Вступление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1. О роли задач в обучении математике . . . . . . . . . 2
2. Как учит решать задачи современная школа? . . . . 4
3. Формулировка проблемы . . . . . . . . . . . . . . . 10
I. Как ученики реагируют на «аномальные» задачи
(констатирующие эксперименты) . . . . . . . . . . . . . . 17
II. Обоснование целесообразности задач с «аномальным»
условием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
III. Прикидка методического подхода к обучению
решению «аномальных» задач . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
IV. Расширенная система задач по теме «Сумма углов
треугольника» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Вступление
1. О роли задач в обучении математике
В обучении математикезадачам всегда отводилась достаточно большая, если не решающая, роль.
Сейчас всё большеераспространение получает прогрессивный метод обучения через задачи какреализация системы проблемного обучения. Основные идеи этого метода находят вкакой–то мере отражение в новых учебниках. Задачи становятся не только и нестолько целью, сколько средством обучения.
Исторически сложилось,что на ранних этапах развития математики решение задач было целью обучения.Ученик должен был заучить образцы и затем подводить под эти образцы решениязадач. В основном решались типовые, стандартные задачи, принадлежащие классам алгоритмическиразрешимых задач, т.е. таких, для которых существует общий метод (алгоритм)решения.
Многообразные ситуации,возникающие на математическом и нематематическом материале, приводят как кстандартным, так и нестандартным задачам, алгоритм решения которых либонеизвестен, либо не существует.
В последние десятилетияпостепенное изменение целей обучения математике приводит к необходимости учитьдетей решению не только стандартных, но и нестандартных задач, которые нельзяотнести к классу алгоритмически разрешимых. Именно по отношению к нестандартнойзадаче возникает необходимость в вариативном поиске решения.
«Задача предполагаетнеобходимость сознательного поиска соответствующего средства для достиженияясно видимой, но непосредственно не доступной цели. Решение задач означаетнахождение этого средства». [17, с.143]
Определённые группызадач, предназначенных для классных и внеклассных занятий, вполне пригодны длявыработки «надлежащих навыков мысли», навыков, направленных на поискирешения задач.[6, с. 119-120]
В книге [13, с. 165] М. И. Махмутов рассказывает об исследовании,проведённом группой учёных, математиков и психологов с целью выявлениязакономерностей активизации познавательной деятельности учащихся. Вот что онпишет в книге:
«Теоретическоеосмысление работ лучших учителей помогло обнаружить в учебном процессе общуюзакономерность активизации познавательной деятельности учащихся: напряжениеинтеллектуальных сил ученика вызывается главным образом постановкой проблемныхвопросов, проблемных познавательных задач и учебных заданий исследовательскогохарактера. Это напряжение рождается в столкновении с трудностью в понимании иосмыслении нового факта или понятия и характеризуется наличием проблемной ситуации, высокого интереса учащегося к теме, егоэмоционального настроя и волевого усилия.»
Роль задач в обученииматематике невозможно переоценить. Через задачу естественно ввести проблемнуюситуацию. Разрешив систему специально подобранных задач, ученик знакомится ссущественными элементами новых алгоритмов, овладевает новыми техническими элементами.Применять математические знания в жизненных ситуациях учат соответствующиепрактические задачи. [11, с.182]
Итак, как видно изприведённого выше обзора мнений различных специалистов в области образования иобучения математике, задача является основным звеном внутри процесса обучения,а тем более такого, как проблемное и развивающее.
2. Как учит решать задачи современная школа?
Однако использованиезадач в процессе обучения математике и в настоящее время ещё далеко отсовершенства.
Как пишет А.Эсаулов [25, с.8] в психологии и педагогикеобращается внимание преимущественно на то, как решаются уже кем–то найденные ивполне чётко сформулированные задачи, а не на то, как они обнаруживаются иставятся. В результате получается, что человек, привыкший видеть перед собойчётко и корректно сформулированную задачу, просто теряется в незнакомойситуации, будь то хоть обычная некорректная математическая задача или некаязадача, возникшая как следствие из практики (прикладная).
В современномматематическом образовании (мы ориентируемся на страны бывшего СССР) отмечаетсяследующий актуальный аспект: изучение математики на всех этапах должно иметьразвивающий характер и прикладную направленность. Молодёжи необходимо давать непросто конкретную сумму знаний, но и прививать ей навыки творчества, интерес кисследованию, формировать у неё положительную мотивацию. [11, с.136]
Интерес к учебнойдеятельности, подкрепляемый постоянным активным участием в открытии новыхистин, проверке гипотез, поиском способа действий в задаче, является основнымпсихологическим условием успешности этой деятельности. [11, с.129]
Школьные уроки математикипо–прежнему нацелены на прохождение программы, а не на развитие мышления удетей. Учитель видит свою задачу в том, чтобы школьники с его помощью усвоилиещё одну порцию материала. Однако главная его задача – всемерно содействоватьразвитию познавательных возможностей у учащихся.[11, с.178]
Основную часть времени науроке ученик проводит, решая задачи, и во многом от их особенностей (сложности,многогранности, сюжетной формы, последовательности и др.) и зависит, насколькоуспешным будет процесс обучения математике. Но что же мы имеем на самом деле?На практике получается, что чаще всего процесс решения задач на уроке обладаетнекоторой рутинностью и оставляет ученику мало возможностей для творчества. Современем такая специфика задач вырабатывает у ученика некоторый неправильныйстереотип мышления, относящийся к решению задач. Ученик просто ищет стандартнуюситуацию, к которой можно было бы применить известные формулы и теоремы, итеряется, когда предложенная задача требует даже несложного нестандартногоподхода.
По мнению Л.Фридмана,одной из основных в обучении математике функций задач является функцияформирования и развития у учащихся общих умений решений любых математических (втом числе и прикладных) задач.
Учащиеся же в настоящеевремя не получают никаких специальных знаний, на базе которых возможно такоеформирование. Более того, в настоящее время эти общие умения формируются чистостихийно, а не в результате целенаправленного, систематического обучения.Считается, что эти умения могут возникнуть лишь благодаря решению большогочисла математических задач. [22,с.151-152]
Анализ школьных учебниковматематики показывает, что они содержат вроде бы достаточное (или дажеизбыточное) количество задач, из которых учитель может составлять наборы задач,ориентированные на разные классы и на разных учащихся. Однако учебный эффект получается,по мнению многих педагогов–исследователей, с которым мы вполне согласны,невысоким.
Большинство учащихся,встретившись с задачей незнакомого илималознакомого вида, не знают, как к ней подступиться, с чего начать решение, и при этом обычно произносят печальноизвестные слова: «А мы такие не решали».
Каковы же причины этогошироко распространённого явления?
Автор книги [14] видит основную причину внеудовлетворительной постановке задач в обучении математике. Он пишет: «Проблема постановки задач в процессе обученияматематике до сих пор не нашла удовлетворительного решения(ни в нашей стране, ни за рубежом) ни с точки зрения содержания учебных задач, ни с точки зрения их целевого назначения, ни с точки зрения числа обязательных или необязательных задач или представления их в виде целостной системы.»
Сейчас, когда учащиеся неимеют систематических знаний о задачах исущности их решения, главное внимание учащихся (и учителей) направлено на то, чтобы найти решение задачи и притом как можнобыстрей. На заключительный анализ, на установление того, какие выводы можносделать из выполненного решения, – навсё это уже не остаётся ни сил, ни времени, ни желания, а ведь это едва ли не главные аспекты решения задач.
В школе невозможно, да ине нужно, рассматривать все виды математическихзадач. Сколько бы задач ни решали в школе, всё равно учащиеся в своей будущей работе встретятся с новыми видами задач.Поэтому школа должна вооружать учащихся общим подходом к решению любых задач.
Одной из особенностейматематики является алгоритмичность решениямногих её задач. Алгоритмом, как известно, называется определённое указание относительно того, какие операции и в какой последовательности надо выполнить, чтобы решить любую задачу определённого типа. Конечно, очень большое количество задач не алгоритмизируется и решается с помощью специальных, особых приёмов. Поэтому способность находить пути решения, неподходящие под стандартное правило, является одной из существенныхособенностей математического мышления, как об этом пишет в своей книге академикКолмогоров. [7, с.76]
Необходимость специальныхспособностей для изучения и понимания математики часто преувеличивают.Впечатление исключительной трудности математики иногда создаётся её плохим,чрезмерно формальным изложением на уроке.
Умение последовательно,логически рассуждать в незнакомой обстановкеприобретается с трудом. На математических олимпиадах самые неожиданные трудности возникают именно при решениизадач, в которых не предполагается никаких предварительных знаний из школьногокурса, но требуется правильно уловить смысл вопросаи рассуждать последовательно. [7, с.80]
Многие нарекания вызываети подготовка школьников как абитуриентов,поступающих в ВУЗы на физико–математические специальности. Многолетняя практикаприёмных экзаменов показывает, что воспитанные в традиционной школе абитуриенты обладают знаниями, достаточными для поступления в ВУЗ, однако интеллектуальное развитиебольшинства из них и, прежде всего, уровень абстрактного илогического мышления недостаточен для эффективного обучения по выбраннойспециальности.[11, с. 92]
Итак, как показываетвышеизложенный анализ литературы, наборы задач имеющихся школьных учебниковпока ещё не удовлетворяют требованиям, предъявляемым к результативностиматематического образования. Чаще всего, эти задачи относятся к алгоритмическиразрешимым, не развивают у учеников вариативного мышления, не учат множествунавыков, столь необходимых для решения задач, как школьных, так и бытовых,производственных, научных и т. д.
Рассмотрим болеедетально, как обстоит дело с задачами, представленнымив действующих учебниках математики.
Анализ школьных учебниковматематики показывает, что с 5–го по 11–йкласс ученики решают более 7000 задач. [11, с.171]
Если взглянуть на задачи,представленные в школьных учебниках математики, то все задачи, содержащиеся вних, внутри одной темы классифицированы постепени сложности и расположены, как правило, в порядке её возрастания.
Среди предлагаемыхучащимся задач представлены задачи разных классификаций (по крайней мере, кэтому стремятся авторы учебников): по их назначению – тренировочные иразвивающие, по наличию алгоритма решения – стандартные и нестандартные, похарактеру требования – доказательные, вычислительные и конструктивные. Есть идругие классификации, находящие то или иное отражение в школьных учебниках.
3. Формулировка проблемы
Но одна из классификацийпочти не находит отражения в действующих учебниках за редкими исключениями.Речь идёт о классификации по характеру условия задачи – определённые,неопределённые и переопределённые. Школьникам преимущественно предлагаютсязадачи определённые, т.е. задачи, содержащие в условии ровно столько данных,сколько их требуется для получения ответа, не больше и не меньше. Но почему небольше и не меньше?
Если учитель ставит цельюнаучить своих учеников решать задачи из жизни, а не из учебников, то он долженнаучить их: 1) математизировать ситуацию (т.е. переводить задачу бытовую,производственную и др. на язык математики); 2) выбирать необходимые для решениявеличины из их чрезмерного множества или осуществлять вариативный поиск данных,недостающих для решения задачи; 3) решать полученную математическую задачу; 4)анализировать найденные решения, сравнивать их, выбирать наиболее экономичные;5) разматематизировать ситуацию (т.е. переводить полученный ответ на языкбытовой, производственной и прочей практики).
Из перечисленных видовдеятельности школа учит разве что третьему. Остальные затрагиваются в такойничтожной мере, что говорить даже о частичном обучении здесь вряд ли следует.Например, если вспомнить о задачах неопределённых и переопределённых, то такихв современных учебниках насчитывается не более полупроцента, да и тех учителячаще всего не замечают.
Приятным исключением изуказанного правила является учебник [18]. Его автор, профессор Н.Рогановский,предлагает задачи под рубриками, среди которых есть и такие: «Все ли возможныеслучаи рассмотрены?», «Достаточно ли данных для решения задачи?», «Сколькорешений имеет задача?» и т. п. Естественно, задачи, предлагаемые под этимирубриками, соответствуют поставленному вопросу, т.е. имеют несколько вариантовреализации условия, несколько возможных путей решения, и количество данных вусловии не обязательно является необходимым и достаточным для получения ответа.
Но, как уже сказано, этотучебник – исключение. Большинство авторов других учебников такие задачиигнорируют. Может быть, считают их бесполезными и ненужными в обучении?
Однако, многие известныепедагоги–исследователи считают использование таких задач полезным инеобходимым.
Например, М.Крутецкий всвоей книге «Психология математических способностей школьников»приводит такую классификацию:
1. Задачи снесформированным условием – задачи, в которых имеются все данные, но вопрос задачи лишь подразумевается.
2. Задачи с избыточнымусловием – задачи, в которых имеются лишние данные, не нужные для решения, алишь маскирующие необходимые для решения задачиданные.
3. Задачи с неполнымсоставом условия – задачи, в которых отсутствуютнекоторые данные, необходимые для решения задачи, вследствие чего дать конкретный ответ на вопрос задачи не всегда представляется возможным.
4. Задачи спротиворечивым условием – задачи, содержащие вусловии противоречие между данными. [9, с. 124-150]
В.А.Крутецкий описываетисследование, которое он с группой исследователей проводил во многих школахСССР в течение 12 лет с 1955 по 1966 годы. Исследователи использовали задачи различныхтипов, среди которых были и приведённые в этой классификации, в качестветестовых заданий для выявления психологических аспектов математическихспособностей школьников. По результатам этого исследования получилось, чтосильные ученики справляются с задачами указанных типов практическисамостоятельно, быстро, практически без помощи испытателя. Ученики среднихспособностей также неплохо справляются с подобными заданиями, однако для ихрешения им требуется больше времени и иногда наводящий вопрос, наталкивающий нарешение. Слабые ученики практически не могли самостоятельно провести решениеэтих задач, не видели связи между объектами задачи, и даже с подсказкойиспытателя не могли справиться с заданием.
Следует отметить, чтоименно с указанными типами задач исследователи связывали наибольшие надежды.
В книге Д.Пойа «Какрешать задачу» приводится похожая классификация, отличающаяся лишь тем,что в ней отсутствуют задачи с несформированным составом условия. Более того, в своей таблице, направленной в помощь решателю, Д.Пойа первыми пунктами поставил вопросы: Возможноли удовлетворить условию?Достаточно ли условиедля определения неизвестного? или недостаточно? или чрезмерно? или противоречиво?
Вроде бы Пойапредполагает решение самых обычных, школьных задач, однако он не исключаетвозможности наличия некоторых «аномалий» в условии задачи, ксуществованию которых ученики должны быть готовы.
П.Эрдниев в своей книге [24, ñ.24,40] предлагает использовать в обучении математике задачи с неполным составом условия ещё смладших классов, причём он считает, чтоиспользование таких задач (деформированных примеров, как он их называет)позволяет проводить обучение опережающими темпами, с их помощью можно кореннымобразом изменить мыслительные процессы решающего, превратив их в более сложные,более содержательные и потому лучше развивающиеспособности ученика.
У Н.Метельскоговстречается такая классификация задач. Между условием задачи (А) и еётребованием (Х) может быть различное соотношение,определяющее число решений. Обычно школьная задача имеет одно или несколькоопределённых решений и потому называется определённой. Этот тип задачи условно можно изобразить формулой импликации А=>Х, которую будемпонимать так, что условие А содержит достаточно и только достаточно данных длявыполнения требования Х. Если из условия А какое–либо данное опустить, тополучим неопределённую задачу. Она имеетбесконечное множество решений, зависящих от бесконечного множества значений тойвеличины (параметра), которой принадлежалозначение, выброшенное из условия. Наконец, условие может содержать, кроме А,некоторое дополнительное данное, и тогдазадача называется переопределённой. В частном случае это «лишнее» данное может вытекать из тех, что ужеимеются в задаче, и тогда задача оказывается определённой задачей. В остальныхслучаях переопределённая задача не имеет решения, поскольку её данныепротиворечат друг другу, несовместимы. Основные функции задач в обучении выполняют определённые задачи, однако известную пользу, по мнению Н.Метельского, приносит учащимсязнакомство с неопределёнными и переопределёнными задачами. [14, с.176-177]
Задачи из рассматриваемойклассификации полезны тем, что: они не обладают алгоритмичностью решения, ониактивизируют умственную деятельность учащихся, заставляют их искатьнестандартные подходы к решению задач, а также допускают как несколько способоврешения, так и несколько решений вообще.
В подтверждение этогомнения интересные факты приводит в своей статье «Остроугольный илитупоугольный?» И.Дегтянникова. Она пишет: «Решая задачу, часто дажене задумываемся о реальности её условия. Поэтому правы те авторы, которыевключают в свои учебники задачи с нереальными условиями. Это заставляет проверятьусловия у всех задач. Кроме того, нереальные задачи – это готовая проблемнаяситуация». [4]
Отсутствие указанныхзадач в школьных учебниках приводит к тому, что и учителя не ориентируют своиумения на такие задачи, в результате чего их педагогическая подготовка содержитизъяны.
В заметке [5] В.Игнатенко пишет об ошибке,найденной в учебнике [1]. В этом учебнике на с.135 приведеназадача 536(б). Вот её текст: „Отрезок BD является биссектрисойтреугольника АBC. Найдите DC, если AB=30, AD=20, BD=16 и ÐBDC=ÐC.
Вроде бы ничегоособенного в этой задаче нет. Однако автор, проведя решение двумя различнымиспособами, заметил, что ответы в них не совпадают. Попытка смоделироватьтреугольник с данными, указанными в задаче, показала, что данные содержалипротиворечие. Оказывается, маститые авторы популярного учебника, включивпротиворечивую задачу в свой учебник, не заметили её противоречивости, как незамечали её и тысячи учителей, несколько лет работавших по этому учебнику.
Присутствие такой задачи(пока что только одной) в учебнике геометрии – только на пользу ученикам иучителям. Жаль, что эта задача – результат случайной оплошности авторскогоколлектива, а не результат её закономерного выбора.
Как пишет М.Буловацкий всвоей статье[2], школьник, какправило, игнорирует важные вопросы о переизбыточности, недостаточности илипротиворечивости задач, так как задачи из школьных учебников не требуютразмышления над такими вопросами, потому что в них практически всегда имеетсястолько данных, сколько необходимо для решения. И это является, по мнениюМ.Буловацкого, серьёзным недостатком математического образования школьников.
По результатамэксперимента, описанного в статье, переопределённые (с избыточным составомусловия) или неопределённые (с недостатком данных) задачи ставят большинствошкольников в тупик, из которого они зачастую не в состоянии выбраться. И этозатруднение возникает в связи с тем, что у школьников не отработан навык отбораи предварительной оценки данных задачи. Как считает М.Буловацкий, отработке этогонавыка нужно уделять специальное учебное время. [2]
Итак, анализ литературныхисточников выявляет важную для математического образования проблему: многиепедагоги–исследователи указывают на целесообразность использования в обучениизадач с «аномальными» условиями, а авторы учебников на это указание почти нереагируют.
Нас заинтересовала этапроблема с разных точек зрения. Во–первых, насколько полезно включение такихзадач в школьный курс математики? Во–вторых, нужно ли специальное обучениеучащихся решению таких задач? И если нужно, то каковы методические особенноститакого обучения?
Поискам ответов на этивопросы и посвящена настоящая работа.
I. Как ученики реагируют на«аномальные» задачи?
(констатирующие эксперименты)
Предварительно мыпоказали, что многие известные в педагогике учёные считают полезным включениенеопределённых и переопределённых задач в процесс обучения. Почему жебольшинство учебников уделяет такое слабое внимание этим задачам? Может быть,учащиеся и без специального обучения в состоянии решать такие задачи? Покрайней мере, выводы В.Крутецкого близки к утвердительному ответу. Но имеются идругие мнения.
Чтобы ответить на этотвопрос, был проведён ряд констатирующих экспериментов в разных классах.
Так, в периодпедагогической практики в 1997 году был проведен небольшой эксперимент всредней школе № 3 г. Орша.
Ученикам 6 класса, всоставе которого на момент проведения эксперимента было 25 человек, насамостоятельной работе в качестве дополнительного задания была предложенаследующая задача:в прямоугольнике стороны равны 8,4 см и 3,9 см, апериметр 24,6 см. Найти площадь прямоугольника. При решении этой задачив классе выделилось несколько групп: 1 ученик не решил её вообще, мотивировавэто тем, что не успел этого сделать; 2 ученика решили эту задачу полностью собъяснением того, почему они не использовали при решении задачи данный в нейпериметр, но не проверили, соответствует ли данная длина периметра длинамсторон; 1 ученик (кстати, участник областной олимпиады по математике) решил этузадачу полностью и проверил соответствие в ней данных друг другу, но при этомвозился с решением около 10 минут, а остальные ученики просто написали ответ кзадаче без каких бы то ни было объяснений к нему.
После решения задания сучеником, полностью решившим задачу, была проведена беседа о том, с какимитрудностями он столкнулся в процессе решения задачи, и выяснилось, что, решаяэту задачу, он вначале думал, что в задаче даны два прямоугольника, площадь одногоиз которых он нашел сразу же и долго вычислял, как можно выразить площадьпрямоугольника через его периметр. Но потом проверил, что длина периметраполностью соответствует длинам сторон, и решил, что в задаче речь идет об одноми том же прямоугольнике, а периметр дан только для того, чтобы запутатьрешение. На следующем уроке класс изъявил желание узнать, как же правильнорешается эта задача. Им было подробно объяснено, что периметр в задаче являетсялишним данным и его не нужно использовать для решения, но в данной ситуациидлины сторон в задаче соответствуют периметру, что бывает не всегда и требуетпроверки. После чего была предложена для решения задача аналогичного характера,но содержащая противоречие в тексте: в прямоугольнике длины сторон равны6,7 см и 4,2 см, а площадь равна 25,3 кв. см. Требуется найти периметрпрямоугольника. Как и ожидалось, все 25 учащихся решили эту задачу безиспользования площади и записали ответ. Все посчитали, что площадь в задачеявляется лишним данным, но никто не счёл нужным проверить, соответствуют лиданные друг другу. Результат самостоятельной работы (отсутствие“пятёрок» в работе с несложными задачами) заставил их всё жезадуматься. Очередная беседа на ту же тему была воспринята ими уже с большимвниманием и пониманием. Учащиеся с большим интересом стали относиться к«не таким» (их определение) задачам, а позже и сами стали сочинятьзадачи с лишними данными, предлагая их друг другу и учителю как на уроках, таки вне уроков.
Нам представляется, чтоэтот интерес можно объяснить новой необычной ситуацией в сфере знакомых вещей:для решения таких задач новых знаний не требуется, но требуется новый подход кним, новые мыслительные приёмы. Т.е. происходит «шлифовка» мышления,его тренаж, что вполне соответствует запросам растущего организма.
Был проведен эксперименти в 10 классе той же школы, где на момент эксперимента было 13 учащихся. Имбыла предложена для решения следующая текстовая задача: в одной мензуркеимеется некоторое количество кислоты, в другой мензурке – такое же количествоводы. Для приготовления раствора сначала вылили из первой мензурки во вторую 30граммов кислоты. Затем 2/3 раствора, получившегося во второй мензурке перелилив первую. После этого в первой мензурке оказалось в 1,4 раза меньше жидкости,чем во второй мензурке. Сколько кислоты и воды было взято первоначально?
Все 13 учеников смогливерно составить уравнение, провести его решение и записать ответ: 12 граммовводы и кислоты было первоначально. На этом все прекратили решение задачи. Далееим было предложено вернуться к условию задачи, и попробовать подставитьполученный результат в условие. Здесь сразу же возникли трудности, поскольку измензурки, содержащей 12 г жидкости, требовалось вылить 30 г. Ученикиотказывались понимать, как могло так получиться, что задача красиво решилась,но то, что получили в качестве ответа, не подходило по тексту задачи.Непонятным было также и то, как можно записать в ответе, что нет решения, когдана самом деле оно есть.
Задача вызвала резконегативное отношение десятиклассников, которые считали бесполезным решениетаких задач для своего образования. Они требовали от учителя предлагать им длярешения «нормальные» задачи, какие им и придётся решать припоступлении в ВУЗы.
Таким образом,эксперимент показал не только недостаточное развитие мышления старшеклассников,но и то, что у них уже отсутствует стремление к такому развитию. Они сами(полагаем, не без участия учителей) определили себе «потолок» своегоразвития, своей образованности, что в принципе для человека ненормально.
Аналогичныймини–эксперимент был проведён и в ходе преддипломной педагогической практики всентябре – октябре 1998 года. Он проводился с учащимися средней школы № 2 г.Орши. В эксперименте принимали участие ученики 11–го класса, который являетсялицейским классом при Могилёвском машиностроительном институте (выпускныеэкзамены по математике и физике в этом классе совмещены со вступительнымиэкзаменами в институт). Уровень преподавания математики в этом класседостаточно высок (три ученика – участники областной олимпиады по математике, один– её призёр).
Этим учащимся былипредложены на уроке для самостоятельного решения следующие задачи:
1.В параллелограмме стороны 3 см и 5см, а высота 4 см. Найти площадь параллелограмма.
2.В параллелограмме стороны 4 см и 5см, а высота 3 см. Найти площадь параллелограмма.
С первой задачей возниклипроблемы следующего характера: часть учеников, не обратив внимания на то, что вданной задаче параллелограмм определяется однозначно (высота 4 см может бытьпроведена только к стороне 3 см), выдали два ответа (12 см2 и 20 см2);ещё одна часть учеников остановилась на одном решении, просто не рассмотреввозможный второй случай (ответ либо 12 см2 либо 20 см2);и лишь один ученик сначала задал вопрос о том, сколько решений может иметьзадача, и, получив совет «Думай!», выдал полное и правильное решение.
Со второй задачей убольшей части учащихся дело обстояло практически так же, т.е. большинствоуказало только один ответ (даже подсказка о том, что решений может быть ибольше, им не помогла), остальные – два ответа, но без обоснований. И лишь одинученик (тот же, что решил и первую задачу) решил самостоятельно и правильно этузадачу, выдав два ответа с аргументацией.
Как видим, результатыэкспериментов показывают, что школьники не в состоянии самостоятельносправиться с задачами указанных типов. Они не ставят перед собой вопросов опереизбыточности, недостаточности или противоречивости условий задач, неанализируют условие задачи, прежде чем начать её решение, не возвращаются сполученным решением к началу задачи, чтобы проверить его. Из чего можнозаключить, что сформированность навыков решения математических задач у учащихсясредних школ (даже в специализированных классах) является далеко не полной.
При целенаправленномиспользовании переопределённых задач ученики довольно быстро приучаютсяанализировать условие задачи, но в первое время всё же делают довольно грубыеошибки в решении, объясняющиеся прежде всего их неумением проводить такойанализ. При решении задач переопределённых, но имеющих в условии противоречие,ученики после небольшой тренировки находят очевидные или слабо скрытыепротиворечия, но, если противоречие хоть сколько–нибудь завуалировано, незамечают его и просто игнорируют вместо того, чтобы вернуться к условию задачии проверить решение. Т.е. необходимость работы над задачей после полученияответа, необходимость анализа этого ответа, выявление его соответствия текстузадачи формируются у учащихся за более длительный срок и затратой большихусилий как самих учащихся, так и учителя. Потому желательно начинать этотпроцесс намного раньше, чем в десятом классе.
При решении задачнеопределённых учащиеся не умеют перебирать всевозможные случаи, которыевозникают из–за этой неопределённости, и часто либо находят одно решение, либопишут, что задача не решается.
Итак, ответ напоставленный вопрос очевиден: сами учащиеся не готовы к решению неопределённыхи переопределённых задач, этому нужно их целенаправленно учить. Как? Чтобы ответить на этот вопрос, сначала задумаемся о том, чемумогут научить задачи с «аномальным» условием?
II. Обоснование целесообразностизадач с «аномальным» условием
Для ответа на последнийвопрос рассмотрим исследуемые типы задач более подробно, чтобы определить, чтоконкретно требуется от ученика при решении каждого из них.
1. Неопределённыезадачи – задачи с неполным условием, в котором для получения конкретногоответа не хватает одной или нескольких величин или каких–то указаний насвойства объекта или его связи с другими объектами.
Примеры:
1. В треугольникеодна сторона имеет длину 10 см, а другая 8 см. Найти длину третьей стороны.
2. Поезд состоит изцистерн, товарных вагонов и платформ. Цистерн на 4 меньше, чем платформ, и на 8меньше, чем вагонов. Какой длины поезд, если каждая цистерна, вагон и платформаимеют длину 25 м?
3. Заасфальтировалина 30 км больше, чем осталось. Сколько процентов дороги покрыто асфальтом?
С первого взгляда ясно,что задача 1 не может иметь решения, потому что в ней не хватает данных. Однакоисследуем ситуацию глубже. Вспомним неравенство треугольника и запишем его дляданного треугольника, обозначив неизвестную сторону через а.
Получим:
10 + 8 > a;
a + 10 > 8;
a + 8 > 10;
а из этой системыследует, что
2 a
Таким образом, намудалось уточнить ответ с фразы «задачу невозможно решить» до вполнеопределённого интервала, что следует признать ответом более высокого уровня.
И во второй задаченапрашивается вывод, что никакой ответ там невозможен, поскольку данных нехватает. Но при более внимательном анализе условия выявляется, что не любоечисло может получиться в ответе. Например, невозможны ответы 333 м и 250 м,хотя и по разным причинам. Первое невозможно, потому что ответ должен бытькратным 25 м. А второе невозможно, т.к. общее количество тяговых единиц неможет быть равным десяти. Сколько же этих единиц там может быть?
Если в поезде хцистерн, то платформ х+4, а вагонов х+8. Вместе: 3х+12.Таким образом, всех тяговых единиц не меньше пятнадцати, а возможный ответ: 25(3х+12)м, где х – натуральное число. Над «дизайном» ответаможно поработать, если переписать его так: 75(х+4). А теперь,переобозначив буквой х (или другой) количество платформ, получимсамый короткий вариант ответа: 75х м, где х –натуральное число, не меньшее пяти.
Что ни говори, а такоерешение требует более высокого уровня умственной деятельности, чем примитивное«Задача не имеет решения, потому что данных не хватает». И,разумеется, что указанного решения от школьников сразу не получишь, что иподтвердили первые пробы со стапроцентным результатом.
Третья из указанных здесьзадач предлагалась девятиклассникам лицея. Результат тот же: «Задача нерешается...». Только дополнительная просьба назвать несколько возможныхответов подтолкнула лицеистов к анализу и в конце концов вывела на ответ,близкий к правильному: х%, где хÎ(50;100].
Вывод: решение неопределённой задачиобычно заканчивается неопределённым ответом, в котором искомая величина можетпринимать значения из некоего числового множества. Выявление этого множества идолжно стать целью решения такой задачи, что достигается вдумчивым анализомтекста задачи и взаимосвязей между данными величинами. Этому полезному дляумственного развития учащихся процессу нужно специально обучать.
Задачи этого типа требуютот ученика мобилизации практически всего набора знаний, умения анализироватьусловие, строить математическую модель решения, находить данные к задаче«между строк» условия. Практически, одной специально подобранной задачейэтого типа можно проверить знания ученика по целой теме. В качестве такогопримера можно рассматривать задачу: При каких значениях положительногопараметра a уравнение logax=axбудет иметь единственное решение иуказать его. Этазадача была предложена нашей группе (группа «А» IV курса физико–математического Могилёвского университета, 1997год) на занятиях по дидактике математики для самостоятельного решения, чтопомогло студентам группы весьма существенно повторить и углубить знания поширокому спектру школьного курса алгебры и начал анализа.
Вообще, уравнения идругие задачи с параметрами можно рассматривать как частные случаинеопределённых задач. Проблемность перехода к таким задачам ощущают учителя ужепри переходе от уравнений 7х=12, 0х=3, –5х=0,0х=0 к линейному уравнению общего вида: ах=b. Предварительная тренировка в решениинеопределённых задач и здесь была бы целесообразной и полезной.
2. Задачипереопределённые – задачи с избыточным составом условия, с лишними данными,без которых ответ может быть получен, но которые в той или иной мере маскируютпуть решения.
Как уже показано выше,данные в таких задачах могут быть противоречивыми и выявление этойпротиворечивости или непротиворечивости является обязательным элементом решениятакой задачи.
Например, в задаче «Найтиплощадь прямоугольного треугольника с катетами 9 см и 40 см и гипотенузой 41см» мало найти ответ полупроизведением 9 на 40. Надо ещё выявить,будет ли у прямоугольного треугольника с катетами 9 см и 40 см гипотенузаравной 41 см. Без этого выяснения решение задачи не может быть признано полным.
В этом аспекте интереспредставляют практические задачи. Например, при изучении первой формулы площадитреугольника учитель приносит в класс вырезанный из бумаги треугольник спроведенными высотами и предлагает одному из учащихся измерить длину какой–либостороны, потом второму ученику длину второй стороны, третьему – третьей, ещётрое измеряют высоты, каждый по одной. Результаты измерений записываются надоске. Теперь учитель предлагает вычислить площадь этого треугольника. Вопрос,какая высота к какой стороне проведена, учитель переадресует учащимся, которыеизмеряли, но те, естественно, не помнят, поскольку не фиксировали на этомвнимания. Возникает интересная проблема, которая в итоге всё же разрешается,исходя из того, что площадь одного и того же треугольника не может иметь разныхзначений. Поэтому самая большая высота должна быть проведена к самой маленькойстороне, а самая маленькая к самой большой. Теперь площадь треугольника можновычислять тремя способами, но результат, как выясняется, получается не совсемодинаковым. Появляется причина поговорить о сущности измерений, об ихобязательной неточности, о качестве приближённых измерений, об особенностяхвычислений с приближёнными числами и других соответствующих вопросах. Иэлементарная задача на применение примитивной формулы наполняется богатымсодержанием.
Задачи этого типа требуютот ученика умения анализировать условие, находить в нём нужные данные иотбрасывать ненужные. Причём, «ненужными» у разных учеников могутбыть разные величины. Например, в задаче "Найти площадьпрямоугольника по стороне, диагонали и углу между диагоналями"одни ученики будут искать ответ половиной произведения диагоналей на синус угламежду ними (тем самым сторона становится лишним данным), другие получат ответпроизведением сторон, предварительно вычислив вторую сторону по теоремеПифагора (здесь угол становится лишним данным). Возможен и третий вариант,когда лишним данным станет диагональ. Использование нескольких вариантоврешения такой задачи полезно не только для их сравнения, но больше длясамоконтроля: одинаковость ответов при разных решениях повышает уверенность вих правильности. Отсюда можно получить и один из надёжных способов самоконтроляв решении традиционных задач: после получения ответа вставить этот ответ втекст задачи как одно из данных, а одну из известных величин считатьнеизвестной и решить полученную новую задачу.
3. Нереальные (илипротиворечивые) задачи обычно относят к отдельному типу, хотя, как отмеченовыше, они являются составной частью переопределённых (иногда определённых)задач.
Пример: Найтиплощадь треугольника со сторонами 10 см, 19 см и8 см.
Вовсе необязательнорешать приведенную задачу, чтобы понять, что она не имеет решения. Достаточнолишь проверить условие на противоречивость при помощи неравенства треугольникаи убедиться, что задача не может иметь решения.
Можно было бы решить этузадачу, используя формулу Герона, но и тогда в конце концов был бы полученпротиворечивый результат (подкоренное выражение получилось бы отрицательным).
Для таких задачхарактерным является то, что они могут иметь достаточно красивое решение, какэто было с приведённой выше задачей на переливание жидкости, но только эторешение будет противоречить здравому смыслу. При решении таких задач необходимовсегда в конце возвращаться к условию и делать проверку полученного решения. Апоскольку противоречивость задачи не всегда бросается в глаза, это приучитвыполнять проверку полученного ответа в каждой задаче. Некоторые из задач этоготипа позволяют выявить противоречие данных еще при анализе условия, врезультате чего процесс решения становится излишним. Достаточно частоеповторение таких ситуаций приведёт учащихся к необходимости анализироватьусловие перед началом решения, чтобы избавить себя от лишней работы.
Итак, мы выяснили, чтокаждый из указанных типов задач несёт в себе определённую развивающую функцию.Так, переопределённые задачи требуют умения анализировать условие и строитьрешение задачи при помощи минимального числа данных. Противоречивые задачи заставляютделать проверку решения, более внимательно анализировать данные задачи.Неопределённые задачи требуют достаточно обширных знаний об объекте задачи, освязях его с другими математическими объектами, которые могут оказатьсяполезными при получении пусть неопределённого, но всё же ограниченного некимирамками ответа.
Известно (см., например,книги Д.Пойа), что процесс решения математической задачи предусматриваетреализацию четырёх этапов: изучение текста задачи, составление плана решения,его выполнение, изучение полученного решения («взгляд назад»). Для успешногоформирования у школьников умений, связанных с реализацией того или иного видадеятельности, необходимо обучать их самостоятельно выполнять каждый изуказанных этапов процесса решения задач. Для этого целесообразно учить учащихсяоперациям, соответствующим определённому этапу работы с задачей. Указанные вышетипы задач и позволяют ученику усовершенствовать свои умения в каждом из данныхвидов деятельности.
III. Прикидка методического подхода
к обучению решению «аномальных»задач
Как же научить учащихся решатьзадачи указанных типов? Как приучить их к «нестандартному»[1]подходу к решению задачи?
Основой для ответа напоставленный вопрос можно считать известную таблицу Д.Пойа «Как решатьзадачу» [16, с. 210-212]. В числе основных вопросов, надкоторыми следует задумываться решателю, Д.Пойа выделяет следующие:
Возможно ли удовлетворитьусловию? Достаточно ли условие для определения неизвестного? Или недостаточно?Или чрезмерно? Или противоречиво?..
Сохраните только частьусловия, отбросив остальную часть: насколько определённым окажется тогданеизвестное? Как оно сможет меняться?..
Все ли данные вамииспользованы? Все ли условия? Приняты ли во внимание все существенные понятия,содержащиеся в задаче?..
Нельзя ли проверитьрезультат? Нельзя ли проверить ход решения?..
Перечисленные вышевопросы и советы из таблицы Д.Пойа являются малопопулярными или совсемнепопулярными у школьных учителей. Хотя бы потому, что первая часть этихвопросов и не требуется в отношении традиционных школьных задач. Для того,чтобы таблица Д.Пойа заработала в полной мере, и возникает необходимостьдополнить школьные наборы задач задачами неопределёнными и переопределёнными.
Попробуем осмыслитьвозможный методический подход к обучению учащихся решению таких задач.
Начнём с того, чтоосторожное включение таких задач возможно уже в 5–6 классах или даже раньше [24, с. ]. Начинать, как нам представляется, следует с введения задачпереопределённых, предупреждая на первых порах учащихся о наличии избыточныхданных и предлагая им найти такие данные, постепенно переходя от задач простыхк таким задачам, в которых избыточные данные не сразу бросаются в глаза. Когдаучащиеся приобретут некоторые навыки решения таких задач, можно перейти квведению таких задач уже без предупреждения о наличии избыточных данных,чередуя эти задачи с традиционными определёнными задачами. Таким образом, незная, имеется ли в условии задачи лишнее данное или нет, но подозревая, что ономожет быть, учащиеся к каждой задаче будут подходить критически, что вызоветбольшую, чем в традиционных условиях, необходимость внимательного анализаусловия задачи и различных подходов к её решению.
На некотором этапепереопределённые задачи, предлагаемые учащимся, могут стать противоречивыми.Использование таких задач постепенно приучит их к тому, что обнаруженное вусловии лишнее данное не следует игнорировать, но следует проверять его напротиворечивость (при этом, как нам представляется, чаще нужно ориентироватьсяна вычисления с приближёнными величинами, чем с точными). Кроме того, использованиезадач с противоречивыми данными позволит учащимся заметить (не без помощиучителя) полезность вдумчивого анализа условия, в результате которого можновыявить противоречивость и тем самым не искать решения, т.е. облегчить себеработу. А поскольку никогда не ясно, есть ли противоречие в условии задачи илинет, то вдумчивому анализу будут подвергаться условия всех задач, что следуетсчитать чрезвычайно полезным качеством решателя задач.
Когда переопределённыезадачи станут привычными и не будут вызывать у учащихся настороженности ипротеста, можно перейти к решению неопределённых задач, снова же вначалепредупреждая учащихся о том, что в условии задачи некоторых данных не хватает,и предлагая им указать, каких. При этом полезно сравнивать, как зависит ответзадачи от различных дополнений учащихся – с возможным, но пока не обязательным,выходом на диапазон этого ответа. Ибо целью решения таких задач, как ужеотмечено выше, и является указание диапазона возможных состояний ответа.
Мы попытались разработатьсистему задач с использованием всех задач рассматриваемой классификации в однойиз тем школьного курса геометрии.
Критерии создания такойсистемы задач рассматриваются в [19].Автор пишет :
«Последовательное,постепенно усложняющееся варьирование условия задач является основнымпринципом, определяющим построение упражнений при обучении решению типовыхзадач. Вначале – на первоначальных этапах самостоятельного решения новой дляученика типовой задачи (после того, как она разобрана в классе) – варьированиеусловия касается самых несущественных его сторон, непосредственно не влияющихна применение основного приёма решения, а именно сюжета задачи и числовыхвеличин. Последующее варьирование условия задачи имеет целью не столькозакрепление в памяти учащихся того или иного типового приёма (это тоженеобходимо), сколько выработку умения распознавать за различной внешней формойзадачи её одинаковую логическую структуру. На этом этапе большое значениеприобретает решение задач данного типа аналогичных по логической структуре, ноизменённых по словесной формулировке. При этом изменение формулировки должнокасаться той части условия, которая является определяющей для выбора приёмарешения.
Решая систему задач,построенную по этому принципу, учащиеся приучаются улавливать самоесущественное в условии задач, правильно абстрагируясь от внешних сторон –своеобразия их формулировок.
На следующем этапецелесообразно вводить в условия задач дополнительные элементы, увеличиваяколичество числовых данных. Исследования показывают, что в этом случае,несмотря на то, что введение дополнительных данных никак не влияет наиспользование основного приёма решения, для учащихся всё же создаётся новаяситуация, требующая от них умения вычленить ту часть условия, котораяопределяет применение типового приёма и в ходе действий при решении задачинайти ему правильное место.
То же самое следуетотметить и о применении задач переопределённых, корректных, но вызывающихпротиворечие при решении. Эффект от введения этих задач не стоит недооценивать,их цель в системе задач – вызов ситуации, при которой задача не имеет решенияпри вроде бы существующем на самом деле математическом (записываемомпосредством математического языка) решении.
В дальнейшем уже можноприбегать к такому варьированию условий задачи, которое требует видоизменениясамого типового приёма. Такого рода варьирование способствует выработке болеесложных умений, значение которых для формирования самостоятельного мышленияучащихся очень велико. Речь идёт в этих случаях о выработке уменийперестраивать известные способы решения в соответствии с изменением условийзадачи. Успех этой перестройки непосредственно зависит от того, в какой мереучащиеся умеют анализировать задачи, улавливая одновременно и сходное иразличное.» [19, с. ]
И, наконец, последнеевидоизменение условия задачи – составлять условие таким образом, чтобынекоторых данных в них не хватало. С учётом предыдущего опыта учеников порешению задач, этот тип задач, во–первых, будет для них несколько сложным иновым, во–вторых, решая задачи такого типа, ученики более наглядно осознаютскрытые свойства объекта задачи, уясняют более детально динамическиесоотношения между понятиями и определениями, применяемыми при решении даннойзадачи.
IV. Расширенная система задач потеме «Сумма углов треугольника»
В соответствии свышесказанным предлагается к рассмотрению система задач по теме «Суммауглов треугольника» (геометрия, 7 класс). Тема эта не громоздкая,достаточно чёткая и богато насыщенная различного рода задачными ситуациями.
Для составления требуемойсистемы задач было выделено 5 основных аспектов данной темы:
· непосредственноеиспользование указанного свойства углов в произвольном треугольнике;
· то же – дляравнобедренного треугольника;
· то же – дляпрямоугольного треугольника;
· то же – дляуглов, образованных внутри треугольника медианами, биссектрисами, высотами идр.;
· то же – с выходомна внешние углы треугольника.
I. Применение свойства углов дляпроизвольного треугольника
1. Два угла треугольника равны 26° и 118°. Найти величину третьего угла треугольника.
2. Два угла треугольника равны 118° и 62°. Найти величину третьего угла.
3. Найти углы треугольника, если онипропорциональны числам 3, 4, 5.
4. В треугольнике ABC угол A равен 24°, угол C в два раза больше угла B. Найти неизвестные углытреугольника.
5. Найти углы треугольника, если один изего углов равен сумме двух других, а два меньших угла относятся, как 2:3.
6. Найти попарные отношения угловтреугольника, если один из них равен 36°, а второй – 84°. (Задача имеет 6 ответов).
7. В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 70°, и два угла относятся, как 7:8.Найти углы треугольника ABC.
8. В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 70°, и два угла относятся, как 4:7.Найти углы треугольника ABC.
9. В треугольнике ABC угол A равен 30° и углы относятся, как 1:1:4. Найти углы треугольника ABC.
10.В треугольнике ABC угол А равен 30°, и углы относятся как 1:2:6. Найтиуглы треугольника ABC.
11.В треугольнике АВС угол А равен 70°, и два угла относятся как 5:6. Найтиуглы треугольника АВС.
Первая задача традиционнадля этой темы. Но вторая уже заставляет задуматься о возможных границах ответовв таких задачах.
Шестая задача выводит нанеобходимость вариативных рассуждений, о чём подсказка в скобках, тем самымготовит учащихся к вариативным рассуждениям в следующей задаче. Для решениязадачи 7 ученик должен сначала задуматься об отношении каких именно углов идётречь? Некоторые из этих вариантов будут отброшены как противоречивые, но несразу, а после необходимых вычислений. Для ответа останется один из них. Взадаче же 8 ни один из рассмотренных вариантов не выведет на ответ. Аналогичныерассуждения понадобятся и при решении задач 8–11.
II.Применениесвойства углов для равнобедренного треугольника
1. Найти углы равнобедренноготреугольника, если угол при его вершине равен 28°.
2. Найти углы равнобедренноготреугольника, если угол при его основании равен 28°.
3. Может ли равнобедренный треугольникиметь углы величиной 55° и70 °? 24° и 62°?
4. Найти углы равнобедренноготреугольника, если один из них равен 100°.
5. Найти углы равнобедренноготреугольника, если два его угла соответственно равны: а) 55° и 70°; б) 40° и 110°;в) 20° и 20°; г) 60° и 60°.
6. Может ли биссектриса, медиана иливысота треугольника разбивать его на два равносторонних треугольника?
7. Найти углы равнобедренноготреугольника, у которого высота, проведённая к основанию, разбивает его на 2треугольника так, что соотношение острых углов каждого из полученныхтреугольников равно 1:2.
8. Доказать, что равнобедренныйтреугольник с углом 60°является равносторонним.
9. Какими могут быть углыравнобедренного треугольника, если биссектриса одного из углов разбиваеттреугольник на два равнобедренных треугольника.
10.Доказать, что если любые двебиссектрисы треугольника, пересекаясь, образуют со сторонами равнобедренныетреугольники, то данный треугольник равносторонний.
11.Доказать, что отрезки высотравностороннего треугольника образуют со сторонами этого треугольника 3равнобедренных треугольника.
Последние две задачиэтого раздела – привычные задачи школьного учебника. Но решать такие задачиученики не любят именно потому, что здесь требуется выполнить перебор всехвозможных вариантов, к чему они не очень хорошо подготовлены. Поэтомупредыдущие задачи в большей своей части и содержат необходимость выполненияперебора вариантов, что, как нам представляется, и должно подготовить учащихсяк решению двух последних задач.
III.Применениесвойства углов для прямоугольного треугольника
1. Один из углов прямоугольноготреугольника равен 73°.Найти другой его острый угол.
2. В прямоугольном треугольнике одинугол равен 65°. Найтивеличины остальных углов.
3. Один из острых углов прямоугольноготреугольника в 5 раз больше другого. Найти эти углы.
4. Найти острые углы прямоугольноготреугольника. если один из них на 32° больше другого.
5. Острые углы прямоугольноготреугольника пропорциональны числам 5 и 7. Найти эти углы.
6. Разность острых углов прямоугольноготреугольника равна 15°.Найти эти углы.
7. Найти углы прямоугольноготреугольника. если один из них в 5 раз больше другого.
8. Найти углы прямоугольного треугольника,если один из них на 32°больше другого.
9. Найти углы прямоугольноготреугольника, если один из них в 3 раза меньше другого.
10.Углы треугольника пропорциональнычислам Х, 8 и 10. Каким может быть число Х, если треугольник прямоугольный?
11.Два угла прямоугольного треугольникапропорциональны числам 2 и 3. Найти углы треугольника.
12.Можно ли найти отношение сторонпрямоугольного треугольника (хотя бы некоторых), если известно, что один из егоуглов в 2 раза больше другого?
Первые шесть задач этогораздела традиционные. Пять следующих (от седьмой до одиннадцатой) внешне похожина первые шесть, но содержат одну неопределённость, существенно влияющую нахарактер решения: речь уже не идёт об острых углах и потому к числу затронутыхв условии углов придётся теперь относить и прямой угол. Таким образом, задачаполучит несколько возможных ответов. Последняя задача не может быть решена вполном виде до изучения теоремы Пифагора, поэтому в седьмом классе возможнолишь её частичное решение: либо равнобедренный прямоугольный треугольник сотношением катетов 1:1, либо прямоугольный треугольник с углом 30°, где отношение катета к гипотенузеравно 1:2.
IV. Применение свойства углов в треугольнике с дополнительнымипостроениями
1. В треугольнике АВС биссектрисы угловА и В пересекаются в точке К. Найти величину угла АКВ, если ÐА=50°, ÐВ=100°.
2. В равнобедренном треугольнике уголравен 68°. Под каким углом пересекаютсябиссектрисы двух других его углов?
3. Под каким углом пересекаютсябиссектрисы равностороннего треугольника? высоты равностороннего треугольника?
4. Треугольник имеет углы 36° и 74°. Под каким углом пересекаются высоты, проведенные извершин этих углов? Под каким углом пересекаются биссектрисы этих углов?
5. В треугольнике АВС (АВ=ВС) проведенабиссектриса СМ. Найти углы треугольника АВС, если величина угла АМС равна 120°.
6. В треугольнике АВС ÐА=40°, ÐС=70°, биссектрисыуглов А и С пересекаются в точке К, ÐАКС=125°.Найти ÐВ.
7. В треугольнике АВС ÐА=30°, ÐС=80°, биссектрисы углов А и В пересекаются в точке К, ÐАКВ=135°. Найти угол В.
8. Под каким углом пересекаются неравныебиссектрисы равнобедренного треугольника, один из углов которого 96°? 90°? 86°?
9. В равнобедренном треугольнике АВСпроведена биссектриса АМ. Найти углы треугольника АВС, если ÐАМС=64°.
10.Биссектрисы углов А и В треугольникаАВС пересекаются в точке К. Найти величину угла АКВ, если величина угла АСВравна 170°.
11.Найти величину угла треугольника.если биссектрисы двух других его углов пересекаются под углом 100°.
12.В каком треугольнике биссектрисыпересекаются под прямым углом?
13.В треугольнике АВС биссектрисы угловА и В пересекаются в точке К. ÐBАC=70°. Найти угол АКВ.
В задачах этого разделатакже запланирован переход от традиционных задач к задачам, требующим анализаусловия и рассмотрения различных вариантов.
V. Задачи с внешними углами треугольника
1. Внешний угол треугольника равен 130°, один из не смежных с ним внутренних70°. Найти углы треугольника.
2. Углы треугольника равны 47°, 69° и 64°. Найти внешние углы треугольника.
3. Внешний угол треугольника равен 130°, а два внутренних 60° и 70°. Найти углы треугольника.
4. Внешний угол треугольника равен 130°, а два внутренних – 30° и 60°. Найти углы треугольника.
5. Один из внутренних угловпрямоугольного треугольника равен 47°, а один из внешних – 137°. Найти величины остальных внутренних углов.
6. В прямоугольном треугольникевнутренний угол равен 47°,внешний 133°. Найтивеличины остальных внутренних углов.
7. В прямоугольном треугольникевнутренний угол равен 47°,внешний 143°. Найтивеличины остальных внутренних углов.
8. Найти углы равнобедренноготреугольника. если один из его внешних углов равен 30°.
9. Один из внешних углов прямоугольноготреугольника равен 107°.Найти его внутренние углы.
10.Один из внешних углов треугольникаравен 130°, а один извнутренних – 46°.Найти другие внутренние и внешние углы треугольника.
11.Один из внешних углов равнобедренноготреугольника равен 96°.Найти внутренние углы треугольника.
12.Сумма внешних углов с вершинами А и Вравна 186°. Найтивеличину угла С треугольника АВС.
13.Сумма двух внешних углов с вершинамиА и В равна 172°.Найти величину угла С треугольника АВС.
14.Внешний угол прямоугольноготреугольника в 7 раз больше внутреннего с той же вершиной. Найти углытреугольника.
15.Внешний угол прямоугольноготреугольника в 4 раза больше внутреннего. Найти углы треугольника.
16.Найти сумму внешних угловпрямоугольного треугольника (по одному при каждой вершине).
17.Разность двух внешних угловтреугольника равна третьему внешнему углу. Найти внутренние углы треугольника.
18.Найти отношение внешних угловравнобедренного треугольника, если отношение его внутренних углов 2:5.
19.Под каким углом пересекаются двепрямые, если при пересечении их третьей сумма внутренних односторонних угловравна 215°?
20.Один из углов треугольника в 3 разабольше другого, а разность внешних углов при этих же вершинах равна 80°. Найти углы треугольника.
21.Один из углов треугольника в 2 разабольше другого, а разность внешних углов при этих же вершинах равна 80°. Найти углы треугольника.
22.Внешние углы треугольникапропорциональны числам 3, 7, 8. Каким числам пропорциональны его внутренниеуглы?
23.Прямые a и b пересекаются под углом 85°. Прямая c пересекаетa и b так, что разность внутренниходносторонних углов равна 75°. Определить вид полученного треугольника.
24.Прямые a и b пересекаются под углом 75°. Прямая c пересекаетa и b так, что разность внутренниходносторонних углов равна 85°. Определить вид полученного треугольника.
25.Определить, под каким угломпересекаются прямые c и d, если прямая апересекает их так, что сумма внутренних односторонних углов равна 54°.
26.Прямые k и l пересекаются под углом 33°. Прямая р пересекает их так, что один извнутренних односторонних углов в 2 раза больше другого. Найти углытреугольника, образованного этими прямыми.
27.Прямые a и b пересекаются под углом 40°. Прямая р пересекает их так, что вполучившемся треугольнике углы относятся, как 1:7:28. Найти углы треугольника,образованного этими прямыми.
28.Под каким углом пересекаются прямые c и d, если прямая апересекает их так, что разность внутренних односторонних углов равна 90°
Из задач этого разделаостановимся на шести последних задачах. Возможные здесь варианты появляютсянесколько неожиданно для учащихся. Например, в задаче 23 для построения прямой свозможны две ситуации (см. рисунки):
/> />
В этом случае имеем:
85°+х°+х°+75°=180°
Здесь получаем:
х=10°.
Возможно ещё и такое размещение прямых.
180°–85°+х°+х°+75°=180°
х=5°.
Задача имеет два ответа: 10° и 5°.
В задаче 24 также возможны дваварианта построения прямых а, b и с (см. рисунки):
/> />
В данном случае имеем:
75°+х°+х°+85°=180°.
Отсюда:
х=10°.
Для такого размещения:
180°–75°+х°+х°+85°=180°.
Отсюда:
х=–5°, чего не может быть.
Как видим, перестановка в условиизадачи двух числовых данных (75° и 85°) приводит ктому, что в ответе получается возможным лишь одно значение: х=10°.
Вовсе необязательнопредлагать эти задачи всем учащимся. Для учащихся с преимущественной оценкой«3» многие задачи из второй части каждого раздела недоступны инеобязательны. В то же время для отлично успевающих учащихся некоторыеизначальные задачи очень просты и потому их можно пропускать. Из предложенногоперечня можно выделить набор задач, минимально необходимый для оценки«3», потом – набор задач, минимально необходимый для оценки«4», наконец – набор задач, минимально необходимый для оценки«5» (первый, второй и третий уровни освоения указанной темы). Видимо,можно назвать задачи из этого перечня, которые превышают и третий уровень, т.е.не являются обязательными (но весьма желательными) для получения оценки«5».
Так, задачи первогоуровня сложности рассчитаны на прямое применение некоторогоалгоритмического правила, а также применение этого правила с небольшимивариациями. Задачи этого уровня не представляют сложности для большинстваучащихся, потому что подобных этим задач достаточно много решается на уроках.Задачи неопределённые здесь не рекомендуются, а задачи переопределённыедопускаются в случае несложного выявления избыточных данных (о наличии которыхучащихся в большинстве случаев следует предупреждать).
Задачи второго уровнясложности могут иметь следующие отличительные черты:
· условие задачиизбыточно, но не содержит противоречия и задача решается однозначно. Длярешения задач этого типа необходимо из всех данных задачи выбрать необходимые,и применить их.
· условие задачисодержит противоречие (состав условия задачи может быть как полным, так иизбыточным).
· условие задачи несодержит никаких из рассмотренных нюансов с данными (состав условия полный), нопо сравнению с задачами первого уровня приём, применяемый для решения, болеесложный (правило применяется не «в лоб»).
Задачи третьего уровнясложности отличаются ещё большим разнообразием. Для решения задач этогоуровня от учеников требуется и больший объём знаний (при решении задачиприходится использовать комбинацию приёмов и навыков, изученных раньше), иналичие навыка вариативных рассуждений, которого теперешним ученикам взначительной мере не хватает. Задачи этого уровня вдобавок к сложности приёмоврешения могут иметь в условии неопределённость, приводящую к неопределённомуответу.
Также стоит отдельносказать несколько слов о задачах, которые по своей сложности стоят выше задачтретьего уровня. Эти задачи имеют в своём условии неопределённость, но этанеопределённость подразумевает в решении задачи бесконечное множество ответов.Чаще всего такая формулировка задачи пугает ученика и он говорит, что задача неимеет решения, потому что не хватает данных, хотя можно было бы провестирешение данной задачи и получить довольно конкретный результат.
Заключение
Подводя итог проделаннойработе, отметим следующее.
О целесообразностивведения неопределённых и переопределённых задач в школьный курс обученияубедительно сказано авторитетными методистами, специалистами в областиматематического образования. Инерционная школа пока ещё не учитывает этойцелесообразности, но сдвиги в указанном направлении уже есть.
Бесспорно и то, чтодополнение традиционных школьных наборов задач задачами неопределёнными ипереопределёнными (в работе использован обобщающий термин для обоих видов задач– задачи с «аномальным» условием или просто «аномальные» задачи) вызоветнеобходимость особых методических подходов к обучению решению таких задач,подходов, расширяющих возможности учащихся в решении задач вообще, углубляющихи усовершенствующих их навыки поиска решения любой задачи, а в итогеразвивающих их мышление. Попытки осознания таких подходов предприняты в даннойработе. На одном из примеров показан возможный вариант расширения традиционногозадачника, его дополнения задачами с «аномальным» условием.
Разумеется, работа неможет претендовать на полноту и завершённость, поскольку затронутая проблемадостаточно глубинна и объёмна и требует не одного года кропотливой работы неодного человека.
Однако автор надеется,что хотя бы небольшой шаг в нужном направлении им сделан.
По материалам данногоисследования подготовлена (в соавторстве) статья, опубликованная в журнале«Матэматыка: праблемы выкладання» № 2 за 1999 год.
Список использованной литературы:
1. Атанасян Л.С. идр. Геометрия. Учебник для 7–9 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1990.
2. Буловацкий М.П.Разнообразить виды задач // Математика в школе. – 1988. – № 5, с.
3. Булавацкі М., Макавецкі І. Абзадачах, якіх няма ў школьных падручніках // Матэматыка: праблемы выкладання. –1999. – № 2, с. 59 – 64.
4. Дегтянникова И.Н.Остроугольный или тупоугольный // Математика в школе. – 1998. – № 5, с. 43.
5. Игнатенко В.З.Сюрпризы биссектрисы // Математика в школе. – 1998. – № 5, с. 42.
6. Каплан Б.С.Методы обучения математике. – Минск: Народная асвета, 1981.
7. Колмогоров А. Н.Математика — наука ипрофессия. – М.: Наука,1988.
8. Крупич В.И.Структура и логика процесса обучения математике в средней школе.
9. Крутецкий В.А.Психология математических способностей школьников. – М.: Просвещение, 1968.
10.Леонтьев А.Н. Проблемы развитияпсихики. – М.: Издательство МГУ, 1962.
11.Математическое образование:современное состояние и перспективы (к 80–летию со дня рождения профессораА.А.Столяра): Тезисы докладов международной конференции. – Могилёв: МГУ им.А.А.Кулешова, 1999.
12.Матюшкин А.М. Проблемные ситуации вмышлении и обучении. – М.: Педагогика, 1975.
13.Махмутов М.И. Проблемное обучение. –М.: Педагогика, 1975.
14.Метельский Н.В. Дидактикаматематики. Общая методика и её проблемы. – Минск: Издательство БГУ, 1982.
15.Погорелов А.В. Геометрия 7–11. – М.:Просвещение, 1998.
16.Пойа Д. Как решать задачу. – Львов,1991.
17.Пойа Д. Математическое открытие. –М.: Наука, 1976.
18.Рогановский Н.М. Геометрия 7–9. –Мн.: Народная асвета, 1997.
19.Самарин О.А. Очерки психологии ума.Особенности умственной деятельности школьников. – М.: Издательство АПН, 1972.
20.Столяр А.А. Педагогика математики. –Минск: Вышэйшая школа, 1986.
21.Столяр А.А. Как математика ум впорядок приходит. – Минск: Вышэйшая школа, 1991.
22.Фридман Л.М. Психолого–педагогическиеосновы обучения математике в школе: – М.: Просвещение, 1983.
23.Фридман Л.М. Турецкий Е.Н. Какнаучиться решать задачи: – М.: Просвещение, 1989.
24.Эрдниев П.М. Преподавание математикив школе – М.: Просвещение, 1978.
25.Эсаулов А.Ф. Проблемы решения задач внауке и технике. – Л.: Издательство Ленинградского университета, 1979.
Министерство образования РеспубликиБеларусь
Могилёвский государственныйуниверситет им. А.Кулешова
кафедра методики преподаванияматематики
Дипломная работа
«Неопределённые и переопределённыезадачи
(использование задач с «аномальным»условием
в процессе обучения математике)»
студента группы «А» V курса
физико–математического факультета
Маковецкого Ильи Ивановича
Научный руководитель:
Войтович Ф.С.,
старший преподаватель кафедры методики преподавания математики
Могилёв 1999