Разработкаурока по теории вероятности
Тема:Классическое определение вероятности
Цель:
Создатьусловия для осознания и осмысления блока новой учебной информации.
Задачи:
— Способствовать запоминанию основной терминологии, умению устанавливать событиявероятности;
— формировать умение упорядочить полученные знания для рационального применения;
— развитие навыков учащихся в вычислении классической вероятности;
формированиевероятностного мышления;
— способствовать развитию интереса к математике; умений применять новый материална практике и в жизни.
Оборудованиек уроку:доска, компьютер с проектором, игральные кубики, монеты.
Ходурока:
Уроксопровождается компьютерной презентацией.
1.Организационный момент.
Сообщитьтему урока и сформулировать его цели.
2.Вступительное слово учителя.
Случай,случайность – с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайнаяполомка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжатьбесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики – какие уж законы вцарстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности – онипозволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайнымисобытиями.
Какнаука теория вероятности зародилась в 17в. Возникновение понятия вероятностибыло связано как с потребностями страхования, получившего значительноераспространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морскиепутешествия, так и в связи с запросами азартных игр.
Слово“азарт”, под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, являетсятранскрипцией французского слова hazard, буквально означающего “случай”,“риск”. Азартными называют те игры, а которых выигрыш зависит главным образомне от умения игрока, а от случайности.
Схемаазартных игр была очень проста и могла быть подвергнута всестороннемулогическому анализу. Первые попытки этого рода связаны с именами известныхучёных – алгебраиста Джероламо Кардано (1501 – 1576) и Галилео Галилея (1564 –1642). Однако честь открытия этой теории, которая не только даёт возможностьсравнивать случайные величины, но и производить определенные математическиеоперации с ними, принадлежит двум выдающимися ученым – Блезу Паскалю (1623 –1662) и Пьеру Ферма. Ещё в древности было замечено, что имеются явления,которые обладают особенностью: при малом числе наблюдений над ними ненаблюдается никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всёяснее проявляется определенная закономерность. Всё началось с игры в кости.
Азартныеигры практиковались в ту пору главным образом среди знати, феодалов и дворян.Особенно распространенной была игра в кости. Было замечено. что примногократном бросании однородного кубика, все шесть граней которой отмеченысоответственно числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 число очков от 1 до 6 выпадают всреднем одинаково часто, иными словами, выражаясь языком математики, выпадениеопределённого числа очков имеет вероятность, равную 1/6 (т.е. отношению числаслучаев, благоприятствующих событию к общему числу всех случаев). Аналогичновероятность появления на верхней грани кости чётного числи очков равна 3/6, таккак из шести равновозможных случаев чётное число появляется только в трёх.
Решениепорой довольно сложных задач, с которыми обращались заинтересованные лица кПаскалю, Ферма, Гюйгенсу, способствовало разработке основных понятий и общихпринципов теории вероятностей, в том числе и правил действия над ними. Отсюдане следует, конечно, заключать, что основоположники теории вероятностейрассматривали азартные игры как единственный или главный предметразрабатывавшейся ими новой отрасли науки.
Наразвитие теории вероятностей оказали влияние более серьёзные потребности наукии запросы практики, в первую очередь страховое дело, начатое в некоторыхстранах ещё в 16в. В 16-17вв. учреждение страховых обществ и страхование судовот пожара распространились во многих европейских странах.
Азартныеигры были для ученых только удобной моделью для решения задач и анализа понятийтеории вероятности. Об этом заметил ещё Гюйгенс в своей книге “О расчётах вазартной игре” (1657), которая была первой книгой в мире по теориивероятностей. Он писал: “… при — внимательном изучении предмета читательзаметит, что он занимается не только игрой, а что здесь даются основы глубокойи весьма интересной”. Гюйгенс впервые ввёл важное для теории вероятностейпонятие математического ожидания, которое получило дальнейшее развитие а трудахДаниила Бернулли, Даламбера и др. Понятие математического ожидания находитнемало применений а разных других областях человеческой деятельности.
Такимобразом, в 60-е годы 17в. были выработаны первые понятия и некоторые элементытеории вероятностей. В последующие два века учёные столкнулись с множествомновых задач, связанных с исследованием случайных явлений.
Вовторой половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев,А. А. Марков и А. М. Ляпунов.В это время были доказаны закон больших чисел, центральнаяпредельная теорема, а также разработана теория цепейМаркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации,предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теориявероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно сталавосприниматься как один из разделовматематики.
Классическоеопределение теории вероятности
Вероятностьюсобытия является сумма вероятностей исходов, благоприятствующих этому событию.
Нуа если же вероятное пространство построено из равно возможных исходов — токласическая теорема примет вид:
Вероятностьюсобытия называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов кобщему числу равновозможных исходов.
Другимисловами если мы кидаем одну игральную кость, то шанс выпада четверки будет 1/6.
Где1 — число благоприятствующих событий (четверка ведь в кости одна), а 6 — общеечисло исходов (всего 6 сторон у игральной кости).
Также вероятность представляется в виде:
1. Простойдроби: 1/6
2. Десятичнойдроби: 0.1666666(6)
3. Процентах16.66%
Акак подсчитать вероятность случайного события? Ведь оно произошло случайно,значит, не подчиняется закономерностям. Оказывается, и в мире случайногодействуют определенные законы.
Этимзанимается раздел математики, который называется «теорией вероятностей».
Возьмитев руки кубики.
Прибросании кубика сколько различных элементарных событий может произойти? (6)
Сколькособытий благоприятных событию «выпадет 4»? (1)
Сформулируемправило:
1. Числовсех возможных исходов –n
2. Всеисходы равновозможны
3. Количествоблагоприятных исходов – m
4. P(A)– вероятность события А
P(A)= />
учащийся навык классический вероятность
Слововероятность по-французски — probabilite, по-английски – probability.
Учащимсяпредлагается по учебнику прочитать правило вычисления вероятностей.
Первичноезакрепление изученного.
Событиемназывается результаты опытов, испытаний или наблюдений.
Задача:исследовать виды событий. Для этого:
1.Приведите примеры событий.
Пользуясьобразцом: играется шахматная партия – испытание. Выигрыш, ничья, проигрыш еговозможные исходы события.
Убольного определили 1-ую группу крови. Проверка группы крови – испытание, 1-ягруппа крови событие.
2.Какие бывают события?
Достоверное– если оно обязательно произойдет, например, в ящике 10 белых шаров, то событиеизвлеченный шар – белый – достоверное.
Невозможное- если оно заведомо не может произойти в данном испытании, например, в ящике 10белых шаров, то событие вытащить черный шар — невозможное.
Случайноесобытие – которое в данном испытании может произойти, а может и не произойти,например, если при бросании монеты событие – выпал герб — случайное. Попробуйтепридумать свои примеры и оформить все, что вы узнали в виде схемы.
Справка:Событие называют случайным, если оно может произойти, а может и не произойти.
Выполнитеследующие испытания:
1)Подбросьте монету 50 раз. Посчитайте сколько раз
а)выпадет орел.
б)Подбросьте монету 20 раз. Посчитайте сколько раз выпал орел.
в)Как сравнить результаты?
Можетвы приведете свои примеры?
Научениях по стрельбе из винтовки стрелок попадал 8 раз из 10 выстрелов.
Каковачастота поражения цели у этого спортсмена и сколько попаданий в цель можноожидать от него на соревнованиях, если каждый участник будет стрелять 30 раз?
Возможныеисходы испытаний можно найти путем правдоподобных рассуждений основанных напрактическом опыте и здравом смысле.
Пример:Возьмем игральный кубик, то при бросании этого кубика каковы шансы выпадения наего верхней грани 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков (одинаковы, т.к. нет основанийсчитать, что выпадение одного из очков, например 6 более вероятно, чем 2).
Говорят,что вероятность выпадения на верхней грани кубика одного числа очков, например3 равна 1/6.
Асобытия, имеющие одинаковую вероятность называются равновозможными.
Такчто такое вероятность события?
Откакого слова произошло это понятие?
ЗадачаДаламбера – французский математик (1717-1783). Найти вероятность того, что приподбрасывании двух монет на обеих монетах выпадут цифры.
Послевыполнения заданий в группах переходим к отчету групп и подведению итогов.
Теперьдавайте ответим на вопросы:
1.Какие события вы узнали? И что такое событие?
2.Что такое относительная частота события?
3.Какова вероятность невозможного события?
4.Какова вероятность достоверного события?
5.В каких пределах находится вероятность?
6.Как называются 2 события, имеющие одинаковую вероятность?
IIэтап.
Атеперь попытаемся выполнить работу.
1.В каждое из приведенных ниже предложении впиши наиболее подходящее по смыслуслово, выбрав его из слов возможно, невозможно, наверняка, маловероятно.
1)Завтра солнце… взойдет на востоке.
2)..., что бутерброд упадет маслом вниз.
3)..., что у Анастасии день рождения 30 февраля.
4)..., что в Самаре на улице ты встретишь тигра.
2.Запиши номера тех пар событий, которые, по твоему мнению имеют равные шансыпроизойти в результате одного испытания (т.е. равновозможны).
1)Появление орла и появление решки в результате одного испытания.
2)Выпадения одного очка и выпадение шести очков в результате броска игральногокубика.
3)выпадение одного очка и выпадение одного из четных очков (т.е. 2, либо 4, либо6).
3.В ящике лежат 1 черная и 2 белых шашки. Саша хочет, не глядя, вытащить чернуюшашку, он вынимает и это оказывается белая шашка, после чего он кладет ее вкарман и делает еще одну попытку. Как ты думаешь, при второй попытке шансы Сашивытащить черную шашку
1)увеличились.
2)уменьшились.
3)остались прежними.
Запишиномер нужного ответа.
Задача
Бросаютодну игральную кость. Вычислить вероятность события «выпало четное числоочков».
Решение:N = 6; N(A) = 3; P(A) = />.
Задача:Ошибка Даламбера
Каковавероятность, что подброшенные вверх две правильные монеты упадут на одну и туже сторону?
Решение,предложенное Даламбером.
Опытимеет три равновозможных исхода:
1. Обемонеты упали на «орла».
2. Обемонеты упали на «решку».
3. Однаиз монет упала на «орла», другая на «решку».
N= 3; N(A) = 2; P(A) = />.
Учащимсяпредложить подбросить две монеты и найти ошибку в предложенном решении.
Правильноерешение.
1. Орел,орел
2. Решка,решка
3. Орел,решка
4. Решка,орел
N= 4; N(A) = 2; P(A) = />.
Нельзяобъединять два принципиально разных исхода в один. Природа различает всепредметы.
Какие изследующих событий – случайные, достоверные, невозможные:
· черепаханаучиться говорит;
· водав чайнике, стоящим на горячей плите закипит;
· вашдень рождения – 19 октября
· деньрождение вашего друга – 30 февраля;
· вывыиграете участвуя в лотереи;
· выне выигрываете, участвуя в беспроигрышной лотереи;
· выпроиграете партию в шахматы;
· наследующей недели испортиться погода;
· вынажали на звонок, а он не зазвонил;
· послечетверга будет пятница;
· послепятницы будет воскресенье.
Для каждогоиз перечисленных событий определите, какое оно: достоверное, возможное,невозможное
· летому школьников будут каникулы;
· 1июля в Норильске будет солнечно;
· послеуроков дежурные уберут кабинет;
· в11-м классе школьники не будут изучать алгебру;
· зимойвыпадает снег;
· привключении света, лампочка перегорит;
· вывыходите на улицу, а на встречу вам идет слон.
Придумайте изапишите в тетрадь события, чтобы они соответствовали знакам в таблиценапример, событие 8 должно быть очень вероятным.Событие 1 2 3 4 5 6 7 8 Достоверное
/>
/>
/> Возможное
/>
/>
/> невозможное
/>
/>
V.Подведение итогов.
Какиеключевые слова урока можно выделить?
Объяснитеих значение.
Какойключевой факт сегодня изучен?
Чтообщего и в чем отличие статистики и вероятности?
Завершитьурок хочется такой историей.
— Доктор, — спрашивает пациент – пойдут ли у меня дела на поправку?
— Несомненно, — отвечает врач, — потому что статистика говорит, что один из ставыздоравливает при этой болезни.
— Но почему же при этом именно я должен выздороветь?
— Потому что вы как раз и есть мой сотый пациент.
Домашнеезадание:
Составить2 задачи на вероятность.
Разбитьучеников на тройки. Каждая тройка пишет реферат на одну из тем:
1. ДаниилБернулли и его вклад в развитие теории вероятностей.
2. Гюйгенси его вклад в развитие теории вероятностей
3. БлезПаскаль и его вклад в развитие теории вероятностей
4. Фермаи его вклад в развитие теории вероятностей
Литература
1. Ю.Н.Макарычев,Н.Г.Миндюк. Начальные сведения из теории вероятностей в школьном курсе алгебры.“Математика в школе”. № 7. 2004 г. стр. 24.
2. В.А.Булычев,Е.А.Бунимович. Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсематематики. “Математика в школе”. № 4. 2003 г. стр. 59.
Электронные источники информации
· БунимовичЕ.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика 5-9. Электронное учебное пособие наCD-ROM. – М.: Дрофа, 2003.
· www.teorver.ru
· http://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_вероятности.