Методикаобучения математике как научная область
Чтобыподготовить учителя, способного решать задачи обучения математике в современнойшколе, необходим соответствующий учебный курс (сегодня он называется«Теория и методика обучения математике»), в котором были быпредставлены как теоретические основы построения процесса обучения, так и путиих практического применения. Как известно, любая учебная дисциплина отражаетособенности соответствующей научной области. Изучение программ, учебных пособийпо курсу методики обучения математике в педвузе, сопоставление их содержания снаучными источниками выявило ряд противоречий как в оценке статуса и содержанияметодики как научной области, так и в изложении теоретических основ отдельныхтем.
Рассмотримвопрос о статусе и содержании методики обучения математике как научной области.В последнее десятилетие этой проблеме уделяется значительное внимание впедагогической литературе. Немало усилий для ее решения приложил Г.И.Саранцев.В своей книге «Методология методики обучения математике» ученыйпишет:
— на данном этаперазвития есть все основания считать методику обучения математике научнойобластью;
—предметом ее является методическая система обучения математике, находящаяся подвлиянием внешней среды;
—закономерности осуществления связей между компонентами методической системыобразуют теорию обучения математике [1, с. 42].
Какизвестно, теории, которые признаны научным сообществом, находят отражение вучебниках. Анализ учебных пособий по методике обучения математике для студентовпоказал, что в их инвариантную часть традиционно входят следующие разделы:
—формирование математических понятий;
—изучение теорем и их доказательств;
—обучение математической деятельности;
—обучение решению задач;
—основы проектирования урока.
Методологическиеоснования вышеназванных разделов существенно различаются. Например, тема«Формирование математических понятий» опирается на концепции,сложившиеся в теории познания и логике. Проблема обучения математическойдеятельности решается с позиции теории деятельности (А.Н.Леонтьев), теориипоэтапного формирования умственных действий и учения об ООД (Н.Ф.Талызина иП.Я.Гальперин), разработанных в психологии. Воспитательные аспекты обученияматематике раскрываются в соответствии с концепциями развития личности, которыеразработаны в психологии и педагогике.
Можноговорить о том, что методика обучения математике как научная область должнаиметь такую же структуру, как и любая другая наука, т.е. она должна состоять изотдельных научных теорий. Каждая из них имеет один и тот же объект — процессобучения математике, предметом же исследования является определенный аспектэтого процесса.
Заметим,что наша точка зрения относительно структуры методики как научнойобласти не противоречит выводам Г.И.Саранцева. Но, на наш взгляд, еще раноговорить о существовании «методической системы обучения математике» вцелом. Об этом свидетельствует тот факт, что, во-первых, еще до конца невыявлено ее инвариантное содержание, во-вторых, те «методическиесистемы», которые составляют ядро методики, еще не приобрели статусатеории. В методике формирования математических понятий накопилось немалопротиворечий, которые нелегко разрешить.
Процессоформления научного знания в теорию называется теоретизацией науки. Можно утверждать,что по отношению к методике как научной области этот процесс только начинается.Первым этапом должна стать теоретизация отдельных ее составляющих, прежде всеготех, которые входят в инвариантную часть. Большинство из них не доведены доуровня научных теорий, хотя для этого есть некоторые предпосылки.
Развитиенауки происходит в рамках определенной парадигмы. На современном этапе в основуобщей парадигмы образования положена концепция развития и воспитания личности впроцессе обучения. Очевидно, отдельные теории, входящие в состав методикиобучения математике, должны строиться с учетом идей гуманизации игуманитаризации образования. Такие методологические положения называют внешнимиотносительно научной теории. Они не входят в ее структуру.
Проблема«устройства» научного знания рассматривалась в трудах В.М.Розина,В.Н.Швырева, В.А.Лекторского, Ю.А.Петрова, А.Л.Никифорова и др. Структуранауки, по мнению этих ученых, включает три уровня: методологический,теоретический и эмпирический.
Математикакак наука состоит из различного рода научных теорий. В учебниках глобальныеметодологические вопросы, такие, например, как соотношение эмпирического итеоретического, образование математических понятий, не рассматриваются, но ужена самых ранних этапах изучения математики в ее содержание включаются такиеметодологические аспекты, как теория множеств и аксиоматический методпостроения математических теорий. Конкретные математические теории, концепциивключают также внешние по отношению к ним положения и факты, которые объясняютструктуру научного знания, являются инструментом решения некоторыхтеоретических проблем. Подобные знания принято называть методологическими. Онине могут быть получены (объяснены) средствами данной теории, но без нихневозможно ее развитие и функционирование. К примеру, разделы методики обученияматематике, посвященные отбору и организации содержания школьного курсаматематики, не могут не учитывать строения соответствующих математических теорий,особенности структуры объектов этих теорий. Вследствие этого методика должнасодержать и методологические знания и положения. При этом для теорий обучения,связанных с содержанием математики, вряд ли этот слой можно отнести к внешнейсреде. Методологические знания, касающиеся структуры, законов функционированияосновных объектов теории сами становятся ее компонентами. Они составляют научнуюпарадигму, которая задает «методологические координаты» развитияобъектов, изучаемых данной наукой или теорией. На их основе разрабатываются, вчастности, методические концепции, в которых отражены закономерности обученияматематике в рамках рассматриваемой теории. Все это составляет теоретическийслой научной области.
Кромеэтого слоя, есть и эмпирические знания. К ним можно отнести конкретныеметодические рекомендации по применению теоретических положений к изучениюконкретных объектов. Методику обучения математике часто обвиняют в том, что онане объясняет, а дает рецепты, советы, образцы. «Методическим»теориям, в отличие от любых других, присуще пристальное внимание к процессуприменения тех теоретических положений, которые составляют ее содержание. Этомогут быть и образцы, и алгоритмы, и просто некоторые ориентиры применениятеоретических положений. Такие методические рекомендации вырабатываютсяконкретными людьми на основе конкретного опыта обучения, полученного вограниченное время, на ограниченном материале. Они могут быть различными, дажеесли выведены из сходных положений. Если теория недостаточно разработана, тоитогом ее функционирования становятся методические рекомендации, которыеявляются результатом обобщения практики школьного обучения. Их нельзя отнестидаже к разряду эмпирических знаний. Это практические рецепты. Таких«научных» исследований в методической науке немало. Следует заметить,что сомнения в научном статусе методики обучения математике не беспочвенны.Говорить о ее теоретизации еще рано. В настоящее время система образованияпретерпевает значительные изменения. Очевидно, они должны повлечь за собой исоответствующее развитие теорий методики обучения. Но вряд ли оправданотребовать от методики и как науки, и как учебного предмета немедленной иадекватной реакции на изменения внешней среды. Как известно, научные фактынаходят отражение в учебниках и внедряются в практику через 40—50 лет после ихвозникновения. Отсутствие или расплывчатость методологии приводит к тому, чтометодические исследования либо подменяют труды психологов, либо выдают«рецепты» (обобщение практического опыта обучения).
Существуети другая проблема методической науки. Случается, что методология научногознания разработана, но для появления методической концепции требуется время,необходимое и для теоретических обобщений, и для анализа практики обучения, идля экспериментальной проверки теоретических положений. Например, впсихолого-педагогических исследованиях речь идет о личностно ориентированных технологияхобучения, но на практике ни одна из них не используется (а может быть, и неможет быть использована в условиях классно-урочной системы обучения в школе).
Рассмотримстановление методической теории на примере функционирования и развития теорииформирования математических понятий. Термины «функционирование» и«развитие» науки ввел В.М.Розин. Одной из побуждающих сил ее функционированияявляется анализ противоречий, проблем и различных затруднений, возникающих внаучном мышлении и деятельности. Развитие науки побуждается, с одной стороны,логикой научного познания (его требованиями, идеалами, ценностями), с другой —накоплением большого числа противоречий, рассогласований в научныхпредставлениях. В число проблем входят и те, которые возникают в практике:описание новых объектов, включение в теорию знаний, полученных о них,построение концепций новой объектной области и др. Математик и логикА.В.Гладкий справедливо заметил, что ошибки в процессе познания неизбежны имоменты их обнаружения и исправления являются в этом процессе ключевыми.«Не будет слишком большим преувеличением сказать, что все наше знаниевозникает, в конечном счете, из ошибок и их исправления» [2, с. 160].Одним из первых, кто теоретически обосновал период перехода от нормальногофункционирования науки в рамках устоявшейся парадигмы к новому знанию, к новойпарадигме, был Томас Кун. Смену парадигмы он назвал научной революцией. Дляученого она означает переход из одного мира в другой, полностью отличный отпервого. Он связан со значительными затруднениями по ряду причин. Прежде всего,с точки зрения всех существующих стандартов новая парадигма всегда будетказаться хуже старой. Она не так хорошо соответствует уже накопленным наукойфактам, решает меньше проблем, ее технический аппарат менее разработан, понятияменее точны и т.п. Для того, чтобы совершенствовать ее, раскрыть еепотенциальные возможности, нужны ученые, способные принять новую парадигму и начатьее развивать.
Модельразвития науки Т.Куна выглядит следующим образом: существование общепризнаннойпарадигмы -> рост числа аномалий, приводящий к кризису -> научнаяреволюция, означающая смену парадигм.
Становлениеметодической науки проходит по тем же законам, которые определяют развитиелюбого научного знания. Рассмотрим в качестве примера развитие теорииформирования математических понятий в средней школе. Многие десятилетия онафункционирует в рамках объектной парадигмы (термин введен автором статьи).Перечислим основные ее положения, заимствованные в формальной логике, в которыхвыражены знания о структуре и способе образования понятий:
• термин«понятие» применяется для обозначения мысленного класса объектовреальной действительности и нашего сознания;
• каждоепонятие объединяет в себе класс объектов — объем этого понятия — ихарактеристическое свойство, присущее всем объектам данного класса и только им,— содержание понятия;
• содержаниепонятия раскрывается его определением.
Объектнаятрактовка не раз подвергалась критике со стороны психологов (Л.С.Выготский,М.А.Холодная) как несостоятельная с точки зрения представлений о психическойприроде научного понятия, механизмах его образования и функционирования. Выбортакой модели в качестве методологической основы построения теории формированияматематических понятий в школе ведет к ряду противоречий и проблем в обученииматематике. Так, в соответствии с объектной парадигмой введение нового понятияначинается с анализа всех свойств объектов и вычленения существенныхпризнаков, которые затем «обобщаются» в понятии. С точки зрениятеории познания этот способ характерен, прежде всего, для естествознания иобществознания, где понятия образуются на основе наблюдения реальных объектов.Математика с самого начала имеет дело не с реальными, а с идеализированнымиобъектами. Математические понятия образуются на основе их изучения.
Исходяиз объектной трактовки, методика формирования математических понятий в школенаправлена, прежде всего, на обучение распознаванию объектов на основеопределения. При этом недостаточное внимание уделяется изучению тех компонентовпонятия, которые необходимы при его применении в практической деятельности, аименно, при решении задач, доказательстве теорем. Анализ деятельности ученика приизучении математики показывает, что для достижения результата он должен владетьцелым комплексом суждений о каждом математическом объекте и знать логическиесвязи между ними. Так, решая задачу по геометрии, он рассуждает: «В данномтреугольнике два угла равны. Следовательно, он является равнобедренным. Нотогда медиана треугольника, проведенная к его основанию, является еговысотой». И так далее. Очевидно, на первый план здесь вы ступает нераспознавание геометрической фигуры по определению, а владение этим понятиемкак системой взаимосвязанных, логически упорядоченных суждений, которыеназываются свойствами и признаками понятия «равнобедренныйтреугольник». Формирование подобных систем суждений возможно лишь врезультате доказательства теорем, решения задач. Но они рассматриваются внесвязи с формированием понятия, поскольку к моменту их изучения оно считаетсясформированным. Нет сомнений в том, что в процессе изучения соответствующейтеории формирование понятия продолжается, оно включается в связи с другимипонятиями. Тем не менее, в учебных пособиях по общей методике преподаванияматематики процесс формирования понятия практически подменяется работой над егоопределением. В одном из наиболее известных пособий можно прочесть:«Заключительным этапом формирования понятия, как правило, является егоопределение». В основу методики изучения определений положена следующаяточка зрения, заимствованная в формальной логике: определение рассматриваетсякак логическая операция, как некий процесс выделения существенных чертобъектов, в результате которого и «рождается» определение. Врезультате такого определения в школьной практике нашла широкое распространениеложная, на наш взгляд, тенденция — обучение «открытию» определений.Например, авторы одного известного пособия для учителей рекомендуют построитьработу над определением угла, вписанного в окружность, таким образом: учащимсяпредлагается рассмотреть рисунок, на котором изображены окружность и 4 угла,среди них только один является вписанным. «Задается вопрос: Подумайте,какой из углов мы будем называть вписанным в окружность? После обсужденияразличных ответов составляется определение». Внешне деятельность учащихсяпо «открытию» определений выглядит вполне современно, побуждает детейк анализу ситуации. В действительности такая работа сводится к угадываниюнужного ответа, она утомляет школьников, а главное, создает неверныепредставления о математике в целом. По поводу «открытия» определенийГ.Фройденталь, автор известного пособия для учителей, писал: «Как можно определитьнечто, коль скоро не знают того, что определяют?» [3, с. 48].
Насамом деле математические определения играют двоякую роль: во-первых, онизакрепляют термин за изучаемым классом объектов, во-вторых, служат начальнымзвеном в цепи дедуктивных рассуждений, в результате которых возникают научныетеории, математические понятия. Строгие определения появляются лишь после того,как теория уже настолько развита, что возникает потребность в ее логическомупорядочении. Выбор определения — забота ученого, который выстраиваетсоответствующую теорию.
Теоретизациянаучного знания начинается, как правило, с уточнения терминологии. Анализ,связанный с категорией понятия в логике, показал, что термины«свойство», «признак» не используются как научные. Одно ито же суждение называют и признаком, и свойством, и характеристическимсвойством, тогда как в математике термины «признак» и«свойство» имеют точное значение. Они характеризуют отношения междупонятием и тем суждением, которое высказано о нем. Терминологическая «чехарда»наблюдается и в учебных пособиях по методике обучения математике, в которыхтеоретические основы формирования математических понятий излагаются в рамках«объектной» парадигмы. Так, содержание понятия «биссектриса угла»составляют следующие суждения: луч; выходит из вершины угла; делит уголпополам. Здесь выделены те свойства биссектрисы, которые составляют ееопределяющий признак. Но в содержание понятия «параллелограмм»включены свойства: противоположные стороны равны; противоположные углы равны;диагонали точкой пересечения делятся пополам и др. Каждое из них само можетслужить определяющим признаком понятия. Если бы авторы пособий рассматривалисодержание понятия «параллелограмм» с тех же позиций, что исодержание понятия «биссектриса угла», то оно должно было бы включатьследующие суждения: четырехугольник, противоположные стороны параллельны. Такаятерминологическая путаница — следствие того, что трактовка понятия в логике несоответствует пониманию его сущности в математике. С позиции математики всодержание понятия «параллелограмм» входят и определяющий признак, иуказанные в пособиях свойства, и не только они. Содержание понятия«параллелограмм» составляет вся известная на данный момент информацияоб этой фигуре. Такая трактовка понятия начинает развиваться в теории познания.Нами построена логическая модель, которая показала, что математическое понятиене вписывается в рамки «объектных» представлений. Исходя изпредлагаемой модели понятия, которую мы назвали логико-информативной, объемпонятия состоит из понятий, а не из отдельных объектов. С определения развитиепонятия только начинается. Построение теории формирования математическихпонятий на основе логико-информативной модели может означать переход к новойпарадигме. Новый «методологический» каркас теории формированияматематических понятий позволяет не только избавиться от тех противоречий,которые присущи «объектному» подходу, но и существенным образомизменить методику формирования математических понятий, перенеся акцент сусвоения определения и обучения распознаванию объектов на раскрытие содержанияпонятия. Это позволяет не только успешно применять понятия в рассуждениях, вдеятельности, но и существенным образом влияет на процесс обучения другимединицам математического содержания: теоремам, задачам.
Длякачественной профессиональной подготовки учителя необходим учебный курс ихорошие пособия к нему. За последние десять лет уже несколько раз меняласьпрограмма учебной дисциплины, обеспечивающей методическую подготовку учителя. Внастоящее время данный курс называется «Теория и методика обученияматематике». Само название курса противоречиво. На наш взгляд, либо этодолжен быть курс «Теория и практика обучения математике», либо«Теории обучения математике». На страницах журнала «Педагогика»уже не раз обсуждался вопрос о названии подобной учебной дисциплины.Предлагались варианты «Педагогика математики» и «Дидактикаматематики». Термин «педагогика математики» использовализвестный ученый-методист А.А.Столяр, но он «не прижился» в научном сообществе.И педагогика, и дидактика — термины, уже используемые в определенных значениях,в сознании ученых они связаны с конкретными представлениями. По нашему мнению,учебный предмет, обеспечивающий профессиональную подготовку учителя математики,следует называть «Теория обучения математике в школе». По курсу общейметодики написано в настоящее время более десятка учебных пособий на базеразных педвузов. Настала пора создать такой авторский коллектив, которыйсоздаст учебное пособие, отвечающее всем требованиям к методической подготовкебудущего учителя математики.
Взаключение выделим основные положения данной статьи.
1. Впедагогических науках в последние десятилетия наблюдается активный процесстеоретизации, который выражается в уточнении терминологии методологических итеоретических концепций.
2. Методикаобучения математике в школе — научная область, представляющая собойсовокупность теорий, объектом которых является процесс обучения математике вшколе, предметом — некоторый аспект этого процесса.
3. Развитиеметодики обучения математике как научной области осуществляется под влияниемвнешней среды. Особое значение для развития методической науки имеетобразовательная парадигма, соответствующая каждому этапу в развитии методики. Внастоящее время развитие методической науки осуществляется в рамках парадигмыличностно ориентированного обучения.
4. Всоответствии с закономерностями строения научных теорий«методические» теории содержат в своей структуре:
а)методологические положения, используемые в построении методических концепцийтеории, относящиеся преимущественно к внешней среде;
б)теоретический слой, который представлен методологическими положения ми,описывающими структуру и действия с основными объектами теории, и методическойконцепцией и ее обоснованием;
в)эмпирические знания, которые в теории представлены методическими рекомендациямипо применению соответствующей концепции.
5.Как показывает пример развития теории формирования математических понятий,назрели предпосылки изменения методологических основ построения некоторых«методических» теорий.
Списоклитературы
1. Саранцев Т.Н. Методологияметодики обучения математике. Саранск, 2005.
2. Гладкий А.В. Введениев современную логику: Учебное пособие. М., 2007.
3. Фройденталъ Г. Математика как педагогическаязадача: Пособие для учителей. Сокр. пер. с нем. Ч. 2 / Под ред. Н.Я.Виленкина.М., 1982.