--PAGE_BREAK--До даних вправ задаю запитання 5 – 7 (за підручником). Один учень розповідає доведення запитання 6, а інший за допомогою кодоскопу розповідає доведення запитання 7.
Після цього активним учням виголошую оцінки (бали).
ІІ. Вивчення нового матеріалу.
1. Демонструю на екран мал. 12 (з коментуванням).
y
y1 B(x2;y2)
y1 A(x1;y1)
O x1 x2 x
Мал. 12
Задаю запитання:
1) Назвати координати точок А і В.
2) Показати на екрані АВ вісі абсцис і ординат.
3) Записати довжини проекцій на осі Ox і Oy.
Пояснюю, що числа a1 = x2 – x1 і a2 = y2 – y1 є довжини проекцій вектора на осі координат і тим самим ми знайшли координати вектора.
Корисно сформулювати правило знаходження вектора: ” Щоб знайти координати вектора, потрібно з координат його кінця відняти відповідні координати його початку ”.
Підсумовую: координати векторів (OA,OC) із початком в точці O(0;0) співпадають з координатами, їх кінців.
Пропоную учням обчислити координати кінця (початку) вектора за його координатами й координатами його початку (кінця):
1) Знайти координати кінця вектора (2;5), початок якого в точці: а) (2;3); б) (-1;5), в) (0;0).
2) Знайти координати початку вектора (5;-3), кінець якого в точці:
а) (-3;1), б) (0;0), в) (5;-3).
Для усних обчислень використовую таблицю (на кодопозитиві).
A1
A2
A1A2 = a
x1
y1
x2
y2
a1
a2
2.
3
4
8
2
5
2. Формулу для обчислення абсолютної величини вектора за його координатами виводжу під час розв’язування вправ (учні по черзі на дошці записують розв’язок):
1) Дано точки А(3;1) і В(5;3). Знайдіть абсолютну величину вектора АВ.
2) Вектор а має початком точку А(x1;y1), а кінцем точку B(x2;y2).Знайдіть абсолютну величину вектора а.
Розв’язування.
| a | = | AB | = = .
Пропоную учням обчислити модулі векторів, заданих: а) координатами;
б) початку й кінця (самостійно на кодопозитиві).
3. Для доведення теореми про рівні вектори користуюся мал.13 і розпо відаю сам процес доведення.
y A2(x2; y2)
A1(x1; y2)
A2'(x2; y2)
A1'(x1'; y1')
O x
Мал. 13
Формулюю пряму і обернену теорему:
” Рівні вектори мають рівні відповідні координати ”.
І навпаки:
”Якщо у векторів відповідні координати рівні, то вектори рівні ”.
На кодоскопу або на таблицях демонструю доведення прямої, і оберненої теореми про рівність векторів. Учні беруть участь в обговоренні доведення.
Пряма теорема: Обернена теорема:
Дано: а = а΄. Дано: x2 –x1 = x2΄ – x1΄, (1)
Довести: x2 –x1 = x2΄ – x1΄, y2 – y1 = y2΄ – y1΄. (2)
y2 – y1 = y2΄ – y1΄. Довести: а = а'.
Доведення. Нехай паралельне пере- Доведення. Знайдеться паралельне, яке перенесення водить точку А1 в точку А1΄. Тоді, підставляємо
x΄ = x + c, d = y1΄ – y1.
y΄ = y + d; І
тому А΄1 переходить в А΄1 за допомогою паралельного перенесення:
переводить а в а΄, тобто x΄= x + x1΄ –x1, y΄= y1΄– y1.
x΄ = x1 + c, y1΄ = y1 + d, Ці рівності задовольняють координати точок А2 і А2΄ x΄2 = x2 + c΄, y2΄= y2 + d, звідси x2΄=x2+x1΄ –x1, y2΄=y2 + y1΄– y1.З умови випливає що
x2΄ – x2΄ = x2 – x1, існує паралельне перенесення: А1 А1΄ і А2 А2,΄
y2΄ – y΄2 = y2 – y1, що й, т. б. д. тобто вектори а й а рівні, що й т. б. д.
За допомогою кодоскопу (таблиці) показую скорочений запис прямої, і оберненої теореми:
Після знайомства з доведенням учні можуть самі зробити висновок: ” Паралельне перенесення, що задається (1) або (2), переводить точку А1 в точку А΄1, а точку А2 – у точку А΄2, тобто вектори а і а΄ рівні. ”
Учням задаю запитання:
При якій умові вектори рівні? (Об’єднати пряме й обернене твердження).
Учні відповідають?
” Вектори рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхні відповідні координати”
ІІІ. Тренувальні вправи.
1. Учні самостійно розв’язують вправу 6 і 7 (§ 10 ), Розв’язки демонструю на кодоскопу. Учні звіряють і виправляють помилки.
IV. Підсумок уроку (закріплення).
Звертаю увагу учням на зв’язок координатної й геометричної форми завдання вектора, а також застосування формули абсолютної величини
|a|=
Показую на кодоскопу побудову вектора заданого коорди- натами, вибираючи при цьому його початок у різних точках.
Звертаю увагу ще раз учням на те, якщо вектор відкладений від точки О (початок координат), то його координати обов’язково співпадають із координатами його кінця. На кодоскопу демонструю завдання такого змісту:
1. Відкласти вектор b (-1;3) від точки
а)(2;3); б)(-1;0); в)(0;0).
2. Відкласти від початку координат вектори:
n(1;4) a(-2;-5) k(2;0) q(0;-3).
V. Завдання додому. п. 93; зап. 8,9. № 4;5*.
УРОК – 4. Тема уроку. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ВПРАВ. САМОСТІЙНА РОБОТА Мета уроку. Закріпити знання про вектори, які задані своїми коор- динатами у процесі розв’язування вправ.
Тип уроку. Урок творчого застосування знань і вдосконалення вмінь.
Знання, вміння, навички. Вміти застосовувати теоретичні знання і вміння при розв’язуванні вправ і набуті навичок для їх, практичного застосування.
Наочні посібники і ТЗН. 1) Кодоскоп; 2) кодопозитиви; 3) магнітна дошка з набором векторів.
ХІД УРОКУ І. Перевірка домашнього завдання.
Пропоную учням звернути увагу на екран, на якому зображено алгоритм розв’язку вправ 6 і 7(§10). Домашнє завдання перевіряю за допомогою кодопозитивів. Учні виправляють помилки.
ІІ. Актуалізація опорних знань.
Демонструю на екран умови задач, які учні усно розв’язують.
1. Знайти координати вектора KM, якщо M(3;4), K(8;6).
2. Чому дорівнює абсолютна величина вектора a(-4;3)?
3. Дано точки A(5;-1), B(4;3), C(1;0), M(9;4) та М(0;4). Чи рівні вектори AB і CM ?
4. Абсолютна величина вектора m(3;a) дорівнює 5. Знайти а.
[ 52 = 32 + a2 a2 = 25 – 9 = 16; | a | = 4; a1 = -4, a2 = 4 ]
ІІІ. Розв’язування задач.
Умови вправ можуть бути записані на кодоплівці або у вигляді таблиці.
1. Використовуючи означення координат вектора, доведіть, що чотирикутник з вершинами A(-2;5), B(2;3), C(8;6) D(4;8) – пара- лелограм.
2. Дано трикутник ABC: A(0;-1), B(3;1), C(1;-2), AA1, BB1, CC1 – його медіани. Обчисліть координати векторів AA1, BB1, CC1.
[AA1(2;1/2), BB1(-5/2;-5/2), CC1(1/2;2)].
На екран демонструю алгоритм розв’язування вправи 2.
1) Шукаємо координати векторів AA, BB, CC
A1, B1,C1:
A1 A1 2;;
B1 B1 ;
C1 C1 ;
2) Обчислюємо за формулами координати векторів AA1, BB1, CC1:
AA1 = 2 – 0; = 2; ;
BB1 = = ;
CC1 = = ;
3) Дано точки A(1;2), B(2;1), C(2;3), D(3;2) Знайдіть таку точку C(x;y), щоб вектори CA і AB були рівними.
CA = AB; AB(1;3);
1 – x = 1; x = 0,
-3 – y = 3, y = — 6.
IV. Самостійна робота.
В – 1
1. Дано точки A(2;3), B(2;1), C(2;3), D(3;2).
Доведіть рівність векторів AB і CD. (4 б)
2. *Абсолютна величина вектора a(8;m) дорівнює 10. Знайдіть m.(5б)
В – 2
1. Дано три точки A(2;2) B(0;1) C(1;2). Знайдіть таку точку (x;y), щоб вектори AB і СВ були рівними. (4б)
2. *Абсолютна величина b(n;8) дорівнює 15. Знайдіть n. (5б)
Розв’язок самостійної роботи учні перевіряють через кодоскоп (сильнішим учням даю виконувати роботу на кодоплівці) Перевіряю роботу на кодоплівці. За цей час йде взаємоперевірка: учні звіряють відповіді, можуть посперечатися, звертаються до мене зі спірними запитаннями. Після цього перевірка закінчується. На екран демонструється алгоритм розв’язку завдань двох варіантів розв’язаними сильнішими учнями. Учні виправляють помилки (перед цим обмінюються варіантами). Виставляють бали. Я роботи збираю уточнюю перевірку, яку робили учні і виставляю оцінки в в свій журнал. Учні, які не справилися з роботою або хочуть покращити оцінку можуть після уроків (або на наступному уроці) перездати.
Підсумовую роботу учнів.
V. Завдання додому. п. 93 (§10).
y
B C
O x
A D
Мал. 14
1. На мал. 14 ABCD – квадрат, сторона якого дорівнює 6. Знайдіть координати векторів: AB, BC, DA, AD, AC ,BD, OC, AD.
2.Дано три точки A(5;1), B(4;5), C(0;2). Знайдіть координати такої точки D, щоб вектори BC і AD були рівними.
УРОК – 5. Тема уроку. ДОДАВАННЯ ВЕКТОРІВ
Мета уроку. Сформулювати поняття суми векторів, ознайомитися з ” правилом трикутника ” при додаванні векторів.
Тип уроку. Урок засвоєння нових знань, Знання, вміння, навички. Знати означення суми двох векторів, уміти знаходити координати суми й різниці двох векторів заданих координатами, довести теорему 10.1, уміти розпізнавати на рисунку і будувати суму двох векторів за правилом трикутника заданих геометрично.
Наочні посібники і ТЗН. 1) Таблиця ” Суми векторів ”; 2) кодо- скоп; 3) кодопозитиви; 4) ” Вектори на площині ”.
ХІД УРОКУ
І. Перевірка засвоєння вивченого матеріалу.
За допомогою кодоскопу учні перевіряють домашнє завдання (впр. 1,2– урок 4).
ІІ. Актуалізація опорних знань.
Розв’язати задачі (усно). Демонструю поступово задачі й запитання на екран.
1. Знайти координати вектора АВ, якщо А(2;4), В(2;7).
2. Чому дорівнює абсолютна величина вектора (-6;8)?
3. Які вектори називаються рівними?
4. Що таке нульовий вектор?
5. Що таке координати вектора?
y
b
а
c
O x
Мал. 15
Демонструю на екран (мал. 15) координатну площину.
Пропоную учням намалювати координатну площину. Після цього на окремих плівках (учні бачать динаміку малюнка) демонструю побудову. Учні в зошиті зображують ці вектори.
Демонструю мал. 16.
Ставлю запитання:
1) Назвати координати векторів a, b, c (мал. 16).
Учні роблять висновок: координати вектора с дорівнюють сумі однойменних координат векторів a і b.
y
b
c
a
O x
Мал. 16
Учні в зошиті виконують мал. 16 і записують рівність:
a (1;2) + b (3;1) = c(1+3;2+1).
Пропоную учням сформулювати означення додавання векторів:
”Сумою векторів a і b з координатами a1,a2 і b1,b2 називається вектор c з координатами a1+b1, a2+b2, тобто
a(a1;a2) + b(b1;b2) = c(a1+b1;a2+b2) ”.
Після ознайомлення з означенням векторів пропоную учням таке
завдання:
Нехай a(5;3), b(4;1). Який вектор є сумою цих двох векторів?
Розповідаю учням, що на практиці векторне додавання зустрічається досить часто. Наприклад, під вектором a(1;2) можна розуміти групу зошитів, яка складається з 1 зошита у лінійку і 2–у клітку, під вектором
b(3;4) – групу зошитів, яка складається з 3 зошитів у лінійку і 4 – у клітку. Загальна кількість зошитів складатиметься з 4 зошитів у лінійку і
6 – у клітку. Тоді учні записують суму у вигляді:
a(5;3) + b(4;1) = c(9;4).
Увівши поняття суми векторів, задаю запитання учням:
Чи зміниться сума векторів:
b + a і a + b ?
Учні перевіряють і формулюють переставну властивість додавання векторів (аналогічно до алгебри), а також переконуються в тому, що координати їхні рівні.
Слід нагадати, що два вектори називаються протилежними, коли їхня сума дорівнює нульовому вектору:
a + (-a) =0.
IV. Закріплення матеріалу.
Пропоную декілька вправ:
1) Дано вектори a(2;3), b(-1;0),c(-2,-3).Знайдіть суму векторів a і b, a і c, b і c.
Можливий запис:
a + b = (2;3) + (-1;0) = (1;3).
Звертаю увагу учням на те, що сума векторів є вектор. Зауважую, що сумою векторів може бути і нульовий вектор, наприклад,
a(2;3) + c(-2;-3) = 0.
2) Дано вектори a(-2;3), b(-1;-4), c(5;1). Перевірити властивості (самостійно з перевіркою):
а) a + b = b +a; б) a + (b + c ) = ( a +b ) + c.
Учні переконуються у правильності рівностей і в тому, що це випливає з необхідної і достатньої умови рівності векторів
a + b і b +a, a + (b +c) і (a +b) + c.
3) Знайдіть абсолютну величину векторів
a + b, a(1;-4), b(-4;8),
a(10;7), b(2;-2).
VI. Підсумок уроку.
Підсумовуючи урок, наголошую учням, що ми навчилися додавати вектори за їхніми координатами, а також із властивостями векторів (аналогічно до алгебри). Повідомляю, що ці властивості мають відповідно іншу назву: комутативну й асоціативну.
VI. Завдання додому. п. 94(§10); зап.10 – 13; № 8(2); збираю зошити для перевірки.
УРОК 6. Тема уроку. ДОДАВАННЯ ВЕКТОРІВ (продовження)
Мета уроку. Сформулювати й довести теорему 10.1, а також ознайомити з ” правилом трикутника ” при додаванні векторів.
Тип уроку. Урок засвоєння нових знань.
Знання, вміння, навички. Знати формулювання теореми 10.1; уміти будувати суму двох векторів за ”правилом трикутника” і ”правилом паралелограма” і застосовувати нові знання до розв’язування завдань.
Наочні посібники і ТЗН. 1) Кодоскоп; 2) кодопозитиви; 3) діафільм ”Вектори на площині”; 4) картки для проведення самостійної роботи.
ХІД УРОКУ
І. Перевірка завдання вивченого матеріалу.
Викликаю учнів (4 – 6) до дошки і даю їм картки із завданням, наприклад, такого змісту.
1. Дано вектори m (2;3), n(1;-1), k(2;-1). Знайти m + n; б) | m + k |; в) m + n = n + m; г) m + ( n + k ) = ( m + n ) +k.
ІІ. Актуалізація опорних знань.
Решта учні розв’язують задачі (на пів усно) на кодоскопу. Поступово демонструю завдання на дошку-екран:
1) Координати точок А(1;-3), В(2:3). Знайти координати вектора АВ.
2) Знайти координати вектора с і абсолютну, якщо a(0;3), b(-4;0).
3) Сформулювати правило додавання векторів.
4) Сформулювати властивості додавання векторів.
5) Які вектори називаються рівними?
ІІ. Вивчення нового матеріалу.
1. На дошку-екран демонструю мал. 18, за допомогою якого разом з учнями доводжу теорему.
y
A(x1;y1)
C(x3;y3)
B(x1;y1)
O x
Мал.18
Учні записують.
Дано: A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3) – довільні точки площини.
Довести: AB + BC = AC (мал. 18).
Доведення. У процесі доведення задаю учням такі запитання:
1) Знайти координати векторів AB, BC, AC.
Учні записують в зошитах ( інший учень на дошці або на кодоскопу):
AB ( x2 – x1; y2 – y1);
BC ( x3 – x2; y3 — y2 );
AC ( x3 – x1; y2 – y1).
1) Знайти кординати вектора AB + BC.
2) Пропоную учням порівняти кординати векторів AB + BC і AC та
зробити висновок. Учні роблять висновок і записують в зошиті рівність: AB + BC = AC, що й треба було довести.
На закріплення пропоную учням перевірити, що теорема справедливадля таких випадків: 1) дані точки A, B, C лежать на прямій, що паралельна осі Ox і осі Oy; 2) дані точки мають кординати a(1;1); B(3;5), C(7;4).Учні самостійно виконують завдання і роблять висновок.
N
M K P
Мал.19
2. Записати і відмітити (мал. 19 вектор, який дорівнює: а) MN + NP; б) MP+PN, в) NP+PM;
продолжение
--PAGE_BREAK--