Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении

S 2 63,94Ввыборочное среднее квадратическое отклонение В нашем примере S 7,996Выборочные коэффициенты асимметрии Ас иэксцесса Fk по формуламAc m3 S 3 В нашем примере Ас -0,00557 Ek m4 S 4 -3 В нашем примере Ek -0,03442Медиана Ме - значение признака x e , приходящееся на серединуранжированного ряда наблюдений n 2l -1 .

При четном числе наблюдений n 2l медианой Ме является средняя арифметическаядвух значений, расположенных в середине ранжированного ряда Me x e x e 2 Если исходить изинтервального ряда, то медиану следует вычислять по ормулеMe a me h n 2 - mh me-1 m meгде mе- означает номер медианногоинтервала, mе -1 - интервала, редшествующего медианому.В нашем примере Me 751,646Мода Мо для совокупности наблюдений равна томузначению признака , которому соответствует наибольшая частота.

Для одномодального интервального ряда вычислениемоды можно производить по формуле Mo a mo h m mo- m mo-1 2 m mo- m mo-1 - m mo 1 где моозначает номер модального интервала интервала с наибольшей частотой , мо-1,мо 1- номера предшествующего модальному и следующего за ним интервалов.В нашем примере Mo 751,49476Так как Хср, Mo Me почти не отличаются друг от друга, естьоснования предполагать теоретическое распределение нормальным.Коэффициент вариации

Vs S x 3.06 В нашем примере Vs 1,3 Графическое изображение вариационных рядов Для визуального подборатеоретического распределения, а также выявления положения среднего значения xср. и характера рассеивания S 2 и S вариационные рядыизображают графически.Полигон и кумулятаприменяются для изображения как дискретных, так и интервальных рядов,гистограмма для изображения только интервальных рядов.

Для построения этихграфиков запишем вариационные ряды распределения интервальный и дискретный относительных частот частостей Wi mi n,накопленных относительных частот Whi и найдем отношение Wi h,заполнив таблицу 4.Интервалы xi Wi Whi Wi h Ai-bi 1 2 3 4 5 4,97-5,08 5,03 0,02 0.02 0,18 5,08-5,19 5,14 0,03 0,05 0,27 5,19-5,30 5,25 0.12 0,17 1,09 5,30-5,41 5,36 0,19 0,36 1,73 5,41-5,52 5,47 0,29 0,65 2,64 5,52-5,63 5,58 0,18 0,83 1,64 5,63-5,74 5,69 0,13 0,96 1,18 5,74-5,85 5,80 0,04 1,00 0,36 - 1,00 - Для построения гистограммы относительных частот частостей на оси абсцисс откладываем частичные

интервалы, на каждом изкоторых строим прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте Wi данного i-го интервала. Тогда высотаэлементарного прямоугольника должна быть равна Wi h Следовательно, позади подгистограммой равна сумме всех носительных частот, т.е. единице.Из гистограммы можно получить полигон того жераспределения. Если середины верхних оснований прямоугольников соединитьотрезками прямой.4

Сделать вывод о форме ряда распределения по виду гистограммыи полигона, а также по значениям коэффициентов Ас и Ек.4 Анализ графиков и выводыГистограмма и полигонявляются аппроксимациями кривой плотности дифференциальной функции теоретического распределения генеральной совокупности . Поэтому по их видуможно судить о гипотическом законе распределения.Для построения кумулятыдискретного ряда по оси абсцисс откладывают значения признака xi, а по оси ординат

накопленные относительные частоты Whi. Для интервального ряда пооси абсцисс откладывают интервалы .С кумулятой сопоставляетсяграфик интегральной функции распределения F x .В нашем примере коэффициентыасимметрии и эксцесса не намного отличаются от нуля. Коэффициент асимметрииоказался отрицательным Ас -0,005 , что свидетельствует о небольшойлевосторонней асимметрии данного распределения. Эксцесс оказался такжеотрицательным

Ек -0,034 . Это говорит о том, что кривая, изображающая рядраспределения, по сравнению с нормальной, имеет несколько более плоскуювершину. Гистограмма и полигон напоминают кривую нормального распределения рис.1.1 и 1.2 Все это дает возможность выдвинуть гипотезу о том, чтораспределение продолжительности горения электролампочек является нормальным.Приечание Кумулята, гистронрамма и полигоннаходятся в приложениях к работе.

5 Рассчитать плотность и интегральную функциютеоретического нормального распределения и построить эти кривые на графикахгистограммы и кумуляты соответственно.Расчет теоретической нормальной кривойраспределения Приведем один из способоврасчета теоретического нормального распределения по двум найденным выборочнымхарактеристикам x и S эмпирического ряда.При расчете теоретическихчастот m тi за оценку математического ожидания мю

и среднего квадратического отклонения G нормального законараспределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик x ср. и S, т.е. мю Xср. 751,7539 G S 7,99.Теоретические частоты находят по формуле M i npi, где n объем Pi величина попадания значения нормально распределенной случайной величины в i-йинтервал.ВероятностьPi определяется по формуле Pi P ai lt x lt bi 1 2

Ф t2i -Ф t1i , ГдеФ t 2 2 пи интегралу с границамиот 0 t е x2 2dx -интегральная функция Лапласа находится по таблице для T2i bi-xср. S T1i ai-x ср. SТаблицы Для вычисления вероятностинормальной кривой распределения Интервалы Mi T1 T2 1 2Ф T1 1 2Ф T2 Pi a i b i 730,644 735,356 2 -2,640 -2,051 0,4958 0,4798 -0,0080 735,356 740,068 8 -2,051 -1,461 0,4798 0,4279 -0,0260 740,068 744,780 6 -1,461 -0,872 0,4279 0,3078 -0,0601 744,780 749,492 18

-0,872 -0,283 0,3078 1,1103 0,4013 749,492 754,204 35 -0,283 0,306 0,0300 0,6619 0,3160 754,204 758,916 12 0,306 0,896 0,1179 0,3133 0,0977 758,916 763,628 11 0,896 1,485 0,3133 0,4306 0,0587 763,628 768,340 6 1,485 2,074 0,4306 0,4808 0,0251 768,340 773,052 2 2,074 2,664 0,4808 0,4960 0,0076 Pi n Mi теор Mi теор h Mi теор накоп -0,8000 1 0,002 0,0080 -2,5950 3 0,006 0,0340 -6,0050 6 0,013 0,0940 40,1250 40 0,085 0,4953 31,5950 32 0,068 0,8153 9,7700 10 0,021 0,9130 5,8650 6 0,012 0,9716 2,5100 3 0,005 0,9967 0,7600 1 0,002 1,0000 100 Сравнение гистограммы инормальной кривой наглядно показывает согласованность между теоретическим иэмпирическим распределением.Примечание Построенныеграфики находятся в приложениях к работе.6 Проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критерию согласияПирсона f 2 .

Проверка гипотез о нормальном законераспределения Частоты для проверкисоответствия эмпирического ряда распределения нормальному закону используюткритерий X 2, основанный на сравнении эмпирических частот mi стеоретическими m тi, которые можно ожидать припринятии определенной нулевой гипотезы.Значение X 2набл. наблюдаемое значение критерия, полученное по результатам наблюдений, равно к F 2набл. mi-m тi I 1 m iГде к число интервалов послеобъединения .

M i теоретическиечастоты. Все вспомогательные расчеты, необходимые для вычисления f 2,сведем в таблицу 1.6. Таблица 1.6.Вычисление критерия X 2 припроверке нормальности продолжительности горенияэлектролампочек Интервалы Mi Практ Mi теор Mi-Mi теор 2 Mi теор a i b i 730,644 735,356 2 2 9 1,29 735,356 740,068 8 5 740,068 744,780 6 13 49 3,88 744,780 749,492 18 21 9 0,43 749,492 754,204 35 25 100 4,01 754,204 758,916 12 21 81 3,89 758,916 763,628 11 12 1 0,08 763,628 768,340 6 5 1 0,14 768,340 773,052 2 2 X 2набл 13,71 Правило проверки гипотезызаключается в следующем. Определяем по таблице распределения xu-квадрат критическое значениеX 2кр. альфа для числа степеной

свободы V к-3 и заданного уровнязначимости альфа. Затем сравниваем X 2кр.Если X 2 набл. lt X 2кр то выдвинутая гипотеза о законе распределения не отвергается не противоречит опытным данным .Если X 2 набл. gt X 2кр то выдвинутая гипотеза о нормальном законераспределения отвергается с вероятностью ошибки a.Для нашего примера X 2набл. 13,71, a 0,005, V 7-3 4 число интервалов послеобъединения стало равным 7 и

X 2кр. 0,005 4 14,9Так как X 2набл. lt X 2кр то согласно критерию Пирсона гипотеза о нормальном законе не отвергается свероятностью ошибки 0,005. Можно сделать вывод, что распределение продолжительностигорения электролампочек являетсянормальным. Что подтверждают графики и значения моды и медианы.