Численные методы анализа и синтеза периодических сигналов

Численные методы анализа и синтеза периодических сигналов Содержание Введение 1. Спектральный анализ и спектральный синтез периодических сигналов 1.1 Синтез периодических сигналов 1.2 Анализ периодических сигналов 2.Численные методы расчетов спектральных и временных характеристик периодических сигналов 2.1 Численные методы расчетов временных характеристик 2.Численные методы расчетов частотных характеристик

Выводы Литература Введение Известно , что периодическое несинусоидальное колебание можно представить бесконечным тригонометрическим рядом Фурье, который в общем случае содержит постоянную и гармонические составляющие . Часто используется следующая форма математической записи ряда Фурье где ft-функция, раскладываемая в ряд а - частота следования импульсов. Коэффициенты ряда определяются следующими выражениями 1 где 1,2,3M соответственно функции1.2,1.3,1.4

Здесь А - постоянная составляющая , An и Bn - амплитуды косинусной и синусной составляющих, Т- период повторения сигнала , М- число гармоник, n номер гармоник. Ряд 1 можно преобразовать к более удобному виду 2 Здесь -постоянная составляющая, -амплитуда n-ой гармоники, -фаза n-ой гармоники. Формула 2.1 используется при спектральном анализе и синтезе периодических сигналов.

1.Спектральный анализ и спектральный синтез периодических сигналов 1. СПЕКТРАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Сигнал задан в виде набора спектральных составляющих Cn амплитуда частота, начальная фаза n- ой гармоники. Здесь n1,2 M- номер гармоники , M- число гармоник в спектре сигналов. Требуется осуществить синтез сигнала Ut и построить его временную диаграмму.

Задача синтеза сигнала заключается в расчте временной функции сигнала Ut по известному спектру сигнала. При этом спектр сигнала задан в виде таблицы амплитуд, частот и фаз гармоник. Задача синтеза сигнала решается путм расчта значений функции во временной области Ut Численный синтез осуществляется путм расчта отсчетов сигнала через равные интервалы времени и построения временной диаграммы сигнала. При этом интервал времени между соседними отсчтами называют интервалом

дискретизации. 1.2СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Задача анализа сигнала заключается в расчте его спектра, т.е. амплитуд, частот, фаз и гармоник. При этом сигнал задан в виде функции времени Ut . Задача анализа решается путм расчта амплитудно-частотных Cnfw и фазочастотных fw характеристик. Сигнал задан в виде функции времени

Ut , повторяющийся с периодом Т. Требуется выполнить спектральный анализ сигнала и построить графики амплитудного и фазового спектров сигнала. 2.Численные методы расчетов спектральных и временных характеристик периодических сигналов Для расчета спектральных и временных характеристик периодического сигнала используем численные методы, чтобы упростить и автоматизировать задачу Дан сигнал Дана таблица параметров данного сигнала

U, mvM t0,mksT,mksr2.81045914992 Ut функция времени, описывающая сигнал M число учитываемых гармоник U- амплитуда T - текущее время t0 время задержки сигнала T период частоты повторения первой гармоники r постоянный коэффициент 2.1 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК Численный синтез осуществляется путм расчта отсчтов сигнала через равные интервалы времени и построения временной диаграммы сигнала.

При этом интервал времени между соседними отсчтами называют интервалом дискретизации. Интервал дискретизации Тд вычисляем по формуле ТД Tк M,где k5т. к на периоде наибольшей частоты в спектре сигнала должно размещаться не менее 5 отсчетов Интервал времени Тс равен Tmax и равен 50 т. к kM50k5,M10. Исходя из формулы, интервал дискретизации Тд равен

ТдТkМ, Тд29,98 M10K5t0459U02,8T1499 Исходя из полученных данных, строим таблицу tu1u2u3u4u5u6u7u8u9u10SUM00,9658080,8125 950,5499190,250406-0,00868-0,17017-0,213 45-0,15715-0,04810,0584672,03965129,980, 628970,5866540,5071450,3999540,2776170,1 53920,041996-0,04743-0,10736-0,135292,30 617159,960,2822240,2784010,2708480,25974 90,2453730,2280660,2082430,1863710,16296 30,1385572,26079489,94-0,06897-0,06891-0 ,0688-0,06863-0,06841-0,06814-0,0678-0,0 6742-0,06698-0,06649-0,68055119,92-0,419 08-0,40656-0,3822-0,3473-0,3037-0,25369- 0,19984-0,14483-0,09131-0,04174-2,590231 49,9-0,76258-0,68716-0,54975-0,37435-0,1 9052-0,027290,0925690,1566620,1646620,12 7265-2,0505179,88-1,09407-0,87135-0,5075 2-0,13020,1412630,243430,1883680,04829-0 ,08485-0,1436-2,21024209,86-1,40832-0,93 328-0,271630,2082720,3109620,118853-0,11 591-0,18642-0,073890,081852-2,26951239,8 4-1,70039-0,864270,0679170,3958630,12386 2-0,19872-0,1740,0665850,1638960,024397- 2,09487269,82-1,96566-0,6740,3815450,296 665-0,20536-0,19360,1374770,145388-0,101 45-0,11738-2,29638299,8-2,19997-0,389160 ,549579-0,01746-0,298950,1259040,156966- 0,15618-0,055360,146543-2,13808329,78-2, 39962-0,049710,507898-0,31893-0,049530,2 40959-0,15693-0,049150,160677-0,09603-2, 21036359,76-2,561460,2967040,272408-0,38 9350,256724-0,03527-0,137520,186463-0,11 654-0,0067-2,23455389,74-2,682950,601491 -0,06703-0,17770,268408-0,254220,173972- 0,06575-0,0360,105786-2,13401419,72-2,76 2170,821886-0,380890,162689-0,02788-0,06 0350,115958-0,145950,155054-0,14735-2,26 901449,7-2,797880,926965-0,549410,385215

-0,292180,231523-0,188340,155685-0,12988 0,108799-2,14949479,68-2,78950,901985-0, 508270,328667-0,221230,147439-0,092620,0 5001-0,01611-0,01109-2,21071509,66-2,737 170,75045-0,273190,0340110,10356-0,17607 0,19982-0,18650,14711-0,09265-2,23063539 ,64-2,641730,4936230,066146-0,285280,309 524-0,213660,0678540,064915-0,141270,146 013-2,13387569,62-2,504660,1675370,38023 8-0,39790,1603390,095698-0,208230,14650, 004029-0,11999-2,27643599,6-2,32813-0,18 2060,549234-0,22225-0,172820,24966-0,042 05-0,155190,1369640,028721-2,13792629,58 -2,11493-0,50610,5086470,11441-0,30768-0 ,001790,21344-0,05087-0,150560,078161-2, 21727659,56-1,8684-0,759140,2739650,3681 87-0,08951-0,250330,0155970,1865380,0241 05-0,14254-2,24154689,54-1,59244-0,90567 -0,065260,3552250,231368-0,09237-0,21537 -0,064080,1247690,129424-2,0944719,52-1, 29139-0,92513-0,379580,0849150,2867740,2 15590,011093-0,14705-0,15759-0,04593-2,3 4829749,5-0,96999-0,81478-0,54906-0,2469 10,0131350,1734610,2139980,1546940,04382 -0,06253-2,04417779,48-0,63332-0,59012-0 ,50902-0,39986-0,27558-0,15034-0,037610, 0517270,1107060,136999-2,29641809,46-0,2 8666-0,28265-0,27474-0,26312-0,24809-0,2 3001-0,20934-0,18657-0,16226-0,13698-2,2 8042839,440,0645110,0644650,0643740,0642 370,0640550,0638280,0635560,063240,06288 0,0624760,637623869,420,4146660,402540,3 789260,3450610,3027030,254020,201460,147 5990,0949860,0459932,587955899,40,758288 0,6841350,5488830,37590,1940280,031719-0

,08852-0,15419-0,1645-0,129452,056285929 ,381,0899630,8697420,5093910,134413-0,13 728-0,24209-0,19049-0,052580,0809980,142 5292,204598959,361,4044660,9333190,27551 9-0,20445-0,31107-0,122780,112130,186595 0,077844-0,078112,273469989,341,6968430, 865945-0,06349-0,3952-0,127940,1959080,1 76594-0,0624-0,16428-0,028782,0932021019 ,321,9624860,677074-0,37827-0,299640,201 9870,196467-0,13401-0,148140,0979040,120 0232,2958761049,32,1972120,393204-0,5487 10,0130,300154-0,12201-0,159990,1536880, 059538-0,1462,1400911079,282,397320,0541 66-0,509760,316220,053923-0,242360,15384 10,053438-0,16160,09262,207791109,262,55 966-0,29247-0,27630,390349-0,254180,0308 480,14092-0,186620,1133440,0111532,23671 11139,242,681674-0,598070,0626020,181684 -0,270630,253962-0,171310,0615590,04034- 0,108842,1329641169,222,761439-0,819760, 377611-0,15860,0234370,064677-0,119690,1 48684-0,15650,1473512,2686391199,22,7976 98-0,926430,548527-0,383990,290617-0,229 630,186138-0,153180,127089-0,105742,1510 871229,182,78988-0,903120,510129-0,33119 0,224342-0,151050,096623-0,054290,020539 0,0066392,20851259,162,738109-0,753090,2 77071-0,03845-0,099340,172818-0,198110,1 86636-0,149060,0960742,2326451289,142,64 32-0,4974-0,061720,282141-0,309040,21605 5-0,07207-0,060720,138931-0,146552,13283 11319,122,506649-0,17192-0,376950,398333 -0,16414-0,091550,207044-0,149220,000430 ,1173432,2760081349,12,3306060,177679-0, 548350,2259470,169094-0,250490,0464130,1 52669-0,13939-0,024332,1398441379,082,11 78450,502351-0,5105-0,110130,308313-0,00 267-0,21280,0551450,148694-0,08192,21435 21409,061,8717190,75654-0,27785-0,366420 ,0937730,249488-0,02004-0,18665-0,019690 ,1436112,2444861439,041,5961040,9045820, 060829-0,35725-0,228360,096510,215280,05 9872-0,12763-0,127232,0926941469,021,295 3430,9257050,376292-0,08927-0,28847-0,21 319-0,006640,1497560,1562310,0416752,347 43614990,9741740,8169450,5481650,24339-0

,01759-0,1767-0,21446-0,15215-0,039510,0 665422,048811 После расчета строим временную диаграмму сигнала 2.2.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК Для того чтобы определить амплитудно-частотную и фазочастотную характеристику периодического сигнала представим сигнал в виде ряда Фурье 2. Коэффициенты ряда Аn и Bn определяются по формулам 1 .

Для того чтобы вычислить An и Bn преобразуем интеграл к сумме, а непрерывную функцию Ut представим как дискретную t1 , где tIiTД ТД интервал дискретизации. Представим непрерывную функцию Ut как дискретную, сделав замену t i ТД и di ТД, преобразуем выражения An ,Bn и запишем ряд Фурье в окончательном виде 5 где kTТД число отсчтов сигнала на интервале

T. Интервал дискретизации ТД выбираем таким, чтобы на самом крутом участке функции Ut , было не менее 5 отсчтов, либо не менее 5 отсчтов на периоде наибольшей частоты в спектре сигнала. Исходя из формулы5,вычисляем амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики. Расчеты приведены в таблице iWnUti ,039650,81586014189,46-2,1380-0,0394-0,0 374-0,02320,02300,037470,00013-0,0374-0, 02330,02290,03750,0002528378,92-2,1379-0 ,89454-0,526720,851458-0,84960,5221010,0 05699-0,531310,85318-0,847890,517460,011 397312568,42,05628-0,072020,042223-0,068 410,06862-0,042780,0006880,04166-0,06819 0,06883-0,043330,001376416757,82,151080, 788411-0,75044-0,460160,468270,747301-0, 01005-0,75346-0,451970,476320,74403-0,02 009520947,32,048811,607935-0,00512-0,010 24-0,0153-0,02049-0,02561-0,03073-0,0358 5-0,04097-0,04609-0,05121

i -0,01220,031820,0319-0,0121-0,0394-0,012 30,031750,03197-0,012-0,039420,723026-0, 27426-0,279680,726367-0,894520,719656-0, 26883-0,285080,729678-0,8944730,058349-0 ,02252-0,021860,057943-0,072020,05875-0, 02317-0,021210,057532-0,0720140,241721-0 ,64019-0,634280,2512630,7883470,23214-0, 646-0,628260,2607630,78815551,6079271,60 79031,6078621,6078051,6077321,6076421,60 75361,6074131,6072751,60712 AnBnCnFn-1,277492,6188332,9138081,116948 0,289460,7027560,760035-1,18008-0,305070 ,703940,7672041,1618491,2436112,6313072, 910385-1,12929-0,029141,3901681,3904741, 549838-1,311242,6058782,917181,1046050,2 738950,7012820,752871-1,19845-0,320730,7 048320,7743751,1437531,2095952,6432972,9 06912-1,14163-0,058271,3894291,3906511,5 28881 Используя полученные данные, строим графики АЧХ и ФЧХ ВЫВОДЫ Особенности спектральных характеристик периодических сигналов заключаются в следующем 1

Спектры периодических сигналов графически представляются линейчатым дискретным спектром. 2 Спектральные линии в периодических сигналах находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, то есть частоты гармоник находятся в простых кратных отношениях. Использование рядов Фурье, при расчете спектральных и временных характеристик периодических сигналов, имеет следующие преимущества 1 Простое математическое описание 2

Инвариантность к линейчатым описаниям, т.е. если на вход действует гармоническое колебание, то и на выходе будет гармоническое колебание. 3 Как и сигнал гармонические функции являются периодическими и имеют бесконечную длительность 4 Техника генерирования гармонических функций достаточна проста. ЛИТЕРАТУРА 1. С.И.Баскаков-Радиотехнические цепи и сигналы М.ВШ, 1988 2. И.С.Гоноровский- Радиотехнические цепи и сигналы-

М.Р. и С 1986