесса его получения и существенным влиянием на умственноеразвитие. Продуктивное мышление учащихся обеспечивает самостоятльное решениеновых для них проблем, глубокое усвоение знаний, быстрый темп овладения ими,широту их переноса в относительно новые условия. Репродуктивное мышлениехарактеризуется меньшей продуктивностью, но оно играет важную роль. На основеэтого вида мышления осуществляется решение задач знакомой школьнику структуры.Оно обеспечивает понимание нового материала, применение знаний на практике,если при этом не требуется их существенного преобразования. Возможностирепродуктивного мышления определяются наличием исходного минимума знаний.Главным признаком продуктивных умственных актов является возможность полученияновых знаний в самом процессе, т.е. спонтанно, а не путем заимствования извне.
2.Роль математики, в формировании и развитии интеллектуальных качеств личности
обучение параметр математика задача
Особенностиразвития высших психических функций в среднем и старшем школьных возрастах,описанные в п. 1 — потенциально возможный уровень, т. е. верхняя планка (какправило) в развитии интеллектуальных процессов. Достижению этого уровняспособствует изучение учеником гуманитарных и естественно-математическихдисциплин. Роль математики в этом процессе исключительно велика.Психологическая наука давно пришла к выводу, что лучше всего формировать иразвивать мышление в ходе решения задач. В обучении математике они являются ицелью, и средством обучения и математического развития школьников. В частности,это относится и к задачам с параметрами.
Задачас параметром представляет собой целую серию однотипных задач, соответствующихвсевозможным числовым значениям параметра. Добавление параметра значительноусложняет задачу, т.к. увеличивается ее размерность, появляется «глубина».Решение такой задачи требует системного подхода, целостного представленияситуации. Для решения уравнений (неравенств) с параметрами необходимо умениепроводить разветвленные логические построения. При этом необходимо четко ипоследовательно следить за сохранением равносильности решаемых уравнений(неравенств), учитывая области определения выражений в них входящих.Использование стандартных методов при решении задач с параметрами иногдаприводит к неоходимости выполнения очень громоздких вычислений, что существеннозатрудняет решение. Такая ситуация, как правило, способствует началу творческихпоисков других путей решений, их исследования, направленное на нахождениенаиболее рационального, наиболее «красивого» способа решения. Под исследованиемв науке понимается изучение какого-либо объекта с целью выявлениязакономерностей его возникновения, развития, преобразования. В процессе исследованиясинтезируются имеющиеся знания, накопленный опыт, а также методы и способыизучения объектов.
Извышесказанного можно сделать вывод, что решение задач с параметрами развиваетсистемное, логическое мышление. Являясь прекрасным материалом для исследовательскойработы, решение уравнений (неравенств) с параметрами развивает таке умения какнаблюдение, сравнение, обобщение и др.; учит творчески мыслить, способствуетразвитию гибкости мыслительного процесса и, что очень важно, развиваеттеоретическое мышление.
Глава||.Содержание «линии задач с параметрами» в программе математики средней школы(7-9 классы) на примере учебников А.Г. Мордковича
Несмотряна то, что программа по математике средней общеобразовательной школы неупоминает в явном виде о задачах с параметрами, было бы ошибкой утверждать, чтовопрос о решении задач с параметрами никоим образом не затрагивается в рамкахшкольного курса математики. Достаточно вспомнить школьные уравнения: ax2+bx+c=0,y=kx,y=kx+b,tgx=a,в которых a, b,c, kне что иное, что такое параметр, в чем его отличие от неизвестного.
Рассмотримпонятие параметра.
1.Понятие параметра
Параметр(от греческого слова parametron- отмеривающий) — величина, значение которой служат для различения некоторогомножества между собой.
Подзадачами с параметрами понимают задаси, в которых технический и логический ходрешения и форма результата зависят от входящих в условие величин, численныезначения которых не заданы конкретно, но должны считаться известными. Изучениюзадач с параметрами в школе отводится незначительное место, хотя неявно с этимпонятием учащиеся сталкиваются, например, при изучении функции y=kx,для этой функции в качестве параметра выступает коэффициент kпрямой пропорциональности.
Вматематике параметры вводятся для обозначения некоторого класса объектов,обладающих общими свойствами. Например, y=log2xс параметром a определяет класслогарифмических функций. Множеству значений a> 1 соответствуют частные логарифмические функции, обладающие одинаковымисвойствами. Множеству значений 0 a
Еслипараметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве) придать некоторое числовоезначение, то возможен один из двух случаев:
1)получится уравнение (неравенство), содержащее лишь данные числа и неизвестные,и не содержащие параметров;
2)получитсяусловие, лишенное смысла.
Впервом случае значение параметра называют допустимым, во втором — недопустимым.При решении задач допустимые значения параметров определяются изконкретного смысла. Например, для a значение выражения logaxдлялюбого x не определено.
Рассмотримметодическую концепцию подхода к изучению темы «Уравнения с параметром». Итак,что такое уравнение с параметром? Пусть дано уравнение
F(x,a)= 0(1)
Еслиставится задача: отыскать такие пары (x,a),которые удовлетворяют данному уравнению, то уравнение (1) — это уравнение сдвумя переменными x и a.Однако относительно уравнения (1) можно поставить другую задачу: если придатьпеременной a какие либофиксированное значение, то уравнение (1) можно рассматривать как уравнение солной переменной x. Решения этогоуравнения определяются выбранным значением a.
Еслиставиться задача для каждого значения а из некоторого числового множества А решитьуравнение (1) относительно x,то уравнение (1) называют уравнение с переменной xи параметром а, а множество А — областью изменения параметра.
Уравнение(1) — это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Уравнения этогосемейства получаются из уравнения (1) при различных конкретных значенияхпараметра а.
Так,уравнение 2а(а-1)x=a-2,укоторого область изменения параметра а является множество А={-1;0;1;2;3}, естькраткая запись следующего семейства уравнений:
Подобласть изменения параметра обычно подразумевают (если не сделано специальныхоговорок) множество всех действительных чисел, а задачу решения с уравнения спараметром формулируют следующим образом: решить уравнение (1) (с переменной xи параметром а) — это значит на множестве действительных чисел решить семействоуравнений, получающихся из уравнения (1) при любых действительных значенияхпараметра.
Ясно,что выписать каждое слово из бесконечного семейства уравнений невозможно. Темне менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Сделать это можно,если, например, по некоторому целесообразному признаку разбить множество всехзначений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждомиз этих подмножеств. Для разбиения множества значений параметра наподимножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых припереходе через которые происходят качественные изменения уравнения(например, квадратное уравнение ax2-7x+15=0приa=0 становится линейным уравнением).Такие значения параметра будем называть контрольными.
Всесказанное выше применимо и для решения неравенств с параметрами.
Опытпоказывает, что задачи с параметрами являются наиболее сложным в логическом итехническом планах разделом элементарной математики, хотя с формальной точкизрения математическое содержание таких задач не выходит за пределы программы.Все зависит от того, как понимается параметр. С одной стороны, параметр можнорассматривать как переменную, которая при решении уравнений и неравенствсчитается постоянной величиной, с другой — параметр это величина, численноезначение которой не задано, но должно считаться известным, причем параметрможет принимать произвольные значения, т.е. параметр, будучи фиксированным, нонеизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых,предполагаемая известность параметра позволяет обращаться с ним как с числом, аво-вторых, степень свободы обращения с параметром ограничивается егонеизвестностью.
Вкаждом из описаний природы параметров имеется неопределенность — на какихэтапах решения параметр можно рассматривать как константу и когда он играетроль переменной величины. Все эти противоречивые характеристики параметра могутв самом начале изучения вызвать у учащихся определенные психологическиетрудности.
Всвязи с этим на начальном пути знакомства с параметром очень полезно как можночаще прибегать к наглядно-графической интерпретации полученных результатов. Этоне только позволяет преодолеть естественную неуверенность ученика передпараметром, но и дает учителю возможность параллельно, в качестве пропедевтики,приучать учеников при решении задач с параметрами использовать графическиеприемы доказательства.
Неследует также забывать, что использование хотя бы схематических графическихиллюстраций в некоторых случаях помогает определить направления исследований аиногда и позволяет сразу подобрать ключ к решению задачи. Ведь для определенныхтипов задач даже примитивный рисунок, далекий от настоящего графика, даетвозможность избежать различного рода ошибок и более простым способом получитьответ в уравнении или неравенстве. Решение математических задач вообще являетсянаиболее трудной частью деятельности школьника при изучении математики иобъясняется это тем, что для решения задач требуется достаточно высокий уровеньразвития интеллекта высшего уровня, т.е. теоретического, формального и рефлексивногомышления, а такое мышление, как уже отмечалось, еще только развивается вподростковом возрасте.
Вместес тем трудно переоценить роль задач с параметрами в развитии у школьниковпространственных представлений. Они по своей постановке и методам решения нетолько лучшим образом стимулируют накопление конкретных геометрическихпредставлений, но и развивают способность представлять изображение графика тойили иной функции и, более того, уметь мысленно оперировать элементами этогографика. Задачи с параметрами способствуют пониманию учащимися происхожденияразличных геометрических фигур и графиков функций, возможности ихпреобразования — все это является важной предпосылкой развитияпространственного мышления школьников. Кроме того, эти задачи хорошо развиваютлогическое мышление, геометрическую интуицию. В процессе решения задач спараметрами учитель может эффективно формировать элементы алгоритмическойкультуры.
Главнаяособенность задач с параметрами — ветвления решения в зависимости от значенийпараметров. Другими словами, процесс решения осуществляется классификацийчастных уравнений (неравенств) по типам с последующим поиском решений каждоготипа.
Одновременнорешение бесконечной совокупности частных уравнений и неравенств с учетомтребования равносильности преобразований возможно лишь при развитиидостаточного уровня логического мышления. С другой стороны, формированиеметодов решения уравнений и неравенств с параметрами обеспечивает значительныйпроцесс в развитии математической культуры учащихся. Развивающий характеруравнений и неравенств с параметрами определяется их способностью реализовыватьмногие виды мыслительной деятельности учащихся:
1.Выработка определенных алгоритмов мышления.
2.Умение определить наличие и количество корней в уравнении.
3.Решение семейств уравнений, являющихся следствием данного.
4.Выражение одной переменной через другую.
5.Нахождение области определения уравнения.
6.Повторение большого объема формул при решении.
7.Значение соответствующих методов решения.
8.Широкое применение словесной и графической аргументации.
9.Развитие графической культуры учащихся.
Всевышесказанное позволяет говорить о необходимости изучения решений задач спараметрами.
2.Тематический анализ учебников А.Г. Мордковича «Алгебра. Задачник 7,8,9»
7класс
Учебникдля 7 класса начинается с темы «Числовые и алгебраические выражения», котораясодержит следующие задания №33-№35:
Прикаких значениях переменной имеют смысл выражения:
;; .
Следующимзаданием с параметрами можно называть упражнения из главы «Линейные уравнения сдвумя переменными» (№827 — 831), например,
№828. Найдите значение коэффициента а в уравнении
ax+ 5y — 40 = 0, если известно, чторешением уравнения является пара чисел:
а)(3;2); б) (9;-1); в) (1/3; 0); г) (-2; 2,4).
Вэтой же главе присутствуют задания, в которых требуется выразить однупеременную через другую (№825, №826), эти задания, как уже говорилось выше,являются своего рода задачами с параметрами.
№825. Дано линейное уравнение с двумя переменными. Используя его, выразите каждуюиз переменных через другую:
а)3a + 8b= 24; б) 12m- 3n = 48.
Параграф«Линейная функция и ее график» также содержит задания с параметрами, например,
№902. Найдите значение m,если известно, что график линейной функции
y= -5x + mпроходит через точку:
а)N(1;2); б) K(0,5;4); в) M(-7;8); г)P(1,2;-3).
№907.Как расположен в координатной плоскости xOyграфик линейной функции
y= kx + m,если известно, что:
а)k > 0, m = 0; б) k
Вданном случае приведены несколько заданий с параметрами в главе «Системы двухлинейных уравнений с двумя переменными», например задания:
№1075. Найдите значение коэффициента а в уравнении ax+ 8y = 20, если известно, что решениемэтого уравнения является пара чисел:
а)(2;1); б) (-3;-2).
№1076. Дана система уравнений ,
Известно,что пара чисел (5;6) является ее решением. Найдите значения aи b.
8класс
Вучебнике для 8 класса по теме «квадратичная функция», помещены сравнительнопростые задания № 483 — № 488, связанные с графиком квадратичной функции.Например:
№483. Найдите значение коэффициента с, если известно, что график функции y=x2+4x+cпересекает ось ординат в точке А(0;2).
Далееследует более сложные задания с похожим содержанием (№ 498 — № 503). Например:
№500. При каких значениях коэффициента bи c точка А(1;-2) является вершинойпараболы y=x2+bx+c?
Последанной темы рассмтривается графическое решение квадратного уравнения, и даютсяупражнения, где параметр является правой частью уравнения (№ 518 — № 522).Например:
№518. При каком значении pуравнение x2-2x+1=pимеет один корень?
№522. При каких значениях pуравнение x2+6x+8=p:
а)не имеет корней;
б)имеет один корень;
в)имеет два корня?
Считаю,что одним из заданий с параметром может служить следующее задание, котороеспособствует навыку нахождения множества допустимых значений параметра (илипеременной).
№543. При каких значениях а имеет смысл выражение:
а); б); в) -; г) ?
Вглаве 4 «Квадратные уравнения» понятие параметра впервые появляется в условиизаданий №792-795. Например:
№793. При каких значениях параметра pуравнение (2p — 3)x2+ (3p — 6)x+p2 — 9 = 0 является:
а)приведенным квадратным уравнением;
б)неполным неприведенным квадратным уравнением;
в)неполным приведенным квадратным уравнением;
г)линейным уравнением?
Затемв §20«Формулы корней квадратного уравнения» в теоретической части дается определениепараметра и уравнения с параметром на примере следующего уравнения: x2 — (2p + 1)x+ (p2+ p — 2) =0.
Этоуравнение отличается от всех рассмотренных до этих пор квадратных уравненийтем, что в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенныевыражения и считаются уравнениями с параметрами. В данном случае параметр(буква) p входит в составвторого коэффициента и свободного члена уравнения.
Когдаучащиеся решают квадратные уравнения с вычислением дискриминанта, импредлагаются упражнения 820, 821, 838 — 841. Например:
№838. ИЗ данных уравнений укажите те, которые имеют два различных корня прилюбом значении параметра p:
а)x2+ px = 0; в) x2+ px + 5 = 0;
б)x2 — px — 5 = 0г) px2 — 2 = 0.
Этизадания сопровождаются заданиями на доказательство (№ 821, 842), например:
№842. Докажите, что не существует такого значения параметра p,при котором уравнение x2 — px + p- 2 = 0 имело бы только один корень.
Припрохождении квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом решаетсяупражнение:
№953. Решите уравнение:
а)x2 — 2(a — 1)x+ a2 — 2a — 3 = 0
б)x2+ 2(a + 1)x+ a2+ 2a — 8
Когдаучащися знакомятся с теоремой Виета, выполняются упражнения № 971 и № 972.
№971. При каких значениях параметра pсумма корней квадратного уравнения x2+ (p2+ 4p — 5)x- p = 0 равно нулю?
Вупражнениях № 999 — 1005 помещены похожие задачи:
№1000. Дано уравнение x2 — (p + 1)x+ (2p2+ — 9p — 12) = 0. Известно,что произведение его корней равно -21. Найдите значение параметра p.
Заметим,что задания с параметрами встречаются и в помещенной в учебник контрольнойработе №4, а именно:
· докажите,что не существует такого значения k,при котором уравнение x2 — 2kx + k- 3 = 0 имеет только один корень.
· даноуравнение x2+ (p2 — 3p — 11)x+ 6p = 0. Известно, что сумма егокорней равна 1. Найдите значение параметра p икорни уравнения.
В§35.«Решениеквадратных неравенств» помещены упражнения № 1360 — 1365 с заданием решитьквадратное уравнение, которое сводится к решению неравенств.
№1360. При каких значениях параметра pквадратное уравнение 3x2 — 2px — p+ 6 = 0:
а)имеет два различных корня;
б)имеет один корень;
в)не имеет корней?
Ав № 1366 и № 1367 задания связаны непосредственно с решением неравенств.
№1366. При каких целочисленных значениях параметра pнеравенство
(x2 — 2)(x — p)
9класс
Вучебнике для 9 класса упражнения с параметрами приводятся сначала в § 1«Линейные и квадратные неравенства», в № 11, 17 — 19.
№11. При каких значениях параметра pквадратное уравнение
3x2 — 2px — p+ 6 = 0:
а)имеет два различных корня;
б)имеет один корень;
в)не имеет корней?
В§ 2 «Рациональные неравенства» заданием с параметром является задание № 50:Найдите такое целое зачение параметра p,при котором множество решений неравенства x(x+ 2)(p — x)≥ 0 содержит:
а)два целых числа; в) три целых числа;
б)четыре целых числа; г) пять целых чисел.
В§ 2 «системы рациональных неравенств» задачами с параметрами являются задачи №85 — 87.
№86. Укажите все значения параметра p,при которых решением системы неравенств является промежуток: а) (5; +∞);б) [3; +∞).
Последнийраз задания с параметрами встречаются в главе «Системы уравнений» (№ 117 — 119).
№118. При каком значении параметра pсистема уравнений
имеетодно решение?[15][16][17]
Вданном комплекте учебников и задачников достаточно хорошо и полно подобранызадачи с параметрами в каждом классе основной школы. В учебнике 7 классабольшое внимание уделяется пропепедевтике уравнений с параметрами. В учебникедля 8 класса при прохождении темы квадратные уравнения» дается достаточно ясноеопределение параметра и уравнения с параметром.
3.Подбор задач с параметрами по уравнениям и неравенствам для классов суглубленным изучением математики в учебнике А.Г. Мордковича «Алгебра 8»
Шестаяглава данного учебника «Алгебраические уравнения» посвящена решению различныхвидов уравнений. Последним параграфом в этой главе является § 41 «Задачи спараметрами», в коором подходят к понятию параметра, решя вначале два примера,аналогично тому, как вводится понятие параметра в учебнике для 8 класса на стр.28.
Пример1.Решить уравнение x2 — (2p + 1)x+ (p2+p — 2) = 0.
Решение.
Вданном квадратном уравнении в роли коэффициентов выступают не конкретные числа,а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с буквеннымикоэффициентами или уравнениями с параметрами.
Найдемдискриминант:
D= (2p + 1)2 — 4(p2+ p — 2) = (4p2+ 4p + 1) — (4p2+ 4p — 8) = 9
Далее
Ответ:p + 2; p- 1.
Вучебнике для углубленного изучения после этого решения помещено следующеезамечание.
Данноеуравнение можно решить устно, если заметить, что p2+ p — 2 = (p+ 2)(p — 1). Переписавуравнение в виде x2 — (2p + 1)x+ (p + 2)(p- 1) = 0, легко сообразить (с помощью теоремы Виета), что его корнями служатчисла p + 2 и p- 1.
Пример2.Решить уравнение px2+ (1 — p)x- 1 = 0.
Решение.
Этотакже уравнение с параметром p,но в отличие от предыдущего примера, его нельзя сразу решать по формуле корнейквадратного уравнения. Дело в том, что про заданное уравнение мы пока не можемсказать, является ли оно квадратным.
Еслиp = 0, то получим линейное уравнениеx-1=0, откуда получаем x= 1.
Еслиp ≠0, тогда можно применить формулы корней квадратного уравнения: D= (1 — p)2 — 4p(-1) = 1 — 2p+ p2+4p = (p+ 1)2.
Ответ:еслиp = 0, то x= 1; если p≠0, то x1 =1, x2 =-1/p.
Вучебнике после этого решения помещено замечание, объясняющее замену выражения выражениемp + 1, вместо использования знакамодуля |p + 1|. Вторымзамечанием к решению этого примера является следующее. Квадратное уравнение px2+ (1 — p)x- 1 = 0 можно было решить, не применяя формулу корней. Достаточно заметить, чтозначение x1= 1 удовлетворяет уравнению (при x= 1 получаем p + (1 — p)- 1 = 0 — верное равенство), и воспользоваться теоремой Виета, откуда сразунаходится второй корень x2= -1/p.
Каквидно, в учебнике для углубленного изучения математики делается больше ссылокна использование теоремы Виета. Кроме того, в нем переходят к болееупотребительной для обозначения параметров букве а, в то время как в учебникедля общеобразовательных классов используют букву p.
Затемв рассматриваемом учебнике дается более точное определение понятие параметра,чем в учебнике для общеобразовательных классов, а именно: если дано уравнение f(x,a)= 0, которое надо решить относительно переменной xи в котором буквой обозначено произвольное действительное число, то говорят,что задано уравнение с параметром. Основная трудность, связанная с решениемтаких уравнений, состоит в следующем. При одних значениях параметра уравнениене имеет корней, при других — имеет; при одних значениях параметра корнинаходятся по одним формулам, при иных — по другим. Например, при решениипримера 2 при p = 0 уравнение решалоськак линейное (по одной формуле), а при p≠0 — как квадратное (по другой формуле).
Далеедемонстрируется решение линейного уравнения с подобными рассуждениями.
Пример3.Решить уравнение с параметром а: 2a(a- 2)x = a- 2.
Решение.Обычно корень уравнения bx= c мы легко находим по формуле x= c/b,так как в конкретном уравнении коэффициент bотличен от нуля. В заданном уравнении коэффициент при xравен 2a(a- 1), и, поскольку значение параметра а нам неизвестно и в принципе оно можетбыть любым, следует предусмотреть возможность обращения указанного коэффициентав нуль. Это будет при а = 0 или при а = 2. Рассмотрим следующие случаи:
1)Если а = 0, то уравнение принимает вид 0х = 2 — это уравнение не имеет корней.
2)Если а = 2, то уравнение принимает вид 0х = 0 — этому уравнению удовлетворяютлюбые значения х.
3)Если а ≠ 0, а ≠ 2, то коэффициент при х отличен от нуля, иследовательно, на этот коэффициент можно разделить обе части уравнения.
Получим
Ответ:1) если а = 0, то корней нет;
2)если а = 2, то х — любое действительное число;
3)если а ≠ 0, а ≠ 2, то х = 1/2а.
Затемв учебнике рассматривается линейное уравнение с модулем, содержащим параметр, ииррациональное уравнение:
Пример4: Сколькокорней имеет уравнение 2|x- a| = x+ 1 при различных значениях параметра а?
Пример5:Решить уравнение .
Такимобразом, в учебнике для 8 класса с углубленным изучением математики задачам спараметрами отводится отдельный параграф, в котором рассматривается широкийкласс уравнений с параметрами, а именно линейные и квадратные уравнения,иррациональные уравнения и уравнения, содержащие модуль. Понятие параметравводится на основе решения примеров. Важно, что в решении уравнений спараметрами дается графическая иллюстрация решения.[19]
4.Разбивка задач с параметрами по темам в действующих учебниках для средней школы
Исходяиз возрастных особенностей учащихся, все задания с параметрами в 7 классе носятпропедевтический характер. Должны встречаться задания с параметрами на решениелинейных уравнений, систем линейных уравнений, на выражение одной переменнойчерез другую (в уравнениях с двумя переменными). Учащиеся на этом этапе еще незнакомы с понятием параметра, но в учебниках обязательно должно быть помещенопримечание о том, что более подробно такие задания будут рассмотрены в 8классе.
В7 классе следует остановиться на заданиях, приведенных ниже.
1.Уравнения с одной переменой. (Учебник под редакциейС.А. Теляковского).
№236*. При каких значениях коэффициента mуравнение mx = 5 имеет единственныйкорень? Существует ли такое значение m,при котором это уравнение не имеет корней; имеет бесконечно много корней?
№237*. При каких значениях коэффициента pуравнение px = 10 имеет корень,равный -5; 1; 20?
2.Задания с использованием формул сокращенного умножения «Разность квадратов исумма и разность».
№1073*. При каком значении а многочлен стандартного вида, тождественно равныйпроизведению (x2 — 10x + 6)(x- a), не содержит:
а)x2; б)x?
3.Линейные уравнения с двумя переменными.
№982. (Учебник С.М. Никольского)
Числоk ≠0. Решите уравнение. а) kx- 10 = 0; б) kx + a= 0.
№1024(ж).
Выразитеx через yв уравнении 2y — 0,3x- 1 = 0.
№1106. (Учебник под редакцией С.А. Теляковского).
Найдитезначение коэффициента а в уравнении ax+ 2y = 8, если известно, что пара x= 2, y = 1 является решениемэтого уравнения.
Решение.
ax+ 2y = 8
Подставимx = 2, y= 1, тогда получим:
2a+ 2 = 8
2a= 8
a= 4.
Ответ:при a = 4 пара х = 2, у = 1является решением данного уравнения.
№1100. (Учебник под редакцией С.А. Теляковского).
Изуравнения 2u + v= 4 выразите: а) переменную vчерез u; б) переменную uчерез v.
4.Область определения выражения.
№728 (Учебник С.М. Никльского)
Прикаких значениях букв определено выражение
Этофактически задание на определение множества значений параметра.
5.Системы линейных уравнений.
№1067 (Учебник С.М. Никльского) При каком а равносильны системы уравнений:
№1076 (Учебник С.М. Никльского). Дана система уравнений
Известно,что пара чисел (5; 6) является ее решением. Найдите значения aи b.
6.Задания на решение уравнений относительно x.
№213*. (Учебник С.М. Никльского)
Считаяа и b данными числами,решите уравнение относительно x;
б)3x + a = 4x — 2b + 3a,
е)5(x — b) = 2(a — x),
ж)a — a(a + b)x = (2 — a)x — (3 + bx),
д)2(x + a) = 3(x — a),
Решение:
x+ a = 1,5(x — a)
x+ a — 1,5 x + 1,5a = 0
-0,5x+ 2,5a = 0
x= 5a
Ответ:x = 5a.
№1147*. Решите уравнение, считая, что a,b- данные числа, а х — неизвестное.
е)3a2b- 6abx = ab, з) 7 — ax = 3b.
7.Задания, связанные с графиками функций. (Учебник А.Г.Модковича)
№902. Найдите значение m,если известно, что график линейной функции y= -5x + mпроходит через точку:
а)N (1; 2) б) K(0,5;4); в) M(-7; 8); г) P(1,2; -3).
№907. Как расположены в координатной плоскости хОу график линейной функции y= kx + m,если известно, что:
а)k > 0, m = 0; б) k
Заметим,что наиболее подходящие задания для 7 класса можно взять из учебниковТеляковского С.А. (Уравнения с одной и двумя переменными), Никольского С.М.(системы уравнений) и Мордковича А.Г. (Графики функций и задачи с параметрами).
8класс
В8 классе вводится в рассмотрение научное понятие параметра, даже вобщеобразовательных классах. Все задания следует формулировть с использованиемэтого понятия для достижения наилучшего понимания учащимися сути задач спараметрами. Важно отметить, что подобные задания встречались и раньше, в 7классе, а теперь такого рода уравнения именуются уравнениями с параметрами.
Хорошийсюжет введения, исследования, изучения и применения понятия параметра приведенв учебнике для классов с углубленным изучением математики Мордковича А.Г.«Алгебра 8».
Заданияна темы: Квадратные уравнения с параметром, уравнение с параметром и модулем,иррациональное уравнение с параметром были рассмотрены и решены выше (см. тему«Подбор задач с параметрами по уравнениям и неравенствам для классов суглубленным изучением математики на основе учебника А.Г. Мордковича «Алгебра8»»)
Задачи,связанные с графиками функций. (Учебник А.Г.Мордковича)
№483. Найдите значение коэффициента с, если известно, что график функции y= x2+ 4x + cпересекает ось ординат в точке А(0; 2).
№500. При каких значениях коэффициента bи c точка А (1; -2) является вершинойпараболы y = x2+ bx + c?
Задачи,в которых параметр является левой частью уравнения. (УчебникА.Г. Мордковича)
№518. При каком значении pуравнение x2 — 2x + 1 = pимеет один корень?
№522. При каких значениях pуравнение x2+ 6x + 8 = p:
а)не имеет корней;
б)имеет один корень;
в)имеет два корня?
Задания,приводящие к формированию умения отыскания множества допустимых значенийпараметра. (Учебник А.Г. Мордковича)
№543. При каких значениях а имеет смысл выражение:
а); б); в); г) ?
№793. При каких значениях параметра pуравнение
(2p- 3) x2+ (3p — 6)x+ p2 — 9 = 0 является:
а)приведенным квадратным уравнением;
б)неполным неприведенным квадратным уравнением;
в)неполным приведенным квадратным уравнением;
г)линейным уравнением?
Решениеквадратных уравнений с параметром с вычислением дискриминанта. (УчебникА.Г. Мордковича)
№838. Из данных уравнений укажите те, которые имеют два различных корня прилюбом значении параметра p:
а)x2+px = 0; в) x2+px + 5 = 0;
б)x2 — px — 5 = 0; д) px2 — 2 = 0.
№842. Докажите, что не существует такого значения параметра p,при котором уравнение x2 — px + p- 2 = 0 имело бы только один корень.
№953. Решите уравнение:
а)x2 — 2(a — 1)x+ a2-2a — 3 = 0;
в)x2+ 2(a + 1)x+a2+ 2a — 8 = 0.
№337. (Учебник С.М. Никольского)
Известно,что x1 — корень уравнения. Определите второй корень уравнения и коэффициент a.
2x2+ 16x + a= 0, x1= 3.
Использованиетеоремы Виета. (Учебник А.Г. Мордковича)
№791. При каких значениях параметра pсумма корней квадратного уравнения x2+ (p2+ 4p — 5)x- p = 0 равны нулю?
№1000. Дано уравнение x2 — (p + 1)x+ (2p2 — 9p -12) = 0. Известно, чтопроизведение его корней равно -21. Найдите значение параметра p.
№1360. При каких значениях параметра pквадратное уравнение
3x2 — 2px — p+ 6 = 0:
а)имеет два различных корня;
б)имеет один корень;
в)не имеет корней?
Неравенствос параметрами.
№1366. При каких целочисленных значениях параметра pнеравенство
(x- 2)(x — p)
Вматериале 8 класса можно отдать предпочтение квадратным уравнениям спараметрам, которые решаются с помощью теоремы Виета, и заданиям, в которыхзадан один из корней уравнения и необходимо найти второй корень и какой — либонеизвестный коэффициент.
9класс
В9 классе следует обобщить и систематизировать навыки решения уравнений и системуравнений с параметрами, и освоить решение неравенств с параметрами.
1.Сначала можно рассмотреть задания, связанные с нахождением области определенияфункций, являющиеся подготовкой к работе с параметрами. Подобные заданияможно взять из учебника под редакцией С.А. Теляковского. Например,
№11. Какова область определения функции, заданной формулой
Следующуюгруппу заданий должны составить неравенства с параметрами, наиболее хорошоподобранные в учебнике С.М. Никольского.
2.Неравенствас дискриминантом, равным нулю.
№97. найдите все значения k,при каждом из которых верно неравенство:
а)x2 — 24x + k> 0 верно при всез х, кроме х = 12,
б)64x2+ kx + 9 > 0 верно при всех х, кромех = -3/8.
3.Неравенства второй степени с отрицательным дискриминантом.
№105. Укажите все значения m,при каждом из которых неравенство верно при любом значении х:
а)2x2 — x + m> 0; б) 3x2+ 2x + m> 0.
Таккак у обоих неравенств a> 0 (2 > 0 и 3 > 0), то необходимо найти Dи решить неравенство D
а)D = 1 — 8mб)D = 4 — 12m
D
1- 8m
m> 1/8 m > 1/3
Ответ:привсех m > 1/8 (m> 1/3) неравенство «а» («б») верно при любых значениях х.
№222. Решите неравенство, считая, что а — данное число:
а)ах > 0, б) ax > 1, в) ax+ 1 > 3,
г)ax — 8 x, е) ax+ 1 > x.
№230*.Найдите все значения t,при которых уравнение имеет два различных корня.
а)x2 — 6x + t=0; б) (t + 3)x2+ 2(t — 1)x+ t = 0.
№231. Найдите все значения t,при которых уравнение не имеет действительных корней:
а)x2+ 4x + 6t= 0, б) tx2 — 2(t — 2)x+ t = 0.
№239.(Повышенной трудности) При каких значениях tуравнение
x2 — 2tx + t2 — 1 = 0 имеет два действительных корня:
а)отрицательных; б) положительных; в) разных знаков, причем отрицательный кореньимеет большую абсолютную величину?
4.Далее,в 9 классе желательно рассмотреть один — два примера уравнения с параметроми модулем.
Например,решить уравнение при всех значениях параметра а.
|x+ 3| — a|x — 1| = 4.
Ответ:
a∈ (-1; 1) ⇒x1= 1, x2=(a + 7)/(a — 1);
a= 1 ⇒x1≥1;
a> 1 ⇒x= 1.
Приложение.Список задач с параметрами, рекомендуемых для проведения дополнительных занятийпо данной теме
Ниже предлагаютсязадачи с параметрами разного уровня сложности, для слабых и сильных учеников.Задачи с повышенной сложностью будут отмечены значком *.
Линейныеуравнения
1.Решить уравнение при всех значениях параметра.
c- 2 = x + 2 (Какое значениебудет иметь корень уравнения при ?
Ответ:х = с — 4,
⇒.
2.Решить уравнение при всех значениях параметра.
x+ 4 = a — 3 (Выяснить, прикаких значениях параметра а корень уравнения равен -7)
Ответ:х = а — 7, х ≠ -7 ⇒ а ≠ 0.
3.Решить уравнение при всех значениях параметра.
b- 8 + 2x = 2b(Выяснить, при каких значениях параметра корень уравнения не равен 4,5)
Ответ:
4.При каких значениях параметра а уравнение (а2-6а + 5) = а — 1 имеет
1)один корень;
2) ни одного корня;
3) бесконечно многокорней?
Ответ: 1) а ≠ 1;а ≠ 5;
2) а = 5;
3) а = 1.
Решить уравнения привсех значениях параметра (№5 — 11).
5. (2 — х)а = х + 1.
Ответ: а ≠ -1 ⇒x = (2a- 1)/(1+a).
6. (а2-1)х = а + 1.
Ответ: а ≠ 1 ⇒х = 1/(а — 1).
7.
Ответ: если а = 1 ⇒∅;
если а ≠ 1 ⇒х = а.
8.
Ответ: если а = -2 ⇒∅;
если а ≠ -2 ⇒x = 2.
9.
Ответ: а ≠ -2 ⇒х = (а + 8)/3.
10.
Ответ: а ≠ -2 ⇒х = 6/(4 — а).
11*.
Ответ: если а = 0 ⇒R\{2};
если а = 1 ⇒R\{2};
если а ≠ 0, а ≠1 ⇒∅.
Линейныеуравнения с модулем.
Решить уравнение привсех значениях параметра (№1 — 6).
1.|x + a| = 2.
Ответ:
x= -a ± 2.
2.|x + 2| = a.
Ответ:
a
a= 0 ⇒x = -2;
a> 0 ⇒x = -2 ± a.
3. |x+ a| = 2 — а.
Ответ:
a> 2 ⇒∅;
а = 2 ⇒х = -2;
4*. |3x- c| = |x+ 2|.
Ответ:
с = -6 ⇒x = -2;
c≠-6 ⇒x1 =0,5(c + 2), x2=0,25(c — 2).
5*. |x+ 3| — a|x- 1| = 4.
Ответ:
a∈ (-1; 1) ⇒x1= 1, x2= (a + 7)/(a — 1);
a= 1 ⇒x1≥ 1;
a> 1 ⇒x= 1.
6*.|x — a| + |x — 2a| = 3a
Ответ:
a
a= 0 ⇒x = 0;
a> 0 ⇒x1 =3a, x2 =0.
7.При каких значениях параметра а уравнение x+ 2 = a|x- 2| имеет единственный корень? Найти это решение.
Ответ:a ∈(-1; 1] ⇒x= (a — 2)/(a+ 1).
(Возможенграфический способ решения).
8.При каких значениях параметра bуравнение b|x- 3| = x + 1 имеет единственноерешения? Найти это решение.
Ответ:b ∈(-1; 1] ⇒x= (3b — 1)/(b+ 1).
(Возможенграфический метод решения).
9*.Выяснить, сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение
|x + 2 | = ax+ 1.
Ответ:а = 0,5 ⇒
a∈(0,5; 1] ⇒∅;
а∈(1; +∞] ⇒ 1.
При каких значенияхпараметра а уравнение | x- a | — | 2x+ 2 | = 3 имеет единственное решение? Найти это решение.
Ответ: a= -4, a = 2⇒x = -1.
11*. При какихзначениях параетра а уравнение | 2x+ a | + 1 = | x+ 3| имеет единственное решение?
Ответ: {-8; -4}.
12*. При всех а решитьуравнение | x + 3 | — a|x — 1 | = 4. Определить, при каких аоно имеет ровно два решения.
Ответ: (1; +∞)при а = 1;
[-3; 1] при а = -1;
при а ∈(-1; 1);
{1} при а∈(-∞; -1) ∪ (1; + ∞).
13*. Сколько решенийимеет уравнение ax = |x|в зависимости от параметра?
Ответ:
а ≠ ±1 ⇒х = 0;
а = 1 ⇒х ∈[0; +∞);
a= -1 ⇒х ∈(-∞; 0].
Линейныенеравенства
1. Сравнить 3aи -а.
Ответ:
a
a= 0 ⇒3a = -a;
a> 0 ⇒3a > -a.
Для каждого значенияпараметра решить неравенство (№2 — 8).
2. cx> 2.
Ответ: с
a= 0 ⇒∅;
c> 0 ⇒x > 2/c.
3. cx> -3.
Ответ: c
c= 0 ⇒x ∈R;
c> 0 ⇒x > -3/c.
4. cx≤2.
Ответ: c
c= 0 ⇒x ∈R;
c> 0 ⇒x ≤2/c.
5. (c- 2)x≤-5.
Ответ: с
c= 2 ⇒∅;
c> 2 ⇒x ≤5/(2 — c).
6. 3(2a- x)
Ответ: с
c= 2 ⇒∅;
c> 2 ⇒x ≤5/(2 — c).
7*.
Ответ: b
b= 3 ⇒∅;
b> 3 ⇒x ∈(2;(2b + 1)/(b- 1)).
Линейныенеравенства с модулем
1*.| x — 3a | — | x + a|
Ответ:a ∈ (-∞;0) ⇒ x ∈(-∞; 2a);
a= 0 ⇒∅;
a∈ (0;+∞) ⇒x ∈ (0;+∞).
2*.| x + 2| — | 2x + 8 | ≥ a.
Ответ:a
a∈[-4;2) ⇒x ∈[a — 6; -a- 6];
a> 2 ⇒x ∈∅;
a= 2 ⇒x = -4.
Квадратныеуравнения
1*. Для 0
Ответ:
2*. Найдите наибольшееиз значений параметра, для которого существуют числа х и у, удовлетворяющиеуравнению
Ответ:
3. При каких значенияхпараметра а сумма квадратов корней уравнения
4x2-28x + a= 0 равна 22,5?
Ответ: таких а несуществует.
4. Найти все значенияпараметра а, для которых уравнение
x2-2(a — 1)x+ (2a + 1) = 0 имеет дваположительных корня.
Ответ: a∈[4;+∞).
5. Найти все а, прикоторых оба корня уравнения (2a+ 3)x2+(a + 1)x+ 4 = 0 заключены между -2 и 0.
Ответ:
6. При какихположительных значениях параметра а можно сократить дробь ?
Ответ: а = 4.
7. Решить уравнение:
(а — 1)x2+ 2(2a + 1)x+ 4a + 3 = 0.
Ответ: если а
если а = 1, то х =-7/6,
если а ≥ -4/5, а ≠1, то
8. Решить уравнение
Ответ: если а = -1/3,то х = -2/3,
если а = 3/2, то х =-5/2,
если а = -4, то х = -8,
если а ≠ -1/3,3/2, -4, то х1 = 2а, х2= -а-1.
9. Решить уравнение:
Ответ: если a= 3, то х = -3,
если а = -3, то х =3,
если а ≠ ±3, то х1= 3, х2 = -3.
10. Решить уравнение:
Ответ: если а = 1, а =3,5, а = -1,5 то нет решений,
если а ≠1, а ≠3,5, а ≠ -1,5, то х =5/(а-1).
Квадратныенеравенства
1.При каких значениях параметра а неравенство имеет решения?
Ответ:а
2.При каких значениях а все пары чисел (х; у) удовлетворяющие неравенству,одновременно удовлетворяют и неравенству
Ответ: a= 0.
3. Для всех а ≥ 0решить неравенство
Ответ: при а = 0, х ≤3,
при 0
при а ≥ 1/12, х ∈R.
4* При каких значенияхпараметра а множества решений неравенства
x2+ ax — 1
Ответ:
Графикквадратного трехчлена
1. Какие знаки имеютпараметры a, b,и с, если известно, что график функции
y= ax2 +bx + cпроходит через точки (-4; 0), (0; -2), (-3; -2)?
Ответ: a> 0, b > 0, c
2. При каких значенияхпараметра а корни уравнения
(a- 2)x2 — 2ax + a+ 3 = 0 положительны?
Ответ: a
3. При каких значенияхпараметра а корни уравнения
(a- 2)x2 — 2ax + a + 3 = 0 меньше 3?
Ответ: a
4*. При каких значенияхпараметра а корни уравнения
(a- 2)x2 — 2ax + a+ 3 = 0 заключены в интервале (1; 3)?
Ответ: а = 2, 15/4
Иррацирнальныеуравнения
1. Решить уравнение
Ответ: х = а.
2*. Определить числокорней уравнения
Ответ: если ≥ 4,то уравнение имеет единственный корень,
если
3. Решить уравнение
Ответ: если а
если а ≥, то х= а.
4. При каких значенияхпараметра а уравнение имеет один корень?
Ответ: а
Рациональныенеравенства
1. При каких значенияхпараметра а неравенство x2 — 2ах + 9 > 0 выполняется при всех х?
Ответ: -3
2. При каких значенияхпараметра а неравенство
ax2+ 2(a + 1)x+ 2a + 2 ≤ 0 выполняется при всехх?
Ответ: а ≤ -1.
3. При каких значенияхпараметра а неравентсво (x- a)(x- 2) ≤ 0 имеет единственное решение?
Ответ: а = 2.
4*. при каких значенияхпараметра а неравенство (x3 — 8)(a — x)≥ 0 выполняется при всех х?
Ответ: а =2.
5*. При каких значенияхпараметра а в множестве решений неравенства
(1 — х)(х — а) ≥0 содержится пять целых чисел?
Ответ: -4
Заключение
Вданной дипломной работе была реализована намеченная цель — разработать версиюобучения учащихся решению задач с параметрами в средней школе.
Принаписании работы были решены поставленные задачи: изучить психолого — педагогические особенности учащихся, обосновывающие целесообразность обученияумению решать задачи с параметрами, проанализировать подходящее для этогоучебное пособие по математике и программу по математике с точки зренияинтересующего вопроса, составить версию обучения учащихся решению уравнений инеравенств с параметрами с подборкой основных заданий разного уровня, а такжепродемонстрировать важность обучения учащихся таким задачам.
Анализпсихолого — педагогической литературы выявил особенности развития высшихпсихических функций учащихся среднего школьного возраста.
Былоустановлено, что задачи с параметрами обладают большим потенциалом в развитииинтеллектуальных качеств личности, так как развивают исследовательскиеспособности, учат творчески мыслить, помогают сформировать и развить творческоемышление. Понимая, какое важное значение задачи с параметрами играют в развитииучащихся, и учитывая потенциальные возможности учеников среднего школьноговозраста, был сделан вывод, что задачи с параметрами должны включаться вшкольный курс математики, начиная с 7 класса. Конечно, уровень сложностипредполагаемых заданий должен определяться уровнем подготовки всего класса в целоми каждого ученика в отдельности.
Анализучебной литературы выявил существенные недостатки в обучении решению задач спараметрами: в общеобразовательных классах данной теме, как правило, уделяетсяочень мало внимания, изучение очень поверхностное; в математических классахпредполагается более глубокое изучение темы, но отсутствуют точные определениярассматриваемых объектов.
Вработе выделены задания для проведения отдельных дополнительных занятий, дляотстающих и для сильных учеников.
Основнойвывод работы — задачи с параметрами должны составлять самостоятельную линиюшкольного курса математики.
Библиография
Алгебра 7 кл.[Текст] / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, и др.- М.:Просвещение, Московские учебники, 2000.
Алгебра 8 кл.[Текст] / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, и др.- М.:Просвещение, Московские учебники, 2001.
Алгебра 9 кл.[Текст] / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, и др.- М.:Просвещение, Московские учебники, 2002.
Алгебра 7 кл.[Текст]: Учебник / под ред. С.А. Теляковского.- М.: Просвещение, 2003.
Алгебра 8 кл.[Текст]: Учебник / под ред. С.А. Теляковского.-М.: Просвещение, 2003.
Алгебра 9 кл.[Текст]: Учебник / под ред. С.А. Теляковского.- М.: Просвещение, 2003.
Алимов, Ш.А.,Алгебра 8 [Текст] / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров.- М.: Просвещение,2000.
Алимов, Ш.А.Алгебра 9 [Текст] / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров.- М.:Просвещение, 2000.
Амелькин, В.В.Задачник с параметрами [Текст] / В.В. Амелькин, В.А. Рябцевич.- Минск.:Асар, 2002.
Виленкин, Н.Я. Алгебрадля 9 класса [Текст]: Учебное пособие для учащихся шк. и кл. с углуб.изучением математики / Н.Я. Виленкин.- М.: Просвещение, 1996.
Галицкий, М.Л.Сборник задач по алгебре для 8-9 классов [Текст]
/ М.Л. Гаицкий, А.М.Гольдман, Л.И. Звавич.- М.: Просвещение, 1997.
Горнштейн, П.И.Задачи с параметрами [Текст] / П.И. Горнштейн.- 3-е изд. М.; Харьков: Илекса,Гимназия, 1998.
Дорофеев, Г.В.Математика для каждого [Текст] / Г.В. Дорофеев.- М.:Аякс, 1999.
Кононов, А.Я.Задачи по алгебре [Текст] / А.Я. Кононов.- М.:Просвещение, 1996.
Крутецкий, В.А.Психология математических способностей школьников [Текст] / В.А. Крутецкий.- М.:Просвещение., 1998.
Марциковская,Д.И.Психология развития [Текст] / Д.И. Марциковская.- М.:Академия, 2001.
Мирошин, В.В.Решение задач с параметрами [Текст]: Теория и практика / В.В. Мирошин.- М.:Экзамен, 2009.
Мордкович, А.Г.Алгебра. 7 кл [Текст]: Учебник / А.Г. Мордкович.- М.:Мнемозина, 2001.
Мордкович, А.Г.Алгебра. 8 кл [Текст]: Учебник / А.Г. Мордкович.- М.:Мнемозина, 2001.
Мордкович, А.Г.Алгебра. 8 кл [Текст]: Учебник / А.Г. Мордкович.- М.:Мнемозина, 2001.
Мордкович, А.Г.Алгебра. 8 кл [Текст]: Учебник для кл. с углубл. изуч. математики / А.Г.Мордкович.- М.: Мнемозина, 2001.
Мордкович, А.Г.Алгебра. 7 кл [Текст]: Задачник / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е.Тульчинская.- М.: Мнемозина, 2000.
Мордкович, А.Г.Алгебра. 8 кл [Текст]: Задачник / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е.Тульчинская.- М.: Мнемозина, 2001.
Мордкович, А.Г.Алгебра. 9 кл [Текст]: Задачник / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е.Тульчинская.- М.: Мнемозина, 2001.
Мордкович, А.Г.Беседы с учителем математики [Текст] / А.Г. Мордкович.- М.:Школа — Пресс, 1995.
Муравин,К.С. Алгебра 7 [Текст] / К.С. Муравин, Г.К.Муравин, Г.В. Дорофеев.- М.: Дрофа, 2000.
Муравин,К.С. Алгебра 8 [Текст] / К.С. Муравин, Г.К.Муравин, Г.В. Дорофеев.- М.: Дрофа, 2000.
Мухина, В.С.Возрастная психология [Текст] / В.С. Мухина.- М.:Академия, 1997.
Немов, Р.С.Психология [Текст]: В 3 кн. Кн. 2: Психология образования / Р.С Немов.- М.:Владос, 1998.
Петровский, А.В.Психология [Текст] / А.В. Петровский.- М.:Академия, 1998.
Рубинштейн, С.А.Основы общей психологии [Текст] / С.А. Рубинштейн.- СПб.:Питер, 2000.
Фельдштейн, Д.И.Психология взросления [Текст] / Д.И. Фельдштейн.- М.:Моск. псих.-соц. ин-т, 1999.
Фридман, Л.М.Психологический справочник учителя [Текст] / Л.М. Фридман.- М.:Просвещение, 1991.
Шестаков, С.А.Уравнения с параметрами [Текст] / С.А. Шестаков, Е.В. Юрченко.- М.:Слог, 1993.
Ястребинецкий, Г.А.Уравнения с параметрами [Текст] / Г.А. Ястребинецкий.- М.: Просвещение, 1986.