ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙУНИВЕРСИТЕТ
Математический факультет
Кафедра математического анализа иметодики преподавания математики
Курсовая работа
Методика решения иррациональныхуравнений и неравенств в школьном курсе математики
Выполниластудентка IV курса
математическогофакультета группы М-41
БузмаковаИ.С.
Научныйруководитель Старостина О.В.
Киров 2006
Содержание
Наиболее важные примыпреобразования уравнений
Методика решения иррациональныхуравнений
Тождественные преобразования прирешении иррациональных уравнений
Применение общих методов длярешения иррациональных уравнений
Методика решения иррациональныхнеравенств
Заключение
Список библиографии
Введение
Материал,связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную частьшкольного курса математики.
В школеиррациональным уравнениям и неравенствам уделяется достаточно мало внимания.
Однакозадачи по теме «Иррациональные уравнения и неравенства» встречаютсяна вступительных экзаменах, и они довольно часто становятся «камнемпреткновения».
Так какпри решении иррациональных уравнений и неравенств в школе применяютсятождественные преобразования, то чаще всего возникают ошибки, которые обычносвязаны с потерей или приобретением посторонних корней в процессе решения. Поэтомунеобходимо рассмотреть такие ситуации, показать, как их распознавать и как сними можно бороться.
Цельданной курсовой работы: разработать методику обучения решению иррациональныхуравнений и неравенств в школе, а также выявить возможности использования общихметодов решения уравнений при решении иррациональных уравнений и неравенств.
Длядостижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
Проанализироватьдействующие учебники алгебры и начала математического анализа для выявленияпредставленной в них методики решения иррациональных уравнений и неравенств;
Изучитьстандарты образования по данной теме;
Изучитьстатьи и учебно-методическую литературу по данной теме;
Подобратьтеоретический материал, связанный с равносильностью уравнений и неравенств,равносильностью преобразований, методами решения иррациональных уравнений инеравенств;
Показать,как общие методы решения уравнений применимы для решения иррациональныхуравнений и неравенств;
Подобратьпримеры решения иррациональных уравнений и неравенств для демонстрации излагаемойтеории.
Гипотезаисследования: применение разработанной методики решения иррациональныхуравнений и неравенств позволит учащимся решать иррациональные уравнения инеравенства на сознательной основе, выбирать наиболее рациональный метод,применять разные методы решения, в том числе те, которые не рассмотрены вшкольных учебниках.
Анализ школьных учебников по алгебреи началам анализа
Приизучении любой новой темы в основном курсе школы встает проблема изложенияданной темы в школьных учебниках. Поэтому сначала проанализируем действующиеучебники по алгебре и началам математического анализа для 10-11 классов, чтобывыяснить, как в них представлены методы решения иррациональных уравнений и неравенств.
"Алгебраи начала анализа, 10-11", авт.А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницини др. [13].
Материалпо данной теме изложен в IV главе «Показательная илогарифмическая функции», как пункт «Иррациональные уравнения» параграфа«Обобщение понятия степени». Автор рекомендует рассматривать решениеиррациональных уравнений в теме «Уравнения, неравенства, системы», гдесистематизируются сведения об уравнениях.
В пункте«Иррациональные уравнения» дается понятие иррационального уравнения,приводится несколько примеров простейших иррациональных уравнений вида /> />, которые решаются спомощью возведения обеих частей уравнения в квадрат. Найденные корнипроверяются подстановкой в исходное уравнение, при этом обращено внимание на теслучаи, когда могут появиться посторонние корни. Показано, что кроме возведенияв квадрат иррациональные уравнения удобно решать, используя равносильныйпереход от уравнения к системе, состоящей из уравнения и неравенства. Рассмотренпример иррационального уравнения, содержащего корень третьей степени. Для тогочтобы «избавиться от радикала», обе части такого уравнения возводятсяв куб.
Послепункта приведены упражнения для закрепления умений решать иррациональныеуравнения. В №№417-420 предложены простейшие уравнения, решить которые можно спомощью возведения обеих частей уравнения либо в квадрат, либо в куб, а такжеиспользуя равносильные переходы. Такие задачи, по мнению авторов учебниканеобходимо уметь решать для получения удовлетворительной оценки. Задачи же в№№422-425 чуть сложнее. Здесь уже уравнения содержат корни выше третьей степени.
Иррациональнымнеравенствам в данном пункте внимания не уделено.
Взаключительной главе учебника «Задачи на повторение» помещеныпрактические упражнения для повторения курса. Здесь в параграфе «Уравнения,неравенства, системы уравнений и неравенств» иррациональным уравнениям инеравенствам посвящен пункт «Иррациональные уравнения и неравенства».
"Алгебраи начала анализа, 10-11", авт. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров идр. [1].
В данномучебнике нет материала, посвященного иррациональным уравнениям и неравенствам. Лишьв конце ученика помещены упражнения для итогового повторения курса алгебры. Здесьесть только один номер для решения простейших иррациональных уравнений (№801). Упражненийдля решения иррациональных неравенств нет.
Это можнообъяснить тем, что, по мнению автора, умение решать иррациональные неравенстване является обязательным для учащихся и соответствующая тема может бытьпредложена для изучения самостоятельно или на факультативных занятиях. [14] Поэтомув учебнике предложены задачи для внеклассной работы, где встречаютсяиррациональные уравнения (№№934, 947) и неравенства (№942).
"Алгебраи начала анализа, 10-11", авт.М.И. Башмаков [2].
В данномучебном пособии иррациональные уравнения и неравенства рассматриваются взаключительной VI главе «Уравнения и неравенства».Глава предназначена для систематизации и обобщения сведений об уравнениях,неравенствах и системах уравнений. В начале главы помещена вводная беседа,которая состоит из трех пунктов.
В пункте«Уравнение» вводятся такие понятия как уравнение, неизвестные, кореньуравнения, подробно рассказывается, что значит решить уравнение с одним илидвумя неизвестными, что означает найти корни уравнения, приведены некоторыерекомендации о форме записи ответа при решении уравнений с одним или двумянеизвестными.
В пункте«Равносильность» выясняется, когда одно уравнение является следствиемдругого, вводится понятие равносильных уравнений. Автор подробноостанавливается на некоторых полезных преобразованиях уравнений:
Тождественноепреобразование одной из частей уравнения и перенос членов из одной частиуравнения в другую с противоположным знаком.
Переход ксовокупности уравнений.
Переход ксистеме уравнений.
Всеравносильные переходы представлены в виде схем и рассмотрены на примерах.
В следующемпункте «Неравенство» приведены примеры верных и неверных числовыхнеравенств, основные правила преобразования неравенств, при этом используютсязнаки следствия и равносильности. Вводятся такие понятия как ОДЗ неравенства,решение неравенства, равносильные неравенства, выясняется, когда однонеравенство является следствием другого.
§1 «Уравненияс одним неизвестным» состоит из трех пунктов: «Общие приемы»,«Примеры решения уравнений» и «Приближенные методы вычислениякорней». В первом пункте перечислены стандартные уравнения, которые былиизучены ранее. Основным шагом в решении уравнения является преобразованиеуравнения к одному из стандартных. Приведены некоторые наиболее употребительныеприемы, общие для всех типов уравнений:
Разложениена множители.
Введениенового неизвестного.
Графическийметод.
Во второмпункте на ряду со стандартными уравнениями рассматривается решения одногопростейшего иррационального уравнения с помощью равносильного перехода ксистеме.
В третьемпункте кратко рассказывается о таких методах приближенного вычисления корнейкак метод половинного деления, метод хорд и касательных.
§ 2«Неравенства с одним неизвестным» состоит из двух пунктов: «Общиеприемы» и «Примеры решения неравенств». В первом пунктедемонстрируется два приема решения неравенств: разложение на множители и методзамены неизвестного.
Во второмпункте на примерах показана техника решения неравенств с помощью переходов,сохраняющих равносильность. На ряду со стандартными неравенствамирассматривается решение одного простейшего иррационального неравенства.
Главазаканчивается заданиями. К заголовку «Иррациональные уравнения» относится№17, к заголовку «Иррациональные неравенства» — №21, в котором естьзадание со звездочкой, то есть относящееся к разделу «трудные задачи».
Иррациональнымуравнениям и неравенствам в главе уделено мало внимания: решение одногопростейшего иррационального уравнения и одного неравенства.
Цельданной главы — обобщить имеющиеся у учащихся знаний об уравнениях, неравенствахи системах уравнений, поэтому здесь подробно не рассматриваются конкретные видыуравнений, а лишь повторяются сведения об изученных видах уравнений и методахих решения. [14]
"Алгебраи начала анализа, 10-11", авт.А.Г. Мордкович [10], [11].
Данноеучебное пособие состоит из двух частей: учебника и задачника.
В первойчасти данного учебного пособия материал, касающийся иррациональных уравнений инеравенств, изучается в последней VIII главе «Уравненияи неравенства. Системы уравнений и неравенств», завершающей изучениешкольного курса алгебры и начал математического анализа. Здесь уравнения инеравенства рассматриваются с самых общих позиций. Это, с одной стороны,своеобразное подведение итогов и, с другой стороны, некоторое расширение иуглубление знаний.
В первыхтрех параграфах этой главы подведены итоги изучения в школе уравнений,неравенств. Использованы следующие термины:
равносильностьуравнений, равносильность неравенств;
следствиеуравнения, следствие неравенства;
равносильноепреобразование уравнения, неравенства;
посторонниекорни (для уравнений);
проверкакорней (для уравнений).
Сформулированытеоремы:
оравносильности уравнений;
оравносильности неравенств.
Даныответы на четыре главных вопроса, связанных с решением уравнений:
какузнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильнымпреобразованием;
какиепреобразования переводят данное уравнение в уравнение-следствие;
каксделать проверку, если она сопряжена со значительными трудностями в вычислениях;
в какихслучаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потерякорней и как этого не допустить?
Перечисленывозможные причины расширения области определенияуравнения, одна изкоторых — освобождение в процессе решения уравнения от знаков корней четнойстепени; указаны причины, по которым может произойти потеря корней при решенииуравнений.
Выделены четыреобщих метода решения уравнений:
заменауравнения h (f (x)) =h (g (x)) уравнениемf (x) =g (x);
методразложения на множители;
методвведения новых переменных;
функционально-графическийметод.
Чтокасается иррациональных уравнений, то им в данном учебном пособии уделенодостаточно большое внимание.
Напримере иррационального уравнения показано как в три этапа осуществляетсярешение любого уравнения:
Первыйэтап— технический;
Второйэтап — анализ решения;
Третийэтап — проверка.
Также напримере иррационального уравнения показано, как сделать проверку, если проверкакорней с помощью их подстановки в исходное уравнение сопряжена со значительнымивычислительными трудностями.
Методзамены уравнения h (f (x)) =h (g (x))уравнением f (x) =g (x) применятся при решениииррациональных уравнений для перехода от уравнения /> куравнению />.
Методвведения новой переменной также разобран и на примере решения иррациональногоуравнения.
Отдельныйпункт посвящен иррациональным неравенствам. Здесь с теоретическим обоснованиемрассматривается решение неравенств вида />,/>. В первом случаеиррациональное неравенство заменяется равносильной системой неравенств /> во втором — равносильнойсовокупностью систем неравенств /> />
Системазадач изложена в той же последовательности, что и соответствующий материал в I части. В § 55 «Равносильность уравнений» изложеныразличные типы заданий на равносильность и следствие уравнений, в том числе ииррациональных. В § 56 «Общие методы решения уравнений» помещенызадания для использования четырех методов, изложенных в Iчасти данного учебного пособия, для решения уравнений. Все задачи всоответствии с ними разбиты на четыре блока, в каждом из которых встречаютсяиррациональные уравнения. В § 57 «Решение неравенств с одной переменной»изложены различные типы заданий на равносильность и следствие неравенств, в томчисле и иррациональных.
В № 1673нужно решить простейшие иррациональные уравнения. №№1674, 1675, 1712-1719 — упражнения выше среднего уровня для решения иррациональных уравнений, №№1790,1791 — неравенств. № 1792 — упражнение повышенной трудности для решенияиррациональных неравенств.
Многозаданий, в которых требуется решить «смешанное» уравнение илинеравенство, то есть логарифмическое, показательное или тригонометрическоеуравнение или неравенство, в которое входят и иррациональные выражения. Средиэтих заданий есть задания как базового, так и повышенного уровня.
В I части учебника много внимание уделено равносильностиуравнений и неравенств, достаточно строго рассмотрены общие методы решенияуравнений, с оговоркой о потере корней и приобретении посторонних. II часть учебника отличается обилием и разнообразием задач. Достаточномного задач на равносильность и следствие уравнений и неравенств.
"Сборникзадач по алгебре, 8-9", авт. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич[5]
Даннаякнига представляет собой сборник задач по курсу алгебры, предназначенный дляучащихся 8-9 классов с углубленным изучением математики.
В началепараграфа «Степень с рациональным показателем» помещен справочныйматериал теоретического характера, посвященный иррациональным уравнениям инеравенствам. Описаны такие пути решения иррациональных уравнений, как:
возведениеобеих частей уравнения в натуральную степень с последующей проверкой найденныхкорней;
переход кравносильным системам, в которых учитывается область определения уравнения итребование неотрицательности обеих частей уравнения, возводимых в четнуюстепень.
Прирешении иррациональных неравенств либо используется метод интервалов, либо спомощью равносильных преобразований заменяется данное иррациональноенеравенство системой (или совокупностью систем) рациональных неравенств.
Впараграфе рассмотрено три способа решения иррационального уравнения вида />:
переход кравносильной системе;
введениеновой переменной;
использованиесвойства монотонности функций.
Средиупражнений, помещенных в данном параграфе, есть упражнения для закрепленияумений и навыков решать иррациональные уравнения и неравенства. В №№115-117необходимо доказать, что уравнение не имеет решения, в №№118-119 — ответить навопрос: равносильны ли уравнения. №№120-144 предлагаются для решенияиррациональных уравнений, №№145-155 — для решения неравенств описанными выше способами.
"Алгебраи математический анализ, 11", авт.Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И.Шварцбурд [4].
Данноеучебное пособие представляет собой продолжение книги «Алгебра и началаанализа» для 10 класса и предназначено как для общеобразовательной школы,так и классов и школ с углубленным изучением курса математики.
Иррациональныеуравнения и неравенства изучаются в параграфе «Степенная функция. Иррациональныевыражения, уравнения и неравенства» VIII главы«Показательная, логарифмическая и степенные функции».
Пункт«Иррациональные уравнения» начинается с определения иррациональногоуравнения и примеров таких уравнений. Далее сформулирована и доказана теорема оравносильных уравнениях, на которой основано решение иррациональных уравнений. Изтеоремы следует, что если в ходе решения иррационального уравнения приходилосьвозводить обе его части в степень с четным показателем, то могут появитьсяпосторонние корни. Поэтому, чтобы не было необходимости подставлять найденныекорни в данное уравнение, сформулировано еще два утверждения о равносильномпереходе от уравнений вида /> и /> к системам, состоящим изуравнения и неравенства. Далее на примерах решения иррациональных уравненийдемонстрируются данные равносильные переходы. Также автор рекомендует передвозведением обеих частей уравнения в некоторую степень «уединить радикал»,то есть представить уравнение в виде />. Далееданный метод применяется для решения иррациональных уравнений
Последанного пункта помещены упражнения для закрепления умений решать иррациональныеуравнения описанными выше методами — №216. В №215 необходимо доказать, чтоданные иррациональные уравнения не имеют решений.
Вследующем пункте «Иррациональные неравенства» сформулированы приемырешения иррациональных неравенств вида /> и/> с помощью равносильногоперехода к системе неравенств в первом случае и совокупности систем неравенств — во втором. Рассматривается решение иррационального неравенства вида /> с помощью равносильногоперехода к неравенству />. Решениекаждого из видов неравенств демонстрируется на примерах.
Последанного пункта помещены упражнения для закрепления умения решать иррациональныенеравенства с помощью равносильных переходов, описанных выше — №217.
Всеутверждения, сформулированные в данном учебном пособии, изложены со строгимобоснованием. Описан полезный метод при решении иррациональных уравнений — метод «уединения радикала». Не смотря на то, что учебник неотличается обилием упражнений, предлагаемые задания разнообразны, различнойстепени сложности
Проведенныйанализ позволяет сделать следующие выводы:
Вучебнике [1] материала по методам решения иррациональных уравнений нет. Вучебниках [13] и [4] материал по теории методов решения скудный, но довольнострогий. В большом объеме теория по общим методам решения рассмотрена учебниках[2] и [10].
В каждомучебнике рассмотрены два основных способа решения: возведение обеих частейуравнения в степень, с последующей подстановкой полученных корней в исходноеуравнение, а также решение уравнений с помощью равносильных переходов ксистеме, состоящей из уравнения и неравенства. В учебниках [2] и [10] рассмотренытакие общие методы решения уравнений как метод разложения на множители, методвведения новых переменных, функционально-графический метод
Вучебниках [1] и [13] не рассмотрено решение иррациональных неравенств. Вучебнике [2] материал по решению иррациональных неравенств скудный, изложениене достаточно строгое. В учебниках [4] и [10] теория по способам решенияиррациональных неравенств вида />, /> рассмотрена подробно,изложение теории строгое. Только в учебнике Виленкина рассматривается решениеиррационального неравенства вида />.
Наиболеебольшой объем упражнений для решения иррациональных уравнений и неравенствпредставлен в учебниках [11] и [5]. В учебнике [4] упражнений не много, но ониразнообразны.
Основные понятия, относящиеся к уравнениям
Равенствовида
/>, (1)
где /> и /> - некоторые функции,называют уравнением с одним неизвестным x(с одной переменной x). Это равенство можетоказаться верным при одних значениях x иневерным при других значениях x.
Число a называется корнем (или решением) уравнения(1), если обе части уравнения (1) определены при /> иравенство /> является верным. Следовательно,каждый корень уравнения (1) принадлежит множеству, которое являетсяпересечением (общей частью) областей определения функций /> и /> и называется областьюдопустимых значений (ОДЗ) уравнения (1).
Решитьуравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Если вусловиях задачи не указано, на каком множестве нужно решить уравнение, торешение следует искать на ОДЗ этого уравнения.
Впроцессе решения часто приходится преобразовывать уравнение, заменяя его болеепростым (с точки зрения нахождения корней).
Есть одноправило, которое не следует забывать при преобразовании уравнений: нельзявыполнять преобразования, которые могут привести к потере корней.
Назовемпреобразование уравнения (1) допустимым, если при этом преобразовании непроисходит потери корней, то есть получается уравнение
/>, (2)
котороелибо имеет те же корни, что и уравнение (1), либо, кроме всех корней уравнения(1), имеет хотя бы один корень, не являющийся корнем уравнения (1), постороннийдля уравнения (1) корень. В связи с этим используют следующие понятия.
Уравнение(2) называется следствием уравнения (1), если каждый корень уравнения (1)является корнем уравнения (2).
Уравнения(1) и (2) называются равносильными (эквивалентными), если каждое из этихуравнений является следствием другого. Иными словами, уравнения (1) и (2) равносильны,если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2) и наоборот,каждый корень уравнения (2) является корнем уравнения (1). Уравнения, неимеющие корней, считаются равносильными.
Еслиуравнения (1) и (2) равносильны, то пишут />/>/> или(1) /> (2), а если уравнение (2) являетсяследствием уравнения (1), то пишут />/>/> или(1) /> (2).
Отметим,что если исходное уравнение с помощью допустимых преобразований замененодругим, причем в процессе преобразования хотя бы один раз уравнение заменялосьнеравносильным ему следствием, то проверка найденных корней путем подстановки висходное уравнение является обязательной.
Если жепри каждом преобразовании уравнение заменялось равносильным, то проверка ненужна (не следует путать проверку с контролем вычислений).
Рассмотримеще одно понятие, связанное с решением уравнений. Будем говорить, что уравнение(1) равносильно совокупности уравнений />,(3) если выполнены следующие условия: каждый корень уравнения (1) являетсякорнем, по крайней мере, одного из уравнений (3); любой корень каждого изуравнений (3) является корнем уравнении я (1).
Еслиуказанные условия выполнены, то множество корней уравнения (1) являетсяобъединением множеств корней уравнений (3).
Еслиуравнение записано в виде
/>, (4)
то каждоерешение этого уравнения является решением, по крайней мере, одного из уравнений
/> (5)
Однаконельзя утверждать, что любой корень каждого из уравнений (5) есть кореньуравнения (4).
Например,если />, то /> - корень уравнения />, но число 3 не являетсякорнем уравнения (4), так как функция /> неопределена при />.
Такимобразом, в общем случае нельзя утверждать, что уравнение (4) равносильносовокупности уравнений (5).
Чтобырешить уравнение (4), достаточно найти корни уравнений /> и />, а затем отбросить те,которые не входят в ОДЗ уравнения (4), то есть не принадлежат множеству, накотором определены функции /> и />.
В ОДЗуравнения (4) это уравнение равносильно совокупности уравнений (5).
Справедливоболее общее утверждение: если функция /> определенапри всех x таких, что />, а функция /> определена при всех x таких, что />, то уравнение (4) равносильносовокупности уравнений (5). [18]
Наиболее важные приемы преобразования уравнений
Всепреобразования уравнений можно разделить на два типа:
равносильные,то есть преобразования, после применения любых из которых получится уравнение,равносильное исходному.
Неравносильные,то есть преобразования, после применения которых может произойти потеря илиприобретение посторонних корней. [15]
Рассмотримнекоторые преобразования уравнений и выясним, к каким типам они относятся.
Переносчленов уравнения из одной части в другую, то есть переход от уравнения
/> (1)
куравнению
/>. (2)
Указанноепреобразование приводит к равносильному уравнению, то есть (1) /> (2).
Вчастности, />.
Заметим,что здесь речь идет только о переносе членов уравнения из одной его части вдругую без последующего приведения подобных членов (если таковые имеются). [18]
Приведениеподобных членов, то есть переход от уравнения
/> (3)
куравнению
/>. (4)
Справедливоследующее утверждение: для любых функций />,/>, /> уравнение (4) являетсяследствием уравнения (3), то есть (3) /> (4).
Переходот уравнения (3) к уравнению (4) является допустимым преобразованием, прикотором потеря корней не возможна, но могут появиться посторонние корни.
Такимобразом, при приведении подобных членов, а также при отбрасывании одинаковыхслагаемых в левой и правой частях уравнения получается уравнение, являющеесяследствием исходного уравнения. [18]
Например,если в уравнении
/>
вычеркнутьв левой и правой его частях слагаемое />,то получится уравнение
/>,
являющеесяследствием исходного: второе уравнение имеет корни />,/>, а первое — единственныйкорень />.
Отметимеще, что если ОДЗ уравнения (4) содержится в области определения функции />, то уравнения (3) и (4) равносильны.
Умножениеобеих частей уравнения на одну и ту же функцию, то есть переход отуравнения (4) к уравнению
/>. (5)
Справедливыследующие утверждения:
если ОДЗуравнения (4), то есть пересечение областей определения функций /> и />, содержится в областиопределения функции />, то уравнение (5)является следствием уравнения (4);
еслифункция /> определена и отлична отнуля в ОДЗ уравнения (4), то уравнения (4) и (5) равносильны. [18]
Заметим,что в общем случае переход от уравнения (5) к уравнению (4) недопустим: этоможет привести к потере корней.
Прирешении уравнений вида (5) обычно заменяют его равносильным уравнением
/>,
затемнаходят все корни уравнений
/> и />
и,наконец, проверяют, какие из этих корней удовлетворяют уравнению (5).]
Возведениеобеих частей уравнения в натуральную степень, то есть переход от уравнения
/> (6)
куравнению
/>. (7)
Справедливыследующие утверждения:
при любом/> уравнение (7) являетсяследствием уравнения (6);
если /> (n — нечетное число), то уравнения (6) и (7) равносильны;
если /> (n — четное число), то уравнение (7) равносильно уравнению
/>, (8)
ауравнение (8) равносильно совокупности уравнений
/>. (9)
Вчастности, уравнение
/> (10)
равносильносовокупности уравнений (9). [18]
Следовательно,исходя из утверждений 1 и 2, возведение обеих частей уравнения в нечетнуюстепень и извлечение из обеих частей уравнения корня нечетной степени являетсяравносильным преобразованием.
Исходя изутверждения 1 и 3, возведение обеих частей уравнения в четную степень иизвлечение из обеих частей уравнения корня четной степени являетсянеравносильным преобразованием, при этом получается уравнение, являющеесяследствием исходного.
Применениеформулы /> при /> является равносильнымпреобразованием, при /> - неравносильным.[15], [18]
Преобразованияуравнений, рассмотренные в пунктах 3, 4 и 5 будут продемонстрированы напримерах ниже.Методика решения иррациональных уравнений
В работебудем придерживаться следующего определения иррационального уравнения:
Иррациональнымуравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.
Преждечем приступить к решению сложных уравнений учащиеся должны научиться решатьпростейшие иррациональные уравнения. К простейшим иррациональным уравнениямотносятся уравнения вида:
/>
Основнаяидея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональномуалгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональномууравнению, либо является его следствием.
Главныйспособ избавиться от корня и получить рациональное уравнение — возведение обеихчастей уравнения в одну и ту же степень, которую имеет корень, содержащийнеизвестное, и последующее «освобождение» от радикалов по формуле />. [6]
Если обечасти иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень иосвободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному. [6]
Привозведении уравнения в четную степень получается уравнение, являющеесяследствием исходного. Поэтому возможно появление посторонних решений уравнения,но не возможна потеря корней. Причина приобретения корней состоит в том, чтопри возведении в четную степень чисел, равных по абсолютной величине, но разныхпо знаку, получается один и тот же результат.
Так какмогут появиться посторонние корни, то необходимо делать проверку, подставляянайденные значения неизвестной только в первоначальное уравнение, а не вкакие-то промежуточные.
Рассмотримприменение данного метода решения иррациональных уравнений. [7]
Пример1. Решите уравнение />.
Решение.Возведем обе части этого уравнения в квадрат /> иполучим /> /> /> />/>, откуда следует, что /> или />.
Проверка./>: />/>.Это неверное числовое равенство, значит, число /> неявляется корнем данного уравнения.
/>: />. Это верное числовоеравенство, значит, число /> являетсякорнем данного уравнения.
Ответ./>.
Проверка,осуществляемая подстановкой найденного решения в исходное уравнение, может бытьлегко реализована, если проверяемые корни — «хорошие» числа, а для«громоздких» корней проверка может быть сопряжена со значительнымивычислительными трудностями. Поэтому каждый образованный школьник должен уметьрешать иррациональные уравнения с помощью равносильных преобразований, так как,выполняя равносильные преобразования, можно не опасаться ни потери корней, ниприобретения посторонних решений. [17] Аккуратное возведение в четную степеньуравнения вида /> состоит впереходе к равносильной ему системе
/>
Неравенство/> в этой системе выражаетусловие, при котором уравнение можно возводить в четную степень, отсекаетпосторонние решения и позволяет обходиться без проверки. [17]
Школьникидовольно часто добавляют к этой системе неравенство />.Однако этого делать не нужно и даже опасно, поскольку условие /> автоматически выполняетсядля корней уравнения />, в правой частикоторого стоит неотрицательное выражение. [9]
Пример2. Решить уравнение />.
Решение.Это уравнение равносильно системе
/>
Решаяпервое уравнение этой системы, равносильное уравнению />, получим корни /> и />.
Второйкорень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, являетсяпосторонним корнем исходного уравнения.
Ответ./>.
Прирешении иррациональных уравнений полезно перед возведением обеих частейуравнения в некоторую степень «уединить радикал», то есть представитьуравнение в виде />.
Тогдапосле возведения обеих частей уравнения в n-уюстепень радикал справа исчезнет. [4]
Пример3. Решить уравнение />
Решение.Метод уединения радикала приводит к уравнению />.Это уравнение равносильно системе
/>
Решаяпервое уравнение этой системы, получим корни /> и/>, но условие /> выполняется только для />.
Ответ. />.
Полезнозапомнить схему решения еще одного вида иррациональных уравнений />. Такое уравнениеравносильно каждой из двух систем
/>
/>
Посколькупосле возведения в четную степень получаем уравнение-следствие />. Мы должны, решив его,выяснить, принадлежат ли найденные корни области определения исходногоуравнения, то есть выполняется ли неравенство /> (или/>). На практике из этихсистем выбирают для решения ту, в которой неравенство проще. [9]
Пример4. Решить уравнение
/>.
Решение.Это уравнение равносильно системе
/>
Решаяпервое уравнение этой системы, равносильное уравнению />, получим корни /> и />.
Однакопри этих значениях x невыполняется неравенство />, ипотому данное уравнение не имеет корней.
Ответ.Корней нет.
Теперьможно перейти к решению иррациональных уравнений, не относящихся к простейшим.
Пример5. Решить уравнение />.
Решение.Возведем обе части уравнения в квадрат и произведем приведение подобных членов,перенос слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на/>.
Врезультате получим уравнение
/>, (1)
являющеесяследствием исходного.
Сновавозведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение
/>,
котороеприводится к виду
/>.
Этоуравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни />, />. Оба корня, как показываетпроверка, удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ./>, />.Тождественные преобразования при решениииррациональных уравнений
Прирешении иррациональных уравнений и неравенств часто приходится применятьтождественные преобразования, связанные с использованием известных формул. Ксожалению, эти действия иногда столь же небезопасны, как уже рассмотренноевозведение в четную степень, — могут приобретаться или теряться решения. [17]
Обсудимнесколько ситуаций, в которых эти проблемы наступают, и посмотрим, как ихраспознать и как можно с ними бороться.
I. Пример 6. Решить уравнение />.
Решение.При первом же взгляде на это уравнение возникает мысль избавиться от корняс помощью «преобразования» />.
Но этоневерно, так как при отрицательных значениях xоказывалось бы, что />.
Необходимозапомнить формулу />. Уравнениетеперь легко решается
/>/>/>.
Ответ./>.
Теперьпосмотрим «обратное» преобразование.
Пример7. Решить уравнение />.
Решение.Сейчас настало время задуматься о безопасности формулы
/>.
Нетрудновидеть, что ее левая и правая части имеют разные области определения и что эторавенство верно лишь при условии />. Поэтомуисходное уравнение равносильно системе
/>
Ответ./>.
II. Следующее преобразование, которое должно явитьсяпредметом заботы для каждого, кто решает иррациональные уравнения, определяетсяформулой
/>.
Еслипользоваться этой формулой слева направо, расширяется ОДЗ и можно приобрестипосторонние решения. Действительно, в левой части обе функции /> и /> должны быть неотрицательны;а в правой неотрицательным должно быть их произведение. [17]
Замечание.При возведении уравнения в квадрат учащиеся нередко в уравнении типа (1) из Примера5 производят перемножение подкоренных выражений, т.е. вместо такогоуравнения пишут уравнение
/>.
Такое«склеивание» не приводит к ошибкам, поскольку такое уравнениеявляется следствием уравнения (1). Следует, однако, иметь в виду, что в общемслучае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения. Поэтомув рассмотренном выше примере можно было сначала перенести один из радикалов вправую часть уравнения, т.е. уединить один радикал. Тогда в левой частиуравнения останется один радикал, и после возведения обеих частей уравнения вквадрат в левой части уравнения получится рациональное выражение. [3]
Пример8. Решить уравнение
/>.
Решение.Уединив первый радикал, получаем уравнение
/>,
равносильноеисходному.
Возводяобе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение
/>,
равносильноеуравнению
/>. (2)
Уравнение(2) является следствием исходного уравнения. Возводя обе части этого уравненияв квадрат, приходим к уравнению
/>, или />.
Этоуравнение является следствием уравнения (2) (а значит, и исходного уравнения) иимеет корни />, />.
Первыйкорень удовлетворяет исходному уравнения, а второй — не удовлетворяет.
Ответ./>.
Рассмотримпример, где реализуется проблема с «расклеиванием» корней, то естьиспользование формулы />. [13]
Пример9. Решить уравнение />.
Решение.Попробуем решить это уравнение разложением на множители
/>.
Заметим,что при этом действии оказалось потерянным решение />.Посмотрите, оно подходит к исходному уравнению и уже не подходит к полученному:/> не имеет смысла при />. Поэтому это уравнениелучше решать обычным возведением в квадрат
/> /> />
Ответ./>, />.
Вывод. Естьдва пути. Или аккуратно возводить уравнение в квадрат, или безошибочноопределять, какие решения могли быть потеряны, и проверить, не случилось лиэтого на самом деле.
III. Существует еще более опасное действие — сокращениена общий множитель. [17]
Пример10. Решить уравнение />.
"Решение".Сократим обе части уравнения на />,получим
/>.
Нетничего более опасного и неправильного, чем это действие. Во-первых, подходящеерешение исходного уравнения /> былопотеряно; во-вторых, было приобретено два посторонних решения />. Получается, что новоеуравнение не имеет ничего общего с исходным! Вот правильное решение.
Решение.Перенесем все члены в левую часть уравнения и разложим ее на множители
/>/>/>/>.
Этоуравнение равносильно системе
/>
котораяимеет единственное решение />.
Ответ./>.Применение общих методов для решения иррациональныхуравнений
1. Методразложения на множители.
Сутьэтого метода заключается в следующем: уравнение /> можнозаменить совокупностью уравнений:
/>; />; />.
Решивуравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат областиопределения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние. Приведемпример применения метода разложения на множители при решении иррациональныхуравнений. [10]
Пример11. Решите уравнение />.
Решение.Для решения таких уравнений следует пользоваться правилом расщепления:
Произведениеравно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в негосомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. [17]
Первыймножитель равен нулю при />, нотогда второй множитель потеряет смысл, так как при /> онравен />. Значит, /> решением данного уравнениябыть не может.
Второймножитель равен нулю при /> или />. Первый множительопределен для всех действительных чисел, значит, /> и/> могут быть решениямиданного уравнения. Ответ. />, />
2. Методвведения новой переменной.
Мощнымсредством решения иррациональных уравнений является метод введения новойпеременной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае,если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее отнеизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудьновой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введеннойнеизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную. В ряде случаев удачновведенные новые неизвестные иногда позволяют получить решение быстрее и проще; иногдаже без замены решить задачу вообще невозможно. [6], [17]
Пример12. Решить уравнение />.
Решение.Положив />, получим существенно болеепростое иррациональное уравнение />/>. Возведем обе частиуравнения в квадрат:
/>.
Далеепоследовательно получаем:
/>;
/>;
/>;
/>;
/>, />.
Проверканайденных значений их подстановкой в уравнение /> показывает,что /> - корень уравнения, а /> - посторонний корень.
Возвращаяськ исходной переменной x, получаем уравнение />, т.е. квадратное уравнение/>, решив которое находим двакорня: />, />.
Ответ:/>, />.
Заменаособенно полезна, если в результате достигается новое качество, например,иррациональное уравнение превращается в квадратное.
Пример13. Решить уравнение />.
Решение.Перепишем уравнение так: />.
Видно,что если ввести новую переменную />, тоуравнение примет вид />, откуда />, />.
Теперьзадача сводится к решению уравнения /> иуравнения />. Первое из этих решений неимеет, а из второго получаем />, />.
Ответ./>, />.
Отметим,что «бездумное» применение в Примере 11 метода «уединениярадикала» и возведение в квадрат привело бы к уравнению четвертой степени,решение которого представляет собой в общем случае чрезвычайно сложную задачу.
Пример14. Решить уравнение
/>.
Введемновую переменную
/>, />.
Исходноеуравнение принимает вид
/>,
откудаучитывая ограничение />, получаем />. Тогда />.
Ответ./>.
Уравнениявида /> (здесь a, b, c,d — некоторые числа,m, n- натуральные числа, обычно не превосходящие 4) и ряд другихуравнений часто удается решить при помощи введения двух вспомогательныхнеизвестных и последующего перехода к рациональной системе. [17]. Пример 15.Решить уравнение />.
Решение.Введем новые переменные
/> и />.
Тогдаисходное уравнение принимает вид: />. Полученноеуравнение обладает одним существенным недостатком: в нем две неизвестных. Нозаметим, что величины a иb не являютсянезависимыми переменными — они зависят одна от другой посредством старойпеременной x. Выразим x через a иb
/> и />.
Теперь,можно заметить, что если первое уравнение умножить на два и затем вычесть изнего второе, то переменная x исключается,и остается связь только между a иb
/>.
Врезультате получаем систему двух уравнений относительно двух неизвестных a и b
/>
Решая этусистему методом подстановки, приходим к уравнению />,корнями которого являются числа /> и />. Корень /> посторонний, поскольку />. Осталось решить уравнение/>, откуда находим />.
Ответ./>.
Пример16. Решить уравнение
/>. [6]
Решение.Возведение обеих частей этого уравнения в четвертую степень не обещает ничегохорошего. Если же положить />, />, то исходное уравнениепереписывается так: />. Поскольку мыввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z.
Для этоговозведем равенства />,/> в четвертую степень изаметим, что />.
Итак,надо решить систему уравнений
/>
она имеетдва (действительных) решения: />, />; />, />. Остается решить системудвух уравнений с одним неизвестным
/> и систему />
первая изних дает />, вторая дает />.
Ответ./>, />.
Не всегдапосле введения новых переменных удается исключить неизвестную x, как это было в рассмотренныхПримерах 15, 16. Однако,как можно убедиться из следующего примера, переход от уравнения к системе можетпомочь и в таком случае. [17]
Пример17. Решить уравнение
/>.
Решение.Введем новые переменные
/> и />.
Постандартной схеме получим следующую систему уравнений:
/>
откудаследует, что
/>.
Так как />, то u и v должныудовлетворять системе
/>
изкоторой после несложных преобразований получаем уравнение
/>.
Заметим,что это уравнение имеет корень />. Тогда,разделив многочлен на />, получаемразложение левой части уравнения на множители
/>.
Отсюдаследует, что /> - единственное решениеэтого уравнения. После проверки записываем это решение в ответ.
Ответ. />
3. Тригонометрическаязамена.
Иногдаподходящей заменой неизвестной иррациональное уравнение можно свести ктригонометрическому уравнению. При этом полезными могут оказаться следующиезамены переменной. [17]
Если вуравнение входит радикал />, томожно сделать замену />, /> или />, />.
Если вуравнение входит радикал />, томожно сделать замену />tg t, /> или /> ctg t, />.
Если вуравнение входит радикал />, томожно сделать замену />, /> или />, />.
Проиллюстрируемиспользование этих замен на следующих примерах.
Пример18. Решить уравнение />.
Решение.В данное уравнение входит выражение />,поэтому в соответствии с пунктом 2, сделаем замену
/>tg t, где />.
Тогдавыражение />, входящее в уравнение,можно преобразовать
/>
иисходное уравнение можно записать в виде
/>.
Поскольку/> не равен нулю прирассматриваемых значениях t, то полученноеуравнение равносильно уравнению
/>.
Решая этоуравнение, находим два возможных значения
/> и />.
Из всехкорней этих уравнений промежутку /> принадлежитединственное значение />.
Поэтомусоответствующее значение x равно
/>.
Ответ. />.
Пример19. Решить уравнение />.
Решение.В этом уравнении x поОДЗ может принимать только значения из отрезка />,что приводит к мысли совершить замену
/>, где />.
Врезультате такой замены приходим к уравнению
/>.
Учтем,что /> и />, получим уравнение />.
В силуограничения /> выполнено />, поэтому приходим куравнению />, которое, пользуясьформулой приведения, сведем к стандартному виду
/>.
Решаяпоследнее уравнение, находим
/> или />, />.
Условию /> удовлетворяют лишь тризначения
/>, />, />. Поэтому
/>, />, />.
Ответ./>, />, />.
4. Умножениеобеих частей уравнения на функцию.
Иногдаиррациональное уравнение удается решить довольно быстро, если обе его частиумножить на удачно подобранную функцию. Конечно, при умножении обеих частейуравнения на некоторую функцию могут появиться посторонние решения, ими могутоказаться нули самой этой функции. Поэтому предлагаемый метод требуетобязательного исследования получающихся значений. [6]
Пример20. Решить уравнение />.
Решение.Умножим обе части уравнения на одну и ту же функцию />.Выражение /> называется сопряженнымдля выражения />. Цель такогоумножения ясна: использовать тот факт, что произведение двух сопряженныхвыражений уже не содержит радикалов.
Врезультате этого умножения и очевидных преобразований приходим к уравнению
/>.
Оно имеетединственный корень />, так какуравнение /> решений не имеет.
Подстановкав исходное уравнение показывает, что /> -корень.
Ответ./>.
Впрочем,здесь можно было обойтись и без подстановки: функция /> нигде в нуль необращается, и поэтому умножение обеих частей уравнения /> на эту функцию не приводитк появлению посторонних решений.
Пример21. Решить уравнение />. [9]
Решение.Умножим обе части уравнения на функцию />.После преобразований получим уравнение
/>.
Оно имеетдва корня: />. Проверка показывает, что /> - посторонний корень (нетрудновидеть, /> - корень функции />). Таким образом, уравнениеимеет единственный корень />.
Ответ./>.Методика решения иррациональных неравенств
Если влюбом иррациональном уравнении заменить знак равенства на один из знаковнеравенства: >, />, , то получим иррациональноенеравенство. [19] Поэтому под иррациональным неравенством будем пониматьнеравенство, в котором неизвестные величины находятся под знаком корня. [16]
Способрешения таких неравенств состоит в преобразовании их к рациональнымнеравенствам путем возведения обеих частей неравенства в степень.
Решениеиррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь, какправило, исключена возможность проверки, поэтому надо стараться делать всепреобразования равносильными.
Прирешении иррациональных неравенств следует запомнить правило: при возведенииобеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство,равносильное данному неравенству. [16]
Но еслипри решении уравнений в результате возведения четную степень мы могли получитьпосторонние корни (которые, как правило легко проверить) и не могли потерятькорни, то корни неравенства при бездумном возведении в четную степень могутодновременно и теряться, и приобретаться. [8]
Например,возведя в квадрат:
верноенеравенство />, мы получим верноенеравенство />;
верноенеравенство />, мы получим неверноенеравенство />;
неверноенеравенство />, мы получим верноенеравенство />;
неверноенеравенство />, мы получим неверноенеравенство />.
Вывидите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств. [8]
Однаковерно основное используемое здесь утверждение: если обе части неравенствавозводят в четную степень, то получится неравенство, равносильное исходномутолько в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны. [16]
Поэтомуосновным методом решения иррациональных неравенств является сведение исходногонеравенства к равносильной системе или совокупности систем рациональныхнеравенств. [17]
Наиболеепростые иррациональные неравенства имеют вид: [16], [17]
/> (или />);
/> (или />);
/> (или />).
Иррациональноенеравенство /> (или />) равносильно системенеравенств
/> или />. {1}
Первоенеравенство в системе {1} является результатом возведения исходного неравенствав степень, второе неравенство представляет собой условие существования корня висходном неравенстве, а третье неравенство системы выражает условие, прикотором это неравенство можно возводить в квадрат.
Иррациональноенеравенство /> (или />) равносильно совокупностидвух систем неравенств
/> или />. {2}
Обратимсяк первой системе схемы {2}. Первое неравенство этой системы являетсярезультатом возведения исходного неравенства в квадрат, второе — условие, прикотором это можно делать.
Втораясистема схемы {2} соответствует случаю, когда правая часть отрицательна, ивозводить в квадрат нельзя. Но в этом и нет необходимости: левая частьисходного неравенства — арифметический корень — неотрицательна при всех x, при которых она определена. Поэтому исходноенеравенство выполняется при всех x, при которыхсуществует левая часть. Первое неравенство второй системы и есть условиесуществования левой части.
Иррациональноенеравенство /> (или />) равносильно системенеравенств
/> или />. {3}
Посколькуобе части исходного неравенства неотрицательны при всех x,при которых они определены, поэтому его можно возвести в квадрат. Первоенеравенство в системе {3} является результатом возведения исходного неравенствав степень. Второе неравенство представляет собой условие существования корня висходном неравенстве, понятно, что неравенство /> выполняетсяпри этом автоматически.
Схемы {1}-{3}- наш основной инструмент при решении иррациональных неравенств, к ним сводитсярешение практически любой задачи. Разберем несколько примеров. [8]
Пример1. Решить неравенство />.
Решение.Заметим, что правая часто этого неравенства отрицательна, в то время как леваячасть неотрицательна при всех значениях x, прикоторых она определена. Поэтому неравенство решений не имеет.
Ответ.Решений нет.
Пример2. Решить неравенство />.
Решение.Как и в предыдущем примере, заметим, что правая часть данного неравенстваотрицательна, следовательно, возводить это неравенство в квадрат нельзя. И ненадо, поскольку левая часть исходного неравенства неотрицательна при всехзначениях x, при которых она определена. Этоозначает, что левая часть больше правой части при всех значениях x, удовлетворяющих условию />.
Ответ./>.
Пример3. Решить неравенство />.
Решение.В соответствии со схемой {1} решения неравенств этого типа, запишемравносильную ему систему рациональных неравенств
/>
Условие /> выполнено при всех x, и нет необходимости добавлять его к выписанной системе.
Ответ. />.
Пример4. Решить неравенство />.
Решение.Это неравенство решается при помощи схемы {2}. В данном случае />, поэтому можно сразузаписать неравенство, равносильное исходному />.Ответ. />.
Пример5. Решить неравенство />.
Решение.Это неравенство может быть решено при помощи схемы {1}. Система,равносильная исходному неравенству, имеет вид
/>
Ответ./>.
Пример6. Решить неравенство />.
Решение.Данное неравенство можно решать с помощью схемы {2}. Оно равносильносовокупности двух систем
/>
Ответ./>.
Пример7. Решить неравенство />.
Решение.Согласно схеме {3}, данное неравенство равносильно системе
/> />
Ответ./>
Болеесложно решение иррациональных неравенств вида
/>.
Поскольку/>, />, то должны выполнятсяусловия />, />, /> (соответственно />). На множестве, где этиусловия выполняются, данное неравенство равносильно неравенству />.
(соответственнонеравенству />), которое сводится кразобранным выше типам неравенств. [4]
Пример8. Решить неравенство />.
Решение.Данное неравенство равносильно следующей системе неравенств:
/>
Последнеенеравенство этой системы приводится к виду />,откуда находим, что />. Решениеисходного неравенства является общей частью решений всех неравенств системы, т.е.имеет вид />.
Ответ./>/>.
Длярешения иррациональных неравенств, так же как и для решения иррациональныхуравнений, с успехом может применяться способ подстановки или введения новойпеременной.
Весьмаэффективны так называемые рационализирующие подстановки. Применениерационализирующих подстановок позволяет привести функцию, иррациональнуюотносительно исходной переменной, к рациональной функции относительно новойпеременной. [17]
Пример9. Решить неравенство />.
Решение.Введем новую переменную t спомощью рационализирующей подстановки />,/>.
Тогда /> и для переменной t получаем рациональноенеравенство
/>, где />.
Ответ./>.
Заключение
В даннойкурсовой работе сделана попытка разработать методику обучения решениюиррациональных уравнений и неравенств в школе.
В ходеработы были решены следующие задачи:
Проанализированыдействующие учебники алгебры и начала математического анализа для выявленияпредставленной в них методики решения иррациональных уравнений и неравенств. Проведенныйанализ позволяет сделать следующие выводы:
теорияметодов изложена не достаточно строго;
в одномучебнике [1] материала по методам решения иррациональных уравнений нет. Востальных учебниках рассмотрены два основных способа решения: возведение обеихчастей уравнения в степень, с последующей подстановкой полученных корней висходное уравнение, а также решение уравнений с помощью равносильныхпреобразований;
оченьмало материала по методам решения иррациональных неравенств;
средипредлагаемых заданий много однотипных;
Изученыстандарты образования по данной теме;
Изученаучебно-методическая литература по данной теме;
Рассмотреныситуации, связанные с потерей или приобретением посторонних корней в процессерешения, показано, как их распознавать и как с ними можно бороться;
Подобраныпримеры решения иррациональных уравнений и неравенств для демонстрацииизлагаемого теоретического материала;
Показано,что общие методы решения уравнений применимы для решения иррациональных уравненийи неравенств.
Список библиографии
1. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — М.:Просвещение, 1993. — 254 с.
2. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — М.: Просвещение, 1992. — 351 с.
3. Болтянский В.Г. Математика: лекции, задачи, решения. — Литва: Альфа,1996. — 637 с.
4. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб.пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. — М.: Просвещение,1998. — 288 с.
5. Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. пособиедля учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. — М.: Просвещение, 1999. — 271с.
6. Григорьев А.М. Иррациональные уравнения. // Квант, №1, 1972, с.46-49.
7. Денищева Л.О. Готовимся к единому государственному экзамену. Математика.- М.: Дрофа, 2004. — 120 с.
8. Егоров А. Иррациональные неравенства. // Математика. Первое сентября,№15, 2002. — с.13-14.
9. Егоров А. Иррациональные уравнения. // Математика. Первое сентября, №5,2002. — с.9-13.
10. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб.для общеобразоват. учреждений. — М.: Мнемозина, 2004. — 315 с.
11. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях. Ч.2: Задачникдля общеобразоват. учреждений. — М.: Мнемозина, 2004. — 315 с.
12. Мордкович А.Г. Кто-то теряет, кто-то находит. // Квант, №5, 1970, с.48-51.
13. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — М.: Просвещение, 1991. — 320 с.
14. Кузнецова Г.М. Программа для общеобразоват. школ, гимназий, лицеев: Математика.5-11кл. — М.: Дрофа, 2004, 320 с.
15. Потапов М. Как решать уравнения без ОДЗ. // Математика. Первое сентября,№21, 2003. — с.42-43.
16. Соболь Б.В. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену ицентрализованному тестированию по математике. — Ростов на Дону: Феникс, 2003. — 352 с.
17. Черкасов О.Ю. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающихв вузы. — М.: АСТ-ПРЕСС, 2001. — 576 с.
18. Шабунин М. Лекции для абитуриентов. Лекция 1. // Математика. Первоесентября, №24, 1996. — с.24.
19. Шувалова Э.З. Повторим математику. Учеб пособ. для поступающих в вузы. — М.: Высшая школа, 1974. — 519 с.