Федеральноеагентство по образованию
БарнаульскийГосударственный Педагогический Университет
ФакультетМатематики и Информатики
Методическиеособенности изучения темы «Подобные треугольники» в средней общеобразовательнойшколе
(Дипломнаяработа)
Выполниластудентка 11 группы
заочнойформы обучения
Научныйруководитель
К. ф-м. н.,профессор
ПоцелуевНиколай Александрович
(подпись)
Выпускнаяработа защищена
«__»___________________ 2005г.
Оценка_________________
ПредседательГАК
________________________(подпись)
________________________(ФИО)
Барнаул2005
Содержание
Введение
Глава1. Теоретические основы темы «Подобные треугольники»
§1. Преобразование. Преобразование подобия
п.1.1 История возникновения преобразований, преобразованияподобия
п.1.2 Понятие преобразования
п.1.3 Группа преобразований множества. Подгруппа группыпреобразований
п.1.4 Преобразование подобия плоскости. Гомотетия плоскости
п.1.5 Группа преобразований подобия и её подгруппы
п.1.6 Метод подобия
§1.Сравнительный анализ темы «Подобные треугольники» вразличных учебниках по геометрии
§2. Логико-дидактический анализ темы «Подобные треугольники »по учебнику Атанасяна Л.С.
§3. Методические особенности изучения темы «Подобныетреугольники»
§4. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников
§5. Опытная работа
Заключение
Список литературы/>Введение
Искусствоизображать предметы на плоскости с Древних времён привлекает к себе вниманиечеловека, люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта,различные орнаменты, растения, животных. Люди стремились к тому, чтобыизображение правильно отображало естественную форму предмета.
Учение оподобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в ДревнейГреции в 5-4 веках до нашей эры и существует и развивается до сих пор.Например, очень много детских игрушек подобным предметам взрослого мира, обувьи одежда одного фасона выпускается различных размеров. Эти примеры можнопродолжать и дальше. В конце концов, все люди подобны друг другу и какутверждает Библия, создал их бог по своему образу и подобию.
Понятиеподобия, наряду с понятием движения, является одним из важных понятийгеометрии. Оно имеет большое образовательное и практическое значение. Подобиеиспользуется при определении расстояний до недоступных предметов, в устройствахразличных измерительных инструментов и приборов.
В настоящеевремя существует большое количество методической литературы по изучению всредней школе, как геометрии, так и подобных треугольников в частности. Восновном они построены на известных опробованных учебниках, так как во всехучебных пособиях, по геометрии используемых в школе данная тема имеет место. Всвязи с этим возникает проблема исследования, которая состоит в том, чтобыразработать методические рекомендации к изучению темы «Подобные треугольники» вкурсе средней школы.
Использованиепонятия подобные треугольники в школе имеет большое методическое значение:
· идея подобиятреугольников дает эффективный метод решения большого класса задач надоказательство, построение, вычисление;
· доказательство теорем спривлечением подобия значительно проще доказательств, основанных на признакахравенства треугольников. В большинстве случаев эти доказательства не связаны совспомогательными построениями, выполнение которых вызывает значительныетрудности у учащихся;
· решение элементарныхзадач на геометрические преобразования служит хорошим материалом для развитияпространственного воображения учащихся;
· реализация идеи подобныхтреугольников, в обучении способствует формированию научного мировоззрения уучащихся;
· подобие треугольниковдаёт возможность ввести тригонометрические функции острого угла, т. е. новыйвид функциональной зависимости, и значительно расширить класс предлагаемыхучащимся задач.
Частоменяющиеся программы привели к тому, что эта тема мало изучена в методическомплане. Именно поэтому изучению этой темы уделяется мало внимания в школе.Вследствие чего, методика изучения подобных треугольников требует постоянногосовершенствования. Другая причина того, что тема «тяжелая» для учениковзаключается в следующем: трудно переучивать использовать метод подобныхтреугольников при решении задач, поскольку до этого в течении нескольких летосновным средством решения задач являлись признаки равенства треугольников, ане признаки подобия треугольников.
Темы,связанные с подобием в школьных учебниках излагаются по-разному. Поэтому,осознание этого отличия, подбор методов и средств является очень актуальнойпроблемой методики преподавания темы «Подобные треугольники» в школьном курсегеометрии. Эта тема заслуживает внимания и детального изучения.
Цель исследования заключаетсяв выявлении методических особенностей изучения темы «Подобные треугольники» всредней общеобразовательной школе.
Объектомисследования является процесс обучения учащихся геометрии.
Предметомисследования методические особенности изучения темы «Подобные треугольники» всредней общеобразовательной школе.
Гипотезаисследования: если в процессе изучения темы «Подобные треугольники» использоватьспециально разработанную методику, направленную на решение задач устногохарактера, которая будет способствовать развитию учащихся за счет повышенияуровня логического мышления, памяти, речи и внимания, то можно выявитьметодических особенностей изучения темы «Подобные треугольники».
Задачиисследования:
1. Выполнить теоретическийанализ математической, учебной и методической литературы по вопросам выявленияметодических особенностей изучения темы «Подобные треугольники».
2. Разработать доступнуюметодику изучения темы «Подобные треугольники».
3. Организовать и провестиуроки по разработанной методики.
4. Выяснить влияниепроводимых уроков на качество знаний учащихся.
5. Определить методическиеособенности изучения темы «Подобные треугольники».
Для решенияпоставленных задач были использованы следующие методы:
· изучение, анализ,сравнение математической, учебной и методической литературы по проблеме опытнойработы;
· наблюдение задеятельностью учащихся и учителей;
· организация и проведениеуроков по теме;
· количественная икачественная обработка данных, полученных при проведении опытной работы.
Структуруи содержание данной работы составляют: введение, две главы, заключение,библиографический список литературы.
В заключенииподведены итоги проделанной работы и сформулированы выводы.
Вбиблиографическом списке представлены 52 источника. />Глава1. Теоретические основы темы «Подобные треугольники»/> §1. Преобразование. Преобразование подобия/> 1.1 История возникновенияпреобразований, преобразования подобия
Искусствоизображать предметы на плоскости с древних времен привлекало к себе вниманиечеловека. Попытки таких изображений появились значительно раньше, чем возниклаписьменность. Ещё в глубокой древности люди рисовали на скалах, стенах, сосудахи прочих предметах быта различные орнаменты, растения, животных. Длиннаяпрактика подсказала людям, каким правилам надо следовать, чтобы правильновыразить на плоскости желаемый предмет. Так возникли зачатки учения осоответствии и преобразовании. Инженер и архитектор Дезарг в1630 г. впервыеразработал основы математической теории перспективы. Своими трудами он положилначало изучению перспективных преобразований, под которыми в последствии сталипонимать отображение фигуры, данной в одной плоскости, на другую плоскость посредствамцентрального проектирования или ряда последовательных проектирований.
Растущиепотребности технического прогресса требовали научной разработки теориипреобразований, обеспечивающей точность отображения объектов на плоскость ссоблюдением размеров. Возникшая проблема решалась усилиями многих талантливыхлюдей. Большой вклад в дело исследования взаимнооднозначного соответствия наплоскости и в пространстве сделал немецкий геометр Мёбиус (1746-1818). Позже Ф.Клейн (1849-1927) положил различные группы преобразований в основуклассификаций различных геометрий: аффинной (группа аффинных преобразований),проективной (группа проективных преобразований) и т. д. Частным случаемаффинного преобразования является преобразование подобия, в котором растяжение илисжатие происходит равномерно, т. е. одинаково вдоль каждой координатной оси.
Одинаковые поформе, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетскихпамятниках. Учение о подобие фигур на основе теории отношении и пропорции былосоздано в Древней Греции в 5-6 в. в. до н.э. трудами Гиппократа Хеосского,Архита Тарентского, Евдокса Книдского и др.
Символобозначающий подобие фигур, есть не что иное, как повёрнутая латинская буква S-первая буква в слове similes, что в переводе означаетподобие. Свойства подобия, установленные из опыта, издавна широкоиспользовались при составлении планов, карт, при выполнение архитектурныхчертежей различных деталей машин и механизмов. />1.2 Понятие преобразования
Изложениетеории геометрических преобразований начнём с общих определений.
Определение. Отображением f множества X в множество Y называется такоесоответствие, при котором каждому элементу x множества X соответствует вполнеопределённый элемент y множества Y.
/>Oобозначение.f: X /> Y
Элемент y называется образом элементаx, а элемент x называется прообразомэлемента yпри отображении f.
y= f(x)
Определение. Отображение f: X /> Y называется
1) Инъективным(инъекцией), если каждым двум различным элементам множества X соответствуют дваразличных элемента множества Y.
2) Сюръективным(сюръекцией), если f(X)= Y, т. е. каждый элементмножества Yявляется образом, по крайней мере, одного элемента множества X.
3) Взаимно– однозначным или биективным (биекцией), если оно является одновременносюръективным и инъективным.
Определение. Совокупность B всех элементов множестваX, образами которых служатэлементы множества B', являющегосяподмножеством множества Y, называется полным прообразом множества B'при отображении f.
Определение. Если f(X)/>X, то говорят, чтомножество Xотображается в себя. При f(X) =x говорят, что множество X отображается на себя.
Определение.Отображениеf множества X на множество Y называется обратимым (взаимно- обратным), если образы любых двух различных элементов различны. В этом случаесуществует обратное отображение f-1 множества Y на множество X.
Определение.Отображениемножества Xна множество Yназывается взаимнооднозначным, если каждому элементу множества X ставиться в соответствииодин и только один элемент множества Y, и каждый элемент множества Y поставлен в соответствииодному и только одному элементу множества X.
Такимобразом, при взаимнооднозначном отображении множества X на множество Y.
1) каждомуэлементу множества X, ставится в соответствии некоторый элемент множества Y;
2) различнымэлементам множества X, ставится в соответствии различные элементы множества Y;
3) каждыйэлемент множества X поставлен в соответствие некоторому элементу множества Y.
Необходимый идостаточный признак преобразования данного множества – одновременное выполнениедвух условий:
1) Каждыйэлемент множества имеет единственный образ в этом множестве;
2) Каждыйэлемент данного множества имеет единственный прообраз в этом множестве.
Определение.Пусть f и g – два преобразованиямножества Xи для произвольного x/>X, f(х)=y, g(y)=z, причём y/>X, z/>X. Определим отображение />, являющеесяпреобразованием множества X. Преобразование />. Называется композицией (произведением)преобразования f и преобразования g. Пишут />/>=g/>f(/>=g×f).
/>(х)=(g×f)(x)=g(f(x))=g(y)=z
Определение. Два преобразования f1и f2 одного итого жемножества X называютсяравными, совпадающими, если для любого x/>X имеет место f1(x)=f2(x).
Определение.Преобразованиеe множества X называетсятождественным, если для любого x/>X, имеет место e(x)=x. Поэтому для любогопреобразования f множества e/>f=f/>e=e.
Определение. При любом преобразованииf объединение множествотображается на объединение их образов
f (A/>B)=f(A)/>f(B).
Определение. При любом преобразованиипересечение множеств отображается на пересечение образов этих множеств
f (A/>B)=f(A)/>f(B).
/>1.3 Группапреобразований множества. Подгруппа группы преобразований
В геометрииприходится производить не одно, а несколько преобразований, следующих друг задругом. Случай, когда рассматривается совокупность преобразований, обладающаятем свойством, что каждую конечную последовательность преобразований этойсовокупности можно заменить одним преобразованием той же совокупности, ипреобразование, обратное любому из рассматриваемых преобразований, сновапринадлежит данной совокупности. Это называется — группа преобразований.Рассмотрение группы преобразований позволяет выделить ряд геометрическихсвойств. Знание свойств, не меняющихся при преобразованиях той или иной группы,часто позволяет упростить решение конкретных геометрических задач.
Определение.Преобразованиемфигуры /> называется любоебиективное отображение фигуры /> на себя.
Теорема (огруппе преобразований). Множество W всех преобразований фигуры /> есть группа.
Следствие. Множество всехпреобразований плоскости является группой преобразований относительнокомпозиции преобразований.
Определение. Подгруппой V группы W называется подмножество V множества W, являющееся группойотносительно бинарной операции, определенной в W.
Теорема (оподгруппе). Для того чтобы подмножество V группы W было подгруппой,необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:
1. Если />/>W, />/>W, то />/>/>/>V.
2. Если />/>V, то />/>V
/>1.4 Преобразование подобия плоскости.Гомотетия плоскости
Определение. Пусть имеются двепрямоугольные декартовые системы координат Oij и O/i/j/, при этом |i/|=|j/|=k|i|=k|j|=k (k>0). Тогдапреобразование плоскости, которое каждой точки М с координатами (x, y) относительно O/i/j/ ставит в соответствииточку М'с теми же координатами (x, y), но относительно Oij, называется преобразованием подобия плоскости скоэффициентом подобия k.
Изопределения следует, что тождественное преобразование и движение являютсяпреобразованиями подобия.
Основноесвойство преобразования подобия.
Преобразованиеподобия плоскости изменяет расстояние между любыми двумя точками плоскости водном и том же отношении, равном коэффициенту подобия k, т. е. для любых точекМ, N и их образов М',N'выполняется равенство |M/N/|=k/>.
Доказательство. Пусть относительно Oij точки М и N имеют координаты: М(x1, y1), N(x2, y2). Тогда />=/>
Образы М'и N'точек М, Nимеют соответственно те же координаты (x1, y1), (x2, y2) относительно системыкоординатO/i/j/. Найдём:
/>= =/>=/>=/>=/>=/>, так как /> и />.
Свойствапреобразования подобия.
/>Преобразование подобияплоскости всякую прямую отображает в прямую.
/> Преобразование подобияплоскости отображает полуплоскость с границей /> в полуплоскость с границей /> где />.
/> Преобразование подобияплоскости сохраняет простое отношение трёх точек прямой.
/> Преобразование подобияплоскости сохраняет отношение “лежать между”.
/> Преобразование подобияплоскости отображает угол в равный ему угол.
/> Преобразование подобияплоскости отображает отрезок в отрезок, луч в луч.
/> Преобразование подобияплоскости отображает параллельные прямые в параллельные прямые.
Следствие. Преобразование подобияплоскости отображает параллелограмм в параллелограмм.
/> Преобразование подобияплоскости отображает вектор в вектор, сумму векторов в сумму векторов ипроизведение числа на вектор в произведение того же числа на соответствующийвектор.
Теорема. Если преобразованиеподобия fс коэффициентом подобия k задано двумя системами координат Oij иO/i/j/, при этом /> и O/(x,y), то координаты любойточки M(x,y)Oij и её образа M/(x/,y/)O/i/j/ связанысоотношениями:
/> где /> (1)
Доказательствоопирается на определение преобразования подобия, на формулы, связывающиекоординаты одной и той же точки относительно двух прямоугольных декартовыхсистем координат, на разложение вектора по базисам.
Замечание. При /> системы координат Oij и O/i/j/ одинаково ориентированы,а при /> противоположеноориентированы.
Определение.Преобразованиеподобия плоскости, определяемое формулами (1) называется преобразованиемподобия первого рода при /> и преобразованием подобия второго родапри />.
Из основногосвойства преобразования подобия и верного утверждения, обратного ему (еслипреобразование плоскости изменяет расстояние между точками в одном и том жеотношении, равном k>0, то оно является преобразованием подобия с коэффициентомподобия k),следует другое определение преобразования подобия. Определение. Преобразованиемподобия плоскости с коэффициентом подобия k>0 называетсяпреобразование плоскости, изменяющее расстояние между любыми точками в одном итом же отношении, равном k.
Гомотетияплоскости.
Определение.Гомотетиейплоскости с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии />называетсяпреобразованием плоскости, которое всякой точке М плоскости ставит всоответствии точку М/ по закону
/>.
/>Обозначение. /> — гомотетия плоскости сцентром гомотетии О и коэффициентом гомотетии k.
Определение. Гомотетичными называютсяфигуры /> и />=/>.
1) Гомотетичныеточки М и М/ лежат на одной прямой с центром гомотетииО.
2) ТочкиМ и М/ лежат по одну сторону от центра О, если k>0, и – по разныестороны, если k
3) М/N/= |k|MN.
4) Гомотетияплоскости является при:
k=1-тождественнымпреобразованием;
k=-1-центральной симметрией.
Формулыгомотетии с центром в начале координат:
/>, />
Если центргомотетии имеет координаты S(x0, y0), то формулы гомотетии с центром S имеют вид:
/>, />
Если введемобозначения />, /> то получим формулы
/>, />
Основноесвойство гомотетии.
Для любыхточек М, Nи их образов />, /> имеет место равенство:
/>.
Доказательство. Воспользуемсяравенствами:
/>, />, />, /> и найдём
/>.
Следствия.
1) Гомотетияс коэффициентом /> является преобразованием подобия скоэффициентом подобия />, так как из основного свойства следует /> или />.
2) />, если k>0, и />, если k
3) Гомотетияплоскости обладает всеми свойствами преобразования подобия, в частности: прямуюотображает в прямую, параллельные прямые — в параллельные прямые, Изменяет всерасстояния в одном и том же отношении, сохраняет углы.
Характерныесвойства гомотетии.
/> Гомотетия плоскостиимеет одну неподвижную точку – центр гомотетии.
/> Гомотетия плоскостиотображает прямую, проходящую через центр гомотетии, в себя.
/> Гомотетия плоскости (/>) отображает прямую, впараллельную ей прямую, так не проходящую через центр гомотетии.
/> Гомотетия плоскостиотображает окружность, центр которой совпадает с центром гомотетии, вконцентрическую окружность. При этом радиусы окружностей связаны соотношением />.
/> Всякие две неравныеокружности гомотетичны друг другу, при этом, если окружности не являютсяконцентрическими, существуют две гомотетии, отображающие одну из них в другую.
/> />
/> />
/> />
/> Гомотетия плоскостиявляется преобразованием подобия первого рода.
Теорема. Всякое преобразованиеподобия с коэффициентом подобия k можно представить как композицию гомотетии и движения.
/>1.5 Группа преобразований подобия и еёподгруппы
Теорема 1.Множествовсех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемаягруппой подобий.
Доказательство.
/> Если />и /> — преобразования подобияс коэффициентами /> и />, то /> — преобразования подобия с коэффициентом />. Действительно /> является преобразованиемплоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов />, /> Выполняется равенство />. Обозначим /> и />, тогда />, />. По основному свойствупреобразования подобия />, />. Поэтому /> и композиция /> является преобразованиемподобия.
/> Пусть />– преобразование подобияплоскости. Так как /> изменяет всё расстояние в отношение />, то обратное к немупреобразование /> изменяет все расстояния в отношении />.
Следовательно,/> - преобразование подобияс коэффициентом />.
Оба условия /> и /> выполняются.Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группывсех преобразований плоскости, а, значит, и группой.
Определение.Множествовсех подобных между собой фигур называется формой.
Теорема 3.Подгруппамигруппы подобий плоскости являются:
1) Группапреобразований подобия первого рода;
2) Группадвижений и все её подгруппы;
3) Группагомотетий и параллельных переносов;
4) Группагомотетий с одним и тем же центром.
/>1.6 Метод подобия
Метод подобияоказывается удобным при доказательстве теорем или при решении задач. Этимметодом решаются задачи, в которых заданы углы, отношения отрезков и лишьтолько одно данное условие связано с линейными размерами искомой фигуры.Фигуры, удовлетворяющей всем условиям задачи, кроме того, которое связано сразмерами искомой фигуры, подобны между собой. Построив одну из них, а затем, подобравсоответствующим образом, коэффициент подобия, построим искомую фигуру.
Теорема. Медианы треугольникапересекаются в одной точке, каждая медиана делиться этой точкой в отношении 2:1(считая от вершины треугольника).
Задача. Построить треугольникАВС, если даны: />, отношение сторон АВ: ВС =m:n (m, n-данные отрезки) имедиана к стороне АС.[21]
Глава 2.Методика изучения темы «Подобные треугольники» в школьном курсе геометрии/> §1.Сравнительный анализ темы «Подобныетреугольники» в различных учебниках по геометрии
В даннойглаве предлагается сравнительный анализ темы по следующим учебникам:
1. Атанасян Л.С. Геометрия7-9;
2. Погорелов А.В. Геометрия7-11;
3. Александров А.Д.Геометрия 7-9;
4. Бевз Г.П. Геометрия 7-11;
5. Шарыгин И.Ф. Геометрия7-9.
Рассматриваемыеучебные пособия, такие как Атанасяна Л.С. Погорелова А.В. чаще всегоиспользуются в школе, учебник Александрова А.Д. интересен тем, что используетсяв классах с углубленным изучением математики, учебник Шарыгина И.Ф. –это новыйучебник, который ставиться в противовес учебнику Бевза Г.П. немного устаревшемуи практически не применяющемуся на практике.
Материалструктурируется по следующему плану, в который включаются основные вопросыанализа:
1. Понятие преобразованиеподобия и его свойства;
2. Гомотетия и её свойства;
3. Определение подобныхфигур, свойства подобных фигур;
4. Определение подобныхтреугольников;
5. Признаки подобиятреугольников;
6. Метод подобия;
7. Система задач по даннойтеме;
Понятиепреобразование подобия и его свойства.
Врассмотренных учебниках понятие преобразование подобия и его свойства чащевсего не изучается, только в учебниках Атанасяна Л.С., тема, изучаетсяиндуктивно и рассмотрению подобных треугольников не предшествует. Данныепонятия прилагаются в рамках других тем изучаемых позже.
Например, вучебнике Александрова А.Д. предлагаются следующие определения преобразованияподобия: «Подобием называется преобразование, при котором расстояния изменяютсяв одном и том же отношении, т.е. умножается на одно и тоже число, называемоекоэффициентом подобия», «Подобием фигуры с коэффициентом k>0 называется такое еёпреобразование, при котором любым двум точкам X и Y фигуры сопоставляютсятакие точки X΄ и Y΄, что X΄Y΄=k*XY». Рассмотренные определения вместе составляют аналогичноеопределение в учебнике Погорелова «Преобразование фигуры F в фигуру F΄, называетсяпреобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояние между точкамиизменяется в одно и тоже число раз. Произвольные точки X и Y фигуры F при отображении подобияпереходят в точки X΄ ,Y΄ фигуры F΄, то X΄Y΄=k*XY, причём число k одно и тоже для всехточек Xи Y, число k называется коэффициентомподобия».
В учебныхпособиях рассмотренных выше определения преобразования подобия не выделяются ине привлекают внимание учащихся.
Совершенноиначе вводится определение преобразования подобия в учебном пособии Бевза Г.П.,«Геометрическое преобразование, отображающее фигуру на подобную ей фигуру»,автор опирается на определение подобных фигур. Совершенно разные свойствапреобразования подобия выделяет каждый автор, только два свойства общее длявсех «Подобие сохраняет величину угла и отрезок переводит в отрезок».
В учебникеАлександрова А.Д. дополнительно приводятся:
10Подобие переводит треугольник в треугольник. Соответственные стороны этихтреугольников пропорциональны, а соответственные углы равны
20В результате подобия с коэффициентом k площадь многоугольной фигуры умножается на k2
В учебномпособии Погорелова свойства рассмотрены в виде утверждения: «Преобразованиеподобия сохраняет простое отношение трёх точек; переводит прямые в прямые;полупрямые в полупрямые».
Гомотетияи её свойства.
При введениипонятия гомотетии и её свойства так же существуют различия.
Гомотетия в учебникеАлександрова А.Д. определяется с использованием вектора: «гомотетия с центром Ои коэффициентом k (отличным от нуля) – это преобразование, при котором каждой точкеX сопоставляется такаяточка X΄, что />=k/>».
Понятиегомотетии вводиться конструктивно в учебнике Погорелова: «Пусть F-данная фигура и O-фиксированная точка.Проведём через произвольную точку X фигуры F луч OX и отложим на нём отрезок OX΄, равный />, где k — положительное число.Преобразование фигуры F, при котором каждая её точка X переходит в X΄, построенную указаннымспособом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентомгомотетии, фигуры F и F΄ называются гомотетичными».
Аналогичновводиться гомотетия в учебнике Бевза Г.П.
Такие общиесвойства гомотетии как:
10Гомотетия сохраняет величину угла.
20Гомотетия отрезок переводит в отрезок
рассматриваютсяв учебных пособиях Александрова А.Д., Бевза Г.П., Атанасяна Л.С., но есть идополнительные, например автор Александров А.Д., дополняет рассмотренные вышесвойства следующими:
30Основное свойство гомотетии: при гомотетии с коэффициентом k каждый вектор умножаетсяна k.
40Гомотетия треугольник переводит в треугольник, стороны этих треугольниковпропорциональны, а соответственные углы равны.
Автор БевзГ.П. дополняет следующие свойства, которые явно не выделяются в учебнике:
30При гомотетии прямая переходит в прямую, луч в луч.
40Гомотетия изменяет размер фигуры, не изменяет её формы.
В учебникеПогорелова А.В. свойства гомотетии не рассматриваются, только есть небольшоезамечание о том, что гомотетия и подобие обладают аналогичными свойствами.
Определениеподобных фигур, свойства подобных фигур.
Определениеподобных фигур в учебнике Погорелова А.В. не выделено курсивом и сливается стекстом, таким образом, не привлекает внимания учащихся. «Две фигуры называютсяподобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия». Далеевводиться обозначение подобных фигур.
Практическианалогично, очень наглядно и подробно вводиться определение подобных фигур вучебном пособии Александрова А.Д. «Фигура F΄ называется подобнойфигуре Fс коэффициентом k, если существует подобие с коэффициентом k, переводящее F в F΄». Далее делается вывод,что подобные фигуры имеют одинаковую форму, но различные размеры, что оченьважно для учащихся при понимании темы.
С помощьюкомпозиции гомотетии и движения вводиться определение подобия фигур в учебникеБевза Г.П… «Две фигуры называются подобными, если с помощью композициигомотетии и движения одну из них можно отобразить на другую».
Следуетзаметить, что в учебном пособии Атанасяна Л.С. подобные фигуры изучаются послетемы подобные треугольники. По нашей теме есть небольшое упоминание о том, что«в геометрии фигуры одинаковой формы называются подобными» и приводиться парупримеров.
Аналогичновводиться определение подобных фигур в учебнике Шарыгина И.Ф… Автор делаетссылки на начало главы «Подобие» где приводиться много примеров подобных фигур.
Только вучебнике Погорелова А.В. встречаются свойства подобных фигур:
«Если фигура F1 подобна фигуре F2, а фигура F2 подобна фигуре F3, то фигуры F1 и F3 подобны».
Во всехрассмотренных учебниках определение подобных фигур предшествует изучениюподобных треугольников.
Определениеподобных треугольников.
Что касаетсяподобия треугольников, то в учебнике Атанасяна Л.С. они определяются с опоройна понятие сходственных сторон треугольников и равенство углов: «Дватреугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороныодного треугольника соответственно равны сторонам другого».
В учебникеШарыгина И.Ф. отличие состоит в том, что здесь используются понятиесоответствующих, а не сходственных сторон, а так же вводятся коэффициентподобия треугольников: «Два треугольника называются подобными, если у них равныуглы, а соответствующие стороны пропорциональны».
Признакиподобия треугольников.
Признакиподобия треугольников рассматриваются во всех учебных пособиях и формулируютсяследующим образом:
Первыйпризнак: «Если два угла одного треугольника равны двум углам другоготреугольника, то такие треугольники подобны».
Второйпризнак: «Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонамдругого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такиетреугольники подобны».
Третийпризнак: «Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонамдругого, то такие треугольники подобны».
Каждый автордоказывает признаки по определённому плану. Например, в учебнике ПогореловаА.В. можно выделить следующие этапы:
1) Треугольник A1B1C преобразуется с помощьюподобия с коэффициентом k, например гомотетии (/>) и получаем треугольник A2B2C2.
2) Доказываем равенствотреугольников ABC и ABC2.
3) Доказываем подобиетреугольников A1B1C1 и ABC
После каждого признакаавтор предлагает решение задачи на использование изученного признака.
Атанасян Л.С.доказывает признаки подобия иначе:
1) Рассматриваетсятреугольник ABC2
2) Доказываемравенство треугольников ABC и ABC2
3) Доказываем, чтотреугольник ABC2 подобен треугольнику A1B1C1 (по определению).
В учебникеАлександрова А.Д. признаки доказываются различно, первый признак доказываетсяаналогично плану учебника Погорелова А.В… Для доказательства второго признакаиспользуется теорема синусов. При доказательстве третьего признака используетсяобобщённая теорема Пифагора.
Следующийплан доказательства можно проследить в учебном пособии Бевза Г.П.:
1) Гомотетия с коэффициентомk переводит треугольник A1B1C1 в треугольник A2B2C2, равный треугольнику ABC
2) Доказываем, что треугольникиABC A2B2C2 равны
3) Доказываем, чтотреугольник A2B2C2 гомотетичен треугольнику A1B1C1.
Автор ШарыгинИ.Ф. в своём учебном пособии перед введением признаков подобия рассматриваеттеорему о подобных треугольниках: «Параллельные прямые, пересекающие стороныугла, образуют с его сторонами подобные между собой треугольники».
Последоказательства теоремы рассматриваются признаки подобия. Каждый признак доказывается,с использованием признаков равенства треугольников. Только в учебнике данногоавтора вводятся признаки подобия прямоугольных треугольников.
Методподобия.
Метод подобияв школе чаще всего явно не выделяется, некоторые авторы учебников оченьподробно останавливаются на этом методе.
В учебникеАлександрова рассматривается применение подобия для решения задач и«доказательства теорем». В частности решаются задачи на построение четвёртогопропорционального отрезка, квадрата, расположенного в прямоугольномтреугольнике, так, что три его вершины лежат на катетах, а четвёртая нагипотенузе; доказывается теорема о точке пересечения медиан треугольника.
В учебникеАтанасяна Л.С. рассматривается теорема о средней линии треугольника; точкапересечения медиан треугольника; о пропорциональности отрезков в прямоугольномтреугольнике; практическое приложение подобия треугольников (задачи напостроение, измерительные работы на местности).
Системазадач по данной теме.
По теме«Подобные треугольники» в учебниках Бевза Г.П., Атанасяна Л.С., ПогореловаА.В., Шарыгина И.Ф., Александрова А.Д. рассматривается большое количество задачна построение, на доказательство, на вычисление отношений и на решение. Задачив процессе обучения выполняют дидактические, познавательные, развивающие ивоспитательные функции. Относительно перечисленных функций будет проводитьсясравнительный анализ систем упражнений.
В каждомучебнике есть особенности, которые отличают их друг от друга. Например, вучебнике Бевза Г.П. большое внимание уделяется заданиям на построение фигур,гомотетичных данным фигурам. Только в этом учебнике предлагаются практическиезадания такие, как: «Вырежьте из бумаги две подобные фигуры в форме буквы «Г» иразместите их на столе так, чтобы они оказались гомотетичными относительнонекоторого центра. Сколькими способами можно это сделать? Изменяются ли приэтом коэффициенты гомотетии? Разместите эти фигуры так, чтобы они былигомотетичными».
Большинствозадач дидактического характера рассматриваются в учебном пособии Шарыгина И.Ф.,есть несколько задач несущие развивающую функцию, «Какие треугольники можноразрезать на два подобных между собой треугольника» и так же задачипознавательного характера: «Докажите, что диагонали трапеции вместе соснованиями образуют два подобных треугольника». Мало задач по готовымчертежам. Упражнения расположены в разноброс не соответствуя последовательностиизложения теоретического материала, что благотворно влияет на умственнуюдеятельность учащихся.
В учебникеАтанасяна Л.С. предлагаются задачи с решениями. Большое внимание уделяетсязадачам несущие дидактическую функцию. Очень интересные познавательные задачи:«Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равноотношению высот, проведённых к этим сторонам». Хорошо подобраны развивающиезадачи: «План земельного участка имеет форму треугольника. Площадь изображённогона плане треугольника равна 87,5см2. Найдите площадь земельногоучастка, если план выполнен в масштабе 1:100000». В учебнике данного автораперед группой задач указан номер теоретического пункта, что даёт подсказкуучащимся.
Задачи вучебнике Погорелова А.В. предлагаются от более простой к сложной. Много задачпо готовым чертежам. Большинство упражнений познавательного характераспособствующие получению новых фактов, которые используются при решении другихзадач, например: «Докажите подобие равнобедренных треугольников с равнымиуглами при вершинах противолежащих основаниям». Задач развивающей функциипрактически нет. Аналогично учебнику Атанасяна Л.С. задачи располагаютсяотносительно пунктам изученного теоретического материала.
Система задачучебника Александрова А.Д. включает в себя в основном задачи несущиедидактическую функцию, а так же задачи познавательные: «На одной стороне углаотложили равные отрезки, через их концы провели параллельные прямые,пересекающие стороны угла. Докажите, что на другой стороне угла получаютсяравные отрезки». При доказательстве этого утверждения учащие знакомятся стеоремой Фалеса. Большое разнообразие задач с использованием готового рисунка.Автор предлагает интересные развивающие задачи: «На каком удалении от вас находитьсячеловек, идущий перпендикулярно линии наблюдения? В одной из книг даётся такойответ: «Закройте левый глаз, вытяните руку вперёд и отогните большой палец.Уловив момент, когда палец прикроет фигуру идущего вдали человека, закройтеправый глаз, а левый откройте и сосчитайте, сколько шагов сделает человек дотого момента, когда палец вновь прикроет фигуру. Увеличив полученное число в 10раз, вы узнаете расстояние от него в шагах» На чём основан такой приём?
Во всехрассмотренных учебниках тема «Подобные треугольники» вводиться различно,какой-то материал лучше, какой-то хуже, нет идеальных учебных пособий. Наиболеедоступный, понятный, содержащий большое количество рисунков и упражненийразличного характера является учебник Атанасяна Л.С… Дальнейшая работаосновывается на его материале.
/>§2. Логико-дидактический анализ темы «Подобные треугольники » поучебнику Атанасяна Л.С.
Тема подобныетреугольники в учебнике Атанасяна Л.С. вводиться в 8 классе и включает в себячетыре параграфа, каждый из которых делиться на пункты.
§1.Определение подобных треугольников.
§2. Признакиподобия треугольников.
§3.Применение подобия к доказательству теорем и решению задач.
§4.соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
В первом параграфевводятся такие новые понятия как «пропорциональные отрезки», «сходственныестороны», «подобные треугольники», «коэффициент подобия».
Понятиепропорциональных отрезков вводиться описательно с использованием ранееизученного факта (об отношении двух отрезков), и рассматривается конкретныйпример на применение нового определения. Далее оговаривается, что понятиепропорциональности может вводиться и для большого числа отрезков.
Прежде чемввести определение подобных треугольников предлагается разобраться с подобием вреальной и повседневной жизни, и с подобием фигур в геометрии вообще. Послеэтого используя рисунок двух треугольников и равенство углов описательновводиться определение сходственных сторон. После словесной формулировкипредлагается другая запись с использованием буквенной символики, таким образом,подобие треугольников даётся не на основе преобразования подобия, а черезравенство углов и пропорциональности сходственных сторон. Пусть треугольникиАВС и А1В1С1 подобны тогда /> (1); /> (2) из последнегоотношения вытекает понятие коэффициента подобия.
Рассмотреввсе основные понятия анализируемого параграфа, переходят к изучению следующейтеоремы: «Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициентаподобия», доказательство основано на применение теоремы об отношении площадейтреугольника, имеющих по равному углу и определение подобных треугольников.
Во второмпараграфе рассматриваются только признаки подобия треугольников сдоказательством и отсутствуют новые понятия.
Оказывается,что подобие треугольников можно установить, проверив только некоторые изравенств определения подобных треугольников (1) или (2). Для доказательстваэтого факта рассматриваются три признака подобия треугольников. Первый признакдоказывается, опираясь на теорему о сумме углов треугольника и на ранееизученную теорему об отношении площадей треугольников имеющих по одному равномууглу. Второй и третий признак доказывается по общей схеме:
1. Рассматриваетсятреугольник АВС2;
2. Доказывается,что треугольники АВС2 и А1В1С1подобны (по первому признаку);
3. Доказываетсяравенство треугольников АВС и АВС2.
В изложенномматериале третьего параграфа рассматриваются новые понятия: «средняя линия треугольника»,«среднее пропорциональное», «метод подобия», каждое из определений вводитьсяописательно.
Именно в этомпараграфе доказывается теорема о средней линии треугольника и на основании этойтеоремы решается очень важная задача геометрии: «Медианы треугольникапересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1,считая от вершины».
Длядоказательства следующих утверждений
10Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, естьсреднее пропорциональное между отрезками, на которые делит гипотенуза этойвысоты;
20Катет прямоугольного треугольника, есть среднее пропорциональное междугипотенузой и отрезком гипотенузы, заключённым между катетом и высотой,проведенной из вершины прямого угла; решается задача: «Высота прямоугольноготреугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на дваподобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику». Решениеопирается на рассмотрение различных треугольников и доказательства их подобия.
Дляформирования практической значимости подобия треугольников рассматриваетсяметод подобия, после описания, которого предлагаются задачи с решениями.
Уже впоследнем пункте вводиться понятие подобия произвольных фигур и коэффициентподобия фигур. Эти понятия вводятся через сопоставление двух точек M, N однойфигуры F,точкам M1, N1 другой фигуры F1 и />, где k-одно и тожеположительное число для всех точек. Далее делается вывод, что каждая точкафигуры F1 оказывается сопоставленной какой-то точке фигуры F. Здесь же предлагаетсяспособ построения подобных фигур.
В последнемпараграфе анализируемой темы учащиеся знакомятся с элементами тригонометрии,необходимые для решения прямоугольных треугольников. Здесь вводятся новыепонятия синуса, косинуса, тангенса. Их определения даются через отношениясторон прямоугольного треугольника друг к другу. Причём тангенс определяетсякак отношение синуса к косинусу. При рассмотрении данных понятий вводятся ихобозначение. Далее формулируется и доказывается утверждение о том, что изравенства острых углов следует равенство значений тригонометрических функцийсоответствующих данным углам. Сначала доказывается подобие треугольников, изкоторых следует пропорциональность сходственных сторон треугольников, пользуясьполученными равенствами, получаем доказываемый материал. Здесь же доказывается sin2A+cos2A=1 называемое основным тригонометрическимтождеством. При доказательстве опираются на новые понятия синуса, косинуса и натеорему Пифагора. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 300, 450, 600 находятся через основное тригонометрическоетождество, Через теорему о катете лежащем против угла в 300, черезтеорему Пифагора. Полученные результаты отображены в таблице. Материал,связанный с подобием, позволяет содержательно реализовать межпредметные связи салгеброй (пропорциональность, уравнения, квадратичные корни) и с физикой(например, геометрическая оптика). В систему упражнений включено более 50задач. Большая часть направлена на прямое или опосредованное применение теории.Много задач познавательного характера, способствующие получению новых фактов,которые используются при решении других задач (№534, 537, 569,…), задачи спрактическим содержанием (№546, 579, 580, 581, 583,…).
Изучая тему«Подобные треугольники», можно подробно остановиться на примерах из реальногомира, необходимо рассказать об истории возникновения и развития подобия,подробно рассказать легенду о Фалесе, который измерил высоту пирамиды безвсяких приборов по отбрасываемой ею тени. Познакомить учащихся с золотымтреугольником, золотым прямоугольником, золотым сечением, которое являетсяодним из удивительно красивых объектов, интерес к которым проявляли учёные,художники на протяжении многих веков.
/>§3. Методические особенности изучения темы«Подобные треугольники»
Формированиепонятия пропорциональные отрезки на прямую связано с подобием треугольников,именно через это понятие прокладывается логический мостик к определениюкоэффициента подобия. Для полного понимания необходимо решать как можно большезадач вида №534.
Прирассмотрении подобных треугольников важное условие, накладываемое на порядокзаписи вершин подобных треугольников, позволяющее (как и в случае равныхтреугольников) непосредственно из условия /> указать, какие именно углы равны: /> и какие стороныпропорциональны, это полезно так же и для контроля правильности записипропорциональных сторон с целью предупреждения ошибок учащихся.
Для тогочтобы выработать соответственный навык у учащихся, полезно решать устно задачитипа:
1. />, AB=3см, BC=4см, AC=6см, A1B1=12см. Вычислить B1C1и A1C1.
2./>, />, чему равны />? [/>].
Отношениеплощадей подобных треугольников необходимо не только для решения многих задач,но и для познавательной деятельности позволяющей осмыслить тот факт, что«отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициентаподобия».
Особоевнимание следует обратить на первый признак подобия треугольников, так как онлежит в основе доказательства двух других признаков, а, кроме того, чаще другихприменяется при решении задач. Общий план доказательства имеют второй и третийпризнак:
1.Рассматриваетсятреугольник АВС2;
2.Доказывается, чтотреугольники АВС2 и А1В1С1 подобны(по первому признаку);
3.Доказывается равенство треугольниковАВС и АВС2.
Поэтому можнопервый и второй признак доказать самому учителю, а третий самостоятельно илипервый и третий признак, а второй самостоятельно, при этом можно составить сучащимися приведённый выше план.
Признакиможно обозначить традиционно номерами, а можно проводить ссылки по содержанию:по равенству двух углов, по пропорциональности двух сторон и равенству угловмежду ними, по пропорциональности трёх сторон.
В результатеизучения темы учащиеся должны знать определение подобных треугольников,формулировки признаков подобия треугольников, уметь воспроизводитьдоказательства признаков в ходе изучения текущего материала, применять признакиподобия при решении задач.
Чтобыпоказать применение подобия треугольников при доказательстве теорем, решенииразнообразных задач, измерительных работ на местности изучается параграф оприменении подобия, полезно повторить с учащимися второй признак подобиятреугольников и познакомить с идеей доказательства теоремы о средней линиитреугольника, и решить по готовым чертежам задачи устного характера.
Послерассмотреть определение средней линии треугольника и сформулировать теорему осредней линии треугольника, а учащимся можно предложить провести доказательствосамостоятельно.
Изучениепункта пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике можноорганизовать: по готовым чертежам доказать подобие предложенных различныхтреугольников, а затем как следствие из доказанного обосновать утверждение 10и 20. Перед тем как приступить к решению задач на построениеметодом подобия, желательно напомнить учащимся основные задачи на построение:Начертите остроугольный треугольник АВС. Постройте: медиану АМ, биссектрису ADи высоту AH треугольника АВС;
a) прямуюBN, параллельную медиане AM.
(Необязательно чтобы учащиеся выполняли все построения циркулем и линейкой,достаточно, если они укажут в каждом случае последовательность выполненияопераций). На последнем из уроков, необходимо рассмотреть материал раздела«Измерительные работы на местности», в конце урока желательно провестинебольшую беседу (10 минут) о подобии произвольных фигур.
Тематическоепланирование
№
пункта
Название параграфа или пункта
Количество часов
Глава 1. Подобные фигуры 19
§1. Определение подобных треугольников. 2 56 Пропорциональные отрезки 1
57
58
Определение подобных треугольников
Отношение площадей подобных треугольников 1
§2. Признаки подобия треугольников 5 59 Первый признак подобия треугольников 2 60 Второй признак подобия треугольников 1 61 Третий признак подобия треугольников 1
Решение задач по теме 1
Контрольная работа 1
§3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач 7 62 Средняя линия треугольника 2 63 Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике 2 64 Практические приложения подобия треугольников (решение задач на построение) 1
64
65
Практические приложения подобия треугольников (измерительные работы на местности)
Подобие произвольных фигур 2
§4. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника 3 66 Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника 1 67
Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 300, 450, 600. 1
Решение задач по теме 1
Контрольная работа 1 />§4. Подобие треугольников. Признаки подобиятреугольников
Отношениеотрезков AB и CD называется отношение их длин при данном выборе единицы измерения;т. е. число />. Это число не зависит от выбора единицыизмерения [5].
Пусть втреугольниках АВС и А1В1С1 углы соответственноравны: />, />, />. В этом случае стороныАВ и А1В1, ВС и В1С1, СА и С1А1называются сходственными.
Определение. Два треугольниканазываются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одноготреугольника пропорциональны сходственным сторонам другого./>
/>, />, />, (1)
/> (2)
Обозначение. />АВС~/>А1В1С1.
/>Из определения подобныхтреугольников непосредственно вытекает, что если два треугольника равны, то ониподобны; если один треугольник подобен другому, то и второй треугольник подобенпервому; если первый треугольник подобен второму, а второй третьему, то первыйтреугольник подобен третьему треугольнику.
Подобиетреугольников можно установить, проверив только некоторые из равенств (1) и(2).
Первыйпризнак подобия треугольников.
Теорема 1.Если два угла одноготреугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольникиподобны.
Доказательство. Пусть АВС и А1В1С1два треугольника, у которых />, />.
По теореме осумме углов треугольника /> />, поэтому, />. Таким образом, углы треугольника АВСсоответственно равны углам треугольника А1В1С1.Так как /> и />, то по следствию (Еслиугол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадейэтих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равныеуглы.).
/> и />.
Из этихравенств получаем: />. Аналогично используя равенства />, />, получим />. Итак, сходственныестороны треугольников АВС и А1В1С1 пропорциональны,следовательно, треугольники подобны.
Второйпризнак подобия треугольников.
Теорема 2. Если две стороны одноготреугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы,заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Доказательство. Пусть АВС и А1В1С1– два треугольника, у которых />, />. Докажем, что />АВС~/>А1В1С1.
Для этого,учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно доказать, что />.
От луча АВ вполуплоскость, не содержащую точку С, отложим угол 1, равный углу А1,а от луча ВА в туже полуплоскость отложим угол 2, равный углу В1.
Т. к. />, то />, поэтому стороны углов 1и 2, не принадлежащие прямой АВ, пересекаются в некоторой точке С2(рис. б). Треугольники АВС2 и А1В1С1подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому />. С другой стороны, поусловию теоремы />. Из этих двух равенств получаем: АС = АС2.Следовательно, треугольники АВС и АВС2 равны по первому признакуравенства треугольников (АВ – общая сторона; АС = АС2,/>, т. к. /> и/>).Отсюда следует, что />, а т. к. />, то />.
Третийпризнак подобия треугольников.
Теорема 3. Если три стороны одноготреугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, тотреугольники подобны.
Доказательство.ПустьАВС и А1В1С1 – два треугольника, стороныкоторых пропорциональны:
/> (3)
Докажем, что />АВС~/>А1В1С1. Для этого,учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что />.Аналогично доказательству предыдущей теоремы (рис. б) построим треугольник АВС2так, чтобы />, />, />. Треугольники АВС2 и А1В1С1подобны по первому признаку подобиятреугольников, поэтому />.Сравнивая эти равенства с равенством (3), получаем: ВС=ВС2, СА=С2А.Следовательно, треугольники АВС и АВС2 равны по третьему признакуравенства треугольников. Отсюда следует, />, а т.к. />,то />.Таким образом, />АВС~/>А1В1С1 по второму признакуподобия треугольников.
Рассмотренныепризнаки подобия треугольников являются основными признаками, имеются и другиепризнаки, позволяющие установить подобие треугольников на основе равенствакаких — то углов и пропорциональности каких — то отрезков или величин связанныес треугольниками.
ТреугольникиАВС и А1В1С1 подобны, если выполняется хотя быодно из условий.
1.АВ>АС, />, />;
2./>, />;
3./>, где BM, B1M1 — медианы треугольников;
4. />, />, где BH и B1H1 высоты треугольников.
/>§5. Опытная работа
Цельопытной работы: выявление методических особенностей изучения темы «Подобныетреугольники» в средней школе.
Идея: для выявленияметодических особенностей необходимо провести несколько уроков по разработаннойметодики, в конце обучения провести контрольную работу, при анализе которойможно судить о достижении цели.
Нами былаизучена документация: журналы, характеристики учеников; проводились беседы сучителями, директором школы с целью знакомства с классом составление о нёмпервичных представлений.
Условияразвития: опытнаяработа проводилась в средней школе №1 Завьяловского района села Завьялово в 8классе. Состав класса 23 человека, успеваемость средняя (13 человек учатся наотлично и хорошо), учащиеся активны в познавательной деятельности, трудолюбивы,но не внимательны.
Проанализировавтематический план на период прохождения педагогической практики, в связи сограниченностью во времени, опыт проводился в ходе 5 уроков по следующим темам«Определение подобных треугольников», «Первый признак подобия треугольников»,«Второй признак подобия треугольников», «Решение задач», «Контрольная работа».
Рабочаягипотеза: еслив процессе изучения темы «Подобные треугольники» использовать специальноразработанную методику, направленную на решение задач устного характера,которая будет способствовать развитию учащихся за счет повышения уровнялогического мышления, памяти, речи и внимания, то можно выявить методическиеособенности изучения темы «Подобные треугольники».
Основныезадачи:
1) Выполнить теоретическийанализ математической, учебной и методической литературы по вопросам выявленияметодических особенностей изучения темы «Подобные треугольники».
2) Создать доступнуюметодику изучения темы «Подобные треугольники».
3) Выяснить влияниепроводимых уроков на качество знаний учащихся.
4) Определить методическиеособенности изучения темы «Подобные треугольники».
Для решенияпоставленных задач были использованы следующие методы:
· изучение, анализ,сравнение математической, учебной и методической литературы по проблеме опытнойработы;
· наблюдение задеятельностью учащихся и учителей;
· организация и проведениеуроков по теме;
· количественная икачественная обработка данных, полученных при проведении опытной работы.
Экспериментальныематериалы: разработки 5 уроков включающие в себя текст контрольной работы,наглядный материал для организации устной работы.
Ход: на уроке по теме«Определение подобных треугольников» учащиеся знакомятся с понятием, термином иопределением подобных треугольниках. Вспоминают, в ходе устной работы,известные знания о треугольниках. Осмысляют и первично закрепляют учебныйматериал решением задач несущих дидактическую функцию. На следующем урокеучащиеся знакомятся с формулировкой и доказательством первого признака подобиятреугольников. Вспоминают в ходе устной работы, ранее изученные сведения накоторые, опирается доказательство признака. Осмысляют и первично закрепляютучебный материал решением задач несущих дидактическую функцию. Проводитсясамостоятельная работа с целью определения уровня усвоения знаний. В ходеизучения второго и третьего признака учащиеся решают много устных задач поготовым чертежам с целью развития у учащихся логического мышления, памяти, речии внимания, а так же для повторения изученного материала. На уроне посвящённомурешению задач осуществляется вторичное осмысление уже известных знаний,выработка умений и навыков по их применению. Проводится тест – самоконтроль сцелью выявления уровня обученности учащихся. На пятом уроке поуровневаяконтрольная работа, которая позволяет закрепить и систематизировать знания, атак же определить степень и качество усвоения материала.
/>Результаты: после обработкирезультатов контрольной работы (оценка по 5-ой шкале) проведённой вэкспериментальном классе, отметки, выставленные в порядке возрастания,составляют следующий вариационный ряд: 222 333333 4444444444 5555
Для удобствааналогичные данные обычно представляют в табличной форме.
Частотноераспределение отметок учащихся за контрольную работуВариант «2» «3» «4» «5» Частота 3 6 10 4
Такимобразом, качество знаний в данном классе 61%.
Аналогичнорассуждая строиться полигон распределения по результатам контрольной работы вклассе, в котором не проводилась разработанная методика. Здесь качество знаний– 32%.
Если сравнитьполученные результаты, то в экспериментальном классе результаты лучше.
Вывод:в ходе проделанной работы были выявлены методические особенности темы, которыеранее не были замечены и учтены. Ошибки, допускаемые при приведенииразработанной методики, придется корректировать учителю по средстваминдивидуальных занятий. В целом опыт показал, что устные задания способствуютхорошему усвоению материала, повышению работоспособности учащихся, появляетсяинтерес к предмету, что способствует познавательной активности, развитию речи испособности не бояться рассуждать всё это благотворно влияет на весь процессобучения в целом. Следует учитывать, что избыток устных упражнений приводит кнедостаточному количеству времени на решение письменных задач.
Темаурока: Определение подобных треугольников
Целиурока:
· ввестипонятие, термин и определение подобных треугольников, закрепить данные знанияпри решении задач;
· развиватьсвязную математическую речь, логическое мышление;
· воспитыватьмотивацию к учению.
Тип урока: изучение новогоматериала
Формыработы на уроке: фронтальная, работа в парах, устная, коллективная, письменная.
Оборудование:учебникГеометрия 7-9 Л. С. Атанасяна, карточки с заданиями для устной работы в парах,чертежи для устной работы.
Планпроведения урока
I.Организационныймомент (1 мин)
II.Подготовительныйэтап (15 мин)
III.Изучение нового материала (10 мин)
IV.Закреплениеизученного материала (15 мин)
V.Подведениеитогов (2мин)
VI.Домашнеезадание (2 мин)
Ход урока
I. Организационный момент
Цель: создатьобстановку для нормальной работы, психологически подготовить учащихся к работена уроке.
Деятельность:приветствие учащихся, проверка готовности к уроку, выяснение отсутствующих.
II. Подготовительный этап
Цель:активизировать познавательную деятельность учащихся, подготовить их к изучениюнового материала.
Деятельность:Учитель Ученик
Мы с вами уже почти 2 года изучаем геометрию. В курсе геометрии мы познакомились с новыми фигурами, их свойствами. Но одной фигуре мы уделяли больше всего внимания. Как вы думаете, о какой фигуре идет речь?
Сейчас я предлагаю провести аукцион, посвященный треугольнику. Давайте попробуем вспомнить все, что нам известно о треугольнике.
Оказывается, это еще очень маленькая часть того, что мы должны знать и узнаем в будущем. Я хочу прочитать вам маленькую притчу.
“Усталый пришел северный чужеземец в страну Великого Хапи. Солнце уже садилось, когда он подошел к великолепному дворцу фараона, что-то сказал слугам. Те мгновенно распахнули перед ним двери и провели его в приемную залу. И вот он стоит в запыленном походном плаще, а перед ним на золоченом троне сидит фараон. Рядом стоят высокомерные жрецы, хранители вечных тайн природы.
— Кто ты? – спросил верховный жрец?
— Зовут меня Фалес. Родом я из Милета.
Жрец надменно продолжал:
— Так это ты похвалялся, что сможешь измерить высоту пирамиды, не взбираясь на нее? – жрецы согнулись от хохота. – Будет хорошо, — насмешливо продолжал жрец, — если ты ошибешься не более, чем на сто локтей.
— Я могу измерить высоту пирамиды и ошибусь не более чем на пол-локтя. Я сделаю это завтра.
Лица жрецов потемнели. Какая наглость! Этот чужестранец утверждает, что может вычислить то, чего не могут они – жрецы Великого Египта.
— Хорошо, сказал фараон. – Около дворца стоит пирамида, мы знаем ее высоту. Завтра проверим твое искусство”.
После сегодняшнего урока вы должны предложить свой способ измерения высоты пирамиды, а пока вернемся к нашему треугольнику.
Показывает 2 равных треугольника.
Какие это треугольники?
Как проверить, что они равны?
Показывает еще 2 треугольника, которые не являются равными (но являются подобными).
А что это за треугольники?
Я предлагаю провести маленькую практическую работу. (Раздаю по рядам наборы подобных треугольников).
Конечно, треугольник
Называют определение, виды треугольников, признаки равенства треугольников, медианы, биссектрисы, высоты, сумма углов треугольника, внешний угол, теорема Пифагора и т. д.
Равные
Треугольники должны совместиться наложением.
1 ряд 2 ряд 3 ряд
/>
Рис. 1
/>
Рис. 3
/>
Рис. 5
/>
Рис. 2
/>
Рис. 4
/>
Рис. 6 Учитель Ученики
Исследуйте свои пары треугольников. Подумайте, что вы можете сказать об их соответствующих элементах.
(Делаю записи на доске под диктовку детей).
Работают в парах и делают выводы.
Д 2 ряд 3 ряд
/>А = />А1=50о
/>К = />К1=40о
/>M = />M1=20о
/>В = />В1=65о
/>S = />S1=90о
/>P = />P1=135о
/>С = />С1=65о
/>O = />O1=50о
/>E = />E1=25о
AB/A1B1=BC/B1C1=AC/A1C1=1/2
K1S1/KS=K1O1/KO=S1O1/SO=2
M1E1/ME=M1P1/MP=P1E1/PE=2 /> /> /> /> Учитель Ученики
Как вы думаете, как их можно назвать?
Называются эти треугольники подобными треугольниками. Тема нашего урока: “Подобные треугольники”.
Равноугольные. Похожие.
Открывают тетради, записывают дату и тему урока.
III. Изучение новогоматериала
Деятельность:Учитель Ученики
Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
Сходственные стороны это стороны лежащие напротив равных углов.
То есть для того чтобы узнать, подобны треугольники или нет, какие условия надо проверить?
А сейчас я хочу посмотреть, как вы поняли новую тему. Давайте решим несколько задач.
IV. Закрепление изученного материала
Задача 1
Дано: />ABC, />A1B1C1; />А=63о;
/>В=56о; AB=4, BC=3, AC=6;
/>A1=63о; />B1=56о; A1B1=8, B1C1=6, A1C1=12. Определить, подобны ли треугольники.
Задача 2
Дано: />ABC ~ />A1B1C1; />А=30о;
/>B=85о; />С=65о;
Найти: />А1; />B1; />С1.
Задача 3
Дано: />ABC ~ />A1B1C1;
AB=3, BC=4, AC=6, А1В1=12.
Найти: B1C1, A1C1.
Задача 4
№ 542 (из учебника)
В подобных треугольниках АВС и KMN стороны АВ и KN, ВС и MN являются сходственными. Найдите стороны треугольника KMN, если АВ = 4 см, ВС = 5 см, СА = 7 см, КМ/АВ = 2,1.
Чертят в тетради два подобных треугольника и записывают
/>АВС ~/>А1В1С1
1) 1) />А = />А1, />В = />В1, />С = />С1
2) AС/A1C1=AB/A1B1=BC/B1C1=k, где k – некоторое число, коэффициент подобия.
Надо чтобы выполнялись оба условия определения.
Данные треугольники подобны, так как выполняются оба условия определения.
/>А1=300; />B1=850; />С1=650 по определению подобных треугольников.
Так как треугольники подобны, то
АВ/А1В1= ВС/В1С1, 3/12=4/ В1С1,
В1С1=16 см.
Аналогично рассуждая А1С1=24 см.
V.Подведение итогов
Деятельность:Учитель Ученики
Что нового узнали на уроке?
Сформулируйте его.
Как определить какие стороны являются сходственными?
Оцените степень понимания темы. Запишите на полях тетради один из вариантов:
Æ всё усвоил хорошо;
Æ усвоил, но не всё;
Æ не совсем усвоил;
Æ не усвоил.
Определение подобных треугольников.
Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
Сходственные стороны лежат напротив равных углов.
VI. Домашнее задание
Придуматьспособ измерения высоты пирамиды.
№ 541, п. 57,Атанасян Л. С., “Геометрия 7 — 9 класс”
№541.
Подобныли треугольники АВС и DEF, если />А=106о, />B=34о,/>Е=106о,
/>F=40о, АС = 4,4см, АВ = 5,2 см, ВС = 7,6 см, DE = 15,6 см, DF = 22,8 см, EF = 13,2 см?
Способизмерения высоты пирамиды.
— Мой рост три царских вавилонских локтя (около 555 мм). А вот моя тень. Её длинатакая же. И какой бы предмет не взял именно в это время, тень от него, если тыпоставишь его вертикально, точно равна длине предмета. Этот предмет и его теньобразуют прямоугольный треугольник; знай же, что такие треугольники подобны. Атеперь измерим длину этой тени от основания пирамиды, прибавим к ней половинуэтого основания, и получим высоту пирамиды. Основание точный квадрат, а теньперпендикулярна его основанию. Фалес вынул из – под хитона тонкую верёвку,разделил её узелками на равные части. Расстояние между ними соответствовалоцарскому локтю. Он закрепил верёвку в конце тени и протянул её к серединеоснования пирамиды – 56 локтей. Прибавил 207 локтей – половину измеренногорасстояния – к 56 он сказал – 263 локтя – такую высоту имеет пирамида. />Заключение
Понятиеподобия является одним из важнейших в курсе планиметрии. Поэтому изучениеданной темы является одной из основных задач обучения геометрии в школе.
В ходерешения задач, поставленных в этой работе были получены следующие результаты:
1) Наоснове теоретического анализа математической, учебной и методическойлитературы, определены основные понятия, предложения и методика их введения,структура изложения материала.
2) Разработанадоступная методика изучения темы «Подобные треугольники» основанная на заданияхустного характера.
3) Организованныи проведены пять уроков по теме «Подобные треугольники», одна самостоятельная иконтрольная работа по разработанной методики.
4) Врезультате проводимых уроков выяснилось, данная методика повышает уровеньзнаний учеников, что показывает анализ контрольных работ в двух классах.
На основетеоретического анализа математической, учебной, психологической и методическойлитературы и проведенной опытно-экспериментальной работы, следует, что если впроцессе изучения данной темы использовать специально разработанную методику,направленную на решение задач устного характера, то можно выявить методическиеособенности изучения темы «Подобные треугольники». Применение данных методовстимулирует познавательную деятельность, способствует развитию учащихся за счетповышения уровня логического мышления, памяти, речи и внимания.
Такимобразом, в результате выполненной работы была подтверждена гипотеза идостигнута цель — выявлены методические особенности изучения темы «Подобныетреугольники» в средней общеобразовательной школе.
Из всегосказанного можно сделать вывод, что применение данных рекомендаций делает болеедоступной для учеников эту тему и позволяет вводить ее в соответствии с темместом, которое она занимает в научной геометрии./>Списоклитературы
1. АлександровА.Д. Геометрия 7-9.-М.: Просвещение, 1992
2. АтанасянЛ.С. Геометрия 7-9. – М.: Просвещение, 1990 Геометрия: Учеб. Для 7-9 кл. средн.Шк. / Л.С.Атаносян, С.Б.Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1990.
3. АтанасянЛ.С. Геометрия: Учебное пособие для студентов физ. мат. факультетовпед.институтов. – М.: Просвещение, 1987
4. АтанасянЛ.С., Бутузов В.Ф. и др. Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: методическиерекомендации к учебнику. Книга для учителя. – М.: Просвещение, 2003
5. АтанасянЛ. С., Денисова Н. С., Силаев Е.В. Курс элементарной геометрии. – М.:/>Сантакс-Пресс,1997, ч.1.
6. БевзГ.П. Геометрия 7-11.-М.: Просвещение, 1992
7. ВернерА.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. Санкт-Петербург: Специальнаялитература, 1997, часть 1
8. ГлейзерГ.И. История математики в школе 7-8 классы: Пособие для учителей.- М.:Просвещение, 1982
9. ГусеваТ.М. Признаки подобия треугольников.- М.// Первое сентября, приложение«Математика», 1999, №28
10. ЖоховВ.И., Карташёва Г.Д., Крайнева Л.Б. Уроки геометрии в 7-9 классах: методическиерекомендации для учителей к учебнику Атанасяна Л.С. –М.: Вербум-М, 2003
11. ЗивБ.Г., Мейлер В.М., Баханский А.Т. Задачи по геометрии. — М.: Просвещение, 2000
12. Изучениегеометрии в 7, 8, 9 классах: Методические рекомендации к учебнику: книга дляучителя/ Л.С. Атанасян и др.-М.: Просвещение, 2003
13. КлейнФ. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.2-М.: Наука,1968
14. КукарцевГ.И. Сборник задач по геометрии в рисунках и тестах для 7-9 классов. — М.:Аквариум, 1999
15. МоденовП.С. Геометрия преобразования. — М.: Издательство московского университета,1961
16. НикольскийС.Н. Подобные треугольники. – М.//1-ое сентября, приложения «Математика», 1999,№3
17. НикулинА.В. Геометрия на плоскости. – Минск: Попурри, 1996
18. ПерепёлкинД.И. Курс элементарной геометрии. — М.: Гостехиздат,1949
19. ПогореловА.В. Геометрия 7-11.-М.: Просвещение, 1993
20. ПогореловА.В. Элементарная геометрия. — М: Наука,1974
21. Преобразованияи построения: учебное пособие. / Л. В. Львова. — Барнаул: Изд-во БГПУ, 2002.
22. ШапироИ.М. Практикум по дидактике математики.- Барнаул: издательство БГПУ, 1997