Измерения геометрических величин в курсе геометрии 7-9 классов

Оглавление
Введение
Глава 1. Психолого-педагогические инаучно-методические основы изучения измерений геометрических величин в школе
§1. Практическая деятельностьучащихся при изучении геометрии
§2. Этапы изучения измеренийгеометрических величин в школьном курсе математики
§3. Сравнительный анализ учебныхпособий по геометрии для 7 – 9 классов
3.1 Учебник геометрии 7 – 9 (авторыАтанасян Л.С. и др.)
3.2 Учебник геометрии 7 – 11 (авторыПогорелов А.В. и др.)
3.3 Учебник геометрии 7 – 9 (авторыШарыгин И.Ф. и др.)
3.4 Учебник геометрии 7 – 9 (авторыСмирнова И. М., Смирнов В.А.)
3.5 Учебники геометрии 7, 8 – 9(авторы Александров А.Д. и др.)
§4. Измерительные инструменты в школе
4.1 Измерительные инструменты дляизмерения длин отрезков
4.2 Приборы для переноса измеряемогоразмера с объекта на линейку
4.3 Инструменты, с помощью которыхможно измерить градусную меру угла
4.4 Инструменты для измерения площадей
§5. Различные направленияиспользования измерений геометрических величин при обучении геометрии
5.1 Типология задач на измерения
5.1.1 Задачи на непосредственныеизмерения
5.1.2 Задачи на косвенные измерения
5.1.3 Задачи, в которых до методовкосвенного измерения, применяются непосредственные измерения
5.1.4 Задачи на измерениегеометрических величин средствами информационных технологий
5.2 Использование измеренийгеометрических величин на разных этапах урока геометрии
Глава 2. Измерения геометрическихвеличин в курсе геометрии 7 – 9 классов
§1. Примеры использования измерений вобучении геометрии
1.1  Использование измерений при введенииновой темы
1.1.1 Сумма углов треугольника
1.1.2 Площадь трапеции
1.1.3 Длина окружности
1.1.4 Теорема Пифагора
1.2 Использование измерений прирешении задач
1.3 Использование измерений дляопровержения каких-либо утверждений
1.4 Измерения, подчеркивающиепрактическую значимость геометрии
§2. Рекомендации по реализацииосновных направлений использования измерений в школьном курсе геометрии
§3. Элективный курс «Измерениерасстояний на местности»
Заключение
Библиография

Введение
Выбор темы дипломнойработы «Измерения геометрических величин в курсе геометрии 7 – 9 классов»обусловлен следующими факторами: идейно-содержательная линия «Измерениягеометрических величин» входит в состав геометрической линии школьного курсаматематики и изучается с 5 по 11 класс.
Эта линия как быпронизывает весь математический материал, изучаемый в школе.
Само слово «геометрия» впереводе с греческого означает «землемерие». С древних времен люди сталкивалисьс необходимостью находить расстояния между предметами, определять размерыучастков земли, ориентироваться по расположению звезд на небе и т.п. Такимобразом, зарождение геометрии было связано с различными измерительнымиработами, которые приходилось выполнять при разметке земельных участков,проведении дорог. При строительстве различных сооружений необходимо былорассчитывать, сколько материала пойдет на постройку, вычислять расстояния междуточками, измерять углы между прямыми и др. В результате этой деятельностипоявились и постепенно накапливались различные правила, связанные сгеометрическими измерениями и построениями. Таким образом, геометрия возниклана основе практической деятельности людей. До сих пор мы используем умения,связанные с измерением геометрических величин в повседневной жизни ипрофессиональной деятельности. Поэтому важной составляющей обучения геометрииявляется обучение использованию измерительных инструментов на практике.
При этом измерения могутоказать значительную помощь в изучении остальных тем геометрии и достижениицелей обучения математике в школе. Без знания разнообразных измерительныхинструментов, геометрических величин и без умения производить измерения этихвеличин обучение геометрии становится невозможным.
А в связи с тем, что внастоящее время возникает острая нехватка профессиональных инженеров,технических специалистов и руководителей среднего звена на производстве, вопрособ обучении школьников умениям, связанных с измерениями геометрических величин,занимает одно из первых мест.
Целью дипломной работыявляется выявление возможностей использования измерений геометрических величинпри изучении различных тем курса геометрии 7 – 9 классов.
При достижении целиработы потребовалось решение следующих задач:
-  изучение психологической иучебно-методической литературы по теме;
-  анализ измерительных инструментов дляшкол
-  проведение классификации измеренийгеометрических величин
-  разработка методических рекомендацийдля реализации основных дидактических функций на уроке математики сиспользованием измерений;
-  разработка элективного курса«Измерение расстояний на местности».
Дипломная работа состоитиз введения, двух глав, заключения, приложения и списка литературы, состоящегоиз 33 источников.
Первая глава работысодержит пять параграфов.
В первом параграферассматривается необходимость использования практической деятельности учащихсяна уроках геометрии, а также принципы обучения, которые необходимо соблюдать ипри организации практической деятельности учащихся.
Во втором – мы выделилиэтапы изучения измерений в школьном курсе геометрии.
Далее представлен анализшкольных учебников геометрии, различных подходов к введению определенийгеометрических величин, рассматриваемых авторами измерительных инструментов.Анализ содержания предлагаемого для изучения материала проводился по четыремвопросам: понятие измерения геометрической величины; измерение геометрическихвеличин; вычисление геометрических величин; применение измерений геометрическихвеличин на практике.
Четвертый параграфпосвящен описанию различных измерительных инструментов, используемых в школе, иинструментов, которые полезно изучить в школе.
В пятом параграфе мырассматриваем различные направления использования измерений при обучениигеометрии.
Вторая глава отведена наразличные примеры использования измерений при изучении различных тем геометрии,методических рекомендаций к урокам, а также описанию элективного курса«Измерение расстояний».
В заключении представленыосновные выводы о работе. В приложении – краткий сравнительный анализ глубины ипоследовательности изучения отдельных содержательных вопросов измерениягеометрических величин в школьных учебниках геометрии для 7 – 9 классов.

Глава 1.Психолого-педагогические и научно-методические основы изучения измерений вшколе
§1. Практическаядеятельность учащихся при изучении геометрии
Источником знанияявляется практическая деятельность учащихся. Она обеспечивает не толькозакрепление и применение знаний, но и формирует опыт, умения, служитинтеллектуальному, физическому и нравственному развитию.
Как если ни на практикеповар узнает вкус той еды, которую он готовит; как если ни на практике инженерыпроверят свои изобретения на работоспособность, — практическая деятельностьважна не только в процессе обучения, но и в жизни каждого. С самого рождениячеловек познает окружающий его мир с помощью практической деятельности – онпробует сидеть, ходить, говорить… Ведь именно на практике ребенок узнает своивозможности, способности, узнает о совершенных ошибках и исправляет их. Приизучении геометрии эта деятельность также важна.
Именно на практикешкольнику выдается возможность прочувствовать всю красоту геометрии: это исвязь с другими дисциплинами, и возможность применения ее в повседневной жизни,и разнообразие геометрических фигур, и интереснейшая история ее развития имногое другое.
Практическая деятельностьшкольников играет немалую роль при достижении целей изучения математики.Достижение образовательной цели: в процессе практической деятельностивозрастает степень понимания учебного материала. Ученик, проделывая какую-либоработу, обдумывает каждое свое действие, усваивая при этом теоретическийматериал, связанный с выполняемым заданием. Также практическая деятельностьспособствует выполнению воспитательной и развивающей функций: ученикивнимательнее относятся к выполнению заданий, развивается ответственность засвои действия, самостоятельность, аккуратность. Активизация практической деятельностипозволит не только заинтересовать учащихся, но и проявить себя с лучшейстороны. Нередко ученик, который не может похвастаться своими теоретическимизнаниями, на практике добивается успехов, при этом он может и не понимать того,что он все равно использует теорию. Достижение хороших результатов поднимает исамооценку школьников, появляется стремление к совершенствованию своих умений инавыков. В литературе [24] отмечается, что зачастую практическая деятельностьсвязана с выполнением лабораторных работ, упражнений, исследованием, творческойдеятельностью, что предполагает: положительную мотивационную активность;направленность и целеустремленность; высокий уровень интеллектуальногоразвития; оригинальное мышление; развитие воображения и фантазии, самостоятельностии способности самооценки. Практическая деятельность помогает развиватьпознавательные интересы учащихся. У учителя в то же время есть возможностьосуществить дифференциальный и индивидуальный подход к учащимся, в зависимостиот темпа их работы, — выполнение контрольно – оценочной функции. Такжепрактическая деятельность способствует развитию мотивации школьников к изучениюгеометрии [9].
Любой учебный материал погеометрии имеет практическую направленность. Например, третий признак равенстватреугольников является теоретической основой «жесткости» треугольника, чтошироко используется при конструкции мостов, подъемных кранов и т.п. [29]. Поэтомудля показа ученикам важности геометрии в повседневной жизни ученикам необходимоне просто рассказать об этих возможностях, но и показать, в каких именнообластях знаний помогает эта наука, дать ученикам самим попробовать применитьсвои знания на практике. Занятия по геометрии должны сопровождатьсяпрактическими работами с привлечением всех учащихся. Это могут быть все видымоделирования, различные землемерные работы, лабораторные работы и т.д.
Несомненно, приорганизации практической деятельности учеников нельзя забывать об основныхпринципах обучения. В методической литературе по математике общепризнаннойявляется следующая система дидактических принципов [14]:
1. Принцип воспитания вобучении математике. Практическая деятельность, как уже было сказано,способствует достижению воспитательных целей. Воспитание мировоззрения и моралиспособствует формированию характера каждого школьника. Чтобы учащийся могдействовать в соответствии с принципами мировоззрения и морали, он долженсформировать у себя такие черты характера, как принципиальность, сила воли,скромность, честность по отношению к самому себе и другим людям. Мировоззрение,базирующееся на научном знании и практическом жизненном опыте, связывает вединое целое эти свойства личности. Отсюда вытекают возможность и необходимостьпередачи всем людям знаний о закономерностях развития природы, общества и человеческогомышления, чтобы они могли сознательно осуществлять деятельность, направленнуюна построение общества.
2. Принцип научности вобучении математике. Одним из аспектов реализации принципа научности в обученииявляется выработка у учащихся учебно-исследовательских навыков и умений, чтоневозможно без практической деятельности школьников.
3. Принципсознательности, активности и самостоятельности в обучении математике. Данныйпринцип заключается в целенаправленном активном восприятии изучаемых явлений,их осмыслении, творческой переработке и применении. Где же еще, как ни напрактике у ученика есть возможность проявить свои знания, попробовать свои силыв решении задач.
4. Принцип доступности вобучении математике. Принцип доступности в обучении вытекает из требованийучета возрастных особенностей учащихся. Он лежит в основе составления учебныхпланов и программ. Принцип доступности требует, чтобы объем и содержаниеучебного материала были по силам учащимся, соответствовали уровню ихумственного развития и имеющемуся запасу знаний, умений и навыков. Ведь еслиперед учеником стоит задача, которую он не может решить из-за недостаткакаких-либо знаний, то вскоре у него пропадает интерес к решению этой задачи ивообще к изучаемой теме и предмету.
5. Принцип наглядности вобучении математике. В обучении геометрии этот принцип очень важен, так как вгеометрии присутствует множество фигур, теорем и др., которые требуютдемонстрации для прочного усвоения их свойств и формулировок. Например, приизучении многогранников демонстрация и самостоятельное моделирование этих фигурспособствуют развитию пространственного мышления, понимаю свойств моделируемогообъекта.
6. Принципиндивидуального подхода к учащимся в обучении математике. Соблюдение этогопринципа эффективно при использовании практических заданий на уроках геометрии.У учителя появляется возможность осуществить индивидуальный идифференцированный подход в обучении. В зависимости от качества и скоростивыполнения заданий преподаватель уделяет время каждому школьнику отдельно:объясняет процесс решения задачи, помогает в решении возникших проблем,обеспечивает дополнительными заданиями, более сложными или легкими, взависимости от того «сильный» ученик или «слабый».
Практическая деятельностьшкольника обеспечивает вовлечение его в учебный процесс, достижение целейобучения математики и соблюдение основных дидактических принципов обучения. Вобучении геометрии это очень важно. Где, если ни на геометрии учащиесявстречаются с формами, которые их окружают: квадраты, окружности,параллелепипеды и др. И именно на геометрии они учатся измерять, вычислятьгеометрические величины: площади, объемы и др. Поэтому очень важно чтобы весьпроцесс обучения геометрии сопровождался практической деятельностью учеников.

§2. Этапы изученияизмерений геометрических величин в школьном курсе математики
Показ учащимся приложенияматематики к решению жизненно важных задач способствует повышению у нихинтереса к обучению, возбуждает творческую активность и самостоятельность вработе.
Однимиз важных звеньев процесса обучения в школе является приобретение учащимисязнаний, умений и навыков в измерении геометрических величин. В содержанииСтандарта основного общего образования по математике [28] уделяется времяизмерению геометрических величин. А именно, туда относят следующие понятия:длина отрезка, длина ломаной, периметр многоугольника, расстояние от точки допрямой, расстояние между параллельными прямыми, длина окружности, число π;длина дуги, величина угла, градусная мера угла, соответствие между величинойугла и длиной дуги окружности, понятие о площади плоских фигур, площадьпараллелограмма, треугольника и трапеции (основные формулы), формулы,выражающие площадь треугольника: через две стороны и угол между ними, черезпериметр и радиус вписанной окружности, формула Герона, площадьчетырехугольника, площадь круга и площадь сектора, связь между площадямиподобных фигур, объем тела, формулы объема прямоугольного параллелепипеда,куба, шара, цилиндра и конуса. Идейно-содержательная линия «Измерениегеометрических величин» входит в состав геометрической линии школьного курсаматематики и изучается с 5 по 11 класс. В объяснительной записке и в текстеПрограммы [22] по математике говорится, что учащиеся в процессе обучениягеометрии должны:
уметь:
-  распознавать на чертежах и моделяхпространственные формы: соотносить трехмерные объекты с их описаниями,изображениями;
-  описывать взаимное расположениепрямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этомрасположении;
-  анализировать в простейших случаяхвзаимное расположение объектов в пространстве;
-  изображать основные многогранники икруглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;
-  строить простейшие сечения куба,призмы, пирамиды;
-  решать планиметрические и простейшиестереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов,площадей, объемов);
-  использовать при решениистереометрических задач планиметрические факты и методы;
-  проводить доказательные рассуждения входе решения задач;
использоватьприобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизнидля:
-  исследования (моделирования)несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;
-  вычисления объемов и площадейповерхностей пространственных тел при решении практических задач, используя принеобходимости справочники и вычислительные устройства.
Рассмотрим, какое местоотводят авторы современных учебников по геометрии измерениям и измерительнымприборам в своих книгах, и какие этапы изучения измерений в школе можновыделить.
Этапы изучения измеренийв школе: пропедевтический курс (1-6 классы), основная школа (7-9 классы),старшая школа (10-11 классы).
В пропедевтическом курсе,который охватывает начальную школу и младшие классы среднего звена, учащиесязнакомятся с различными геометрическими фигурами, приобретают начальные навыкиизображения этих фигур с помощью линейки, циркуля, угольника. С процессомизмерения учащиеся знакомятся на наглядно-интуитивном уровне. Школьникиприобретают опыт непосредственного измерения, нахождения и сравнения длиныотрезка, площадей плоских фигур, а также знакомятся с различными единицамиизмерения и переводом из одних единиц измерения в другие. На этом же этапеучащимся приводятся формулы для косвенного измерения периметра многоугольника,площадей плоских фигур (квадрата, прямоугольника).
На втором этапе изучаетсябольшое число теоретических фактов, с помощью которых проводится косвенноеизмерение геометрических величин. Переходя к этому этапу необходимо мотивироватьпереход от непосредственного к косвенному измерению. Для этого полезновспомнить об инструментах, с помощью которых измеряются длины отрезков(линейка), углы (транспортир) и др. Также на этом этапе изучается большинствотеорем, позволяющих производить косвенные измерения геометрических величин(длин отрезков, углов, площадей).
В старшей школе отизмерений длин отрезков, углов, площадей переходят к измерению объемовгеометрических тел, применяя при этом знания начал математического анализа.
Для того, чтобы ответитьна вопрос о месте измерений в курсе геометрии, проведем сравнительный анализучебников по геометрии, используемых в школе.

§3. Сравнительный анализучебных пособий по геометрии для 7 – 9 классов
Проведем сравнительныйанализ как теоретического материала, так и задачного. Анализ содержанияпредлагаемого для изучения материала проведем по четырем вопросам:
-  понятие измерения геометрическойвеличины;
-  измерение геометрических величин;
-  вычисление геометрических величин;
-  применение измерений геометрическихвеличин на практике.
Выбраны именно такиеаспекты, так как именно они охватывают всю теорию измерений. Первый аспект –понятие измерения геометрической величины, подразумевает ответ на вопрос о том,дается ли в учебнике определение понятия длины отрезка, градусной или радианноймеры угла, понятия площади плоской фигуры. Измерение и вычислениегеометрических величин подразумевают непосредственное (прямое) и опосредованное(косвенное) измерение длин отрезков, углов, площадей соответственно. Непосредственноеизмерение связано с применением измерительных приборов, а косвенное – сиспользованием формул. Последний аспект охватывает область применения измеренийгеометрических величин на практике, то есть использование измерений при решениипрактико-ориентированных задач, доказательстве теорем.
Для анализа были выбраныучебники геометрии, рекомендованные (допущенные) Министерством Образования иНауки Российской Федерации к использованию в образовательном процессе вобщеобразовательных учреждениях на 2008/2009 учебный год [30]. Это такиеучебники как Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7- 9 [7]; Погорелов А.В. Геометрия 7– 9 [20]; Шарыгин И.Ф. Геометрия 7 – 9 [31]; Смирнова И.М. и др. Геометрия 7 –9 [26] (учебники, рекомендованные Министерством Образования и Науки РФ);Александров А.Д. и др. Геометрия 7, 8 – 9 [1, 2] (учебники, допущенныеМинистерством Образования и Науки РФ Федерации к использованию вобразовательном процессе в общеобразовательных учреждениях на 2008/2009 учебныйгод).
3.1 Учебник геометрии 7 –9 (авторы Атанасян Л.С. и др.) [7]
В первой главерассматриваются простейшие геометрические фигуры – точка, прямая, отрезок, луч,вопрос сравнения и измерения отрезков и углов. Введение основных понятийопирается на наглядные представления и на тот опыт, который накоплен учащимисяпри изучении математики в 1 – 6 классах.
Прежде, чем вводитьпонятие длины отрезка, авторы рассматривают решение задачи: с помощью даннойлинейки построить отрезок более длинный, чем сама линейка.
Авторы также поясняют,что для проведения длинных отрезков, прямых на местности, используется прием,который называется провешиванием прямой. Он широко используется на практике,например, при рубке лесных просек, при прокладывании трассы шоссейной илижелезной дороги, линий высоковольтных передач и т.д.
На практике частоприходится не только строить различные отрезки, но и измерять их, то естьнаходить их длины. Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторымотрезком, принятым за единицу измерения (его также называют масштабнымотрезком). Если, например, за единицу измерения принят сантиметр, то дляопределения длины отрезка узнают, сколько раз в этом отрезке укладываетсясантиметр. Может оказаться так, что отрезок, принятый за единицу измерения, неукладывается целое число раз в измеряемом отрезке – получается остаток. Тогдаединицу измерения делят на равные части, обычно на 10 равных частей, иопределяют, сколько раз одна такая часть укладывается в остатке.
За единицу измеренияможно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок. Выбрав единицуизмерения, можно измерить любой отрезок, то есть выразить его длину некоторымположительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и еечасти укладываются в измеряемом отрезке.
После этого в тексте учебникавыделяются некоторые свойства длин отрезков: если два отрезка равны, то единицаизмерения и ее части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, то естьравные отрезки имеют равные длины. Если же один отрезок меньше другого, тоединица измерения (или ее части) укладываются в этом отрезке меньшее число раз,чем в другом, то есть меньший отрезок имеет меньшую длину. Когда точка делитотрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двухотрезков. Длина отрезка называется также расстоянием между концами этогоотрезка.
Также авторы рассказываюто единицах измерения и измерительных инструментах, применяемых при измеренииотрезков. Для измерения отрезков и нахождения расстояний на практике используютразличные единицы измерения. В учебнике упоминается о таких единицах измерениякак метр, сантиметр, миллиметр, дециметр, километр, морская миля, световой год,аршин, сажень.
Измерительные приборы,рассматриваемые в учебнике: масштабная миллиметровая линейка, используемая втехническом черчении; штангенциркуль – для измерения диаметра трубки; рулетка –для измерения расстояний на местности.
Измерение углов вводитсяаналогично измерению отрезков, основано на сравнении их с углом, принятым заединицу измерения. В параграфах «Измерение углов на местности» и «Построениепрямых углов на местности» рассказывается о специальных приборах,предназначенных для измерения углов. Так, например, одним из таких приборовявляется астролябия. «Она состоит из двух частей: диска, разделенного наградусы, и вращающейся вокруг центра диска линейки (алидады). На концах алидадынаходятся два узких окошечка, которые используются для установки ее вопределенном направлении».
Для построения прямыхуглов на местности также применяют специальные приборы, простейшим из которыхявляется эккер. «Эккер представляет собой два бруска, расположенных под прямымуглом и укрепленных на треножнике. На концах брусков вбиты гвозди так, чтопрямые, проходящие через них, взаимно перпендикулярны. Чтобы построить наместности прямой угол с заданной стороной ОА, устанавливают треножник с экеромтак, чтобы отвес находился точно над точкой О; а направление одного брускасовпало с направлением луча ОА. Совмещение этих направлений можно осуществить спомощью вехи, поставлены на луче. Затем провешивают прямую линию по направлениюдругого бруска. Получается прямой угол АОВ.
В геодезии для построенияпрямых углов используют более современные приборы, например теодолит». Затем вучебнике уже при изучении признаков параллельных прямых рассматриваются способыпостроения параллельных прямых, также с использованием различных чертежных иизмерительных инструментов. И уже в конце седьмого класса упоминается такойинструмент как уголковый отражатель и способы его применения, но данная тема неявляется обязательной.
Изучение геометрии в 8классе начинается с рассмотрения понятия многоугольника и различных видовмногоугольников и их свойств. Затем переходят к изучению темы «Площадьмногоугольника». Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измеренияаналогично измерению отрезков. За единицу измерения площадей принимают квадрат,сторона которого равна единице измерения отрезков. Так, если за единицуизмерения отрезков принят сантиметр, то за единицу измерения площадей принимаютквадрат со стороной 1 см. Такой квадрат называется квадратным сантиметром иобозначается см2. Аналогично определяется квадратный метр,квадратный миллиметр и т.д. [12].
При выбранной единицеизмерения площадей площадь каждого многоугольника выражается положительнымчислом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее частиукладываются в данном многоугольнике. Далее выводятся различные формулы длянахождения площади того или иного многоугольника. Но как можно заметить нанепосредственное измерение площади времени не отводится, в учебнике также нерассматриваются приборы, предназначенные для измерения площади фигур.
Далее изучаются понятиеподобия фигур, признаки подобия треугольников и рассматриваются практическиеприложения подобия треугольников: задачи на построение, измерительные работы наместности. Свойства подобных треугольников могут быть использованы дляпроведения различных измерительных работ на местности. В учебникерассматриваются две задачи: определение высоты предмета и расстояния донедоступной точки.
Затем уже в девятомклассе вновь упоминается об измерительных работах на местности с использованиемтригонометрических формул. И изучаются понятия длины окружности и площадикруга.
Чтобы получить наглядноепредставление о длине окружности, представим себе, что окружность сделана изтонкой нерастяжимой нити. Если мы разрежем нить в какой-нибудь точке А ираспрямим ее, то получим отрезок АА1, длина которого и есть длинаокружности (рис. 1).
/>
Рис. 1

Затем выводится формуладля вычисления длины окружности, длины дуги. Аналогично проводится изучение иплощади круга, кругового сектора.
Авторы уделяют время наизучение нового понятия объема геометрического тела.
Итак, определения длиныотрезка, градусной меры угла, площади, реализуемые в учебнике являютсяописательными [8], то есть перечисляются лишь основные свойства нового понятия[6]. Что касается задачного материала, предлагаемых в учебнике, то нанепосредственное измерение приводится небольшое количество задач; на косвенноеизмерение геометрических величин отводится достаточное количество времени, таккак научить школьников правильно измерять эти величины очень важно. Эти уменияучащимся пригодятся и в дальнейшем изучении геометрии, физики, черчении, и в ихповседневной жизни, и в будущей профессии. Содержание материала учебникаотвечает требованиям стандарта.
3.2 Учебник геометрии 7 –11 (авторы Погорелов А.В. и др.)
Рассмотрим теперь ещеодин учебник, предназначенный для обучения геометрии в российских школах:учебник геометрии 7 – 11 (авторы Погорелов А.В. и др) [20].
Учебник Погорелова А.В.также как и учебник Атанасяна Л.С. и др. начинается с изучения простейшихгеометрических фигур: точка, прямая, отрезок, угол, — и их свойств. Измерениюотрезков уделяется меньше внимания, чем в уже рассмотренном учебнике, – авторыне дают определения длины, а вводят это понятие с помощью свойств измеренияотрезков; не рассматривается задача о построении отрезка, длина которого будетбольше, чем длина линейки, также не рассматриваются приборы, предназначенныедля измерения длин отрезков и углов. В отличие от учебника Атанасяна Л.С. идр., в рассматриваемом учебнике нет ни одной задачи на непосредственноеизмерение длин отрезков и углов.
Затем автор подчеркивает,что углы измеряются в градусах при помощи транспортира. Вводятся основныесвойства измерения углов.
Определение понятияплощади вводится аксиоматически, то есть понятие задается через выполнениеопределенных свойств. Метрические свойства окружности традиционно связываются сизучением правильных многоугольников, вписанных в окружность или описанныхоколо нее [16].
К применению измерений визучении геометрии вновь автор обращается лишь при изучении тем «Соотношение междусторонами и углами в прямоугольном треугольнике» и «Решение треугольников».
Таким образом, автор неделает акцент на практической направленности геометрии.
3.3 Учебник геометрии 7 –9 (авторы Шарыгин И.Ф. и др.)
Шарыгин И.Ф. [31] уже вначале книги указывает на то, что любое геометрическое тело имеет триизмерения: длина, ширина, высота.
При изучении понятияотрезка подразумевается, что о понятии длины отрезка, единицах длины школьникиуже знают. Отмечены лишь некоторые свойства:
-  длина отрезка выражаетсяположительным числом;
-  два отрезка являются равными, еслиони имеют равную длину и др.
Поясняется, каким образоммы можем построить равные отрезки. Также небольшое внимание уделяется иизмерению углов. Автор напоминает, что с этой мерой углов ученики уже знакомы,поэтому это понятие больше не вводится.
Простейшим инструментомизмерения градусной меры угла служит транспортир. Также подробно описывается,как именно использовать этот измерительный инструмент. Совместив вершину угла сточкой О на транспортире и направив одну из его сторон по прямолинейной границетранспортира, мы увидим значение величины угла в точке пересечения его второйстороны со шкалой, указанной на транспортире. При этом подчеркивается, чтокаждому углу соответствует его единственная градусная мера. Рассмотримкакой-нибудь угол. Пусть одна его сторона неподвижна, а другая вращается вокругвершины. Будем считать, что в начальном положении стороны угла совпадают, чтосоответствует углу 0°, а в конечном положении стороны образуют развернутыйугол, величина которого равна 180°. Тогда любой угол, величинакоторого равна заданному числу градусов, при этом вращении появится лишьоднажды.
Затем уже только ввосьмом классе вводятся теоремы об измерении вписанного угла, угла с вершинойвнутри и вне круга, угла между касательной и хордой. Заметим, что эти измеренияявляются косвенными, и в теоремах выводятся формулы, с помощью которых можноотыскать градусную меру упомянутых углов.
При изучении геометрии вдевятом классе вводится понятие площади следующим образом: площадь – этонекоторая характеристика геометрической фигуры, расположенной на плоскости илииной поверхности. Также приводятся свойства площади, аналогичные свойствамдлины отрезка и градусной меры углов.
Таким образом, в учебникеГеометрия 7-9, Шарыгина И.Ф. должного внимания непосредственным измерениям неуделяется, не делается акцента на возможности применения измерительныхинструментов в геометрии.
3.4 Учебник геометрии 7 –9 (авторы Смирнова И.М., Смирнов В.А.) [26]
В данном учебникепоясняется, что измерение длины отрезка основано на сравнении его с отрезком,длина которого принимается за единицу (единичный отрезок). Авторы вводятопределение понятия длины отрезка следующим образом: длина отрезка – этоположительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его частиукладываются в данном отрезке. Подробно описывается процесс измерения отрезков:авторы говорят, что для измерения длины данного отрезка АВ последовательнооткладывают единичный отрезок ОЕ на луче АВ от вершины А. Если при этомединичный отрезок целиком укладывается в отрезке АВ целое число раз безостатка, то процесс измерения на этом заканчивается и полученное числосчитается длиной отрезка АВ. Если единичный отрезок целиком укладывается вотрезке АВ с остатком, т.е. конец последнего единичного отрезка С не совпадаетс концом отрезка АВ и остаток СВ меньше единичного отрезка, то полученное числоn считается приближенным значениемдлины отрезка. В этом случае единичный отрезок разбивается на 10 равных частей.Уже откладывают одну десятую часть единичного отрезка и т.д. После этогорассматриваются свойства длины отрезка и приводятся некоторые историческиесведения о длине отрезка. Задачи на непосредственные измерения отрезков вучебнике не рассматриваются.
При изучении градусноймеры угла поступают также, как и при изучении длин отрезков: вводитсяопределение градусной меры угла и свойства. После приводятся краткиеисторические сведения, где рассказывается об истории возникновения угломерногоинструмента – астролябии. Помимо единицы измерения углов – градусарассматриваются и такие: минуты и секунды.
В учебнике авторы вновьобращаются к измерениям только лишь при изучении темы «Углы, связанные сокружностью». Рассматривается такое понятие, как градусная мера дугиокружности. Также говорится о длине окружности, выводится формула для еенахождения.
И в следующей главеучебника «Площадь» вводятся определение площади, как числа, получающегося врезультате измерения и показывающего, сколько раз единичный квадрат и его частиукладываются в данной фигуре. И приводятся свойства площадей, аналогичныесвойствам длин отрезков. Выводятся формулы для нахождения площади квадрата,прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции, многоугольника,описанного около окружности, круга и его частей. В данном учебникерассматривается изопериметрическая задача: какую наибольшую площадьограничивают кривые заданной длины. В последней главе учебника авторы уделяютвремя на изучение площади поверхности и объема многогранника.
Определения, реализуемыев рассматриваемом учебнике, являются описательными. Приведено немало задач накосвенные измерения, не рассматриваются задачи на измерения на местности.
3.5 Учебники геометрии 7,8 – 9 (авторы Александров А.Д. и др.) [1, 2]
Рассматриваемый учебникначинается с истории возникновения геометрии. Затем авторы вводят понятияотрезка, луча, прямой. При рассмотрении понятий длины отрезков, градусной мерыуглов и др. авторы поясняют, что длина отрезка – первая и самая важная изгеометрических величин. Она характеризует его протяженность. Измерять длинупостоянно приходится на практике. Длина используется при вычислении другихгеометрических величин – площадей, объемов, величин углов, показываявозможность косвенного измерения.
Геометрические величиныхарактеризуют форму и размеры фигур. Измерение геометрических величин, помнению авторов, — одна из важнейших задач геометрии.
Авторы обращаются к ужеполученным знаниям учеников, и просто напоминают, что для измерения длинысначала надо выделить единичный отрезок. Также как и в других учебниках,перечисляются свойства длины.
После этого,рассматриваются два важных вопроса:
1.  Как, имеяизмерительный инструмент, найти численное значение длины отрезка?
2.  Как можносделать инструмент для измерения длины?
Также в учебникеотмечается, что мера углов обладает теми же свойствами, что и длина отрезков.Измерение углов, как и отрезков, производится с помощью линейки, котораяназывается транспортиром. Авторы учебников подробно описывают такую линейку ирассказывают, как ей пользоваться.
Понятие площадимногоугольника вводится уже в 8 классе, при этом дается определение площади.Также описывается процесс измерения этой геометрической величины.
И затем, только в конце 8класса рассматриваются понятия длины окружности и площади круга.
Данный учебникпредназначен для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики,поэтому авторы уделили внимание как непосредственному измерению, так икосвенному измерению геометрических величин.
Мы рассмотрели пять учебниковгеометрии, рекомендованных (допущенных) Министерством Образования и НаукиРоссийской Федерации к использованию в образовательном процессе вобщеобразовательных учреждениях на 2008/2009 учебный год, и можем сделатьследующие выводы: в учебниках Атанасяна С.Л. и др. и Александрова А.Д. и др.уделяется внимание непосредственному измерению площадей, различнымизмерительным инструментам и мерам длин, приводятся задачи как нанепосредственное измерение, так и на косвенное измерение геометрических величин.Но в учебнике Александрова А.Д. практически не рассматриваются задачи, вкоторых отражалась бы значимость измерений в жизни. В отличие от этихучебников, у Погорелова А.В. и у Шарыгина И.Ф. и др. практически не уделяетсявремя вопросам об измерительных инструментах и возможности применения их напрактике. В учебнике Смирновых нет задач, показывающих практическую значимостьизмерений.
Также из проведенногоанализа учебников, мы можем сделать вывод, что учащиеся знакомятся с такимиметодами геометрии как метод подобия, метод площадей, и используют другиеметоды: метод дополнительных построений, метод вспомогательного треугольника,координатный метод, метод геометрических мест [16].
Далее мы рассмотрим, скакими измерительными инструментами следует знакомить школьников, и как этиинструменты могут помочь в изучении геометрии.

§4. Измерительныеинструменты в школе
Измерения являются нетолько неотъемлемой частью процесса обучения математике в школе, но и играютопределенную роль в выборе будущей профессии. Уже сейчас возникает остраянехватка профессиональных инженеров, технических специалистов и руководителейсреднего звена на производстве. В современном мире область применения измеренийгеометрических величин чрезвычайно широка.
Измерения являются однойиз самых древнейших операций в процессе познания человеком окружающегоматериального мира. Вся история цивилизации представляет собой непрерывныйпроцесс становления и развития измерений, совершенствования средств, методовизмерений, повышения их точности и единообразия мер.
В процессе своегоразвития человечество прошло путь от измерений на основе органов чувств ичастей человеческого тела до научных основ измерений и использования для этихцелей сложнейших физических процессов и технических устройств. В настоящеевремя измерениями охватываются все физические свойства материи практическинезависимо от диапазона изменения этих свойств.
Несомненно, для того,чтобы измерять какие-либо геометрические величины, нам нужны специальныеинструменты – измерительные инструменты.
В соответствии сдействующими «Перечнем учебного оборудования по математике для общеобразовательныхучреждений России» [19], утвержденными Министерством образования РоссийскойФедерации кабинеты математики должны быть оснащены комплектом средств обучения,выпускаемых промышленностью,. В комплект инструментов классных входит: линейка(рис. 2), транспортир (рис. 3), угольник (30º, 60 º) (рис. 4),угольник (45º, 45º) (рис. 5), циркуль (рис. 6).
/>
Рис. 2
/> />
Рис. 3                                               Рис.4
/> />
Рис. 5                                               Рис.6
Существует множествоизмерительных приборов, которые человек применяет в своей деятельности. Дляболее удобного их рассмотрения, разделим эти приборы на группы. За основаниеклассификации примем измеряемую геометрическую величину. Итак, в школьном курсегеометрии средней школы необходимо уметь измерять: длины отрезков, углы,площади.
4.1 Измерительныеинструменты для измерения длин отрезков
В первую группуинструментов отнесем инструменты, предназначенные для измерения длин отрезков:
-  классная линейка;
-  масштабная линейка;
-  металлическая линейка;
-  метр складной,
-  мерная лента,
-  рулетка и др.
/>
Рис. 7 10 см – более длинными
На ребре классной линейки(рис. 7) нанесены сантиметровые деления. Каждые 5 см отделяются удлиненными штрихами, а каждые
Наименьшее делениелинейки называется ценой деления. Измерения классной линейкой возможны лишь сточностью, не превышающей половины цены деления, то есть с точностью, непревышающей 0,5 см, при этом половина цены деления определяется визуально. Этотизмерительный прибор является наиболее распространенным в школе. С помощью негоудобно производить построения на классной доске на уроках математики, гдеточность измерения не всегда имеет значение.
Масштабная линейкаявляется удобным инструментом для школьников. На одном ребре этой линейкинанесены миллиметровые деления. Каждые 5 мм отделяются удлиненными штрихами, а 10 мм – более длинными. Ценой деления масштабной линейки является 1 мм. Незаштрихованное ребро линейки используется для проведения на бумаге прямых линий, припостроении различных прямолинейных фигур. Ребро линейки с делениямииспользуется для измерения на бумаге длины отрезка.
Металлическая линейкаиспользуется для более тщательных измерений. Различают жесткие и упругиеметаллические линейки. На одном ребре жесткой линейки нанесены миллиметровыеделения. Второе ребро оставлено свободным от делений и используется дляпроведения прямых линий. Упругая линейка может свертываться в кольцо, благодарячему она применима для измерения длины кривой линии. Метр складной (рис. 8)обычно состоит из пяти или десяти звеньев, соединенных между собой шарнирами.На одном из ребер метра нанесены миллиметровые деления. Складные метры бываютстальные и деревянные. Стальной метр применяется в слесарном деле, а деревянныйявляется измерительным инструментом плотника и столяра. Практически точностьскладного метра очень низкая из-за шарнирного соединения звеньев. В связи сэтим складные метры применяются лишь в тех случаях, когда не требуется большойточности измерения.
/>
Рис. 8
Существует еще несколькоинструментов, предназначенных для измерения длин. Одним из них является мернаялента. Для измерения линейных размеров сравнительно больших предметов используютсярулетки: стальная или матерчатая. На стальной ленте рулетки нанесенымиллиметровые деления, а на матерчатой – сантиметровые. Матерчатые рулеткиприменяются в тех случаях, когда не требуется большой точности измерения. Стальнаялента используется при измерении расстояний на местности и при съемке плановземельных участков. Ценой деления является дециметр.
Для измерения длин напланах и картах и определения затем расстояний на местности пользуются линейныммасштабом. Для его построения необходимо на прямой линии отложить равныеотрезки, принимая за единицу меры один сантиметр. Концы отрезков обозначитьштрихами, против которых ставятся числа, соответствующие расстоянию наместности. Конец первого отрезка обозначается нулевым штрихом. Этот отрезок делитсяна десять равных частей. В этом случае точность измерения не будет превышать 1 мм, хотя на глаз она может быть повышена до 0,5 мм. Для получения точности измерения до 0,1 мм служит поперечный масштаб. Этот инструмент применяется в сельском хозяйстве при измерениидлины и ширины земельных участков.
О таком измерительноминструменте, как линейка упоминается во всех рассмотренных учебниках. Помимоэтого, в учебнике А.Д. Александрова и др. рассматривается вопрос о том, какможно самому сделать инструмент для измерения длин.
Для измерения диаметровпоперечного сечения тел цилиндрической формы применяются такие приборы какдиаметромер-центроискатель (рис. 9) или мерная вилка лесовода (рис. 10).
/>
Рис. 9
Мерная вилка лесоводасостоит из линейки с делениями, неподвижной планки, прикрепленной на концелинейки, и подвижной планки.
Все эти инструменты могутбыть использованы при изучении понятия длины отрезка. Учащимся могут бытьпредложены разные виды задач на:
– измерение длиныотрезков, изображенных на бумаге в различных положениях;

/>
Рис. 10
- измерение длины,ширины и высоты прямоугольных параллелепипедов;
- измерение длины,ширины комнаты, коридора, двора;
- измерениерасстояний на классном и индивидуальном полигонах;
- измерениерасстояний на местности мерной лентой;
- измерение длинышага и измерение расстояний шагами;
- глазомернаяоценка небольших расстояний с последующим измерением мерной лентой;
- измерениегеометрических величин с помощью частей тела: фаланги пальца, локтя, стопы идр.
- измерениепериметров прямолинейных фигур на местности и др.
4.2 Приборы для переносаизмеряемого размера с объекта на линейку
Очень частонепосредственное измерение рассмотренными инструментами затрудняется илистановится невозможным в связи со сложностью измеряемого предмета. В этомслучае пользуются особыми инструментами для переноса измеряемого размера собъекта на линейку. Такие инструменты отнесем ко второй группе. Примерамирассматриваемых приборов являются циркуль, кронциркуль, нутромер, рейсмас.Рассмотрим их.
Различают несколько видовциркулей: переносный циркуль и кронциркуль (рис. 11). Переносный циркуль служитдля перенесения линейных размеров с объекта на измерительную линейку, длянанесения окружности и дуг на объект. Точность измерения циркулем очень мала,так как она зависит от величины угла раствора ножек, исправности шарнирного соединения,заточки концов игл циркуля и от точности шкалы измерительной линейки.
/>
Рис. 11
Кронциркуль служит дляснятия размера диаметров цилиндров и шаров и перенесения его на измерительнуюлинейку. Для снятия внутренних размеров деталей и перенесения их наизмерительную линейку служит нутромер (рис. 12). Для более точного измерениядиаметров отверстий и других внутренних размеров применяется микрометрическийнутромер, дающий результаты с точностью до 0,01 мм. К переносным измерительным инструментам также можно отнести и рейсмас (рис. 13). Рейсмасыбывают разнообразных конструкций.

/>
Рис. 12
Например, столярныйрейсмас применяется в столярном деле и служит для перенесения и прочерчиванияпараллельных линий на устанавливаемом расстоянии. Процесс прочерчиванияназывается разметкой, а заостренный металлический стержень, прочерчивающийлинию, называется чертилкой. Рейсмас с подвижной муфтой состоит из основания,стойки, подвижной муфты и чертилки. Благодаря подвижности муфты и прикрепленнойк ней чертилки острие чертилки легко установить под нужным углом и на нужномрасстоянии от разметочной плиты.
/>
Рис. 13
Рассмотрение такихинструментов позволит ученикам получить более полное представление овозможностях измерений. При изучении этих приборов с учащимися можно разобратьследующие задачи:
-  с помощью кронциркуля определитьдиаметры данных шаров, цилиндров;
-  на деревянном бруске прочертитьлинию, параллельную ребру бруска на расстоянии нескольких миллиметров;
– определить внутренниеразмеры отверстий деталей: плиток, трубок и пр.
Для получения приизмерении большей точности применяются инструменты с нониусом. В середине 16века португалец Нуньес изобрел приспособление в виде дополнительной подвижнойлинейки с особыми делениями. Это приспособление и названо нониусом. Рассмотримодин из инструментов с нониусом: штангенциркуль (рис. 14). На линейкештангенциркуля нанесены миллиметровые деления. На длине рамки нониуса в 9 мм нанесено 10 равных делений. При таком делении нониуса измерения производятся с точностью до 0,1 мм.
/>
Рис. 14
4.3 Инструменты, спомощью которых можно измерить градусную меру угла
В третью группуизмерительных приборов отнесем те инструменты, с помощью которых можно измеритьградусную меру угла – угломеры.
В некоторых современныхучебниках геометрии упоминается о таком приборе, как малка (рис. 15).Рассмотрим этот инструмент подробнее.
Малки применяются приизмерении и переносе углов с одной детали на другую, а также для проверки угловна изготовленных предметах. Малки бывают различных конструкций. Простая малкасостоит из двух подвижных линеек, соединенных с одного конца шарнирным винтом.Такая малка служит для одновременного измерения, переноса и проверки толькоодного угла.
/>
Рис. 15
Линейки малкиустанавливаются под углом, заданным на рабочем чертеже детали, и закрепляютсявинтом. После этого малка накладывается на проверяемую деталь. В столярномпроизводстве простые малки употребляются при изготовлении деревянных деталей сзаданным углом и при разметке материала. Универсальная малка служит дляодновременного переноса и проверки двух или трех углов.
Также при изучении темы«Измерение углов» учащиеся и учитель используют такой инструмент кактранспортир (рис. 5). Соответственно различают классный и ученическийтранспортиры.
Классный транспортириспользуется для измерения и построения на классной доске углов до 180градусов. Ценой деления такого транспортира является 1 градус. Ученический транспортирустроен также как и классный.
Для построения наместности углов в 45, 90, 135 градусов и других служат экеры (рис. 16). Онибывают различной конструкции: крестообразные, в виде прямоугольноготреугольника, квадратной доски, цилиндрические и другие. Экеры применяются впрактике не только для построения углов, но и для проведения параллельных ивзаимно перпендикулярных линий, для проведения высот в треугольниках, присъемке планов земельных участков и др.
/>
Рис. 16
Еще одним инструментом,упоминавшимся в школьных учебниках является астролябия (рис. 17). Она состоитиз лимба с
градусным делением.
В центре лимбаприкреплена подвижная алидада
с диоптрами на концах длявизирования. Лимб
с алидадой надевается на штырьштатива. Для
ориентирования астролябияснабжается компасом
или буссолью. При помощиастролябии измеряются
и строятся углы в горизонтальнойплоскости,
проводятся параллельные иперпендикулярные линии. Усовершенствованные астролябии на конце алидады имеютверньер (круговой нониус) для отсчета долей градуса.
Учащимся могут бытьпредложены следующие задачи:
- малкой измерить иперенести данный угол на деталь.
- с помощьюклассного транспортира измерить изображенные на доске углы различной величины.
- экером построитьугол на местности в 45°, 90°, 135° и 180o.

/>
Рис. 17
4.4 Инструменты дляизмерения площадей
В четвертую группуприборов можно отнести приборы, предназначенные для измерения площадей.Заметим, что непосредственное измерение площадей неудобно, поэтому для ихнахождения удобно пользоваться известными математическими теоремами иформулами. Также можно использовать такой прибор как палетка (рис. 18). Этопрозрачная пластинка с нанесенной на нее сеткой линий, предназначенная длявычисления площадей на планах и картах, для отсчета координат и т.д.
Ученикам могут бытьпредложены разные виды задач на:
- измерение спомощью палетки площадей плоских фигур, изображенных на бумаге;
- измерение площадиповерхности многогранника и др.
/>
Рис. 18

Мы рассмотрелиизмерительные инструменты, с которыми полезно знакомить в школе. Изучениенекоторых из них является обязательным. Это такие инструменты как линейка,угольник, транспортир, циркуль. Без умения использовать их невозможно изучениегеометрии, так как измерения являются одной из основных линий геометрии. Иименно при изучении этой линии у школьников появляется возможность познакомитсяс разнообразными методами геометрии, например, метод площадей, знание котороговажно при изучении других геометрических фактов. Вычислительные и измерительныезадания формируют у учащихся навыки, необходимые в их будущей трудовойдеятельности. Рассмотрение таких измерительных инструментов как астролябия,малка, штангенциркуль и др. дает возможность активизировать работу учащихся поформированию вычислительных навыков, навыков измерений и работы с единицамиизмерений [29].

§ 5. Различныенаправления использования измерений геометрических величин при обучениигеометрии
Роль измерений в жизничеловека невозможно преувеличить. Рассмотрим, какова же роль измерений в курсегеометрии.
Немало слов было сказаноо прикладном значении геометрии и роли измерений в ней, как самостоятельногораздела для изучения. Также измерения могут быть использованы и как средствообучения.
5.1 Типология задач наизмерения
Измерения могут бытьиспользованы как при изучении нового материала, решении задач, доказательстветеорем, так и при закреплении материала. Но прежде чем перейти к рассмотрениюспособов применения измерений в том или ином случае, рассмотрим виды заданий наизмерения:
-  задания на непосредственныеизмерения;
-  задания на косвенные измерения;
-  задания на косвенные инепосредственные измерения;
-  задания на измерения с помощьюинформационных технологий.
В результате проведенногосравнительного анализа школьных учебников по геометрии мы можем сделать вывод:в школьном курсе геометрии основное внимание уделяется вычислениюгеометрических величин: длин отрезков, градусной и радианной мер углов, площадей,объемов и т.п., – то есть опосредованному измерению. Но нельзя проигнорироватьнепосредственные измерения. Ведь геометрия возникла в глубокой древности всвязи с необходимостью измерять, расстояния, площади земельных участков,возводить постройки и т.п. И в настоящее время любой человек в своей жизнисталкивается с необходимостью что-либо измерять.

5.1.1 Задачи нанепосредственные измерения
Рассмотрим задачи нанепосредственные измерения. К таким задачам относятся задачи, при решениикоторых используются только измерительные инструменты: линейка, транспортир идр.
-  Найти длину отрезков АВ, CD, EF, GH (рис. 19).
/>
Рис. 19
При этом учащиесяпроявляют свои знания, умения пользоваться измерительными инструментами.
-  Найти периметр многоугольника АВCDEF (рис. 20).
/>
Рис. 20
-  Найти градусные меры углов, указанныхна рисунке 21.
/>
Рис. 21
При решении подобныхзадач ученикам могут быть заданы вопросы:
-  Что нам нужно измерить? (длинуотрезка, градусную меру угла)
-  Что мы знаем о длине отрезка, оградусной мере угла? (длина отрезка, градусная мера угла выражается некоторымположительным числом)
-  Каким измерительным инструментомудобно пользоваться? (линейкой, транспортиром)
Также к задачам этоготипа можно отнести и измерение площади плоской фигуры с помощью палетки. Важноотметить, что при непосредственных измерениях мы сталкиваемся с понятиемпогрешности измерения. Поэтому ученики должны понимать, что результаты,полученные при их измерениях неточны. Следующим типом задач, могут быть задачи,в которых использование измерительных инструментов недостаточно. Кроме нихнеобходимо использование дополнительных средств.
Например, найти длинуокружности (рис. 22).
/>
Рис. 22 расстояния наместности
При решении подобнойзадачи возможно использование подручных средств, например, нити. С помощью нитии линейки можно измерить длину окружности.
Также могут быть решенызадачи такого типа как измерение.
Например, измерить длинукоридора в школе. Это можно сделать с помощью рулетки, мерной ленты, шагами илина глаз.
Измерения расстояний наместности могут быть выполнены непосредственно различными инструментами. В техслучаях, когда достаточны менее точные результаты измерения, могут бытьприменены измерения расстояний шагами. Рассмотрим, примеры таких измерений. Дляшагомерного определения расстояний каждый ученик должен знать среднюю длинусвоего шага. Длина шага находится путем двух, трехкратного измерения шагамиодного и того же расстояния, измеренного рулеткой. Делением расстояния,измеренного рулеткой, на среднее арифметическое числа шагов находится средняядлина шага. Чтобы найти длину шага точнее, можно измерить несколько расстояний.Для удобства может быть заполнена таблица:
Таблица 1 Расстояние, измеренное рулеткой, м Число сделанных шагов Длина шага, м Расстояние 1
Приведем примерзаполнения такой таблицы (таблица 2).
Среднее арифметическоечисла шагов: />
Таким образом, длинашага: />
Таблица 2 Расстояние, измеренное рулеткой, м Число сделанных шагов Длина шага, м Расстояние 1 6 10 0,62 9 10
Развитие глазомераучащихся также имеет большое практическое значение. Привитие навыков вопределении расстояний на глаз в различных условиях должно осуществляться вшколе систематически. Только постоянной тренировкой в развитии глазомера можнодобиться более или менее удовлетворительных результатов.
Начинать упражненияследует с определения на глаз малых расстояний, а по мере совершенствованияглазомера переходить к определению больших расстояний. Определяемые на глазрасстояния необходимо проверять путем непосредственного измерения мерной лентойс целью убеждения в качестве глазомера.
В процессенепосредственных измерений, учащиеся поймут, как вычисляются те или иныегеометрические величины, с помощью формул, а также смогут оценить вседостоинства непосредственных и косвенных измерений. В школьном курсе геометриибольшое внимание уделяется задачам на косвенное измерение величин. Косвенныеизмерения могут быть осуществлены на основании геометрических свойств фигур.Использование учащимися знаний, приобретенных на уроках геометрии, имеетбольшое образовательное и практическое значение. Учащиеся на личном опытепроведения измерительных работ убеждаются в ценности математических знаний, чтонесомненно способствует повышению у них интереса к изучению геометрии, а такжематематики, в целом.
5.1.2 Задачи на косвенныеизмерения
Рассмотрим, задачи накосвенные измерения, то есть в которых необходимо использовать теорему длянахождения геометрической величины.
Пример 1. Найти площадьпрямоугольного треугольника, есди известны катеты а и b.
Для этого учащимсянеобходимо вспомнить определение прямоугольного треугольника и формулу, покоторой удобно вычислить площадь рассматриваемого треугольника.
Итак, прямоугольнымтреугольником называется треугольник, у которого один из углов прямой. Площадьпрямоугольного треугольника можно найти по формуле: />,где а и b – катеты прямоугольного треугольника(рис. 23). Таким образом, по известным катетам ученики могут найти площадьтреугольника, не прибегая к использованию измерительных инструментов.
/>
Рис. 23
5.1.3 Задачи, в которыхдо методов косвенного измерения, применяются непосредственные измерения
Можно также выделитькласс задач, в которых до методов косвенного измерения, применяютсянепосредственные измерения.
Пример 2. Найти площадькруга.
Для этого, ученикамнеобходимо применить формулу: />. Приэтом, ученики путем непосредственного измерения могут найти радиус круга, азатем и площадь. Рассмотрим способ нахождения радиуса:
1. Построимпроизвольную хорду окружности (рис. 24).
/>
Рис. 24
2. Построимсерединный перпендикуляр m котрезку АВ.
3. Прямая m пересекает окружность в двух точкахС и D. Середина этого отрезка О – центрокружности (рис. 25).
/>
Рис. 25
Таким образом, ученикамнеобходимо измерить радиус ОА, а после найти по уже указанной формуле площадькруга.
Также к задачам накосвенные измерения можно отнести некоторые задачи на измерения на местности:например, измерение недоступного расстояния между доступными точками; измерениерасстояния между недоступными точками; измерение расстояния до доступной точки.
Пример 3. Измерить ширинуозера.
/>
Рис. 26 задачи былииспользованы признаки равенства треугольников.
Строим произвольныйтреугольник ABC. На продолжениях АС и ВС откладываем А'С и В'С. Соединивточки А' и В', получим ∆А'В'С = ∆АВС по двум сторонам и углу междуними (рис. 26). Из равенства треугольников следует, что АВ = А'В'. Измеривнепосредственно А'В', определим и равное ему недоступное расстояние АВ.
Заметим, что при решенииданной
При измерениях наместности часто используют и другие известные теоремы, свойства и признаки:
-  свойства равнобедренноготреугольника;
-  свойства прямоугольного треугольника;
-  подобие треугольников;
-  теорема Фалеса;
-  теоремы синусов и косинусов и др.
5.1.4 Задачи на измерениегеометрических величин средствами информационных технологий
Также при обученииизмерениям в курсе геометрии могут быть использованы измерения с помощьюинформационных технологий. Одной из программ для наглядного иллюстрированияматематических процессов является программа «Живая геометрия» [33]. Онаявляется наиболее простым и легко доступным средством иллюстрацииматематических процессов и явлений.
С помощью этой программывозможно измерение следующих величин: длины отрезка; расстояния между двумяточками; периметра; длины окружности; углов; площади; длины дуги; радиуса.Использование данной программы возможно при решении различного рода задач.
Пример 4. Необходимонайти гипотенузу прямоугольного треугольника (рис. 27).

/>
Рис. 27
Ученики могутсамостоятельно построить прямоугольный треугольник с использованием даннойпрограммы, и измерить необходимые длины. Посмотреть, как изменяется длинагипотенузы в зависимости от изменения длины катетов. Также учащиеся могутпроверить результат, путем вычислений. Это можно сделать самостоятельно: потеореме Пифагора: /> или сиспользованием программы (рис. 28):
/>
Рис. 28
Так же как и в случаенепосредственных измерений мы работаем с приближенными значениями. Применениерассматриваемой программы не только показывает ученикам возможности ееиспользования и вызывает интерес у учащихся к предмету, в целом, к изучаемойтеме, в частности. Также позволяет увидеть и «открыть» некоторые геометрическиетеоремы.
Таким образом, мырассмотрели виды заданийна измерения. Теперь перейдем к рассмотрению различных направленийиспользования измерений в курсе геометрии.
5.2 Использованиеизмерений геометрических величин на разных этапах урока геометрии
Как уже было сказановыше, измерения можно использовать на самых различных этапах обучения:
-  при изучении нового материала;
-  при закреплении полученных знаний;
-  при решении задач, выводе формул илиустановлении каких-либо математических фактов;
-  для установления межпредметныхсвязей;
-  для опровержения утверждений и др.
Использование измеренийпри изучении нового материала.
Например, при изученииплощадей треугольника по формуле
/>.
Ученикам могут бытьрозданы различные вырезанные из бумаги треугольники с отмеченными на нихвысотами (рис. 29).

/>
Рис. 29
Учащиеся измеряют длинысторон а и b и длины высот, проведенных к сторонеa, а также угол g. И вычисляют площадь треугольника поуже известной формуле.
Для удобства заносятрезультаты измерений в таблицу:
Таблица 3 Длина стороны а Длина стороны b
Длина высоты hа sin g Площадь треугольника 1. 2.
После нескольких такихизмерений, учащиеся могут догадаться, что />. Таким образом,сформулировать гипотезу. Ученики при этом пользовались непосредственными икосвенными измерениями.
При изучении, например,теоремы о площади треугольника, вычисляемой по формуле: />, могут быть использованы измеренияс помощью информационных технологий (рис. 30).
/>
Рис. 30

Ученикам можно показать,что пока длина высоты и стороны, к которой проведена эта высота, не изменятся,площадь треугольника также не изменится (рис. 31).
/>
Рис. 31
Таким образом, учащиесямогут сделать вывод о том, что площадь треугольника зависит от сторонытреугольника и высоты, проведенной к этой стороне. После некоторыхисследований, учащиеся также смогут сделать вывод, что площадь треугольникавычисляется по формуле: />.
Таким образом, измерениямогут быть средством обнаружения каких-то математических фактов.
Помимо этого, измерениямогут быть использованы для проверки достоверности или опровержения какого-товысказывания.
Например, в треугольникесумма двух его сторон меньше третьей стороны.
Итак, учащиеся могутпроверить правильность этого высказывания путем измерения сторон произвольноготреугольника. Затем сделать вывод о недостоверности этого высказывания.
Или учитель предлагаетученикам выяснить верно, ли высказывание о том, что в любом треугольнике суммадвух его сторон больше третьей его стороны. Учащиеся, начертив каждый свойтреугольник в тетради, убеждаются в том, что неравенство выполняется. Послечего уже ищут доказательство этого утверждения.
Рассмотрим другой пример:пусть ученикам уже известно, что внешний угол треугольника больше каждоговнутреннего угла этого треугольника, не смежного с ним. Для уточнения знаний осоотношении между величиной любого внешнего угла и величиной суммы внутреннихуглов треугольника, не смежных с ним, учащимся может быть предложено начертитьпроизвольный треугольник АВС, построить три внешних угла и обозначитьвнутренние и внешние углы цифрами.
Затем убедиться в том,что внешний угол треугольника действительно равен сумме внутренних углов этоготреугольника, несмежного с ним. После этого доказать соответствующую теорему.
Измерения могут бытьиспользованы и для решения каких-либо задач.
Рассмотрим следующуюзадачу:
По данным катетам a и b прямоугольного треугольника найдите высоту, проведенную кгипотенузе: а = 5см, b =12см.
Эту задачу можно решить сприменением косвенных измерений площади треугольника, то есть, используяизвестную формулу: />, и вычислив приэтом гипотенузу прямоугольного треугольника. Также можно построить такойтреугольник, и измерить необходимый отрезок. Таким образом, также пользуясьизмерениями.
При этом все задачи,решаемые с использованием измерений можно разделить на две группы: задачи наместности, то есть для которых не составлена математическая модель для ихрешения и задачи, которые являются математической моделью некоторой реальнойситуации.
Итак, направленияприменения измерений в курсе геометрии, рассмотренные нами:
-  использование измерений дляобнаружения математических фактов;
-  измерения для доказательства теоремили опровержения утверждений;
-  использование измерений при решениизадач;
-  для установления межпредметных связейи др.
Таким образом, мы можемсделать вывод не только о практической значимости измерений, но и ценности ихво всей геометрии.

Глава 2. Измерениягеометрических величин в курсе геометрии 7 – 9 классов
§1. Примеры использованияизмерений в обучении геометрии
Мы рассмотрели различныенаправления использования измерений в курсе геометрии. Теперь приведем примерыиспользования измерений при изучении различных тем курса, при достиженииразличных дидактических целей.
1.1 Использованиеизмерений при введении новой темы
Ученикам предлагается дляизучения новая теорема или какой-либо математический факт. Важно, чтобышкольник усвоил и формулировку и все пункты доказательства, чтобы он былубежден в справедливости доказываемого утверждения, также важно, чтобы ученикпонимал, для чего служит эта теорема. Использование измерений помогает добитьсяэтого понимания. Также ученик в результате ряда измерений может самостоятельноприйти к формулировке гипотезы. При введении новой темы могут быть примененыкак непосредственные так и косвенные измерения. Они могут служить средствомобнаружения математических фактов, средством для доказательства теоремы илиопровержения утверждений.
Рассмотрим способприменения измерений при введении теоремы о сумме углов треугольника. Важно,чтобы ученики понимали, что сумма углов произвольного треугольника постоянна. Идля того, чтобы они убедились в этом, им нужно самим измерить углы различныхтреугольников и найти их сумму. Таким образом, на уроке используются непосредственныеизмерения.
1.1.1 Сумма угловтреугольника
Тема: «Сумма угловтреугольника»
Цель: доказать теорему осумме углов треугольника, добиться понимания этого факта, научить решать задачис использованием полученных знаний.
В результате изученияданной темы учащиеся должны:
- знатьформулировку и доказательство теоремы о сумме углов треугольника;
- уметь применятьтеорему при решении задач.
Оборудование: чертежные иизмерительные инструменты: линейка, транспортир, учебник для 7 – 11 кл, Погорелов,А.В. [20].
Фрагмент урока.
1. Актуализацияопорных знаний, умений и навыков.
Так как на этом урокеучащимся необходимо измерять углы, то нужно вспомнить, какая фигура называетсяуглом, виды углов и способы их измерений. Ученикам могут быть предложеныследующие задания и вопросы:
-  Какая геометрическая фигураназывается углом?
(Углом называется фигура,которая состоит из точки – вершины угла – и двух различных полупрямых,исходящих из этой точки, — сторон угла.)
-  Назовите виды углов?
(острый, тупой, прямой)
-  Укажите на рисунке 32 тупые, острые ипрямые углы.
- 
/>
а                                    б                         в

/>
д                                    е                          ж
Рис. 32 (а – прямой угол,б – острый, в – прямой, д – тупой, е – острый, ж – тупой)
-  С помощью какого измерительногоинструмента мы можем измерить угол?
(с помощью транспортира)
Сегодня на уроке мы будемизмерять углы треугольника.
-  Что же такое треугольник?
(Треугольником называетсяфигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трехотрезков, попарно соединяющих эти точки.)
-  Укажите на рисунке 33 треугольники ивид треугольника:
- 
/>
                   а                 б                                   в
/>
                    Г                д
Рис. 33
(а – остроугольныйтреугольник, в – тупоугольный, г – прямоугольный)

2. Изучение новогоматериала
Ученикам предстоитвыяснить, что сумма углов в треугольнике постоянна и равна 180º.
Ученикам предлагаетсявыполнить лабораторную работу:
1) Начертитьтреугольник АВС.
2) Измерить углытреугольника АВС.
3) Повторить опыт 3раза.
Данные занести в таблицу:
Таблица 4 ÐА ÐВ ÐС ÐА+ÐВ+ÐС Опыт 1 Опыт 2 Опыт 3
4) Вывод: сумма угловтреугольника равна ___________________________________
Таким образом, учащиесясамостоятельно пришли к формулировке теоремы о сумме углов треугольника. Обсудиввопрос о необходимости доказательства, переходят его осуществлению.
3. Первичноезакрепление полученных знаний. На данном этапе ученики применяют теорему осумме углов треугольника при решении задач следующего типа:
1) Определите углытреугольника и его вид, если один его угол равен 25°, а другой – 75°. (ответ:25°, 75°, 80°, остроугольный)
2) В треугольникеАВС угол А в 2 раза больше угла В, а ÐС = 45°. Определите ÐА и ÐВ.(ответ: ÐА = 90°, ÐВ = 45°)
Отметим, что большинствозадач решается без использования измерительных инструментов, а с помощьюуравнения />° (с помощью косвенныхизмерений).
Здесь мы использовалиизмерение градусной меры углов при введении нового материала как средствообнаружения математического факта.
Также непосредственныеизмерения могут использоваться при введении таких тем, как «Смежные ивертикальные углы». Ученики при измерении вертикальных углов убеждаются, чтотакие углы равны, а сумма смежных углов равна 180°. При изучении темы«Равенство треугольников» школьникам могут быть выданы модели треугольников сравенством различных элементов: равны только углы, равны два/один угол, равныстороны, равны две стороны и угол между ними и т.п. При измерении элементовтреугольника ученики «отбросят» варианты, которых недостаточно для равенствадвух фигур. И останется только доказать достоверность оставшихся утверждений.Учащиеся могут самостоятельно прийти к формулировке свойств равнобедренныхтреугольников после ряда измерений: измерение углов, сторон равнобедренноготреугольника.
Помимо непосредственныхизмерений при введении новой темы могут быть использованы и косвенныеизмерения. Рассмотрим способ их применения при изучении площади трапеции.Здесь удобно использовать именно косвенные измерения, так как большинствоформул, связанных с площадями, ученикам уже известны: это и площадьтреугольника, и площадь квадрата, параллелограмма.
1.1.2 Площадь трапеции
Тема: «Площадь трапеции»
Цель: сформулировать идоказать теорему о площади трапеции.
В результате изученияданной темы учащиеся должны:
-  знать формулировку и доказательствотеоремы о площади трапеции;
-  уметь применять теорему при решениизадач.
Оборудование: картонныегеометрические фигуры: треугольники, квадрат, прямоугольник, трапеции, параллелограмм,учебник Геометрия 7 – 9, Л.С. Атанасян и др. [7].
Фрагмент урока:
1. Актуализацияопорных знаний и умений.
-  Какая фигура называется трапецией?
(Трапецией называетсячетырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.)
Ученикам предлагаютсяследующие задачи:
-  Укажите на рисунке 34 трапеции.
/>
                    а                                   б                в
/>
          Г                                  д
Рис. 34
(а, г — трапеции)
-  Из каких фигур можно составитьтрапецию?
(из треугольника ипараллелограмма (рис. 35, а), из треугольника и квадрата или прямоугольника(рис. 35, б), из двух трапеций (рис. 35, в), из нескольких треугольников и др.)Ученикам раздаются картонные фигуры, и они пробуют собрать из них трапецию.
а) />

б) />
в) />
Рис. 35
- Что такоеплощадь, и какими свойствами она обладает?
(Площадь многоугольника –это положительное число, которое показывает сколько раз единица измерения и еечасти укладываются в данном многоугольнике.)
Свойства:
- Равные многоугольникиимеют равные площади.
- Еслимногоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равнасумме площадей этих многоугольников.)
2. Введение новогоматериала.
После того, как ученикипоняли, что трапецию можно разбить на несколько фигур, площади которых онимогут найти, основываясь на известных им свойствах площадей, школьники найдут иплощадь трапеции. Рассматривается задача: известно, что высота трапеции BH = 4 см, ВС = 8 см, AD = 16 см. Найти площадь трапеции.

/>
Рис. 36
Учитель поясняет, чтоданную трапецию можно разбить на две фигуры: треугольник и параллелограмм (рис.36), площади которых мы уже умеем находить. Таким образом, площадь трапеции АВСD равна сумме площадей треугольника ипараллелограмма.
Ученикам предлагаетсясамостоятельно решить эту задачу.
Решение:
1. Построим отрезок BF, параллельный отрезку CD.
2. Четырехугольник BCDF является параллелограммом, так как BC || FD (ABCD – трапеция, AD || BC) и BF || CD – по построению.
3. Найдем площадьпараллелограмма BCDF: BC = FD = 8. BH = 4– высота параллелограмма (так как BH – высота трапеции, то BH| ВС). S = BH*BC = 4*8=32
4. Найдем площадьтреугольника ABF: BH – высота, AF –основание: BH = 4 cм, AF = AD – FD = 16 – 8 = 8 (cм). S = /> (см2).
5. Площадь трапецииравна сумме площадей треугольника и параллелограмма: Sтрап=Sпар+Sтр = 32+16 = 48 (см2).
Ответ: 48 см2)
После рассмотрениячастного случая можно перейти к рассмотрению общего случая нахождения площадитрапеции. Учитель задает школьникам вопрос:
- Любую ли трапециюможно разбить на треугольник и параллелограмм, как?
(да, нужно провести черезодну из ее вершин прямую параллельную одному из боковых ребер, тогда эта прямаяразобьет трапецию на параллелограмм и треугольник)
Итак, нам дана трапеция соснованиями AD = b, BC = a, высотой BH = h.Нужно найти площадь этой трапеции. Учащиеся уже ознакомлены с алгоритмомрешения такой задачи:
1. Провести черезодну из вершин трапеции прямую параллельную одному из боковых ребер, тогда этапрямая разобьет трапецию на параллелограмм и треугольник.
2. Найти площадьполученного параллелограмма: />.
3. Найти площадьполученного треугольника: />
4. Сложить результаты:
/>
Таким образом, ученикисамостоятельно доказали и сформулировали теорему.
В этом случае косвенныеизмерения площадей треугольника и параллелограмма помогли при доказательстветеоремы. Косвенные измерения могут быть использованы при введении тем: ТеоремаПифагора (доказательство этой теоремы происходит с помощью косвенных измерений– вычислений площадей треугольника и квадрата), признаки подобия, площадь кругаи многое другое. Использовать именно косвенные измерения удобно при изучениитем, связанных с площадями, где можно применять уже известные формулы, к томуже непосредственное измерение площадей затрудняется в связи с неточностьюизмерительных инструментов (палетка). Эти недостатки исчезают при использованииинформационных измерений, то есть измерений геометрических величин с помощьютехнических средств. Заметим, что они могут быть заменены и непосредственными икосвенными, так как компьютер выполняет лишь роль вычислителя. Информационные«измерения» могут быть использованы при введении многих тем: обнаруженияфактов, доказательстве теорем. Рассмотрим использование такого вида измеренийпри введении формулы длины окружности.
1.1.3 Длина окружности
Тема: «Длина окружности»
Цели: вывести формулу длянахождения длины окружности.
В результате изучения даннойтемы учащиеся должны:
- знать формулу длянахождения длины окружности и ее вывод;
- уметь применятьполученные знания при решении задач.
Оборудование: компьютер, приложение«Живая математика» [33], учебник Геометрия 7 – 9, Л.С. Атанасян и др. [7].
Фрагмент урока.
1. Актуализацияопорных знаний.
Прежде чем перейти квыводу формулы для нахождения длины окружности необходимо вспомнить, какаяфигура называется окружностью.
(Окружность – этогеометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданномрасстоянии от данной точки)
2. Введение новогоматериала.
Учащимся необходимовыполнить работу исследовательского характера, с целью определения формулы длянахождения длины окружности.
Им предлагается с помощьюпрограммы Живая геометрия провести ряд измерений и заполнить таблицу:

Таблица 5 Длина окружности – C, см Радиус окружности – R, см
/> Измерение 1 …………..
1. Запуститьприложение Живая геометрия.
2. Выбрать элементЦиркуль, расположенный на панели инструментов: />
3. С помощьювыбранного инструмента начертить окружность.
4. Выполнитькоманду: Измерения – Длина окружности.
На экране появится поле,в котором будет отображаться длина начерченной окружности.
5. Выбрать элементЛинейка: />
6. С помощьювыбранного инструмента соединить центр окружности с точкой, лежащей наокружности.
7. Выполнить командуИзмерения – Длина.
На экране появится поле,в котором указана длина отрезка, являющимся радиусом (рис. 37).
/>
Рис. 37
8. Провести подобныеизмерения пять раз.
После заполнения таблицыучащиеся замечают, что в четвертом столбце у них получается примерно одно итоже число, то есть чтобы найти длину окружности необходимо знать радиусокружности. Длина окружности равна удвоенному произведению радиуса окружностина полученное школьниками число.
Затем учитель поясняет,что число /> обозначается p (число «пи»), которое приближенноравно 3,14.
Затем учительрассказывает историю открытия числа p.
Также можно объединитьнесколько видов измерений, так появляется косвенное и непосредственноеизмерение, то есть измерения, где нужно применять и умения использоватьизмерительные инструменты и знания различных формул. Рассмотрим применениетаких измерений при введении темы «Теорема Пифагора».
1.1.4 Теорема Пифагора
Тема: «Теорема Пифагора»
Цель: сформулировать идоказать теорему Пифагора.
В результате изученияданной темы учащиеся должны:
- знатьформулировку теоремы Пифагора и ее доказательство;
- уметь применятьполученные знания при решении задач.
Оборудование: чертежные иизмерительные инструменты: линейка, транспортир, учебник для 7 – 11 кл, Погорелов,А.В. [20].
Фрагмент урока.
1. Актуализацияопорных знаний.
Учитель предлагаетученикам вопросы и задания для выполнения, позволяющие вспомнить необходимыедля усвоения нового материала факты.
-  Что такое треугольник?
(Треугольником называетсяфигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трехотрезков, попарно соединяющих эти точки.)
-  Как называется треугольник, если унего все углы острые? (если один из углов тупой, прямой?)
(остроугольный,тупоугольный, прямоугольный)
2. Введение новогоматериала.
Учитель предлагаетшкольникам высказать предположения о справедливости следующей формулы: с2= а2 + b2, где а и b – катеты прямоугольного треугольника, с – гипотенузатреугольника.
Ученикам выдаются моделипрямоугольных треугольников.
Затем им предлагаетсяпровести измерения длин катетов прямоугольного треугольника и его гипотенузы изаполнить таблицу:
Таблица 6а b c
а2
b2
а2 + b2
с2
Таким образом, ученикиубедятся в истинности предположения, и уже после этого можно перейти кдоказательству этого утверждения.
1.2 Использованиеизмерений при решении задач
Еще одно направлениеиспользования измерений в геометрии, которое мы рассмотрим – это использованиеизмерений при решении задач.
Часто решая какую-либозадачу, ученик сталкивается с рядом проблем: не знает с чего начатьрассуждения, от чего отталкиваться и др. В таком случае может помочь непосредственноеизмерение. Школьник строит необходимый чертеж и измеряет элементы фигур,пытаясь найти какую-либо связь, зависимость между исходными данными иполучаемыми результатами. Это помогает ученику найти способ решения задачи.
Пример 5. Дан треугольникАВС. Сторона АС равна 6 см. Высота, проведенная к АС, равна />/>смсм. Высота, проведенная к АВ, равна 3/>см. ÐС треугольника АВС равен 30°. Найти ÐА (рис. 38).
/>
Рис. 38
При решении такой задачидети могут не сразу догадаться, как же ее решить, им может потребоватьсянекоторая наводка. Они могут получить эту подсказку, если точно выполнят чертежк задаче и найдут связь между исходными данными и неизвестными.
Дано:
∆АВС,
АС = 6 см,
ВМ = />/> см– высота ∆АВС,
СН = 3/>см – высота ∆АВС,
ÐС = 30°,
Найти: ÐА.
Уже при построениичертежа от учеников требуется умение строить такие отрезки, как />/> см.Это построение может быть выполнено следующим образом:
1. Сначала построимотрезок, равный /> см. Для этогопостроим прямоугольный треугольник с гипотенузой 2 см, а катетом 1 см. Тогда второй катет этого треугольника будет равен /> см(по теореме Пифагора) (рис. 39).
2. Затем мы три разаоткладываем полученный отрезок и делим его пополам.
/>
Рис. 39
Таким образом, прииспользовании такого вида измерения в качестве средства поиска решения задачи,учащиеся должны хорошо владеть измерительными и чертежными инструментами.
Построение (рис. 40):
1. АС = 6 см;
2. ÐС = 30°;
3. />
4. />;
5. КР = ВМ, КÎ а;
6. b || АС, Р Î b;
7. />

/>
Рис. 40
После того, как школьникпостроил такой треугольник, он может измерить угол, который необходимо найти.Измерив ÐА, ученики убедятся, что он равен60°, таким образом, треугольник АВС – прямоугольный. У школьников появятсямнения о том, с чего начать решение этой задачи – найти АВ, после чего,показать, что треугольник, в самом деле, прямоугольный.
А уже после того, как ребенокнашел способ решения этой задачи, он ее решает с использованием косвенныхизмерений.
(Решение:
1. Найдем площадьтреугольника АВС:
С одной стороны: />(см2);
С другой стороны: />. Откуда АВ = />(см)
2. ÐС = 30°, АС = 6 см, АВ = 3 см, сл-но, ∆АВС – прямоугольный, ÐВ = 90°, ÐА= 60°.
Ответ: ÐА = 60°.)
Непосредственные икосвенные измерениятакже могут помочь в решении задач.
Пример 6. Дана монета(монета имеет форму окружности) (рис. 41). Найти ее радиус.

/>
Рис. 41
Ученики с помощью нитиизмеряют длину окружности, а затем вычисляют ее радиус по уже известной имформуле.
Заметим, чтоиспользование информационных измерений при решении задач возможно, но вбольшинстве случаев они помогают лишь вычислить что-то, не позволяют ученикупонять ход решения. Использование информационных измерений при решении задачоказывают влияние в следующих случаях:
-  для четкого построения чертежа. Спомощью компьютерных технологий школьник может сделать правильный и точный чертежк задаче, а после этого перейти к поиску решений.
-  Решение задач на ГМТ.
-  Решение задач исследовательскогохарактера.
Пример 7. Данравносторонний треугольник со стороной а и окружность с радиусом, равнымстороне треугольника. Определить, сколько возможно точек пересечения окружностисо сторонами треугольника.
В программе Живаягеометрия ученики могут построить равносторонний треугольник и окружность.Передвигая эту окружность, школьники определят количество точек пересечения.Учитель может сделать это для демонстрации в классе, с использованием анимации,что также возможно в указанном компьютерном приложении.
- В решении задачна построение. На этапе анализа задачи ученики могут выполнить чертеж накомпьютере, а уже после этого и к отысканию способа построения.
1.3 Использованиеизмерений для опровержения каких-либо утверждений
Школьникам задаетсявопрос об истинности какого-то утверждения. Не каждый ребенок может сразуответить верно, поэтому чтобы ученики убедились в правильности своего ответа,они проверяют выполнение факта на практике. Рассмотрим несколько примеров такихвопросов.
Ученикам предлагаетсявысказать предположение о том, верно ли следующее утверждение: в треугольникесумма двух сторон меньше, чем другая его сторона. Учащиеся высказывают своидогадки, после чего учитель предлагает построить в тетрадях произвольныйтреугольник и проверить выполняется ли это неравенство. После некоторыхизмерений ученики убеждаются в том, что это утверждение ложно. В этом импомогли непосредственные измерения.
Рассмотрим другой вопрос,для ответа на который понадобятся косвенные измерения: всегда ли площадьквадрата, сторона которого равна диаметру круга, больше площади такого круга.Пусть сторона квадрата равна а, тогда его площадь равна а2. Площадькруга с диагональю а равна />.Ученикам нужно сравнить полученные площади: так как />

1.4 Измерения,подчеркивающие практическую значимость геометрии
Использование измерений вшкольном курсе геометрии помогает при достижении различных целей, даетвозможность организовывать урок и в форме лабораторной, исследовательской,практической работы, то есть разнообразить формы организации обучения, чтопоможет учителю и при контроле знаний и умений учащихся, и при организациииндивидуального и дифференцированного подхода к обучению. Заметим, что помимоперечисленных нами направлений использования измерений, они так же существуюткак самостоятельная единица. Существует множество разнообразнейшихзанимательных задач на измерения, подчеркивающих практическую направленностьгеометрии и межпредметную связь. Рассмотрим примеры таких задач.
Пример 8. Измерить высотудерева.
/>
Рис. 42
На некотором расстоянии(рис. 42) от измеряемого дерева, на ровной земле в точке С кладут горизонтальнозеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой наблюдательвидит в зеркале верхушку А дерева. Тогда дерево (АВ) во столько раз выше ростанаблюдателя (ED), во сколько раз расстояние ВС от зеркала до дерева большерасрасстояния CD от зеркала до наблюдателя. Способ основан на законе отражениясвета. Вершина А (рис. 43) отражается в точке А' так, что АВ = А'В. Из подобияже треугольников ВСА' и СЕВ следует, что A'B:ED = BC:CD. В этой пропорцииостается лишь заменить A’Вравным ему АВ, чтобы обосновать указанное в задаче соотношение.
/> 
Рис. 43
Пример 8. В тенисеребристого тополя от его корней разрослась поросль. Сорвите лист и заметьте,как он велик по сравнению с листьями родительского дерева, особенно с теми, чтовыросли на ярком солнце. Теневые листья возмещают недостаток света размерамисвоей площади, улавливающей солнечные лучи. Определить, во сколько именно разплощадь листа поросли больше площади листа родительского дерева.
Оба листа, различные повеличине, имеют все же одинаковую или почти одинаковую форму: другими словами,— это фигуры, геометрически подобные. Площади таких фигур, мы знаем, относятся,как квадраты их линейных размеров. Значит, определив, во сколько раз один листдлиннее или шире другого, мы простым возведением этого числа в квадрат узнаемотношение их площадей.
Пример 9. У одуванчика,выросшего в тени, лист имеет длину 31 см. У другого экземпляра, выросшего на солнцепеке, длина листовой пластинки всего 3,3 см. Во сколько примерно раз площадь первого листа больше площади второго? [18]
Отношение площадей равно />. Значит, один лист большедругого по площади раз в 90.
Такие задачи могут бытьиспользованы также при подготовке внеклассных мероприятий по математике илифакультативов.

§2. Рекомендации пореализации основных направлений использования измерений в школьном курсегеометрии
В предыдущих параграфахмы рассмотрели виды измерений и направления их использования в обучениигеометрии. В зависимости от направления использования измерений целесообразноприменять тот или иной вид измерений. Рассмотрим, при изучении каких темшкольного курса геометрии, возможно использование измерений геометрических величин.
Применениенепосредственных измерений, то есть измерений с помощью специальныхинструментов, возможно при изучении таких тем как «Смежные и вертикальныеуглы», «Признаки равенства треугольников», «Свойства равнобедренныхтреугольников», «Параллельные прямые», «Соотношения между сторонами и угламитреугольника», «Подобные треугольники» и др. На уроках при введенииперечисленных тем, разделов ученикам предлагается с помощью измеренийобнаружить какой-либо факт, убедиться в истинности утверждения. Это можнореализовать с помощью непосредственного измерения геометрических величин. Приэтом, ученикам нужно дать понять, что непосредственные измерения не всегдаточны, и поэтому результат может не совпадать с ожидаемым. В этом случаешкольников необходимо познакомить с такими понятиями как погрешности иприближенные значения величин. С погрешностью мы сталкиваемся при измерениях всвязи с неточностью измерительного прибора, человеческим фактором, внешнимивоздействиями. О них следует рассказать ученикам и научить их определятьпогрешности измерений и работать с ними, если школьники углубленно занимаютсяматематикой. В остальных случаях столь подробного рассмотрения этих понятий нетребуется, так как вопрос об погрешности измерений очень сложен. Нам достаточноуметь находить приближенные значения величин.
Итак, при знакомстве спонятиями смежных и вертикальных углов школьники самостоятельно могутсформулировать утверждения: сумма смежных углов равна 180°, вертикальные углыравны. При изучении признаков равенства треугольников, свойств равнобедренныхтреугольников, признаков параллельности прямых ученики так же приходят кформулировке теорем. После ряда измерений учащиеся приходят к этому. Но послепроведенной ими работы учитель должен объяснить необходимость в доказательственужной гипотезы: ведь измерения были неточны, и то, что утверждение верно водном случае не означает, что оно верно всегда.
Использование измеренийпри изучении нового материала очень широко, но есть и такие темы, при которыхприменение измерений не требуется. К таким можно отнести следующие темы:«Векторы», «Метод координат», «Движения».
Также при введении новогоматериала возможно и использование косвенных измерений, то есть те, гденеобходимо использование известных ученикам формул. Но в отличие отнепосредственных, которые помогали прийти к формулировке гипотезы, косвенныеизмерения могут помочь и в ее доказательстве. Применение косвенных измеренийможет быть реализовано при изучении таких тем как «Теорема Пифагора», «Подобиефигур», «Площади фигур». Ведь именно здесь ребята уже знакомы с некоторымиформулами, которые помогут им в дальнейшем. Так при изучении площадейчетырехугольников они уже знают, как находится площадь треугольника. А так каклюбой четырехугольник можно разбить на несколько треугольников, то сложностей внахождении их площадей не возникает.
Применение информационных«измерений» также играет немалую роль при изучении новых понятий. С помощьюкомпьютерных технологий можно продемонстрировать всему классу ряд свойств илитеорем. Так, например, при изучении темы «Площадь треугольника» можно показатьученикам, что площадь треугольника не изменится пока будут постояннымиоснование и высота треугольника.
Так как наглядность в геометриииграет важную роль, то применение информационных технологий на уроках такжепоможет при реализации принципа наглядности в обучении.
Следующим направлениемиспользования измерений являются измерения при решении задач. Заметим, чтонепосредственные измерения здесь помогают в поиске решения. Так сделав чертеж ктой или иной задаче и измерив необходимые величины, ученик может обнаружитьсвязь между искомыми и данными значениями. Косвенные же измерения необходимыпрактически при решении любой геометрической задачи. А вот информационныеизмерения не всегда помогают в решении задач. Компьютер, как мы знаем, созданчеловек для ускорения вычислений, поэтому ни в поиске решения, ни на этапеосуществления плана решения, он не помогает ученику. При этом информационныетехнологии, как уже было отмечено выше, могут помочь в следующих случаях:
-  для четкого построения чертежа.
-  решение задач на ГМТ.
-  решение задач исследовательскогохарактера.
-  решении задач на построение.
Помимо того, чтобывыбрать какой тип измерений использовать на каждом из этапов обучения, учительдолжен организовать работу учащихся. Активизировать процесс обучения математикепозволяет собственная практическая деятельность учащихся. Так как измерениятесным образом связаны с практической деятельностью, то необходимо правильноподобрать форму обучения. Одной из таких форм является лабораторная работа.
Хотя лабораторная работаобычно выполняется в группах это не всегда удобно. При введении темы, например,учащиеся должны быть сосредоточены на изучаемом материале и на работе, которуюони выполняют. Работая в парах или группах, школьники могут отвлекаться, чтопомешает качественному усвоению темы. Поэтому ученикам нужно датьиндивидуальные занятия, нацеленные на достижение одной цели. Например, приизучении признаков равенства треугольников, ученики могут быть разделены нагруппы, но при этом каждый должен выполнять свою функцию: к примеру, одинчеловек измеряет стороны треугольников, розданных учителем, и заноситрезультаты в таблицу, второй – измеряет углы, третий путем наложения, проверяетравны ли треугольники. Таким образом, каждый из учеников играет важную роль ввыполнении работы. Это подчеркивает их важность и позволяет не отвлекаться.Также при выполнении работы учителю следует продемонстрировать ход работы передее выполнением, или вместе с учениками проделывать все шаги. Не менее важнымявляется обеспечение всех школьников нужными измерительными инструментами.
Помимо лабораторных работмогут быть использованы также и практические работы, и работыисследовательского или творческого характера.
Таким образом, измеренияне только помогают при изучении геометрии, но и позволяют разнообразить формыобучения.
геометрияшкольный курс измерение

§3. Элективный курс«Измерения расстояний на местности»
Пояснительная записка
Измерительные работы наместности связаны с измерением реальных расстояний, в том числе междунедоступными предметами, высот, площадей участков, съемкой плана местности.Обучение выполнению таких работ способствует подготовке к моделированиюразнообразных задач, а также к дальнейшей профессиональной деятельности.
Предлагаемый элективныйкурс предназначен для реализации в 9 классах средней школы. При изучениипредложенных тем ученикам достаточно знаний, приобретенных на урокахматематики, поэтому никакой дополнительной подготовки от школьников нетребуется. При изучении элективного курса реализуются междпредметные связи стакими областями как физика, информационные технологии, черчение, технология идр.
Цель элективного курса:подготовить учащихся к дальнейшей профессиональной деятельности, повыситьуровень понимания практической значимости предмета.
Задачами курса являются:
-  формирование или развитиепредставлений учащихся об измерениях геометрических величин и расстояний наместности;
-  применение знаний, полученных науроках математики;
-  выделение разных видов взаимосвязейматематики с другими областями знаний;
Элективный курс имеет большойобразовательный, воспитательный и развивающий потенциал:
-  обучает разнообразным способамизмерения расстояний на местности,
-  воспитывает интерес к предмету;
-  направлен на обучение школьниковграмотному использованию измерительных инструментов.
На изучение курса целесообразноотвести 9 часов.
Тематическое планирование курса:
1. Меры длины,измерения расстояний подручными средствами – 1ч
2. Измерениерасстояний шагами и на глаз – 1ч
3. Измерительныеинструменты – 1ч
4. Измерениедиаметра ствола дерева – 1ч
5. Измерениенедоступного расстояния между доступными точками – 1ч
6. Применениесвойств прямоугольного треугольника и осевой симметрии – 1ч
7. Измерениерасстояний до недоступной точки – 1ч
8. Измерениерасстояний между недоступными точками – 1ч
9. Итоговое занятие– 1ч
Содержание курсаНомер занятия Тема Краткое содержание 1 Меры длины, измерения расстояний подручными средствами Различные меры длины (ладонь, фаланги пальцев, пядь, аршин, сажень, сантиметр, метр, фут и др.). Измерение геометрических величин с помощью частей тела: ладонь, фаланги пальцев и т.п. 2 Измерение расстояний шагами и на глаз Измерение расстояний на местности на глаз и шагами. Определение длины шага, измерение расстояния шагами. Определение расстояний на глаз. 3 Измерительные инструменты
Обучение школьников пользоваться измерительными инструментами: штангенциркуль, рулетка, мерная вилка лесовода.
Определение расстояний с помощью разнообразных измерительных инструментов. 4 Измерение диаметра ствола дерева Измерение диаметра ствола дерева различными инструментами (мерная вилка лесовода, диаметромер-центроискатель, нить) 5 Измерение недоступного расстояния между доступными точками Рассмотрение возможности применения математических фактов на практике, в частности при измерении недоступного расстояния между доступными точками. Применение равенства и подобия треугольников при измерении недоступного расстояния между доступными точками. 6 Применение свойств прямоугольного треугольника и осевой симметрии Применение свойств прямоугольного треугольника и осевой симметрии при измерении недоступного расстояния между доступными точками 7 Измерение расстояний до недоступной точки Применение теоремы о зависимости между углами и сторонами треугольника при измерении расстояний до недоступной точки 8 Измерение расстояний между недоступными точками
Применение теорем синусов и косинусов при
Измерение расстояний между недоступными точками 9 Итоговое занятие Подведение итогов
Занятие 1. Меры длины, измерения расстоянийподручными средствами
Время, отведенное на этозанятие, нужно отвести на рассмотрение возможности измерения расстоянийподручными средствами. Важно дать понять школьникам, как производилосьизмерение геометрических величин раньше, когда еще не было таких понятий каксантиметр, метр и др. На уроках геометрии ученики уже знакомились с различнымимерами длины: аршин, сажень и др. Учащиеся должны знать, что с древности меройдлины и веса был человек: на сколько он протянет руку, сколько сможет поднятьна плечи и т.д. Для того, чтобы измерять маленькие величины использовали пядь.Пядь – это расстояние между концами расставленных большого и указательногопальцев. Еще одной древнерусской мерой была сажень – одна из наиболеераспространенных на Руси мер длины, расстояние между концами пальцев широкорасставленных рук взрослого мужчины. Также широко использовались такие меры какаршин, локоть, ладонь и др. Учитель рассказывает о происхождении этих мер,после чего учащиеся учатся измерять геометрические величины с помощью частейтела: ладонь, фаланги пальцев и т.п. Школьникам предлагаются задания нанахождение длины или ширины парты, книги и т.п. При этом ученикам нужнорассказать и о мерах длины, используемых в современном мире: сантиметр, метр,фут и др., о их происхождении. А также указать связь между древними исовременными мерами длин:
1 аршин = 0,7112 м,
1 сажень = 2,1336 м и др.
Ученики могут произвестинекоторые измерения и занести результаты в таблицу:
Таблица 7Измеряемая длина Длина, аршин Длина, ладонь Длина, сантиметр Длина, метр 1. длина книги
Таким образом, ребятанаучатся измерять расстояния без помощи измерительных инструментов, а такжевспомнят некоторый материал, изучаемый на уроках геометрии и алгебры.
Ученики в конце занятияуже знают о различных способах измерений и поэтому на следующем занятии можноприступить к измерениям с помощью шагов или на глаз. У школьников появитсявозможность самим попробовать измерить расстояния на местности, используя приэтом «старинные» меры длины.
Литература
1.  Перельман Я.И. Живая математика.Математические рассказы и головоломки.– М.: Наука, 1967.– 160 с.: ил. [17]
2.  Прочухаев, В.Г. Измерения в курсематематики средней школы.– М.: Просвещение, 1965.– 140 с. [23]
3.  Шапиро, И.М. Использование задач спрактическим содержанием в преподавании математики. Кн. для учителя.– М.:Просвещение, 1990.– 96 с.: ил. [32]
Занятие 2. Измерение расстояний шагами и наглаз
На данном занятии важнопоказать ученикам возможность измерения расстояния без применения измерительныхинструментов, то есть измерение расстояний на глаз или шагами.
Для шагомерногоопределения расстояний каждый ученик должен знать среднюю длину своего шага.Длина шага находится путем 2-3 кратного измерения шагами одного и того жерасстояния, измеренного рулеткой. Делением расстояния, измеренногоинструментом, на среднее арифметическое числа шагов находится средняя динашага. Для удобства ученикам выдаются инструкции, которые они должны выполнить,а также сдать отчет в конце работы.
Итак, первым заданием дляучеников будет измерение длины своего шага.
Ученики должны бытьподелены на группы, по два – три человека. Затем учитель вместе с учащимисявыходит на школьную площадку. Школьники с помощью известного им из курсагеометрии метода – провешивания прямой, измеряют некоторое расстояние. Послеэтого учащиеся измеряют то же самое расстояние шагами. Затем ученикампредлагается проделать обратную операцию: сначала измерить некое расстояниешагами, а уже после этого, используя рулетку. После они сравнивают полученныерезультаты.
Также, имеет большоепрактическое значение развитие глазомера. Если занятия по определениюрасстояний на глаз ранее не осуществлялись, то следует начать с определения наглаз малых расстояний. Уже после этого переходить к определению больших длин.Так же, как и в случае с измерением шагами, определяемые расстояния на глазнеобходимо проверять путем непосредственных измерений.
После выполнения рядазаданий учащиеся заполняют отчет и делают выводы.
В результате проведеннойработы школьники научатся измерять расстояние шагами и на глаз, сделают вывод оцелесообразности таких измерений.
Занятие строитсяследующим образом:
1. Измерениерасстояния на местности рулеткой – провешивание прямой. Ученикам выдаютсянебольшие брусочки и измерительные инструменты.
2. Измерение длинысвоего шага.
3. Измерениерасстояния на местности шагами.
4. Измерение этогоже расстояния рулеткой.
5. Сравнениерезультатов.
6. Измерениерасстояния на глаз.
7. Подведениеитогов.
Отчет
ученика (цы)____________________________________________
класса___________________________школы_______________________
Таблица 8№ задания Расстояние, измеренное рулеткой, м Количество шагов, шт. Длина шага, м 1 2
На сколько отличаютсядлины, измеренные шагами и рулеткой?
_____________________________________________________________________________
Таблица 9№ упражнения Между какими предметами измеряется расстояние Расстояние, измеренное на глаз, м Расстояние, измеренное инструментом, м 1 Два бруса 2 Два дерева 3 .......
На сколько отличаютсядлины, измеренные на глаз и рулеткой?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Возможно ли измерениенедоступного расстояния рассмотренными способами? (Например, измерить ширину озера,реки)
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Будет ли измеренноерасстояние точным?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
В каких ситуациях можноприбегнуть к измерению расстояний шагами или на глаз?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________

Литература
1.  Перельман Я.И.Живая математика. Математические рассказы и головоломки.– М.: Наука, 1967.– 160с.: ил. [17]
2. Перельман Я.И.Занимательная геометрия.– М.: Гос. изд. технико-теоретической литературы,1967.– 160 с.: ил. [18]
3. Прочухаев, В.Г.Измерения в курсе математики средней школы.– М.: Просвещение, 1965.– 140 с. [23]
Занятие 3. Измерительные инструменты
Учащиеся уже научилисьизмерять расстояния без помощи измерительных инструментов. Теперь можноприступить к измерению длин, применяя различные приборы. Сначала ученикам нужнорассказать о том, что они измеряли и большие и малые расстояния, используя приэтом разные меры длины. Например, для измерения малых расстояний былииспользованы фаланги пальцев, ладонь, измерения на глаз, а когда измерялибольшие, то использовали шаги, аршин, сажень. И после этого уточнить, чтосуществуют и различные измерительные инструменты: одни – для измерения малыхдлин, другие – больших, с некоторыми из которых школьники знакомы (линейка,рулетка, мерная лента).
На данном занятии нужнонаучить ребят пользоваться такими инструментами как штангенциркуль, рулетка,мерная вилка лесовода.
С рулеткой, линейкой ит.п. дети уже работали на предыдущих занятиях, поэтому отдельного внимания этиминструментам уделять не обязательно. А с такими приборами как штангенциркуль имерная вилка лесовода стоит учеников познакомить. При этом важно всех ребятподготовить к этому занятию, проследить, чтобы у всех были нужные инструменты ит.д.
Учащиеся могутпопробовать измерить диаметр детали: болт, гайка и др.
После этого учительобъясняет, как использовать инструмент для измерения больших длин. Одним изтаких инструментов является мерная вилка лесовода.
Литература
1. Афонский, А.А.Измерительные приборы и массовые электронные измерения. Учеб. пособие / А.А.Афонский, В.П. Дьяконов.– М.: Солон-Пресс, 2007.– 544 с.: ил. [3]
2. Знаменский, М.А. Землеизмерительные инструменты и работа с ними всредней школе.– М.: Учпедгиз, 1933.– 39 с. [11]
3. Карасев, П.А. Самизмеряй и вычисляй. Линейные измерения, измерение площадей. Рабочая тетрадь погеометрии / П.А. Карасев, П.И. Попов.– Москва–Ленинград: ГИЗ, 1926.– 60 с.: ил. [13]
4. Прочухаев, В.Г.Измерения в курсе математики средней школы.– М.: Просвещение, 1965.– 140 с. [23]
Занятие 4. Измерение диаметра ствола дерева
Ученикам для размышленийпредоставляется задача: измерить диаметр ствола дерева. Для этого можноприменить такой инструмент как мерная вилка лесовода, с которым ученикизнакомились на предыдущем занятии. С его помощью рассматриваемая задача легкорешается. Также она может быть решена с использованием других средств:диаметромер-центроискатель, подручных средств (нить для измерения длины окружности).Учитель демонстрирует ученикам, как именно это делается, а затем ребята пробуютвыполнить измерения сами.

Литература
1.  Афонский, А.А. Измерительные приборыи массовые электронные измерения. Учеб. пособие / А.А. Афонский, В.П.Дьяконов.– М.: Солон-Пресс, 2007.– 544 с.: ил. [3]
2.  Знаменский,М.А. Землеизмерительныеинструменты и работа с ними в средней школе.– М.: Учпедгиз, 1933.– 39 с. [11]
3.  Прочухаев, В.Г. Измерения в курсематематики средней школы.– М.: Просвещение, 1965.– 140 с. [23]
4.  Перельман Я.И. Занимательнаягеометрия.– М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы,1950.– 296 с.: ил. [18]
Занятие 5. Измерение недоступного расстояниямежду доступными точками
Учащиеся уже знают оразных способах измерения: это и измерение подручными средствами, с помощьючастей тела, и измерения на глаз, и измерения с помощью специальныхинструментов. Но возникают ситуации, когда результата, полученного на глазнедостаточно, а использование приборов становится невозможным. В таких случаяхтребуется применение различных теорем.
На данных занятияхследует рассмотреть возможность применения теорем курса геометрии при измерениирасстояний на местности.
Применение равенства иподобия треугольников.
Пусть требуется измеритьширину озера. Измерить ее с помощью рулетки или другого измерительногоинструмента не предоставляется возможным. Нужно построить точку С, такимобразом, чтобы расстояния АС и ВС были доступными. На продолжениях АС и ВСотложить А’C = АС и B’C = BC. Соединив точки А’ и B’, получим ∆A’B’C’ = ∆ABC, но расстояние A’B’ мы можем измерить. Таким образом, измерим расстояние АВ.

/>
Рис. 44
После рассмотрения задачиученикам предлагается проделать это на местности. Школьники заполняют отчет:
Таблица 10Построить Измерить, м Сравнить Точку С АС А’С ВС B’C A’B’
1. Ширина озера АВ равна___________________________________________________
2. Какими теоремами курсагеометрии вы пользовались?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3. Какими измерительнымиинструментами вы пользовались?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Литература
1.  Прочухаев, В.Г. Измерения в курсематематики средней школы.– М.: Просвещение, 1965.– 140 с. [23]
2.  Перельман Я.И. Занимательнаягеометрия.– М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы,1950.– 296 с.: ил. [18]
 
Занятие 6. Применение свойств прямоугольноготреугольника
При рассмотрении задач врешении которых помогает знание свойств прямоугольных треугольников потребуетсяумение строить прямые углы. В этом помогут такие инструменты как угломер илиэкер, поэтому следует показать учащимся, как нужно пользоваться этимиинструментами.
После объясненияшкольникам предлагаются задания на построение углов на местности. А уже потом переходитьк измерениям расстояний на местности.
/>/>
Рис. 45
Решение задач наизмерение недоступных расстояний сводится к построению углов.
Применение свойств осевойсимметрии.
/>
Рис. 46

Необходимо определитьнедоступное расстояние АВ. Для этого нужно построить прямую MN и точки A’ и B’,симметричные точкам А и В относительно прямой MN. И затем уже измерить расстояние, равное расстоянию АВ.
Ученикам также может бытьпредложено самим составить задачу, в которой необходимо измерить недоступноерасстояние между доступными точками.
Литература
1.  Афонский, А.А. Измерительные приборыи массовые электронные измерения. Учеб. пособие / А.А. Афонский, В.П.Дьяконов.– М.: Солон-Пресс, 2007.– 544 с.: ил. [3]
2.  Знаменский,М.А. Землеизмерительныеинструменты и работа с ними в средней школе.– М.: Учпедгиз, 1933.– 39 с. [11]
3.  Прочухаев, В.Г. Измерения в курсематематики средней школы.– М.: Просвещение, 1965.– 140 с. [23]
Занятие 7. Измерение расстояний до недоступнойточки.
После того, как сошкольниками были рассмотрены различные способы измерения недоступных расстоянийследует перейти к измерению расстояний до недоступной точки.
Для этого потребуется также знание геометрии.
Применение теоремы озависимости между углами и сторонами треугольника.
/>
Рис. 47
Необходимо найтирасстояние между доступной точкой А и недоступной точкой В. Для этого нужнопостроить произвольный острый угол ВАМ. Затем на луче АМ выбираем точку С так,чтобы полученный треугольник АВС был равнобедренным, с основанием ВС. В даннойработе ученикам потребуется умение использовать эккер и угломер.
Литература
1.  Афонский, А.А. Измерительные приборыи массовые электронные измерения. Учеб. пособие / А.А. Афонский, В.П.Дьяконов.– М.: Солон-Пресс, 2007.– 544 с.: ил. [3]
2.  Знаменский,М.А. Землеизмерительныеинструменты и работа с ними в средней школе.– М.: Учпедгиз, 1933.– 39 с. [11]
3.  Прочухаев, В.Г. Измерения в курсематематики средней школы.– М.: Просвещение, 1965.– 140 с. [23]
Занятие 8. Измерение расстояний междунедоступными точками.
Применение теорем синусови косинусов.
Для этого занятия можноиспользовать следующую задачу: необходимо измерить расстояние между двумяпредметами, находящимися на другой стороне реки.
/>
Рис. 48

Итак, для того, чтобыизмерить недоступное расстояние АВ, нужно выбрать такие точки C и D, между которыми можно измерить расстояние, и таким образом,чтобы из них можно было видеть точки А и В. После чего, нужно измеритьрасстояние CD, углы ACD, ADC, BDC, BCD. А затем из треугольника ACD по теореме синусов найти АС, из треугольника CDB – ВС. После чего из треугольника АВСпо теореме косинусов мы сможем найти и АВ.
Литература
1.  Афонский, А.А. Измерительные приборыи массовые электронные измерения. Учеб. пособие / А.А. Афонский, В.П.Дьяконов.– М.: Солон-Пресс, 2007.– 544 с.: ил. [3]
2.  Знаменский,М.А. Землеизмерительныеинструменты и работа с ними в средней школе.– М.: Учпедгиз, 1933.– 39 с. [11]
3.  Прочухаев, В.Г. Измерения в курсематематики средней школы.– М.: Просвещение, 1965.– 140 с. [23]
Занятие 9. Итоговое занятие.
На последнем занятии сучениками подводят итоги работы и выполняют практические задания на закреплениепройденного. Также с учениками могут быть рассмотрены задания на нахождениеплощади комнаты, например. То есть те, которые связаны с измерением расстоянийна местности.
В результате этих занятийученики понимают важность измерений, а также математики в повседневной жизни.Ученики на личном опыте убеждаются в жизненности и ценности математическихзнаний.

Заключение
В данной работерассмотрен вопрос о необходимости изучения измерений геометрических величин вкурсе геометрии 7 – 9 классов. В результате работы были сделаны выводы о необходимостиизучения измерений геометрических величин в школе, о необходимости обученияумению использовать различные измерительные инструменты.
Была достигнутапоставленная цель: мы выявили возможности использования измеренийгеометрических величин при изучении различных тем курса геометрии 7 – 9классов. При достижении цели работы мы решили следующие задачи: изучениепсихологической и учебно-методической литературы по теме; анализ измерительныхинструментов для школ; проведение классификации измерений геометрическихвеличин; разработка методических рекомендаций для реализации основныхдидактических функций на уроке математики с использованием измерений;разработка элективного курса «Измерение расстояний на местности».
В результате изученияпсихологической и учебно-методической литературы по теме мы сделали вывод онеобходимости практической деятельности учащихся на уроках геометрии: оченьважно, чтобы весь процесс обучения геометрии сопровождался практическойдеятельностью учеников. В результате сравнительного анализа учебниковгеометрии, рекомендованных (допущенных) Министерством Образования и НаукиРоссийской Федерации к использованию в образовательном процессе вобщеобразовательных учреждениях на 2008/2009 учебный год мы выделили основныеэтапы изучения измерений геометрических величин: пропедевтический курс (1-6классы), основная школа (7-9 классы), старшая школа (10-11 классы).
При изучении измеренийшкольники знакомятся с такими методами геометрии как метод подобия, методплощадей, и используют другие методы: метод дополнительных построений, методвспомогательного треугольника, координатный метод, метод геометрических мест,которые играют немаловажную роль в дальнейшем обучении геометрии. В различныхучебниках уровень ознакомления с этими методами различный.
Также нами рассмотреныизмерительные инструменты, используемые в школах. В комплект классныхинструментов входит: линейка, транспортир, угольник (30º, 60º),угольник (45º, 45º), циркуль. Но учащихся также полезно познакомить ис другими инструментами: мерная вилка лесовода, кронциркуль, штангенциркуль,диаметромер-центроискатель, астролябия, палетка и др.
В соответствии с тем,какие приборы мы используем при измерении геометрической величины, мы провеликлассификацию измерений геометрических величин: непосредственные, косвенные,измерения с помощью информационных технологий. Также мы рассмотрели возможностьприменения тех или иных измерений на разных этапах урока, при достижениидидактических целей. В соответствии с которыми, выдели направления использованияизмерений геометрических величин в школьном курсе геометрии: при изучениинового материала; при закреплении полученных знаний; при выводе формул илиустановлении математических фактов; для установления межпредметных связей; дляопровержения утверждений или верификации гипотезы. Привели примеры фрагментовуроков по различным направлениям использования измерений и методическиерекомендации к ним.
Помимо этого, разработалипрограмму элективного курса «Измерение расстояний на местности», который направленна подготовку учащихся к дальнейшей профессиональной деятельности, повышение уровняпонимания практической значимости геометрии, который могут использовать учителяв своей деятельности. Курс состоит из девяти занятий, на каждом из которыхучащиеся знакомятся с различными измерительными инструментами, учатся работатьс ними, а также знакомятся с различными способами измерений расстояний наместности.
Библиография
1.  Александров, А.Д. Геометрия [Текст]:Экспериментальное учебное пособие для учащихся VII класса средних учебных заведений / А.Д. Александров, А.Л.Вернер, В.И. Рыжик.– М.: Мирос, 1994.– 200 с.: ил.
2.  Александров, А.Д. Геометрия для 8 – 9кл. [Текст]: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч.математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик.– М.: Просвещение,1991.– 415 с.: ил.
3.  Афонский, А.А. Измерительные приборыи массовые электронные измерения [Текст]: Учеб. пособие / А.А. Афонский, В.П.Дьяконов.– М.: Солон-Пресс, 2007.– 544 с.: ил.
4.  Бескин, Н.М. Методика геометрии[Текст]: Учебник для пед. институтов / Н.М. Бескин.– М.: Учпедгиз, 1947.– 278с.
5.  Виноградова, Л.В. Методикапреподавания математики в средней школе [Текст]: Учеб. пособие / Л.В.Виноградова.– Ростов н/Д.: Феникс, 2005.– 252 с.: ил.
6.  Воронов, В.В. Педагогика школы в двухсловах [Текст]: Учеб. пособие для студентов пед. вузов / В.В. Воронов.– М.:Педагогическое общество, 2000.– 192 с.: ил.
7.  Геометрия, 7 – 9 [Текст]: Учеб. дляобщеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.–16-е изд.– М.: Просвещение, 2006.– 384 с.: ил.
8.  Геометрия в 7-9 классах [Текст]:Преподавание курса геометрии по учебнику А.В. Погорелова «Геометрия: 7-9» /Л.Ю. Березина, Н.Б. Мельникова, Т.М. Мищенко и др.– 2-е изд., перераб. и доп.–М.: Издательство «Экзамен», 2008.– 431с.
9.  Гусев, В.А. Психолого-педагогическиеосновы обучения математике [Текст] / В.А. Гусев.– М.: ООО «Издательство«Вербум-М», ООО «Издательский центр «Академия», 2003.– 432 с.
10. Дакацьян У.В.Проверка знаний учащихся по математике [Текст]: Пособие для учителей / У.В.Дакацьян.– М.: Академия педнаук, 1963.– 88 с.
11. Знаменский, М.А. Землеизмерительные инструменты и работа с ними всредней школе [Текст] / М.А. Знаменский.– М.: Учпедгиз, 1933.– 39 с.
12. Изучениегеометрии в 7, 8, 9 классах [Текст]: Метод. рекомендации к учеб.: Кн. дляучителя / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков и др.– 6-е изд.– М.:Просвещение, 2003.– 255 с.: ил.
13. Карасев, П.А. Самизмеряй и вычисляй. Линейные измерения, измерение площадей [Текст]: Рабочаятетрадь по геометрии / П.А. Карасев, П.И. Попов.– Москва–Ленинград: ГИЗ, 1926.–60 с.: ил.
14. Колягин, Ю.Г.Методика преподавания математики в средней школе [Текст]: Общая методика.:Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов / Ю.Г. Колягин.– М.:Просвещение, 1975.– 462 с.
15. Методика итехнология обучения математике [Текст]: Курс лекций: пособие для вузов / Н.Л.Стефанова, Н.С. Подходова, В.В. Орлов и др.– М.: Дрофа, 2005.– 416 с.: ил.
16. Методикапреподавания математики в средней школе [Текст]: Частная методика: Учебноепособие для студентов пед. институтов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А.Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин.– М.: Просвещение, 1987.– 416 с.:ил.
17. Перельман Я.И.Живая математика [Текст]: Математические рассказы и головоломки / Я.И.Перельман.– М.: Наука, 1967.– 160 с.: ил.
18. Перельман Я.И.Занимательная геометрия [Текст]: Занимательная геометрия / Я.И. Перельман.– М.:Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.– 296 с.:ил.
19. Перечни учебногооборудования по кабинетам Российской Академии Образования [Электронныйдокумент]: (http://www.ucheba.com/pos_rus/baza/baz_matem.htm) 23.11.2008.
20. Погорелов, А.В.Геометрия [Текст]: Учеб. для 7 – 11 кл. сред. шк. / А.В. Погорелов.– М.:Просвещение, 1992.– 383 с.: ил.
21. Преессман, Л.П. Методикаи техника эффективного использования средств обучения в учебно-воспитательномпроцессе [Текст]: Книга для учителя / Л.П. Преесман.– М.: Просвещение, 1985.–197 с.: ил.
22. Примернаяпрограмма среднего (полного) общего образования по математике [Электронныйдокумент] / Министерство образования инауки РФ(http://window.edu.ru/window_catalog/files/r37204/08-1-s1.pdf). 20.11.2008.
23. Прочухаев, В.Г.Измерения в курсе математики средней школы [Текст] / В.Г. Прочухаев.– М.:Просвещение, 1965.– 140 с.
24. Саранцев, Г.И.Методика обучения математике в средней школе [Текст]: Учеб. пособие длястудентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г.И. Саранцев.– М.: Просвещение,2002.– 224 с.: ил.
25. Саранцев, Г.Современный урок математики [Текст] // Математика в школе.– 2006.– № 7.– С.50-55
26. Смирнова, И.М.Геометрия [Текст]: 7-9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / И.М.Смирнова, В.А. Смирнов.– 3-е изд., стереотип.– М.: Мнемозина, 2008.– 376 с.:ил.
27. Смирнова, И.М.Геометрия. 7 класс [Текст]: Методические рекомендации для учителя / И.М.Смирнова, В.А. Смирнов.– М.: Мнемозина, 2007.– 269 с.: ил.
28. Стандартосновного общего образования по математике [Электронный документ] / Министерствообразования и науки РФ (http://window.edu.ru/window_catalog/files/r39261/11.pdf)15.01.2009.
29. Темербекова, А.А.Методика преподавания математики [Текст]: Учеб. пособие для студ. высш. учеб.заведений / А.А. Темербекова.– М.: Гуманит. изд. центр Владос, 2003.– 176 с.
30. Федеральныйперечень учебников на 2008-2009 учебный год. – Введ. 2007-12-13 [Электронныйдокумент] / Министерство образования и науки Российской Федерации (http://fsu.edu.ru/p97aa1.html).15.12.2008.
31. Шарыгин, И.Ф.Геометрия [Текст]: 7 – 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / И.Ф.Шарыгин.– 7-е изд., стереотип.– М.: Дрофа, 2004.– 368 с.: ил.
32. Шапиро, И.М.Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики[Текст]: Кн. для учителя / И.М. Шапиро.– М.: Просвещение, 1990.– 96 с.: ил.
33. The geometer’s sketchpad [Электронный ресурс] Живая геометрия.Версия 4.04. Русскоязычная версия (http://math66.ucoz.ru/load/2-1-0-6). 07.03.2009.