Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина»
Физический факультет
Кафедра теоретической физики и астрономии
Курсовая работа
ВЕКТОРНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ В ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
по теоретической физике
Специальность: Физика и информатика
Выполнил
Научный руководитель
Брест 2010
Содержание
Введение
1. О решении физических задач в средней школе
1.1 О возможности применения векторных многоугольников длярешения физических задач
1.2 Роль решения задач в процессеобучения физике
1.3 Традиционный способ решения задач кинематики и динамикив школьном курсе физики
2. О векторных способах решения задач механики
2.1 Векторные треугольники скоростей и перемещений в задачах
2.2 Векторные многоугольники сил в задачах
2.3 Векторные многоугольники импульсов в задачах
2.4 Векторные диаграммы импульсов в задачах о столкновенияхчастиц
Заключение
Литература
Введение
Межпредметные связи физики и математики вполне естественны: физикане только экспериментальная, но и точная наука, широко применяющая различныематематические методы. Математика является языком физики, и свободное владениематематическим аппаратом облегчает понимание физической сущности явлений ипроцессов. Однако, изучая, разрабатывая и используя новый математический аппарат,физики иногда незаслуженно забывают о ранее найденных и веками эффективнослуживших делу физической науки математических способах и приемах. Изучение вшколе дифференциального и интегрального исчисления, несомненно, способствуетприобщению школьников к современным методам научных исследований, решениемногих физических задач при этом существенно упрощается. Но в механике есть рядзадач повышенной для школьников трудности, которые решаются значительно прощене с помощью дифференцирования и интегрирования, а при использовании несложныхгеометрических приемов, вполне доступных учащимся старших классов (особенноклассов с углубленным изучением физики). Примером может служить «забытый»в современной средней школе метод решения задач кинематики и динамики, основанныйна построении так называемых векторных многоугольников перемещений, скоростей,ускорений, сил, импульсов.
При изучении механики в школьном курсе физики предполагаетсязнакомство с векторным способом кинематического описания движения, с векторнойформой записи законов и формул динамики, но значительно больше внимания ивремени уделяется традиционным координатному и естественному способам. Вместе стем в ряде случаев векторный способ имеет преимущество перед координатным, нетолько упрощая решение конкретной задачи, но и превращая иногда сложные напервый взгляд задачи в подстановочные, решаемые практически устно.
В данной работе будут даны краткие теоретические основы инекоторые методические рекомендации по возможности применения геометрических (векторных)способов решения избранных задач кинематики и динамики в школьном курсе физики.На примерах решения конкретных задач механики будет показана эффективностьприменения в ряде случаев указанных способов.
1. О решении физических задач в средней школе
1.1 О возможности применения векторныхмногоугольников для решения физических задач
Применение векторных способов, требующих знания основтригонометрии (в частности, теорем синусов и косинусов), для решения задачмеханики в непрофильном 9 классе базовой школы вряд ли эффективно в силунедостаточной математической подготовки учащихся. Эти способы рассчитаны научащихся классов с углубленным изучением физики (тогда вполне возможно ихизучение и в 9 классе) или на старшеклассников: на уроках обобщающегоповторения в 11 классе общеобразовательной школы, на курсах по выбору, приподготовке к олимпиадам. Естественно, что эти способы должны широко применятьсяпри решении задач со студентами физических специальностей ВУЗов на практическихзанятиях по общей физике и в физическом практикуме по решению задач.
1.2 Роль решения задач в процессе обучения физике
В последнее время наблюдается тенденция усиления внимания крешению задач при обучении физике, и им отводится значительная часть курса. Решениезадач выступает и как цель, и как метод обучения. Метод решения задач с успехомиспользуется учителями при изложении нового учебного материала и егозакреплении, при проведении фронтальных лабораторных работ и особеннофизических практикумов.
Физической задачей в учебной практике обычно называютнебольшую проблему, которая в общем случае решается с помощью логическихумозаключений, математических действий и эксперимента на основе законов и методовфизики. Задачи условно подразделяются на стандартные (для решения которыхдостаточно применить известные на данном уровне знаний формулы и уравнения,выражающие физические закономерности) и нестандартные (для решения которыхнеобходимы не только знание физических законов и формул, но и умение делать необъединенные известными алгоритмами предположения, сопоставления, рассуждения иумозаключения). Вполне естественно, что нестандартные для данного уровня знанийи умений задачи могут быть отнесены к стандартным на другом, более высокомуровне.
Решение и анализ задач позволяют понять и запомнить основныезаконы и формулы физики, создают представления об их характерных особенностях играницах применения. Задачи развивают навык в использовании общих законов материальногомира для решения конкретных вопросов, имеющих практическое и познавательноезначение. Умение решать задачи является лучшим критерием оценки глубиныизучения программного материала и его усвоения. Наряду с этим при решении задачу школьников воспитывается трудолюбие, пытливость ума, смекалка,самостоятельность в суждениях, интерес к учению, воля и характер, упорство вдостижении поставленной цели, формируется особый стиль умственной деятельности,особый метод подхода к физическим явлениям. В процессе решения задачвырабатываются навыки вычисления, работы со справочной литературой, таблицами.
Решение задач служит простым, удобным и эффективным способомпроверки и систематизации знаний, умений; позволяет в наиболее рациональнойформе проводить повторение ранее изученного материала, расширение и углублениезнаний, осуществлять действенную связь преподавания физики с обучениемматематике, химии, черчению и другим учебным предметам.
1.3 Традиционный способ решения задач кинематики и динамикив школьном курсе физики
Векторная запись многих уравнений физики более полноотображает соответствующие процессы и является более простой и компактной,поэтому она нашла свое применение в современном школьном курсе механики (примертому — векторная форма записи законов и формул динамики). Векторная формауравнений в сочетании с соответствующими рисунками раскрывает физическуюситуацию в задаче и предопределяет ее успешное решение. Однако, в процессерешения задач кинематики и динамики используют обычно проекции векторов (координатныйспособ).
В методической литературе по вузовскому курсу общей физикерекомендуется придерживаться следующего плана решения задачи кинематики:
1) рационально выбрать систему отсчета с указанием началаотсчета времени и обозначить на схематическом чертеже все кинематическиехарактеристики движения (перемещение материальной точки за рассматриваемыйпромежуток времени, мгновенную скорость в конце и начале перемещения, ускорениеи время);
2) записать кинематические законы движения для каждого издвижущихся тел в векторной форме;
3) спроецировать векторные величины на координатные оси ипроверить, является ли полученная система уравнений полной;
4) используя кинематические связи, геометрическиесоотношения и специальные условия, данные в задаче, составить недостающиеуравнения;
5) решить полученную систему уравнений относительно неизвестных;
6) перевести все заданные величины в одну систему единиц ивычислить искомые величины;
7) проанализировать результат и проверить его размерность.
При решении задач в школьном курсе физики также приемлемданный алгоритм, причем в большинстве случаев пункт 2 опускается, и сразу записываютсяскалярные уравнения, включающие проекции рассматриваемых в задаче векторныхвеличин.
Для решения задач по динамике общий алгоритм следующий:
1) выяснить, с какими телами взаимодействует движущееся тело,и, сделав схематический чертеж, заменить действие этих тел силами;
2) записать уравнение движения (второй закон Ньютона) ввекторной форме;
3) спроецировать векторные величины на координатные оси (значительнооблегчает решение задачи рациональный выбор расположения начала координат инаправлений координатных осей);
4) если полученная система уравнений не является полной,составить недостающие уравнения, используя третий закон Ньютона, законы тренияили законы кинематики;
5) решить полученную систему уравнений относительно неизвестныхв общем виде и проверить размерность искомой величины;
6) сделать численные расчеты, проанализировать полученные результаты.
Если в задаче рассматривается движение нескольких тел,необходимо записать второй закон для каждого из них и учесть кинематические идинамические связи между ними (например, равенство ускорений тел, жесткосвязанных между собой, равенство сил действия и противодействия и т.д.).
При анализе задач и составлении уравнений, описывающихфизические процессы и явления нужно хорошо знать, какие из величин, входящие вформулы физики, являются скалярными, а какие векторными.
Как видно из приведенных алгоритмов решения задач покинематике и динамике, для вычислений чаще всего используют соответствующиеуравнения в проекции на оси координат, поэтому возникает необходимость обучитьучащихся преобразованию векторного уравнения в уравнения для проекций, т.е. преждевсего, выработать у них умение определять проекцию вектора на ось. Для этого полезноследующее алгоритмическое предписание:
1) изобразить вектор графически в избранном масштабе; указатьна рисунке начало координат и координатную ось;
2) спроецировать на ось начальную и конечную точки вектора;
3) найти длину отрезка между проекциями этих точек на ось; еслиможно, выразить длину отрезка через модуль вектора;
4) обозначить наименьший угол между положительнымнаправлением оси и направлением вектора; определить этот угол;
5) если указанный угол острый, то приписать проекции знак “+",если нет, то приписать проекции знак “-".
6) записать проекцию вектора: длину отрезка, определенную вп.3, со знаком, установленным в п.5 (или: вычислить проекцию вектора по формулеax = |a|×cosa, еслиизвестен |a|).
Таким образом, при решении задач школьного курса покинематике и динамике применяется координатный способ, предполагающий использование,по крайней мере, двух алгоритмов.
Предлагаемый в последующих разделах данной работы векторный(геометрический) способ решения в ряде случаев имеет преимущество передкоординатным. Решение задач с использованием векторного способа предполагаетпостроение векторных многоугольников скоростей, перемещений, ускорений, сил,импульсов. Решение векторных многоугольников (т.е. таких, сторонами которыхявляются векторы) производится по тем же правилам, что и решение обычныхмногоугольников. При этом, если получившаяся при построении фигура являетсякосоугольным треугольником, ее решение сводится к применению теоремы синусов итеоремы косинусов. Если же треугольник получается прямоугольным, решениеупрощается (используются соотношения сторон и углов прямоугольноготреугольника, теорема Пифагора). Таким образом, при применении векторныхмногоугольников для решения некоторых задач механики отпадает необходимость впроекцировании векторных величин на оси координат, чем, в первую очередь, и упрощаетсярешение конкретной задачи.
2. О векторных способах решения задач механики2.1 Векторные треугольники скоростей и перемещенийв задачах
Кинематика изучает „геометрию” движения — математическое описаниедвижения без анализа причин, его вызывающих. Другими словами, без выяснениявопроса, почему рассматриваемое движение происходит именно так, а не иначе,устанавливается математическое соотношение между его различнымихарактеристиками, такими как перемещение, пройденный путь, скорость, ускорение,время движения.
При движении тела (материальной точки) его перемещение можнорассматривать как геометрическую сумму нескольких последовательных перемещений,например,
/>. (2.1 1)
Соответствующий (2.1 1) многоугольник (треугольник) перемещенийпредставлен на рис.1. Изменение скорости тела
/>; (2.1 2)
этому выражению соответствует треугольник скоростей (рис.2).
Если тело движется с постоянным по величине и направлениюускорением />, то выражение для скоростив любой момент t времени имеет вид:
/>; (2.1 3)
где /> при t = 0. В общем случае направлениявекторов начальной скорости /> иускорения /> могут не совпадать. Треугольникскоростей, соответствующий выражению (2.1 3), приведен на рис.3. Векторперемещения при этом определяется следующим образом:
/>. (2.1 4)
/>/> /> /> />
/> /> /> />
/> /> />
Рисунок 1. Рисунок2. Рисунок 3.
Векторные треугольники перемещений представлены на рис.4 — 6.
/>/>/> /> /> /> /> />
/>
/> />
/>
Рисунок 4. Рисунок 5. Рисунок 6.
Наиболее эффективно применение векторного способа,основанного на построении векторных треугольников скоростей и перемещений, втех случаях, когда известны направления векторов ускорения и одной из скоростей(например, начальной). Это относится, в частности, к задачам о движении тепапод действием сипы тяжести.
При движении двух тел (материальных точек), зная ихперемещения /> и /> относительно некоторойсистемы отсчета, можно вычислить перемещение второго тепа относительно первого:
/>. (2.1 5)
Разность скоростей теп (относительная скорость) определяетсяпри этом выражением:
/>, (2.16)
соответствующим закону сложения скоростей Галилея:
/>, (2.1 7)
где /> и v2 — скорости первого и второго теп в неподвижнойсистеме отсчета («неподвижность» системы относительна), /> - скорость второго телаотносительно первого. Векторные треугольник и параллелограммы скоростей,соответствующие формулам (2.1 6) и (2.1 7), представлены на рисунке 7.
/>/>/> />/>/> а) б) в)
/> /> /> /> /> />
/> /> />
Рисунок 7.
Заметим, что в задачах об одновременном движении двух илинескольких тел целесообразно, как правило, связывать систему отсчета с одним изэтих тел и использовать понятия относительных скорости и перемещения.
2.2 Векторные многоугольники сил в задачах
Основное уравнение динамики материальной точки являетсяматематическим выражением второго закона Ньютона и имеет вид:
/>, (2.2.1)
где /> - массаматериальной точки, /> - ее ускорение, /> - действующаяна материальную точку сила (или равнодействующая нескольких сил, определяемаяих геометрической суммой). Таким образом, при наличии нескольких складываемыхсил можно построить их векторный многоугольник. При этом ускорение равно нулю,если равнодействующая сила равна нулю.2.3 Векторные многоугольники импульсов в задачах
Как известно, одна из форм второго закона Ньютона имеетвид:
/> (2.3.1)
где /> - импульс тепа (материальнойточки), /> - его изменение за время /> - средняяза время /> сипа,действующая на тело. Формула (2.3.1) представляет собойматематическое выражение так называемой теоремы об изменении импульса: изменениеимпульса тепа равно импульсу средней сипы, приложенной к телу.
Аналогичные формула и теорема имеют место и для системы теп,но в этом случае /> - суммарныйимпульс тел системы, /> - средняяза время /> геометрическаясумма внешних сил, действующих на тепа системы (так называемый главный векторвнешних сил). При /> импульс тепа (илисистемы тел) сохраняется: />, />.2.4 Векторные диаграммы импульсов в задачах остолкновениях частиц
Остановимся на механическом описании процессов неупругого иупругого соударений, имеющем прикладное значение в разных разделах физики. Рассмотримсначала «самопроизвольный» (без воздействия внешних сил) распадчастицы на две составные части — на две частицы, движущиеся после распаданезависимо друг от друга. Наиболее просто процесс выглядит в системе отсчета, вкоторой частица до распада покоилась; в этой системе будет покоиться центр массдвух образовавшихся после распада частиц. Назовем эту систему отсчетаЦ-системой. По закону сохранения импульса сумма импульсов обеих образовавшихсяпосле распада частиц в Ц-системе равна нулю, т.е. импульсы частиц равны помодулю и направлены в противоположные стороны Модуль импульса /> каждой частицыопределяется из закона сохранения энергии:
/> (2.4 1)
где /> и /> - массы образовавшихся частиц, />и/> - их внутренние энергии, /> - внутренняяэнергия исходной частицы. Тогда энергия распада
/>. (2.4 2)
Распад возможен при ε>0. Из(2.4 1) и (2.4 2) находим:
/> (2.4 3)
где /> - приведенная массаобразовавшихся частиц. Скорости частиц после распада в Ц-системе: /> и />.
Перейдем к системе отсчета, в которой первичная частицадвижется до распада со скоростью />. Этусистему отсчета обычно называют лабораторной системой (JI-системой).Пусть скорость одной из частиц после распада в JI-системеравна />, а в Ц-системе равна />. Тогда
/> или />; (2.4 4), />, (2.4 5)
где /> - угол выпетачастицы по отношению к направлению скорости />.Зависимость скорости распадной частицы от направления ее вылета в JI-системе может быть представлена с помощью диаграмм (рисунок8).
/>/>
/> /> /> />
A /> /> А /> />
/> О /> О
Рисунок 8.
Из рисунка 8 видно, что при /> частица может вылететь под любымуглом />; при /> - только вперед под углом, где
/>. (2.4 6)
Легко установить связь между углами вылета в JI-системе и в Ц-системе:
/>, (2.4 7)
причем если при />каждомузначению /> соответствуетодно значение />, то при /> каждому значению /> соответствуетдва значения /> (за исключениемслучая />).
Перейдем к изучению столкновений частиц. Задача о неупругомстолкновении двух частиц обратна задаче о распаде частицы на две, рассмотреннойвыше. В Ц-системе справедливо выражение (2.4 1), а величина /> в этом случае равнаприращению внутренней энергии составной частицы, образовавшейся в результатенеупругого столкновения.
Рассмотрим задачу об упругом столкновении двух частиц, прикотором не изменяется их внутреннее состояние. Как известно, в JI-системе скорость центра масс двух частиц с массами />и/>скоростями /> и /> определяется выражением:
/>. (2.4 8)
Скорости частиц до столкновения в Ц-системе связаны с ихскоростями в JI-системе известными соотношениями
/>, />, (2.4 9)
где />. В силузакона сохранения импульса импульсы обеих частиц в Ц-системе остаются послестолкновения равными по модулю и направленными в противоположные стороны, всилу закона сохранения энергии модули импульсов в Ц — системе при столкновениине меняются. Таким образом, в Ц-системе результат столкновения сводится лишь кповороту скоростей обеих частиц, причем после поворота скорости остаютсянаправленными в противоположные стороны. Если единичный вектор /> выражает направлениескорости /> первой частицы послестолкновения, то в Ц-системе.
/>,/>. (2.4 10)
Чтобы вернуться к JI-системе, нужнок этим выражениям добавить скорость /> центра масс:
/> (2.4 11)
Этим исчерпываются сведения, которые можно получить из однихтолько законов сохранения импульса и энергии. Направление вектора />зависит от условийвзаимодействия частиц (от взаимного расположения во время столкновения и т.п.).
Для геометрической интерпретации результатов перейдем опятьк импульсам. Из (2.4 11) получим:
/> (2.4 12)
где /> - приведеннаямасса частицы. Векторная диаграмма импульсов, соответствующая (2.4 12), приведенана рисунке 9. Здесь
/>,/>,/>.
При заданных />и /> радиус окружности иположения точек А и В неизменны, а точка Сможет иметь любое положение на окружности.
С
/>
/> /> />
А О В
Рисунок 9.
В частном случае, когда частица с массой /> до столкновения покоится в JI-системе, имеем:
/>,/>, (2.4 13)
т.е. на диаграмме т. В лежит на окружности; ОВ = ОС — радиус,вектор /> совпадает с импульсом /> первой частицы до удара. Приэтом точка Аможет находиться внутри (если />) или вне (если />) окружности (рисунок 10). Несложнопоказать, что углы /> и /> отклонения частиц послестолкновения по отношению к /> (кнаправлению удара) могут быть выражены через угол /> поворотапервой частицы в Ц-системе:
/>,/>, (2.4 14)
/>/>/>/>/> С С
/>
/> /> /> />
/>/>/> /> /> /> /> /> />
А О /> В А О /> В
Рисунок 10.
Модули скоростей частиц после удара в Л-системе также могутбыть выражены через угол /> имодуль относительной скорости /> до удара:
/>,
/>. (2.4 15)
Отметим, что сумма /> определяетугол разлета частиц после столкновения. При /> этасумма больше />, при /> - меньше />, угол разлета частиц равноймассы прямой.
Заключение
В ряде случаев векторный способ имеет преимущество передкоординатным, не только упрощая решение конкретной задачи, но и превращаяиногда сложные на первый взгляд задачи в подстановочные, решаемые практическиустно.
В работе рассмотрены возможности использования одного изне-стандартных методов решения задач механики в курсе физики средней школы. Основныерезультаты можно сформулировать следующим обра-зом:
1. Показана роль решения задач при обучении физике,приведены алгоритмы решения задач координатным способом.
2. Сформулированы теоретические основы векторных способоврешения избранных задач кинематики и динамики.
3. Подобраны и составлены задачи, для решения которыхцелесообразно применение векторных способов.
Данные задачи могут быть использованы на уроках физики общеобразовательнойшколы, для формирования навыков у учащихся применения векторных способов длярешения задач.
Литература
1. Секержицкий, В.С. Векторныеспособы решения избранных задач механики / В.С. Секержицкий, И.В. Секержицкий [Электронныйресурс]. — Электрон. текстовые, граф., дан. (4 Мб). — Брест: БрГУ имени А.С. Пушкина,2009. — Рег. № 88 от 19.11.2009.
2. Бугаев А.И. Методика преподаванияфизики в средней школе. / Бугаев А.И. // Просвещение. — 1981. — С.211-218.
3. Кабушкин В.К. Методика решениязадач по физике. / Кабушкин В.К. // Изд-во Ленинградского ун-та — 1972. — С132-140.
4. Каменецкий С. Е Методикапреподавания физики в средней школе. / Каменецкий С.Е., Иванова Л.А. // Просвещение.- 1987. — С. 204-212.
5. Перышкин А.В. Основы методики преподаванияфизики. / Перышкин А.В. // Просвещение. — 1984. — С.92-108.