1. Основные понятия т.в. Т.в. – есть матем наука, изуч закономерности в случайных явл независимо от их конкретной природы и дающая методы количественной оценки влияния случфйных факторов на различные деления. Случ событием назыв всякое явл, к-ое может произойти или не произойти при осущ опред совокупности условий. Если при реализации условий G событие А всегда происходит, то оно назыв достоверным. Если же это событие при данных условиях никогда не наступает, то оно назыв невозможным.
Пусть при опред условиях проводится опыт, в результате к-ого может произойти только одно из событий A1, A2,…,An, то тогда Ai назыв элементарными событиями, а множество {A1, A2,…,An}=Ω – пространство элементарных событий. Событие назыв составным, если по крайней мере 2 элем. событ. происходят для осущ события В. События назыв несовместными, если в результате одного опыта никакие два не могут произойти одновременно
События A1,…,An назыв полной группой событий, если все они попарно несовместны и каждый из них явл элем событием. События А и В назыв независимыми, если появл одного из них не изменяет шансы появл другого. Если появл одного события влияет на другое, то они назыв зависимыми. 2. Аксиомы и основные теоремы. Аксиомы: 1) вероятность Р(А) есть неотрицат число, удовлетворяющее неравенству 0<=P(A)<=1. 2) вероятность достоверного
события =1. 3) вероятность невозможного события =0. 4) вероятность суммы двух несовместных событий равна Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Теорема 1 (произведения): пусть рассм 2 события А и В, для к-ых известны вероятности их появления, тогда вероятность произведения этих событий может быть найдена по формуле Р(АВ)=Р(А)РА(В). Следствия: 1) справедлива для любого числа произведения событий,
2) если события А и В независимы, то появл одного не влияет на появл другого => Р(АВ)=Р(А)Р(В). Замечание: РА(В) – условная вероятность – вероятность, вычисленная при условии, что А уже наступило Теорема 2 (сложения): вероятность суммы двух совместных событий может быть найдена по формуле Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). Замечания: 1) формулу можно распр на любое число слагаемых 2) для любого числа независимых событий можно вывести след формулу
P(A1+A2+…+An)=1-P(Ā1Ā2 …Ān). 3. Определение классической вероятности. 1) удостоверяются в том, что рассм условия опыта можно интерпретировать как «схему урн» (вожможные исходы образуют полную группу несовместных равновозможных событий) 2) описывается интересующее нас событие А – благоприятное 3) вычисляется число всевозможных исходов – n и число m – благоприятных условий события А 4) вычисляется исходная вероятность по формуле классической вероятности
P(A)=m/n. 4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Теорема (произведения): пусть рассм 2 события А и В, для к-ых известны вероятности их появления, тогда вероятность произведения этих событий может быть найдена по формуле Р(АВ)=Р(А)РА(В). Следствия: 1) справедлива для любого числа произведения событий, 2) если события А и В независимы, то появл одного не влияет на появл другого =>
Р(АВ)=Р(А)Р(В). Замечание: РА(В) – условная вероятность – вероятность, вычисленная при условии, что А уже наступило. 5. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Пусть событие А может произойти только с одним попарно несовместным событием Н1, Н2,…,Нn, к-ые образуют полную группу событий, тогда если произошло событие А, то это означает, что произошло одно из событий АН1,
АН2,…, АНn, тогда вероятность события А наход по формуле P(A)=P(AH1+AH2+…+AHn)=P(H1)PH1(A)+…+P(Hn )PHn(A) – формула полной вероятности, при этом Hi – гипотезы. Пусть событие А уже произошло, требуется определить с какой вероятностью произошло одно из событий AHi. Такая вероятность назыв опосториорной и наход по формуле PA(Hi)=P(Hi)PHi(A)/P(A) – формула Байеса. 6. Повторные испытания.
Теоремы Лапласа. Рассм формулу Бернулли мы говорили, что m и n незначит числа. В случае, если кол-во повторных испытаний достаточно велико, но не →∞ применяют теоремы Лапласа. Локальная теорема: если вероятность р появл событ А в каждом опыте постоянна и 0 Pn(k)=φ(х)/√(npq), где x=(k –np)/√(npq). Теорема интегральная: если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и 0 Формула Бернулли, Пуассона. Если при одних и тех же условиях опред опыт повторяется n-раз и если вероятность нек-ого события А в каждом опыте равна р, то вероятность появл события А m-раз в n-опытах находится по формуле: Pn,m(A)=Cnmpmqn-m – формула Бернулли, где q=1-p, q – вероятность не наступления события А. Данная схема назыв схемой Бернулли и применяется в том случае, если m и n незначит числа. В случае если n→∞, p→0, то для решения задачи применяют формулу Пуассона: Pn,m(A)=λme-λ/m где λ=np. 8. Дискретные случайные величины. Случайное событие – качественная хар-ка опыта, т.е. оно может произойти, а может и не произойти, но при рассм результатов опыта помимо самого факта наступления или не наступления события необходимо знать нек-ые кол-венные хар-ки, к-ые назыв случайными величинами. Величина, к-ая в результате опыта может принимать одно и только одно опред знач (до опыта не известное) и зависящее от причин, к-ые нельзя учесть заранее назыв случайной величиной (X, Y, Z, …). Если пространство событий Ω конечно или счетно, то случайная величина назыв дискретной. 9. Непрерывные случайные величины. Случайное событие – качественная хар-ка опыта, т.е. оно может произойти, а может и не произойти, но при рассм результатов опыта помимо самого факта наступления или не наступления события необходимо знать нек-ые кол-венные хар-ки, к-ые назыв случайными величинами. Величина, к-ая в результате опыта может принимать одно и только одно опред знач (до опыта не известное) и зависящее от причин, к-ые нельзя учесть заранее назыв случайной величиной (X, Y, Z, …). Если всевозможные знач нек-ой случайной величины непрерывно заполняют промежуток числовой оси, то такая величина назыв непрерывной. 11. Равномерный и нормальный законы распределения. 1) равномерный з-н распред имеет следующую ф-ию плотности Найдем знач коэф с: т.к. ∞∫∞f(x)dx= 1, то a∫bcdx=1 => c=1/(b-a) 2) нормальный з-н распред: говорят, что случайная величина Х распределена по нормальному з-ну распределения, если ее плотность описывается ф-ией: , где а – м.о σ – среднеквадратическое отклонение. Ф-ия распред имеет вид: Функция Лапласа: Функция Лапласа имеет следующие св-ва: 1) Ф(0)=0 2) Ф(-х)=-Ф(х) 3) Ф(+∞)=Ф(-∞)=0,5 4) при х>5 Ф(х)=0,5. Если случайная величина удовлетворяет нормальному з-ну распред, то вероятность попадания ее в интервал (α, β) находится по формуле P(α Ф((α-а)/& amp;#963;). Вероятность отклонения случ величины от м.о. по абсолютной величине меньше чем на ε наход по формуле: Р(IX-aI<ε)=2Ф(ε/&am p;#963;), но на практике часто используют правило трёх σ: с вероятностью большей, чем 0,997 случайная величина, распред по нормальному з-ну распред будет принимать знач из интервала (а-3σ, а+3σ). 12. Математическое ожидание и свойства. Математическое ожидание случайной величины – есть положение случ величины Х, к-ая равна средневзвешенному возможных ее знач М(Х). М.о. дает такое знач случ величины, к-ое наиболее вероятно в ходе данного опыта. М.о для дискретной случ величины: M(X)=∑xipi , для непрерывной: M(X)= ∞∫∞xf(x)dx . Св-ва: 1) М(С)=С, 2) М(СХ)=СМ(Х), 3) М(Х+У)=М(Х)+М(У), 4) М(ХУ)=М(Х)М(У). 13. Дисперсия и свойства. Среднеквадратическое отклонение. Дисперсия – м.о. квадрата отклонения случайной величины от ее м.о. Д(Х)=М((Х-М(Х))2). Для дискретной случ величины: Д(Х)=М(Х2)-(М(Х))2, для непрерывной: Д(Х)=∞∫∞(х -М(х))2f(x)dx. Св-ва: 1)Д(С)=0, 2) Д(СХ)=С2Д(Х), 3) Д(Х±У)=Д(Х)+Д(У). Среднеквадратическое отклонение хар-ет разброс наивероятнейших знач относительно м.о. и наход по формуле σ(х)=√Д(х). 14. Мода и медиана. 1) Мода случайной и дискретной величины Х назыв ее наивероятнейшее знач и обознач M. Для непрерывной случ величины M=maxf(x). 2) Медианой непрерывной случ величины Х назыв такое ее знач μ, для к-ой одинаков вероятно, что случ величина примет знач большее или меньшее μ, т.е. Р(Х<μ)=Р(Х>μ)=0, 5 – условие для нахождения медианы. Если прямая х=а явл осью симметрии, то медиана и мода будут равны а: М(Х)=М=μ=а=х. 15. Моменты, асимметрия и эксцесс случайной величины. Нач моментом S-ого порядка дискретной случ величины Х назыв сумма ряда αS=x1Sp1+…+xnSpn, где xi – знач случ величины, pi – знач вероятностей. Для непрерывной случ величины х с плотностью распред f(x) нач момент S-ого порядка имеет вид: αS =∞∫∞хSf(x) dx , очевидно, α1 есть м.о. Центральным моментом случ величины х назыв: для дискретной μS=∑(xi – α1)Spi , для непрерывной μS=∞∫&# 8734;(х - α1)Sf(x)dx. Очевидно, что при S=2, μ2 – есть дисперсия. Между нач и центр моментами сущ след связь: μ1=0, μ2=α2 –α12, μ3=α3 -3α1α2 +2α13, μ4=α4 -4α1α3 +6α12α2 -3α14. Если распред. симметрично отн-но м.о то все его центр моменты отн-но м.о. равны нулю. Отношение центр момента 3-его порядка к кубу среднеквадратического отклонения назыв асимметрией SK=μ3/σ3, если распред симметрично отн-но м.о то SK=0. Эксцессом случ величины Х назыв число Е= μ4/σ4 – 3. 16. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева (з-н больших чисел): пусть Х1, Х2, Х3,…,Хn – последовательность попарно независимых случ величин, имеющая огранич совокупность дисперсий, тогда для любого ε справедливо равенство при n→∞ limP(I(X1+X2…+Xn)/n – (M(X1)+M(X2)…+M(Xn))/n I< ε)=1. Замечание: очевидно, что в то время, как отдельные случ величины могут принимать знач очень далекие от своего м.о среднее арифметическое большого числа случ величин принимает знач мало отличающиеся от среднего арифметического м.о. с вероятностью, близкой к единице. Неравенство Чебышева: пусть задано нек-ое ε>0, тогда событие IX –M(X)I>ε означает отклонение случ величины от м.о. больше, чем на ε и наход по формуле Р(IХ –М(Х)I> ε)≤Д(Х)/ε2. Частный случай теоремы Чебышева: при достаточно большом числе опытов средн. арифм. наблюдаемых значений сходится по вероятности ее м.о. P(I(x1+x2…+xn)/n –M(X)I<ε)>1-Д(Х)/n 49;2. Теорема Бернулли (простейший з-н больших чисел): при неограниченном увеличении числа испытаний частота случ события сходится по вероятности к вероятности этого события P(Im/n –pI<ε)>1-pq/nε2. 17. Центральная предельная теорема. Локальная теорема: если вероятность р появл событ А в каждом опыте постоянна и 0 18. Основные задачи и понятия мат статистики. Система случайных величин. Корреляционный момент. Задачи:1) указать способы сбора и группировки статистич сведений, полученных в результате наблюдений или экспериментов. 2) разработать методы анализа статистич данных. Мат статистика – наука о принятии решений в условиях неопределенностей, т.е. планирование экспериментов и анализ данных. Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов щтн-но качественного или количественного признака. Очевидно, что всю совокупность исследовать нет смысла, достаточно изучить случайно выбранное число объектов из этой совокупности. При этом эти случ объекты назыв выборкой или выборочной совокупностью, а исходная совокупность назыв генеральной. Объемом совокупности назыв число объектов в нее входящих. Выборка назыв репрезентативной, если она достаточно хорошо представляет количественные соотношения генеральной совокупности. Рассм систему случ величин, распред с постоянной плотностью в квадрате Система случ величин имеют те же числовые хар-ки: М(Х), Д(Х), σ(Х), коэф корреляции. 1) для дискретной случайной величины Cxy=∑∑(xn –mx)(ym –my)pnm , где Cxy – корреляционный момент, rxy= Cxy/σxσy – корреляционный коэф. 2) для непрерывной Cxy =∫∫(x-mx)(y-my)f(x,y )dxdy , rxy= Cxy/σxσy , mx, my – м.о. mx=∫∫xf(x,y)dxdy my=∫∫yf(x,y)dxdy. Коэф корреляции удовлетворяет условию [-1,1]. 19. Обработка выборок. 1) первичная обработка данных: пусть в результате проведения n-опытов получили след таблицу значений случ величины, pi*=ki/n , где ki – число одинаковых знач случ величины, pi* - частота попадания случ величины Х в значение xi .Таблица назыв статистическим рядом и ее принято изображать в виде гистограммы. Статистич ряд можно задавать в виде статистич ф-ии распределения F*(X)=P*(X Х имеет нормальный з-н распределения, тогда для нахожд вероятностей того что она попадет в (а≤х≤в) необходимо знать М(Х) и σ(х). Для опред этих параметров применяют метод моментов, т.е. числовые хар-ки должны будут равны их статистич аналогам: mx*=∑xi pi*=(∑xi ni)/n .4) Проверка правдоподобия гипотез: в мат статистике при проверке гипотез выбирают критерии, позволяющие делать корректные выводы. Выбрать критерий, значит задать нек-ое критич знач вероятности ошибочного отклонения проверяемой гипотезы. Эта вероятность назыв уровнем значимости и обознач α, и чем весомее потери от ошибочн отклонения, тем меньше α. 20. Методы анализа статистических зависимостей. 1) метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распред состоит в приравнивании теоретич моментов соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. 2) метод наибольшего правдоподобия точечной оценки неизвестных параметров заданного распред сводится к отысканию максимума ф-ии одного или нескольких оцениваемых параметров. Q – параметр, определяющий з-н распред величины Х, тогда оценкой наибольшего правдоподобия параметра Q называют такое его значение Q*, при к-ом ф-ия правдоподобия достигает максимума. 10. Функция распределения. Для непрерывной случайной величины з-н распред задается в виде ф-ии распределения F(x)=P(X F(x) не убывающая 3) F(+∞)=1, F(-∞)=0 4) вероятность того, что случайная величина примет знач из отрезка [a, b] находится по формуле P(a≤X≤b)=F(b) - F(a) . ВВЕДЕНИЕ В ДИСКРЕТНУЮ МАТЕМАТИКУ. 1. Основные понятия о графах. Графом G назыв пара множеств Х, Е, где X={x1, x2,…,xn} – вершины графа, E={ Маршруты на графах. Графы Эйлера и Гамильтона. Маршрутом длины m назыв нек-ая последовательность m ребер, такая что вершины двух соседних совпадают. Две вершины назыв связными, если сущ маршрут, соединяющий эти две вершины. Граф назыв связным, если любая пара его вершин связана. Маршрут, все ребра к-ого различны назыв цепью, а цепь, проходящая через различные вершины назыв простой или элементарной. Замкнутая цепь назыв циклом. Цикл назыв Эйлеровым тогда и только тогда, когда он явл связным и степени его вершин явл четными. Цикл назыв Гамильтоновым, если он проходит через все вершины графа. Рассм ориентированный граф, где все его маршруты будут иметь опред направление. Маршрут, не содержащий повторяющихся дуг назыв путем, а путь, не содержащий повторяющихся вершин назыв простым. Замкнутый путь назыв контуром, а граф, имеющий хотя бы один контур назыв контурным. Графы, не содержащие цикла назыв деревьями. Ребра дерева назыв ветвями. 3. Основные теоремы комбинаторики. Теорема 1 (о числе упорядоченных подмножеств): число упорядоченных подмножеств m в n множестве равно Am,n=n(n-1)(n-2)…(n-m+1) – перестановки из n по m. Замечание: если m=n, то Am,n=n Теорема 2 (о числе упорядоченных выборок): элементы могут иметь кратность χ, число упорядоченных m выборок из n множества равно Am,n=nm – перестановки с повторениями. Теорема 3 (о числе неупорядоченных подмножеств): число неупорядоченных подмножеств m в n множестве равно Cnm=n!/m!(n-m)! – без повторений. Теорема 4 (о числе неупорядоченных выборок): число неупорядоченных выборок m из n множества равно Cnm=(n+m-1)!/m!(n-1)! – с повторениями. Теорема 5 (о числе разбиений):число упорядоченных разбиений R(n: n1, n2, …, nk) из n множества равно R(n: n1, n2, …, nk)=n!/n1!n2 nk Теорема 6 (о числе неупорядоченных подмножеств): число Nn всех неупорядоченных подмножеств в n множестве равно Nn=2n. 4. Основные правила комбинаторики. 1) правило суммы – пусть сущ разбиение множества изучаемых комбинаций на классы, т.е. каждая комбинация входит только в один класс, тогда полное число комбинаций будет равно N=n+m, где объекты типа a можно выбрать m способами, а объекты типа b можно выбрать n способами, тогда N – число способов выбора одного из объектов типа а или b. Замечание: если классы разбиения пересекаются, формула принимает вид N’=m+n-k, где k – число совпадений. 2) Правило произведения: если объект типа а выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект типа b можно выбрать n способами, то выбор в указанном порядке можно осущ N2=mn. Если при i-ом способе выбора объекта типа а, объект b выбирается ni способами, то таких способов выбора пары а и b наход по формуле N2’=Пni. 5. Комбинация объектов. 1) по порядку распределения элементов:1) перестановки: Pn=n! – без повторений, P= n!/n1!n2 nk! – с повторениями; 2) размещения: Am,n= n!/(n-m)! – без повторений, Am,n= nm – с повторениями; 2) выборка элементов: 1) сочетания: Cnm=n!/m!(n-m)! – без повторений, Cnm=(n+m-1)!/m!(n-1)! – с повторениями; 2) размещения: Am,n= n!/(n-m)! – без повторений, Am,n= nm – с повторениями. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла. Задача 1. Найти объем цилиндрического тела, ограниченного пов-тью z=f(x,y) и обл Д в пл-ти Оху. Объем круглого цилиндра V=SоснH. Для того, чтобы найти V данного тела, обл Д разбивают на n сколь угодно малых частей ∆Si => S=∑∆Si . В каждой частичной площади произвольным оьразом будем выбирать точку (xi,yi), вычислять в этой точке знач ф-ии и находить частичный объем ∆Vi=f(xi,yi)∆Si => V=lim∑∆Vi=lim 721; f(xi,yi)∆Si – интегральная сумма. Двойным интегралом от ф-ии f(x,y) в обл Д назыв предел интегральной суммы при стремлении максимального линейного размера частичной площади разбиения к нулю ∫∫f(x, y)dS=lim∑ f(xi,yi)∆Si при max{∆Si}→0. Задача 1 явл геом смыслом двойного интегрла. Задача 2. найти массу нек-ого тела Ω, пл-ть к-ого есть непрерывная ф-ия δ=δ(x,y,z). т.к. M=Vδ, то можно тело Ω разбить на n частичныз объемов ∆Vi , в каждом выбрать произвольную точку, вычислить в ней знач ф-ии δ(xi , yi , zi ) и найти массу частичного объема Mi= δ(xi , yi , zi )∆Vi => M=lim∑ δ(xi , yi , zi )∆Vi . Тройным интегралом от ф-ии δ=δ(x , y, z) в пространственной обл Ω назыв предел интегральной суммы при стягивании каждого частичного объема в точку ∫∫∫ 48;(x, y, z)dV=lim∑ δ(xi , yi , zi )∆Vi . Задача 2 явл физич смыслом тройного интеграла. Теорема сущ интеграла: 1) для всякой ф-ии z=f(x,y) непрерывной в огранич обл Д, имеющей площадь S, сущ двойной интеграл. 2) для всякой ф-ии δ=δ(x, y, z) непрерывной в огранич замкнутой пространственной обл Ω, имеющей объем V, сущ тройные интегралы. 2. Свойства кратных интегралов. 1) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла ∫∫kf(x,y)dS=k 747;∫f(x,y)dS , 2) ∫∫(f(x,y)+g(x,y))dS= ∫∫fdS+∫&am p;#8747;gdS , 3) если Д сост из Д1, Д2,…, Дn, то ∫∫fdS=∫&am p;#8747;fdS+∫∫fdS+…+ ∫∫fdS 4) если в обл Д f ≥ g, то ∫∫fdS ≥∫∫gdS 5) теорема о среднем знач ф-ии f(x0, y0)=∫∫fdS/SД , (х0, у0)€Д 6) если в обл Д f≥0, то ∫∫fdS≥0. 3. Вычисление кратных интегралов в декартовых координатах. 1) рассм ∫∫ от непрерывной ф-ии в прямоуг пл-ти Д: {a≤x≤b, c≤y≤d}. ∫∫fdS=∫&am p;#8747;fdxdy= a∫bdx c∫dfdy= c∫ddya∫bfdx. 2) пусть обл Д имеет вид Д={a≤x≤b, y1(x)≤y≤y2(x)}, тогда ∫∫fdS= a∫bdx y1∫y2f(x,y)dy. 4. Замена переменных в кратных интегралах. 1) в двойных интегралах можно применять переход от декартовой сист к полярной: x=ρcosφ (x=(ρ, φ)), y=ρsinφ (y=(& #961;, φ)). Сущ правило перехода от одних координат к другим dS=IdVdU, где x=(U,V), y=(U,V), I=│∂x/∂U ∂x/∂V ∂y/∂U ∂y/∂V│- определитель Якоби. Для полярной сист корд имеем I= ρ => ∫∫fdS=∫&am p;#8747;f(ρ cosφ, ρsinφ)ρd& #961;dφ. 2) для вычисления тройного интеграла применяют переход: а) к цилиндрическим коорд: x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z, I=ρ => ∫∫∫fdV=&am p;#8747;∫∫f(` 1;cosφ, ρsinφ, z)ρdρdφdz . б) к сферическим коорд: x=ρcosφsinθ, y=ρsinφsinθ, z=ρcosθ, I=│∂x/∂&am p;#961; ∂x/& #8706;φ ∂x/∂θ ∂y/∂ρ ∂y/∂φ ∂y/∂θ ∂z/∂ρ ∂z/∂φ ∂z/∂θ&# 9474;=ρ2sinθ => ∫∫∫fdV=&am p;#8747;∫∫f(` 1;cosφsinθ, ρsinφsinθ, ρcosθ)ρ2sin&a mp;#952;d& #961;dφdθ ; 5. Применение кратных интегралов. 1) V=∫∫f(x,y)dS 2) M=∫∫δ(x,y)d S – масса плоской пластины с неоднородн пл-ти 3) нахожд статич моментов пластины My=∫∫xδ)x,y )dS, Mx=∫∫yδ(x,y )dS 4) моменты инерции пластины Ix=∫∫y2δ(x, y)dS , Iy=∫∫x2δ(x, y)dS 5) масса пространственного тела M=∫∫∫& #948;(x,y,z)dV 6) статич моменты Mxz=∫∫∫y&a mp;#948;(x,y,z)dV 7) моменты инерции Ix=∫∫∫(y2+ z2)δ(x,y,z)dV. 6. Криволинейные интегралы 1 и 2 рода и их свойства. 1) ранее обл интегрирования явл отрезок прямой и дифференциалы независимых переменных явл отрезками. Рассм опред интеграл по дуге кривой, к-ый назовем криволинейным интегралом. Рассм задачу о нахожд массы, распред вдоль дуги кривой АВ, описываемой уравнением r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k , пусть масса распред по ф-ии f(x,y,z). Очевидно, что разбив дугу на n частей, масса каждой частички будет равна ∆mi=f(xi , yi , zi)∆ri , где ∆ri=√(∆xi2 , ∆yi2 , ∆zi2) => m=lim∑f(xi , yi , zi )∆ri=∫f(x,y,z)dr. Аналогично опред интеграл на пл-ти lim∑f(xi , yi)∆Si=∫f(x,y)dS – это интегралы по длине дуги назыв криволинейными интегралами 1 рода. 2) рассм задачу о движ матер точки из А в В по пространственной линии под действием силового поля F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j. Кривую разбиваем на n частей, в каждой части считают силу постоянной, а работу вычисляют по формуле ∆Ai=P(xi , yi)∆xi+Q(xi , yi)∆yi , тогда за точное знач примем: A=lim∑(P(xi , yi)∆xi+Q(xi , yi)∆yi)=∫P(x,y)dx+Q( x,y)dy – интеграл 2 рода. Св-ва: 1) крив интеграл 1 рода не зависит от пути интегрирования 2) крив интеграл 2 рода при сменм пути интегрирования меняет свой знак на противоположный 3) интеграл от суммы ф-ий равен сумме интегралов 4) если С принадлежит дуге АВ, то ∫АВ=∫АС+∫С В. 7. Вычисление криволинейных интегралов. 1 рода: если известно параметрическое уравнение кривой {x=x(t), y=y(t), z=z(t)}, то α –А, β –В и ∫f(x, y, z)dr= α∫β f(x(t), y(t), z(t))√((xt’)2+(yt’)2+(zt’)2)dt . 2 рода: 1) если {x1≤x≤x2, y=y(x)}, то ∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy= x1∫x2 (P(x, y(x))+Q(x, y(x))y’)dx если известно, что {x=x(y), y1≤y≤y2}, то ∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy= y1∫y2 (P(x(y), y)x’+Q(x(y), y))dy. 8. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру. Формула Грина. Рассм ∫f(x,y)dS, где кривая L явл замкнутой. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру обознач … и считают обход положительным, если ограниченная обл остается слева от пути интегрирования. Теорема: если ф-ии P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными 1-ого порядка в односвязной обл Д, огранич кривой L, то имеет место формула: ∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫ ∫(∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy – формула Грина. Док-во: рассм ∫∫∂Q/& #8706;xdxdy= c∫ddyx1∫x2& #8706 ;Q/∂xdx, тогда ∫∫(∂Q/& ;#8706;x - ∂P/∂y)dxdy= c∫ddy x1∫x2∂Q/∂x dx - a∫bdx y1∫y2∂P/∂y dy = c∫dQ│x1x2dy - a∫bP│y1y2dx= c∫d[Q(x2(y),y) -Q(x1(y),y)]dy - a∫b[P(x,y2(x))-P(x,y1(x))]dx = ∫Q(x,y)dy+∫P(x,y)dx. Замечание: в случае, если обл Д имеет более сложный вид, то ее разбивают на несколько более простых и вычисляют по каждой обл отдельно. 9. Условие независимости интеграла. С точки зрения физики это означ, что величина работы в силовом поле, опред силой F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j, не зависит от формы пути, а зависит только от его нач и конечн точек. Это справедливо в поле тяжести, а в других полях справедливо при опред условиях. Лемма: для того, чтобы крив интеграл Iα=∫Pdx+Qdy не зависел от линии интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы этот интеграл, взятый по любому замкнутому контуру был равен нулю. Замечание: рассм крив интеграл подразумеваем, что кривая L ограничивает односвязную обл Д, т.е. не имеет самопересечений. Теорема: пусть ф-ии P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными в односвязной обл Д, тогда, чтобы крив интеграл ∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy не зависел от путей интегрирования необходимо и достаточно, чтобы во всех точках обл Д выполнялось условие ∂P/∂y=∂Q/& amp;#8706;x. Док-во: 1) необходимость: т.к. ∫ не зависит от линии интегрирования, то по лемме он равен нулю, а по формуле Грина имеем ∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫ ∫(∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy=0. Предположим, что ∂P/∂y≠& ;#8706;Q/∂x тогда пусть ∂P/∂y - ∂Q/∂x>0, тогда по св-ву 4* кратных интегралов ∫∫(∂Q/& ;#8706;x - ∂P/∂y)dxdy>0 => предположение неверно и ∂P/∂y=∂Q/& amp;#8706;x. ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. 1. Числовые ряды и их свойства. Рассм числовую последовательность {Un}=U1, U2,…, Un. Сост сумму U1+U2+…+Un=∑Un (1) и эту сумму назовем числовым рядом. Назовем n-ой частичной суммой Sn=U1+U2+…+Un. Числовой ряд назыв сходящимся, если сущ конечный предел последовательности частичных сумм при n→∞, то мы назовем его суммой числового ряда: limSn=S. Назовем rn остатком ряда rn=∑Uk , к-ые образуют числовую последовательность {rn}. Очевидно, что для сходящегося ряда имеет место формула rn=S-Sn→0. Теорема 1: если числовой ряд сходится, то последовательность остатков ряда rn явл бесконечно малой последовательностью. Т2: если числовой ряд сходится, то предел его общего члена равен 0 limUn=0. Док-во: т.к. ряд сходится, то limSn=S. Рассм Un=Sn-Sn-1, тогда limUn=lim(Sn-Sn-1)=limSn -limSn-1=S-S=0. Замечание: limUn=0 назыв необходимым условием сходимости ряда. Следствие: достаточным признаком расходимости ряда явл limUn≠0. Т3: отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость. Т4: если ряд (1) сходится, то будет и сходится ∑cUn, где c=const (верно и обратное утверждение). 2. Признаки сходимости знакоположительных рядов. Пр1: если ряды ∑Un и ∑Vn знакоположительны и для любого k€N Un≤Vn, то из сходимости ряда (2) будет следовать сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) будет следовать расходимость ряда (2). Применяют к рядам со степенными и тригонометрич ф-ями. Пр2: ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно, если сущ конечный, отличный от нуля limUn/Vn=A (0 3) q=1 – треб дополнит исследования. Применяют к рядам с показат ф-ями и факториалами. Док-во: рассм limUn+1/Un=q<1 => (для любого ε>0)(сущ nε € N)(для любого n€N, n≥nε): │ Un+1/Un - q│<ε => q-ε тогда Un+1/Un Un+2 Коши): пусть ряд (1) знакоположителен и limn√Un=q и если 1) q<1 – сходится, 2) q>1 – расходится, 3) q=1 – треб дополнит исследования. Применяют к рядам со степенно-показат ф-ями. Пр5 (интегральный признак Коши-Макларена): рассм ряд ∑Uk , где Uk – знакоположит и Uk=f(k), тогда данный ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом m∫& #8734;f(x)dx. Применяется к рядам со степенными и логарифмическими ф-ями. Пример: выяснить, при каких р сходится ряд ∑1/np – обобщенный гармонич ряд, составим 1∫∞1/xpdx=lim 1∫Adx/xp=…при p>1 – сходится, p≤1 – расходится. 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов. Ряд назыв знакопеременным, если его члены не сохраняют знака, ряд назыв знакочередующимся, если (+-+-+). Рассм знакочередующийся ряд ∑Un (5) и сост ряд из модулей членов ряда ∑│Un│ (6) – знакоположит ряд. Если ряд (6) сходится, то ряд (5) назыв абсолютно сходящимся, если ряд (6) расходится, то ряд (5) может оказаться и расходящимся и сходящимся (при нек-ых условиях). Для того, чтобы выяснить сходимость ряда (5) применяют признак Лейбница: если члены знакочеред ряда будучи взяты по абсолютной величине образуют бесконечно малую убывающую последовательность, то ряд сходится условно. Замечание: признак Лейбница требует выполнения следующих условий 1) lim│Un│=0 – условие бесконечно малой последовательности, 2) │U1│>│U 2│>│U3│ > – условие убывания. 4. Функциональные ряды и свойства правильно сходящихся рядов. Рассм ряд, элементами к-ого явл ф-ии ∑Un(x) если х=х0, то этот ряд будет числовым. Если полученный ряд будет сходящимся, то точка х0 назыв точкой сходимости ряда, в противном случае – точкой расходимости. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда назыв обл сходимости. Назовем n-ой частичной суммой ряда Sn(x)=U1(x)+U2(x)+…+Un(x), тогда S(x)=limSn(x) – сумма функционального ряда. Функциональный ряд назыв правильно сходящимся в обл Д, если все его члены будучи взяты по абсолютной величине не превосходят членов знакоположит ряда & #9474;Un(x)│≤Mn , где ∑Mn – числовой знакоположит сход ряд (мажорантный). Теорема (св-ва правильно сход рядов): если ряд прав сход в нек-ой обл Д, 1) и сост из непрерывных ф-ий, то его сумма явл также непрерывной ф-ией, 2) то его можно в этой обл почленно интегрировать, 3) то его можно в этой обл почленно дифференцировать. 5. Степенные ряды и их свойства. a0+ a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n=ͨ 1;an(x-x0)n (1), если х0=0, то ∑anxn (2). Теорема Абеля: если степенной ряд (2) сходится при нек-ом знач х1, то он сходится и при том абсолютно для всех х, не превосходящих х1 (│х│≤& #9474;х1│), если ряд (2) расходится при нек-ом знач х2, то он будет расходится и для всех х, больших чем х2 (│х2│≤& ;#9474;х│). Замечание: из теоремы следует, что для всякого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, сущ такое положит число R, что для │x│ (x0-R,x0+R). Для того, чтобы найти интервал сходимости степенного ряда, нужно: 1) сост ряд из модулей, 2) к полученному ряду применяют достаточные признаки сходимости (Даламбера или Коши радикальный), 3) требуем, чтобы получ предел был меньше единицы (чтобы ряд сходился), 4) из полученного неравенства находим интервал сходимости ряда, 5) исследуем поведение ряда в граничных точках интервала. 6. Ряды Тейлора и Маклорена. Теорема Тейлора: всякая непрерывная ф-ия может быть разложена в степенной ряд, если сущ её n первых производных, к-ые явл непрерывными ф-ями. При этом имеет место формула f(x)=f(x0)+ f’(x0)(x-x0)/1!+ f”(x0)(x-x0)2/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)n/n!+… Теорема Маклорена: всякая непрерывная ф-ия может быть разложена в ряд Маклорена, если сущ её n первых производных, к-ые явл непрерывными ф-ями f(x)= f(0)+ f’(0)x/1!+ f”(0)x2/2!+…+ f(n)(0)xn/n!+… Замечания: разложение основных элементарных ф-ий в ряд Маклорена имеет вид: 1) et=1+t+t2/2!+…+tn/n!+…, 2) sint = t - t3/3! + t5/5! + …+ (-1)nt2n+1/(2n+1) 3) cost=1 – t2/2!+t4/4!+…+(-1)nt2n/(2n) 4) ln(1+t)=t – t2/2+t3/3+…+(-1)n -1tn/n+…, 5) (1+t)b=1+bt/1!+b(b-1)t2/2!+…+b(b-1)(b-2) …(b-n+1)tn/n!+…, 6) 1/(1-t)=1+t+t2+…+tn+… 7. Применение рядов к приближенным вычислениям. Степенные ряды применяют для вычисления знач ф-ий. Ф-ию можно разложить в какой-нибудь степенной ряд, если она непрерывна и ее производная сущ и так же явл непрерывной. Для того, чтобы вычислить знач ф-ии в нек-ой точке, сначала записывают известное разложение, а затем подставляют указанную точку. Берут столько слагаемых в вычислении, сколько требуется для заданной точности, т.е. останавливаются на том слагаемом, к-ое меньше заданной точности. Для того, чтобы вычислить приближенное знач опред интеграла: 1) подынтегральную ф-ию раскладывают в ряд, 2) интегрируют полученное выражение в пределах от а до b, 3) вычисление останавливают на том слагаемом, к-ое будет меньше требуемой точности. РЯДЫ ФУРЬЕ. 1. Тригонометрическая система функций. Рассм систему периодич ф-ий 0,5 , sinx, cosx, sin2x, cos2x, …,sinnx, cosnx (1) с общим периодом Т=2П. Покажем, что сист (1) явл ортогональной, т.е. интегралы от произведения двух различных ф-ий по промежутку, равному длине периода равны нулю. ∫0,5sinnxdx=-0,5cosnx/n 474;=0 (в пределах от –П до П), ∫0,5cosnxdx=sinnx/2n│ ;=0, ∫sinnxcoskxdx=0.5∫(s in(nx-kx)+sin(nx+kx))dx=0, ∫sinnxsinkxdx=0, ∫cosnxcoskxdx=0. Рассм интегралы от квадратов ф-ий: ∫0.25dx=П/2, ∫sin2nxdx=∫(0.5-0.5c oos2nx)dx=П, ∫cos2nxdx=П. Таким образом сист (1) назыв ортогональной. Аналогично можно показать, что 2L периодич сист ф-ий тфкже явл ортогональной. 2. Периодические функции и их свойства. Ф-ия y=f(x) назыв периодич, если f(x+T)=f(x), где Т назыв периодом. Св-ва: 1) если ф-ия имеет период Т, то ф-ия f(ax) имеет период Т/а, 2) если ф-ия f(x) имеет период Т1, ф-ия g(x) – Т2 и Т1/Т2=p/q, то f(x)+g(x) T=T1q=T2p – общий период. 3) если ф-ия f(x) имеет период Т, то а∫а+Т f(x)dx= 0∫T f(x)dx Док-во: рассм интеграл а∫а+Т и разобъем его на сумму а∫а+Т= а∫0+ 0∫Т+ Т∫а+Т и вычислим интеграл отдельно Т∫а+Т=│t=x-T, dt=dx│= 0∫аf(t+T)dt= 0∫аf(t)dt=- 0∫аf(t)dt. 3. Построение рядов Фурье для периодических функций. Рассм 2П периодич сист (1) и сост для нее сумму Sn(x)=a0/2+∑(akcoskx+bksinkx). limSn(x)=S(x)= a0/2+∑(akcoskx+bksinkx). (2) Очевидно, S(x) явл 2П периодич и непрерывной ф-ией. Необходимо выяснить, при каких условиях 2П периодич ф-ия y=f(x) разложима в ряд (2). Пусть сущ разложение ф-ии в ряд (2) f(x)= a0/2+∑(akcoskx+bksinkx). (3). Выясним вид коэф a0, ak, bk , для этого ряд (3) почленно проинтегрируем от –П до П ∫f(x)dx= a0/2dx+∑∫akcoskxdx+& amp;#8747;bksinkxdx= a0П, отсюда a0=(∫f(x)dx)/П, ak=(∫f(x)coskxdx)/П, bk=(∫f(x)sinkxdx)/П (4). Аналогично можно показать, что сущ разложение 2L периодич ф-ии в ряд Фурье: f(x)= a0/2+∑(akcoskПx/L+bksinkПx/L), a0=(∫f(x)dx)/L, ak=(∫f(x)coskПx/Ldx)/L, bk=(∫f(x)sinkПx/Ldx)/L. 4. Построение рядов Фурье для непериодических функций. y=f(x), опред на [0, П]. Для того, чтобы ее разложить в ряд Фурье (3), ее нужно продлить на промежуток [-П, П]. Для четной ф-ии: a0=(2∫f(x)dx)/П, ak=(2∫f(x)coskxdx)/П, bk=0 – тфкое разложение назыв разложением по косинусам. Для нечетн ф-ии: a0=0, ak=0, bk=(2∫f(x)sinkxdx)/П – такое разложение назыв разложением по синусам. Аналогично выводятся формулы для непериодич ф-ии, опред на [0, L]. 5. Разложение в ряд Фурье по косинусам или по синусам. Свойства четных и нечетных функций. Для нечетн ф-ии: a0=0, ak=0, bk=(2∫f(x)sinkxdx)/П – такое разложение назыв разложением по синусам. Св-ва: 1) произведение четных ф-ий дает четную ф-ию, 2) произведение нечетных ф-ий дает четную ф-ию, 3) произведение четной и нечетной ф-ий дает нечетную ф-ию. 6. Условия и теорема Дирихле. Ряд f(x)= a0/2+∑(akcoskx+bksinkx) (1) и коэф могут быть найдены при опред условиях, называемыми условиями Дирихле. Теорема Дирихле: если ф-ия y=f(x) с обл опред от –П до П удовлетворяет след условиям: 1) ф-ия непрерывна на [-П, П] или имеет конечное число точек разрыва 1 рода, 2) ф-ия имеет конечное число экстремумов или не имеет их совсем, тогда а) ряд Фурье (1) сходится в указанном промежутке, б) сумма этого ряда равна ф-ии f(x) во всех точках непрерывности из (-П, П), в) во всех точках разрыва сумма ряда равна 0,5(f(x0 -0)+f(x0+0)), г) на концах этого проиежутка сумма имеет одно и тоже знач, равное 0.5(f(-П+0)+f(П-0)). 7. Разложение функций в ряд Фурье часто используемых в электротехнике. При изучении различной зависимости в Эл цепях с несинусоидальными токами применяют ряды Фурье. Ряд Фурье для такого тока имеет вид: i(t)= a0/2+∑(akcoskωt+bksin kωt), a0=(ω∫f(ωt)d t)/П, ak=(ω∫f(ωt)c oskωtdt)/П, bk=(ω∫f(ωt)s inkωtdt)/П.
| ! |
Как писать рефераты Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов. |
| ! | План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом. |
| ! | Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач. |
| ! | Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты. |
| ! | Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ. |
| → | Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре. |