Теория вероятности

Хабаровский государственный институт искусств и культуры Кафедра информатики Теория вероятности Выпонила: Осетрова Юлия I курс, 146 группа Проверил: Кисилев В.И Оценка: _ Хабаровск 2004 План 1. Ведение… … 2. Понятие события…… … 3. Операции над событиями …4. Аксиоматика теории вероятности… 9 - построение вероятностного пространства;

… 9 - классическое определение вероятности….……5. Основные теоремы теории вероятности….…….12 - теоремы сложения вероятности;… 12 - теорема умножения вероятностей;… 15 - формула полной вероятности… … 6. Заключение….7. Список литературы…1. Введение Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками.

Например, Ферм, Бернулли, Паскаль. Позднее развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине.

Особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники. Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных

условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат изме-рения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее. Можно привести много других примеров случайных величин.

Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин. Как уже говорилось, раздел математики, изучающий закономерности случайных событий, называют теорией вероятностей. Эта теория имеет дело не с отдельными событиями, а с результатом

проведения достаточно большого числа испытаний, т.е. с закономерностями массовых случайных явлений. По определению, приведенному в БСЭ, теория вероятностей есть математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятность других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми. В повседневной жизни мы часто пользуемся словами "вероятность", "шанс" и т.д. "К вечеру, вероятно, пойдет дождь", "

Вероятнее всего, мы поедем в воскресенье за город", "Это совершенно невероятно", "Много шансов, что я успешно напишу контрольную работу" и т.д все эти выражения как-то оценивают вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие. Однако, чтобы можно было применять к оценке вероятностей математические методы, надо дать этому понятию строгое определение. Приведем цитату из БСЭ, дающую представление о том, что такое вероятность: "

Вероятность математическая - числовая характеристика степени воз-можности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях". Попытаемся превратить это описание понятия вероятности в точное математическое определение и выяснить, как связана вероятность с частотой появления данного события в длинной серии испытаний. 2. Понятие события Любой исход эксперимента мы будем называть элементарным событием.

Все эти исходы равновозможные и взаимоисключающие друг друга. На-пример, в опыте, состоящем в подбрасывании кубика всего 6 элементарных событий. События принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С,… Определение: Два события А и В называются несовместными, если в условиях эксперимента эти события не могут происходить одновременно, т.е. происходит только одно из них.

Определение: Событие называется случайным, если в результате эксперимента оно мо-жет произойти, либо не произойти. Так, например, при бросании игральной кости выпадение четного числа оч-ков, т.е. появление либо грани с двумя очками, либо с четырьмя, либо с шестью, является случайным событием. Определение: События А и В называются совместными, если в условиях эксперимента появление одного события не исключает появление другого. Например, подбрасываем игральный кубик.

Пусть А - выпадение очков, кратных двум, В - выпадение числа, кратных 3. Эти события совместны, т.к. на грани может выпасть 6. Определение: Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате эксперимента обязательно должно произойти одно из этих событий. И эти события равновозможны, взаимоисключающие единственно возможные исходы. Например, стреляем по мишени. А - либо попали

В - либо не попали Это полная группа событий. Определение: Событие называется достоверным, если в ходе эксперимента оно происхо-дит всегда (т.е. оно является единственным возможным исходом данного события). Например, идет экзамен. Оценка в любом случае будет получена, либо по-ложительная, либо отрицательная, т.е. всегда. Определение: Событие называется невозможным, если в ходе эксперимента оно некогда не наступает.

Например, в урне только синие шары. Вытащить желтый шар из этой урны просто невозможно. Конкретный результат испытания называется элементарным событием. В результате испытания происходят только элементарные события. Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий. Например: Испытание - подбрасывание шестигранного кубика.

Элементарное событие - выпадение грани с “1” или “2”. Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий. Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий. Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному.

Таким образом, если в результате испытания может произойти только одно элемен-тарное событие, то в результате испытания происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные. Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение грани с номером “1”. Сложное событие - выпадение нечетной грани. Введем следующие обозначения: А - событие; w - элементы пространства W; W - пространство элементарных событий;

U - пространство элементарных событий как достоверное событие; V - невозможное событие. Иногда для удобства элементарные события будем обозначать