Перпендикулярность прямых в пространстве

Историческиесведения.Самой древней математическойдеятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота ивести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количествопредметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук иног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века,изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев.

Первымисущественными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретениечетырех основных действий сложения, вычитания, умножения и деления. Первыедостижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая иокружность. Дальнейшее развитие математики началось примерно в 3000 до н.э.благодаря вавилонянам и египтянам. Вавилония Источником наших знаний о вавилонскойцивилизации служат хорошо сохранившиеся глиняные таблички,

покрытые т.н.клинописными текстами, которые датируются от 2000 до н.э. и до 300 н.э.Математика на клинописных табличках в основном была связана с ведениемхозяйства. Арифметика и нехитрая алгебра использовались при обмене денег ирасчетах за товары, вычислении простых и сложных процентов, налогов и долиурожая, сдаваемой в пользу государства, храма или землевладельца.Многочисленные арифметические и геометрические задачи возникали в связи состроительством каналов, зернохранилищ

и другими общественными работами. Оченьважной задачей математики был расчет календаря, поскольку календарьиспользовался для определения сроков сельскохозяйственных работ и религиозныхпраздников. Деление окружности на 360, а градуса и минуты на 60 частей берутначало в вавилонской астрономии. Египет Наше знание древнеегипетской математики основано главнымобразом на двух папирусах, датируемых примерно 1700 до н.э. Излагаемые в этихпапирусах математические сведения восходят к еще более раннему

периоду ок.3500 до н.э. Египтяне использовали математику, чтобы вычислять вес тел, площадипосевов и объемы зернохранилищ, размеры податей и количество камней, требуемоедля возведения тех или иных сооружений. В папирусах можно найти также задачи,связанные с определением количества зерна, необходимого для приготовлениязаданного числа кружек пива, а также более сложные задачи, связанные сразличием в сортах зерна для этих случаев вычислялись переводные коэффициенты.3КлассическаяГреция

С точки зрения 20в. родоначальниками математики явились греки классического периода 6 4 вв. дон.э Математика, существовавшая в более ранний период, была наборомэмпирических заключений. Напротив, в дедуктивном рассуждении новое утверждениевыводится из принятых посылок способом, исключавшим возможность его неприятия. Александрийскийпериод В этот период,который начался около 300 до н.э характер греческой математики изменился.Александрийская математика возникла в результате слияния классической

греческойматематики с математикой Вавилонии и Египта. В целом математикиалександрийского периода были больше склонны к решению чисто технических задач,чем к философии. Великие александрийские математики Эратосфен, Архимед,Гиппарх, Птолемей, Диофант и Папп продемонстрировали силу греческого гения втеоретическом абстрагировании, но столь же охотно применяли свой талант крешению практических проблем и чисто количественных задач.

УпадокГреции После завоеванияЕгипта римлянами в 31 до н.э. великая греческая александрийская цивилизацияпришла в упадок. Цицерон с гордостью утверждал, что в отличие от греков римлянене мечтатели, а потому применяют свои математические знания на практике,извлекая из них реальную пользу. Однако в развитие самой математики вкладримлян был незначителен. Римская система счисления основывалась на громоздкихобозначениях чисел.

Главной ее особенностью был аддитивный принцип. Дажевычитательный принцип, например, запись числа 9 в виде IX, вошел в широкоеупотребление только после изобретения наборных литер в 15 в. Римскиеобозначения чисел применялись в некоторых европейских школах примерно до 1600,а в бухгалтерии и столетием позже. 4Теорема Если две пересекающиеся прямыепараллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они

тожеперпендикулярны. Доказательство Пусть a и b перпендикулярные прямые, a1 и b1 параллельные им пересекающиеся прямые. Докажем чтопрямые a1 и b1 перпендикулярны.Если прямые a, b, a1, b1 лежатв одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством, как этоизвестно из планиметрии.Допустим теперь, что наши прямые лежат водной плоскости. Тогда прямые a и b лежат в некоторой плоскости , а прямые a1 и b1 - внекоторой плоскости .

По теореме 16.4 плоскости и паралле-льны. Пусть С точка пересечения прямых a и b, а С1 -точка пересечения прямых a1 и b1. Проведем в плоскости параллельных прямых а и a1 прямую, параллельную прямой СС1. Онапересечет прямые а и a1 в точках А и А 1 . Вплоскости прямых b и b1 проведем прямую, параллельную прямой СС 1 , и обозначим через B и B 1 точки ее пересечения с прямыми b и b1 .

Четырехугольники САА 1С 1 и СВВ 1С 1 - параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВ 1 А 1 также параллелограмм. У него стороны АА1 , ВВ 1 параллельны,потому что каждая из них параллельна прямой СС 1 . Такимобразом, четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельныепрямые АА1 и ВВ1. А она пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым

АВ и А1В 1 .Так как у параллелограмма противолежащиестороны равны, то AB A 1B 1, AC A1C 1, BC B1C 1. По третьему признакуравенства треугольников треугольники АВС и А 1В 1С 1 равны. Итак, угол А1С1В1, равныйуглу АСВ, прямой, т.е. прямые a1 и b1 перпендикулярны.Теорема доказана. 5Примеры задач 1. Докажите, что через любую точку прямой в пространствеможно провести перпендикулярную

ей прямую.Доказательство Пусть а прямая и А точка на ней. Возьмем любую точку Х вне прямой а и проведем черезэту точку и прямую а плоскость теорема 15.1 . В плоскости через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную прямой а.2. Докажите, что через любую точку прямой в пространствеможно провести две различные перпендикулярные ей прямые.Доказательство Проведем через прямую а дверазличные плоскости и .

В этих плоскостях через прямую точку Мпроведем перпендикулярные к данной прямой прямые с и b. Они различны, так как лежат в различных плоскостях. Таким образом через любую точку Мпрямой а можно провести 2 разные перпендикулярные к а прямые. 6Чертежи К теореме К задаче 1 К задаче 2 7 Мо отношение к теме.Тема моего реферата, к счастью, не являетсяодной из важнейших тем стереометрии такой, как тема аксиом

стереометрии илиДекартовых координат в пространстве, но она конечно же важна в том разделестереометрии к которому она относиться. 8