Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

Мнстерство освти та науки Украни Днпропетровський нацональний унверситет Механко-математичний факультет Кафедра диференцйних рвнянь Випускна робота Побудова розв язку задач Гурса для телеграфного рвняння методом Рмана Виконав студент гр. МЕ-97-2 Кервник проф. Остапенко В.О. Коленкн О.О. 2001. Допущено до захисту Рецензентдоц.

Гршин В.Б. Завдувач кафедрою Поляков М.В. 2001. Днпропетровськ. 2001Змст. Реферат 4 The summary. 5 Вступ 1. Постановка задач. 2. Приведення до канончного вигляду гперболчного рвняння другого порядку з двома незалежними змнними. Характеристики. 3. Формула Остроградського-Гаусса. 12 4. снування та динсть розв язку задач

Гурса. 5. Спряжен диференцйн оператори. 6. Побудова розв язку. 7. Деяк приклади на знаходження фунц Рмана. 25 Висновок. 31 Список використовано лтератури 32 Реферат Сторнок 31, рисункв 2, джерел 4. Ключев слова рвняння гперболчного типу, характеристики, задача Гурса, метод послдовних наближень, спряжений оператор, формула

Грна, функця Рмана. Мета роботи в данй робот необхдно ознайомитись з методом отримання розв язку задач Гурса для телеграфного рвняння 1.1 з початковими умовами 1.2 довести снування та динсть цього розв язку навести приклади та вказати област вживання цього методу у прикладних науках. The summary. In the given operation some questions, concerning equations in partial derivatives of the second order with two explanatory variables of hyperbolic type are considered.

The algorithm of coercion to a canonical form of these equations is shown, definition of characteristics is given. The method of construction of solution of Gourses problem for the telegraphic equation is stated. Existence and uniqueness of solution of Gourses problem is proved. Some questions concerning of conjugate differential operators, in particular, are considered is obtained

the important formula Greens formula on which usage Rimahn s method leans. Auxiliary function Rimahn s function 6.4 is entered. The number of examples on finding of this function is given. Вступ У свт, який нас оточу, вдбуваться багато рзних процесв фзичн, хмчн, бологчн та нш. Для вивчання цих процесв будують математичн модел.

Велика кльксть задач зводиться до рвнянь у частинних похдних. Великий нтерес явля собою знаходження розв якв для систем рвнянь, як пдпорядковуються тим або ншим додатковим умовам. Ц додатков умови, як правило, являють собою задання невдомих функцй та деяких хнх похдних на меж област, в яко шукаться розв язок, або складаються у тому, що невдомим функцям предписуться той або нший характер властивост. В загальному випадку ц додатков умови називаються граничними умовами.

Задач на вдшукання розв язкв системи рвнянь у частинних похдних, пдлеглих вказаним додатковим умовам, в загальному випадку називаються граничними задачами. Прикладом гранично задач може бути задача Гурса. Граничн задач Гурса використовують для описання процесв сорбц, десорбц, сушки, процесв каталтичних хмчних реакцй та деяких нших процесв. Нмецьким математиком Рманом 17.09.1826 30.07.1866 був пропонований важливий метод

нтегрування рвняння 1.1, який базуться на використанн формули Грна 5.2. Цей метод дозволя виразити в явному вигляд шукамий розв язок задач Гурса через граничн умови 2. Робота складаться з вступу, заключення та семи параграфв. Зробимо коротенький огляд кожного параграфу. В 1 ц роботи наведена постановка задач Гурса. На рисунку 1 показана область D, в якй необхдно знайти розв язок ц задач.

2 присвячен деяким загальним питанням рвнянь у частинних похдних. Показан алгоритм приведення до канончного вигляду гперболчного рвняння у частинних похдних другого порядку з двома незалежними змнними. Дано означення характеристик. 3 допомжним параграфом. У ньому наведено формулу перетворення поверхневих нтегралв у об мн 3.2. В 4 методом послдовних наближень доводиться снування та динсть розв язку задач

Гурса. 5 торкаться питання спряжених диференцйних операторв. Показано, що вираз vLu uMv, де Mv оператор, спряжений до Lu, можна зобразити як суму частинних похдних вд деякх виразв. Отримана формула Грна 5.2. 6 основним параграфом в данй робот. У ньому викладен метод Рмана. Шляхом введеня допомжно функц функц

Рмана 6.4 отримано розв язок задач Гурса у явному вигляд. В 7 наведено деяк приклади знаходження функц Рмана. 1. Постановка задач. Нехай дано рвняння 1.1 Треба знайти розв язок цього рвняння в област Dрис. 1 якщо задан крайов умови ux0, t t ux, t0 x, 1.2 при цьому функц t та x ддиференцьован, та задовльнюють умов спряження t0 x0. Така задача називаться задачею з даними на характкристиках, або задачею

Гурса. D Рис. 2. Приведення до канончного вигляду гперболчного рвняння другого порядку з двома незалежними змнними. Характеристики. Розглянемо рвняння другого порядку з двома незалежними змнними , 2.1 де коефцнти А, В та С функц вд x та y, як мають неперервн похдн до другого порядку включно у област R. За допомогою перетворення змнних х, у, х, у, яке припуска обернене перетворення, ми отримумо нове рвняння, екввалентне рвнянню 2.1. При цьому будемо мати 2.2 пдставляючи значення похдних з2.2 в 2.1,

будемо мати , 2.3 де , а функця не залежить вд других похдних. Замтимо, що якщо рвняння 2.1 було лнйно, то й рвняння 2.3 буде лнйним. Рвняння 2.1 пов язано з рвнянням Аdy22ВdydxСdx20 2.4 яке ма назву рвнянням характеристичних змнних, а його нтеграли характеристиками для рвняння 2.5 Нехай x,yconst загальним нтегралом рвняння 2.4, тод покладемо x,y коефцнт буде дорвнювати нулю, якщо

x,y const другий, вдмнний вд першого нтеграл, то замною x,y ми доб мось, щоб 0. Як видно з формули 2.5, рвняння 2.4 може мати рзн розв язки, один розв язок або не мати розв язкв взагал в залежност вд знаку В2 АС. Рвняння 2.1 у деякй точц Мx,y будемо називати 1 рвнянням гперболчного типу, якщо В2 АС 0 2 рвнянням параболчного типу, якщо В2 АС0 3 рвнянням параболчного типу, якщо

В2 АС0. Вдмтимо, що при довльнй замн змнних 2.2 виконуться рвнсть тобто при будь якому перетворенн змнних, у якого якобан вдмнний вд нуля, тип рвняння 2.1 не змнються. Розглянемо випадок, коли рвняння 2.1 ма гперболчний тип у деякй област G. У цй област характеристичне рвняння ма два рзних загальних нтеграла x,yconst та x,yconst. Зробимо замну описану вище x,y та x,y, отримамо 2.6 де

Рвняння 2.6 називаться канончною формою рвнянь гпер-болчного типу. Покажемо, що характеристиками рвняння 2.6 будуть прям, паралельн координатним осям, тобто const, const. Для 2.6 рвнянням характеристичних змнних буде dd 0. Звдки будемо мати const, const. 3. Формула Остроградського-Гаусса. Нехай Px, y, z, Qx, y, z и Rx, y, z три функци змнних x, y, z, як задан у област

D и мають в нй неперервн похдн першого порядку по x, по y та по z. Розглянемо у D деяку замкнену поверхню S, яка складаться з скнченного числа кускв з неперервно змнюючеюся на них дотичною площиною. Таку поверхню називають кусочно-гладкою. Ми будемо, крм того, вважати, що прям, паралельн координатним осям, зустрчають або у скнченному числ точок, або мають загальним цлий вдрзок. Розглянемо нтеграл ,

3.1 де через cosnx, cosny, cosnz обозначен коснуси кутов, як складен внутршньою нормаллю до поверхн S з осями координат, а dS додатнй елемент поверхн. користуючись векторними позначеннями, ми можемо вважати P, Q, R компонентами деякого вектора, який позначимо лтерою Т. Тод P cosnx Q cosny Rcosnz Tn, де Tn прокця вектора Т на напрям внутршньо нормал. Класична теорема з нтегрального счислення дозволя перейти вд поверхневого

нтегралу 3.1 до об много, расповсюдженого на область D, обмежену гладкою поверхнею S яка задовольня всм обмеженням, як було наведено вище. Ми будемо мати або у векторних позначеннях 3.2 где dv означа диференцал об му, а . Приведена нами формула справедлива у бльш загальних припущеннях вдносно S. Зокрема, формула 3.2 ма мсце для будь-якй кусочно гладко поверхн

S, яка обмежу деяку область D. 4. снування та динсть розв язку задач Гурса. Розглянемо найпростшу задачу з даними на характеристиках 4.1 Додатков умови даються на прямих x 0 та t 0, як, як було доведено вище, характеристиками рвняння 4.1. Будемо вважати, що функц x та t диференцюм та задовольняють умов спряжння 0 0. нтегруючи послдовно по x та по t рвняння 4.1, отримумо або 4.2 Таким чином, для найпростшого рвняння, яке не мстить перших

похдних та шукамо функц, розв язок представляться у явному аналтичному вигляд 4.2. З формули 4.2 безпосередньо слду динсть та снування розв язку поставлено задач. Перейдемо до розв язку лнйного рвняння гперболчного типу 4.3 при додаткових умовах на характеристиках x 0, t 0 ux, 0 x, u0, t t, 4.4 де x та t задовльнюють вимогам диференцюмост та спряження. Коефцнти a, b та c будемо вважати неперервними функцями x та t.

Формула 4.3 показу, що функця ux, t задовльню нтегро-диференцйному рвнянню 4.5 Для доведення снування та диност розв язку рвняння 4.5 скористамось методом послдовних наближень. Виберемо в якост нульового наближення функцю ux, t 0. Тод 4.5 да для послдовних наближень слдуюч вирази 4.6 Зауважимо, що 4.7 Доведемо рвномрну збжнсть послдовностей unx, t

Для цього розглянемо рзниц Нехай М верхня межа абсолютних величин коефцнтв ax, t, bx, t, cx, t та H верхня межа абсолютних величин z0 u1x, t та похдних z0 H, при змн x та t всередин деякого квадрату 0 x L, 0 t L. Побудумо мажорантн оцнки для функцй Очевидно, що Припустимо, що мають мсце рекурентн оцнки де К 0 деяке стале число, значення якого наведемо нижче.

Користуючись цми оцнками та формулою для n1-го наближення псля деяких спрощнь, як посилюють нервнсть, мамо де K L 2. В правих частинах цих нервностей з точнстю до множникв пропорцйност стоять загальн члени розкладання функц е2KLM. Ц оцнки показують, що послдовност функцй збгаються рвномрно до граничних функцй, котр ми зазначимо Переходячи до границ пд знаком нтегралу у формулах 4.6 та 4.7, будемо мати Звдси випливають рвност , як дозволяють встановити, що функця ux, t задовльню нтегро-диференцйному рвнянню 4.5

а також диференцйному рвнянню 4.3, що перевряться безпосереднм диференцюванням рвняння 4.5 по x та по t. Функця задовльню також додатковим умовам. Доведемо тепер динсть розв язку задач 4.3-4.4. Припустимо снування двох розв язкв u1x, t та u2x, t. Отримумо для х рзниц Ux, t u1x, t u2x, t однордне нтегро-диференцйне рвняння Позначаючи дал через H1 верхню межу абсолютних величин для 0 x

L, 0 t L та повторюючи оцнки, як було проведено для функцй znx, t, переконумось у справедливост нервност для будь-якого значення n. Звдси виплива Ux, t 0 або u1x, t u2x, t, що доводить динсть розв язку задач Гурса. 5. Спряжен диференцйн оператори. Розглянемо лнйний диференцйний оператор 2-го порядку , де Aij, Bi и C двч диференцюмими функцями x1,x2 xn. Назвем оператор спряженим з оператором Lu. Якщо оператор L спвпада з спряженим йому оператором

M, то такий оператор називають самоспряженим. Розглянемо рзницю . При отриманн цього виразу ми додали суму , але вона дорвню нулю, так що значення виразу не змнилося. Одже, вираз vLu uMv явля собою суму частинних похдних по xi вд деяких виразв Pi, тобто , де . Розглянемо тепер деякий n-мрний об м , який обмежений кусочно-гладкою поверхнею S. Користуючись формулою Остроградського-Гауса 3.2, будемо мати ,

5.1 де cosnx1, cosnx2 направляюч коснуси внутрешньо нормал до S. Формула 5.1 носить назву формули Грна. Розглянемо рвняння 1.1. Оператори Lu, Mv, а також функц P1 та P2 будуть мати вигляд При цьому формула Грна да нормаль внутршня 5.2 6. Побудова розв язку. Будувати розв язок будемо методом Рмана, який поляга на використовуванн формули

Грна та да ршення задач 1.1 через граничн умови 1.2. Нехай нам потрбно знайти значення функц u у деякй точц М област x x0, t t0 з координатами x1, t1. Проведемо через точку М рис. 2 з координатами x1, t1 дв прям, як паралельн координатним осям. Нехай точка Px0, t1 це точка перети-ну прямих x x0 та t t1, а точка

Qx1, t0 точка перетину прямих x x1 та t t0. Прям х х0, х х1, t t0, t t1 як було показано ранше, характеристиками рвняння 1.1. Область буде являти собою прямокутник MPRQ. У цй област ми можемо застосувати метод Рмана для знаходження розв язку. Якщо враховувати, що обг област вдбуваться проти годинни-ково стрлки, так що обгама площа завжди залишаться злва, формулу 5.2 можна записати у вигляд 5.2 З рисунку 2 бачимо, що при цьому dx cosntdS, dt - cosnxdS.

За умови ux0, t t отримумо 0 t. За умови ux, t0 x, отримумо 0 x. Рис. 2 Якщо застосувати формулу 5.2 до прямокутника MPRQ, враховуючи, що на характеристиках QM та PR змнються лише t, а на характерис-тиках MP та RQ змнються лише x ,будемо мати 6.1 Перетворимо кожен з нтегралв, який стоть у правй частин 6.1 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 Нехай тепер vx, t, x1, t1 деяка функця, яка задовльню умовам

Mv 0, 6.4 При цьому vx1, t1, x1, t1 1, 6.5 Розв язок vx, t, x1, t1 однордного спряженого рвняння 6.4, який задовльню умовам 6.5, називаться функцю Рмана. Ця функця не залежить вд початкових даних 1.2, та для не точка x, t гра роль аргументу, а точка x1, t1 роль параметру. снування та динсть тако функц v було доказано методом послдовних наближень. Оскльки на прямй MP t t1, а на прямй QM x x1, то останн члени у формулах 6.2.1 та 6.2.2 обертаються

в нуль, ми отримамо . Формулу 6.1 тепер можна записати у вигляд Приводячи подбн, та враховуючи, що vx1, t1, x1, t1 1, ux0,t t, ux, t0 x та x, мамо Звдки знаходимо розв язок нашо задач 6.6 Як ми бачимо, формула 6.6 дозволя у явному вигляд написати розв язок данно задач, оскльки точку Мx1, t1 ми вибрали довльно. 7. Деяк приклади на знаходження фунц Рмана. Приклад 1.

Знайдемо функцю Рмана для рвняння . 7.1 Зробивши замну змнних рвняння 7.1 приводиться до канончного вигляду при цьому будемо мати a 0, b Звернемося тепер до вдшукання фунц Рмана v 1, 1. Згдно загально теор, вона повинна задовольняти спряженому рвнянню 7.2 та умовам на характеристиках, як проходять через точку 1, 1 7.3 неважко вконатися, що функця задовльню як рвнянню 7.2, так умовам 7.3, слд, це шукана функця Рмана. Приклад 2. Знайдемо функцю

Рмана для рвняння x 0 7.4 приведемо рвняння 7.4 до канончного вигляду, для чого складемо рвняння характерстик xdt2 dx2 0 це рвняння ма два рзних нтеграла C1 C1, слд, треба ввести нов змнн та за формулами x 0 приднамо до цих рвностей ще одну залежнсть тод рвняння 7.4 перетвориться до канончного вигляду при цьому будемо мати a 0, b 0. Для вдшукання функ Рмана нам потрбно знайти частинний розв язок спряженого рвняння 7.5 який задовольняв би слдуючим умовам на характеристиках, проведених через точку 1, 1 7.6

Будемо шукати розв язок рвняння 7.1 у вигляд v G, де . Тод для G ми отримамо слдуюче рвняння 1-G 1-2G - G 0 Це рвняння частинним випадком гпер геометрчного рвняння Гаусса 1-y - 1 y - y 0 при , 1. Рвняння Гаусса припуска частинний розв язок у вигляд гпергеометрчного ряду який збгаться абсолютно при 1. Звдки ясно, що взявши v

G 1 ми задовльним рвнянню 7.5 та усмовам 7.6. Слд, функця функцю Рмана. Приклад 3. Знайдемо функцю Рмана для телеграфного рвняння якщо ввести нову функцю ux, t поклавши 7.7 то рвняння 7.7 бльш просту форму , 7.8 де a , b . За допомогою замни змнних x at, x - at приведемо рвняння 7.8 до канончного вигляду при цьому мамо a b 0. Функця Рмана повинна задовльнювати спряженому рвнянню , 7.9 та на характеристиках 1, 1 дорвню одиниц.

Будемо шукати розв язок рвняння 7.9 у вигляд . Пдставивши цей вираз та пзначивши через корнь , знайдемо, що функця v задовльню звичайному диференцйному рвнянню G G G0, Лнйно незалежними розв язками якого функця Бесселя нульового порядку та функця Неймана N0, основною властивстю яко , слд, вона не може бути шуканою функцю. Тобто, якщо взяти v J0 отримамо розв язок рвняння 7.9, який обертаться на характерис-тиках 1, 1

у одиницю, оскльки тут 0. Таким чином, функця Рмана знайдена, вона ма вигляд . Висновок. В данй робот розглянуто задачу Гурса для телеграфного рвняння. Було доведено, що розв язок ц задач сну та що вн диний. Завдяки використанню метода Рмана ми отримали цей розв язок у явному вигляд. На прикладах ми показали, що знаходження функц Рмана зводиться до розв язання звичайних диференййних

рвнянь, таких як рвняння Бесселя або гпергеометричного рвняння Гаусса. Список використовано лтератури 1. Кошляков Н. С Глинер Э. Б Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. Высшая школа. Москва. 1970 г. 2. Положий Г. Н. Уравнения математической физики. Высшая школа. Москва. 1964 г. 3. Соболев С. Л. Уравнения математической физики.

Наука. Москва. 1964 г. 4. Тихонов А.Н Самарский А.А. Уравнения математической физики. Наука. Москва. 1977 г.