Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)

Задачи различных областей человеческой деятельности зачастую сводятся к решению определенного интеграла, где f(x) - функция, непрерывная на отрезке [a; b], по формуле Ньютона-Лейбница. Если функция f(x) задана графически или таблицей, то для вычисления данного интеграла применяют приближенные формулы, т.е. используют метод прямоугольников (правых, левых, средних). При вычислении интеграла необходима помнить следующее: если f(x)>=0 на отрезке [a; b], то результат

вычисления будет численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком оси абсцисс, прямой x=a и прямой x=b. Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению площади криволинейной трапеции. Покажем на примере: разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Точки деления будут: x 0 =a; x 1 =a+h; x 2 =a+2*h, , x n-1 =a+(n-1)*h; x n =b. Числа y 0 , y 1 , y 2 , , y n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам

x 0 , x 1 , x 2 , , x n .Построить прямоугольники можно воспользовавшись несколькими методами: • Левые прямоугольники (построение слева на право) • Правые прямоугольники (построение справа на лево) • Средние прямоугольники (построение посредине) Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяют площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников.

Сделаем вывод: вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников, где h=(b-a)/n –ширина прямоугольников. Формула средних прямоугольников: S средих = (S правых + S левых ) /2 МЕТОД ЛЕВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ. Создадим программу решения интегралов методом левых прямоугольников и результаты выведем на экран, в результате чего получим следующее… Program levii;{Метод левых прямоугольников} uses crt; var i,n:integer;

a,b,h,x,xb,s:real; function f(x:real):real; begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end; begin clrscr; write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a); write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b); write('Введите количество отрезков '); readln(n); h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a; for i:=0 to n-1 do begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end; writeln('Интеграл равен s:12:10); readln; end. a=1 b=2 n=10 S= 18,077 a=1 b=2 n=20 S= 18, 208 a=1 b=2 n=100 S= 18, 270

МЕТОД СРЕДНИХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ Создадим программу решения интегралов методом средних прямоугольников и результаты выведем на экран, в результате чего получим следующее… Program srednii; {Метод средних прямоугольников} uses crt; var i, n: integer; a, b, dx, x, s, xb : real; function f(x : real):real; begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end; begin clrscr; write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a); write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b); write('Введите

количество отрезков '); readln(n); dx:=(b-a)/n; xb:=a+dx/2; for i:=0 to n-1 do begin x:=xb+i*dx; s:=s+f(x)*dx; end; write('Интеграл равен s:15:10); readln; end. a=1 b=2 n=10 S=18,07667 a=1 b=2 n=20 S=18,368 a=1 b=2 n=100 S= 18,156 ВЫВОДЫ Из рассмотренных выше примеров легко заметить, что при вычислении определенных интегралов методами прямоугольников мы не можем достигнуть точного значения, т.е. чем больше значение n, тем точнее значение

интеграла.