Применение дифференциальных уравнений для решения задач естествознания

Министерство общего и профессионального образования Омский Государственный Педагогический Университет Математический факультет Заочное отделение Кафедра математического анализа Дипломная работа Применения дифференциальных уравнений для решения задач естествознания Выполнила Ушакова Маргарита Михайловна Научный руководитель ст. преподаватель

Еропкин Ю. П. г. Омск 2001г. План. Введение 3Часть I.Основы теории дифференциальных уравнений.1. Общие сведения.2.Обыкновенные уравнения первого порядка. 1.Основные понятия. 2.Уравнения с разделнными и разделяющимися переменными. 3. Линейные уравнения. 4. Уравнение Бернулли. 5. Уравнения в полных дифференциалах.3.Обыкновенные уравнения высших порядков.

1. Основные понятия. 2. Понижение порядка дифференциального уравнения. 3. Линейные дифференциальные уравнения n - го порядка. 4. Однородные уравнения с постоянными коэффициентами. 5. Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.4.Дифференциальные уравнения в частных производных. 1. Линейные уравнения первого порядка.

2. Некоторые уравнения математической физики.15Часть II.Применение дифференциальных уравнений для решения задач по дисциплинам естественно - научного цикла.1.Математическое моделирование.2. Решение физических задач 3. Решение геометрических задач 4. Решение задач по биологии 5. Решение задач по химии43Заключение48Список литературы49

Введение. Многочисленные задачи естествознания, техники и механики, биологии, медицины и других отраслей научных знаний сводятся к математическому моделированию процессов в виде формулы, т.е. в виде функциональной зависимости. Так, например, переходные процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью дифференциальных уравнений. Вс это и явилось главной причиной выбора темы работы.

Материалом для данной работы послужила теория дифференциальных уравнений и наиболее известные задачи естествознания, решаемые с помощью дифференциальных уравнений. Целью настоящей работы является рассмотрение возможности применения дифференциальных уравнений для решения задач по дисциплинам естественно научного цикла. Достижение предполагаемой цели связано с решением частных задач 1.

Описать теоретические основы дифференциальных уравнений 2. Рассмотреть некоторые примы решения задач с помощью дифференциальных уравнений по физике, геометрии, биологии и химии. Концепция работы строится на основе имеющихся по проблеме исследований теории дифференциальных уравнений И. А. Зайцева, Н. Я. Виленкина, И. И. Баврина и др. Творчески осмыслены и подходы к математическому моделированию, предложенные в исследованиях

М. П. Лапчика и Ю. А. Владимирова. Методы исследования опираются на принципы функционального, сравнительного и сопоставительного изучения математических явлений. Работа состоит из двух основных частей - теоретическая часть рассматривает основные понятия теории дифференциальных уравнений практическая часть собственно решения задач из курса естествознания с помощью дифференциальных уравнений. Часть I. Основы теории дифференциальных уравнений.

1.1 Общие сведения. Уравнение называется дифференциальным, если, кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, оно содержит производные неизвестных функций или их дифференциалы. Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если неизвестные функции зависят от одной независимой переменной. Дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных, если оно содержит несколько независимых переменных, функции этих переменных и частные производные этих функций.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение. Решением дифференциального уравнения называется система функций, подстановка которых вместо неизвестных обращает уравнение в тождество. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений решения могут быть общими, частными и особыми. Общими решениями дифференциальных уравнений называются решения, содержащие столько произвольных постоянных,

каков порядок уравнения. Частными решениями дифференциальных уравнений называются решения, получающиеся из общих при частных значениях произвольных постоянных. Особыми решениями дифференциальных уравнений называются решения, которые вообще не содержатся в общих решениях, т.е. не получаются из них при частных значениях произвольных постоянных. Решения дифференциальных уравнений в частных производных содержат произвольные функции.

Частное решение получается надлежащим выбором произвольных функций. 1.2 Обыкновенные уравнения первого порядка. 1. Основные понятия Обыкновенным уравнением первого порядка называется уравнение вида Fx, y, y 0, где F известная функция трех переменных, x независимая переменная, y неизвестная функция, y ее производная. Fx, y, y 0 неявный вид уравнений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида y fx,y или Мх,у dx Nх,у dy 0 называют уравнениями в нормальной форме в явном виде. Функция y цx при всех x из a, b называется решением дифференциального уравнения, если она при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Соотношение Фх,у,С 0 называется общим интегралом уравнения, если у как неявная функция решение дифференциального уравнения.

Частный интеграл получается из общего при частном значении С. Особый интеграл не содержится в общем интеграле. График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой. Условия у у0 при х х0 в силу которых функция y цx принимает заданное значение у0 в заданной точке х0, называют начальными условиями решения. Если дифференциальное уравнение первого порядка y fx, y, имеет

решение, то решений у него, вообще говоря, бесконечно много и эти решения могут быть записаны в виде y цx,C, где C произвольная константа. Выражение цx,C называют общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка если - при всех допустимых значениях C функция y цx,C является решением уравнения, y fx, цx,C - при любых начальных условиях решения существует единственное значение константы

C С0 такое, что функция y цx, С0 удовлетворяет данным начальным условиям цx0, С y0. Выражение цx,С0 называют частным решением дифференциального уравнения 1-го порядка. Оно получается из общего решения y цx,C при определнном значении константы C С0. Задача об отыскании частного решения дифференциального уравнения называют задачей Коши. Геометрически общее решение y цx,C - система интегральных кривых на плоскости

Оху, зависящее от одной произвольной постоянной C , а частное решение цx,С0 - одна интегральная кривая этого семейства, проходящая через заданную точку x0, y0. 1.2.2. Уравнения с разделнными и разделяющимися переменными. Уравнением с разделнными переменными называется уравнение вида f1xdx f2уdy где f1x и f2у непрерывные функции. Переменными здесь считаются величины х и у.

Это самый простой тип уравнений. Решение его находится непосредственным интегрированием f1xdx - f2уdy С, где C произвольная постоянная. Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида y f1x f2у где f1x и f2у непрерывные функции. Пример. Решить уравнение y у x. Решение. В данном уравнении f1x 1х и f2у у. Разделяя переменные, получаем Интегрируя, имеем Для упрощения записи обозначили произвольную постоянную

через , что возможно, т.к. может принимать любое значение от - до . Потенцируя, находим уС1х, что эквивалентно уравнению у С1 х. Полагая С1 С, окончательно получаем у Сх. 1.2.3. Линейные уравнения. Уравнение вида y px y fx, где px и fx непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Если fx 0, то уравнение y px y fx называется линейным однородным уравнением

y px y 0. Очевидно, что однородное линейное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и его общее решение вычисляется по формуле где C произвольная постоянная. Если fx 0, то уравнение y px y fx называется линейным неоднородным уравнением. Решение неоднородного уравнения находится по методу вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что исходное уравнение записывается в форме y uцx, где цx e - px dx.

Общее решение имеет вид 1.2.4. Уравнение Бернулли. Уравнение вида y px y fxуn, где px и fx непрерывные функции, называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли решается, так же как и линейное, подстановкой у uv или вариацией произвольной постоянной. К линейному уравнению сводится подстановкой z y n 1 . 1.2.5. Уравнения в полных дифференциалах. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

Px y dx Qx y dy 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если левая его часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции Fx y в некоторой области G. Решение такого уравнения имеет вид 1.3. Обыкновенные уравнения высших порядков. 1.3.1. Основные понятия Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида Fx, y, y, y, yn 0, где F - известная функция n2 переменных x - независимая переменная, y - неизвестная

функция, n - порядок уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной - уравнения, записанные в нормальной форме yn fx, y, y, y, yn-1. Функция yx называется решением дифференциального уравнения n-го порядка, если она n раз непрерывно дифференцируема на промежутке a, b и удовлетворяет уравнению для всех x из a, b. Общим решением уравнения называется функция у цх,

С1 ,Сn, содержащая n произвольных постоянных и обращающая уравнение в тождество. Соотношение Фх, у, С1 ,Сn 0 определяющее общее решение как неявную функцию независимой переменной, называется общим интегралом уравнения. График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений. Чтобы выделить единственное решение уравнения, т. е. решить задачу

Коши, достаточно определить начальные условия yx0 y0 yx0 y0,1 yx0 y0,2 yn-1x0 y0,n-1. При определенных ограничениях на правую часть уравнения эта задача имеет единственное решение. 1.3.2. Понижение порядка дифференциального уравнения. Важным методом решения уравнения Fx, y, y, y, yn 0 является замена переменных, приводящая к уравнениям низшего порядка. Пример 1. Уравнение Последовательным интегрированием получаем общее решение у fx dxn

C1xn-1 C2xn-2 Cn, или Пример 2. Уравнение Fx, yk, yk1 yn 0 заменой приводится к уравнению Fx, u, u un - k 0. Используя решение последнего уравнения u ux, находим у из уравнения Пример 3. Уравнение Fу, у, у уn 0 сводится к уравнению n 1 порядка после замены Пример 4. Уравнение Fx, у, у уn 0 называется однородным порядка k относительно у, у уn, если имеет место тождество Fx, kу, kу kуn tk Fx, у, у уn 0. Порядок уравнения понижается на 1 заменой 1.3.3.

Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка. Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида yn a1x yn-1 an-1 x y anx y fx, где y yx неизвестная функция, a1x, a2x, an-1x, anx, fx известные непрерывные функции. Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n -го порядка Ly yn a1x yn-1 an-1 x y anx y . Уравнения yn a1x yn-1 an-1 x y anx y 0 и yn a1x yn-1 an-1 x y anx y

fx, где fx 0, называются соответственно однородным и неоднородным линейным дифференциальными уравнениями n - го порядка. Часто однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения записывают в виде Ly 0 и Ly fx соответственно. Если в однородном уравнении aix i 1, 2 n те же самые, как и в неоднородном, то однородное уравнение называется соответствующим данному неоднородному уравнению. Если y1, y2 yk частные решения однородного линейного уравнения

Ly0, то их линейная комбинация y c1 y1 c2 y2 ck yk при произвольных постоянных c1, c2 ck так же является решением того же уравнения. Система функций y1 y1x y2 x ynx называется линейно независимой, если их линейная комбинация c1 y1 c2 y2 cn yn ни при каких значениях c1, c2 cn, кроме c1 c2 ck 0, не обращается тождественно в нуль. Если функции y1, y2 . yk линейно независимые частные решения однородного линейного уравнения, то их называют фундаментальной системой решений.

Общее решение однородного уравнения имеет вид y c1 y1 cn yn, где y1 yn фундаментальная система решений, cj произвольные постоянные. Последние можно определить так, чтобы частное решение удовлетворяло начальным условиям у у0 уn 1 у0n 1 при х х0. Если известен частный интеграл y1x однородного уравнения, то подстановкой z yy1, а затем z u получим линейное уравнение порядка n 1. Общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения

и общего решения соответствующего однородного уравнения. Если известно общее решение c1 y1 cn yn соответствующего однородного уравнения, то решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольных постоянных. Решение имеет вид у с1ху1 с2ху2 сnхуn, где неизвестные функции сjх находятся из системы уравнений относительно Решив систему и получив находим сj ц хdx Аj, где Аj постоянные интегрирования.

1.3.4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида yn a1 yn-1 an-1 y an y 0, где y yx искомая функция, a1, a2, an-1, an вещественные числа. Решением такого уравнения является функция ekx, где k корень характеристического уравнения kn a1kn 1 an 1 k an 0. Если все корни k1, k2 kn различны, то ek1x, ek2x ekтx фундаментальная система решений и

y c1ek1x c2ek2x cnekтx общее решение однородного уравнения с1, ,сn произвольные постоянные. Если корни k комплексные, то они при вещественных a1, a2, an-1, an попарно сопряжнные. Например kr б вi, kr1 б - вi, тогда и заменяются действительными функциями ебхcosвx и ебхsinвx с получением новой фундаментальной системы. Если корень k ks имеет кратность m, то в фундаментальную систему решений, кроме , надо включить функции Если корень k б вi корень кратности m б вi корень той же кратности, если

a1, a2, an-1, an вещественные, то в фундаментальную систему решений входят функции 1.3.5. Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами yn a1 yn-1 an-1 y an y fx решается методом вариации произвольных постоянных. Его частное решение можно найти по формуле Здесь Y решение соответствующего однородного уравнения с условиями

Y0 0, Y0 0 Yn 2 0, Yn 1 1. Общее решение имеет вид Здесь z общее решение соответствующего однородного уравнения. В случае, когда fx eax Px cos bx Qx sin bx, где P и Q многочлены от x, частное решение уравнения находится методом неопределнных коэффициентов. Если a bi не является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения,

то решение подбирается в форме правой части fx eax P1x cos bx Q1x sin bx. Если a bi корень кратности m характеристического уравнения, то решение подбирается в форме xmeax P1x cos bx Q1x sin bx. Здесь P1 и Q1 - многочлены от x с неопределнными коэффициентами степени, совпадающей с наибольшей из степеней P и Q. Если fx f1xf2x, то частное решение где 1.4. Дифференциальные уравнения в частных производных.

1.4.1. Линейные уравнения первого порядка. Решение однородного линейного дифференциального уравнения в частных производных где x1, x2 xn независимые переменные, X1, X2 Xn зависят от x1, x2 xn и имеют непрерывные производные, z искомая функция, равносильно решению системы обыкновенных уравнений Если цx1, x2 xn Ci , i1, 2 n 1 искомое решение этой системы, тоz Фц1, ц2 цn 1 общее решение уравнения в частных производных, причм

Ф произвольная дифференцируемая функция своих n 1 аргументов. В случае неоднородного уравнения где Xi, R зависят от x1, x2 xn, z, общий интеграл z определяется из равенства Фц1, ц2 цn 1 0, где Ф произвольная дифференцируемая функция, а цx1, x2 xn, z Ci , i1, 2 n 1 система интегралов системы уравнений 1.4.2. Некоторые уравнения математической физики. Наиболее часто встречаются на практике линейные уравнения 2

порядка, называемые уравнениями математической физики. 1. Волновое уравнение описывает колебания некоторой среды 2. Телеграфное уравнение 3. Уравнение распространения тепла 4. Уравнения теории потенциала Дu 0 уравнение Лапласа Дu 4рс x, y, z уравнение Пуассона. При решении уравнений второго порядка, обычно ищут частное решение,

удовлетворяющее начальным и граничным условиям. Часть II. Применение дифференциальных уравнений для решения задач по дисциплинам естественно - научного цикла. Дифференциальные уравнения являются одним из самых популярных и мощных средств математического решения практических задач. Особенно широко они используются для решения задач естественно - научного цикла теоретической механики, физики, химии и биологии. Во многих задачах геометрической оптики, геодезии,

картографии и других областей естествознания возникает необходимость нахождения кривых по заданным свойствам проведенных к ним касательным. Обычно такие геометрические задачи решаются так же с помощью дифференциальных уравнений. 2.1. Математическое моделирование. В математическое исследование любой задачи реального мира можно выделить три основных этапа - построение математической модели явления - изучение этой математической модели и получение решения соответствующей

математической задачи - приложение полученных результатов к практическому вопросу, из разрешения которого возникла данная математическая модель, и отыскание других вопросов, к которым она приложима. При построении математической модели явления или процесса необходимы его идеализация и формализация. При идеализации явления отделяются условия, существенно влияющие на него, от условий, не оказывающих существенного влияния. Классическим примером идеализированной модели является схема изучения движения

маятника - математический маятник. В этом случае пренебрегают размерами и формой груза, сопротивлением воздуха, трением в точке подвеса, гибкостью нити и пр. Исследование этой идеализированной схемы можно уже формализовать, составив дифференциальное уравнение. Затем, необходимо исследовать, в каких границах допустимы сделанные приближения, как будет меняться условие при учте отброшенных факторов и т. д. Следует выяснить, какие ещ явления описываются той же

самой формализованной математической моделью. 2.2. Решение физических задач с помощью дифференциальных уравнений. В соответствии со сказанным в п.2.1 решение физической задачи реальной жизни должно последовательно проходить в три этапа - составление дифференциального уравнения - решение этого уравнения - исследование полученного решения. При этом рекомендуется следующая последовательность действий 1.

Установить величины, изменяющиеся в данном явлении, и выявить физические законы, связывающие их. 2. Выбрать независимую переменную и функцию этой искомой переменной. 3. Исходя из условий задачи, определить начальные или краевые условия. 4. Выразить все фигурирующие в условии задачи величины через независимую переменную, искомую функцию и производные этой функции. 5. Исходя из условий задачи и физического закона, которому подчиняется данное

явление, составить дифференциальное уравнение. 6. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения. 7. По начальным или краевым условиям найти частное решение. 8. Исследовать полученное решение. Во многих случаях составление дифференциального уравнения основывается на так называемой линейности процесса в малом, т. е. на дифференцируемости функций, выражающих зависимость величин. Как правило, можно считать, что все участвующие в том или ином процессе величины в течение

малого промежутка времени изменяются с постоянной скоростью. Это позволяет применить известные из физики законы, описывающие равномерно протекающие явления, для составления соотношения между значениями t, t Дt, т. е. между величинами, участвующими в процессе, и их приращениями. Получающееся равенство имеет лишь приближнный характер, поскольку величины меняются даже за короткий промежуток времени, вообще говоря, неравномерно.

Но, если разделить обе части получившегося равенства на Дt и перейти к пределу, когда Дt 0, получится точное равенство. Оно содержит время t, меняющиеся с течением времени физические величины и их производные, т. е. является дифференциальным уравнением, описывающим данное явление. То же самое уравнение в дифференциальной форме можно получить, заменив приращение

Дt на дифференциал dt, а приращение функций - соответствующими дифференциалами. Таким образом, при составлении дифференциального уравнения мы делаем как бы мгновенный снимок процесса в данный момент времени, а при решении уравнения по мгновенным снимкам восстанавливаем течение процесса. Общая идея замены функций на малых промежутках аргумента линейными функциями, лежащая в основе решения физических задач с помощью дифференциальных уравнений, называется линеаризацией.

И хотя встречаются процессы, для которых линеаризация невозможна например, броуновское движение, описываемый метод в подавляющем большинстве случаев действует безотказно. Задача 1. В дне цилиндрического сосуда, наполненного водой и имеющего высоту Н и радиус основания R, сделано небольшое отверстие площади S рис.1. За какой промежуток времени через отверстие вытечет вся вода, если треть воды вытекает за t1

секунд Решение. Если бы истечение воды происходило равномерно, то решение задачи было бы тривиальным вся вода вытечет за время 3t1 c. Но, реально, сначала вода вытекает быстро, а по мере снижения уровня воды в сосуде скорость е истечения уменьшается. Таким образом, необходимо учесть зависимость между скоростью истечения v и высотой h столба жидкости над отверстием. Опыты Торричелли показали, что скорость приближнно выражается формулой , где q ускорение свободного

падения и k безразмерный коэффициент, зависящий от вязкости среды и формы отверстия для воды в случае круглого отверстия k 6. Сделаем мгновенный снимок процесса истечения жидкости за промежуток времени t, t Дt. Пусть в начале этого промежутка высота жидкости над отверстием равнялась h, а в конце его она понизилась и стала h Дh, где Дh приращение высоты которое, очевидно, отрицательно. Тогда объм жидкости, вытекшей из сосуда, равен объму цилиндра с высотой

Дh - Дh и площадью основания рR2 Дh. Эта жидкость вылилась в виде цилиндрической струйки, имеющей площадь основания S. Е высота равна пути, пройденному вытекающей из сосуда жидкостью за промежуток времени t, t Дt. В начале этого промежутка времени скорость истечения равнялась по закону Торричелли , а в конце его она равнялась Если Дt весьма мало, то и Дh тоже очень мало и потому полученные выражения для скорости практически одинаковы, а путь, пройденный

за промежуток времени t, t Дt, выражается формулой где объм вылившейся из сосуда за промежуток времениt, t Дt жидкости. Приравнивая два выражения для объма жидкости, вылившейся из сосуда за промежуток времени t, t Дt, получаем уравнение Недостатком уравнения 1 является то, что нам не известно выражение для б. Для устранения этого недостатка, разделим обе части уравнения 1 на Дt и перейдм к пределу при Дt 0. Учитывая, что Получаем дифференциальное уравнение

Для решения уравнения 2, разделим переменные и обозначим для краткости дробь через А Получаем уравнение Интегрируя обе части, получаем Мы получили зависимость между t и h, в которую входят две постоянные А и С. Постоянная А зависит от размеров и формы отверстия, вязкости жидкости и других физических параметров, а постоянная С возникла в ходе решения задачи. Их значения нам не известны, но их можно найти, учтя

не использованные ещ условия задачи. Для нахождения С используем начальные условия в начале истечения жидкости сосуд был наполнен, т. е. при t 0 высота h H. Подставляя в формулу 3 t 0, h H, получаем Равенство 3 можно переписать в виде Для нахождения А, учтм, что за первые t1 минут вытекла треть всей жидкости. Этому соответствует понижение уровня жидкости на H3.

Иными словами, при t t1 имеем h H - H3 2H3. Отсюда находим, что и потому Теперь уже не трудно найти время опорожнения сосуда, т.е. найти такое значение t, при котором h 0 Заметим, что хотя последнее значение t примерно в 1,82 раз больше значения 3t1, которое получилось в предположении, что жидкость вытекает равномерно, оно не является безукоризненно точным, так как мы пренебрегли, например, явлениями капиллярности существенными при малом диаметре отверстия, завихрениями жидкости,

пограничным слоем жидкости и многими иными факторами. Исследуем полученное решение. Подставим в равенство 4 значение найдм t1 и получим, что Ясно, что, чем больше значения R и H размеры сосуда, тем дольше будет вытекать из него жидкость, как это и следует из полученного ответа. Чем больше площадь отверстия S, тем быстрее вытечет жидкость из сосуда. В том же направлении действует и увеличение ускорения q,

а так же коэффициента k чем больше k, тем больше скорость истечения жидкости в формуле Бернулли. Таким образом, формула выдержала испытание на здравый смысл, что в совокупности с испытанием на размерность подтверждает, что задача решена верно. Ответ. Вся вода вытечет через отверстие за промежуток времени Во многих случаях составление дифференциальных уравнений по условию задачи облегчается тем, что соответствующий

закон физики связывает между собой значение некоторой величины и скорости е изменения, либо связывает друг с другом значения величины, скорости е изменения и ускорения. Задача 2. В замкнутую электрическую цепь рис.2 последовательно включены источник тока с ЭДС Еt, меняющейся с течением времени, активное сопротивление R и катушка с индуктивностью L. Как изменяется сила тока с течением времени, если в начальный момент

при t 0 она равнялась нулю Решение. Из курса физики известно, что Et Uакт Uкат, где Uакт - напряжение на активном участке цепи, выражаемое по закону Ома Uакт IR, а Uкат - пропорционально скорости изменения силы тока с коэффициентом пропорциональности L Uкат LI. Имеет место равенство LI RI Et. Разделим обе части уравнения 5на L I RLI Et L. Мы получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка для силы

тока с начальным условием I0 0. Общим решением такого уравнения, согласно п. 1.2.3. является Разберм два случая 1. ЭДС - постоянная величина, Еt Е0. В этом случае из уравнения 6 В силу начального условия I0 0, т. е. 0 E0 1 CR, откуда получим C -1 и потому Отмечаем, что при t получаем, что I E0 R, т. е. после включения постоянной

ЭДС значение возрастает от нуля до значения E0R, даваемого законом Ома рис. 3. 2. ЭДС периодически изменяется по синусоидальному закону E E0 sin щt. В этом случае из уравнения 6 имеем Из начального условия I0 0 находим, что С течением времени при t второе слагаемое стремится к нулю, т. е. Если положить то это равенство можно записать в виде

Ответ. Колебания силы тока - предел синусоидальных синусоидальные колебаний ЭДС со сдвигом фазы. В природе и технике очень широко распространены процессы, в которых какая либо характеристика последовательно отклоняется то в одну, то в другую сторону от своего определнного значения колебательные процессы. Описать колебательный процесс это значит выбрать характерный параметр процесса, зависящий от времени, и составить уравнение колебаний, которому он подчиняется.

Широкое применение при изучении различных колебательных явлений находят линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Задача 3. На вертикальной пружине закреплн груз массой m рис.4. Груз выводят из положения равновесия в вертикальном направлении и потом отпускают. Найти закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха. Решение. Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза, которую

и примем за начало координат. Составим дифференциальное уравнение, опираясь на II закон Ньютона F ma 8 Здесь m масса груза, а ускорение движения, F результирующая всех сил, приложенных к телу. В положении равновесия сила тяжести, проекция которой на ось Ох равна mq, уравнивается упругой силой пружины, которая согласно закону Гука пропорциональна удлинению пружины mq щ л 9 здесь щ - коэффициент жсткости пружины.

Обозначим через xt отклонение груза от положения равновесия. В момент времени t на тело будут действовать две силы сила тяжести mq, тянущая груз вниз, и упругая сила пружины, равная щ л х и направленная вверх. Результирующая сила будет равна F mq щ л х, или в силу 9 F щ х. На основании закона Ньютона 8 получаем mа щ х. 10 В случае прямолинейного движения вдоль оси

Ох ускорение равно xt. Равенство 10 можно записать в виде m x щ х, откуда x щ2 х 0, 11 где щ2 щm 0. Получили дифференциальное уравнение движения тела линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, решения которых рассмотрены в п.1.3.4. Корнями его характеристического уравнения r2 щ2 0 являются комплексные числа r1,2 щi, поэтому общее решение уравнения 11 имеет вид x C1 cos щt C2 sin щt.

Для выяснения физического смысла полученного решения преобразуем его Положим Тогда общее решение уравнения запишется так x Аsin б cos щt cos б sin щt, или x А sin щt б, 12 где А и б новые произвольные постоянные. Величина А называется амплитудой колебания, аргумент щt б фазой колебания, его значение б при t 0 начальной фазой, щ частотой колебания.

Пусть в начальный момент времени t 0 отклонение груза от положения равновесия равно x0, а скорость движения x0, т.е. x0 x0, x0 x0. По этим начальным условиям можно найти амплитуду и начальную фазу. В силу условий при t 0, учитывая равенство xt Ащ cos щt б, получаем Аsin б x0, Ащ cos б x0, откуда Подставив найденные значения А и б в 12, получим Формула 12 выражает закон движения груза.

Из не видно, что груз совершает гармонические колебания около положения равновесия. Частота и период колебания соответственно равны Как видно, частота и период колебания зависят только от жсткости пружины и массы груза, т. е. определяются свойствами самой системы. Амплитуда же колебаний и начальная фаза зависят также от начальных условий x0, x0 см. 12. Ответ. Движение груза на вертикальной пружине - гармонические колебания около положения равновесия.

2.3. Решение геометрических задач. При решении геометрических задач с помощью дифференциальных уравнений рекомендуется следующая последовательность действий - сделать чертж и ввести обозначения - отделить условия. Имеющие место в произвольной точке искомой линии, от условий, выполняющихся лишь в отдельных точках - выразить все упомянутые в задаче величины через координаты произвольной точки и через значение производной в этой точке, учитывая геометрический смысл производной - по условию задачи составить дифференциальное

уравнение - найти общее решение этого уравнения и получить из него с помощью начальных условий уравнение искомой линии. Задача1. Определить поверхность, по которой необходимо отшлифовать зеркало прожектора, чтобы все лучи, выходящие из источника света, помещнного в точке О на оси вращения, отражались бы зеркалом параллельно этой оси рис.5. Решение. Возьмм меридианное сечение поверхности вращения.

Выберем начало координат в точке 0, ось абсцисс направим по оси вращения и обозначим угол между положительным направлением оси абсцисс и касательной к искомой кривой, проведнной в точке Mx y, через б. Тогда по условию задачи имеем LSMT б. Но LOMN LTMN угол падения равен углу отражения, поэтому LOMA LSMT б. Таким образом, треугольник OAM - равнобедренный и

ОАОМ. Из чертежа видно, что АОАР-ОРу сtg б - x. Поскольку сtg б 1 tg б 1y, то АОАР-ОР у y - x. С другой стороны, Получаем дифференциальное уравнение Запишем его в форме Получили однородное дифференциальное уравнение. После подстановки x yu, dx udy ydu, получаем уравнение с разделяющимися переменными Преобразования дают Интегрируя, находим Запишем полученное уравнение в виде

Получаем у 2 - 2Сх С 2, или, приводя к каноническому виду у2 2рх В результате, мы получили семейство парабол, симметричных относительно оси абсцисс, с параметром С и с вершиной, находящейся в точке С2 0, причм фокусы всех этих парабол находятся в точке 0. Ответ. Искомой поверхностью является параболоид вращения, причм источник света находится в фокусе вращающейся параболы. В некоторых случаях решение задач приводит к уравнениям, содержащим искомую функцию под знаком

интеграла, т. е. Так называемым интегральным уравнениям. Такие уравнения после дифференцирования обеих частей иногда сводятся к дифференциальным уравнениям. Задача2. Найти кривую, обладающую следующим свойством для любой точки Мх у центр тяжести криволинейной трапеции, ограниченной осями координат, дугой этой кривой и отрезком, соединяющим точку М с е проекцией на ось абсцисс рис.6, равен абсциссы этой точки.

Решение. Из теории интегрального исчисления известно, что абсцисса центра тяжести данной криволинейной трапеции выражается формулой где t переменная интегрирования, а у уt уравнение искомой кривой. По условию задачи имеем уравнение Это уравнение является интегральным, так как искомая функция в нм содержится под знаком интеграла. Перепишем это уравнение в виде и продифференцируем обе части неравенства по х. Известно, что производная интеграла по верхнему пределу интегрирования равна соответствующему

значению подынтегральной функции, откуда Это уравнение так же является интегральным. Приведм подобные и вторично продифференцируем Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными Согласно п.1.2.2 его общее решение Заметим, что вообще, любое дифференциальное уравнение у fx y с начальными условиями yx0 y0 равносильно интегральному уравнению Ответ. Кривая, для любой точки которой центр тяжести криволинейной трапеции, ограниченной осями координат,

дугой этой кривой и отрезком, соединяющим точку с е проекцией на ось абсцисс, равен абсциссы этой точки является любой параболой из семейства 2.4. Решение задач по биологии. Живой организм представляет собой слишком сложную систему, чтобы его можно было рассматривать сразу во всех подробностях поэтому исследователь всегда выбирает упрощнную точку зрения, подходящую для решения конкретно поставленной задачи. Это сознательное упрощение реальных биосистем и лежит в основе метода

моделирования. Обычно, модели, используемые в биологии, делят на три категории 1. Биологические предметные модели, на которых изучаются общие закономерности, патологические процессы, действие различных препаратов и т. д. К этому классу моделей относят, например, лабораторных животных, изолированные органы. Культуры клеток, суспензии органелл и пр. 2. Физические аналоговые модели, т. е. физические модели, обладающие аналогичным с моделируемым объектом

поведением. Например, деформации, возникающие в кости при различных нагрузках, могут быть изучены на специально подготовленном макете кости. Движение крови по крупным сосудам моделируется цепочкой резисторов, конденсаторов и индуктивных катушек. 3. Математические модели представляют собой системы математических выражений - формул, функций, уравнений и т. д описывающих те или иные свойства изучаемого объекта, явления, процесса. При создании математической модели используют физические закономерности, выявленные при экспериментальном

изучении объекта моделирования. Так, например, математическая модель кровообращения основано на законах гидродинамики. Математическое моделирование, как метод исследования обладает рядом несомненных достоинств. Во-первых, сам метод изложения количественных закономерностей математическим языком точен и экономичен. Во-вторых, проверка гипотез, сформулированных на основе опытных данных, может быть осуществлена путм испытания математической модели, созданной на основе этой гипотезы.

Наконец, математическая модель позволяет судить о поведении таких систем и в таких условиях, которые трудно создать в эксперименте или в клинике, изучать работу исследуемой системы целиком или работу е любой отдельной части. Задача1. Определить во сколько раз увеличится количество бактерий за 9 часов, если в течение 3 часов их количество изменилось от 100 да 200. Решение. Опытным путм установлено, что скорость размножения бактерий, если для них имеется достаточный

запас пищи и созданы другие необходимые внешние условия например, отсутствие подавления бактерий другими видами, пропорциональна их количеству. Пусть х - количество бактерий, имеющееся в данный момент, тогда скорость изменения их количества Так как скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству, то существует такая k, что Разделяем в дифференциальном уравнении переменные Интегрируя, получаем что после потенцирования дат Для нахождения

С используем начальное условие при t 0 х 100. Имеем Се 100, С 100, и, значит, х 100 еkt. Коэффициент е k находим из условия при t 3 х 200. Имеем Искомая функция При t 9 х 800. Ответ. Количество бактерий за 9 часов увеличится в 8 раз. Заметим, что закон, при котором скорость увеличения вещества пропорциональна наличному количеству вещества это, так называемый, закон естественного роста. Эта математическая модель процесса изменения количества

микроорганизмов в колонии в зависимости от времени получена при очень больших предположениях при неограниченных ресурсах питания и пространства для обитания и отсутствии межвидовой борьбы. В природе же, ни в одной из реально существующих колоний такой рост наблюдаться не может. Ответ на вопрос, насколько закон естественного роста отвечает реальному процессу, дат опытная проверка. Очевидно, что на каком-то подмножестве данные будут хорошо согласованы с моделью, а саму модель можно

использовать для прогноза. В 1845 году Ферхюлст - Перл получил уравнение, учитывающее внутривидовую борьбу микроорганизмов. В результате конкурентной борьбы внутри вида за пищу и место распространения, а так же за счт болезней скорость роста снижается. В общем виде уменьшение прироста является некоторой новой функцией от х и Дх, которую обозначим через bх, Дх. Уменьшение количества особей в результате конкуренции тем больше,

чем больше число встреч между особями, т. е. пропорционально произведению хх т. е. х2. Таким образом, bх, Дх д х2 Дt. Тогда Дх е х Дt - д х2Дt. Здесь е - специфическая врожднная скорость размножения популяции, д - коэффициент внутривидовой конкуренции. Разделим обе части последнего уравнения на Дt и переходя к пределу, получим Это и есть уравнение Ферхюлста - Перла. Решением этого уравнения после математических преобразований

и обозначения е д h при t0 0 и х0х0.является Задача2. Найти зависимость между площадью листа дерева, имеющего форму круга от времени, если в 6 часов утра эта площадь равнялась 1 600 см2, а в 18 часов того же дня - 2 500 см2. Решение. Площадь листа имеет форму круга, т. е. пропорциональна длине окружности листа. Скорость увеличения площади листа пропорциональна , к тому же, количеству солнечного света, падающего

на него. Количество солнечного света, пропорционально, в свою очередь, площади листа и косинусу угла между направлением лучей и вертикально к листу. Примем угол между направлением луча Солнца и вертикалью в 6 часов утра и в 18 часов равен 90, а в полдень - 0. Пусть t - время, отсчитываемое от полуночи. Если S - переменная площадь листа, то скорость роста листа где 2рr - длина окружности листа,

Q - количество солнечного света, k1 - коэффициент пропорциональности. Площадь листа S рr2, откуда Тогда По условию Q k2 S cos б, где б - угол между направлением лучей и вертикалью, k2 - коэффициент пропорциональности. Угол б - линейно возрастающая функция аргумента t б k3 t b. Параметры k3 и b находим из дополнительных условий при t 6 б -р2, при t 12 б 0, при t 18 б р2.

Из двух последних условий имеем 0 12k3 b, р2 18k3 b. Решая эту систему, получаем k3 р12, b - р. Следовательно, Подставляя значение б в 2, имеем Q k2 S cos р t - 12 12. Из уравнения 1 получаем Обозначим k k1k2. После разделения переменных, имеем Интегрируя, получаем Из начальных условий при t 6 S 1600, при t 18

S 2500 имеем Решая эту систему, получим Подставляя эти значения в 3, получаем откуда Ответ. Зависимость между площадью листа дерева, имеющего форму круга от времени выражается формулой 4. Задача3. Найти зависимость между высотой дерева и временем его роста. Решение. Известно, что даже в самых благоприятных условиях все деревья независимо от породы растут сначала быстро, а затем их рост замедляется, пока, наконец, совсем не прекращается.

С ростом кроны, с одной стороны, увеличивается приток энергии благодаря фотосинтезу, а с другой увеличиваются трудности, связанные, например, с транспортировкой питательных веществ, и, следовательно, увеличивается расход энергии на подобные нужды. В конце концов, притока энергии уже не хватает для покрытия расходов, и дерево перестат расти. На основе этих соображений можно сформулировать основные предположения, на основе которых будет основано составление уравнения энергетического баланса, т. е. построена математическая

модель. 1. Зрелое растение в процессе роста сохраняет геометрическое подобие, т. е. у зрелого растения с ростом не меняются отношения геометрических размеров, например, отношение высоты к диаметру и т. п. 2. Свободную энергию или активное вещество дерево получает только путм фотосинтеза. 3. Свободная энергия расходуется на фотосинтез, на строительство живой ткани рост и на подъм раствора из почвы. 4. В среднем за большие отрезки времени растение получает постоянное количество света на единицу

поверхности и может поглощать необходимые вещества из неограниченного запаса. Составим уравнение энергетического баланса. Обозначим за х линейный размер растения тогда высота растения х, площадь поверхности листьев х2, объм растения будет выражаться величиной х3, причм х изменяется со временем х хt. При этом пусть хt00. Попытаемся выразить все величины, входящие в уравнение энергетического баланса, через х. Найдм, сначала, выражение для поступающей свободной энергии

Е. Эта энергия образуется благодаря фотосинтезу в зелной части растения, и е тем больше, чем больше поверхность зелной части. Таким образом, можно считать, что Е пропорциональна х2 Е б х2, где б коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров и формы листьев и от интенсивности фотосинтеза. Других источников энергии в силу наших предположений нет. Проследим, теперь, за расходом энергии. Прежде всего, энергия тратится на нужды самого процесса фотосинтеза.

Этот расход также пропорционален х2, и мы можем записать его в виде в х2, где в б некий коэффициент пропорциональности. Далее энергия расходуется на транспортировку питательного раствора во все части растения. Ясно, что этот расход будет тем больше, чем больше путей транспортировки, т. е. чем больше объм растения. Кроме того, этот расход связан с преодолением силы тяжести и, следовательно, будет тем больше, чем на большую высоту приходится поднимать питательные вещества.

Таким образом, этот расход пропорционален и х3, и х т .е. равен г х3 х. Наконец, энергия расходуется на увеличение массы растения. Этот расход пропорционален скорости роста, т. е. производной массы m сх3 с - средняя плотность растения, х3 - объм по времени. Согласно закону сохранения энергии, расход энергии должен быть равен е притоку или Это и есть искомое балансное соотношение. Разделим обе части уравнения на 3дсх2 и обозначим

Получаем Перепишем дифференциальное уравнение в виде Тогда Заметим, что производная dxdt 0, так как рост дерева увеличивается. Значит, a - bx2 0, и, следовательно, x2 a b, т. е. можно воспользоваться методом непосредственного интегрирования дляx ссправедливо равенство Тогда, имеем Учтм начальное условие хt00, т. е. С - t0 и, значит

Разрешая это уравнение относительно х, имеем окончательно Полученная формула 5 дат кривую роста дерева. Если известны a, b и t0 эти величины зависят от породы дерева, то можно подсчитать средний рост дерева данной породы в зависимости от возраста. Ответ. Зависимость роста дерева от времени его роста выражается формулой 5. Вид кривой 5 нетрудно исследовать. Найдм вторую производную

Кривая 5 - выпуклая растущая кривая, а так как то график кривой легко представить. 2.5. Решение задач по химии. Многие процессы химической технологии описываются дифференциальными уравнениями - начиная от кинетических исследований и заканчивая химическими технологическими процессами Это обусловлено следующим. Сущность химических реакций сводится к разрыву связей в исходных веществах и возникновению новых связей в продуктах реакции. При этом общее число атомов каждого элемента до и

после реакции остатся постоянным. Изменение концентрации с одного из реагирующих веществ в единицу времени t при постоянном объме называют скоростью химической реакции При этом безразлично, о каком из участвующих в реакции веществе идт речь все они связаны уравнением реакции, и по изменению концентрации одного из веществ можно судить о соответствующих изменениях всех остальных. С другой стороны, для осуществления химической реакции между веществами

А и В, протекающей по формуле необходимо столкновение их молекул частиц. Чем больше столкновений, тем быстрее протекает реакция. Число же столкновений тем больше, чем выше концентрация реагирующих веществ. Отсюда на основе обширного экспериментального материала сформулирован закон действующих масс скорость химических реакций пропорциональна произведению концентраций реагирующих веществ.

Этот закон выражается уравнением где сАi - концентрации веществ Аi где i 1 n, k - коэффициент пропорциональности, называемый константой скорости реакции. Получили зависимость скорости реакции от концентрации и от е производной. Такие зависимости, согласно п 1.1. представленной работы, и связываются дифференциальными уравнениями. В химии часто различают реакции по общему числу молекул, входящих в левую часть химического уравнения,

которое называется порядком химической реакции. Так, А В - реакция первого, а А В С D - реакция второго порядка. Задача1. Вещество А превращается в вещество В. Определить первоначальное количество вещества А и время, когда останется половина этого вещества, если спустя 1 час после начала реакции осталось 44,8 г вещества А. А после 3 часов 11,2 г. Решение. Здесь имеет место реакция первого порядка, n 1.

Обозначим через а - первоначальное количество вещества А, через х - количество вещества, прореагировавшего за время t от начала реакции, тогда дифференциальное уравнение имеет вид Разделяя в уравнении переменные и, затем, интегрируя, получаем Понятно, что при t 0 x 0, имеем С а, и, значит Используя дополнительные условия при t 1 x а - 44,8, при t 3 x а - 11,2, имеем а - 44,8 а1 - е-k, а -

11,2 а1 - е-k, или Найдм искомое время распада половины этого вещества. Имеем Такой же результат можно было получить сразу после определения а 89,6 г, заметив, что 89,6 - 44,8 44,8 г - половина первоначального количества вещества, оставшаяся спустя 1 час после начала реакции по условию. Ответ. Первоначальное количество вещества А равно 86,9 г, время, когда останется половина этого вещества -1 час.

Полученный результат хорошо соотносится с теорией радиоактивного распада, там, например, часто распад характеризуют не постоянной k, а временем распада половины наличных атомов - периодом полураспада. Уравнение 1 не противоречит, открытому в 1905 году фон Швейдлером закону радиоактивного распада, по которому количество нераспавшихся атомов при естественно радиоактивном распаде экспоненциально уменьшается с течением времени.

Задача2. В реакции омыления уксусноэтилового эфира гидроксидом натрия первоначальные концентрации указанных веществ а 0, 01 и в 0, 002 соответственно. Спустя 23 минуты концентрация уксусноэтилового эфира уменьшилась на 10. За какое время она уменьшится на 15 Решение. СН3СООС2Н5NaOHСН3СООNaС2Н5OHУксусноэтило вый эфирГидроксид натрияАцетат натрияЭтиловый спирт Здесь имеет место уравнение второго порядка, n 1. Обозначим через а - первоначальное количество уксусноэтилового

эфира, через b - первоначальное количество гидроксида натрия, через х - количество и одного, и другого вещества, прореагировавшего за время t от начала реакции x a, x b, тогда дифференциальное уравнение имеет вид Разделяя в уравнении переменные и, затем, интегрируя, получаем Понятно, что при t 0 x 0, имеем и, значит Коэффициент пропорциональности k определяем из дополнительного условия при t 23 мин х 0, 01 0, 1 0, 001. Имеем Найдм искомое время.

Имеем Ответ. Концентрация уксусноэтилового эфира уменьшится на 15 за 47, 9 минут. Аналогично рассматриваются и реакции более высоких порядков. Заключение. Изучение большого круга задач естествознания, техники и механики, биологии, медицины и других отраслей научных знаний показывает, что решение многих из них сводится к математическому моделированию процессов в виде формулы, т.е. в виде функциональной зависимости.

Так, например, некоторые процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью уравнений, в которых кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, содержатся производные неизвестных функций или их дифференциалы. Такие уравнения называются дифференциальными. Вот почему возможности применения дифференциальных уравнений для решения задач по дисциплинам естественно

научного цикла довольно широки. В представленной работе - описаны теоретические основы дифференциальных уравнений - рассмотрены некоторые примы решения задач с помощью дифференциальных уравнений по физике, геометрии, биологии и химии. В ходе работы, возникла необходимость более полного, чем предполагалось, изучения основ моделирования реальных объектов. Практическая ценность метода математического моделирования заключается в следующем - правильно составленная и всесторонне использованная математическая модель

позволяет оптимизировать изучение реальной системы по времени - математическая модель позволяет облегчить прогнозирование хода и результатов экспериментов, проводимых в реальных системах. Список литературы. 1. Баврин И. И. Высшая математика Учебное пособие для студентов хим биол. фак. пед. ин-тов М. Просвещение, 1980. 2. Виленкин Н. Я. и др. Дифференциальные уравнения

Учебное пособие для студентов-заочников IV курса физ мат. фак М. Просвещение, 1984. 3. Владимиров Ю. А. и др. Биофизика Учебник М. Медицина, 1983. 4. Глинка Н. Л. Общая химия Учебное пособие для вузов М. Химия, 1985. 5. Зайцев И. А. Высшая математика учебник для неинж. спец. с х. вузов

М. высшая школа, 1991. 6. Лапчик М. П. Вычисления. Алгоритмизация. Программирование Пособие для учителя М. Просвещение, 1988. 7. Маковецкий П. В. Смотри в корень Сборник любопытных задач и вопросов М. Наука, 1979. 8. Роджерс Эрик Физика для любознательных, том 3 М. Мир,

1973. 9. Справочник машиностроителя, том 1 М. МАШГИЗ, 1956. 10. Хомченко Г. П. Химия для поступающих в вузы Учебное пособие М. Высшая школа, 1993. 11. Шипачев В. С. Задачник по высшей математике Учебное пособие для вузов М. Высшая школа, 2001. 12. Штейнгауз Гуго Задачи и размышления

М. Мир, 1972.