Министерствообразования Российской Федерации
ТОМСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Кафедрарадиотехнических систем (РТС)
Курсовая работа
по дисциплине “Статистическая радиотехника”
Тема: АНАЛИЗ ТИПОВОГО РАДИОТЕХНИЧЕСКОГО ЗВЕНА
Выполнил
студент гр.129-2
Н.А.Гиркин
Руководитель:
доцент каф. РТС, к.т.н.
А.С.Бернгардт
2008
Министерство образования РоссийскойФедерации
ТОМСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Кафедрарадиотехнических систем (РТС)
ЗАДАНИЕ
На курсовуюработу по дисциплине “Статистическая радиотехника”.
Студенту группы 129-2 Н.А.Гиркину
Тема работы: ”Анализ типовогорадиотехнического звена”
Исходные данные:
1. Тип входноговоздействия: сумма полезного сигнала и белого шума:
нормальный белый шум />
полезный сигнал />, амплитуда и несущая частотакоторого постоянны, фаза случайна и распределена равномерно в интервале />.
2. Тип первоголинейного фильтра: одноконтурный резонансный усилитель, квадрат модуляамплитудно-частотной характеристики которого определяется выражением
/>
3. Тип нелинейного элемента: двухполупериодныйквадратичный
детектор />
4. Тип второго линейного фильтра: два последовательно соединенныхусилителя с нагрузкой в виде RC-цепи сослабой связью
/>
Дата выдачи задания__________________
Руководитель __________________
Подпись студента __________________
Содержание
1Введение. 5
2Основная часть. 7
2.1Основные положения. 7
2.2Анализ прохождения сигнала через первый линейный фильтр. 8
2.3Анализ прохождения сигнала через нелинейный элемент (НЭ)15
2.4Анализ прохождения сигнала через второй линейный фильтр. 19
2.5Расчет основных параметров и зависимостей. 22
3Заключение. 27
Списокиспользованной литературы.28
1 Введение
Современноесовершенствование радиотехнических систем приводит к повышению дальности связии повышению помехоустойчивости работы. Повышение дальности работы систем приограничении мощности передатчиков возможно только при максимальнойчувствительности приемников. При этом приемник работает в таком режиме, когдауровень входного сигнала сравним с внутренними шумами самого приемника. Зачастуюведется прием сигнала “под шумом”.
При такихусловиях становится необходимым каким-либо образом описать шумы, носящиеслучайный непредсказуемый характер.
Цельюданной работы является изучение существующих методов анализа радиотехническихустройств при случайных воздействиях.
Даннаяработа позволяет смоделировать прохождение полезного сигнала на фоне различныхшумов, практически имеющих место в радиотехнических системах, через типовоерадиотехническое звено. Исследуется влияние на характер этого прохождения различныхпараметров элементов звена.
Расчет прохождения сигналаведется одновременно во временной и частотной области, на уровне корреляционныхфункций и спектров мощности. Это позволяет более полно исследовать характерпрохождения сигнала, а также упростить расчеты и выводы основных формул. Прирасчетах входное воздействие предполагается стационарным в широком смысле.Исследование производится для установившегося режима, после окончанияпереходных процессов.
Основным упрощением и отличиемпредложенного к расчету типового радиотехнического звена от реальных системявляется то, что нелинейный элемент предполагается неинерционным, а инерционныефильтры предполагаются линейными. Данное упрощение основано на том, что расчетпрохождения случайных процессов через нелинейный инерционный элемент представляетсобой чрезвычайно сложную, подчас неразрешимую задачу. С другой стороны, приопределенных условиях можно пренебречь инерционностью нелинейного элемента инелинейностью фильтров. Расчет отдельно нелинейного безынерционного и линейногоинерционного элементов хорошо разработан и описан в литературе [2].
2Основная часть
2.1 Основные положения
Структурная схема типовогорадиотехнического звена показана на рисунке 2.1.
/>
Рисунок 2.1 Структурная схематипового радиотехнического звена.
Временныереализации случайных процессов обозначаются в соответствии с рис.2.1 буквами U, X, Y и Z.Спектральная плотность мощности и корреляционная функция обозначаютсясоответственно /> и/>, с соответствующиминдексом.
Соотношениемежду спектральной плотностью мощности и корреляционной функциейустанавливается теоремой Винера — Хинчина [2]. Математическая запись этой теоремыимеет вид:
/>, (2.1)
/>. (2.2)Зная />, можно, используя еесвойства [1,2], следующим образом определить математическое ожидание /> и дисперсию /> случайного процесса:
/>
, (2.3)
/>. (2.4)Для линейных неинерционныхсистем выполняется [2] следующее равенство:
, />(2.5)
где /> — коэффициент передачисистемы.
Время корреляции иэффективная полоса случайного процесса определяются [1] соответственноследующими выражениями:
/>/>, (2.6)
/>, (2.7)
где /> — ковариационная функция, а/> — значение энергетическогоспектра при некоторой характерной частоте, обычно соответствующей максимуму.
Коэффициент корреляциипо определению [2] равен: />. (2.8)
2.2 Анализ прохождения сигнала через первыйлинейный фильтр
Первый линейный фильтрпредставляет собой одноконтурный резонансный усилитель, настроенный на частоту/>. Его АЧХ определена в заданиии определяется следующим выражением:
/>.
График АЧХ первого фильтрапоказан на рисунке 2.2.
/>
Рисунок 2.2 АЧХ первоголинейного фильтра.
Входное воздействиепредставляет собой сумму полезного сигнала и белого шума.
Белый шум имеет спектрмощности/> и корреляционную функцию/>.
Корреляционная функцияполезного сигнала находится как математическое ожидание произведения значенийслучайного процесса в два различных момента времени />. В данном случаеполезный сигнал – квазидетерминированный процесс с корреляционной функцией /> и энергетическимспектром />.
В сумме входноевоздействие имеет следующие характеристики:
/>, (2.9) /> (2.10)
Графики корреляционной функции и одностороннего энергетическогоспектра приведены на рисунках 2.3 и 2.4.
/>
Рисунок 2.3 Корреляционная функция входноговоздействия.
/> Рисунок2.4 Энергетический спектр входного воздействия.
Пользуясь формулой (2.5), спектр мощности сигнала навыходе первого фильтра можно определить следующим выражением:
/>.Двумя слагаемыми, соответствующимисоставляющим спектра, не пропускаемым фильтром, из-за малости пренебрегаем.Рабочее выражение для энергетического спектра приобретает вид:
/>(2.11)
График спектра мощности сигнала на выходе первогофильтра показан на рисунке 2.5.
/>
Рисунок 2.5 Спектр мощностисигнала на выходе первого фильтра.
Корреляционная функция сигналана выходе первого линейного фильтра, согласно (2.2), находится как обратноепреобразование Фурье от энергетического спектра и вычисляется следующим образом:/>/>
Вычислимкаждый интеграл отдельно. По свойству дельта – функции, она отлична от нулятолько тогда, когда аргумент равен нулю. Используя это свойство, найдем третийи четвертый интегралы:
/>
Первыйи второй интегралы вычислим при помощи теории вычетов. По основной теореме овычетах известно, что если функция f(z) аналитична в ограниченной односвязной области, заисключением конечного числа изолированных особых точек, то ее интеграл позамкнутому контуру g, лежащему в этой области, равен сумме вычетов,соответствующих особым точкам, охваченным этим контуром.
/>
Дляпервого и второго интегралов получаем:
/>
Перейдя в интегралах ккомплексной частоте /> и заменив линейноеинтегрирование в бесконечных пределах интегрированием по замкнутому контуру,получим первый интеграл:
/>./>
Подынтегральная функцияимеет следующие особые точки:
/>.
Мы будем замыкать контурв верхней полуплоскости, и потому накладываем ограничение/>. Тогда в контур попадет одинполюс /> :
/>.
Значение интеграла /> определяется, согласнотеории вычетов [1], следующим образом:
/>.
Аналогично получим второй интеграл:
/>.
В сумме имеем
/>
Если бы мы замкнули контуринтегрирования в нижней полуплоскости, то получили бы те же самые выражения приусловии />. Объединяя оба случая,получаем модуль в окончательном выражении:
/> (2.12)
Огибающая корреляционнойфункции сигнала на выходе первого линейного фильтра изображена на рисунке 2.6.
/>
Рисунок 2.6 Огибающаякорреляционной функции сигнала на выходе первого фильтра.
Легко заметить, чтофильтр обрезал спектр белого шума “окрасив” его, и сохранил спектр полезногосигнала. В этом и состоит избирательность фильтра.
Поскольку случайный процесс навыходе первого линейного фильтра содержит квазидетерминированную составляющую,то пользоваться выражениями (2.3) и (2.4) для получения математическогоожидания и дисперсии нельзя. Тогда учтем, что математическое ожидание суммыравно сумме математических ожиданий. Пользуясь выражением (2.3), получимматематическое ожидание шумовой составляющей />.Математическое ожидание сигнальной составляющей вычислим по определению
/>
Суммарное математическоеожидание />, и дисперсию всего отклика находим по формуле:
/>.
Используя формулы (2.6) и(2.7) для шумовой составляющей />и />, время корреляции иэффективную полосу процесса на выходе первого линейного фильтра (для этогопроцесса /> так как />) определяю соответственноследующим образом:
/>,
/>.
Графики полученных зависимостей показаны ниже.
/>
Рисунок 2.7 Зависимость дисперсии процесса на выходепервого линейного фильтра от его полосы пропускания.
/>
Рисунок 2.8 Зависимость времени корреляциипроцесса на выходе первого линейного фильтра от его полосы пропускания.2.3 Анализ прохождения сигнала через нелинейныйэлемент (НЭ)
Нелинейный элементпредставляет собой двухполупериодный квадратичный детектор с характеристикой />
Корреляционная функция откликанелинейного элемента – это математическое ожидание произведения двух значенийотклика НЭ в два различных момента времени />.Учитывая, что для гармонического колебания с равномерно распределенной фазой инормального шума с нулевым средним все нечетные моменты равны нулю, получаем корреляционнуюфункцию отклика НЭ в следующем виде:/>,
где />,
/>,
/>.
Различные слагаемые выражениядля корреляционной функции характеризуют взаимодействие на нелинейности сигналас собой, шума с собой, а также взаимодействие сигнала и шума. Согласно [1],корреляционная функция отклика детектора при воздействии суммы узкополосногосигнала />и стационарногонормального шума с /> определяетсявыражением:
/>. (2.13)
Подставив в (2.13) выражениядля сигнальной и шумовой составляющих, получаем:
/>(2.14)
Математическое ожидание идисперсию отклика НЭ получим аналогично нахождению математического ожидания идисперсии первого линейного фильтра:
/>,
/>.
Спектр мощности на выходе НЭнаходится как прямое преобразование Фурье от корреляционной функции отклика поформуле (2.1) и имеет вид, показанный на рисунке 2.9.
/>
Рисунок 2.9 Спектр мощности навыходе нелинейного элемента.
Поскольку второйлинейный фильтр – фильтр нижних частот (ФНЧ),
то составляющие корреляционнойфункции отклика, соответствующие второй гармонике несущей частоты, можноотбросить. Укороченная (низкочастотная составляющая) корреляционная функцияотклика НЭ имеет следующий вид:
/> (2.15)
Берем прямое преобразование Фурье от укороченнойкорреляционной функции и получаем низкочастотную составляющую спектра мощностина выходе НЭ:
/> (2.16) Графики низкочастотной составляющейспектра мощности на выходе НЭ и соответствующей ей составляющей корреляционнойфункции приведены ниже.
/>
Рисунок 2.10 Огибающаякорреляционной функции сигнала на выходе нелинейного элемента.
/>
Рисунок 2.11 Низкочастотная составляющая спектрамощности сигнала на выходе нелинейного элемента
На основании выражений/>и />, а также (2.6) и (2.7)время корреляции и эффективная полоса низкочастотной составляющей процесса навыходе НЭ определяется следующим образом:
/>,
/>.
Графики полученных зависимостей показаны ниже.
/>
Рисунок2.12 Зависимость дисперсии процесса на выходе НЭ от полосы пропускания первоголинейного фильтра.
/>
Рисунок 2.13 Зависимость времени корреляциипроцесса на выходе НЭ от полосы пропускания первого линейного фильтра.
/>
Рисунок 2.14 Зависимость среднего значения отклика НЭот полосы пропускания первого линейного фильтра.
2.4 Анализ прохождения сигнала через второйлинейный фильтр
Второй линейный элементрадиотехнического звена – фильтр низких частот. АЧХ второго линейного фильтраимеет вид:
/>.
График АЧХ второго линейного фильтрапоказан на рисунке 2.6.
/>
Рисунок 2.15 АЧХ второголинейного фильтра.
Пользуясь (2.5), спектр мощности сигнала на выходевторого фильтра можно определить следующим выражением:
/> (2.17)
График спектра мощности на выходе второголинейного фильтра показан на рисунке 2.16.
/> Рисунок 2.16 Спектр мощности навыходе ЛФ2.
Корреляционная функция навыходе второго линейного фильтра определяется согласно (2.2) как обратноепреобразование Фурье от спектра мощности (2.17). Вычисления интегралов подобнывычислениям, проведенным при нахождении корреляционной функции отклика первоголинейного фильтра. Здесь мы также используем свойства дельта – функции при нахождениипостоянной составляющей, и теорию вычетов при нахождении флуктуационнойсоставляющей. Особенностью взятия вычетов является здесь то обстоятельство, чтопоявляется полюс кратности два. При его вычислении необходимо взятьпроизводную от подынтегральной функции. Еще одна особенность подынтегральныхвыражений в том, что при g=b кратность некоторых полюсовстановится равной трем, и выражения изменяются. При построении графиков точки g=b необходимо избегать. Конечное выражение для корреляционнойфункции выглядит следующим образом:
/>(2.18)
График корреляционной функции отклика второго фильтрапоказан на рисунке 2.17.
/>
Рисунок 2.17 Корреляционная функция сигнала на выходезвена.
Пользуясь соотношениями (2.3)и (2.4) получим математическое ожидание и дисперсию процесса:
/>
/>.
На основании выражений/>и />, а также (2.6) и (2.7)время корреляции и эффективная полоса процесса на выходе второго линейногофильтра определяется следующим образом: />
/>
2.5Расчет основных параметров и зависимостей
При расчетах приняты следующие значения параметров :
/>,
/>,
/>,
/>(для упрощения расчетов),
/>,
/>.
При этом математические ожидания, дисперсии, временакорреляции и эффективные полосы процессов принимают следующие значения:
1. На выходе первого линейногофильтра:
/>,
/>,
/>,
/>;
2. На выходе нелинейного элемента:
/>,
/>,
/>,
/>;
3. На выходе второго линейногофильтра:
/>,
/>,
/>,
/>.
Графики основных зависимостей показаны ниже.
/>
Рисунок 2.18 Зависимость спектральной плотностимощности отклика второго линейного фильтра от его полосы пропускания.
/>
Рисунок 2.19 Зависимость корреляционной функцииотклика второго линейного фильтра от его полосы пропускания.
/>
Рисунок 2.20 Зависимость дисперсии откликавторого линейного фильтра от его полосы пропускания.
/>
Рисунок 2.21 Зависимостьвремени корреляции отклика второго линейного фильтра от его полосы пропускания.
При расширении полосыпропускания второго линейного фильтра им выделяется большая часть спектравходного, поэтому спектр выходного процесса расширяется. Когда полоса фильтрастановится равной полосе процесса, возрастание практически прекращается. Поэтим же соображениям происходит увеличение дисперсии и сужение корреляционнойфункции.
/>
Рисунок 2.22 Зависимостьдисперсии отклика второго линейного фильтра от полосы пропускания первоголинейного фильтра.
/>
Рисунок 2.23 Зависимостьэффективной полосы отклика второго линейного фильтра от полосы пропусканияпервого линейного фильтра.
При расширении полосыпропускания первого фильтра полоса выходного процесса также расширяется вплотьдо полосы пропускания второго фильтра, а затем не изменяется, что соответствуетполученным зависимостям. На рисунке 2.23 при b=g наблюдается скачок, что обусловлено кратностью три одного из полюсов ввыражении для спектра мощности отклика второго линейного фильтра. При этомизменяются выражения для характеристик случайного процесса.
3 Заключение
В результате проделаннойработы произведен расчет прохождения смеси белого шума и высокочастотногоузкополосного колебания через типовое радиотехническое звено на уровнекорреляционных функций и спектральных плотностей мощности. Получены основныехарактеристики процессов на выходе каждого элемента звена, зависимости характеристикэтих процессов от параметров звена.
Наибольшая помехоустойчивость,как следует из результатов работы, достигается при минимальной ширине полоспропускания избирательных элементов или, что одно и то же, максимальнойдобротности. При этом достигается максимальное подавление шумовой составляющейсначала в тракте высокой частоты, а затем, после нелинейного преобразования надетекторе, в тракте низкой частоты. Из полученных зависимостей (смотри графики)следует, что при стремлении полос ФВЧ b и ФНЧ g к нулю происходит уменьшение до нуля дисперсии и эффективной полосыпроцесса на выходе звена; время корреляции стремится к бесконечности.
Полученные результатыпозволяют смоделировать прохождение полезного сигнала на фоне реальных шумов,имеющих место на практике, через типовые радиотехнические устройства. На основеполученных результатов возможно определить требуемое для заданнойпомехоустойчивости отношение сигнал-шум на входе радиотехнической системы,прогнозировать возможную реализацию и поведение откликов отдельных элементовэтих устройств, что является актуальным вопросом в проектировании современныхрадиотехнических систем.
Приближения и допущения,принятые в работе, являются обычными и приемлемыми при расчете реальных радиотехническихустройств. Более точный анализ оказывается гораздо более трудоемким, а зачастуюпросто невозможным.
Список использованной литературы.
1. Бернгардт А.С.Основы статистической радиотехники. Методическое пособие. Томск, ТИАСУР — 1993.
2. Левин Б.Р.Теоретические основы статистической радиотехники. М., «Сов. Радио», 1974.