Реферат по предмету "Педагогика"


Методика преподавания курса Матричные игры

--PAGE_BREAK--Вид урока: Лекция.
Продолжительность: 2 часа.

Цели:1) Изучить новый метод решения матричных игр.

2) Научить пользоваться программой Mapleпри решении матричных игр графоаналитическим методом.

1 этап: дать краткое описание графоаналитического метода.

2 этап: показать данный метод на примерах.

3 этап:закрепить новый материал и дать домашнее задание.

Ход занятия.

1 этап. Для некоторых классов матричных игр практический интерес представляет графоаналитический метод. Этот метод состоит из двух частей. С начало в матричной игре графически выявляются качественные особенности решения, затем полная характеристика решения находиться аналитически.

Данный метод решения применяется в тех задачах, в которых у одного из игроков ровно две стратегии.

В основе этого метода лежит утверждение, что maxminf(x,y) =minmaxf(x,y) = Vв.

2 этап. Рассмотрим данный метод на задаче под названием «орлянка»

Пример 6.1: Два игрока независимо друг от друга называют числа, если оба числа имеют одинаковую четность, то один получает рубль, если разные, то рубль получает второй.

Решение: Данная игра представлена матрицей А

Здесь игрок 1 и 2 имеет две чистые стратегии. Решаем игру с позиции первого игрока.

Пусть его стратегия х = (α, 1-α), 0 ≤α≤1.

Вычислим хА=(α, 1-α)(1 -1)= (α- (1-α), -α+1-α)=(2α-1, 1-2α). (-1 1)

Обозначим f2(α)=2α-1 и f2(α)=1-2α.

Найдем maxmin(f1 (α), f2 (α))= max( min(2α-1, 1-2α)).

Для нахождения максимина приведем графическую иллюстрацию (1)

Вначале для каждого α € [0,1] найдем min(2α-1, 1-2α). На рисунке (1) такие минимумы для каждого α € [0,1] образуют ломанную – нижнюю огибающую MPQ. Затем на огибающей находим наибольшее значение, которое будет в точке P. Эта точка достигает при α € [0,1], которое является решением уравнения f1 = f2 , т.е. 2α-1= 1-2α. Здесь α=1/2. Вторая координата точки Pбудет 2*1/2-1=0. итак P(1/2, 0). В смешанном расширении данной игры max( min(2α-1, 1-2α))=0.

Максиминная стратегия первого игрока хн = (α, 1-α)=(1/2, 1/2). По аналогичной схеме найдем минимаксную стратегию второго игрока. Его стратегию обозначим y=(β, 1-β), 0≤β≤1.

Вычислим Аy=( 2β-1, 1-2β).

Обозначим f1(β)= 2β-1, f2(β)= 1-2β

Найдем minmax(f1(β), f2(β))= min(max(2β-1, 1-2β)).

Проведем геометрическую иллюстрацию на рисунке 2.

Для каждого β€[0,1] найдем min(2β-1, 1-2β).

На рисунке (2) такие минимумы для каждого β € [0,1] образуют ломанную – верхнюю огибающую RST. Затем на огибающей находим наименьшее значение, которое будет в точке S. Координаты точки S(1/2,0).

В смешанном расширении данной игры min(max(2β-1, 1-2β))=0.

YВ=( β, 1-β)=(1/2, 1/2) и выполняется условие, что

VH= maxminаij=minmaxаij= Vв. Значит цена игры V* =0 и седловая точка равна (х*, у*) = ((1/2, 1/2), (1/2, 1/2)).

Ответ: (х*, у*)=((1/2, 1/2), (1/2, 1/2)), V* =0.

3 этап. Учитель повторяет последовательность решения данной задачи графоаналитическим методом. Дает домашнее задание.

Домашнее задание: придумать каждому ученику 1 задачу, чтобы она решалась графоаналитическим методом.

Задача:

Графоаналитическим методом найти цену и седловую точку матричной игры, заданную матрицей выигрыша первого игрока.

> with(simplex):

> A := Matrix(4,4, [[4, 2,3,-1],[-4,0,-2,2],[-5,-1,-3,-2],[-5,-1,-3,-2]]);

 


>


C:={ A[1,1]*x+A[1,2]*y+A[1,3]*z+A[1,4]*t

A[2,1]*x+A[2,2]*y+A[2,3]*z+A[2,4]*t

A[3,1]*x+A[3,2]*y+A[3,3]*z+A[3,4]*t





Ø     X:=maximize(f,C ,NONNEGATIVE );



> f_max:=subs(X,f);


>


> XX:=X*V;


>


Ø     C1:={ A[1,1]*p1+A[2,1]*p2+A[3,1]*p3+A[4,1]*p4 >=1,


Ø     A[1,2]*p1+A[2,2]*p2+A[3,2]*p3+A[4,2]*p4 >=1,

Ø     A[1,3]*p1+A[2,3]*p2+A[3,3]*p3+A[4,3]*p4

Ø     >=1,A[1,4]*p1+A[2,4]*p2+A[3,4]*p3+A[4,4]*p4 >=1};




Ø     Y:=minimize(f1,C1 ,NONNEGATIVE);


>



>




Ø     YY:=V*Y;


>



> VV:=XX*V*L;



Занятие №3 Решение систем неравенств графическим методом

Тип урока: урок изучения нового материала.

Вид урока:Лекция, урок решения задач.

Продолжительность:2 часа.

Цели:1) Изучить графический метод.

2) Показать применение программы Mapleпри решении систем неравенств графическим методом.

3)Развить восприятие и мышление по данной теме.

План занятия: 1 этап: изучение нового материала.

2 этап: Отработка нового материала в математическом пакете Maple.

3 этап: проверка изученного материала и домашнее задание.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Ход занятия.
1 этап: Графический метод заключается в построении множества допустимых решений ЗЛП, и нахождении в данном множестве точки, соответствующей max/min целевой функции.

В связи с ограниченными возможностями наглядного графического представления данный метод применяется только для систем линейных неравенств с двумя неизвестными и систем, которые могут быть приведены к данному виду.

Для того чтобы наглядно продемонстрировать графический метод, решим следующую задачу:


1.      На первом этапе надо построить область допустимых решений. Для данного примера удобнее всего выбрать X2 за абсциссу, а X1 за ординату и записать неравенства в следующем виде:

Так как  и  графики и область допустимых решении находятся в первой четверти. Для того чтобы найти граничные точки решаем уравнения (1)=(2), (1)=(3) и (2)=(3).



Как видно из иллюстрации многогранник ABCDE образует область допустимых решений.

Если область допустимых решений не является замкнутой, то либо max(f)=+ ∞, либо min(f)= -∞.

2.      Теперь можно перейти к непосредственному нахождению максимума функции f.

Поочерёдно подставляя координаты вершин многогранника в функцию f и сравнивать значения, находим что f(C)=f(4;1)=19 – максимум функции.

Такой подход вполне выгоден при малом количестве вершин. Но данная процедура может затянуться если вершин довольно много.

В таком случае удобнее рассмотреть линию уровня вида f=a. При монотонном увеличении числа a от -∞ до +∞ прямые f=a смещаются по вектору нормали[1]. Если при таком перемещении линии уровня существует некоторая точка X – первая общая точка области допустимых решений (многогранник ABCDE) и линии уровня, то f(X)- минимум f на множестве ABCDE. Если X- последняя точка пересечения линии уровня и множества ABCDE то f(X)- максимум на множестве допустимых решений. Если при а→-∞ прямая f=a пересекает множество допустимых решений, то min(f)= -∞. Если это происходит при а→+∞, то  max(f)=+ ∞.



В нашем примере прямая f=a пересевает область ABCDE в точке С(4;1). Поскольку это последняя точка пересечения, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.

2 этап.

Задача:

Решить графически систему неравенств. Найти угловые решения.
x1+ 2x2

2x1+x2

x1+3x2>=3

5x1-x2>=-5

x1+6x2>=6

x1>= 0, x2>=0

> restart;

>

>



>



>



>



>



>



>



>



>



>



>



>



> with(plots);

> with(plottools);

>


> S1:=solve( {f1x[1, 1] = X6[1, 1], f2x[1, 1] = X6[1, 2]}, [x, y]);



>



>



>



>



>



>



>



>



>


Ответ: Все точки Si где i=1..10 для которых x и y положительна.

Область, ограниченная данными точками: (54/11,2/11) (5/7,60/7) (0,5) (10/3, 10/3)

3 этап. Каждому ученику даётся один из 20 вариантов, в котором ученику предлагается самостоятельно решить неравенство графическим методом, а остальные примеры в качестве домашнего задания.


Занятие №4 Графическое решение задачи линейного программирования
Тип урока: урок изучения нового материала.

Вид урока:Лекция + урок решения задач.

Продолжительность:2 часа.

Цели: 1) Изучить графическое решение задачи линейного программирования.

2) Научить пользоваться программой Mapleпри решении задачи линейного программирования.

2) Развить восприятие, мышление.

План занятия: 1 этап: изучение нового материала.

2 этап: Отработка нового материала в математическом пакете Maple.

3 этап: проверка изученного материала и домашнее задание.

Ход занятия.

Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач линейного программирования с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.

Каждое из неравенств задачи линейного программирования (1.2) определяет на координатной плоскости  некоторую полуплоскость (рис.2.1), а система неравенств в целом – пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклуюфигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи (1.2) ОДР является пустым множеством.

Все вышесказанное относится и к случаю, когда система ограничений (1.2) включает равенства, поскольку любое равенство



можно представить в виде системы двух неравенств (см. рис.2.1)

ЦФ  при фиксированном значении  определяет на плоскости прямую линию . Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня.

Это связано с тем, что изменение значения Lповлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси  (начальная ордината), а угловой коэффициент прямой  останется постоянным (см.рис.2.1). Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L.

Вектор  с координатами из коэффициентов ЦФ при  и  перпендикулярен к каждой из линий уровня (см. рис.2.1). Направление вектора  совпадает с направлениемвозрастания ЦФ, что является важным моментом для решения задач. Направлениеубывания ЦФ противоположно направлению вектора.

Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора  в ОДР производится поиск оптимальной точки . Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня , соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции . Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.

При поиске оптимального решения задач линейного программирования возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений – единственная точка; задача не имеет решений.


Рисунок 2.1 Геометрическая интерпретация ограничений и ЦФ задачи.
    продолжение
--PAGE_BREAK--


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Системный подход к решению проблемы творческого саморазвития личности школьника в учреждение дополнительного образования
Реферат Возникновение государственности у восточных славян
Реферат Билеты и ответы по обществознанию (2004-2005 уч. год)
Реферат Установки погружных центробежных насосов УЭЦН
Реферат Влияние вибрации на человека
Реферат Ордена - почетные награды за воинские отличия и заслуги в бою и военной службе
Реферат Песня про царя Ивана Васильевича, молодого опричника и удалого купца Калашникова. Лермонтов М.Ю.
Реферат Відобpаження пpагнення наpоду до національної самостійності, до волі в поемі І.Я.Фpанка "Мойсей"
Реферат Irish Nationalism And History Essay Research Paper
Реферат Элементы кинетической теории газов и вероятностные модели
Реферат Феодальная раздробленность на Руси 2
Реферат Історія утворення Київської Русі
Реферат The Strength Of A Family Williams Wordworth
Реферат Учет расчетов с покупателями и заказчиками 9
Реферат Manet 2