Знакозмінні та знакопостійні ряди.
Абсолютна та умовна збіжність.
План.
Означення закономірного ряду.
Теорема Коші.
Абсолютна та умовна збіжність.
Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди”. Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. 16-19.
Теорема. Якщо в ряді з додатними членами загальний член, починаючи з певного значення п, задовольняє нерівність
Коли ж навпаки, починаючи з певного значення п, маємо
Доведення. У першому випадку маємо, починаючи з певного значення п,
Отже, збіжність ряду й тут безпосередньо встановлюється порівнянням із спадною геометричною прогресією, знаменник якої q. Варто зауважити, що нерівність
характеризує при цьому “швидкість” збіжностей даного ряду порівняно з геометричною прогресією.
В другому випадку матимемо з певного моменту
Наслідок. Якщо існує
Доведення.
Взявши u тут якесь число q, проміжне між r та 1 (
Отже, ряж збігається; а в другому:
Часто питання про збіжність ряду, що має члени як додатні, так і від’ємні, можна звести до питання про збіжність знакододатного ряду. Розглянемо таку теорему.
Теорема. Ряди
Доведення. Для кожного
Але тоді й поготів
Але це й доводить теорему.
Означення. Збіжний ряд
Розглянемо, наприклад, ряд
Він ні знакододатний, ні знакозмінний. Ряд
є знакододатний. Порівнюючи його з рядом
маємо
Ряд (3) збіжний, як ряд Діріхле-Рімана при
Оскільки ряд, члени якого – абсолютні значення членів будь-якого ряду є знако-додатний, то, очевидно, щоб дослідити, чи будь-який ряд
Означення. Якщо ряд
Отже, ряд
умовно збіжний,
Так само ряд
умовно збіжний, бо ряд
Знакочергуючі ряди. Ознака Лейбніца.
План.
Означення знакочергуючого ряду.
Ознака Лейбніца.
Оцінка залишку знакочергуючого ряду, збіжного за ознакою Лейбніца.
Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди”. Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. 16-19.
Означення. Знакозмінними рядами називаються ряди виду:
де
Теорема Лейбніца. Якщо в знакозмінному ряді абсолютне значення загального члена монотонно прямує до нуля (тобто
Доведення. Розглянемо спочатку частинну суму парного порядку
1
Помічаємо, що чим більше К, тим більше пар, але кожна пара додатна, отже,
З другого боку
Бачимо, що
Зіставляючи обидва факти, приходимо до висновку, що величина
а1 – а2 <
Отже, напевне 0 <
Розглядаючи вже тепер частинну суму непарного порядку
Отже,
Остаточно приходимо до висновку, що існує єдина границя:
коли індекс n – будь-яке натуральне число як парне, так і непарне, що доводить теорему.
Наслідок. За умовою теореми Лейбніца остаточна S – Sn = rn менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів:
Доведення. Маємо:
Ряд в останніх дужках сам по собі є знакозмінний і задовольняє теорему Лейбніца, тому
причому
Отже, якщо перший з відкинутих членів непарний, то
Диференціювання та інтегрування
степеневих рядів.
План.
1. Знаходження сум степеневих рядів використовуючи почленне диференціювання та інтегрування.
Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди.” Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д. Подільчук. КДТЕУ.К., 1992 р. ст. 22-23.
Диференціювання степеневих рядів.
Теорема. Якщо степеневий ряд
має інтеграл збіжності (-р, р), то ряд
утворений по членним диференціюванням ряду (1), має той самий інтервал збіжності (-р, р) і його сумою в цьому інтервалі є функція
Доведення. Покажемо раніш, що коли ряд (1) збігається при певному значенні
Для цього, досить виявити збіжність ряду
що відіграватиме роль мажоруючого ряду.
Позначаючи
де
ознаку Даламбера:
Отже, ряд (4) збіжний, а тому збіжним є ряд (3). Звідси, випливає, що ряд (2) збігається абсолютно при кожному значені х інтервалу (-р, р), тобто інтервалу збіжності ряду (1). Якщо позначити, радіус збіжності ряду (2) через р’, то ми довели, що р
Доведемо тепер, що р’ не може бути ц більшим за р.
Справді, в усякій точці х, в якій абсолютно збігається ряд (2), збігається також і ряд
а оскільки
З нерівностей
Теорему доведено.
Оскільки ми можемо застосувати доведену теорему і до про диференційованого ряду, а далі знову її застосувати і т.д., то можна зробити висновок про те, що сума степеневого ряду f(x) в інтервалі збіжності має похідні будь-якого порядку. Похідна f(k)(x) дорівнює сумі ряду, утвореного k-кратним поленим диференціюванням даного степеневого ряду.
Інтегрування степеневих рядів.
Теорема. Степеневий ряд
з радіусом збіжності р можна почленно інтегрувати на будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі збіжності (-р, р) ряду (5), зокрема в інтервалі (-р, р):
і радіус збіжності ряду (6) дорівнює р.
Доведення. На будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі (-р, р), ряд (5) збігається рівномірно, звідси й випливає можливість його почленного інтегрування. Доведено далі, що радіус збіжності ряду (6) дорівнює р. Згідно з загальною теоремою про інтегрування рядів функцій ряд (6) збігається рівномірно й абсолютно для всякого /х/ < р. Отже, радіус збіжності утвореного ряду не менший р. але він не може бути й більшим за р. це видно з того, що почленно про диференціювавши його, ми приходимо до даного степеневого ряду, а за теоремою про диференціювання степеневих рядів радіуси їх збіжності повинні бути однакові. Теорему доведено.
! |
Как писать рефераты Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов. |
! | План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом. |
! | Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач. |
! | Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты. |
! | Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ. |
→ | Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре. |