Устойчивость линейных систем

Критерий устойчивости линейных систем.Устойчивостьлинейных систем.В реальнойцепи, охваченной обратной связью, всегда имеются реактивные элементы,накапливающие энергию. Даже в усилителе на резисторах имеются такие элементы ввиде паразитных емкостей схемы или усилительных приборов, индуктивностипроводов и так далее. Эти реактивные элементы создают дополнительные фазовыесдвиги и если на какой-либо частоте они в сумме дают дополнительный угол в 180,то обратная связь превращается

из отрицательной в положительную и создаютсяусловия для паразитной генерации.Этообстоятельство во многих случаях существенно ограничивает эффективностьприменения обратной связи, так как при больших значениях frac12 Ky Koc frac12 для устранения паразитной генерации требуютсяспециальные устройства фазокомпенсаторы и др уменьшающие крутизну ФЧХ вкольце обратной связи. Однако оказывается, что введение в схему новых элементовприводит лишь к

сдвигу частоты паразитной генерации в область очень низких илиочень высоких частот.Итак, извыше сказанного следует, что применение обратной связи тесно связано спроблемой обеспечения устойчивости цепи.Дляправильного построения цепи и выбора ее параметров большое значение приобретаютметоды определения устойчивости цепи. Рассмотрим некоторые из них.Алгебраическиекритерии устойчивости.Внастоящее время известно несколько критериев, различающихся больше

по форме,чем по содержанию. В основе большинства из этих критериев лежит критерийустойчивости решений дифференциального уравнения, описывающего исследуемуюцепь.Пустьлинейное однородное уравнение для цепи с постоянными параметрами задано в форме Решениеэтого уравнения имеет вид Условиеустойчивости состояния покоя цепи заключается в том, что после прекращениядействия внешних возмущений цепь возвращается в исходное состояние.

Для этогонеобходимо, чтобы возникающие в цепи при нарушении состояния покоя свободныетоки и напряжения были затухающими. А это означает, что корни уравнения 1 должны быть либо отрицательными действительными величинами, либо комплекснымивеличинами с отрицательными действительными частями. Из этих представленийвытекает следующий фундаментальный критерий устойчивости любых линейных систем Cистемаустойчива, если действительные части всех корней характеристического уравненияотрицательны.

Этофундаментальное положение было основано А.М.Ляпуновым, который в 90-х годахпрошлого века заложил основы теории устойчивости. В связи с этим приведенныйвыше критерий называют критерием Ляпунова.Заметим,что левая часть характеристического уравнения 1 представляет собой не чтоиное, как знаменатель передаточной функции цепи записанной в форме Такимобразом, корни характеристического уравнения цепи являются полюсамипередаточной функции

К р этой цепи.Отсюдаследует, что сформулированные выше условия отрицательности действительныхкорней равносильны следующему утверждению для устойчивости цепи необ-ходимо,чтобы передаточная функция К р не имела полю-сов в правой полуплоскостикомплексной переменной р.В техслучаях, когда цепь описывается дифференциальным уравнением высокого порядка,исследование корней характеристического уравнения, необходимое для решениявопроса об устойчивости системы, является сложной

задачей.Однако ееможно решить, анализируя соотношения между коэффициентами уравнения безопределения самих коэффициентов. Это можно сделать с помощью теоремы Гурвица,которая утверждает, что для того, чтобы действительные части всех корнейуравненияcдействительными коэффициентами и b0 gt 0 были отрицательными, необходимо идостаточно, чтобы были положительными все определители D1, D2, Dm, составленные из коэффициентов уравнения по следующей схеме и т. д.

Сформулированныйалгебраический критерий устойчи вости называют критерием Рауса - Гурвица.Присоставлении определителей по указанной схеме коэффициенты с индексом,превышающим степень характеристического уравнения заменяют нулями. Поэтому дляуравнения четвертой степени получаются следующие определители КритерийРауса - Гурвица особенно удобен для проверки устойчивости цепи с заданнымипараметрами вычисления

относительно просты. Недостатком этого критерияявляется ограниченность применения область применения критерия ограниченацепями с сосредоточенными параметрами, поскольку только для них передаточнаяфункция выражается через многочлены. Кроме того этот критерий не дает ясныхуказаний на то как из неустойчивой цепи сделать устойчивую. Геометрические критерии устойчивости.Требование,чтобы передаточная функцияне имелаполюсов в правой полуплоскости р s iw, т.е. в области,

ограниченной полуплоскостью бесконечно большогорадиуса R и осью iw см. рисунок , равносильно условию, что знаменатель выражения 2 недолжен иметь нулей в указанной области или, что то же, функция не должнаобращаться в единицу ни в одной из точек правой полуплоскости р. Но Н р представляет собой передаточную функцию разомкнутого кольца обратной связи, тоесть отношение напряжения на зажимах 2-2 к напряжению на зажимах 1-1 приразомкнутой системе, как это показано на рисунке 2.

Длядальнейшего анализа перейдем от комплексной плоскости р на другую комплекснуюплоскость Н р u i см. рисунок 3 . При этомкаждой точке р плоскости s,iw соответствует определенное значение Н на плоскостиu,iv. И любой замкнутый контур на плоскости перейдет в некий, также замкнутыйконтур на плоскости Н. Еслиисходный контур на плоскости р задан в виде контура как на рисунке 1, тосоответствующий ему контур на плоскости Н называется годографом функции

Н.Показанныйна рисунке 1 контур можно разбить на два участка прямую iw от yen до - yen и полуокружность бесконечно большого радиуса R. Напервом участке, где s 0, р iw, функция H p обращается в функцию H iw .В соответствии с выражением этот участокпреобразуется на плоскости H в линию, определяемую следующим соотношением В этихвыражениях аргументы передаточных функций соответственно четырехполюсников На второмрисунке контура см. рисунок 1 при

R yen функция H p 0. Это вытекает из общего выражениякотороепри frac12 p frac12 yen можно представить ввиде под В подразумевается постоянный коэффициент, а p0i и pпi- соответственно нули и полюсы функции К р .Совершенноаналогично и функцию Н р при frac12 p frac12 yen можно представить вформе H p Apn-m где n и m - числа соответственно нулей и полюсовфункции Н р .При n lt m и frac12 p frac12 yen модуль функции

H p на полуокружности R yen равен нулю. Такимобразом, полуокружность бесконечно большого радиуса R на плоскости рпреобразуется в точку, лежащую в начале координат на плоскости Н, и дляпостроения годографа Н в виде замкнутого контура достаточно знать поведениеН р на оси iw, т.е. знать АЧХ и ФЧХ цепи Ky iw ,Koc iw .Обходуконтура на рисунке 1 в положительном направлении против часовой стрелки соответствует обход годографа Н при изменении частоты от yen до - yen , т.е. также против

часовой стрелки см. рисунок 3 .Следовательно,если годограф передаточной функции разорванного кольца не охватывает точку 1,i0, то при замкнутой цепи обратной связи система устойчива, в противном случаесистема неустойчива.Этоусловие называют критерием устойчивости Найквиста, а годограф H iw -диаграммой Найквиста.Показаннаяна рисунке 3 диаграмма соответствует устойчивой системе. Это видно из того, чтогодограф Н не охватывает точку 1,i0.

Сплошной линией показана часть контура,соответствующая положительным частотам 0 lt w lt yen , а штриховой - часть контура, соответствующаяотрицательным частотам. Так как функция u w четная, а v w нечетнаяотносительно w, то оба годографа симметричны относительно действительной оси.Рисунок 3был построен для случая, когда при w 0 передаточная функция Н iw отлична отнуля эта возможно, например, для усилителей постоянного тока, в которыхотсутствуют разделительные

конденсаторы .Основноепреимущество данного метода удобство оперирования с АЧХ и ФЧХ разомкнутойцепи. Следуетотметить, что при сложной схеме устройства форма диаграммы бывает настолькоусложнена, что по ней сложно судить о попадании точки 1,i0 в замкнутый контургодографа. В подобных случаях оказывается полезным критерий, вытекающий изкритерия Найквиста, основанный на подсчете числа пересечений годографом оси

Uн w на участке 1, yen .Дляустойчивости системы тогда необходимо, чтобы годограф либо вообще не пересекалэтот отрезок, либо пересекал его в положительном и отрицательном направленияходинаковое число раз.Помимокритерия Найквиста известен ряд других геометрических методов исследованияустойчивости линейных систем с обратной связью, например критерий Михайлова икритерий пересечений. Они широко применяются при анализе систем автоматическогорегулирования.

Данные критерии описаны в книге Котельников В.А НиколаевА.М. Основы радиоэлектроники Литература.1. С.И.Баскаков Радиотехнические цепи и сигналы , 1983. М. Высшая школа.2. И.С.Гоноровский Радиотехнические цепи и сигналы , 1986М. Радиои связь.