Теорема Штурма

Введение…3 §1. Предварительные сведения…5 §2. Основные факты…8 §3. Теоремы Штурма…18 Использованная литература…27 Франсуа Штурма. Штурм Жак Шарль Франсуа (Sturm J. Ch. F. – правильное произношение: Стюрм), родился 29 сентября 1803 года в

Женеве. Был членом Парижской академии наук с 1836, а также иностранным членом – корреспондентом Петербургской академии наук с того же года. С 1840 года был профессором Политехнической школы в Париже. Штурм (1824/25) и Раабе (1827) ввели главные формулы сферической тригонометрии при помощи пространственных координат. Теорему Фурье ( Теорема о числе действительных корней между двумя данными пределами ), математика

Жозефа Фурье (Joseph Fourier, 1768-1830), затмила более общая теорема, опубликованная Штурмом в Bull. mathem 1829. Доказательство сам Штурм представил только в одной премированной работе 1835г. Коши Огюстен (Cauchy Augustin, 1789-1857) распространил теорему Штурма на комплексные корни (1831). Дополнение к ней дал также Сильвестр Джемс Джозеф (Sylvester Y.Y 1814-1897) в 1839 году и позже.

Основные работы Жана Шарля Штурма относятся к решению краевых задач уравнений математической физики и связанной с этим задачей о разыскивании собственных значений и собственных функций для обыкновенных дифференциальных уравнений. (Задача Штурма-Лиувилля, о нахождении отличных от нуля решений дифференциальных уравнений : -(p(t)u ¢ ) ¢ +q(t)u= l u, удовлетворяющих граничным условиям вида: А 1 u(a)+B 1 u ¢ (a)=0, A 2 u(b)+B 2 u ¢ (b)=0, (так называемых собственных функций),

а также о нахождении значений параметра l (собственных значений), при которых существуют такие решения. При некоторых условиях на коэффициенты p(t), q(t) задача Штурма-Лиувилля сводилась к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида: -u ¢ ¢ +q(x)u= l u). Эта задача была впервые исследована Штурмом и Жозефом Лиувиллем (Joseph Liouville, 1809-1882) в 1837г. и закончена в 1841 г.

Также Жак Штурм дал общий метод для определения числа корней алгебраических уравнений, лежащих на заданном отрезке, названный правилом Штурма, который позволяет находить непересекающиеся интервалы, содержащие каждый по одному действительному корню данного алгебраического многочлена с действительными коэффициентами (уже упоминалось выше). Ему принадлежат ряд работ по оптике и механике. Штурм Жак Шарль Франсуа умер 18 декабря 1855года. § 1.

Предварительные сведения Среди дифференциальных уравнений, наиболее часто используемых в математике и физике, следует выделить линейное уравнение второго порядка, имеющее вид u"+ g(t)u' + f(t)u=h(t) (1.1) или (р (t) и')' + q (f) и = h(t) . (1.2) Как правило, если не оговорено противное, предполагается, что функции (t), g (f), h (f) и р (f) № 0, q (t), входящие в эти уравнения, являются непрерывными (вещественными или комплексными) на некотором t -интервале J , который может быть как ограниченным, так и неограниченным.

Причина, по которой предполагается, что р(t) № 0, скоро станет ясной. Из двух выражений (1.1) и (1.2) последнее является более общим, поскольку уравнение (1.1) может быть записано в виде (p(t) и')' + р(t) f(t)u= р (t) h (t), (1.3) если определить p(t) следующим образом: (1.4) при некотором a€J . Частичное обращение этого утверждения также верно, поскольку если функция р(t) непрерывно дифференцируема, уравнение (1.2) можно записать в виде , а это уравнение имеет вид (1.1).

В случае, если функция р (t) непрерывна, но не имеет непрерывной производной, уравнение (1.2) не может быть записано в виде (1.1). Тогда уравнение (1.2) можно интерпретировать как линейную систему из двух уравнений первого порядка для неизвестного двумерного вектора : , . (1.5) Другими словами, решение и = и (t) уравнения (1.2) должно быть такой непрерывно дифференцируемой функцией, что функция р(t) u'(t) имеет непрерывную производную, удовлетворяющую (1.2).

Если р(t) № 0 и q(t), h(t) непрерывны, к системе (1.5) , а потому и к уравнению (1.2) применимы стандартные теоремы существования и единственности для линейных систем (Мы можем рассматривать также более общие (т. е. менее гладкие) типы решений, если предполагать, например, только, что функции 1/ p(t), q (t), h (t) локально интегрируемы.) Частному случаю уравнения (1.2) при соответствует уравнение и" + q(t) u = h(t). (1.6) Если функция принимает вещественные значения, уравнение (1.2) может быть приведено

к такому виду с помощью замены независимых переменных , т.е. (1.7) при некотором a € J. Функция s = s (t) имеет производную и потому строго монотонна. Следовательно, функция s = s ( t) имеет обратную t= t (s), определенную на некотором s -интервале. После введения новой независимой переменной s уравнение (1.2) переходит в уравнение (1.8) где аргумент t выражений p(f)q(t) и p(t) h(f ) должен быть заменен функцией t = t(s).

Уравнение (1.8) является уравнением типа (1.6). Если функция g (t) имеет непрерывную производную, то уравнение (1.1) может быть приведено к виду (1.6) с помощью замены неизвестной функции и на z : (1.9) при некотором a € J . В самом деле, подстановка (1.9) в (1.1) приводит к уравнению (1.10) которое имеет вид (1.6). В силу сказанного выше, мы можем считать, что рассматриваемые уравнения второго порядка в общем случае имеют вид (1.2) или (1.6). Утверждения, содержащиеся в следующих упражнениях, будут часто

использоваться в дальнейшем. § 2. Основные факты Прежде чем перейти к рассмотрению специальных вопросов, мы получим следствия, касающиеся однородного и неоднородного уравнений (2.1) (2.2) Для этого перепишем скалярные уравнения (2.1) или (2.2) в виде системы двух уравнений (2.3) (2.4) где векторы х= (х 1 , х 2 ), у == (у 1 , y 2 ) совпадают с векторами , , A(t)- матрица второго порядка : (2.5) Если не оговорено противное, то предполагается, что , q (t),

h (t) и другие коэффициенты являются непрерывными комплексными функциями на t -интервале J (который может быть замкнутым или незамкнутым, ограниченным или неограниченным). (i) Если и , - произвольные комплексные числа, то задача Коши для уравнения (2.2) , (2.6) имеет единственное решение, существующее при всех , см. лемму IV. 1.1. (ii) В частном случае (2.1) уравнения (2.2) и при соответствующим единственным решением служит

функция . Поэтому, если есть решение уравнения (2.1), то нули функции и (t) не могут иметь предельной точки в J. (iii) Принцип суперпозиции. Если , - решения уравнения (2.1), a , - постоянные, то функция является решением уравнения (2.1). Если - решение уравнения (2.2), то функция также является решением уравнения (2.2) тогда и только тогда, когда функция удовлетворяет уравнению (2.1). (iv) Если , - решения уравнения (2.1), то соответствующие векторные решения системы (2.3) , линейно независимы

(в каждой точке t ) тогда и только тогда, когда функции , линейно независимы в том смысле, что равенство , где и - постоянные, влечет за собой . (v) Если , - решения уравнения (2.1), то существует постоянная с, зависящая от и (t) и v (t) и такая, что для их вронскиана W (t) = W (t; и, v) выполняется тождество . (2.7) Поскольку матричным решением системы (2.3) является , det X(t)=p(t)W(t) и trA( t )=0. (vi) Тождество Лагранжа.

Рассмотрим пару уравнений , , (2.8) где f=f(t), g = g (t) - непрерывные функции на J. Если умножить второе уравнение на и, первое-на v и результаты вычесть, мы получим, что , (2.9) так как . Соотношение (2.9) называется тождеством Лагранжа. Его интегральная форма (2.10) где , называется формулой Грина. (vii) В частности, из (v) следует, что и(t) и v(t) - линейно независимые решения уравнения (2.1)

тогда и только тогда, когда в (2.7) . В этом случае всякое решение уравнения (2.1) является линейной комбинацией функций и(t) и v ( t ) с постоянными коэффициентами. (viii) Если (например, ), то вронскиан любой пары решений и(t), v(t) уравнения (2.1) равен постоянной . (ix) В соответствии с результатами общей теории, в случае, когда известно одно решение уравнения (2.1), отыскание других решений v(t) этого уравнения (по крайней мере локально) сводится к решению некоторого скалярного

дифференциального уравнения первого порядка. Если на подинтервале , этим уравнением служит уравнение (2.7 ), где и - известная функция, а v - искомая . Если поделить (2.7) на , то это уравнение запишется в виде , (2.11) а после интегрирования мы будем иметь