Путник,поторопись: за поворотом дороги исполнятся все твои желания!
Плакатна дороге к замку людоеда
Общеизвестное
Доказательство — рассуждение с цельюобоснования истинности некоторого утверждения. Доказательство ассоциируется сматематикой, а школьники связывают его прежде всего с геометрией.
Истинно ли доказанное утверждение? — Конечно, что завопрос…
Арифметикабез доказательств
Счет и запись результатов
Нам все, что больше трех, требуется сосчитать: предметы илизвуки. Непосредственное, без тренировки, пространственное и временноераспознавание числа объектов простирается не далее 4 или 5. Это врожденноесвойство: «нейронное» изображение чисел от1 до 3 в «единичной» системе счисления (вертикальными илигоризонтальными черточками) совпадает практически во всех культурах, различия визображении чисел начинаются с числа 4.
Нейронного запаса человеку оказалось мало, и он пополнилего. Сначала появился счет с применением стандартныхсчетных предметов: пальцев, камешков или раковин. Затем стали употреблятьзнаки: узелки, черточки, зарубки. Для уже привычных групп счетных знаковвозникли знаки языка — числительные. Сохранился рудимент этой эпохи в китайском языке в виде различных счетных слов, обязательных присчете объектов определенной природы — круглых, плоских, войн и революций и т.п.
Римляне надели камешки (calculus — отсюда калькулятор) настержни — получились счеты. Счеты неявно ввели позиционную систему счисления. Нуль в этой системе не требовализображения и не мог его иметь. Для записи результатов счета потребовалисьсредства письменности — иероглифы и буквы алфавита. В Древнем Египтеиероглифами записывали числа до десяти миллионов.
Греки использовали для записирезультатов астрономических вычислений смешанную систему: для целой части — собственную десятичную алфавитную непозиционную, для дробной части — 60-ричнуювавилонскую позиционную. Письменные операции над такими числами были нелегким делом.
Десятичную систему с нулем изобрели в Индии (VI век); еезаимствовали арабы, а у арабов — европейцы, которые до того пользовалисьримскими цифрами. Арабские цифры и десятичные дроби были открыты европейцамиуже после того, как они открыли Америку. Операции надцифровыми символами на бумаге стали проще, но и до сих пор трудны, а споявлением калькуляторов стали разве лишь непопулярным интеллектуальнымспортом.
Кто может сегодня извлечь квадратный корень безкалькулятора?
Откуда взялась 60-ричная системасчисления?
Изображения чисел и средства выполнения операций надчислами дают работающую языковую модель — теорию. Разумеется, шесть тысяч леттому назад наши предки были «заняты делом», а не«теориями». Тем не менее, они создали арифметику — теорию, оказавшуюся более эффективным инструментом, нежели врожденнаянейронная модель счета. Арифметика — квант надбиологической эволюции, элементкультуры.
Формула
Теория может работать не только прямо, она можетобеспечивать и «обратный ход». Например, исследование уравнения a + x = b. Разность b — a становится решениемуравнения.
Важнейшим вкладом в математическую науку и практику сталаформула — точное формальное предписание, определяющее преобразование одногоязыкового объекта в другой.
Формулу объявляли и иногдапоясняли; о доказательстве не было и речи. Для геометрических формул приводилипоясняющий чертеж (иногда с надписью «Смотри!»).
Формула может быть словесной, геометрической, знаковой.Типовой пример — тоже формула. Формула до сих пор господствует в школе и в жизни и для многих является вершиной абстракции.
Переход к формулам — квант эволюции. Формулы превратилипроблемы в задачи, а задачи в упражнения (для знающих людей). Количестворешаемых и решенных арифметических задач — объектов предыдущего уровня — стало стремительно увеличиваться, а деятельность на этомуровне стала рутинной. Социальный престиж решателей задач снизился, но зато ихколичество возросло. Умельцы, решавшие задачи «доформульными»средствами, быстро «вымирали». Изобретатели формул оставались в меньшинстве, но в выигрыше.
Таковы свойства любого квантового перехода.
Формула, конечно, существует не сама по себе, а только внекотором теоретическом и практическом контексте и далее вплоть до культурногоконтекста. Не всегда новая формула, особенноопирающаяся на новые понятия, сразу и успешно вытесняет старые подходы и навыкии их владельцев.
Бухгалтерский учет с его концепциями дебета и кредита, спроводками и с двойной записью — живучий плод изобретательности тех, кто так ине смог освоить понятие отрицательного числа (красноесальдо).
Доказательство
Греки перенесли способы убеждения из полисной, гражданскойпрактики в науку. Доказательство на городской площади было для грековреальностью жизни, одним из привычных и эффективных применений интеллекта.
Фалес Милетский (611-549) продемонстрировал новоеприменение интеллекта: доказательство теорем. Фалес доказал, что диаметр делиткруг на две равные части; что противоположные углы при пересечении двух прямыхравны; что углы при основании равнобедренноготреугольника равны; доказал признак равенства треугольников по стороне иприлежащим к ней углам. Он же построил окружность вокруг прямоугольноготреугольника, указал способ определения высоты сооружения по его тени и способопределения расстояния до недоступного предмета(корабля в море).
ЗачемФалес среди прочих доказывал очевидные утверждения? — Не для того, чтобыубедить кого-либо в их справедливости, а для того, чтобы разработать ипродемонстрировать новую технологию мышления.
Изобретение доказательства — квант эволюции. Фалес открыл новый горизонт, золотую жилу. Доказательство — этоспособ производства формул. Количество формул — объектов предыдущего уровня — стало быстро расти, а затраты на рождение формулы уменьшились. Как всегда,вместе с новым полем деятельности возникла новаякаста — каста людей, умеющих формулировать и доказывать теоремы.
В доказательствах геометрических теорем появились аксиомы.Аксиомы геометрии опираются на фундаментальные понятия порядка, движения,тождества, непрерывности. Применение аксиомпредполагает использование процедур логического вывода. Логический выводпредставляет собой последовательность утверждений, которые выведены из аксиоми/или из ранее выведенных утверждений. Аксиомы и только они принимаются без вывода, т.е. без доказательства.
Малограмотная формулировка: «Аксиома не требуетдоказательства».
Логический вывод доставил возможность получения издостоверных знаний новых достоверных знаний.
Аксиомы (первоначально) — это модели, инвариантныеотносительно ассоциаций (игры воображения);конструкции, имеющие опору в нейронных понятиях ниже того горизонта, которыйподвержен работе воображения с доступными ему конструктивами. Аксиома — нерезультат, а форма познания действительности, — модель, выработанная в процессе эволюции.
Возникновение концепции доказательства преобразовало всюжизнь западного человечества, дав его мыслящей части инструмент для защиты отапелляции к очевидности. Концепция доказательства была и будет барьером,отделяющим Homo profanus от Homo argumentorum. Этотбарьер не могут преодолеть обе стороны. И это хорошо, иногда для обеих сторон.
Доказательство заняло место формулы на вершинеэволюционного древа мыслительной деятельности. Дедуктивный метод стал укором имечтой для гуманитариев, недаром Спиноза построилсвою «Этику» по образцу «Начал» Евклида. Дух Евклида — этодух школы Платона, его теории идей.
Греческая математика
Греки действовали в жестких идеологических рамках: ониискали в мире воплощение совершенных идей, строили мир из правильных многоугольников и многогранников, правильных отношениймузыкальной гаммы, закономерностей чисел. Пифагорейская мистика совершенныхчисел и фигур оказала и оказывает мощное влияние на науку. Пифагореизмнастолько пронизывает нашу (западную) культуру в целом,что мы его не замечаем и не знаем, что «говорим прозой» по Пифагору.
Греки полагали, что утверждения математики абсолютно точныи достоверны, тогда как данные опытного знания приблизительны, обманчивы инедостоверны: даже равенство двух отрезков может бытьдоказано не измерением, а рассуждением. «Приближенными вычислениями стыднозаниматься свободному человеку, они — удел раба».
«Припомощи математики очищается и получает новую жизненную силу орган души, в товремя как другие занятия уничтожают его и лишают способности видеть, тогда какон значительно более ценен, чем тысяча глаз, ибо только им одним может бытьобнаружена истина». Платон
Греки использовали в доказательствах только геометрическинаглядные средства, а не буквенные символы. Поразительно, что в рамках столь трудной геометрической алгебры им удалось получитьтак много результатов. В Новое время Ньютон следовал греческой традиции, аЛейбниц — нет.
Математический язык
Величины в геометрии отличали от чисел в арифметике:величины именовали длинами, квадратами и кубами ииспользовали как именованные. Алгебраическая буквенная символика возникла варифметической алгебре из стандартных (и сокращенных) словесных обозначений.Языки геометрии и арифметической алгебры существовали параллельно.
Декарт (1596 — 1650) построил надязыками геометрической и арифметической алгебры новый язык — алгебраический.Синтаксис нового языка похож на синтаксис языка арифметической алгебры,семантика — на семантику языка геометрической алгебры.
Декарт превратил процесс вобъект: отношение величин (процесс) стало рациональным или иррациональнымчислом (объектом). Тем самым Декарт совершил квантовый эволюционный переход кабстрактному понятию числа, переход, оказавшийся не под силу грекам. ВведенноеДекартом понятие числа было языковым конструктом, ане пространственным образом. Декарт принципиально изменил содержаниедоказательства: отныне геометрическим образам осталась роль иллюстраций, ониперестали быть средствами доказательства.
Буквенная символика открыла вход в математику поверх барьеров геометрической алгебры и словесныхобозначений. Книгопечатание окончательно сделало математику доступной всеймассе образованных людей. Стали обычным делом публичные состязания вдоказательствах.
Через полвека благодаря Декарту Лейбници Ньютон совершили следующий квантовый переход.
Математическое доказательство в Новоевремя
Ньютон вывел законы Кеплера из закона всемирного тяготенияи трех законов движения. Математическое доказательство привело к открытиюзакона природы. Ньютон пользовался геометрическимязыком, и обозначения его «Начал» не повлияли на математическуютехнологию. Предложенные Лейбницем эффективные обозначения открыли поледеятельности, на котором за триста лет было доказано невероятное количествотеорем в созданных на основе новых понятийпроизводной и интеграла многочисленных новых отраслях математики.
Ни отцы-основатели, ни их последователи не могли обосноватьсвои результаты, оправдывали их только приносимой ими удачей. Вакханалияиспользования нечетких понятий и методов приводила кневерным результатам, спорам и сомнениям. Выдающимся источником неприятностейбыла теория пределов с ее свободным обращением с бесконечностью. Блестящевыразился о новой математике Вольтер: «Искусство считать и точно измерятьто, существование чего непостижимо для разума».Все попытки выйти из положения, даже предпринятые Эйлером и Лагранжем,потерпели полную неудачу. Внутренняя дисциплина в математике к середине XIXвека упала настолько, что Кэли, приведя формулировку теоремы для квадратных матриц и проверив ее для матриц 2х2, не счел«необходимым обременять себя формальным доказательством теоремы в общемслучае матрицы любого порядка» и призвал просто поверить ему.
Трудности коренились в том, что новые понятия находились наболее высоком уровне абстракции. Грекам было легче,их понятия были ближе к (презираемому!) опыту, а те понятия, которые доставилистолько волнений в Новое время, хитроумные греки обходили. Новые понятия былиуже не обобщением опыта, а созданием разума, лишенным привычной опоры в наглядности. Язык формул обладал не толькопритягательной, но и производительной силой.
Героическая эпоха! Не до строгости, когда друзья и недругирвутся вперед.
Только к концу XIX века в математическом анализе и валгебре был наведен формальный логический порядок,иными словами, положение было исправлено настолько, что стала возможнойдальнейшая критика.
Аксиоматический метод
Формализация математики привела к уточнению определений иаксиом, к логической инвентаризации орудий математического мастерства. Одной из задач в наведении порядка была задачаминимизации списка аксиом, исключения из него тех утверждений, которые моглибыть выведены из остальных как теоремы.
Попыткаэтим путем исключить из аксиом геометрии Евклида аксиому о параллельных неудалась. Тогда попытались доказать, что замена этой аксиомы ее отрицаниемприведет к тому, что в такой «неевклидовой» геометрии будут полученыпротиворечия, что и «докажет» аксиому Евклида. Противоречия получитьне удалось, более того, семейство неевклидовых геометрий стало пополняться.Неевклидовы геометрии противоречили только обыденной интуиции и привычнымнаглядным представлениям, но были логически безупречны. Попутно выяснилось,наконец, что аксиома о параллельных не зависит от остальных аксиом Евклида.
Гильберт предложил ставший общепринятым вариантаксиоматического построения евклидовой, а заодно и всех остальных геометрий.Этот успех еще раз напомнил о проблеме истинности теории в целом: еслисуществуют разные геометрии и они непротиворечивы, токакая же из них «истинна»? Какая из них имеет место в реальнойдействительности и как это доказать? И что значит «истиннаягеометрия»? «Что есть истина?»
Уверенность в том, что математика содержит толькоабсолютные истины, абсолютно доказанные на основе абсолютныхаксиом, была подорвана навсегда. В обстановке замешательства, вызванногопоявлением неевклидовых геометрий, концепции доказательства удалось остатьсявне подозрений.
Новые проблемы
Теория бесконечных множеств к началу ХХ века сталаисточником беспокойства: в ней обнаружились трудностии противоречия. На этот раз под ударом оказались не изъяны в определениях идоказательствах, а логика доказательств. Как следует понимать утверждение осуществовании какого-либо математического объекта? В конструктивных доказательствах существования приводится процесспостроения объекта, но есть утверждения «должен существовать»,«ложно, что не существует», — как с ними быть?
Можноли применять логику доказательств, выработанную на конечных объектах, кбесконечным?
Относительноаксиоматической теории остались нерешенными вопросы:
можноли доказать некоторое утверждение А и доказать его отрицание?
икак доказать, что этого не случится, то есть как доказать, что теориянепротиворечива?
всякоели истинное утверждение можно вывести из аксиом?
икак доказать, что это всегда возможно, то есть что теория полна?
можноли в рамках аксиоматической теории считать доказанное истинным?
В ходе исследований оснований математики в рамкахматематической логики возник раздел, изучающийформализованные математические теории. Произошел еще один квантовый переход:появилась метаматематика. Этот термин синонимичен термину «теориядоказательств». Логика и математика стали предметом изучения дляметаматематики.
Линия Евклид — Лейбниц — Гильберт — Гедель
Современный формализованный (мета)математический языкоформлен в «Principia Mathematica» Расселом и Уайтхедом уже в началеXX века. Они уточнили понятие доказательства как вывода в некотором исчислении,однако предложенный подход к проблеме непротиворечивостине удовлетворил даже авторов.
Гильберт (1862-1943) выдвинул грандиозную программуаксиоматизации математики и физики и приступил к ее реализации. Гильбертполагал, что любое точно сформулированное утверждение можно доказать илиопровергнуть средствами аксиоматической теории приусловии, что теория непротиворечива. Иными словами, Гильберт сформулировалтезис полноты аксиоматической теории. Что касается непротиворечивости, то этупроблему тоже, казалось, можно будет решить. Линия Евклид — Лейбниц — Гильберт обещала триумфальный успех:
аксиомыдадут коллективное определение употребляемым в их формулировках неопределяемымпонятиям;
системыобъектов, удовлетворяющие одной и той же системе аксиом (интерпретации),изоморфны, так что теорема, доказанная в одной интерпретации, будетавтоматически справедлива для другой.
«Спомощью этого нового обоснования математики, которое справедливо можноименовать теорией доказательства, я преследую важную цель: именно, я хотел быокончательно разделаться с вопросами обоснования математики как таковыми,превратив каждое математическое высказывание в поддающуюся конкретному показу истрого выводимую формулу и тем самым приведя образование понятий и выводы,которыми пользуется математика, к такому изложению, при котором они были бынеопровержимы и все же давали бы картину всей науки».
Давид Гильберт
Гильберт доказал, что евклидова геометрия непротиворечива,если непротиворечива система вещественных чисел. Осталось совсем немного:доказать непротиворечивость арифметики.
Теорема Геделя
Курт Гедель (1906 — 1978) в 1931 году в работе «Оформально неразрешимых проблемах „Principia Mathematica“ иродственных систем» доказал теорему о том, что любая непротиворечиваяаксиоматическая система, включающая аксиомы арифметики натуральныхчисел, обладает свойством неполноты: для нее можно указать конкретноеутверждение А, для которого в этой системе нельзя доказать ни А, ни егоотрицание. Это утверждение находится за пределами системы! И для неполнотылюбой математической теории достаточно включения внее простейшего объекта математики — натурального числа.
Гедель доказал полноту исчисления предикатов первойступени.
В другой теореме Гедель доказывает, что в качестве А можновзять утверждение о непротиворечивости арифметики. Непротиворечивостьтеории не может быть доказана средствами самой теории.
Теоремыинженера Геделя развеяли мечты математика Гильберта.
«Рольпресловутых „оснований“ сравнима с той функцией, которую в физическихтеориях выполняют поясняющие что-либо гипотезы… Так называемые логические илитеоретико-множественные основания теории чисел или любой другой вполнесформировавшейся математической теории по существу объясняют, а не обосновываютих, так же, как в физике, где истинное предназначение аксиом состоит в объясненииявлений, описываемых физическими теоремами, а не в обосновании этихтеорем.»
Эпистемологические следствия
Однанепротиворечивая теория не может полностью описать реальность; всегда остаютсяфакты или аспекты, которые требуют обращения к другой теории, возможно,несовместимой с первой. Концепция «истинность совпадает сдоказательностью» потерпела крах.
«Автоматизация»знания невозможна. Нельзя обойтись без человеческого разума и интуиции,обречена на неудачу. Логика неотделима от человека.
Непротиворечивостьматематики не может быть доказана.
Математикастала экспериментальной наукой.
Конструктивизм
Пауки,обитавшие в замке, затянули подвал паутиной. Когда однажды ветер
сорвалее, они бросились ее восстанавливать: ведь замок держится на паутине!
В рамках метаматематики имеютсяразличные течения. Одним из них является конструктивная математика, работающаяс конструктивными объектами и конструктивными процессами и отвергающая в этихпостроениях закон исключенного третьего из-за его неконструктивности.
Конструктивный анализ существенноотличается от классического анализа, составляющего содержание курса высшейматематики. Многие теоремы классического анализа не входят в конструктивныйанализ. Особое внимание конструктивизм уделяет изучению алгоритмически неразрешимых проблем.
Нашествие теорий
Теорема Геделя предоставила возможность построениябесконечного дерева теорий за счет пополнения списков аксиом невыводимымиистинными утверждениями.
Теорема Левенгейма — Сколема обнаружила, что для порождениянеэквивалентных теорий не требуется расширения спискааксиом: существуют неизоморфные интерпретации одной и той же системы аксиом, втом числе аксиом арифметики.
Если в XIX веке мы столкнулись с несколькими геометриями,то в ХХ веке мы оказались уже перед несколькимиматематиками.
Доказательство сегодня
Теорема о возможности раскраски вершин плоского графачетырьмя красками доказана в 1977 году программой, исчислявшей доказательство втечение многих сотен часов. Позднейшие программы на новейших компьютерах«доказывают» быстрее.
Проблема понимания
Формализованный язык в отличие от обыденного языкавыполняет не коммуникативную, а модельную функцию. Именно поэтому обречены нанеуспех любые попытки «понять» текст на формализованном научном языкепутем «перевода» на обыденный — конкретный- язык. Источником таких неудач является не «переводимый» текст, аневежество «переводчика».
Языковая модель становится частью мира человека и тем самым- объектом изучения, изучения с помощью нового языка, выступающего по отношениюк изучаемому языку как метаязык. Так возникаетлестница языков, иерархическая система формализованных языков.
Лейбниц всю жизнь разрабатывал универсальную характеристику- исчисление, которое позволило бы точно выразить любую ясную мысль и заменитьспор об истинности утверждения вычислением функцииистинности, свести логику к вычислению.
Резюме
В атмосфере культа силы и насилия древние греки изобрелиОлимпийские игры, логику, риторику, философию. Греки оставили нам:
самуюлицемерную форму политического насилия — демократию,
самыеизощренные формы эмоционального насилия — поэзию, музыку и театр,
высшуюформу интеллектуального насилия — математику.
Современное образование — во власти аксиоматическойдиктатуры Евклида и компьютерного шаманизма. Математика — самое эффективное оружие массового поражения интеллекта идедуктивного террора. По иронии судьбы на древе познания именно наматематической ветви созрело ядовитое геделево яблоко неполноты. Греки сделалисвое дело, а мы не можем уйти.
Крушение человеческого стремлениядостичь всеобъемлющего совершенства в доказательстве — одно из многих крушенийчеловеческих надежд. Достаточно напомнить о надеждах на справедливость,равноправие, на гармонию личности и общества, человека и природы.
Список литературы
Для подготовки данной работы былииспользованы материалы с сайта www.crealab.org/