Задачи и содержание работы по изучению элементов наглядной геометрии

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования "Воронежский государственный педагогический университет" (ВГПУ) Психолого-педагогический факультет Курсовая работа На тему: "Задачи и содержание работы по изучению элементов наглядной геометрии в начальной школе"

Выполнила: студентка 4 курса ПиМНО з/о Петрова А.Ю. Проверила: Провоторова Н.А. Воронеж 2008 СОДЕРЖАНИЕ 1. ВВЕДЕНИЕ 2 ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ ОБРАЗОВАНИЯ 2 ЗАДАЧИ И СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ПО ИЗУЧЕНИЮ ЭЛЕМЕНТОВ НАГЛЯДНОЙ ГЕОМЕТРИИ 2 ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ НАГЛЯДНОЙ

ГЕОМЕТРИИ 2 РАСКРЫТИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА УЧАЩИМСЯ 1–4 КЛАССОВ 2 НАГЛЯДНОСТЬ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА 2 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 2 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. ВВЕДЕНИЕ Необходимость и возможность введения в начальной школе пропедевтического (подготовительного) курса геометрии обсуждается педагогической общественностью нашей страны уже более столетия.

И хотя на сегодняшний день этот курс не нашел достойного места в отечественной школе, причины, побуждавшие к созданию различных вариантов этого курса (названного или начальным, или пропедевтическим, или наглядным курсами геометрии), достаточно весомые: 1. Традиционным для нашей основной школы систематический курс геометрии (изучающейся с 7-го класса) носит дедуктивный характер. 2. Отсутствие должной преемственности курса математики начальной школы с курсом математики средней

школы в изучении геометрического материала. 3. Наглядность и практичность в обучении геометрии, соответствующие наглядно-образному мышлению учащихся начальных классов. 4. Идея целостного курса наглядной геометрии создает определенную автономию начальной школе, позволяет ее выпускникам переходить к профессиональному обучению. Этим и обусловлена актуальность работы по теме: "

Задачи и содержание работы по изучению элементов геометрии в начальной школе". Попытаемся дать определение теме. Термин "задача" в словаре "Психология развития" определяется, как отраженная в сознании или объективированная в знаковой модели проблемная ситуация, содержащая данные и условия, которые необходимы и достаточны для ее разрешения наличными средствами знания и опыта. В "Большой советской энциклопедии" мы видим такое определение:

Задача - 1) поставленная цель, которую стремятся достигнуть.2) Поручение, задание.3) Вопрос, требующий решения на основании определённых знаний и размышления. "Содержание работ" в Словаре по экономике и финансам - это основной раздел должностной инструкции, определяющий требования к должности или рабочему месту. "Элемент" (в "БСЭ") определяют как составную часть какого-либо сложного целого.

Сама "геометрия" определяется как раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. ("Кругосвет") А в энциклопедии "Символы, знаки, эмблемы" встречаем такое определение: "Геометрия - наука, изучающая пространственные отношения и формы тел, обозначающая их посредством символических

фигур". Начальная школа ("БСЭ") – это общеобразовательное учебно-воспитательное учреждение для детей, дающее начальное образование (элементарные знания в области родного языка, математики, а также о природе и обществе); в современных системах народного образования большинства стран. Таким образом, "Задачи и содержание работы по изучению элементов геометрии в начальной школе" можно определить как проблемные ситуации, требующие решения на основании знаний и опыта, которые определены

должностной инструкцией (программой) к изучению, являющихся составной частью раздела математики, изучающего пространственные отношения и формы тел, обозначаемых посредством символических фигур, необходимых в начальном образовании, так как представляют собой элементарные знания. То есть, во-первых, изучение элементов геометрии в начальной школе определено должностной инструкцией учителя. Более того, изучение дает элементарные знания в области математики, необходимо для восприятия

пространственных отношений (а это и просто ориентировка на улицах города) и форм тел, учит ориентироваться в мире символики (дорожные знаки - символы). Поэтому изучать элементы геометрии в начальной школе, на мой взгляд, необходимо. Остается понять, как преподнести материал учащимся. Вот здесь и приходят на помощь "задачи и содержание работы". Как видим из определения, задачи решаются с помощью содержащихся в них самих данных и условий, а так

же с помощью знаний, опыта и размышлений. Содержание же работы уже определено должностной инструкцией, то есть "Программой". Из всего выше сказанного, можем определить, что объектом исследования является изучение содержания методики преподавания математики в начальной школе. А предметом – изучение задач и содержания преподавания элементов геометрии. В соответствии с темой и актуальностью, целью работы является выявление и рассмотрение задач и содержания

работы по изучению элементов наглядной геометрии в начальной школе. Для достижения поставленной цели необходимо решить в работе ряд задач: 1 - выявить требования Государственной программы образования к изучению наглядной геометрии в начальной школе; 2 - проанализировать литературу по геометрии для младших школьников; 3 - рассмотреть содержание работы по изучению элементов наглядной геометрии в начальной школе;

4 - выявить основные задачи в методике преподавания. ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ ОБРАЗОВАНИЯ Геометрический материал (как и алгебраический) не выделяется в программе и в реальном процессе обучения в качестве самостоятельно раздела. Вопросы геометрического содержания рассматриваются всегда, когда это оказывается возможным, в тесной связи с рассмотрением остальных вопросов курса. Однако, как это отмечено в объяснительной записке к

программе, в изложении вопросов геометрии должна соблюдаться и собственная логика, подчиненная основным целям включения этого материала в курс. Цели же эти состоят прежде всего в развитии пространственных представлений у детей, в формировании у них представлений о геометрических фигурах различных видов (точке, прямой и кривой линиях, отрезке, ломаной, прямом и непрямом угле, различных видов многоугольников, круге, окружности). Дети должны научиться изучать, различать и изображать эти фигуры как в тех случаях,

когда каждая из них предлагается им в изолированном виде, так и в тех, когда знакомая фигура представляет собой части другой, составлять фигуры из нескольких данных и т.п. При ознакомлении с геометрическим материалом значительное место уделяется измерениям: дети должны находить длину отрезка (1 класс), длину ломаной, периметр данного многоугольника (2 класс), площадь прямоугольника (3 класс). При этом определения понятий детям не сообщаются (и соответственно от учащихся не требуется

их знания). Вместе с тем по отношению к ряду понятий (например, по отношению к прямоугольнику, квадрату и т.д.) указываются те существенные признаки, которые фактически отражают содержание этих понятий и дают возможность выделять соответствующие фигуры из класса фигур, относящихся к ближайшему родовому понятию ("прямоугольник – четырехугольник, у которого все углы прямые", "квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны" и т.п.). Дети должны научиться практически использовать соответствующие

признаки при узнавании различных фигур, их классификацию. Вопросы геометрического содержания рассматриваются главным образом на основе практических работ, связанных со сгибание листа бумаги, вычерчиванием фигур и пр. Формирование элементарных навыков черчения выделяется специальное внимание. В программе указано время, когда дети должны научиться пользоваться линейкой – угольником, предусмотрено,

какие простейшие построения и измерения они должны выполнять. Это вычерчивание отрезков заданной длины и измерение отрезков с помощью мерной линейки, построение на клетчатой бумаге прямоугольника (квадрата). Дети должны пользоваться циркулем для вычерчивания окружностей заданного радиуса, с центром в заданной точке, научиться строить прямой угол и прямоугольники на нелинованной бумаге с помощью чертежного угольника. Рассмотрение вопросов, связанных с измерением естественно увязывается

с работой над числами и арифметическими действиями. Геометрические фигуры часто служат средством наглядной интерпретации, рассматриваемых арифметических вопросов (смысла, сложения, вычитания, умножения, деления, некоторых их свойств и т.п.). Приобретенные знания, умение, навыки и при изучении геометрического материала находят применение не только в ходе практических упражнений, но и при решение текстовых задач.

ЗАДАЧИ И СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ПО ИЗУЧЕНИЮ ЭЛЕМЕНТОВ НАГЛЯДНОЙ ГЕОМЕТРИИ Основные задачи изучения геометрического материала в 1-4 классах заключаются в том, чтобы создать у детей четкие и правильные геометрические образы, развить пространственные представления, вооружить их навыками черчения и измерения, имеющими большое жизненно – практическое значение, и тем самым подготовить учеников к успешному изучению систематического курса геометрии.

Формирование геометрических представлений является важным разделом умственного воспитания, политехнического образования, имеют широкое значение во всей познавательной деятельности человека. Пространственные представления носят синтетический характер, включая форму, положение, величину, направление и другие пространственные отношения и связи. Задача развития у младших школьников геометрических представлений, способности к обобщению состоит в том, чтобы научить их видеть геометрические образы в окружающей обстановке,

выделять их свойства, конструировать, преобразовывать и комбинировать фигуры, изображать их на чертеже, выполнять в необходимых случаях измерения. В содержании начального геометрического образования должны найти свое отражение – пусть в самой элементарной и доступной детям форме – основные геометрические идеи – движения преобразования, инвариантности основных свойств геометрических фигур. Уже на первой ступени приобщения к геометрическим знаниям дети должны получить первоначальную ориентировку

во взаимном расположении фигур, в умении выделять изучаемые фигуры как элементы тел. Арифметические и геометрические знания должны тесно сочетаться и находиться в органическом единстве. В соответствии с программой начальных классов дети знакомятся с прямой линией, отрезком, измерением и вычерчиванием отрезков, с их разностным и кратким сравнением, с углами (прямой, тупой, острый), с прямоугольником, квадратом и их свойствами, с вычислениями их периметров и площадей, с геометрическими

телами: кубом и прямоугольным параллелепипедом; с их некоторыми свойствами, с вычислением их объемов. Программой предусмотрены работа с весами и измерение прямой линии, проведение измерительных работ на местности. Хотя такое содержание геометрического материала не вполне соответствует целям и задачам геометрического материала в начальных классах, тем не менее, как свидетельствует опыт передовых учителей, программа дает возможности для осуществления в известной мере указанных выше геометрических идей и для повышения

уровня геометрических знаний учащихся. Общее направление, в котором должно проходить изучение геометрического материала сформулировано в объяснительной записке к программе: "процесс изучения геометрического материала" должен быть от начала до конца активным, конкретным, наглядным. Все обучение следует сопровождать практическими упражнениями при этом учащиеся будут воспринимать не только готовые геометрические фигуры и тела, они сами будут создавать и воспроизводить изучаемые геометрические

формы, используя для этого вырезание и наклеивание, моделирование, вырезание разверток и склеивание, черчение, образование фигур на подвижных моделях, а так же путем перегибания листа бумаги. Полученные знания сейчас уже используются детьми на практике не только на уроках арифметики, когда находят периметр, площадь и др но и на уроках труда, рисования, в работе на школьном учебно-опытным участке, на уроках природоведения. В этих указаниях большое значение придается наглядности, практическим

работам. Вторая сигнальная система развивается на основе первой, по этому при первоначальном знакомстве учащихся с геометрией необходимо обращаться к наглядности, конкретным геометрическим образам. Наглядности и практические работы учеников должны преследовать не только узко – практические цели, но и развития кругозора детей, способности к обобщению и абстрагированию, развитие геометрических представлений и геометрического воображения. Наблюдения и практические лабораторные работы, решение задач – всё это

должно приводить к накоплению фактов и к обобщениям, которые получат дальнейшее развитие в систематическом курсе. Так, например, при изучении прямой линии с помощью практических работ дети приобретают опыт, подводящий их к пониманию свойств прямой линии. То же самое можно сказать и об изучении других фигур, тел. И здесь нужно применять также формы заданий, которые способствуют накоплению фактов, подготавливающих к изучению систематического курса геометрии. Одним из важных методических принципов изучения геометрического

материала, является связь его с другими предметами: с арифметикой, рисованием, трудом, природоведением. "Математика есть, наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира" (Энгельс). Обе эти стороны математики должны быть тесно связанны между собой, взаимно дополнять и обеспечивать друг друга. Над вопросом об использовании геометрических объектов при изучении арифметики работал П.А. Компанийц. Предлагаемая им система упражнений по арифметике с использованием геометрических

образов построена так, что изучение арифметики в некоторой степени способствует геометрическому образованию. Уже в пределах первого и второго десятков при изучении нумерации используется отрезки, квадраты, кубы в различном расположении. На первых порах обучения автор рекомендует знакомить детей не только с линейным, но и с квадратными и кубическими единицами, не связывая их пока с понятием о площади или объёме. Квадратические и кубические единицы используется и дальше, при изучении нумерации, но попутно с этим

идёт подготовка к изучении площади; учащиеся вычерчивают в тетради квадратный сантиметр, затем полоску из 10 кв. см. и квадрат из 10 полосок, то есть квадрат с площадью 100 кв. см, и узнают, что из 100 кв. см, можно составить 1 квадратный дециметр. Здесь имеется и развитие идеи десятичной системы счисления, и подготовка к изучению квадратных мер, и подготовка к изучению способа вычисления площади квадрата. Даются упражнения по подсчету числа квадратных единиц, на которые разбиваются прямоугольник.

Таблица умножения Пифагора дана в геометрической форме, даётся геометрическое истолкование умножения двузначного числа на двузначное. В геометрической форме излагается порядок выполнения арифметических действий и многие другие вопросы арифметики. Опыт П.А. Компанийца интересен как одна из возможностей установления органической связи арифметики с геометрией. Широкое использование находят геометрические образы при решении арифметических задач; сюда относится

графическое изображение условия задачи, применение масштаба, связь количественных и пространственных представлений, изображение в виде отрезка расстояния между двумя пунктами в задачах на движение и др. Существует задачи, в которых геометрические образы выступают на первый план. Возьмём, например, такую задачу: Велосипедист выехал из пункта А в пункт В. Проехав 500 м, он обнаружил, что потерял ключ.

Вернувшись на 100 м. назад, он увидел ключ на дороге. Подобрав его, он снова двинулся к пункту В и, проехав ещё 800 м достиг его. Каково расстояние между пунктами А и В? 1.500 м. – 100 м. = 400 м. 2.400 м. + 800 м. = 1200 м. На уроках рисования непосредственно используются элементы геометрии. Эти уроки носят в ряде случаев подготовительный характер.

Они помогают накоплению факторов и наблюдений, которые должны быть использованы в геометрии. На уроках рисования в 1 и 2 классах, моделями для рисунков является предметы, близкие по своей форме к простейшим геометрическим фигурам. В процессе рисования дети не только познают форму предметов, но и примерные количественные соотношения частей предметов, их взаимное расположение, направление линии. В 3 и 4 классах существенно новым является изображение тел, на плоскости, причём здесь играет роль

расположение предметов, и, следственно, геометрических. Образ раскрывается с различных точек зрения. При этом дети рисуют предметы, близкие по форме к простейшим геометрическим телам: стакан, коробка, яблоко, пирамида. Учитывая это, следует устанавливать предметные связи, между значениями, полученными на уроках рисования, со знаниями, полученными при изучении начальной геометрии.

Уроки труда также тесно связаны с геометрией. Здесь эта связь носит действительный характер. В процессе работы над материалом (бумагой, картоном, глиной) дети моделируют геометрические фигуры и тела, познают их свойства. Если на уроках рисования главную роль играли зрительные восприятия, то на уроках труда они дополняются осязанием и ощущениями при движении рук. Изготовляя изделия или детали, составляя узоры или украшения, дети сталкиваются с большим разнообразием

форм. Кроме того, учащиеся должны научиться выполнять чертежи и технические рисунки, что имеет исключительно большое значение в геометрическом образовании. Надо заметить, что работы по труду связаны с целым рядом фигур, линий в этих фигурах, в то время как в курсе наглядной геометрии изучают только прямоугольник и квадрат. Уроки физкультуры также содержат моменты, с геометрическим образованием. Так, например, на этих уроках ученики получают ориентировку в направлении: направо, налево, вверх,

вниз в горизонтальном и вертикальном направлении, в построении по прямой линии, в круг, по границе участков в форме прямоугольника, квадрата, в поворотах на прямой, развернутый, полный угол. На уроках русского языка при чтении статей учащейся встречаются с выражениями о направлении, форме предметов, и их взаимном расположении. Итак, при изучении всех учебных предметов идет накопление геометрических представлений о формах предметов, о их взаимном расположении.

Задача состоит в том, чтобы координировать все эти виды работ, которые служат одной цели. ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ НАГЛЯДНОЙ ГЕОМЕТРИИ Особое содержание геометрического материала, включенного в программу и реализованного в системе тщательно отобранных задач, направлено на формирование достаточно полной системы геометрических представлений (включающей образы геометрических фигур, их элементов, отношений между фигурами, их элементами).

На этой основе формируются пространственные представления и воображение, развивается речь и мышление учащихся, организуется целенаправленная работа по формированию важных практических навыков. Важнейшей задачей учителя является определение методики, раскрывающей содержание геометрического материала на том уровне, который должен быть достигнут учащимися к моменту их перехода в 4 класс, а также ведущих направлений изучения этого материала. Для формирования геометрических представлений работа может проводиться

следующим образом: свойство фигур учащиеся выявляют экспериментально, одновременно усваивают необходимую терминологию и навыки. Основное место в обучении должны занимать практические работы учеников, наблюдения и работы с геометрическими объектами. Оперируя разнообразными предметами, моделями геометрических фигур, выполняя большое число наблюдений и опытов, учащиеся подмечают наиболее общие их признаки (не зависящие от материала, цвета, положения, массы и т.п.) В методике формирования геометрических представлений важно

идти от "вещей" к фигуре (к её образу), а также, наоборот – от образа фигуры к реальной вещи. Это достигается систематическим использованием приёма материализации геометрических образов. Например, прямая линия не только вычерчивается с помощью линейки, представление о ней даёт и край – ребро линейки, натянутая нить, линии сгиба листа бумаги, линия пересечения двух плоскостей (например, плоскости стены и плоскости потолка). Отвлекаясь от конкретных свойств материальных вещей, учащиеся

овладевают геометрическими представлениями. Так, например, можно видоизменять способ деления многоугольника отрезком на части. Вначале это может быть перегибание бумажного многоугольника. В этом случае отрезок (линия сгиба) реально делит многоугольник на две части. Этот опыт полезно продолжать, разрезав многоугольник по линии сгиба на два многоугольника. Несколько позже эту же задачу полезно решить на чертеже, в начале путем непосредственного проведения

(вычерчивания) отрезка, затем прикладывание указки. В первом классе в основном завершается первоначальное ознакомление с фигурами и их названиями. Это делается на основе рассмотрения окружающих вещей, готовых моделей и изображений фигур. У детей постепенно вырабатывается схема изучения фигур, схема анализа и синтеза, облегчающая усвоение свойств каждой фигуры. Значительное место в методике должно отводиться применению приема сопоставления

и противопоставления геометрических фигур. В 1 классе это позволит из множества фигур наглядно (без помощи определений) выделять множество кругов, множество многоугольников, множество линий и т.д.; во 2 и 3 классах – уточнять свойства фигур, классифицировать их. Большое внимание следует уделять противопоставлению и сопоставлению плоских фигур (круг – многоугольник, окружность – круг и т.д.), плоских и пространственных фигур (квадрат – куб, круг – шар и пр)

Причем эта работа должна проходить не только на уроках математики, но и на уроках труда и рисования, когда воспроизведение формы предмета зависит от качества и глубины анализа, его геометрической формы. Например, при наблюдении куба (или предмета, имеющего форму куба) следует найти в нем характерные точки, отрезки, многоугольники; при наблюдении шара можно обратить внимание на его круглые сечения. Уже при первоначальном ознакомлении детей с геометрическими фигурами в 1 классе дети выполняют умственные

операции анализа и синтеза. Важной задачей учителя, определяющей методику обучения в этот момент, является анализ фигуры, на основе которой выделяются ее существенные свойства (признаки) и несущественные. Так, например, существенным для треугольника будет не его положение на плоскости (листе бумаги), не относительные размеры сторон, а наличие трех сторон (углов, вершин); для прямоугольника существенно то, что он четырехугольник (четыре угла) и все его углы прямые.

Все остальное не существенно. В процессе обучения возникает потребность применения геометрической и логической терминологии, символики, чертежей. Так, уже во 2 классе введение буквенной символики помогает не только различать фигуры и их элементы, но и является одним из средств формирования обобщений. Например, запись ОК. Опыт показывает, что учащиеся 1-3 классов с легкостью и интересом воспринимают не только очевидные простые, но иногда и трудные геометрические факты, поэтому учитель часто начинает

недооценивать наглядный и практический подход к изучению геометрического материала, не выполняет минимума упражнений, помещенных в учебнике, обращает мало внимания на формирование практических навыков. Такой учитель встает на неверный и опасный путь формального ознакомления младших школьников с геометрическими фигурами. Он начинает знакомить детей с фигурами не путем их наблюдения, изготовления из бумаги и вычерчивания, а сообщая формальное определение, только словесным способом.

Например, учитель сообщает детям то определение понятия отрезка, которое ему самому запомнилось из школьного курса геометрии, думая, что этого будет достаточно для создания необходимого представления об отрезке. Такой подход преждевременен. И если дети что-то и выносят из устного объяснения, то положительно воздействовать на них при этом будут не столько слова учителя, сколько показ чертежа отрезка. Более того, учитель должен хорошо помнить, что определить понятие – это значит точно выделить тот класс

объектов, который охватывает данное понятие. Для этого мы должны знать все существенные признаки определяемого понятия и проверить, обладает данный объект всеми этими признаками или не обладает. Поэтому, чтобы понять определение отрезка, сообщаемое учителем, ребенок должен иметь отчетливые представления о прямой линии и ее свойствах, о некоторых точках прямой, которые в данном случае "ограничивают отрезок и принадлежат отрезку". Но и этого мало.

Если учитель сообщает детям, что "отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками", то может возникнуть различное истолкование данного предложения в связи с его неточностью. Действительно, о какой части прямой идет речь – о той, точки, которой принадлежат прямой и лежат между граничными точками; или о той части прямой, которая включает все точки прямой, кроме точек, лежащих между граничными (два луча). Как много должен знать ученик, чтобы в этом случае понять учителя!

Другое определение отрезка, которое, к сожалению, часто используют учителя: "Отрезком называется часть прямой, ограниченная с двух сторон", обладает еще большими недостатками. Учитель не пойдет по такому пути, если будет учитывать, что в процессе определения понятия каждый раз одно понятие (например, "квадрат") определяется через другое, более широкое ("прямоугольник"), которое в свою очередь так же может быть определено через еще более широкое понятие ("параллелограмм"

, "четырехугольник", "многоугольник"). Такую цепь определений нельзя продолжить бесконечно. В конце концов, мы приходим к понятиям, наиболее широким и общим, для которых невозможно указать ближайший род. Такие понятия называют основными (первичными и неопределенными). Учитель должен хорошо представлять, что наличие основных (неопределяемых) понятий, как в науке геометрии,

так и в школьном курсе геометрии неизбежно. Поэтому, например, он совершит грубую математическую ошибку, если будет ставить такие вопросы: "Что называется плоскостью? ", "Что называется прямой линией? ", "Что называется точкой? " и т.п так как эти понятия основные, они не определяются через указание рода и видового отличия. Нужно иметь в виду, что в школьном курсе геометрии по мере овладения учащимися геометрическими представлениями,

от класса к классу система основных понятий меняется. В младших классах эта система более обширна. Например, в 1-3 классах такие понятия как "отрезок", "многоугольник", "угол" и т.п являются неопределенными. Но уже в 4 классе они определяются. Из этого следует, что учащимся начальных классов не имеет смысла задавать вопрос: "Что называется (что такое) отрезком?

Что называется многоугольником? Что называется углом? " и т.п. Так как понятия "отрезок", "многоугольник", "угол" являются здесь неопределенными, но уже можно ставить вопрос: "Что называется треугольником (четырехугольником, пятиугольником) ? " Дети могут отвечать на этот вопрос примерно так: "Треугольник – это многоугольник, у которого три угла (вершины, стороны)".

Здесь можно давать несколько избыточное определение прямоугольника как четырехугольника, у которого все углы прямые. Попытки ранней формализации при ознакомлении младших школьников с геометрическими фигурами приводят к завышению программных требований, к недостаточному, а иногда и неверному усвоению материала. Они путают отрезок и прямую четырехугольник и замкнутую ломаную линию. Как правило, более высокого уровня усвоения достигают те учителя, которые, понимая самостоятельную

значимость геометрических знаний, стремятся осуществить связь изучения геометрического материала с другим материалом начального курса математики. В основе этой связи лежит возможность установления отношений между числом и фигурой, свойствами чисел и свойствами фигур. Это позволяет использовать фигуры при формировании понятия числа, свойства чисел, операций над ними и наоборот использовать числа для изучения свойств геометрических образов и их отношений.

В 1 классе фигуры следует применять наряду с другими материальными вещами как объекты для перечисления. Несколько позже такими объектами должны стать элементы фигур, например вершины, стороны, углы многоугольников. Учащиеся постепенно знакомятся с измерением отрезков. Этим устанавливается прямая связь между отрезками (точками) и числами. Геометрические фигуры используются при ознакомлении учащихся с долями.

В указанных выше случаях открывается больше возможностей органически связать изучение геометрических объектов с арифметическим материалом, включенным в курс математики для 1-3 классов. Уже в 1-3 классах выполняются простейшие классификации углов (прямые и непрямые), многоугольников (по числу углов) и т.д. Изучение родовых и видовых понятий готовит детей к пониманию определений, построенных на указании рода и видовых отличий. Это дает, например, возможность построить методику ознакомления

с прямоугольниками таким образом, что в дальнейшем ученики усваивают, что любой квадрат есть прямоугольник. Использование упражнений, в которых дети отмечают (выделяют) точки, принадлежащие или не принадлежащие фигуре или нескольким фигурам, помогает в дальнейшем трактовать геометрическую фигуру как множество точек. А это позволяет более осознанно выполнять операции деления фигуры на части или получение фигуры из других (складывание), т.е. выполнять по существу операции объединения, пересечения, добавления над

точечными множествами. Важной общей методической линией осуществления связи в изучении геометрического материала с остальными вопросами курса начальной математики является, таким образом, неявная опора на теоретико-множественные и простейшие логико-математические представления в изучении фигур, их отношений, свойств. Общим методическим приемом, обеспечивающим прочные геометрические знания, является формирование пространственных представлений через непосредственное восприятие учащимися конкретных реальных вещей;

материальных моделей геометрических образов. В 1 классе пространственные представления вырабатываются в процессе приобретения детьми практического опыта при изучении отношений взаимного положения предметов, выражаемых словами "выше", "ниже", "справа", "сверху", "спереди", "сзади" и т.д. Во 2-3 классах характер работы по формированию пространственных представлений усложняется. Например, представления об одной фигуре формируется с опорой на другую.

Так, опираясь на представления о треугольнике вообще, можно получить представления о прямоугольном треугольнике. Учитель должен систематически проводить работу по формированию умений и навыков применения чертежных и измерительных инструментов, построению изображений геометрических фигур, умений описывать словесно процесс работы, выполняемой учеником, и ее результат, умений применять усвоенную символику и терминологию. Важным методическим условием реализации этой системы является сначала осознание выполнения

действий и лишь за тем автоматизация этих действий. Результатом обучения в 1-3 классах должно быть формирование первоначальных представлений о точности построений и измерений. В 1 классе учащиеся овладевают навыками измерения и построения отрезков с помощью линейки (с точностью до 1 см). При этом детям предъявляется не меньшие требования, чем это обычно делается, например, в отношении навыков письма. Во 2-3их классах в практику измерений и построений постепенно

вводятся новые инструменты: циркуль, циркуль – измеритель, чертежный треугольник, рулетка. Повышаются требования к точности построений и измерений, качеству чертежей и моделей, выполняемых детьми, к описанию хода и результатов проделанной работы. Работа по формированию навыков должна проводиться распределено и постепенно, почти на каждом уроке (и не только на уроках математики). Это создает условие для более частого применения этих навыков в учебной

и практической деятельности, обеспечивает необходимую их прочность. Для правильного выбора методики обучения младших школьников, учитель должен иметь общие представления о системе задач, предоставленных в учебниках. Эта система включает в каждом классе задачи: А) в которых геометрические фигуры используются как объекты для пересчитывания (круги, многоугольники, элементы многоугольников). При решении таких задач в основном усваивается необходимая терминология

и образуется умение узнавать и различать фигуры; Б) связанные с формированием представлений о геометрических величинах (длине, площади) и навыков измерения отрезков, площадей, фигур; В) вычислительные, связанные с нахождением периметра многоугольников, площади прямоугольника; Г) на элементарное построение геометрических фигур на клетчатой бумаге, на гладкой нелинованной бумаге с помощью линейки, угольника, циркуля (без учета размеров);

Д) на элементарное построение фигур с заданными параметрами (треугольник с прямым углом, прямоугольник с заданными сторонами и т.д.); Е) на классификацию фигур; Ж) на деление фигур на части (в том числе на ровные части) и на составление фигур из других; З) связанные с формированием основных навыков чтения геометрических чертежей, использованием буквенных обозначений (формированием "геометрической зоркости");

И) на вычисление геометрической формы предметов или их частей. РАСКРЫТИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА УЧАЩИМСЯ 1–4 КЛАССОВ Геометрический материал достаточно равномерно распределён по урокам. Первая единица измерения, с которой знакомится первоклассник – сантиметр. Важным этапом в формировании представлений об отрезках является использование для этого модели одного

сантиметра: узкую бумажную полоску длинной в 1 см кусочек спички в 1 см кубик из арифметического ящика с ребром 1 см. Подчеркнуть, что общие для всех рассмотренных предметов является то, что их длина равна 1 см. Детям лучше всего представить материал наглядно. Учитель говорит, что две клеточки в тетради - 1 см, ширина мизинца - 1 см. С помощью модели сантиметра ученик должен научиться решать две задачи.

Задача № 1. Измерить данный отрезок. При выполнении этого задания учитель следит, чтобы каждый научился: - точно приложить конец модели сантиметра к одному из концов измеряемого отрезка; - с помощью карандаша на измеряемом отрезке, отметил другой конец модели сантиметра. - приложил снова к полученной отметке один из концов модели сантиметра и на отрезке сделал ещё одну отметку. Вторая отметка показывает то, что отсчитаны 2 см.

Аналогично поступаем до тех пор, пока последняя из отметок совпадёт с другим концом измеряемого отрезка. В этом случае ученик, подсчитав число отложенных на отрезке сантиметров(число сделанных шагов), получит длину отрезка(в сантиметрах). Эту задачу можно решить и с помощью укладывания вдоль измеряемого отрезка нескольких моделей сантиметра. Задача № 2. С помощью модели сантиметра построить отрезок заданной длины. При выполнении этой задачи необходимо следить за тем, чтобы каждый из учащихся: - вначале провёл по

линейке прямую линию или выбрал какую-нибудь линию на листе тетради; - отметил на прямой точку (один из концов отрезка) и в каком–либо направлении от неё последовательно отложил (каждый раз отмечал карандашом) нужное количество сантиметров. - отмерил карандашом второй конец отрезка. Опыт показывает, что выполнение этих операций, особенно на первых порах, связанно с большими трудностями для учащихся. Это объясняется отсутствием у них навыков владения карандашом и небольшой моделью сантиметра

(мышцы пальцев ещё недостаточно тренированы). Именно поэтому с целью получения важных для дальнейшей работы навыков необходимо достаточно долго и систематически повторять указанные упражнения. Процесс откладывания модели сантиметра "прошагивание" от одного конца до другого конца отрезка – создаётся у детей те представления, которые в дальнейшем предотвратят многие ошибки, встречающихся при измерениях. На следующем этапе формирования навыков измерения отрезков упомянутых выше две задачи

решаются с помощью масштабной линейки, на которой не нанесены цифры. Построение отрезков следует связать с приобретением навыков обращения с чертёжными инструментами (линейка, угольник, циркуль). Чертёж – это язык техники. Вначале при вычерчивании отрезков в тетради концы отрезков могут совпадать с точками пересечения линии листа тетради. Ученики отмечают две точки, прикладывают линейку, в зависимости от расположения точек.

Позднее точки, обозначающие концы отрезков, могут быть поставлены вне линий листа тетради. Это готовит детей к вычерчиванию отрезков на нелинованной бумаге. Знакомство школьников с новой единицей измерения длины – дециметром – начинается в связи с изучением чисел второго десятка в 1 классе. Естественно, что необходимость введения новой единицы должна быть обоснована. С этой целью учащимся предлагается отрезок длиной 90 см для измерения которого обычная ученическая

линейка длиной 20 см коротка. Воспользовавшись затруднением, учитель знакомит детей с дециметром. Он показывает полоску (палочку) длиной в 1 дм. и, прикладывая ее к шкале линейки, говорит, что 1 дм = 10 см. Учащиеся знакомятся с сокращенной записью 1 дециметр – 1 дм, учатся читать записи: 3 дм, 5 дм, 15 дм и т.д. Затем рассматривается случай, когда длина отрезка равна, например, 12 см; она больше 1 дециметра, но меньше 2 дециметров.

Учитель объясняет в таком случае и говорит: "длина отрезка равна одному дециметру и двум сантиметрам". Он показывает, что это записывается так 1 дм 2 см. Научившись, практикуются и в вычерчивании отрезков длиной в 1 дм 5 см, 1 дм 9 см. одновременно ставят вопрос: "А сколько это будет сантиметров? " По аналогии с тем, как вводился дециметр, ставится задача, которая вводится в необходимости ввести

ещё одну, более крупную единицу измерения – метр. Показывается деревянный метр, различные отрезки длиной в 1 метр. После решения задач, связанных с измерением отрезков метром, можно установить соотношение между метром и дециметром, метром и сантиметром. Знакомство с углами удобно провести на шарнирной модели. Можно сначала дать образ прямого угла. Путём двойного перегибания листа бумаги ученики получают модель прямого угла, пользуясь которой выполняют различные упражнения: накладывают эту модель на углы, тетради,

книги и убеждаются, что эти углы прямые; строят прямые углы на клетчатой и нелинованной бумаге. Ученики находят прямые углы на различных предметах. Необходимо строить прямые углы в различном положении на плоскости. Для этого раздаются листочки с начерченными на них лучами и предлагается провести ровные лучи так, чтобы образовались прямые углы. Учащиеся строят их при помощи модели прямого угла и при помощи чертёжного

треугольника. Раздвигая или сдвигая стороны прямого угла, переходят к тупому, острому. Вводится понятие о сторонах угла, о его вершинах. На основе предварительной работы по ознакомлению учащихся с прямым углом уточняются представления о прямоугольнике – многоугольнике, у которого все углы прямые. Эту работу целесообразно начать с рассмотрения различных многоугольников, у которых один, два, три

и т.д. угла – прямые. Для построения многоугольников, содержащих прямые углы, в 1 классе следует использовать линии клетчатой бумаги, образующие прямые углы. Наблюдение и построение различных многоугольников наглядно убеждает детей в том, что только у четырёхугольника все углы могут быть прямыми. Такие четырёхугольники называются прямоугольниками. В результате измерений сторон прямоугольников выясняется, что есть прямоугольники, у которых все стороны

равны между собой. Такие прямоугольники называют квадратами. Большое значение при этом имеют упражнения, в которых по заданным точкам – вершинам, нужно построить прямоугольник (квадрат). Вначале задаются все четыре вершины, затем три – в этих случаях задача имеет единственное решение. Учащимся рассказывают, что для вычерчивания окружности есть специальный инструмент – циркуль. В момент показа работы циркуля, когда ещё не вся окружность начерчена, полезно заметить,

что одна ножка циркуля (с силой) стоит на одном месте, неподвижна. Эту точку называют центром окружности. Другая ножка циркуля движется, и её конец вычерчивает линию. Эту линию называют окружность. Полезно показать учащимся, как можно вычертить окружность с помощью планки (картонной полоски, кусочка шпагата). Полоска прибивается гвоздиком к доске. К другому концу прикладывается мел. Затем учащиеся знакомятся с радиусом окружности.

Для этого на окружности отмечают, какую – ни будь точку, и соединяют эту точку отрезком с центром. Отрезок, соединяющий точку окружности с центром, называют радиусом. Методика работы над площадью имеет много общего с работой над длиной отрезка. Прежде всего, площадь является свойством плоских предметов. Дети еще и до школы могут сравнить, какой каток больше на стадионе или во дворе.

На доске прикрепляются следующие фигуры: 2 квадрата разного размера и 2 одинаковых треугольника. Задаём вопрос? “Какая из этих фигур занимает больше места на доске”. Если они равны, надо снять эти треугольники с доски и наложить друг на друга. На следующем уроке дети знакомятся с палеткой, при помощи, которой они могут находить площади фигур на разделённых квадратных сантиметрах. (Палетка – это прозрачная пластина, разбитая на ровные квадраты).

Учитывая задачи, намеченные программой, при изучении геометрического материала, следует широко использовать разнообразные наглядные пособия. Это демонстрационные, обще классные модели геометрических фигур, изготовленных из цветного картона или плотной бумаги, плакаты с изображением фигур, с диаграммами, чертежи на доске, диафильмы. Кроме того, требуется наглядные пособия – такой раздаточный материал, как полоски бумаги, палочки различной длины, вырезанные из бумаги фигуры и части фигур.

При изучении отдельных тел, полезно с детьми изготовить наглядные самодельные пособия. Раскрывая геометрический материал учащимся 1–3 классов, надо учитывать, что первые представления о форме, размерах и взаимном положении предметов в пространстве, дети накапливают ещё в дошкольных период. В процессе игр и практической деятельности они манипулируют предметами, рассматривают, ощупывают их, рисуют, лепят, конструируют и постепенно вычленяют среди других свойств их форму.

К 6–7 годам многие дошкольники правильно показывают предметы, имеющие форму шара, куба, круга, квадрата, треугольника, прямоугольника. Однако уровень обобщения этих понятий ещё невысок: дети могут не узнавать знакомую им форму предмета, если сам предмет не встречался в их опыте. Ребёнка приводят в замешательство непривычные соотношения сторон или углов фигур: иное, чем всегда, расположение на плоскости и даже очень большие или очень маленькие размеры фигур.

Название фигур дети, часто смешивают или заменяют названиями предметов. Характеризуя положение предметов в пространстве, дошкольники более свободно устанавливают пространственные отношения, если “началом отсчёта” является сам ребенок (слева – справа, впереди – позади, вверху – внизу, ближе – дальше и т.д. по отношению к нему). Гораздо труднее ребенок устанавливает положение предметов на плоскости или в пространстве относительно друг друга или по отношению к другому человеку.

При обучении в школе необходимо опираться на имеющийся опыт детей, уточнять и обогащать их представления. НАГЛЯДНОСТЬ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА Основой формирования у детей представлений о геометрических фигурах является способность их к восприятию формы. Эта способность позволяет ребенку узнавать, различать и изображать различные геометрические фигуры: точку, прямую, кривую, ломанную, отрезок, угол, многоугольник, квадрат, прямоугольник и т.д.

Для этого достаточно показать ему ту или иную геометрическую фигуру и назвать ее соответствующим термином. Например: отрезок, квадрат, прямоугольник, круг. Аналогично можно поступить с геометрическими телами - показать их модели: это цилиндр (куб, конус и т.д.). Такое знакомство учащихся с геометрическими фигурами позволяет им воспринимать их как целостный образ, поэтому, если изменить расположение или размер тех фигур, которые были предложены в образце, дети могут

допускать ошибки. Например, в фигурах, изображенных на рисунке ниже. Восприятие геометрической фигуры как целостного образа – лишь первый этап в формировании геометрических представлений ребенка. Цель метода наглядности в начальной школе обогащение и расширение непосредственного, чувственного опыта детей, развитие наглядности, изучение конкретных свойств предметов, создание условий для перехода к абстрактному мышлению, опоры для самостоятельного учения и систематизации изученного.

В начальных классах применяется естественное, рисунковое, объемное, звуковая и графическая наглядность. Средства наглядности разнообразны: предметы и явления окружающей действительности, действие учителя и учеников изображения реальных предметов, процессов (рисунков, картины), модели предметов (игрушки, вырезки из картона), символические изображения (карты, таблицы, схемы). Чтобы организовать наблюдения учеников, от учителя требуется известная осторожность.

Распространенная ошибка – применение очень яркой наглядности, когда ее учебная сущность затмевается яркими красками. Иногда учитель привлекает внимание детей к второстепенным деталям. Излишне разукрашивается раздаточный материал. Схема, таблица должна содержать цвет только для выделения смысла, но не для украшения. Наглядные методы применяются на всех этапах педагогического процесса. Их роль обеспечение всесторонних, образное восприятие, дать опору на мышление.

Каждый учитель постоянно должен понимать, что прочные знания у детей будут в том случае, если он будет опираться на жизненный опыт ребенка. Постоянно должна проводиться работа, связанная с наблюдением, сравниванием групп предметов. Широко должна использоваться наглядность, дидактический материал. При изучении нового материала рекомендуется такое построение урока, при котором работа начинается с разнообразных демонстраций, проводимых учителем или учеником.

Применение наглядности на уроках математики при изучении геометрического материала, позволяет прочно и сознательно усвоить детям все программные вопросы. Язык математики – это язык символов, условных знаков, чертежей, геометрических фигур, схем. Дети, начиная с первого класса, пользуются при счете геометрическими фигурами (квадраты, прямоугольники, круги, отрезки и т.д.) Геометрический прием условного обозначения вещей и их отношения рисункам, чертежом

и т.п. является средством более легкого представления и запоминания изучаемого. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В ходе работы по теме "Задачи и содержание работы по изучению элементов геометрии в начальной школе" был решен ряд задач: 1 - выявить требования Государственной программы образования к изучению наглядной геометрии в начальной школе; 2 - проанализировать литературу по геометрии для младших школьников;

3 - рассмотреть содержание работы по изучению элементов наглядной геометрии в начальной школе; 4 - выявить основные задачи в методике преподавания. В ходе проведенного исследования были сделаны следующие выводы: 1. Программа государственного образования к изучению наглядной геометрии в начальной школе предъявляет следующие требования: A). Соблюдение логики изложения.

B). Рассмотрение вопросов геометрического материала, в основном, на основе практических работ. С). Применение приобретенных знаний, умений, навыков при решении текстовых задач. D). Развитие пространственных представлений у учащихся E). Формирование представлений о геометрических фигурах различных видов. F). Формирование навыков измерения. И др. 2. Проанализированная литература по геометрии для начальных

классов отвечает требованиям ГОС. Материал, как правило, не выделяется в реальном процессе обучения в качестве самостоятельного раздела, а является частью курса математики. Выделяется тесная связь преподнесения геометрического материала с уроками рисования, труда, конструирования. Геометрический материал достаточно равномерно распределен по урокам курса математики. 3. В содержании начального геометрического образования находят свое отражение основные геометрические

идеи – движения преобразования, инвариантности основных свойств геометрических фигур. Уже на первой ступени приобщения к геометрическим знаниям дети должны получить первоначальную ориентировку во взаимном расположении фигур, в умении выделять изучаемые фигуры как элементы тел. Арифметические и геометрические знания сочетаются и находятся в органическом единстве. В соответствии с программой начальных классов дети знакомятся с прямой линией, отрезком, измерением

и вычерчиванием отрезков, с их разностным и кратким сравнением, с углами (прямой, тупой, острый), с прямоугольником, квадратом и их свойствами, с вычислениями их периметров и площадей, с геометрическими телами: кубом и прямоугольным параллелепипедом; с их некоторыми свойствами, с вычислением их объемов. Программой предусмотрены работа с весами и измерение прямой линии, проведение измерительных работ на местности. В каждом классе решается ряд задач. Это задачи, в которых:

А) в которых геометрические фигуры используются как объекты для пересчитывания (круги, многоугольники, элементы многоугольников). При решении таких задач в основном усваивается необходимая терминология и образуется умение узнавать и различать фигуры; Б) связанные с формированием представлений о геометрических величинах (длине, площади) и навыков измерения отрезков, площадей, фигур; В) вычислительные, связанные с нахождением периметра многоугольников, площади прямоугольника;

Г) на элементарное построение геометрических фигур на клетчатой бумаге, на гладкой нелинованной бумаге с помощью линейки, угольника, циркуля (без учета размеров); Д) на элементарное построение фигур с заданными параметрами (треугольник с прямым углом, прямоугольник с заданными сторонами и т.д.); Е) на классификацию фигур; Ж) на деление фигур на части (в том числе на ровные части) и на составление фигур из других;

З) связанные с формированием основных навыков чтения геометрических чертежей, использованием буквенных обозначений (формированием "геометрической зоркости"); И) на вычисление геометрической формы предметов или их частей. 4. Основные задачи изучения геометрического материала в 1-4 классах заключаются в том, чтобы создать у детей четкие и правильные геометрические образы, развить пространственные представления, вооружить

их навыками черчения и измерения, имеющими большое жизненно – практическое значение, и тем самым подготовить учеников к успешному изучению систематического курса геометрии. Задача развития у младших школьников геометрических представлений, способности к обобщению состоит в том, чтобы научить их видеть геометрические образы в окружающей обстановке, выделять их свойства, конструировать, преобразовывать и комбинировать фигуры, изображать их на чертеже, выполнять в необходимых

случаях измерения. Таким образом, можно говорить, что в своей работе я решила поставленные задачи, а значит, достигла ее цели – выявила и рассмотрела задачи и содержание работы по изучению наглядной геометрии в начальной школе. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Истомина НБ. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студ. сред и высш. пед учеб. заведений

М.: Издат. центр "Акакдемия", 2000 288 с. 2. Истомина Н.Б. Шадрина И.В. Наглядная геометрия: Тетрадь по математике для 1 класса четырехлетней начальной школы – М.: Линка-Пресс, 2002. – 64с. 3. Истомина Н.Б. Наглядная геометрия: Тетрадь по математике для 2 класса четырехлетней начальной школы –

М.: Линка-Пресс, 2006. – 48с. 4. Истомина Н.Б. Редько З.Б. Наглядная геометрия: Тетрадь по математике для 4 класса четырехлетней начальной школы – М.: Линка-Пресс, 2004. – 48с. 5. Волкова С.И. Математика и конструирование. Пособие для учащихся; класса начальной школы. – М.: "Просвещение", 2007. – 96с. 6. Ред. М.А. Бантова.

Перевод М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, А.М. Полевщикова Учеб. пособие для шк. отд-ний пед. уч-щ Методика преподавания математики в начальных классах – Ереван: Луйс, 1985 408с. 7. Белошистая Наглядная геометрия в 1-м классе. Книга для учителя. – М.: Классикс-стиль, 2004. – 112с. 8. Моро М.И Пышкало А.М. Методика обучения математике в 1-3 классах.

М.: Просвещение, 1975г. – 304с. 9. Пчелко А.С. Основы методики начального обучения математики. М.: Просвещение, 1965г. 10. Колягин Ю.М Тарасова О.В. Наглядная геометрия и ее роль, и место, история возникновения Журнал "Начальная школа" №4, 2000г. 11. Шалаева Г.П. Терентьева И.Г. Курбатова Н.В. Новейший справочник школьника.1-4 классы –

М.: СЛОВО; Эксмо; Форум, 2007. – 768с. 12. Компанийц П.А. Особенности преподавания геометрии в связи с арифметикой в I-IV классах М.: Изд-во АПН РСФСР, 1961 128 с. 13. Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" 14. Психология развития. Словарь / Под. ред.

А.Л. Венгера // Психологический лексикон. Энциклопедический словарь в шести томах / Ред. -сост. Л.А. Карпенко. Под общ. ред. А.В. Петровского М.: ПЕР СЭ, 2006 176 с. 15. Полный текст Третьего издания "Большой советской энциклопедии", издательство "Советская энциклопедия" 1969 - 1978 16. Символы, знаки, эмблемы:

Энциклопедия / Авт. -сост.д. -р ист. наук, проф. В.Э. Багдасарян, д-р ист. наук, проф. И.Б. Орлов, д-р ист. наук В.Л. Телицын; под общ. ред. В.Л. Телицына 2-е изд М.: ЛОКИД-ПРЕСС, 2005 494с 17. интернет-энциклопедия "Кругосвет", создаваемая с 2000 года 18. www. math. ru 19. www. znanie21. ru 20. www. pedlib. ru