Разработка программы факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса

ГОУ СПО «Кунгурское педагогическое училище»
ПЦК преподавателей естественно-математических дисциплин
Разработка программы факультативного курса по теориивероятностей в курсе математики 8 класса
Допущена к защите
Зам. Директора по учебнойработе
Л.А. Патракова, 2009 г.
Председатель ПЦК
естественно-математическихдисциплин
Т.А. Трясцына, 2009 г.
Выпускнаяквалификационная работа
по методике преподаванияматематики
Михайловой НатальиАнатольевны
специальность 050201 математикагруппа М-51
отделение: заочное
Руководитель: Янкина Л.Г.,
преподаватель математики
Защита состоялась:
2009

Оглавление
Введение
1. Предмет теории вероятностей
1.1 Основные понятия
1.2 Правила и теоремы теориивероятностей
2. Разработка программыфакультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса
2.1 Основные понятия о факультативномкурсе
2.2 Методика преподавания теориивероятностей
Заключение
Литература
Приложения

Введение
Теория вероятностей является одним изклассических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этогораздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма,Бернулли, Паскаля. Позднее развитие теории вероятностей определились в работахмногих ученых. Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны:П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов, А.А. Марков, А.Н. Колмогоров. По словам Б.В.Гнеденко: «Теория вероятностей, подобно другим разделам математики, развиласьиз потребностей практики; в абстрактной форме она отражает закономерности,присущие случайным событиям массового характера».
Теория вероятностей используется в физике,технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла ее роль в связи сразвитием вычислительной техники.
Например, при бросании монеты нельзя предсказать,какой стороной она упадет, для этого необходимо было бы учесть слишком многоразличных факторов: работу мышц руки, участвующей в бросании, малейшиеотклонения в распределении массы монеты, движение воздуха и т.д. Результатбросания монеты случаен. Но, оказывается, при достаточно большом числе бросаниймонеты существует определенная закономерность (герб и цифра выпадутприблизительно поровну).
Закономерности, которым подчиняются случайныесобытия, изучаются в разделах математики, которые называются теориейвероятности.
Можно привести много других примеров случайныхвеличин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенныезакономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей идает теория вероятностей. Таким образом, теория вероятностей занимаетсяматематическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.
В настоящее время теория вероятностей завоевалаочень серьезное место в науке и прикладной деятельности. Ее идеи, метода ирезультаты не только используются, но буквально пронизывают все естественные итехнические науки, экономику, планирование, организацию производства, связи, атакже такие далекие, казалось бы, от математики науки, как лингвистику и археологию.Сейчас без достаточно развитых представлений о случайных событиях и ихвероятностях, без хорошего представления о том, что явления и процессы, с которымимы имеем дело, подчиняются более сложным закономерностям, невозможно полноценноработать в физике, химии, биологии, управлять производственными процессами. А,следовательно, данная тема актуальна и нуждается в рассмотрении.
Однако теория вероятностей почти нерассматривается в школьном курсе математики, так как в учебниках очень малозаданий. Зато на различных олимпиадах такие задания встречаются часто. Решениемданной проблемы может служить создание факультативного курса по теориивероятностей.
Цель: разработатьпрограмму факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8класса.
Задачи:
· Изучитьметодическую и научную литературу по теме;
· Показатьметодику работы при использовании элементов теории вероятностей на урокахматематики в школе;
· Подобратьсистему задач и упражнений, направленных на изучение данной темы.
Объект исследования — процесс подготовки учителяк обучению школьников элементам теории вероятностей.
Предмет исследования — влияние системы задач на формированиевероятностных понятий у учеников 8 класса.
Контингент – ученики 8-го класса.
1. Предметтеории вероятностей1.1 Основные понятия
Теория вероятностей возникла в середине XVII в. Первые работы потеории вероятностей, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма иголландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различныхвероятностей в азартных играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именемшвейцарского математика Я. Бернулли, установившего закон больших чисел длясхемы независимых испытаний с двумя исходами (опубликовано в 1713).
Следующий (второй) период истории теории вероятностей (XVIII в., начало XIX в.) связан с именами А.Муавра (Англия), П. Лапласа (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона(Франция). Это — период, когда теория вероятностей уже находит ряд весьмаактуальных применений в естествознании и технике (главным образом в теорииошибок наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, ив теории стрельбы). К этому периоду относится доказательство первых предельныхтеорем, носящих теперь названия теорем Лапласа (1812) и Пуассона (1837); А.Лежандром (Франция, 1806) и Гауссом (1808) в это же время был разработан способнаименьших квадратов.
Третий период истории теории вероятностей. (2-я половина XIX в.) связан в основном сименами русских математиков П.Л. Чебышева, А.М. Ляпунова и А.А. Маркова(старшего). Теория вероятностей развивалась в России и раньше. В XVIII в. ряд трудов былнаписан работавшими в России Л. Эйлером, Н. Бернулли и Д. Бернулли. Во второйпериод развития теории вероятностей следует отметить работы М.В. Остроградскогопо вопросам теории вероятностей, связанным с математической статистикой, и В.Я.Буняковского по применениям теории вероятностей к страховому делу, статистике идемографии. Со 2-й половины XIX в. исследования по теории вероятностей в Россиизанимают ведущее место в мире. Чебышев и его ученики Ляпунов и Марков поставилии решили ряд общих задач в теории вероятностей, обобщающих теоремы Бернулли иЛапласа. Чебышев чрезвычайно просто доказал (1867) закон больших чисел привесьма общих предположениях. Он же впервые сформулировал (1887) центральнуюпредельную теорему для сумм независимых случайных величин и указал один изметодов её доказательства. Другим методом Ляпунов получил (1901) близкое кокончательному решение этого вопроса. Марков впервые рассмотрел (1907) одинслучай зависимых испытаний, который впоследствии получил название цепейМаркова.
В Западной Европе во 2-й половине XIX в. получили большоеразвитие работы по математической статистике (в Бельгии — А. Кетле, в Англии — Ф. Гальтон) и статистической физике (в Австрии — Л. Больцман). Которые наряду сосновными теоретическими работами Чебышева, Ляпунова и Маркова создали основудля существенного расширения проблематики теории вероятностей в четвёртом(современном) периоде её развития. Этот период истории теории вероятностейхарактеризуется чрезвычайным расширением круга её применений, созданиемнескольких систем безукоризненно строгого математического обоснования теориивероятностей, новых мощных методов, требующих иногда применения (помимоклассического анализа) средств теории множеств, теории функций действительногопеременного и функционального анализа. В этот период советская наука продолжаетзанимать значительное, а в ряде направлений и ведущее положение. В нашей страненовый период развития теории вероятностей открывается деятельностью С. Н.Бернштейна, значительно обобщившего классические предельные теоремы Чебышева,Ляпунова и Маркова и впервые в России широко поставившего работу по применениямтеории вероятностей к естествознанию. Позднее (в 30-х гг.) они и Е.Е. Слуцкийзаложили основы теории случайных процессов. В. И. Романовский Ташкент и Н. В.Смирнов Москва поставили на большую высоту работу по применениям теориивероятностей к математической статистике [12].
Теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений. Онаприменяется в физике и других разделах естествознания, в экономике, в военномделе, в разнообразных технических дисциплинах и во многих других областяхчеловеческой деятельности.
В последние десятилетия теория вероятностей всеглубже проникает в гуманитарные науки. На ней основываются статистическиеметоды, необходимые для работы лингвистов и психологов, социологов и политологов.Знание теории вероятностей необходимо теперь каждому экспериментатору, так какона указывает способы обработки результатов эксперимента, дает рекомендации поего планированию [13]. Поэтому, сейчас так актуально изучать данный разделматематики. Его основа – случайные события.
Случайности подстерегают нас на каждом шагу.Случай поворачивается к человеку своими разными сторонами. Случайность – этопрежде всего непредсказуемость, которая является результатом нашего незнания,нашей слабой осведомленности, результатом отсутствия необходимой информации.
С помощью данной работы попытаемся открыть длясебя вероятностную природу окружающего нас мира, познакомимся со случайнымиявлениями, попробуем ориентироваться в мире случайности, используя еговеличество случай.
Понятие о случайном событии
Опыт, эксперимент, наблюдение явления называетсяиспытанием. Испытаниями являются: бросание монеты, выстрел из винтовки,бросание игральной кости (кубика с нанесенными на каждую грань числом очков — от одного до шести).
Результат, исход испытания, называется событием.Событиями являются выпадение герба или цифры, попадание в цель или промах,появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости. Дляобозначения событий используют большие буквы латинского алфавита: А, В, С и т.д.
Два события называют совместимыми, если появлениеодного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Испытание — однократное бросание игральной кости.Событие А — появление четырех очков. Событие В — появление четного числа очков.События А и В совместимые.
Два события называют несовместимыми, еслипоявление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.
Испытание — однократное бросание монеты. СобытиеА — выпадение герба, событие В — выпадение цифры. Эти события несовместимы, таккак появление одного из них исключает появление другого.
Несовместимость более чем двух событий означаетих попарную несовместимость.
Испытание — однократное бросание игральной кости.Пусть события А1, А2, А3, А4, А5, А6, — соответственно выпадение одного очка, двух, трех и т.д. Этисобытия являются несовместимыми.
Два события А и В называются противоположными,если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.Событие, противоположное событию А, обозначают через/>.
Испытание — бросание монеты. Событие А — выпадение герба, событие В — выпадение цифры. Эти события противоположны, таккак исходами бросания могут быть лишь они, и появление одного из них исключаетпоявление другого, т.е.
А = />/> или /> = В.
Событие называют достоверным, если в данномиспытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если вданном испытании оно заведомо не может произойти. Испытание — извлечение шараиз урны, в которой все шары белые. Событие А — вынут белый шар — достоверноесобытие; событие В — вынут черный шар — невозможное событие.
Достоверное и невозможное события в данномиспытании являются противоположными.
Событие А называют случайным, если оно объективноможет наступить или не наступить в данном испытании.
Событие А6 — выпадение шести очков прибросании игральной кости — случайное. Оно может наступить, но может и ненаступить в данном испытании.
Всякое испытание влечет за собой некоторуюсовокупность исходов — результатов испытания, т.е. событий. Во многих случаяхвозможно перечислить все события, которые могут быть исходами данногоиспытания.
Классическое определение вероятности
Говорят, что совокупность событий образует полнуюгруппу событий для данного испытания, если его результатом обязательностановится хотя бы одно из них.
Примеры полных групп событий: выпадение герба ивыпадение цифры при одном бросании монеты; попадание в цель и промах при одномвыстреле; выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков при одномбросании игральной кости.
Рассмотрим полную группу попарно несовместимыхсобытий U1, U2, ., Un, связанную с некоторым испытанием. Предположим, что в этомиспытании осуществление каждого из событий />,(i = 1,2, ..., n) равновозможное, т.е.условия испытания не создают преимущества в появлении какого-либо события переддругими возможными.
/>/>/>События U1, U2,..., Un, образующие полнуюгруппу попарно несовместимых и равновозможных событий, называется элементарнымисобытиями.
Вернемся к опыту с подбрасыванием игральнойкости. Пусть /> - событие, состоящее в том,что кость выпала гранью с цифрой 1. События U1, U2,…, U6 образуют полную группупопарно несовместимых событий. Так как кость предполагается однородной исимметричной, то события U1, U2,…, U6 являются и равновозможными, т.е. элементарными.
Событие А называют благоприятствующим событию В,если наступление события А влечет за собой наступление события В.
Пусть при бросании игральной кости события U2, U4,  и U6 -появлениесоответственно двух, четырех и шести очков и А — событие, состоящее в появлениичетного числа очков; события U2, U4 и U6  благоприятствуют событию А.
Вероятностью Р(А) события А называют отношение />  числа элементарныхсобытий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т.е.
Р(А)= />.
Вычислим вероятность выпадения герба при одномбросании монеты. Очевидно, событие А — выпадение герба и событие В — выпадение цифры образуют полную группу несовместимых и равновозможных событий  для данногоиспытания. Значит, здесь n = 2. Событию А благоприятствует лишь одно событие — само А,т.е. здесь m= 1. Поэтому
Р(А) =/> .
Найти вероятность того, что при бросанииигральной кости выпадет число очков, делящееся на 2 (событие А).
Число элементарных событий здесь 6. Числоблагоприятствующих элементарных событий 3 (выпадение 2, 4 и 6). Поэтому Р(А)=/>= />.
Из приведенного классического определениявероятности вы­текают следующие ее свойства [1, 510].
Свойства классического определения вероятности
1. Вероятность достоверного события равнаединице. Действительно, достоверному событию должны благоприятствовать все n элементарных событий,т.е. m= n и, следовательно,
Р(А)= />=/>=1.
2. Вероятность невозможного события равна нулю. Всамом деле, невозможному событию не может благоприятствовать ни одно изэлементарных событий, т.е. m = 0, откуда
 Р(А)= />=/>=0.
3. Вероятность случайного события есть положительноечисло, заключенное между нулем и единицей.
Действительно, случайному событиюблагоприятствует лишь часть из общего числа элементарных событий. Поэтому вэтом случае 0  
Итак, вероятность любого события удовлетворяетдвойному неравенству,    0  />Р(А)/>  1 [2, 17].
Статистическое определение вероятности
Классическое определение вероятности не являетсяпри­годным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо,если результаты испытания не равновозможны. Например, при бросании неправильнойигральной кости выпаде­ние ее различных граней не равновозможно.
В таких случаях используется, так называемое,статистическое определение вероятности.
Пусть произведено n испытаний, при этомнекоторое событие А наступило m раз (m
Число m называют абсолютной частотой (или просточастотой) события А, а отношение Р*(А) = />  называют относительной частотой события А.
При транспортировке из 10 000 арбузов испортилось26. Здесь m= 26 — абсолютная частота испорченных арбузов, а Р*(А) = />= 0,0026   — относительная.
Результаты многочисленных опытов и наблюденийпомогают заключить: при проведении серий из n испытаний, когда числосравнительно мало, относительная частота Р*(А) принимает значения, которыемогут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением n — числа испытаний всериях – относительная частота    Р*(А) =/> приближается к некоторому числу Р(А), стабилизируясь возле него и принимая всеболее устойчивые значения.
Было проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000бросаний в каждой. Относительные частоты выпадения герба оказались равными0,501 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Этичастота группируются около числа 0,5.
По официальным данным шведской статистикиотносительные частоты рождения девочек по месяцам 1935 г. характеризуютсяследующими числами (расположены в порядке следования месяцев, начиная сянваря): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491;0,482; 0,47. Эти частоты группируются около числа 0,482.
Относительная частота события приближенносовпадает с его вероятностью, если число испытаний достаточна велико. Имеетсяогромный опытный материал по проверке последнего утверждения. Укажем еще одинтакой пример с бросанием монеты (приложение 1).
Здесь относительные частоты незначительноотклоняются от числа 0,5, причем тем меньше, чем больше число испытаний. При 4040испытаниях отклонение равно 0,008, а при 24 000 — 0,0005.
Таких примеров очень много. Возникли целые наукио том, как же эффективно действовать в нашем случайном мире. Их задачейявляется уменьшение неприятностей от случайного при использовании самой случайности.
Таким образом, было рассмотрено два определениятеории вероятностей: классическое и статистическое [6, 210].
Для решения задач по данной теме необходимоиспользовать основные правила и теоремы теории вероятности.
 
1.2 Правила и теоремы теории вероятностей
Теорема сложения вероятностей несовместимыхсобытий
Суммой событий А и В называют событие С = А + В,состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А или В.
Испытание — стрельба двух стрелков (каждый делаетпо одному выстрелу). Событие А — попадание в мишень первым стрелком, событие В- попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С = А+ В, состоящее в попадании в мишень, по крайней мере, одним стрелком.
Аналогично суммой конечного числа событий А1, А2, ..., Аk называют событие А = А1+ А2 + … + Аk, состоящее в наступлении хотя бы одного изсобытий Ai (i = 1,..., k).
Произведением событий А и В называют событие С =АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А и событиеВ.
Аналогично произведением конечного числа событийА1, А2, ..., Аk называют событие А = А1 А2 …  Аk,, состоящее в том, что в результате испытанияпроизошли все указанные события.
В условиях предыдущего примера произведениемсобытий А и В будет событие С = АВ, состоящее в попадании в мишень двухстрелков.
Из определения непосредственно следует, что АВ =ВА.
Теорема. Вероятность суммы двух несовместимыхсобытий А и В равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).                  (1)
Доказательство. Используем классическоеопределение вероятности. Предположим, что в данном испытании число всехэлементарных событий равно n, событию А благоприятствуют k элементарных событий,событию В — Iэлементарных событий. Так как А и В — несовместимые события, то ни одно изэлементарных событий U1, U2,…, Un не может одновременноблагоприятствовать и событию А и событию В. Следовательно, событию А + В будетблагоприятствовать k + l элементарных событий. По определению вероятности Р(А)=/>, Р(В)=/>, Р(А+В)= /> откуда и следуетутверждение теоремы.
Совершенно так же теорема формулируется идоказывается для любого конечного числа попарно несовместимых событий.
Следствие. Сумма вероятностей противоположныхсобытий А и/> равна единице:
Р(А)+Р(/>)= 1

Так как события А и/> несовместимы,то по доказанной выше теореме Р(А) + Р(/>)= Р (А +/> ). Событие А + /> есть достоверное событие(ибо одно из событий А или /> произойдет).Поэтому Р (А +/>  ) =1.
В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых.Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар? Вероятность вынутькрасный шар Р(А) =/> , синий Р(В) =/> . Так как события А и Внесовместимы, то по доказанной выше теореме
Р(А + В)= Р(А) + Р(В) = />   +/>  = 0,8 [3, 25].
Теорема умножения вероятностей
Два события А и В называют независимыми, есливероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другоесобытие или нет. В противном случае события А и В называют зависимыми [5, 19].
Пример 1. Пусть в урне находятся 2 белых и 2черных шара. Пусть собы­тие А — вынут белый шар. Очевидно, Р(А) =/> . После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимаетсяшар. Событие В — во втором испытании вынут белый шар – также имеетвероятность Р(В) =/> , т.е. события Аи В- независимые.
Предположим теперь, что вынутый шар в первомиспытании не кладется обратно в урну. Тогда если произошло событие А, т.е. впервом испытании вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается Р(В)=/> , если в первом испытаниибыл вынут черный шар, то вероятность события В увеличивается  Р(В) =/> .
Итак, вероятность события В существенно зависитот того, произошло или не произошло событие А, в таких случаях события А и В — зависимые.
Пусть А и В — зависимые события. Условнойвероятностью РА(В) события В называют вероятность события В,найденную в предположении, что событие А уже наступило.
Итак, в примере 1 РА(В) =/> .
Заметим, что если события А и В независимы, то РА(В )= Р(В).
Теорема 1. Вероятность произведения двухзависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условнуювероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:
 P(AB)= Р(А)РА(В).         (2)
Доказательство.
Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событиюА и пусть из этих k событий l благоприятствуют событию В, а значит, и событию АВ. ТогдаР(АВ)= />=/>./>= Р(А)РА(В), чтои доказывает искомое равенство (2).
Замечание. Применив формулу (2) к событию ВА,получим
Р(ВА) = Р(В)РВ(А). (3)
Так как АВ = ВА, то, сравнивая (2) и (3),получаем, что
Р(А)РА(В) = Р(В)РВ(А).
Пример 2. В условиях примера 1 берем тот случай,когда вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Поставимследующий вопрос: какова вероятность вынуть первый и второй разы белые шары? Поформуле (2) имеем

/>
Теорема 2. Вероятность произведения двухнезависимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:(4)
Р(ВА)  = Р(А)Р(В).
Действительно, если А и В — независимые события,то РА (В) = = Р(В) и формула (2) превращается в формулу (4).
Пример 3. Вероятность выживания одного организмав течение 20 мин Р = 0,7. В пробирке с благоприятными для существования этихорганизмов условиями находятся только что родившиеся 2 организма. Какова вероятностьтого, что через 20 минут они будут живы?
Пусть событие А — первый организм жив через 20мин, событие В — второй организм жив через 20 мин. Будем считать, что междуорганизмами нет внутривидовой конкуренции, т.е. события А и В независимы.Событие, что оба организма живы, есть событие АВ. По теореме 2 получаем Р(АВ) =0,7 ∙ 0,7 = 0,49 [7,115].
Теорема сложения вероятностей совместимых событий
Теорема. Вероятность суммы двух совместимыхсобытий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность ихпроизведения
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ).    (5)
Доказательство. Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событиюА, l — событию В и m -  одновременно событиямА и В. Отсюда событию А + В благоприятствуют к + 1 — m элементарных событий.Тогда

Р(А+В)=  />= Р(А) + Р(В) — Р(АВ)
Замечание. Если события А и В несовместимы, то ихпроизведение АВ есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ) = 0, т.е.формула (1) является частным случаем формулы (5).
Пример. В посевах пшеницы на делянке имеется 95%здоровых растений. Выбирают два растения. Определить вероятность того, чтосреди них хотя бы одно окажется здоровым.
Введем обозначения для событий:
А1 — первое растение здоровое;
А2 — второе растение здоровое;
А1+A2 — хотя бы одно растениездоровое.
Так как события А1 и А2совместимые, то согласно формуле (5)
P(А1+ А2) = P(А1) + P(А2) = 0,95 +0,95 — 0,95 · 0,95 = 0,9975 ≈ 1 [4, 28].
Формула полной вероятности
Теорема. Вероятность события А, которое может нacmупить лишь при условиипоявления одного из n попарно несовместимых событий В1,  В2,…Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностейкаждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
/>       (6)
(формула полной вероятности).
Доказательство. Событие А может наступить лишьпри условии наступления одного из событий B1, В2, ..., Bn, т.е. А = B1 А + В2А +…+, BnА причем ввидунесовместимости событий  B1, В2, ..., BnА события  B1А, В2А, ..., BnА также несовместимы. Поэтому на основании теорем сложения и умножения вероятностей имеем
/>
Пример 1. Имеются три одинаковых по виду ящика. Впервом находят две белые мыши и одна серая, во втором — три белые и одна серая,в третьей две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугадвыбранного ящика будет извлечена белая мышь?
Обозначим:  B1  - выбор первого ящика, B2  — выбор второго ящика, В3 — выбор третьего ящика,  А — извлечение белой мыши. Так каквсе ящики одинаковы, то P(В1)= Р(В2) = Р(В3) =/>.
Если выбран первый ящик, то/> (А) =/> . Аналогично />(А) =/> ,/> (A) =/> . Наконец, по формуле(6) получаем    /> [8, 22].
Формула Бейеса
Пусть в условиях рассуждения, относящегося кформуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которогопроизошло событие А. Спрашивается: как изменились (в связи с тем, что событие Ауже произошло) ве­личины P(Bk), k = 1,…, п.
Найдем условную вероятность РA(Вk).
По теореме умножения вероятностей и формуле (3)имеем:
/>
Отсюда: />
Наконец, используя формулу полной вероятности,находим

/>   (k=1,2, …, n).         (7)
Формулу(7) называют формулой Бейеса (Байеса)
Пример. Большая популяция людей разбита на двегруппы одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высокимсодержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была богата насыщеннымижирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечнососудистыхзаболеваний составило в этих группах соответственно 31% и 48%. Случайновыбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание. Каковавероятность того, что этот человек принадлежит к контрольной группе?
/>Введем обозначения длясобытий:
А — случайно выбранный из популяции человек имеетсердечно-сосудистое заболевание;
B1 — человек придерживался специальной диеты;
В2 — человек принадлежал к контрольнойгруппе. Имеем
Р(В1) = Р(В2) = 0,5,
/> (A) = 0,31, />  (A) = 0,48.
Согласно формуле полной вероятности
Р(А) = 0,5 ∙ 0,31 + 0,5  ∙  0,48 =0,395
и, наконец, в силу формулы (7) искомаявероятность
/> [11, 216].
Таким образом, можно привести много разнообразных примеровслучайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенныезакономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей идает теория вероятностей. Она занимается математическим анализом случайныхсобытий и связанных с ними случайных величин.
Для решения задач по теории вероятностей следует применятьследующие теоремы: сложения вероятностей несовместимых событий, умножениявероятностей, сложений вероятностей совместимых событий; формулы: полнойвероятности, Бейеса (Байеса).
Одной из форм дифференцированного обучения по курсу теориивероятностей может являться факультативный курс.

2. Разработка программы факультативного курса по теории вероятностей вкурсе математики 8 класса
 
2.1 Основные понятия о факультативном курсе
Возможность1-2 часа в неделю дополнительно работать со школьниками, проявляющимиповышенный интерес и способности к математике, представляет собой одно изпроявлений новой формы обучения математике — дифференцированного обучения.
Посуществу факультативные занятия являются наиболее динамичной разновидностьюдифференциации обучения.
Программаосновного курса математики вместе с программой факультативных занятий поматематике для средней школы составляют программу повышенного уровня по данномупредмету для учащихся данного класса.
Программафакультативных занятий по математике составлена так, что все вопросы ее могутизучаться синхронно с изучением основного курса математики в школе. В техслучаях, когда в данном классе основной курс математики ведет один учитель, афакультативный — другой, изучение тем факультатива может проводиться независимоот основного курса программы (в этом случае изучение тем можно проводить снекоторым запозданием по отношению к основному курсу программы).
Длятого чтобы факультативные занятия по математике были эффективными, необходимоих организовать там, где есть:
1)высококвалифицированные учителя или другие специалисты, способные вести занятияна высоком научно-методическом уровне;
2) неменее 15 учащихся, желающих изучать данный факультативный курс.
Еслишкола имеет классы с небольшой наполняемостью (что особенно характерно длянекоторых сельских школ), то группы учащихся для факультативных занятий можнокомплектовать по параллелям или из учащихся смежных классов (5-6 классы, 8-9классы и т. п.).
Записьучащихся на факультативные занятия производится на добровольных началах всоответствии с их интересами. Не следует принуждать учащихся обязательноизучать факультативные предметы. Особенно внимательно следует относиться к темучащимся, которые встречают трудности в изучении математики или совмещаютобучение в школе с другими видами занятий (спорт, музыка и т. д.). По окончаниифакультативного курса учащиеся сдают зачет (с оценкой), о чем делается отметкав аттестате. Учитель математики несет полную ответственность за качествофакультативных занятий; факультативные занятия вносятся в расписание иоплачиваются учителю.
Проведениефакультативных занятий по математике не означает отказа от других формвнеклассной работы (математические кружки, вечера, олимпиады и т. д.). Онидолжны дополнять эти формы работы с учащимися, которые интересуютсяматематикой.
Главнойцелью факультативных занятий по теории вероятностей является углубить ирасширить знаний.
Задачифакультативных занятий:
· развитие интересаучащихся к предмету, их математических способностей;
· привитиешкольникам интереса к самостоятельным занятиям математикой;
· воспитание иразвитие их инициативы и творчества.
Требованияк проведению факультативных занятий
1.Преемственность в содержании, методах и формах организации занятий поматематике должна определяться целями обучения математики, всестороннегоразвития и воспитания учащихся.
2.Взаимосвязанное построение уроков и факультативных занятий по математики недолжно противоречить дидактическим принципам в обучении математики.
3. Недолжно быть противоречий с научно обоснованными психолого-педагогическимитребованиями, такими как: изучение новых понятий на основе известных; опора приизучении математических абстракций на конкретные модели; использованиепрактических возможностей приложения математики не только на развивающем этапеизучения данного вопроса, но и в качестве мотива, обосновывающего необходимостьизучения этого раздела, вопроса.
4. Недолжно быть несогласованности с нормами организации работы общеобразовательнойшколы. Например, нельзя часы, отведенные на факультативные занятия,использовать для внеклассной работы или дополнительных занятий по математике.
5.Главным критерием эффективности взаимосвязанного построения факультативныхзанятий по математике должна быть результативность неразрывно связанных друг сдругом процессов обучения, развития и воспитания школьников.
6.Факультативных занятия по математике целесообразно проводить учитывая ихфункции – развивающую, воспитывающую и учебную.
Вкакой бы форме и какими бы методами не проводились факультативные занятия поматематике, они должны строиться так, чтобы быть для учащихся интересными,увлекательными, а подчас и занимательными. Необходимо использовать естественнуюлюбознательность школьника для формирования устойчивого интереса к своему предмету.Известный французский физик Луи де Бройль писал, что современная наука — «дочь удивления и любопытства, которые всегда являются ее скрытымидвижущими силами, обеспечивающими ее непрерывное развитие».
Основнымиформами проведения факультативных занятий по математике являются в настоящеевремя изложение узловых вопросов данного факультативного курса учителем(лекционным методом), семинары, собеседования (дискуссии), решение задач,рефераты учащихся (как по теоретическим вопросам, так и по решению циклазадач), математические сочинения, доклады учащихся и т. д.
Однакоучителю не следует отдавать предпочтение какой-либо одной форме или методуизложения. Вместе с тем, памятуя о том, что на факультативных занятиях поматематике самостоятельная работа учащихся должна занять ведущее положение,следует все же чаще применять решение задач, рефераты, доклады,семинары-дискуссии, чтение учебной и научно-популярной литературы и т. п.
Однойиз возможных форм ведения факультативных занятий по математике являетсяразделение каждого занятия на две части. Первая часть посвящается изучениюнового материала и самостоятельной работе учащихся по заданиям теоретического ипрактического характера. По окончании этой части занятия учащимся предлагаетсядомашнее задание по изучению теории и ее приложений. Вторая часть каждогозанятия посвящена решению задач повышенной трудности и обсуждению решенийособенно трудных или интересных задач. Эта форма проведения факультативныхзанятий может способствовать успешному переходу от форм и методов обучения вшколе к формам и методам обучения в высших учебных заведениях.
Такжепри проведении факультативных занятий можно использовать методы изучения (а необучения) математики, а также проблемную форму обучения.
Вчастности, ее можно осуществить, если представить изучаемый факультативный курсв виде серии последовательно расположенных задач. Решая последовательно всезадачи самостоятельно или при незначительной помощи преподавателя, школьникипостепенно изучают курс при большом личном участии, проявляя активность исамостоятельность, овладевая техникой математического мышления.
Теоремыимеют вид задач. Если теорема, которую учащиеся должны доказать, являетсябольшой или трудной, то она разбивается на несколько задач так, что решениепредыдущей помогает решить последующую. Определения либо включаютсяпреподавателем в текст задачи, либо сообщаются особо. В необходимых случаяхпреподаватель проводит предварительную беседу или делает обобщения.
Полезнотакже широко использовать задачи проблемного характера.
Внастоящее время факультативные занятия по математике проводятся по двумосновным направлениям:
а)изучение курсов по программе «Дополнительные главы и вопросы курсаматематики»;
б)изучение специальных математических курсов.
Содержаниепрограммы «Дополнительные главы и вопросы» систематического курсаматематики позволяет решить и углубить изучение программного материала,ознакомить учащихся с некоторыми общими современными математическими идеями,раскрыть приложение математики в практике, готовит учителя к работе по новойпрограмме.
Насамих занятиях качество усвоения теории проверяется в процессе решения задач ипримеров. Здесь совершенно недопустимы такие формы работы, которые сковывали быинициативу учащихся. Занятие начинается с постановки упражнения для всехучащихся. За время, которое отводится на выполнение задачи или примера, учительуспевает проследить, кто и как справляется с заданием. Не следует торопитьучащихся. Обычно, если не все, то некоторые из них выполняют задание в запланированноеучителем время, а затем начинается разбор и теоретическое обоснование решений.Инициатива в оценке способов решения, в исправлении ошибок, в постановкевопросов представляется самим учащимся. В процессе этой работы достигаетсялогическая точность в формулировках определений понятия или их свойств. Взаключительном слове учитель дает мотивированную оценку знаний учащихся. Помимоуказанной формы контроля знаний, целесообразно проводить кратковременные 15-20-минутныепроверочные работы.
Назанятиях полезно практиковать постановку докладов учащихся. При подготовке кдокладам учащиеся используют различную дополнительную литературу, указаннуюучителем. Не следует увлекаться большим количеством докладов, в противномслучае у учителя просто не хватит времени для хорошей подготовки докладчиков.
Начальноеобщее образование призвано помочь учителю реализовать способности каждогоученика и создать условия для индивидуального развития школьников.
Чемразнообразнее образовательная среда, тем легче раскрыть индивидуальностьличности ученика, а затем направить и скорректировать развитие школьника сучетом выявленных интересов, опираясь на его природную активность.
Личностно-ориентированноеобучение строится на принципе вариативности, т.е. признания разнообразия содержанияи форм обучения, выбор которых осуществляется с учетом развития ребенка и егопедагогической поддержки. Пытаясь создать условия для личностноориентированного обучения, школа предоставляет учащимся право выбора предметовпо интересам и склонностям.
Такимобразом, для формирования и развития математических способностей у школьников иих интереса к математике будет актуальна такой способ обучения какфакультативный курс.
Факультативныезанятия школьники посещают по желанию, следовательно, педагогу необходимосоздать условия, при которых способные ученики смогут реализовать своивозможности, а остальные учащиеся смогут решать посильные для них задачи или,пользуясь помощью учителя, более трудные задания.

2.2 Методика преподавания элементов теории вероятностей
В теории вероятностей понятие «событие» неразрывносвязано с теоретико-множественными представлениями. В частности, поопределению, под событием понимается любое подмножество множества элементарныхисходов. Следовательно, для корректного введения определения этого понятиянеобходимо, чтобы учащиеся были знакомы с элементами теории множеств,теоретической основой теории вероятностей. Изучение теории множеств в школьномкурсе математики не предусмотрено, поэтому учителю необходимо определиться, какрешать эту проблему. В некотором смысле одним из путей ее решения можно считатьналичие экспериментального курса математики начальной школы, реализуемого наоснове учебного пособия Л. Г. Петерсон (2002 г.). В нем изучаются первоначальныесведения из теории множеств (введено интуитивное представление о понятии«множество», рассмотрены некоторые операции над множествами: пересечения,объединения и разности множеств и их простейшие свойства). Методика изученияматериала во многом сходна с методикой изучения элементов теории множеств,реализованной в учебнике математики для 4—5 классов под редакцией А. Н.Колмогорова 60—70-х гг. издания прошлого века. />/>/>/>/>Наиболее предпочтительнымпри изучении основных понятий теории вероятностей представляется логическиобусловленный путь на базе необходимых понятий теории множеств вводятсяосновные понятия теории вероятностей.
Изучение понятия «событие» сопряжено учащихсятрудностями психологического характера. Его ученики обычно воспринимаютконтексте «бытовой» лексики, связывая его неким единичным бытовым актом.соответствииже определением понятия «события» наряду единичным актом надо мыслить некотороеих множество, числом элементов большим или равным единице. Далее, необходимочетко разграничить понятия эксперимента (опыта) события как некоторого исхода,благоприятствующего некоторому комплексу условий Для учащихся понятия«эксперимент» «событие» часто совпадают.
Формирование представления о понятии «события»начинается  рассмотрения простейших вероятностных моделей подбрасываниеигральной кости, извлечение шаров из урны, извлечение карт из колоды, стрельбапо мишенформирования на интуитивном уровне понятия «элементарного исхода» Приэтом имеет смысл вводить изучать основные понятия  историческом контексте, таккак при этом не нарушается логика развертывания теории вероятностей. Следуя.Байесу, рассматриваются такие опыты, при каждом испытании которых возможнынесовместные  равновозможные исходы. Каждый такой исход называется элементарнымисходом или элементарным событием. На основе рассматриваемых опытов можноввести понятие «полной группы событий» как множества попарно несовместныхравновозможных элементарных событий. Все эти понятия дают возможностьсформулировать определение понятия «событие» сформировать первичное представлениеоб этом важном понятии теории вероятностей.
Еще одним элементом, способствующим формированиюпредставлений понятии «события» является классификация событий по степени их«объективной возможности реализации» Изучение классификации событий по этомупризнаку имеет для учеников важное мировоззренческое значение. Оказывается, чтоокружающем мире не существует иных событий, кроме достоверных, невозможныхслучайных. Здесь же подчеркивается фундаментальный характер понятия «случайного»события построении изучении закономерностей вероятностных моделей окружающегомира. Примеры таких моделей естественным образом привлекаются из школьныхдисциплин (физики, химии, географии, биологии, истории, обществоведения, экономики)При этом имеет место реализация межпредметных связей.
Значение классификации по указанному вышепризнаку определяется еще тем, что на ее основе осуществляется фактическипервый подход формированию понятия «вероятность» Если попытаться сопоставить возможностьюили невозможностью наступления конкретного события некоторую численную меру,частности каждому достоверному событию поставить соответствие число каждомуневозможному число тогда понятно, что каждому случайному событию будетсоответствовать действительное число из интервала (Оставляя временнонераскрытым вопрос методах установления соответствия между случайными событиямиэлементами множества (логически обоснованным является переход изучению вопросаоб операциях над событиями.
Предварительно надо рассмотреть понятие«отношения между событиями» имеется виду отношение включения (синонимичноенаиболее часто употребляемыми оборотами речи «событие влечет за собой событие«событие  является следствием события «событие является частью события На основеэтого отношения логично ввести определение равных событий. При изученииотношений операций над событиями естественно использование наглядно-графическихсредств курсе теории вероятностей изучаются следующие операции над событиями сложение(объединение) умножение (пересечение) Разность событий можно ввести черезсоответствующее определение или на основе введенных операций. Подчеркивая, чтособытия это множества, можно изучать операции над событиями аналогично изучениюопераций над множествами, используя примеры, построенные на базе основныхвероятностных моделей.
Наличие учащихся теоретико-множественных представленийпозволит им проследить полную аналогию между операциями над множествами операциями над событиями. Теориявероятностей дает возможность ученикам увидеть, что объекты отношения этомразделе математики фактически те же, что теории множеств. Разница заключаетсялишь терминологии, языке, используемом теории вероятностей. Полезно составитьтаблицу соответствия между терминами теории множеств терминами теориивероятностей.
Следует отметить, что уверенное владениеучащимися навыками по работе с операциями над событиями и умение использоватьосновные свойства этих операций важны для развития навыков решения задач покурсу теории вероятностей. Одна из важнейших проблем, рассматриваемая теориивероятностей определение вероятности сложных событий, получаемых из простых использованиемопераций над событиями. Кроме этого, изучение операций над событиями актуальнодля случаев, когда вероятностное пространство имеет достаточно большое числоэлементов решение задач его использованием приводит громоздким вычислениям. Этиположения можно считать основой мотивации изучения операций над событиями.
Изучение операций над событиями желательносопровождать примерами, которые достаточно наглядно отражают не только сущностьсамой изучаемой операции, но различие этих операциях. Как правило, ученикидостаточно легко по определению построят сумму, произведение событий.
Труднее сформировать понимание сущности операцийнад событиями. Например, после введения определений операций суммы произведениясобытий рассмотрения соответствующих примеров, можно предложить ученикамследующее задание.
Пример: по самолету стреляют два зенитно-ракетныхкомплекса (ЗРК) Самолет сбит, когда в него попал хотя бы один снаряд неважно какогоЗРК, первого или второго (это естественно, совсем необязательно, чтобы самолетпопали оба ЗРК) Пусть событие самолет сбит первым ЗРК, событие самолет сбитвторым ЗРК. Событие самолет сбит.
Ставя перед учениками проблему, что представляетсобой событие учитель активизирует деятельность учащихся. Эта задача приводитучеников рассуждению возможности события как суммы событий (= возможности событиякак произведения событий Аи (Для учащихся, очевидно, что  качестве решениязадачи, прежде всего, является именно сумма событий, не их произведение, таккак есть четкое понимание того, что самолет будет сбит случае, когда хотя быодин ЗРК него попал. Кроме этого, становится интуитивно ясно, что вероятностьсобытия, что самолет попадут оба ЗРК, много меньше, чем вероятность попаданиянего каждым ЗРК отдельности.
Методической проблемой при изучении этой темы процессерешения задач можно считать обучение процедуре выделения простых событий.
Разрешение этой проблемы приходит результатенакопления опыта решения задач.
Отбор системы задач по этой теме желательноосуществить так, чтобы позже использовать их для решения задач по вычислениювероятности сложного события по известным вероятностям простых событий.
Изученные операции над событиями должны привести кболее глубокому осмыслению учащимися таких понятий, как «пространство элементарныхсобытий» «несовместные события» «достоверные события» «невозможные события» «противоположныесобытия» так как эти понятия могут быть определены на основе операции надсобытиями.
Далее, после изучения операций над событиями свойствизучаются элементы комбинаторики основы дл вычисления вероятностей событий широкомклассе вероятностных схем. Элементы методики изучения комбинаторики школьномкурсе математики достаточно подробно разработаны, так как этот раздел изучалсяшкольном курсе математики. настоящее время происходит возврат разделукомбинаторики, так как он востребован потребностями дискретной математики,широко применяемой в различных областях знания, например информатики.
Тема «Элементы комбинаторики» может изучаться изучениятемы «Теория вероятностей» так как она содержательно богата как теоретическом,так прикладном аспектах.
Второе фундаментальное понятие теориивероятностей это понятие «вероятности» Это понятие является основой построениявсех схем вероятностного характера, описывающих широкий класс случайных явлений.
Формирование этого понятия, так же как понятия«события» начинается преодоления противоречия между субъектным опытом ученика употребленияим термина «вероятность» повседневной практике смыслом, вкладываемымопределение этого понятия математике.
Настоящее время существует несколько определенийпонятия «вероятности события» статистическое, аксиоматическое, классическое,субъективное (на основе экспертных оценок) Можно сказать, что формированиепонятия «вероятности» происходит настоящее время. Философский подход определениювероятности как «примеры объективной возможности наступления (или ненаступления) некоторого события» для математики неприемлем силу весьма егоразмытого характера. Неприемлемо это определение для реализации целей обучениятеории вероятностей школьном курсе математики.
В качестве примеров определения вероятностейсобытий на основе классического определения вероятности можно рассмотретьзадания на вычисление вероятности выпадения «орла» или «решки» при бросаниисимметричной монеты, рождения мальчика или девочки.
Формирование понятия «вероятности» может бытьосуществлено несколько этапов. Сначала, реализуя принцип историзма обучении,рассматривается классическое определение понятия вероятности. Вероятностью событияназывается отношение числа случаев, благоприятствующих событию общему числуисходов Это определение, являясь конструктивным, дает способ вычислениявероятности события формулируется для так называемых классическихэкспериментов. Эксперимент называется классическим, если результате егопроведения реализуется множество событий, удовлетворяющих следующим условиям:
• всесобытия равновозможны;
• онипопарно несовместны;
• образуютполную группу событий.
Исторически такие события назывались шансами, случаями,исходами, речь шла о рассматриваемых ранее основных вероятностных моделяхподбрасывание игральной кости, извлечение шаров из урны, извлечение карт изколоды, стрельба по мишени.
Можно проверить, что введенное таким образомопределение вероятности обладает следующими свойствами:
• (=вероятность достоверного события равна так как
• (=вероятность невозможного события равна так как вероятность принимает значенияиз промежутка [; так всегда то из следует
• (+(+( если события несовместны.
Это свойство можно обосновать. Пусть результатепроведения серии экспериментов событие произошло m1 раз, событие m2. Так как события несовместны, то сумма событий произошла m1+ m2  раз. Тогда получаем,что
В качестве примеров определения вероятностейсобытий на основе классического определения вероятности можно рассмотретьзадания на вычисление вероятности выпадения «орла» или «решки» при бросаниисимметричной монеты, рождения мальчика или девочки  например, такое, котороеиспользуется дальнейшем при изучении теорем сложения.
Одним из существенных недостатков классическогоопределения вероятности является то, что оно пригодно толы для классическихэкспериментов, которые редко имеют место повседневной практике. Важно добитьсяот учащихся четкого понимания того факта, что введенное выше определениевероятности обслуживает весьма узкий класс явлений рамках классическихэкспериментов) его, вообще говоря, недостаточно, поэтому возникает необходимостьрассмотрения других подходов определению понятия вероятности [10, 396]
После изучения методики преподавания теориивероятностей необходимо рассмотреть, используются ли задачи по теме на урокахматематики классе.
Методика изучения основных теорем теориивероятностей:
основным теоремам теории вероятностей относятсятеоремы сложения вероятностей следствия из них теорема умножения вероятностей.Изучение теорем желательно вести использованием примеров, иллюстрирующих ихприменение.
В случае если события несовместные исходы одномтом же испытании, то для них имеет место теореме сложения вероятностей:вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этихсобытий. Следует подчеркнуть, что это утверждение имеет статус теоремы только дляклассического эксперимента. общем случае, при аксиоматическом построении теориивероятностей, оно выступает качестве аксиомы.
Это утверждение допускает два важных обобщения:
если события А1  А2, Аn— несовместны, то
(A1,A2,, Аn) (А1) (А2) (Аn) если два событиясовместны, то
( ( ( (АВ) сумма вероятностей несовместныхсобытий, образующих полную группу событий, равна единице:
(А1) (А2) (Аn) сумма вероятностейпротивоположных событий равна единице,
Из этой формулы можно получить следствиевероятности противоположного события по известной вероятности.
Теорема сложения вероятностей для случаясовместных событий может рассматриваться как основа мотивации изучения теоремыумножения вероятностей. Действительно, формуле, выражающей математическуюформулировку теоремы вероятности двух несовместных событий, имеется слагаемое(АВ) которое не выражено через вероятности ( ( ( ( ( (АВ)
Изучение теоремы умножения вероятностейначинается введения понятия «условной вероятности» Введению этого понятия предшествуетобсуждение вопроса зависимости них событий от других. По определению, событие называетсязависимым от событий В1, В2, Bk, если вероятностьсобытия зависит от того, произошли или не произошли события В1, В2,Bk. противном случаесобытие называется независимым. Если события В1, В2, Bk произошли, товероятность события вычисленная при этих условиях, называется условнойобозначается (В1, В2, Bk) Если вероятность событиявычисляется вне связи событиями B1, B2, Bk, то она называется безусловной. Таким образом,получаем, что если событие зависит от события то (│ (если не зависит, то(│ (
Рассмотрим пример, позволяющий уяснить смыслпонятия условной вероятности.
Пример: урне белых черных шара. Определитьвероятность того, что два последовательно вынутых шара окажутся разных цветов,если один из них белый.
Пусть событий «оба вынутых шара разных цветов»«один из шаров белый» принятых обозначениях ставится задача вычислениявероятности задачах на вычисление условных вероятностей важно правильноопределить полную группу событий. В данном примере полная группа событийвключает все различные пары, содержащие хотя бы один белый шар. Так какколичество шаров невелико, полную группу событий можно задать перечислением: где событие,состоящее том, что извлечен первый белый второй черный шар. Следовательно, искомаявероятность соответствии классическим определением равна
Теперь можно переходить формулировке теоремы умножениявероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведениювероятности одного события на условную вероятность другого при условии, чтопервое событие произошло:
/>/>Необходимо подчеркнуть, что общем случае доказатьэту теорему невозможно, теории вероятности она вводится как правило. Существуетлишь толкование этой формулы.
Из доказанной теоремы получаются следствия:
•симметричностьнезависимости событий если событие не зависит от события то событие не зависитот события
•еслисобытия независимы, то (ВА)
Рассмотрим пример применения теоремы умножения вероятностей.
Пример ящике находятся белых черных шара.Последовательно вынимаются два шара без возвращений. Определить вероятностьтого, что оба шара белые. Рассмотрим следующие события «первый шар белый»«второй шар белый» Требуется определить вероятность события =АВ. соответствии теоремой(АВ) Определим соответствующие вероятности ак как при извлечении первым белогошара количество белых шаров урне станет при общем числе шаров.
Для иллюстрации применений теоремы умножениявероятностей случае независимых событий можно рассмотреть следующий комплексныйпример.
Изученные теоремы дают возможность получитьважные утверждения теории вероятностей формулу полной вероятности формулуБайеса.
Рассмотрим систему из попарно несовместныхсобытий В1, В2, Bk, образующих полнуюгруппу событий, где невозможное событие. Пусть дано событие удовлетворяющееравенству В1А В2А BkA. Показав попарнуюнесовместность событий В1 В2А, BkA, найдем вероятностьнаступления события  Любое событие, входящее обязательно входит некоторое, ноодно Вi так как B1 B2, Вk образуют полную группу, тогда. Полученнаяформула называется формулой полной вероятности. Довольно часто можно встретитьподходы, при которых события Bt называются гипотезамиобозначаются Нi, тогда формула полной вероятности может быть переписана.
Иллюстрацию формулы полной вероятности легкопровести на основе рассмотренного ниже примера.
Пример: ящике находятся белых черных шара.Последовательно вынимаются два шара без возвращений. Определить вероятностьтого, что на втором шаге появится черный шар. На первом шаге может появитьсякак белый, так черный шар. Рассмотрим следующие события: событие В1«первый шар белый» событие В2 «первый шар черный» событие «второйшар черный» По формуле полной вероятности: Требуется определить вероятности событий(В1) (В2) (/В1) (/В2) Вероятностьна первом шаге извлечь белый шар (В1) вероятность на первом шагеизвлечь черный шар (В2) вероятность того, что на втором шагепоявится черный шар, если на первом шаге был извлечен белый (/В1)вероятность того, что на втором шаге появится черный шар, если на первом шагебыл извлечен черный шар (/В2) тогда по формуле полной вероятности:
Как правило, вместе формулой полной вероятностисоответствии логикой вопроса изучается формула Байеса, так как она дает решениеобратной задачи. Проводится испытание, результате которого произошло событиеКакова вероятность того, что этом испытании произошло событие Вi
Методика изучения понятия «случайная величина»
Изучение основных характеристик случайных величин
Понятие «случайная величина» третьефундаментальное понятие теории вероятностей. Без знаний учащихся областиэлементов математического анализа корректное изучение этого понятия его свойствне представляется возможным. Можно остановиться лишь на изучении дискретнойслучайной величины. При достаточном уровне математической подготовки учащихсяесть возможность более детально изучить определение свойства непрерывныхслучайных величин.
Ввести определение случайной величины желательноконкретно-индуктивным способом. Рассмотрев ряд примеров случайных величин(число выпавших очков при бросании игровых костей, число голосов, набранныхкандидатами, результат измерения формулируется определение понятия случайнойвеличины (переменная, которая принимает числовые значения зависимости от исходанекоторого опыта; обозначение подчеркивается, что случайная величина принимаетчисловые значения, которые заранее неизвестны. Другой подход определению функциональный.Случайную величину можно рассматривать как функцию элементарного событияобластью определения (множество событий)
Таким образом, представлена методика работы прииспользовании элементов теории вероятностей классе.
На основании этого можно сделать вывод, чтоознакомление школьников элементами теории вероятностей повышает интереспредмету, следовательно, повышается эффективность обучения, которое можетпроводиться на факультативных занятиях.
Так как при анализе учебников математики анкетированииучителей Кунгура было выявлено, что данная тема рассматривается недостаточно,лишь учебнике математики  класса Дорофеева (приложение Автором данной работыбыла разработана программа факультативного курса по теории вероятностей  курсематематики класса.

Заключение
На современном этапе обучения школьный курсматематики стали вводиться элементы теории вероятностей.
В настоящее время она завоевала очень серьезноеместо науке прикладной деятельности. Сейчас без достаточно развитыхпредставлений случайных событиях их вероятностях невозможно полноценно работатьфизике, химии, биологии, управлять производственными процессами.
Значение теории вероятностей современной наукепрактической жизни понято достаточно хорошо представителями ряда научных дисциплин.Но эта наука имеет очень важное методологическое значение, поскольку она вводиткруг новых, гораздо более широких закономерностей, которые позволяют описыватьявления окружающего нас мира полнее глубже. Познакомить этими закономерностямиеще школьном возрасте является важной задачей, поскольку позднее переделатьпсихику на новый способ мышления гораздо сложнее.
Поскольку многие задачи элементами теории вероятностейдоступны ученикам, интересны им, то их необходимо включать учебники. Онипривлекают ребят делают уроки многообразными интересными.
Целью формирования развития математических способностейшкольников их интереса математике будет актуальна такой способ обучения какфакультативный курс.
Факультативныезанятия школьники посещают по желанию, следовательно, педагогу необходимосоздать условия, при которых способные ученики смогут реализовать своивозможности, остальные учащиеся смогут решать посильные для них задачи или,пользуясь помощью учителя, более трудные задания.
В ходе работы было рассмотрено два определения теориивероятностей: классическое статистическое. Для решения задач по теории вероятностей следует применятьследующие теоремы: сложения вероятностей несовместимых событий, умножениявероятностей, сложений вероятностей совместимых событий; формулы: полнойвероятности, Бейеса (Байеса)
И также изучена различная литература, разработаныпроведены уроки. На основании этого можно сделать вывод, что ознакомлениешкольников элементами теории вероятностей повышает интерес предмету,следовательно, повышается эффективность обучения. Однако эффективность можетбыть достигнута лишь том случае, если учитель понимает осознает эффективностьтакого обучения.
Также была представлена методика работы прииспользовании элементов теории вероятностей классе.
В ходе работы был проведен анализ учебников математики.Выявлено, что лишь учебнике математики класса под редакцией Дорофеевараскрывается материал по данной теме.
Было проведено анкетирование учителей разных школгорода, по итогам которого можно сказать, что задания по данной теме используютсянедостаточно, хотя играют большую роль  развитии логического мышления.
Таким образом, была разработана программа факультативного курса по теориивероятностей курсе математики класса; изученаметодическая научная литература по данной теме; показана методика работы при использовании элементов теории вероятностейна уроках математики школе; подобрана системазадач упражнений, направленных на изучениеданной темы. Следовательно, цель реализована, задачи решены.

Литература
1. Баврин, Высшаяматематика: Учеб. для студ. естественно-научных специальностей педагогическихвузов Баврин. — изд. испр. доп. Издательский центр «Академия» 2004. 616
2. Газета «Математика»27, 2000.
3. Газета «Математика» 2007.
4. Дорофеева,.Высшая математика. Гуманитарные специальности: Учеб. пособие для вузов. — изд.перераб. доп. Дрофа, 2003. 384
5. Журнал«Математика в школе» 2005
6. Каменкова, Элементытеории вероятностей: Учеб. пособие. для ссузов. – изд.  Дрофа, 1993.-328
7. Математикакл. Учеб. Для общеобразоват. учеб.завед. Дорофеев, Суворова, Шарыгина др. — изд. Стереотип. Дрофа, 2000. 416
8. Методика технологияобучения -ке. Курс лекций: пособие для вузов Стефановой, Подходовой.– Дрофа,2005.-416
9.Никольский, Элементы математического анализа: Учеб. пособие для студ. ссузов. — изд. перераб. доп. Дрофа, 2002. 272
10.http:/med-lib.ru/
11.http:/referatovbank.ru/

Приложения
Приложение: Анкетирование учителей
Шерстобитова Ольга Александровна
Лицей 
Гердовец Жанна Николаевна
Школа  16
Воронкова Наталья Ивановна
Школа  10  Есть ли  учебниках математики -го класса задания по теории вероятностей? да, но не во всех не во всех да в каких? Мордкович. Виленкин. Дорофеев Последнее издание Виленкина . Мордкович ., Виленкин .  Нужны ли такие задачи школьникам? Нужны,. они развивают логическое мышление, интерес к математике  Используются ли вами задачи по теории вероятностей на уроках в классе? да, но редко редко в конце года хотела попробовать  Нравятся ли данные задачи детям? нравятся да, но не все их понимают еще не знаю

Приложение
Программафакультативного курса потеории вероятностей в курсе математики 8 класса
Предисловие
Выначинаете изучать раздел математики под названием:«Теория вероятностей».
Вданном факультативном курсе вы найдете много интересных полезных для себясведений, которые связаны жизнью.
Случай,случайность ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайнаяполомка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжатьбесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики—какие уж законы царствеСлучая! Но здесь наука обнаружила интересные закономерности—они позволяютчеловеку уверенно чувствовать себя при встреча со случайными событиями.
Основахорошего понимания теории вероятностей  умение считать, думать, рассуждать,находить удачные решения задач. Все эти навыки способности вы можете выработать,если будете настойчивы, трудолюбивы внимательны на уроках, будетесамостоятельно интересом заниматься.
Наданном факультативном курсе будут использованы такие виды деятельности, какпрактические, лабораторные работы, игры, семинары. Данный курс вам поможетпо-другому посмотреть на окружающий мир, ведь мы живем мире случайных событий.Изучив его, вы сможете объективно оценивать некоторые вещи, опираясь наматематические подсчеты.
Дляизучения данного факультативного курса вам понадобится: кубики (кости)пуговицы, спичечный коробок, монеты, кнопки, жестяные крышки, клей, картон,спички.
Желаю вам успехов в овладении тайнами удивительного разделаматематики теория вероятностей!
Урок:Изготовление наглядных пособий
Цель:изготовление наглядных пособий для изучения данного курса.
Оборудование:картон, карандаш, клей, пластилин, спичка.
Изготовьте «неправильный» кубик из листа плотной бумаги. Дляэтого надо вырезать фигуру, изображенную на рис. написать на гранях цифры склеитькубик, предварительно прикрепив внутренней стороны грани цифрой кусокпластилина.
Развертка пирамидки внутренней стороны грани цифрой приклейтекусок пластилина, после чего склейте пирамидку. Считается, что на пирамидкевыпало очка, когда грань цифрой не видна, она касается стола
Вырежьтеиз плотного картона неправильный пятиугольник, Проткните его точке спичкой,чтобы получился волчок. Позиция волчка, означает, что выпало очков.
Наглядныепособия убираются в шкаф или лаборантскую.
Урок:Вероятность случайных событий
Цели:
· ознакомлениеучащихся темой «Вероятность случайных событий»
· рассмотрение ролизадач в усвоении элементарных знаний теории вероятностей; доступности изученияэлементов теории вероятностей.
Оборудование:записи на доске, индивидуальные карточки, аншлаги,
карточки  домашнимзаданием.
Ход урока
Изложениенового материала.
А чтоже такое случайные события? К примеру, вы купили лотерейный билет. Вы можетевыиграть, можете проиграть. Такие события называют случайными. Случайныесобытия события, которые могут произойти, могут не произойти при одних и тех жеусловиях. На выборах может победить один кандидат, может другой.
Рассмотримвиды случайных событий. Например, вы бросаете монету. Может выпасть «орел» может«решка» Возможности наступлений этих событий равны. Такие события называютсяравновозможными или равновероятными.
Но невсе события равновозможные. Например, будильник может прозвенеть, может непрозвенеть, автобус может изломаться, перегореть лампочка. Но  при обычныхусловиях они маловероятны.
Маловероятныесобытия это события, которые при обычных случаях не происходят. Пример: автобусможет изломаться, перегореть лампочка.
Болеевероятно, что будильник зазвенит, лампочка загорится.
Болеевероятные события — это события, которые происходят при обычной жизни при обычныхусловиях.
Естьтакие события, которые в обычных условиях происходят обязательно не всегда. Ониназываются достоверными. Например, если опрокинуть чашку с водой, водаобязательно выльется. Приведите свои примеры достоверных событий.
Естьтакие события, которые при обычных условиях не происходят никогда. Ониназываются невозможными. Например, невозможно в обычных условиях, не вылитьводу, перевернув стакан вверх дном. Приведите свои примеры невозможных событий.
Достоверныеневозможные события встречаются сравнительно редко. Можно сказать, что мы живемв мире реальных событий. Поэтому важно понять, можно ли найти какие либозакономерности в мире случайного? Можно ли какими либо способами оценить шансынаступления интересующего нас случайного события? Ответы на эти вопросы даетнаука, которая так называется теория вероятностей. Подведем итог: что такоеслучайные события? Какие они бывают, приведите примеры на каждый вид случайногособытия.
Решениезадач и упражнений.
Задание.- Какие из следующих событий — случайные, достоверные, невозможные.
Надоске начерчена таблица:События случайные достоверные невозможные
Инструктаж
Выдолжны выбрать соответствующие события и вписатьв в таблицу ту цифру, котораясоответствует событию. Разберем первый пример:
Черепаханаучится говорить. Это событие невозможное. Вписываем букву, в колонкуневозможных событий.
Самостоятельнаяработа по карточкам:
 черепаханаучится говорить;
 водав чайнике, стоящем на плите, закипит;
 вашдень рождения 10 июня;
 деньрождения вашего друга 30 февраля;
 вывыигрываете, участвуя в лотерее;
 выне выигрываете, участвуя в беспроигрышной лотерее;
 выпроигрываете партию в шахматы;
 вызавтра встретите инопланетянина;
 наследующей неделе испортится погода;
 сегодняне четверг;
 послечетверга будет пятница;
 послепятницы будет четверг.
 Проверкасамостоятельной работы
Задание- Егор и Даниил договорились: если стрелка вертушки остановится на белом поле,то забор будет красить Егор, а если на темном то Даниил.У кого из мальчиковбольше шансов красить забор?
Задание- Используя выражения «более вероятно»«менее вероятно»«равновероятные» событиясравните возможность наступления случайных событий (устно)
Выпросыпаетесь утром
Этобудний день; это выходной.
Выподбрасываете игральный кубик
Выпадаетшестерка; выпадает не шестерка.
СборнаяРоссии играет со сборной Чехии
СборнаяРоссии выигрывает; сборная России не выигрывает.
Домашняяработа
Дома увас будет работа по карточкам. Посмотрите на карточку. Прочитайте про себя всепункты. Что нужно сделать? Как это сделать?
Карточкас домашней работой
Броситьмонету и определить, что выпало: орел или решка. Провести 10 бросков.перечертить таблицу в тетрадь. Результаты записать в таблицу. После таблицыподсчитать отношение числа выпадения решки.Число бросаний Выпадение орла Выпадение решка 10
Итог урока
Урок. Частота и вероятность случайного события
Цели:
· ознакомлениеучащихся с темой: «Частота и вероятность случайного события»
· продолжениеизучения случайных событий;
· проведениеряда опытов на определение вероятности случайного события.
Оборудование: двепуговицы, неправильная пирамидка.
Изучение нового материала
Каквы помните, мы проводили эксперимент с подбрасыванием монеты  определяливероятность выпадения орла.
Итоговые результаты вашего класса вы можете сравнить срезультатами, полученными учениками одной из школ 1994 году, при 6000 испытаний«орел» выпал 2953 раза.
В XVIII в. такие же эксперименты с монетойпроводил французский естествоиспытатель Жорж Луи де Бюффон, у которого «орел»выпал 2048 раз при 4040 подбрасываниях монеты. В начале XX в. английский математик Карл Пирсон провел уже 24 000экспериментов, при этом «орел» выпал 12 012 раз.
Для каждого из рассмотренных экспериментов подсчитаем, какуючасть составляет выпадение «орла» от общего числа бросаний монеты, или, какговорят, подсчитаем частоту выпадения «орла»
Получим:
 Бюффона
 школьников
 Пирсона
 какая частота выпадения «орла» получилась в вашем классе?
Нетрудно заметить, что серии экспериментов, проведенных вразные эпохи в разных странах, дают похожий результат: при многократномподбрасывании монеты частота появления «орла» примерно равна, Следовательно,хотя каждый результат подбрасывания монеты случайное событие, при многократномповторении эксперимента видна отчетливая закономерность.
Число, это вероятность случайного события «выпадение «орла»Так как в этих экспериментах «решка» появляется также примерно в половинеслучаев, то вероятность выпадения «решки» равна.
Вероятность события обозначается большой латинской буквой(первой буквой французского слова probabilite, что при переводе означает возможность, вероятность)
Если обозначить событие «выпадет «орел» событие «выпадет«решка» буквой наш результат можно записать так:
Иногда вероятность выражают в процентах, тогда:
( 50% ( 50%
Тот факт, что вероятность появления «орла» равна, конечно, неозначает, что при любой серии экспериментов «орел» появится ровно в половинеслучаев. Но если число экспериментов достаточно велико, мы можем дать прогноз,что «орел» выпадет примерно  половине случаев. Таким образом, в каждом изэкспериментов бросанием монеты мы сначала подсчитывали частоту рассматриваемогособытия с помощью формулы:
/>
Затем, используя найденную частоту, мы оценивали вероятностьданного события.
Оценку вероятности случайного события по его частоте можносделать, используя результаты других, самых разнообразных экспериментов кнопками,игральным кубиком, рулеткой, автомобильными или телефонными номерами.
В таблице представлены результаты экспериментов, проведенныхучениками летней математической школы, которые оценивали вероятностьнаступления случайного события «кнопка выпадет острием вниз»

Число  экспериментов 10 20 30 50 100 200 500 1000 Число выпадения кнопки острием вниз 14 22 45 92 225 450 Частота выпадения кнопки острием вниз , ,45 ,47 ,44 ,45 ,46 ,45 ,45
По таблице можно сделать вывод, что вероятность выпадениякнопки острием вниз примерно равна ,45 или 45%
Вероятностные оценки широко используются по физике, биологии,социологии, экономике политике, спорте повседневной жизни каждого человека.
Если прогнозепогоды сообщают, что завтра будет дождь свероятностью 70% это значит, что не обязательно будет дождь, но шансы велики стоит,выходя из дому, захватить плащ или зонтик.
Проведение экспериментов
Эксперимент
Оцените вероятность выпадения  очков при подбрасываниипирамидки, выполнив 100 экспериментов. Развертка пирамидки с внутренней стороныграни с цифрой приклеен кусок пластилина. Считается, что на пирамидке выпалоочка, когда грань с цифрой не видна, она касается стола.
Задание. Известно, что на 100 батареек попадаются бракованные.Какова вероятность купить бракованную батарейку?
Задание. По статистике, в ороде Новинске за год из каждой1000 автомобилистов попадают ваварию. Какова вероятность того, что автомобилиств этом городе весь год проездит без аварий?
Домашняяработа
Принестиспичечный коробок и монету
Итогурока
Урок.Практикум по решению заданий
Цели:
· использование напрактике теоретических знаний;
· проверка усвоенияизученного материала по определению случайных событий их вероятности.
Оборудование:монеты, спичечный коробок
Ходурока
Работапо теме
Задание. Для каждого из перечисленных событий определите,какое оно: достоверное, очень вероятное, возможное, маловероятное илиневозможное. Отметьте это в таблице знаком « как это сделано для событий:
1. Летом ушкольников будут каникулы.
2. В июле в Москвебудет солнечно.
3. После уроковдежурные уберут кабинет.
4. В классешкольники не будут изучать математику.
5. Зимой выпадетснег.
6.  января 2001 годанаступит XXI век.
7. При включениисвета лампочка перегорит.Событие 10 11 12 Достоверное Очень вероятное Возможное Маловероятное Невозможное
/>/>/>
Задание. Разобьемся на 10 групп по 3человека Каждая группа должна совершить 10 бросаний монеты и подсчитать,сколько раз выпадет «орел» Результаты запишите в таблицу.(начерчена на доске)1группа 6группа 2группа 7группа 3группа 8группа 4группа 9группа 5группа 10группа
Итого:
Послетаблицы подсчитать отношение числа выпадения орла.
Домашняяработа
Задача.Пусть в мешке имеется 15 шаров различных цветов: 7белых, 3 зеленых, 5 красных.Вытаскивают наугад один шар. Какова вероятность того, что будет вытащен белыйшар? Зеленый шар? Красный шар?
Итогурока
Урок.Лабораторная работа.
Тема:«Вероятностьслучайных событий»
·  Цели: обобщение и систематизированиезнаний по данной теме; развитие интереса к математике;
Оборудование: монеты, фишки, кости.
Ход работы.
Игра «Спасайся!
Поставьте фишку на кружок «начало»
Бросьте любую монету. Если выпадет «орёл» тодвигайтесь по стрелке Если выпадет «решка» то двигайтесь по стрелке
Продолжайте игру, пока вас не съедят или вы окажетесь вбезопасности в подводной пещере.
Сыграйте 10 раз. Сколько раз вас съели?
Результат запишите в таблицу.
Начните игру с другого кружка. Сыграйте 10 раз.
Результат запишите в таблицу.
Сделайтевывод. У какого кружка надо начинать игру, чтобы она была менее опасной?
Игра «Кости»
Бросить кости и сосчитать сумму очков… Провести 10 игр по 10бросков.

Результат записать в таблицу. броска(по десяткам) Сумма очков на кости 12 10 20 100
Всего: 100
Вероятность:
Вычислить вероятность появления каждой суммы очков.
Сделайте вывод. Сколько очков выпало больше число раз? Как выдумаете, почему?
Итог урока: контрольные вопросы:
Кaкие событияназывают достоверными? невозможными? случайными? Приведите примеры.
Какиесобытия считаются равновозможными? несовместимыми? единственно возможными?Приведите примеры.
Урок.Эксперименты со случайными исходами
Цели:
· ознакомлениеучащихся с темой «Случайные исходы»
· проведение рядаэкспериментов по данной теме;
· закреплениезнаний по теме:«Вероятность случайных событий»
Оборудование:записи на доске, кубики, карточки с домашним заданием.
Ходурока
Повторениеизученного материала.
Изучениенового материала.
Сегодня мы вами узнаем, что такое случайные исходы.Представьте: перед началом футбольного матча судьяподбрасывает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет матч из центраполя. Как вы думаете, какие шансы у каждой команды начать игру? Имеет ли правосудья вместо монеты подбросить, например, кнопку?
Подбрасывание кнопки, как и подбрасывание монеты,это эксперимент со случайными исходами, его результат тоже зависит от случая.
Кнопка может упасть как на острие, таки и накружок. Но можно ли считать эти события равновозможными, или одноиз них более вероятно, чем другое? Чтобы ответить на этот вопрос, надо многораз повторить эксперимент  подбрасыванием кнопки.
Такое исследование провела группа из 20шестиклассников в летней математической школе в 1994 году. Каждый из них 100раз подбросил кнопку, всего было проведено 2000 экспериментов. В итоге кнопкаупала на острие 909 раз, на кружок 1091 раз. Имеет ли право судья подброситькнопку?
Эти эксперименты показывают, что кнопка чащепадает на кружок. Следовательно, судья не имеет права перед матчем заменитьмонету кнопкой команд такой ситуации были бы неравные шансы начать игру.
Приведите свои примеры случайных исходов.
Проведение экспериментов.
Эксперимент
При бросании игрального кубика возможно исходов.Какие? Как вы думаете, если сделать 1000 бросаний, сколько примерно, раз из1000 бросаний кубика выпадает очко? Проверьте ваше предположение, проведя классе следующий эксперимент.
Разобьемся на 10 групп по 3 человека Всегополучилось 10 групп. Каждая группа должна совершить 10 бросаний и подсчитать,сколько раз выпадет очко. Результаты запишите в таблицу №(начерчена на доске)
Результатыпросуммировать. Сравнить ответ, полученный экспериментально с вашими предположениями.Вычислите вероятность выпадения очка. Что для этого нужно сделать?(поделитьколичество выпадения очка на 1000) Сделайте вывод. Большая ли вероятностьвыпадения очка.
Эксперимент
Возьмите«неправильный» кубик, предварительно был прикреплен пластилин на стороне сцифрой. Каждой группе нужно провести 10 бросаний «неправильного» кубика. Подсчитать,сколько раз выпадет очко. Каждая группа также подсчитывает свои результаты изаносит их в таблицу №(такая же, как таблица № Результаты просуммировать. Вычислитевероятность выпадения очка при бросании «неправильного» кубика. Сравнитьрезультат этого опыта с результатами предыдущего. В каком случае вероятностьвыпадения очка больше и почему? Сделайте вывод.
Эксперимент
В предыдущем эксперименте вы подбрасывали кубики и записывалисумму выпавших очков. Приведите по два примера:
 достоверных событий;
 невозможных событий;
 случайных событий.
Домашняяработа
Установите,какие из событий достоверные, невозможные, случайные:
 выплата100 рублей семью монетами;
 наугадвыбранное число, составленное из цифр без повторений, меньше 400.
 появление19 очков при бросании трех игральных кубиков;
 выплата1000 рублей четырьмя купюрами;
 появлениесразу трех лайнеров над аэропортом.
 Итогурока.
Урок.Практикум по теме: «Эксперименты со случайными исходами»
Цель:закрепление знаний по теме:«Эксперименты со случайными исходами» Оборудование:две кнопки, неправильный пятиугольник, карточки с незаконченными предложениями.
Ходурока
Работапо теме
Задание.Два приятеля с помощью вертушки решают, как им провести воскресенье: еслистрелка остановится на белом, они пойдут в кино, если на черном, на стадион.Какое из событий вероятнее: приятели пойдут на стадион или в кино?
Задание.Вы выигрываете, если стрелка останавливается на белом. Какая из вертушек, даетвам больше шансов на выигрыш?
Задание.Сколько раз из ста при одновременном подбрасывании двух кнопок обе кнопкиупадут на кружок? Проведите эксперименты.
Задание. Возьмите Волчек из неправильного пятиугольника.Проведите 100 случайных экспериментов, заполните таблицу результатов, чтобыподсчитать частоту и оценить вероятность следующих событий:
 выпадает четное число очков;
 выпадает число очков, меньшее
Работайтепарами: один из вас крутит волчок, другой записывает результаты экспериментов.
Домашняяработа
В урне 10 одинаковых шаров,из которых 5 красных 3 голубых. Из урны извлекается шар. Какова вероятностьтого, что извлеченный шар окажется голубым?
Естьтри ключа от трех замков. Они перемешались. Сколько проб достаточно, чтобыподобрать ключи к замкам?
Итогурока
Урок.Лабораторная работа «Эксперименты со случайными исходами»
Цель:
·  обобщение и систематизирование знанийпо теме:«Эксперименты со случайными исходами»
Оборудование: две кнопки, два кубика.
Опыт
Провести эксперимент из 100 одновременныхбросаний двух кнопок.
Подсчитать, сколько раз ОБЕ кнопки упадут накружок.
Подсчитать вероятность выпадения двух кнопок накружок.
Опыт
Провести эксперимент из 100 одновременныхбросаний двух кубиков.
Подсчитать, сколько раз на ОБОИХ кубиках выпадет очка.
Подсчитать вероятность выпадения очков.
Сравните эти два опыта, сделайте вывод и запишитеего.
Итог урока: Сравнение результатов опытов.
Урок. Практикум по теме: «Частота вероятность случайного события»
· Цели: представить роль задач и усвоенииэлементарных знаний  прит вычислении частоты вероятности случайного события;представить доступность изучения элементов теории вероятностей и использованиеих в жизни.
Оборудование: книга, неправильный кубик, монета.
Ход урока
Работа по теме
Задание.Чтобы определить, как часто встречаются в лесопарке деревья разных пород,ребята провели следующие эксперименты. Каждый выбрал свою тропинку по путиследования записывал породу каждого десятого дерева. Результаты были занесены втаблицу.
Оцените вероятность того, что выбранное наугад в этом паркедерево будет: сосной; хвойным; лиственным.
Указание. Ответ округлите до сотых.
Задание. Чтобы определить, какой цвет волос встречается вгороде чаще, а какой реже, студенты за полчаса провели следующий эксперимент.Каждый выбрал свой маршрут и записывал по пути следования цвет волос каждогопятого встречного.

Результаты были занесены в следующую таблицу:

Цвет волос брюнеты шатены рыжие блон­дины всего Число людей 198 372 83 212 865
Оцените вероятность того, что выбранный наугад житель этогогорода будет: шатеном; рыжим; не рыжим.
Указание. Ответ округлите до сотых.
Задание 15. Выберите наугад одну страницу из книги любогописателя и посчитайте, сколько раз на этой странице появляются буквы « «  такжесколько всего на ней букв. Оцените вероятность появления букв « « в этомтексте.
Объясните, почему на клавиатурах пишущих машинок икомпьютеров буква « расположена ближе к центру, буква « ближе к краю. Как выобъясните расположение других букв?
Задание.Задача Даламбера. Какова вероятность того, что при двух бросаниях монеты хотябы один раз выпадет «орел» Проведите 100 экспериментов оцените эту вероятность.
Домашняяработа
Вмешке имеется 9 красных, 6 белых 5 зеленых шара. Сколько шаров нужно вынуть измешка, чтобы наверняка иметь шары трех цветов?
Итогурока.
Урок.Лабораторная работа «Частота и вероятность случайногособытия»
Цель:
· обобщение исистематизирование знаний по теме:«Частота ивероятность случайного события»
Оборудование:кубик.
Каковавероятность выпадения очков при подбрасывании правильного кубика?
Для ответа на эти вопросыпроведите 100 экспериментов, подбрасывая кубик.
Всего: 100
Сведитев общую таблицу результаты своих экспериментов. При этом каждая следующаястрока таблицы заполняется прибавлением от предыдущей строке результатов, полученныходним из учеников. Подсчитайте частоты указанных событий. Результаты округлитедо сотых.Всего экспериментов Выпадает Частота выпадения  очка не  очка  очков не  очков 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500
Итогурока.
Урок. Вероятности достоверных, невозможных и случайныхсобытий
Цели:
· ознакомлениеучащихся с темой «Вероятность достоверных, невозможных и случайных событий»
· представлениероли задач и усвоении элементарных знаний теории вероятностей.
Ход урока
Работа по теме
Как мы уже знаем, достоверное событие это событие, котороеобязательно происходит при каждом повторении эксперимента, невозможное событиене происходит ни при каком повторении эксперимента.
Поэтомуестественно считать, что вероятность достоверного события равна вероятностьневозможного события равна
Вероятность случайного события может быть любым числом. Чембольше вероятность, тем чаще наступает случайное событие при многократномповторении эксперимента.
Какова вероятность того, что солнце взойдет на западе?
Какова вероятность того, что после 31 декабря наступит 1января?
В пакете лежат 20 зеленых 10 желтых груш. Какова вероятностьвынуть из пакета грушу? Какова вероятность вынуть из пакета яблоко?
В мешке 20 красных яблок и 10 зеленых. Какое наименьшееколичество яблок нужно вынуть, не заглядывая в мешок, чтобы с вероятностью,равной 3 среди вынутых было хотя бы одно красное яблоко?  Придумайте и запишитепо 2 примера вероятности достоверных, невозможных и случайных событий.
Домашняя работа
Вмешке имеется 2 белых 3 синих шара. Какова вероятность вытащить все шары? Белыйшар? Синий шар?
Итог урока
Урок. Вероятность равновозможных событий
Цели:
· ознакомлениеучащихся с темой:«Вероятностьравновозможных событий»
· продолжениеизучения случайных событий;
Ход урока
Работа по теме
Вы уже научились оценивать вероятность случайного события,проводя достаточно большое число экспериментов.
Однако, когда все исходы случайного экспериментаравновозможны, вероятность каждого исхода легко подсчитать, не проводяэкспериментов.
Самый простой из примеров такого рода это подбрасываниемонеты. Этот эксперимент имеет два исхода:«орел» или «решка» Проведя эксперименты,мы уже установили, что вероятность появления «орла» равна вероятности появления«решки», тот результат нетрудно было предугадать без проведения опытов. Так какпри бросании монеты возможны два равновозможных исхода выпадение «орла» ивыпадение «решки» то вероятность каждого из них равна
Точно так же при бросании «правильного» кубика все шестьисходов данного эксперимента равновозможны.
Таким образом, мы можем вычислить вероятности возможныхисходов, не проводя экспериментов, только если очевидно, что все исходыслучайного эксперимента равновероятны.
На экзамене 24 билета. Андрей не разобрался и одном билете иочень боится его вытянуть. Какова вероятность, что Андрею достанется несчастливыйбилет?
Всего из данного эксперимента «вытянуть наугад один билет» 24исхода, все они равновероятны. У Андрея один шанс из 24 вытянуть несчастливыйбилет. Поэтому вероятность того, что Андрею достанется несчастливый билет,равна 24
В лотерее 10 выигрышных билетов, 240 билетов без выигрыша.Какова вероятность выиграть эту лотерею, купив один билет?
Задание. На вопрос викторины было получено 1250 открыток справильными ответами, в том числе и ваша. Для определения призера ведущийдолжен наугад вытащить одну открытку. Какова вероятность того, что приздостанется вам?
Задание. За победу на телеигре Яна получит главный приз путешествие,если за одну попытку угадает, в каком из 12 секторов в табло спрятан приз.
Какова вероятность того, что Яна отправится в путешествие?
Известно,что призы расположены в четырех секторах табло. Какова вероятность того, чтоЯна выиграет какой-нибудь приз?
Домашняя работа.
Итог урока.
Урок. Практикум по теме: Вероятностьравновозможных событий
Цели:
· проверкаосмысления материала по теме:«Вероятность равновозможных событий» путем решениязадач;
· закреплениезнаний по теме:«Вероятность случайных событий»
Оборудование: карточки с незаконченнымипредложениями.
Ход урока
Работа по теме
Задание. На трехместную скамейку произвольным образом садятсядвое мужчин и женщина. Какова вероятность того, что мужчины окажутся рядом?
Задание. Грани кубика окрашены в красный и желтый цвет.Вероятность выпадения красной грани равна 5, вероятность выпадения желтой граниравна 7 Сколько красных и желтых граней у кубика?
Задание. В ящике лежат 10 красных, 15 синих и 20 зеленыхкарандашей. Вы наугад вынимаете карандаш. Какова вероятность того, что этокрасный карандаш? желтый карандаш? не зеленый карандаш? Какое наименьшееколичество карандашей нужно вынуть, чтобы с вероятностью, равной 4 среди нихбыл зеленый карандаш?
Итогурока
Урок 14. Практикум по теме:«Вероятностьравновозможных событий»
Цели:
· проверкаосмысления материала по теме:«Вероятность равновозможных событий» путем решениязадач;
· закреплениезнаний по теме:«Вероятность случайных событий»
Оборудование: карточки  незаконченнымипредложениями.
Ход урока
Работа по теме
Задание. Какова вероятность того, что при трех бросанияхмонеты три раза выпадет орел? два раза выпадет орел? один раз выпадет орел? ниразу не выпадет орел?
Задание. Придумайте три эксперимента, имеющие равновероятныеисходы, три эксперимента, имеющие неравновероятные исходы.
Задание. Бросаются одновременно два игральных кубика. Каковавероятность того, что сумма очков будет равна 12?
Задание. В известной игре «камень и ножницы и бумага» дваигрока одновременно выбрасывают на пальцах одну из трех возможных фигур.
В комбинации — выигрывает камень (камень «тупит» ножницы), вкомбинации — выигрывает бумага (бумага «обернет» камень), в комбинации — выигрываютножницы (ножницы «режут» бумагу) Если игроки выбрасывают одинаковые фигуры,ничья.
Какова вероятность выигрыша для каждой из фигур?
Домашняяработа
Принестимонету, жестяную крышку.
Придуматьзаписать равновозможных событий.
Итогурока
Урок.Лабораторная работа «Вероятность равновозможныхсобытий»
Цель:
·  обобщение и систематизирование знанийпо теме «Вероятность равновозможных событий»
Оборудование: монета, жестяная крышка
Ход урока
1. Работапо теме
Опыт
Каковавероятность того, что при подбрасывании крышка упадет дном вверх или вниз Дляответа на поставленный вопрос проведите 100 экспериментов, заполните таблицу результатов,посчи­айте частоту и оцените вероятность указанных событий:
Всего:100. Сделайте вывод.
Опыт
Сыграйте вдвоем в следующую известную игру: один прячетмонету в кулак, а другой угадывает, в каком из кулаков зажата монета. Проведите50 экспериментов, когда монету прячет один из игроков, а 50 когда другой.Заполните таблицу, найдите частоту и оцените вероятность угадать, в какомкулаке спрятана монета.
Всего:100
Сделайтевывод. Сравните результаты опытов.
Итогурока
Урок.Вероятность вокруг нас
Цели:
· показвероятности вокруг нас в жизни;
· проверкапонимания данной темы, используя задания.
Ход урока
Работа по теме
Для обсуждения вам предлагается несколько вероятностныхпроблем из тех, которые часто встречаются  нашей жизни. Многие из них вы покане можете решить строго математически. Поэтому хотелось бы, чтобы приобсуждении предложенных ситуаций вы опирались не только на те знания, которыевы уже получили, но  на здравый смысл, жизненный опыт  интуицию.
Задание.Данила на карточке спортлото ( из 49) отметил номераНаташа на своей карточке отметила номера 12, 17, 23, 35, 49. Как вы думаете,выигрыш какого набора чисел более вероятен? Поясните свое мнение.
Задание. Олег уже три месяца участвует в еженедельной лотерее,но ни разу не выиграл. Однако он продолжает играть, утверждая:«Лотерея случайная игра, иногда выигрываешь, иногда проигрываешь.И уже долго невыигрывал, поэтому  уверен, что обязательно выиграю в одном из следующихрозыгрышей» Согласны ли вы с рассуждением Олега?
Задание. Андрей отметил на карточке спортлото ( из 49)номера  11, 15, 29, 38, 40 выиграл. Тогда он решил, что эта комбинация чиселсчастливая и он будет отмечать ее во всех тиражах. Действительно ли он увеличитсвои шансы на выигрыш? Поясните свой ответ.
Задание 35. Ребята провели опыты по подбрасыванию монеты. Из100 раз «орел» выпал 46 раз,«решка» 54 раза. Ребята поспорили, что вероятнейпоявится при следующем бросании: «орел» или «решка» вероятней появление «орла»сказал Егор, ведь до этого эксперимента он выпадал реже, чем «решка» значит,теперь должен выпадать чаще» вероятней появление «решки» сказал Лена, раз онавыпадала чаще, то и будет выпадать чаще»«Как мы знаем, появление «орла» «решки»равновероятно, сказала Наташа, результат каждого следующего случайногоэксперимента не зависит от результатов предыдущих». Скем бы вы согласились почему?
Задание. За три последних года на реке было два наводнения, последнееиз которых было в прошлом году. С каким вариантом ответа на вопрос «Когда будетследующее наводнение? Вы согласны и почему:
 в следующем году;
 через год;
 наводнений не будет несколько лет, так как за последнеевремя их уже было слишком много;
 не хватает данных, чтобы ответить на вопрос?
Задание. Во многих книгах встречается известный анекдот:
— Доктор, спрашивает пациент, пойдут лиу меня дела на поправку?
— Несомненно, отвечает врач. Статистикаговорит, что один пациент из ста выздоравливает при этой болезни.
— Но почему же именно я долженвыздороветь?
— Потому что вы как раз и есть мойсотый больной! Верно ли рассуждает доктор, каковы, по вашему мнению, шансыбольного?
Задание. Женя купил булочку с изюмом, но изюма в ней неоказалось. Стоит ли Жене подавать в суд на хлебопекарный завод?
Домашняя работа
Придумать и записать две задачи на тему:«Вероятность вокругнас»
Итог урока.
Урок. Решениезадач, используя классическое определение вероятности
Цели:
· решениезадач, используя классическое определение вероятностей;
· представить рользадач при усвоении знаний по теории вероятностей;
· показ доступностиизучения элементов теории вероятностей.
Оборудование: карточки  незаконченнымипредложениями.
Ход урока
Работа по теме
Каквы уже знаете, вероятностью события называется отношение числа элементарныхисходов, благоприятствующих данному событию, числу всех равновозможных исходовопыта, в котором может появиться это событие./> где числоэлементарных исходов, благоприятствующих событию
Этоопределение вероятности называют классическим. Оно возникло на начальном этаперазвития теории вероятностей.
Задание 39. Все натуральныечисла от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. Послетщательного перемешивания из урны извлекается одна карточка. Какова вероятностьтого, что число на взятой карточке окажется делящимся на 3
Задание 40. Каковавероятность того, что наудачу в выбранном двузначном числе цифры одинаковы?
Задание. Подбрасывается дваигральных кубика, отмечается число очков на верхней грани каждого кубика. Найтивероятность того, что на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.
Задание. В урне лежат 16красных, 12 белых 8 синих шаров. Найти вероятность того, что:  вынут белыйшар;  вынут красный шар;  вынут синий шар;  вынут цветной шар.
Итогурока
Урок 18.Решение задач, используя классическое определение вероятности
Цели:
· решениезадач, используя классическое определение вероятностей;
· представить рользадач при усвоении знаний по теории вероятностей;
· показ доступностиизучения элементов теории вероятностей.
Ход урока
Работа то теме
Задание. Пусть вы забыли однуцифру нужного вам номера телефона и набираете ее наудачу. Какова вероятностьтого, что вам придется сделать не более двух звонков?
Задание. Задача. В разделеставки Подбрасывается монета. Первый игрок “набирает” гербы, а второй  решки.Тот, кто первым наберет три единицы, забирает ставку. Игра была прервана, когдау первого игрока имелось два герба, у второго одна решка. Ставка должна бытьразделена пропорционально шансам на выигрыш. Как ее разделить?
Итог урока
Урок. Практикум по решению задач теории вероятностей
Цели:
· показпрактического владения знаниями по теории вероятностей;
· закреплениеумений решать задачи.
Ход урока
Работа по теме
Задание. Из восьми сотрудников в июле могут пойти в отпусктри человека. Сколькими способами это можно сделать?
Задание.В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из нихсыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий сыграно натурнире?
Задание. В группе 12 студентов, среди которых 5 отличников.По списку наудачу выбраны 8 студентов. Найти вероятность того, что средиотобранных студентов 3 отличников.
Задание. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целоечисло от 40 до 70 является кратным
Задание. В корзине 10 яблок, из которых четыре зеленых.Наудачу достали три яблока. Найти вероятность того, что хотя бы одно выбранныхяблок зеленое.
Итогурока
Налистках бумаги напишите что бы вы посоветовали учителю при изучении данногокурса.
Урок.Практикум по составлению задач
Цели:
· показуровня овладения материалом;
· применениезнаний на практике.
Ход урока
Составление задач
Составьте задач по теории вероятностей и решите их. Напишите отдельно условия задач накарточках (в конце урока они собираются учителем)
Домашняяработа
Повторитьматериал по всему курсу
Итогурока
Урок. Семинар по решению составленных задач
Цели:
· показпрактического владения знаниями по теории вероятностей;
· закреплениеумений решать задачи.
Оборудование: карточки  задачами.
Ходурока
Работапо теме
Раздаютсякарточки с задачами (карточку не должен получил автор) Дается 15 минут нарешение задач, после чего производится проверка. Ученики выходят к доске изаписывают их решения (можно несколько человек сразу) Остальные ученикипроверяют задачи на места. За урок ставится две оценки: за составление задач иих решение.
Взаимопроверка
Домашняяработа
Подготовитьсяк контрольной работе
Итогурока
Урок.Контрольная работа по решению задач теории вероятностей
Цели:
· систематизированиезнаний, умений по данному факультативному курсу;
· проверкастепени усвоения материалом.
Ходурока
Работапо теме
Умаленькой Вари две одинаковые пары варежек. Уходя на улицу, она наугад беретдве варежки. Какова вероятность того, что они окажутся парными ( на разныеруки)
Андрейвыписывает по порядке возрастания все пятизначные числа, Сколько чисел он всеговыпишет? Какое число будет первым? Какое последним? Какое число он запишетпосле 20122?  перед ним?
Найдитевероятность того, что снова получится то же самое слово, если перемешать ивыложить в ряд буквы слова: МЫЛО; РАМА; МАМА.
Двастрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания для первогострелка 10, для второго 15, Какова вероятность, что:
 обапромахнутся;
 обапопадут;
 хотябы один попадет;
 хотябы один промахнется.
Вящике детали две исправленные две бракованные. Из ящика наугад вынимают поодной детали, пока не извлекут все бракованные. Сколько деталей, вероятнеевсего, будут при этом извлечены?
Итогурока
Ответына задания
 , ,03;  ,998; 13.  ,42;  ,50;  ,05; 14.  ,43;  ,10;  ,90; 19. 20.  21. 22. 23.24. красных   желтых   25. зеленого; 26.  11; 29. 30. 39., 40., 41. 42. ((>(
Ответына домашние задания
Урок Урок   ,   Урок   -  Урок 11.  Урок 12. Урок 17. Урок 18.     Урок 20.  252; 720;