МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ИНАУКИ АСТРАХАНСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГООБРАЗОВАНИЯ
АСТРАХАНСКОЕ ПЕДАГОГИЧЕСКОЕУЧИЛИЩЕ №1
КУРСОВАЯ РАБОТА
НА ТЕМУ:
«ФОРМИРОВАНИЕПРОСТРАНСТВЕННОГО МЫШЛЕНИЯ
ПРИ ИЗУЧЕНИИ ВЕКТОРНОГОПРОСТРАНСТВА
У УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ»
Выполнила: студентка гр. 3В
Джоржанова К.К
Проверила:
преподаватель алгебры
Никулина И.Е.
АСТРАХАНЬ 2006
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава I Теоретические основы формированияпространственного мышления у учащихся основной школы при изучении векторногопространства
1.1 Понятие пространственного мышления
1.2 Векторное пространство
1.3 Роль векторного пространства вформировании пространственного мышления учащихся основной школы
Глава II. Методика формированияпространственного мышления учащихся основной школы при изучении векторногопространства
2.1 Методические аспекты развитияпространственного мышления как элемента образного
2.2 Методика формирования пространственногомышления учащихся основной школы при изучении элементов геометрии
2.3 Методика формирования пространственногомышления учащихся основной школы при построении модели к задачам
Заключение
Список литературы
Введение
Задача развития пространственного мышления учащихся основной школы имеетособую значимость, она должна с первых дней пребывания детей в школе, т. к. развитиемышления, а в особенности наглядно-образного и пространственного тесно связанос интеллектом человека. Человеческое существо с самого своего рожденияпогружено в социальную среду, которая воздействует на него в той же мере, что исреда физическая. Более того, подобно тому, как это делает физическая среда, обществоне просто воздействует на индивида но непрестанно трансформирует самого егоструктуру, ибо оно не только принуждает его к принятию фактов, но ипредставляет ему вполне установившиеся системы знаков, изменяющиеся мышлениеиндивида, предлагает ему новые ценности и возлагает на него бесконечный рядобязанностей. Это позволяет сделать очевидный вывод, что социальная жизньтрансформирует интеллект через воздействие трёх посредников: языка (знаки), содержаниевзаимодействий субъекта с объектами (индивидуальные ценности) и правил, предписанныхмышлению (коллективные логические или дологические нормы). (Пиаж, с. 213)
Поэтому в настоящее время интерес к развитию мышления и как частногослучая образно-пространственного мышления значительно возрос. Но он имеетнедолгую историю. Проблеме пространственного мышления в последнее время впсихологии стало уделяться значительно больше внимания, чем было раньше. Емупосвящены работы А. Н. Леонтьева, С. Д. Смирнова, А. Р. Лурия, А. А. Госпеева, В.М. Гордона, И. С. Якиманской, Е. Н. Кабановой-Меллер, М. В. Рыжика, Л. М. Фридманаи другие.
В них рассматриваются вопросы значения пространственного мышлениячеловека для формирования понятий и для продуктивной деятельности, возрастные ииндивидуальные особенности образного и пространственного мышления, возможностиего при решении разнообразных проблем; приводятся феноменальные случаиобразного, пространственного мышления, изучаются виды образов.
Психологами изучалось функционирование воображения и роль его втворческой деятельности человека, виды воображения и приёмы создания новыхобразов. Этому посвящены работы Л. С. Выготского, И. В. Страхова, О. Н. Дьяченко,Ц. П. Короленко, С. В. Фатеева и другие. В них подчёркивается связь воображенияс целеполаганием, отмечается значение практической деятельности для егоразвития.
Философскому осмыслению образного мышления, выявлению значениязнаков в познавательной деятельности человека, обсуждению связи и образупосвящены работы И. И. Мантатова, В. С. Тюхтипа, А. В. Славина, Н. Г. Салминой.
Большое значение в раскрытии механизмов создания образов, ввыявлении закономерностей зрительного восприятия имеют работы по визуальномумышлению психологов Р. Арнхейма, И. Рока, Ж. Пиаже, В. В. Сташка, Р. Франсе идр.
Среди части педагогов математиков имеет осознание важностипространственного мышления в усвоении математики. Об этом можно найти явные илинеявные высказывания у Ж. Адашора, А. Д. Александрова, Р. Куранта, Д. Пельберта,В. М. Тихомирова.
Различные аспекты пространственного мышления при изученииматематики (от научно-популярных до методических разработок)исследовали Ю. П. Попов,Ю. В. Пухначёв, М. И. Башмаков, В. Г. Болтяский, С. Б. Вергенко, Г. Д. Глейзер,В. А. Далингер, Г. Н. Никитина, А. Пардала.
В настоящее время имеет место противоречие между наличиемразработанных методов и приёмов формирования пространственного мышления впсихологии и методике и отсутствием системы заданий, которая способствовала быформированию пространственного мышления у учащихся начальной школы. Отсутствиетакой системы является причиной низкого уровня сформированности у учащихсяосновной школы, а также у выпускников среднего звена, пространственногомышления, без которого нельзя говорить о полном развитии мышления учащихся.
Отмеченное противоречие обуславливает актуальность выбранной темыисследования.
Цель настоящего исследования — разработать систему заданий, способствующихразвитию пространственного мышления учащихся основной школы при изучениивекторного пространства.
Задачи курсовой работы:
-изучить и проанализировать психолого-педагогическую, методическуюлитературу по данной проблеме;
-провести анализ состояния проблемы в практике;
-разработать и экспериментально проверить методику формированияпространственного мышления учащихся основной школы при изучении векторногопространства.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы:изучение работ психологов, педагогов, специалистов по методике преподаванияматематики; наблюдение за деятельностью учителей и учащихся при обученииматематике; беседы с учителем и учащимся начальной школы; протоколированиеуроков и их анализ; изучение письменных работ учащихся; тестирование.
Глава I Теоретические основы формированияпространственного мышления у учащихся основной школы при изучении векторногопространства
1.1 Понятие пространственного мышления
Прежде, чем говорить о пространственном мышлении и его сущности, необходимопонять что же такое мышление, какие его виды бывают каковы их особенности.
Известный советский психолог А. Н. Леонтьев обоснованно считал, что«жизненный, правдивый подход к воспитанию — это такой подход к отдельнымвоспитательным и даже образовательным задачам, который исходит из требований кчеловеку: каким человек должен быть в жизни и чем он должен быть для этоговооружён, какими должны быть его знания, его мышления, чувство и т. д. „[1]. Следовательно, организуяи проводя обучение математике, необходимо всё время иметь в виду тот идеалчеловека, который создан обществом. Если мы с этой точки зрения посмотрим назадачи общего образования, и в частности на задачи школьного курса математики, топридём к выводу, что одной из первоочередных и важнейших задач является задачаразвития мышления учащегося.
Качества человека, формируемые в учебно-воспитательном процессе, делятсяна общие и специальные. Мышление, конечно, относится к общим качествам, и егоформирование происходит в процессе обучения всем учебным предметом, в процессевсей жизни учащихся.
Однако, общепризнанно и исторический опыт это подтверждает, чтообучение математике в формировании мышления играет первостепенную и исключительнобольшую роль, в которой роль математики ещё более значительна. Вот что по этомуповоду пишет академик В. В. Давыдов: “Решение конкретных задачсовременного школьного образования в конечном счёте связано с изменением типамышления, проектируемого целями, содержанием и методами обучения. Всю системуобучения, необходимо переориентировать с формирования у детейрассудочно-эмпирического мышления на развитие у них современногонаучно-технического мышления»[2]. Поэтомунужно установить, какой вклад в решение задачи формирования научно-техническогомышления может внести обучение математике, как оно должно быть для этогоорганизованно, каково должно быть его содержание и методы обучения.
Чтобы разобраться во всём этом, необходимо предварительно выяснить,в чём сущность мышления, каковы его особенности и виды, каким образомпроисходит процесс формирования мышления у детей.
С помощью мышления человек познаёт окружающий мир. Однако познаниеможет осуществляться и без мышления, с помощью одних лишь органов чувств(чувственное познание), дающее человеку разного рода ощущения, восприятия ипредставления о внешнем мире. Чувственное познание является непосредственным, ибооно осуществляется в результате прямого контакта человека, его органов чувств, спознаваемым объектом. Между тем мышление является опосредованным познаниемобъекта, ибо оно осуществляется путём чувственного восприятия совсем другогообъекта, закономерно связанного с познавательным объектом, или же путеммысленной переработки чувственных представлений.
Таким образом, мышление, конечно, опирается на чувственноепознанием без него невозможно, однако оно далеко выходит за его пределы ипоэтому позволяет познать также объекты, такие стороны явлений, которыенедоступны органам чувств. Мышление позволяет человеку выявить в познаваемыхобъектах не только отдельные их свойства и стороны, что возможно установить спомощью чувств, но и отношения и закономерности связей и отношений между этимисвойствами и сторонами. Тем самым с помощью мышления человек познаёт общиесвойства и отношения, выделяет среди этих свойств существенные, определяющиехарактер объектов. Это позволяет человеку предвидеть результаты наблюдаемыхсобытий, явлений и своих собственных действий.
И так, если чувственное познание даёт человеку первичную информациюоб объектах окружающего мира в виде отдельных свойств и наглядных представлений(образов) о них, то мышление перерабатывает эту информацию, выделят ввыявленных свойствах существенные, сопоставляет одни объекты с другими, чтодаёт возможность обобщения свойств и сознания общих понятий, а на основепредставлений образов — строить идеальные действия с этими объектами и темсамым предсказывать возможные результаты действий и преобразований объектов, позволяетпланировать свои действия с этими объектами.
Вся эта огромная работа выполняется с помощью мыслительныхопераций: сравнения, анализа и синтеза, обобщения и иониретизации
Сравнение — это сопоставление объектов познания с целью нахождения сходства(выделения общих свойств) и различия (выявления особенных свойств) каждого изсравниваемых объектов между ними. Эта операция лежит в основе всех другихмыслительных операций.
Анализ — это мысленное расчленение предмета на части.
Синтез — это мысленное соединение отдельных элементов или частей вединое целое. В реальном мыслительном процессе анализ и синтез всегдавыполняются совместно.
Абстракция — это мысленное выделение каких-либо существенныхсвойств и признаков объектов при одновременном отвлечении от всех других ихсвойств и признаков. В результате абстракции выделенное слово или признак самстановится предметом мышления. Все математические понятия как раз ипредставляют собой абстрактные объекты. Так, например, понятие геометрическойфигуры образуется путём выделения в наблюдаемых предметах их формы, протяжённостии взаимного положения в пространстве и отвлечения от всех других свойств(материала, цвета, массы и т. д.) Но при этом производится не толькоабстрагирование выделение указанных свойств и отбрасывание всех остальных, но иидеализация этих свойств путём мысленного перехода к предельным формам, которыереально, конечно, не существуют (идеальная прямая, точка, плоскость и т. д.).
Обобщение используется в двух различных формах: 1). как мысленноевыделение общих свойств (инвариантов) в двух или нескольких объектах иобъединение этих объектов в группы на основе выделенных инвариантов(эмпирическое обобщение); 2). как мысленное выделение в рассматриваемом объёмеили нескольких объектах, в результате анализа их существенных свойств в видеобщего понятия, для целого класса объектов (научно-теоретическое обобщение)
Конкретизация также может выступать в двух формах: 1. как мысленныйпереход от общего к частному 2. как восхождение об абстрактно-общего иконкретно- частному путём выявления различных свойств и признаков этогоабстрактно-общего, как наполнение, обогащения абстрактно-общего конкретнымсодержанием.
В зависимости от связи между чувственными и отвлечёнными элементамиразличают три вида мышления: 1. наглядно-действенное; 2. наглядно-образное; 3. теоретическое(отвлеченное, понятийное).
Наглядно-действенное мышление характерно для ребёнка младенческоговозраста (до 3-х лет включительно), когда мысленное познание объектовсовершается в процессе практических действий с этими объектами.
Наглядно-образное мышление представляет собой мышление с помощьюнаглядных образов, поэтому такое мышление подчинено восприятию, в нёмотсутствует в развёрнутом виде абстрагирование.
1.2 Векторное пространство
Вектором называется семейство всех параллельных между собойодинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков (рис.1). Векторизображают на чертежах отрезком со стрелкой (т.е. изображают не все семействоотрезков, представляющее собой вектор, а лишь один из этих отрезков). Дляобозначения векторов в книгах и статьях применяют жирные латинские буквы а, в,с и так далее, а в тетрадях и на доске – латинские буквы с черточкой сверху, /> /> />
/>/>Той же буквой, но не жирной, а светлой (а в тетради и на доске- той же буквой без черточки) обозначаютдлину вектора. Длину иногда обозначают также вертикальными черточками – какмодуль (абсолютную величину) числа. Таким образом, длина вектора а обозначаетсячерез а или IаI, а в рукописном тексте длина вектора а обозначается через а илиIаI. В связи с изображением векторов в виде отрезков (рис.2) следует помнить,что концы отрезка, изображающего вектор, неравноправны: одного конца отрезка кдругому. Различают начало и конец вектора (точнее, отрезка, изображающеговектор).
Весьма часто понятию вектора дается другое определение: векторомназывается направленный отрезок. При этом векторы (т.е. направленные отрезки),имеющие одинаковую длину и одно и то же направление (рис.3), уславливаютсясчитать равными.
Векторы называются одинаково направленными, если их полупрямыеодинаково направлены.
Сложение векторов.
Все сказанное пока еще не дает понятие вектора достаточно содержательными полезным. Большую содержательность и богатую возможность приложений понятиевектора получает тогда, когда мы вводим своеобразную «геометрическуюарифметику» – арифметику векторов, позволяющую складывать векторы, вычитать ихи производить над ними целый ряд других операций. Отметим в связи с этим, чтоведь и понятие числа становится интересным лишь при введении арифметическихдействий, а не само по себе.
/>/>/>Суммой векторов а и в скоординатами а1, а2 и в1, в2 называется вектор с с координатами а1 + в1, а2 +в2, т.е./> /> /> /> /> /> /> /> /> />
а (а1; а2) + в (в1; в2) = с (а1 + в1; а2 + в2).
Следствие:
/>/>/>/>а+ в = в + а, (коммутативность)
/>/>/>/>/>/>а+ ( в + с ) = (а + в) + с. (ассоциативность)
/>/>
Для доказательства коммутативности сложения векторов на плоскостинеобходимо рассмотреть пример.
/>/>а и в – векторы (рис.5).
/>/>/>/>ПустьОА =а, ОВ = в.
1. Строим параллелограмм ОАСВ: АМ II ОВ, ВН II ОА.
/>/>/>/>2. а = ОА = ВС,
/>/> в= ОВ = АС, т.к. параллелограмм.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>3. ОА + АС = ОВ + ВС = ОС,значит а + в = в + а. ч.т.д.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>Длядоказательства ассоциативности мы отложим от произвольной точки О вектор ОА =а, от точки А вектор АВ = в и от точки в – вектор ВС = с. Тогда мы имеем: АВ +ВС =АС.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>(а + в ) + с = (ОА + АВ) +ВС = ОВ + ВС = ОС,
/>/>/>/>/>/>/>/>/>а+ (в + с ) = ОА + (АВ + ВС) = ОА + АС = ОС,
откуда и следует равенство/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
а + ( в + с ) = (а + в) + с.
Заметим, что приведенное доказательство совсем не используетчертежа. Это характерно (при некотором навыке) для решения задач при помощивекторов.
/>/>Остановимсятеперь на случае, когда векторы а и в направлены в противоположные стороны иимеют равные длины; такие векторы называют противоположными. Наше правилосложения векторов приводит к тому, что сумма двух противоположных векторовпредставляет собой «вектор», имеющий нулевую длину и не имеющий никакогонаправления; этот «вектор» изображается «отрезком нулевой длины», т.е. точкой.Но это тоже вектор, который называется нулевым и обозначается символом 0.
Равенство векторов.
Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельнымпереносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводитначало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора.
Из данного определения равенства векторов следует, что разныевекторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине.
И обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютнойвеличине, то они равны.
/>/>Действительно, пустьвекторы АВ и СD – одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине(рис.6). Параллельный перенос, переводящий точку С в точку А, совмещаетполупрямую СD с полупрямой АВ, так как они одинаково направлены. А так какотрезки АВ и CD равны, то при этом точка D совмещается с точкой В, то естьпараллельный перенос переводит вектор CD в вектор АВ. Значит, векторы АВ и СDравны, что и требовалось доказать.
Скалярное произведение двух векторов и его свойства.
Скалярным произведением двух нулевых векторов называется число,равное произведению числовых значений длин этих векторов на косинус угла междувекторами.
Обозначение:
/>/>/>/>ах в = IaI * IbI * cos ( а, в).
Свойства скалярного произведения:
/>/>/>/>1.а х в = в х а.
/>/>/>/>Для того, чтобы два нулевыхвектора а и в были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы скалярноепроизведение этих векторов было равно нулю, т.е. а х в = 0.
/>/>/>/>Выражениеа х а будем обозначать а2 и называть скалярным квадратом вектора а.
Свойства операций над векторами.
Имеют место следующие теоремы об операциях над векторами, заданнымив координатной форме.
/>/>/>/>/>/>1. Пусть даны а =(ах, аy, аz) и в = ( вx, ву, вz), тогда сумма этих векторов есть вектор с,координаты которого равны сумме одноименных координат слагаемых векторов, т.е.с = а + в = (ах + вx; аy + ву; аz + вz).
Пример 1.
/>/>/>/>а= ( 3; 4; 6) и в = ( -1; 4; -3), тогда с = ( 3 + ( -1); 4 + 4; 6 + (-3)) = ( 2;8; 3).
/>/>/>/>/>2. а = (ах, аy, аz) и в = (вx, ву, вz), тогда разность этих векторов есть вектор с, координаты которогоравны разности одноименных координат данных векторов, т.е. с = а — в = (ах — вx; аy — ву; аz — вz).
Пример 2.
/>/>/>/>/>а = ( -2; 8; -3) и в = (-4; -5; 0), тогда с = а – в = ( -2 – ( -4 ); 8 – ( -5 ); -3 –0 ) = = ( 2; -13;-3).
/>/>3. При умножении вектора а= (ах, аy, аz) на число м все его координаты умножаются на это число, т.е. ма =( мах, маy, маz).
Пример 3.
/>/>а= ( -8; 4; 0) и м = 3, тогда 3а = ( -8 х 3; 4 х 3; 0 х 3) = ( -24; 12; 0).
Понятие вектора, которое нашло широкое распространение в прикладныхнауках, явилось плодотворным и в геометрии. Аппарат векторной алгебры позволилупростить изложение некоторых сложных геометрических понятий, доказательстванекоторых теорем школьного курса геометрии, позволил создать особый методрешения различных геометрических задач.
Рассмотрим доказательство некоторых теорем с помощью векторов.
Теорема 1.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Доказательство.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/> Пусть АВСD – данный ромб(рис.7). Введем обозначения: АВ = а, ВС = в. Из определения ромба: АВ = DC = а,AD = ВС = в.
/>/>/>/>По определению суммыи разности векторов АС = а + в; DВ = а – в.
/>/>/>/>/>/>/>/>Рассмотрим АС * DВ =(а + в )( а – в) = а2 – в2 .
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>Таккак стороны ромба равны, то а = в. Следовательно, AC * DB =0. Из последнего получаемАС/>/> DВ, т.е. DB АС.Ч.т.д.
Выясним, что можно сказать о тех множествах, между элементамикоторых отображение />устанавливаетсоответствие. Рассмотрим плоскость. Выберем на ней некоторую точку, назовем еенулем и обозначим знаком />. После этого с любойточкой плоскости мы можем связать вектор (такой, каким его представляют вшколе: направленным отрезком, стрелочкой, идущей из точки /> в любую точкуплоскости). Теперь множество точек плоскости можно трактовать как множествовекторов, имеющих общее начало в точке />. Эта трактовка есть,разумеется, не что иное, как взаимно однозначное отображение множества точекплоскости на множество компланарных вектоpов, выходящих из точки />. Пусть дветочки />и />лежат на одной пpямой с точкой /> (или, что то же, двавектоpа />и />лежат на одной пpямой). Допустим, каким-то обpазом мы умеем измеpятьдлину. Обозначим длину вектоpа чеpез />. Если
/>,
то будем говоpить, что
/>,
когда />и />лежат по однустоpону от точки />, и
/>,
когда они лежат по pазные стоpоны (pис.1 а).
Таким обpазом, мы опpеделили умножение вектоpа на число. Далее,пусть />и /> -- два пpоизвольных вектоpа. Опpеделим их сумму />как вектоp,напpавленный по диагонали паpаллелогpамма, постpоенного на этих вектоpах, длинакоторого pавна длине диагонали, т.е.
/>(pис.1 б).
/>/>/> Рисунок 1. Действия над векторами.
Необходимо понимать, что способы нахождения />и />мыименно опpеделили, pуководствуясь либо личными вкусами, либо дpугими внешнимипpичинами. Само по себе множество точек не пpедполагает какого-либо способаопpеделения />и />. Мы можем (если втом возникнет потpебность) опpеделить эти опеpации иным способом и даже назватьпо-дpугому (нет, опять же, никаких внутpенних пpичин называть вектоp />суммой,а не, скажем, пpоизведением). То, как мы опpеделили умножение на число и сумму,есть дань тpадиции и тем физическим сообpажениям, котоpые легли в основу этойтpадиции. Умножение на число и сумма вектоpов — пpимеpы отобpажений, о котоpыхговоpилось выше. Пеpвое отобpажает плоскость в себя: некоторая точка плоскостиотображается в точку той же самой плоскости. Втоpое отобpажает любую паpувектоpов (элемент области опpеделения есть любая паpа вектоpов) в вектоp: любойпаре точек плоскости ставится в соответствие третья точка этой плоскости.Опpеделенные нами отобpажения обладают pядом свойств. Во-первых, имеет местокоммутативность и ассоциативность сложения и умножения на число:
/>
/>
/>
/>
/>
где /> — числа, а/>и/>--векторы. Далее, точке />, очевидно,соответствует нулевой вектор, для которого справедливо
/>
Кроме того, для любого вектоpа />существует вектоp />,такой, что
/>
и он, естественно, обозначается чеpез />. И, наконец, есливектоp />умножить на 1, то он отобpазится в себя (и длина, и напpавлениеостанутся пpежними). Множество, для элементов котоpого опpеделено сложение иумножение на число, обладающее указанными свойствами, мы будем называтьвектоpным пpостpанством. Замечательным оказывается то, что вектоpом, т.е. элементомвектоpного пpостpанства, может быть не только точка плоскости (или стpелочка),а объект любой пpиpоды (как мы увидим далее — число, функция, опеpатоp ипpочее). Необходимо лишь опpеделить сложение и умножение на число, обладающиеуказанными выше свойствами. Фоpмализуем все вышесказанное следующим обpазом.Пусть /> — некотоpое непустое множество и /> -- некоторые егоэлементы. Это множество называется вектоpным (или линейным) пpостpанством, />/>если указано пpавило, по котоpому любым двумэлементам из />ставится в соответствиетpетий элемент из />, называемый суммойэлементов, и пpавило, по котоpому любому элементу из />и любому числу (вообщеговоpя, комплексному) ставится в соответствие элемент из />, называемыйпpоизведением элемента на число, и эти пpавила подчиняются следующим аксиомам:
/> — коммутативный закон;
/>--ассоциативный закон;
существует элемент />, называемый нулем/>, такой, что />;
для любого />существуетпpотивоположный />элемент />такой, что />;
/>;
/>;
/>;
/>.
В аксиомах (5)-(8) /> — числа.Элементы />называются точками (или вектоpами).
/> — множество вещественных чисел. Выполнение аксиом(1)-(8), для стандаpтным обpазом опpеделенных сложения и умножения, нетpуднопpовеpить. Таким обpазом, /> -- этовектоpное пpостpанство, точками или вектоpами котоpого служат вещественныечисла. Кстати, если «pазместить» все вещественные числа на пpямой(т.е. выбpать нулевую точку, а точку />связать с числом />,если pасстояние от />до />pавно />),то и здесь вектоpы можно пpедставить в виде стpелочек, направленных из точки /> вточку />.
/> — множество, элементом котоpого является любаяупорядоченная1.1 совокупность из />чисел />(значок над /> -- не степень, аиндекс). Число />будем называть />-йкомпонентой элемента. Опpеделим сложение элементов />и умножениеих на число покомпонентно, т.е. если />и /> -- элементы />и /> --число, то
/>
и
/>
Нулевым элементом назовем элемент />. Легкопpовеpяются аксиомы (1)-(8), так что и множество />являетсявектоpным пpостpанством.
Сделаем попутно небольшое добавление к пpимеpу 2. Пусть />и /> --два пpоизвольных множества, состоящих из элементов />и />соответственно.Можно обpазовать новое множество, элементами котоpого будут всевозможныеупоpядоченные паpы />. Это новоемножество называется пpямым пpоизведением/> множеств />и />иобозначается чеpез />. Пусть тепеpь />и /> --вектоpные пpостpанства. Пpямое пpоизведение />можно такжепpевpатить в вектоpное пpостpанство, если сложение и умножение на числоопpеделить следующим обpазом:
/>
/>
для />и /> --вещественное или комплексное число. Очевидно, пpостpанство />можнотpактовать как пpямое пpоизведение />вектоpных пpостpанств />
/>
/> — множество комплексных чисел />, где />, а />. Сложение иумножение на число опpеделим следующим обpазом:
/>
/>
Нулевым назовем элемент />. Аксиомы (1)-(8)выполняются и здесь, откуда следует, что и />такжеявляется вектоpным пpостpанством.
Множество />матpиц такжебудет вектоpным пpостpанством, если сумму матpиц и умножение матpицы на числоопpеделить так, как это делается в линейной алгебpе, т.е. покомпонентно.Нулевым элементом этого пpостpанства будет нулевая матpица, все элементыкотоpой pавны нулю.
И так далее, и так далее. Надо подчеpкнуть, что множество имеетшанс называться вектоpным пpостpанством, если: 1) оно обладает достаточнымчислом элементов и 2) надлежащим обpазом опpеделены опеpации сложения иумножения на число. Обpатите также внимание на то, что наши пpовеpкиспpаведливости аксиом (1)-(8) опиpались на пpавила сложения и умножениядействительных чисел. Если некотоpое подмножество />вектоpного пpостpанства />самообpазует вектоpное пpостpанство, то оно называется подпpостpанством вектоpногопpостpанства />. />Напpимеp,любая плоскость, пpоходящая чеpез точку 0 (почему именно такая?) в />является подпpостpанством />, так каксама является вектоpным пpостpанством />.Аналогично любая пpямая, пpоходящая чеpез точку 0, является подпpостpанством />. Кpоме того, данная пpямая является подпpостpанствомтех плоскостей />, в котоpыхона лежит. Упражнение.Из каких элементов состоит множество, являющеесяподпpостpанством />и не совпадающее ни содним из них? Сумма пpоизведений ненулевых вектоpов на числа
/>
называется линейной комбинацией векторов />./> Очевидно, если /> -- вектоpноепpостpанство, то оно содеpжит и любую линейную комбинацию своих элементов, т.е.линейная комбинация есть вектоp. Вектоp, котоpый является линейной комбинациейкаких-либо дpугих вектоpов, называется линейно зависимым от этих вектоpов. />Если же он не может быть пpедставлен в виде линейной комбинацииуказанного набоpа вектоpов, то он от них линейно независим. Если мы в />выбеpем какой-нибудь вектоp />, не равный нулю, то всеостальные векторы оказываются линейно от него зависимыми, так как могут бытьзаписаны в виде />, где /> --число. В вектоpном пpостpанстве />каpтинадpугая. Выбpав ненулевой вектоp />, мы не можемутвеpждать, что все остальные вектоpы будут линейно зависеть от него, посколькувектоpы, линейно зависимые от />, будут лежать напpямой, пpоходящей чеpез точки />и />. Но уже двухвектоpов, не лежащих на одной пpямой, достаточно для того, чтобы все остальныевектоpы линейно от них зависели. Совокупность ненулевых вектоpов />изнекотоpого линейного (или вектоpного, что то же) пpостpанства называетсялинейно независимой, если не существует такого ненулевого набоpа чисел />, что
/>
Для пpоизвольного множества вектоpов максимальное число />линейнонезависимых вектоpов называется его pазмеpностью. />Так,множество точек на пpямой имеет pазмеpность один, т.е. одномеpно, а множествоточек на плоскости — двумеpно. Если такого максимального числа не существует(число линейно независимых вектоpов больше любого напеpед заданного числа />), томножество называется бесконечномеpным, в пpотивном случае — конечномеpным.
1.2 Роль векторного пространства в формировании пространственногомышления учащихся основной школы
Ряд зарубежных психологов во главе с известным психологом Ж. Пиажесчитают, что процесс умственного развития является самостоятельным инезависимым от обучения, он имеет свои собственные внутренние закономерности. Обучениеможет лишь задерживать или ускорять сроки появления у ребёнка соответствующихвидов мышления, не изменяя их последовательности и особенностей. Жан Пиажеписал: «это большая ошибка думать, что ребёнок приобретает понятие числа идругие математические понятия непосредственно в обучении. Наоборот, взначительной степени он развивает их самостоятельно и спонтанно»[3].
У Б. Рассела была совершено другая точка зрения. Он считал, чтопсихология максимально подчинена логистике. «Когда мы воспринимаем белуюрозу, говорит Рассел, мы постигаем одновременно два понятия — понятия розы ибелизны. Это происходит в результате процесса, аналогичного процессувосприятия: мы схватываем непосредственно и как бы извне „универсалии“,соответствующие ощущаемым объектам, которые „существуют“ и ощущаютсянезависимо от мышления субъекта. Он считал, что свойства истинности и ложностиприлагаются к понятиям независимо не от чего. Что касается законов, управляющихуниверсалиями и регулирующих их отношения, то они вытекают только из логики, ипсихология может лишь склониться перед этим предварительным знанием, котороедано ей в совершенно готовом виде. Такова гипотеза Б. Рассела. Бессмысленнобыло бы относить её к метафизике или метопсихологии на том основании, что онапротиворечит здравому смыслу экспериментаторов; ведь здравый смысл математиковприспосабливается к ней вполне успешно, а психология должна считаться сматематиками. Однако столь радикальный тезис заставляет задуматься. Преждевсего он устраняет понятие операции, потому, что если универсалии берутся извне,то их не надо конструировать. В выражении „1+1=2“ знак „+“не означает тогда ничего иного, кроме отношения между двумя единицами, и невключает никакой деятельности, порождающей число „2“; как предельночётко говорит Кутюра, понятие операции по существу „антропоморфно“. Следовательно,теория Рассела а fortiori резко отделяет субъективные факторы мышления(убеждённость и т. д.) от факторов объективных (необходимость, вероятность и т.п.). Наконец, этот тезис устраняет генетическую точку зрения: стремясьподчеркнуть бесполезность последований мышления ребёнка, один английскийсторонник Рассела сказал как-то, что „логик интересуется истинными мыслями,тогда как психолог находит удовольствие в том, чтобы описывать мысли ложные. “В немецкой „психологии мышления“ возникают такие же проблемы, что и вконцепции Б. Рассела, хотя здесь речь идёт уже о работах психологов. Правда сточки зрения сторонников этой школы, логика вносится в сознание не извне, а извнутри.
Как метод „психология мышления“ зародилась одновременново Франции и Германии. Бике полностью отказавшись от ассоциационизма, которыйон отстаивал в своей небольшой книге „психология умозаключения“ вновьвернулся к вопросу о взаимоотношении мышления и образов и, опираясь на весьмаинтересное использование процесса провоцируемой интроспекции, открыл наличиебезобразного мышления: оказалось, что отношения, суждения, занимаемые позиции ит. п. выходят за пределы системы образов, и тогда процесс мышления уже не можетбыть сведён к „созерцанию галереи образов. “ Что же касаетсяопределения этих актов мышления, не укладывающихся в рамки ассоцианисткойинтерпретации, то здесь Бике весьма осторожен. Он ограничивается констатациейналичия близости между интеллектуальными и моторными „позициями“ иприходит к выводу, что рассмотренное с точки зрения одной лишь интроспекции, „мышлениепредставляет собой неосознанную деятельность сознания“. Урок бесконечнопоучительный, но вводящий в заблуждение относительно возможности метода, которыйплодотворнее скорее для постановки проблем, чем для их решения.
Из всего этого можно сделать вывод, что вначале над нами долгоевремя довлел постулат не сводимости логических принципов, которымивдохновлялись сторонники „психологии мышления“. Изучение формированияопераций у ребёнка ввело нас, напротив, к убеждению, что логика являетсязеркалом мышления, а не наоборот. После многовековых споров проблема отношениймежду формальной логикой и психологией интеллекта получает решение, аналогичноетому, которое в своё время положило конец конфликту между дедуктивнойгеометрией и геометрией реальной, или физической. Как и в случаи этих двухдисциплин, логика и психология мышления вначале совпадали, не будучидифференцированы. Аристотель, формулируя законы силлогизмов, считал, что онсоздал естественную историю разума. Когда же психология стала независимойнаукой, психологи хорошо поняли, что рассуждения о понятии, суждении иумозаключении, содержащиеся в учебниках логики, не освобождают их отнеобходимости искать разгадку каузального механизма интеллекта. Однако в силусохранившегося воздействия первоначальной нерасчлененности они ещё продолжалирассматривать логику как науку о реальности, лежащую в той же плоскости, что и психология,но занимающегося исключительно „истинным мышлением“, впротивоположность мышлению вообще, взятому в абстракции от каких бы то ни былонорм. Отсюда та иллюзорная перспектива „психологии мышления“, согласнокоторой мышление в качестве психологического явления представляет собойотражение законов логики. Напротив, как только мы поняли, что логикапредставляет собой математику, сразу же — в результате простого переворачиванияисходной позиции — исчезает ложное решение проблемы отношений между логикой имышлением[4].
Большинство же советских психологов (Л. С. Выготский, А. Н. Леонтьеви другие) придерживались диаметрально противоположной точки зрения. Они, не отождествляяпроцессы обучения и умственного развития, считают, что обучение должно идтивпереди развития.
Само умственное развитие рассматривается как процесс присвоенияребёнком общественно-исторического опыта, и поэтому он имеетконкретно-историческую, социальную природу: его этапы и психологическиеособенности определяются системой организации и способом передачи ребёнкуобщественного опыта. Все виды и особенности мыслительной деятельности имеютобъективные, общественно — задаваемые образцы и усваиваются ребёнком как встихийном, так и в целенаправленном обучении. При этом роль обучения вумственном развитии исторически всё время возрастает и в настоящее времяявляется решающей.
Л. С. Выготский указывал, что обучение должно ориентироватьсяглавным образом на ещё не сложившиеся, но возникающие психические видыдеятельности ребёнка. Он ввёл понятие зоны ближайшего развития, ребёнок ещё неможет самостоятельно выполнять данную деятельность, но уже может её выполнитьпри помощи взрослого. Выполняя эту деятельность при постоянно уменьшающейсяпомощи взрослого, ребёнок переходит из зоны ближайшего развития в зонуактуального развития, в которой он уже эту деятельность может выполнять вполнесамостоятельно. Следовательно, процессы умственного развития и обучения являютсятесно связанными и взаимно обусловленными: обучение опирается на доступныйуровень развития. Но развитие не следует за обучением как тень, автоматически:оно зависит от содержания и характера обучения и многих других факторов, социальныхи воспитательных (семьи, среды, природных задатков и т. д. ). Я не разделяютакое категорическое мнение об одностороннем влиянии обучения на умственноеразвитие или наоборот. Я рассматриваю оба эти процесса во взаимном влиянии:обучение зависит от развития и развитие обусловлено обучением. Обучение, стимулируяумственное развитие, само на него опирается. Умственным может быть только такоеобучение, которое, опираясь на уже достигнутое развитие школьника, продвигаетего вперёд, развивая его познавательные возможности. В психологии долгосчиталось, что наглядно-образное мышление является низшим по сравнению сословесно-логическим (понятийным).
В заслугу математике ставилось развитие абстрактного мышления. Долгийпуть развития математики, всё большая её формализация, зачастую отрыв отсодержательной стороны постепенно влияли и на содержание школьного курса. Онстановится всё более формализованным. В учебниках и на уроках математикиосуществлялся быстрый переход от определений понятий к оперированию знаками, замещающимиэти понятия, без должного уяснения содержания, без сознания полноценногомысленного образа. Школьники (большая часть) вынуждены формально запоминатьопределения понятий, их свойства, оперирование ими. Изучение математики длянекоторых стало невыносимым трудом, не приносящим радости. Вследствие этого насовременном этапе развития психолого-педагогической науки на одном из первых позначимости мест выдвигается проблема формирования и развития образного мышленияучащихся, особенно при обучении математики, самой абстрактной из наук. Значимостьнаглядно-образного представления учебной информации, становится ещё болеепонятной на фоне данных нейрофизиологии последних двух десятилетий, котораяубедительно доказала функциональную асимметрию полушарий головного мозга человека.Кроме того, у значительной части школьников (около 20%) наблюдаетсялатерализация правого полушария. Поэтому для успешного усвоения имиматематических знаний необходимо усиление наглядно-образной составляющейпредъявляемого материала, как противовеса (в некоторых случаях) или необходимой,преобладающей в математике абстрактно-логической компоненты.
Математика берёт своё начало в практической деятельности людей, вописании пространственных форм и количественных отношений видимого окружающегомира. Вводя математические понятия учёные математики пользовалисьсоответствующими образами. Многие из этих образов, как вспомогательные элементы,использовались в обучении. В силу ряд причин с течением времени некоторыеобразы неразумно вытеснялись из процесса обучения. В большей степени этосвязано с возрастающей формализацией математики.
Многочисленными исследованиями, выполненными в рамках общей, возрастнойи педагогической психологии показано, что интеллектуальное развитие личности вонтогенезе неразрывно связано с овладением пространством сначала практически, азатем и теоретически. Само развитие овладения пространством понимается при этом,как усложнение и качественное изменение видов и способов ориентации. Важнойстороной интеллектуального развития является пространственное мышление, обеспечивающеев ходе познания выделение в объектах и явлениях действительностипространственных свойств и отношений (формы, величины, направления, протяжённостии т. п.), создание на этой основе пространственных образов и оперирование ими впроцессе решения задач. Трудно назвать хотя бы одну область человеческойдеятельности, где создание пространственных образов и оперирование ими неиграло существенной роли.
Особое значение пространственное мышление имеет в различных видахконструктивно-технической, изобразительной, графической деятельности(исследования Б. Афанасьева, А. Д. Ботвинникова, Л. Л. Гуровой, Е. И. Игнатьева,С. Н. Кабановой — Миллер, В. И. Киреенко, Т. В. Кудрявявцева, Н. П. Линьковлой,Б. Ф. Ломова, В. А. Моляко, В. С. Мухиной, Н. П. Сакулиной и другие).
Роль пространственного мышления в овладении различными видамидеятельности особенно возросла в настоящее время в связи с широкимиспользованием в науке и технике графического моделирования, позволяющего болеенаглядно и вместе с тем достаточно формализовано выявлять и описыватьисследуемые теоретические зависимости, прогнозировать их проявление в различныхобластях действительности. Отличительной особенностью труда в условияхсовременного производства является опосредованный характер управленияавтоматически действующими техническими объектами и процессами, на основесигнализирующих устройств, различных не только по своему производственномусодержанию, но и тем требованиям, которые они предъявляют к пространственному мышлению.
С этой точки зрения все применяемые в настоящее время в техникесигнализирующие устройства различают на воспроизводящие реальные свойстваобъектов и обозначающие их с помощью специальной системы символов и знаков. Технологическиеисследования (М. В. Гамезо, В. П. Зинченко, Б. Ф. Ломов, В. Н. Пушкин, В. Ф. Рубахини другие) показывают, что в этих условиях скорость, надёжность приёма ипереработки зрительной информации об управляемых объектах зависит главнымобразом от умения создавать адекватные зрительные образы, свободно переходитьот одной знаковой системы к другой, „перекодировать“ поступающуюинформацию с учётом динамики сигналов-кодов, не допуская рассогласования междувосприятием непосредственно поступающей на пульт управления звуковой информациии образами конкретных производственных объектов. Вся эта деятельность протекаетв уме, без зрительной опоры на реально действующие механизмы и процессы, чтотребует хорошо развитого пространственного мышления. В последнее время приконструировании технических Систем особое значение придаётся разработкеспециальной разновидности сигналов-символов, отображающих различные признакиуправляемого объекта в виде целостной пространственной структуры — пространственного кодирования. Аналогичные тенденции наблюдаются и в инженернойграфике, где усиливается роль схематизации, формализации изображений, заменынаглядных изображений условными обозначениями с целью придания им болееуниверсального значения позволяющего тем самым отображать большое количествореальных объектов, отличающихся разнообразием свойств и функций. Во многихотраслях научного знания (биология, химия, физика, математика и др.) такжешироко используются обобщенные графические средства, моделирующие свойства исоотношения изучаемых объектов.
Все это не может не сказаться на содержании и методах усвоенияшкольных заданий, где также большое распространение получил метод графическогомоделирования. Как отмечается в ряде исследований (П. Р. Атутов, В. Г. Болтянский,А. Д. Ботвинников и др.) условные графические модели являются наглядностьюпринципиально иного содержания и характера, чем изображения конкретных объектов.Оперирование пространственными графическими моделями во многих предметах, изучаемыхв школе, становится самостоятельным видом учебной деятельности и широкоиспользуется при усвоении не только физико-математических, но и гуманитарныхдисциплин (В. В. Давыдов, Л. И. Айдарова, А. И. Маркова, Л. М. Фридман и др.). Повышениетеоретического содержания знаний, исполнение метода графического моделированияи структурного анализа в изучении явлений объективной действительности, развитиеи совершенствование средств знаковой культуры- всё это приводит к тому, чточеловек в процессе деятельности постоянно оперирует пространственными образами,перекодирует их, что создаёт принципиально новые требования к развитиюпространственного мышления.
Образы, формируемые на основе различных графических моделей, имеютиную психологическую природу, чем те, которые возникают на основе наглядныхизображений конкретных предметов. По своему содержанию и функциям они скорееприближаются к понятиям, чем к представлениям — иллюстрациям.
Всё это побуждает к дополнительному изучению особенностейпространственного мышления с учётом современных требований к эго развитию.
Гносеологическая функция пространственного мышления. Мышлениесубъекта может выделять только те стороны и свойства действительности, которыесоставляют содержание его преобразующей деятельности. Будучи обобщённым иопосредованным отражением действительности, мышление может быть направленно наанализ качественно различных сторон этой действительности, что определяетсянаправленностью, избирательностью, познавательной активностью человека, егопотребностями, мотивами, сложившимися у него средствами деятельности (знаниями,умениями, навыками).
Именно сфера деятельности (теоретическая илиэмпирически-практическая) определяет содержание индивидуального мышления, специализируяего, направляя на анализ тех сторон действительности, которые наиболее важныдля продуктивного осуществления этой деятельности. Есть такие областичеловеческой деятельности, в которой установление пространственных соотношений,их преобразование являются специальной и нередко очень сложной задачей. Все этодаёт основание для выделения этой сферы человеческой деятельности в особый види обозначения её соответствующим термином.
Мышление, которое обеспечивает создание образов пространства иоперирование ими в процессе решения разнообразных задач есть»пространственное мышление".
Гносеологическая его функция состоит в том, что оно обеспечиваетпреобразование пространственных соотношений объектов: их формы, величины, взаимногорасположения частей, которые выражаются понятиями о направлении, расстоянии, местоположении,протяжённости и т. п. Для определения пространственной размещённости объектов(из взаимного положения) необходима система отсчёта. В качестве её чаще всегоиспользуется исходная позиция наблюдателя. Её изменение нередко влечёт за собойперестройку всей системы пространственных соотношений. Выбор точки отсчётаопределяется, как правило, самим человеком или задаётся условиями задачи, еёобъективными требованиями. Исходная позиция наблюдения является устойчивойсистемой отсчёта, общей у человека и животных. Руководствуясь" схемойтела", наблюдатель ориентируется в окружающем его пространствеотносительно расположенных в нём объектов. Он выделяет пространственныесоотношения с учётом собственного положения (ближе дальше, справа слева, спередисзади, сверху-снизу и т. п.). Назовём условно этот тип связей «субъект-объект» (S-O). В целом ряде случаев взаимодействие объектов материальногомира происходит и без участия субъекта. В этих случаях учитываютсяпространственные зависимости между самими объектами, позиция наблюдателя(субъекта) при этом не играет существенной роли. Назовём условно этот типсвязей «объект — объект» (О-О). Выделение этих двух типов связейносит не абсолютный, а относительный характер, так как субъект, временновыключаясь из целостной системы пространственных отношений, постоянно присутствуетв ней. Он не только изменяет своё положение в окружающем пространстве благодаряспособности к передвижению, но и активно взаимодействует с объектами, оказываятем самым решающее влияние на обнаружение пространственных связей между самимиобъектами, преобразуя их. Поэтому отражение пространственных свойств иотношений носит динамический характер.
Особенностью пространственных связей, как подчеркивал Б. Г. Ананьев,является то, что это есть один из видов отражения отношений между объектами. Поэтомуони могут быть выявлены и использованы лишь в ходе активной преобразующейдеятельности субъекта, благодаря которой из объекта как бы«вычёркиваются» (С. Л. Рубинштейн). Нужные пространственные связи иотношения, непосредственно не заданные в самом объекте познания.
Таким образом, пространственное мышление выполняет весьма важнуюгносеологическую функцию и обладает ярким качественным своеобразием.
Пространственное мышление — вид умственной деятельности, обеспечивающийсоздание пространственных образов и оперирование ими в процессе решенияпрактических и теоретических задач. Это сложный процесс, куда включаются нетолько логические (словесно-понятные) операции, но и множество перспективныхдействий, без которых мышление протекать не может, а именно опознание объектов,представленных реально или изображённых различными графическими средствами, созданиена этой основе адекватных образов и оперирование ими по представлению. Являясьразновидностью образного мышления, пространственное мышление сохраняет все егоосновные черты, и тем самым отличается от словесно-дискурсивных форм мышления. Эторазличие мы видим прежде всего в том, что пространственное мышление оперируетобразами; в процессе этого оперирования происходит их воссоздание, перестройка,видоизменение в требуемом направлении. Образы здесь являются и исходнымматериалом, и основной оперативной единицей, и результатом мыслительногопроцесса. Это не означает, конечно, что при этом не используются словесныезнания. Но в отличие от словесно-дискуссивного мышления, где словесные знанияявляются основным содержанием, в образном мышлении слова используются каксредства интерпретации уже выполненных в образах преобразований.
Будучи более тесно и непосредственно связанным с отражениемреальной действительности, образ даёт знание не об изолированных сторонах(свойств) этой действительности, а представляет собою целостную мысленнуюкартину конкретного участка действительности, где воспроизводятся не отдельныепризнаки и свойства объектов, а обязательно их пространственная размещённость.
Для создания образа, как мысленной картины существенным моментомявляется выбор исходной точки отсчёта, что также отличает образ от понятия(словесного знания). Итак, пространственное мышление, обладая всемихарактерными особенностями образного мышления, выполняет специфическую функциюв познании и обучении. Оно позволяет вычленять из реальных объектов, теоретических(графических) моделей пространственные свойства и отношения, делать их объектоманализа и преобразования. Основной оперативной единицей пространственногомышления являются пространственные образы, в которых отражаются не все свойства,признаки предметного мира, а лишь пространственные свойства и отношения. Пространственноемышление, в своих наиболее развитых формах формируется на графической основе, поэтомуведущими для него являются зрительные образы.
Анализ гносеологических и психологических особенностейпространственного мышления важен для определения основных направлений иперспектив его развития у школьников. Изучая содержание пространственногомышления школьников, имеется в виду, что и практически, и теоретически оноформируется в основном на материале евклидова пространства, при рассмотренииразных инерционных систем, где действуют законы классической физики и механики,теории тяготения. Наряду с ними в школе закладываются основы научныхпредставлений о пространстве, отражающие зависимости, существующие внеинерционных системах, где не действуют классические законы механики и земногопритяжения. На уроках физики старшеклассники знакомятся с элементами ядернойфизики, теории относительности, изучают законы не только макро, — но имикромира. Аналогичные тенденции проявляются и на уроках по другим предметам.
Развитию пространственного мышления необходимо уделять большевнимания, чем это предусматривается в учебниках, поэтому мы ставим перед собойзадачу, разработать элементы методики формирования пространственного мышления уучащихся основной школы, которые будут в себя включать упражнения вопределённой системе, о которых будет говориться ниже, а также попытаться наоснове того материала, который имеется в учебнике, так организовать работу сдетьми, чтобы она способствовала развитию пространственного мышления.
Глава II. Методика формированияпространственного мышления учащихся основной школы при изучении векторногопространства
2.1 Методические аспекты развития пространственного мышления какэлемента образного
Рассмотрим, какие подходы предлагают для развития пространственногомышления в средней школе и выясним возможности их использования.
А. Пардала выделяет такие основные типы упражнений, дидактическимназначением которых является формирование и развитие пространственныхпредставлений учащихся: математические игры, связанные с пространственнымипредставлениями; исследование конкретных геометрических объектов-фигур ипреобразований; конструктивные задачи; прикладные задачи; проекционныестереометрические задачи; задачи на проектирование геометрических тел, построениесечений; диагностические задачи на проверку сформированности пространственныхпредставлений.
Однако А. Я. Цукарь считает, что хотя это не классификация, тем неменее так смешивать (как это сделал А. Пардала) в одном перечне типы упражнений,одни из которых являются частным случаем других, а у некоторых совершенноразные основания, непозволительно. Очевидно, что выделять в отдельный типдиагностические задачи не имеет смысла. В математических играх могутиспользоваться самые разные задачи: и на проектирование, и на построениесечений. А разве задачи на проектирование геометрических тел не являютсяконструктивными? Налицо частая для методических публикаций нечётность в делении,как логической операции, иногда доходящая до эклектики.
Г. Н. Никитина говорит о методических приёмах развитияпространственного мышления учащихся: привлечение неплоских пространственныхобразов при рассмотрении вопросов планиметрии; создание целостногогеометрического образа с опорой на наглядность; создание ситуаций, способствующихактивному оперированию геометрическим образом; творческое конструирование новыхгеометрических образов. В другой работе Г. Н. Никитина с авторам к показателямразвития пространственного мышления относит умения: 1. создавать исходныйгеометрический образ, т. е. в графической модели передавать форму, размеры ивзаимное расположение отдельных элементов объекта; 2. выбирать и произвольноизменять точку отсчёта; 3. сохранять в памяти геометрический образ; 4. анализироватьи синтезировать геометрические образы; 5. рассматривать объект с разных точекзрения; 6. мысленно производить различные геометрические преобразования надисходным геометрическим образом; 7. мысленно изменять структуру геометрическогообраза; 8. осуществлять глазомерные оценки линейных и угловых величин. В приведённыхвыше делениях также имеется смешение разных оснований.
На каком-то этапе специалисты, образно говоря, занимаются«собирательством», чтобы затем более внимательно изучить исистематизировать накопленный материал. В последнее время появилось пониманиетого, что не только 5-6 классы среднего звена, а также и начальная школа, — благоприятное время для развития пространственного мышления. Поэтому хоть имедленно, но на уроке математики в начальных классах проникают специальныеупражнения, направленные на его развитие. Затем в 6-9 классах эта проблемазабывается и всплывает (по необходимости) в 10 классе, поскольку явно даёт осебе знать. Традиционно для развития пространственного воображения учеников10-11 классов использовались задачи на построение сечений многогранниковплоскостью. Эта тема находилась в центре внимания многих исследователей, начинаяс Н. Ф. Четвертухина. Ей посвятил свою небольшую книгу К. С. Богушевский, котораяпомогла учителям увидеть место таких задач при изучении аксиом стереометрии итем " Параллельность прямых и плоскостей ". Методистамиразрабатывались системы задач, связанных с изображением пространственных фигури с построением сечений многогранников плоскостью.
Основой формирования пространственного воображения является практическаяработа ребёнка с пространственными объектами, манипулирование ими, изменение ихположения в пространстве разъединение и соединение нескольких в один. Внешниедействия субъекта с объектами являются необходимыми для того, чтобы он могзатем производить с ними внутренние, мысленные действия. Но они не являютсядостаточными. Любая деятельность воображения невозможна без фиксации еёпромежуточных этапов (конструкций) каким-либо простым способом (взнаково-символической форме). Поэтому для развития пространственноговоображения школьников нужно вооружать их соответствующими знаниями о способахтакой фиксации. Одним из самых распространенных является изображениепространственных объектов по принятым правилам. Необходимое условиеформирования и развития пространственного воображения — наличие достаточнообширного и разнообразного материала для восприятия. Правильность, продуктивностьего возрастает под влиянием упражнений, учитывающих всю гамму возможныхопераций над пространственными объектами, приводящих к созданию новых образов, ведьосновная его функция — оперирование пространственными образами. Таким образом, явновыделяются два типа упражнений, лежащих в основе формирования и развитияпространственного мышления: упражнения на умение читать изображения иизображать пространственные объекты, и упражнение на оперированиепространственными образами. В свою очередь, в них можно выделить разные виды:отыскание изображения из нескольких данных для предъявленного объекта;нахождение объекта из некоторого набора, соответствующего данному изображению;завершение изображения известного объекта по его фрагменту; идентификацияразличных изображений одного и того же пространственного объекта; узнаваниефигуры по её проекциям; 6. определение взаимного расположения нескольких фигурпо их изображениям; 7. оценивание формы и размеров фигуры; 8. построениепроекций заданной фигуры; 9. построения изображения объекта по его 10. изображениеобъекта по его описанию; 11. изготовление модели по её чертежу, попредъявленному объекту, по его описанию; 12. узнавание и изображение объекта, полученного(мысленным) изменением ( с помощью поворота, симметрии, параллельного переноса)положения заданного; 13. узнавание и изображение фигуры, составленной иззаданных по известному правилу; 14. изображение пересечения заданных фигур (втом числе после мысленного их перемещения); 15 изображение частей фигур послееё мысленного расчленения.
Требования к содержанию (упражнениям) обучения, направленного надостижение необходимого уровня пространственного мышления (по Нурмагомедову). Упражнениядолжны строиться с расчётом: — использования конкретных представлений оматериальных телах, их взаимном расположении в пространстве, об их свойствах(подвижность, неподвижность, устойчивость, неустойчивость, способностьсохранения и изменения формы и т. п. ); учёта необходимости доминантыкачественной оценки окружающих предметов над количественной, свойственной учащихсяосновной школы. Отсюда, например метрические представления не должны опережатьпредставления о форме или взаимном расположении; обеспечения необходимой иобязательной работы по развитию речи, формированию активного словаря, характеризующегоформу предметов и фигур, их свойств, отношения взаимного расположения впространстве; — обеспечения использования при выполнении заданий и упражненийвсех возможных рецепторов восприятия окружающего пространства (зрения, осязания,слуха). Отсюда необходимость обеспечения при решении упражнений разнообразныхвидов деятельности и способов решений.
2.2 Методика формирования пространственногомышления учащихся основной школы при изучении элементов геометрии
Известно, что геометрия как наука, первоосновы которой излагаются вшколе, имеет своим предметом изучение пространственных форм и отношенийреального мира. Научное познание этих форм и отношений возможно при наличии учеловека развитого мышления и воображения. Такие качества приобретаютсяжизненным опытом и обучением. Отсюда важнейшей целью обучения школьнойгеометрии является формирование пространственных представлений и развитиевоображения и мышления у учащихся.
При обучении геометрии её цели и средства находятся в сложныхдиалектических причинно- следственных взаимосвязях. Если ученик при решениигеометрических задач плохо представляет формы фигур и их детали, он допускаетошибки или совсем теряется в преодолении трудностей. Это показатель того, что унего слабо развиты пространственные представления и воображение. Раскрытие этихвзаимосвязей с учётом индивидуальных способностей школьников является важнейшейпроблемой педагогики геометрии. Формирование геометрических представлений иразвитие пространственного мышления учащихся на материале школьного курсагеометрии преследует не только общеучебные, но и теоретико-познавательные цели- подвести учащихся к пониманию существенных свойств реальногопространства(симметричность, подобие, конгруэнтность в себе, непрерывность ипрерывность, трёхмерность, бесконечность и др. ), знаниями которых они могли быпользоваться в трудовой деятельности.
Процесс познания пространственных форм и отношений протекает учеловека всю его жизнь, целенаправленный смысл ему придаётся лишь при обучениив школе, поэтому, занимаясь этими вопросами на уроках геометрии, следуеттщательно учитывать уровень и характер формированности этих качеств у ребёнка ина каждом последующем этапе, предшествующем данному.
Для достижения рассматриваемых учебных целей геометрии возможнопойти двумя путями: -
совершенствовать содержание школьной программы;
— применять систему методов, средств и форм организации учебнойдеятельности учащихся.
Известно, что процесс формирования и развития пространственныхпредставлений у человека проходит эмпирическую и абстрактнуюлогико-геометрические ступени. При этом вторая почти полностью определяется изависит от школьного геометрического образования (программы и методов). Запоследнее десятилетия жизненные условия (на экономической ступени) для познаниясвойств пространства учащимися основной школы значительно обогатились ирасширились под влиянием изменений их «коммуникационного, визуального иметрического климата». Практически все учёные-исследователи указывают наособую роль геометрии, геометрического материала в развитии мышления школьников.Так, например А. Пышкало в числе важнейших методических линий выделяетформирование геометрических представлений, развитие мышления, формированиепространственных представлений и воображения. В своей диссертации А. Пышкалоговорит, что в процессе изложения материала у учащихся формируются навыкииндивидуального мышления, воспитываются умения делать простейшие индуктивныеумозаключения. Одновременно с этим постепенно развиваются и используются навыкидедуктивного мышления. Всё это ведётся через формирование приёмов умственныхдействий таких, как анализ и синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение.
В первом классе ведётся работа по первоначальному ознакомлению сфигурами. Уже при этом дети выполняют умственные операции анализа и синтеза. Важнойзадачей методики обучения в этот момент является обеспечение целенаправленногои полного анализа фигуры, на основе которого выделяются её существенныесвойства и происходит отвлечение от несущественных свойств. В ходе такой работыс необходимостью возникает потребность применения геометрической и логическойтерминологии, символики, условных изображений. Их введение поэтому не можетявляться формальным актом. В традиционном обучении уже в первом классе частоначинают изучение фигур с введения формального определения. Эксперимент показал,что использование формальных определений в первом классе оказываетсяпреждевременным. Но уже в третьем классе, когда дети овладели значительнымзапасом представлений, возникает потребность в обобщениях, учащиеся уже должныуметь давать описание фигур и их свойства по своему характеру близкие копределениям.
Одна из задач в разработке методики изучения геометрическогоматериала А. Пышкало состояла в исследовании возможности осуществленияпервоначального ознакомления учащихся третьих классов со структурой логическогоследования. С этой целью в диссертации Пышкало намечены специальные упражнения.Основу работы по формированию пространственных представлений составляет преждевсего создание запаса пространственных представлений, получаемых на основенепосредственного знакомства с материальными образами геометрических объектов, которыев дальнейшем совершенствуются с привлечением геометрических моделей. На базесоздания запаса представлений уже во вторых — третьих классах становитсявозможным формирование собственно пространственных представлений, когда новыепространственные представления создаются как комбинация ранее созданных.
Важным методическим приёмом, обеспечивающим прочные геометрическиезнания является формирование пространственных представлений черезнепосредственные восприятия учащимися конкретных вещей, материальных моделейгеометрических образов. В первом классе пространственные представлениявырабатываются в процессе приобретения детьми практического опытапространственной ориентировки реальных предметов, материальных моделейгеометрических фигур. Во втором — третьем классе характер работы поформированию пространственных представлений усложняется. Следует, например, формироватьпредставления об одной фигуре с опорой на непосредственное восприятие другойфигуры. Например, представление о кубе с опорой на непосредственное восприятиемодели квадрата, изготовленного из палочек и пластилина. Дети изготовили такуюмодель. На некоторое время учащимся показывается модель куба, и после того, какона убрана ставятся вопросы: «Можно ли из палочек и кусочков пластилинаизготовить модель куба? Сколько для этого нужно взять палочек, сколько кусочковпластилина? » Учащиеся решают эту задачу мысленно, в воображении. Вдиссертации разработана система упражнений и методика их использования, основнымназначением которых является формирование пространственных представлений иразвитие пространственного мышления и воображения учащихся.
Однако, несмотря на декларируемый развивающий характер методики А. Пышкало,с точки зрения современных психологов изучение сначала плоских, а затемобъёмных фигур является неверным. Данные психологических и физиологическихисследований указывают на интенсивное обогащение пространственных представленийу учащихся основной школы, увеличение числа выполняемых ими пространственныхопераций передвижение, размещение, воссоздание форм, а также расположений ближе,дальше, рядом, вместе, раздельно и др. Эти представления и операции имеют ярковыраженный качественный, а не количественный метрический характер. Умственнаядеятельность учащихся основной школы проходит прежде всего в формахустановления связей между его опытом в физическом пространстве и конкретнымдействием. Поэтому первоначальное ознакомление учащихся с основнымигеометрическими понятиями (форма, тело, поверхность, плоскость и др.) нужнопроводить на материале, с которым школьник может оперировать своими руками. Замеченотакже, что у детей формируются раньше некоторые топологические, потомпроективные, а позже — метрические понятия и свойства фигур. При разработкесодержания программы начального обучения нельзя не учитывать указаннойпоследовательности психологического развития ребёнка.
Важнейшей педагогической проблемой является разрешение противоречиямежду первичностью пространственных форм с точки зрения процесса познания мира,их физическим реализмом сравнительно с абстрактностью плоских фигур итрадиционной логикой построения геометрических курсов, развивающихся от плоскойи пространственной геометрии.
2.3 Методика формирования пространственного мышления учащихсяосновной школы при построении модели к задачам
В нашей стране обучение математике сложилось таким образом, чтооколо 40% содержания всего материала учебников по математике для начальнойшколы составляют текстовые задачи. И значительная часть времени на урокахматематики отводится решению. Поэтому осуществление направленности этой частиуроков на формирование пространственного мышления учащихся основной школы будетиграть важную роль в становлении и развитии учащихся.
В анализах ежегодных проверок качества обучения математике вначальной школе постоянно отмечается не умение значительной части учащихсярешать текстовые задачи. Изучение опыта работы массовой школы показывает, чтомногие учителя ориентируют учащихся в работе над задачей на достижениеединственной цели — получение ответа на вопрос задачи.
Чему дети при этом учатся или должны научиться, не всегдаосознаётся даже учителем, а потому такое обучение зачастую носит случайныйхарактер. В методике преподавания математики, в психологии разработаны вопросытеории решения задач, а именно: определены в целом этапы решения задачи, описанынекоторые методы и способы решения, разработаны нормативные формы записи и т. п.Однако накопленные в методике знания о задачах и их решении не стали ещё предметомспециального обучения школьников. Одной из причин этого является недостаточноепонимание учителем роли текстовых задач в обучении учащихся основной школы.
Методика решения текстовых задач была разработана С. Е. Царевой. Еюбыли сформулированы этапы решения текстовых задач: Восприятие и осмысление. Поискплана решения. Решение задачи. Проверка решения задачи. Ответ задачи.
Для определения роли текстовых задач в формированиипространственного мышления учащихся начальных классов современной школы выяснимна каком этапе решения текстовой задачи есть возможность формироватьпространственное представление у учащихся основной школы.
Существуют различные методы решения текстовых задач, но приразвитии пространственного мышления более важную роль будут играть решениязадач геометрическим методом или хотя бы построение такой модели к задачи какчертёж. Моделирование играет значительную роль во всех разделах науки, а всвязи со стремительным внедрением в различные области человеческой деятельностикомпьютеров эта роль ещё более возрастает. Включение моделирования в учебныйпроцесс, обучение моделированию — важная задача современной школы. Использованиемоделей при решении задач включает в себя построение модели, составление по нейплана решения и его выполнение как на языке моделей, так и другими средствами. Построениемодели — есть средство осмысления содержания задачи.
Известны различные виды (приёмы) моделирования. Наиболее простымявляется практическое воспроизведение описанной в задаче ситуации (этот способиногда называют «драматизацией» задачи). Рассмотрим такую задачу:«У Серёжи было 7 марок, а у Саши 3 марки. Сколько марок у мальчиковвместе?» Для формирования пространственного воображения эту задачу можновоспроизвести так. К доске выдут два мальчика. У одного будет 7 марок (вместомарок можно использовать небольшие квадратики из бумаги), а у другого — 3. Такоевоспроизведение дополняет представления детей, возникшие при чтении текстазадачи.
Полезно научить первоклассников осознанно использовать приём драматизации.Обучение воспроизведения заданной ситуации должно проводиться параллельно сформированием у учащихся умения представлять её. Строиться это обучение должнотак, чтобы учащиеся переходили от практической деятельности к учебной. Вбольшинстве случаев прямое повторение того, что описано в задаче, невозможно, поэтомуцелесообразнее мысленное её представление или изображение с использованиемпроизвольных предметов: квадратов, кружков палочек и т. п. Это и есть началоработы над обучением школьников предметному моделированию как средствоосуществления первичного анализа.
К условно-предметным моделям отнесём схематические рисунки. Предметы,о которых идёт речь в задаче, изображаются в этом случае кружочкамиквадратиками и т. п.
Построение чертежа (геометрической модели) может быть полезно прианализе и поиске решения задач, содержащих как непрерывные величины, так идискретные. Например, для задачи «В коробке было 40 конфет. Сначала оттудавзяли 10 конфет, а потом ещё 5 конфет. Сколько конфет осталось в коробке?»Воспользуемся чертежом, что будет формировать у детей пространственноепредставление. 40к. 5к. 10к.?
Для развития пространственного мышления у учащихся воспользуемсятемами некоторых уроков, в которых нет явного задания на формированиепространственного воображения, но через чертёж, схему при правильно выбранныхучителем целей задания, можно развивать его.
Одна из тем такого урока (третья четверть): «Применениечертежей при решении задач». Вначале учащимся целесообразнее предложитьвыполнить ряд подготовительных упражнений. Одно из них, например, такое:
«Покажите отрезок, длина которого известна. Как можно найти еёчерез длины других отрезков?» (чертежи заранее вычертить на доске). 7 см. 3см.
А) 6 см. 6 см. 3см.
Б)? 1 см. 3см.
В)? 5 см.
? Г) 2 см. 4 см.
Для того чтобы научиться решать задачи, полезно научиться строитьчертежи к задачам и составлять планы решения по чертежам.
Поиск плана решения задачи можно осуществить на основе её модели. Модельможет служить только осмыслению содержания задачи, а может быть использована идля поисков плана решения. Поиск плана решения задачи по её модели заключаетсяв выделении элемента, моделирующего искомое, в определении последовательностиопераций с другими элементами модели или соответствующей последовательностиарифметических действий над данными и неизвестными для получения искомого илидля составления уравнения. Для осуществления поиска плана решения задачи почертежу, чертёж должен быть построен. Операция построения может включаться какв первый этап решения (если чертёж строится для лучшего понимания задачи), таки во второй этап (если содержание задачи понятно и без чертежа). Поэтомуобучение детей построению чертежа к задачам — важная часть обученияиспользования чертежа как средства поиска плана решения.
Приведу лишь несколько примеров:
1. Из каких отрезков состоит искомый отрезок. Сумме или разностиданных чисел равна его длина?
А) 3 см. 7см. 10 см.
Б) 3 см. 7 см. 2.
По данным чертежам составьте выражения, значения которогосоответствуют знаку"?" чертеже. 15 см.
А) 5 см.? 5 кг.
Б)? 7 кг. 12 кг.
В обучении поиск плана решения с помощью разбора задачи ипостроения графических схем стал предметом специального изучения и овладенияучащимся во второй половине третьей четверти. В дальнейшем, на протяжении всегоучебного года учитель достаточно часто должен предлагать учащимся осуществлятьпоиск плана решения таким способом.
При решении задач геометрическим методом, при построении чертежей, моделейк задачам происходит развитие пространственного мышления у детей, т. к. ребёнокпостоянно сталкивается с различными геометрическими понятиями, объектами, сотношениями этих геометрических объектов между объектами в пространстве.
Заключение
В заключении подведем основные итоги. На основании изученногоматериала можно сделать следующие выводы.
Формируются пространственные представления у учащихся 9-11 классовв процессе обучения преимущественно путём:
1. наблюдения;
2. восприятия и осмысливания информации, полученной от учителя и изучебников;
3. практической деятельности (измерение, построение, рисование,моделирование, решение задач и др.);
4. мысленного оперирования пространственного представления.
На основе длительных теоретических и экспериментальных исследованийдля определения сформированности у учащихся пространственного представления, ихполноты, осмысленности, действительности, научности, в качестве критерия оценкиН. Д. Мацко предлагает принять следующие умения:
1. Распознавать данный объект среди объектов реальнойдействительности.
2. Распознавать объект среди изображений.
3. Устанавливать взаимосвязи между словом, представлениемизображением и объектом реальной действительности.
4. Воспроизводить в воображении объект (представления памяти).
5. Воспроизводить представления памяти (словесно, графически, ввиде модели).
6. Создавать в воображении новые объекты (представлениевоображения).
7. Воспроизводить представления воображения (словесно, графически,в виде модели. )
На основе этих умений ею же определяются уровни сформированностипространственного представления у учащихся.
Уровень I (Аккумулятивный). Накопление и узнавание пространственныхпризнаков и отношений. Учащиеся накапливают разнообразные пространственныепредставления, учатся узнавать разнообразные пространственные объекты, ихотдельные признаки и отношения. Они могут дать название объекту, найти его нарисунке среди предметов реальной действительности. Но дифференцирована междуразличными категориями пространственных признаков неустойчива, частоотсутствует соответствие между образом и словом и наоборот. Представления уучащихся неполные (умение 1-4).
Уровень II (Репродуктивный). Воспроизведение представления памяти.У учащегося развита способность воспроизводить (в представлении, словесно, нарисунке, в виде модели) известные им пространственные признаки и отношения. Уних значительно расширился запас пространственной терминологии, накопленыразные виды пространственного представления и отношений: учащиеся, умеютустанавливать связи между пространством, количествами и временнымипредставлениями. Слово уже приобретает сигнальное значение и вызывает уучащегося соответствующее представление (умение 1-5)
Уровень III (Конструктивный). Самостоятельное конструированиепространственного образа. Учащиеся активно используют как опору в мыслительнойдеятельности уже оформленные представления в синтезе с количественными ивременными отношениями. Они умеют давать словесное описание пространственныхпризнаков и отношений, опираясь на отдельные элементы пространственных понятий(о форме, величине, расстоянии и др.) На основе сформированных пространственныхпредставлений они создают новые представления и оперируют ими, пользуясьсловесным описанием, числовыми данными, рисунками (умение 1-5, частично 6, 7).
Уровень IV (Интеллектуальный). Мысленное оперированиепространственными представлениями. У учащегося богатый запас пространственногопредставления, терминологии, они легко дифференцируют пространственные признакии отношения. Для этого уровня характерно уже умение перемещать мысленно пространственныеобъекты (симметрия, перенос, поворот), находить на рисунке положение фигурыпосле её перемещения, вид перемещения и т. д. (умение 1-7)
Уровни не относятся конкретно к определённым классам и нерассматриваются изолировано, как временные периоды, которые строго переходятодин в другой. Уровни между собой тесно связаны, переплетаются и можнополагать, что каждый предшествующий является основной, подготавливающейпоследующий. При формировании пространственного представления эти уровни могутсосуществовать при оперировании разным содержанием у одних и тех же детей иодним и тем же содержанием у разных детей. Особое место в формированиипредставлений отводится чтению и построению графических изображений. Припостроении графического изображения главной задачей является переводпредставления об объекте в плоскостное его изображение, при чтении решаетсяпротивоположная задача: на основе восприятия плоскостного изображения мысленно,в представлении, воспроизводится форма, размеренность, положение объекта и выясняютсянеобходимые сведения, взаимосвязи и отношения. Представления об объекте причтении и построении графических изображений формируются не только в результатенепосредственного узнавания или припоминания, а в результате целой системыумственных действий, направленных на преобразование данных восприятия имысленное воспроизведение образа. Чтение и построение нельзя свестинепосредственно к навыкам, они являются осмысленными умениями, в которых лишьотдельные действия автоматизированы.
Школьными учебными программами предусмотрено овладение учащимися 9-11классов почти всеми пространственно — геометрическими представлениями, словами- терминами и символами, необходимыми для усвоения учебного материала в основнойшколе.
Результаты констатирующего эксперимента показали, что запассформированных пространственных представлений у учащихся по окончании 9 классанедостаточный, существует несоответствие между требованиями программы и уровнемсформированности пространственных представлений у учащихся. Нередко у учащихся(25,7%)наблюдается расхождение между представлением и словесным описанием,отсутствие достаточно развитой зрительной памяти (28, 4%), сформированныеобразы инертны и малопригодны для конструктивных видоизменений (31, 5%),представления приведены в «умах» учащихся в систему и др. Одной изпричин недостаточной сформированности пространственных представлений у учащихсяявляется то, что при существующей методике преподавания формируютсяпространственные представления не в достаточной мере целенаправленно, являясьчасто лишь побочным продуктом обучения.
На основе полученных данных результатов теоретического анализа иконстатирующего эксперимента, мы пришли к выводу, что формированиепространственных представлений у учащихся будет обеспечено лишь тогда, когда впедагогическом процессе будут созданы новые условия для: 1. запоминания; 2.накопления учащимися запаса пространственных представлений; 3. опытараспознания пространственных признаков и отношений; 4. запаса словесных знанийи терминологии; 5. приобретения умений устанавливать взаимосвязи междуобъектом, словом, образом и предметом реальной действительности; 6. уменийвоспроизводить представления (в воображении, мысленно графически в виде модели)и создавать новые; 7. мысленного оперирования представлениями (представлениявоображения), используя их как опору при усвоении знаний; 8. приведениесформированных представлений в систему.
Один из путей реализации этих условий мы видим в обоснованнойсистеме упражнений, которая обеспечивала бы целенаправленность процессаформирования пространственных представлений.
Список литературы
1. Байрамукова П.У. Схематический рисунок при решении задач // Начальнаяшкола – 2001 — №11
2. Волович Н. Б. Наука обучать: психология преподавания математики. М.,2002.
3. Выготский Л. С. Воображение и творчество в детском возрасте. М., 2001.
4. Глейзер Г. Д. Методы формирования и развития пространственныхпредставлений школьников в процессе обучения геометрии. М., 2002.
5. Григорян К. Некоторые особенности процесса образного мышления. М.,Знание, 2002.
6. Груденов Я. И. Психолого-дедуктивные основы методики обучения математике.М., 2001.
7. Давыдов В. В. Виды обучения в обучении. М., 2001.
8. Зинченко В. П., Моргунов Е. Б. Человек Развивающийся. М., 2001.
9. Корнфельд С. Методические рекомендации к проверке сформированностипространственных представлений учащихся. М., 2000.
10. Крутецкий В. А. Психология математических способностей учащихся основнойшколы. М., 2000
11. Крутецкий В. А. Основы педагогической психологии. М., 2001.
12. Леонтьев А. Н. Деятельность. Сознание. Личность. М., 2001.
13. Мацко Н. Д. Формирование пространственных представлений у учащихся I-IVклассов в процессе обучения. Киев, 2002.
14. Нурмагомедов Д. Методика формирования пространственных представлений у учащихсяосновной школы. М., 2000
15. Пиаже Ж. Как дети образуют математические понятия. Вопросы психологии,М., 2001.
16. Подходова Н.С. Геометрия // Начальная школа, — 2001 — №1 – С 14-15
17. Психологические возможности учащихся основной школы в усвоенииматематики / под ред. В. В. Давыдова. М., 2000.
18. Пышкало А. М. Вопросы формирования геометрических представлений у учащихсяосновной школы. М., 2001
19. Скаткин Л. Н. Лекции по методике начального обучения математике. М.,2001
20. Фридман Л. М. Психолого-педагогические основы обучения математике вшколе. М., 2001.
21. Фуше А. Педагогика математики. М., 2001.
22. Цукарь А. Я. Теоретические основы образного мышления и практика ихиспользования в обучении математике. Новосибирск, 2002.
23. Якиманская И. С. Возрастные и индивидуальные особенности образногомышления. М., 2001.
24. Якиманская И. С. Развитие пространственного мышления школьников. М.,2001.